17.2用公式法分解因式暑假预习练2026-2027学年人教版数学八年级上册

**基本信息** 本练习通过基础巩固、灵活应用、综合探究三层设计，实现从单一公式到跨情境应用的知识进阶，培养数学思维与应用意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|平方差/完全平方公式直接应用|单选3、4、5（公式辨析），填空13、17（直接分解），夯实概念理解| |进阶层|公式逆用与简单综合|单选2、8（公式变形求值），填空14（几何与代数结合），解答18（代入求值），发展运算能力| |提高层|跨情境探究与规律发现|单选7（“智慧数”概念辨析），解答20、21（几何面积验证因式分解），23（完全平方公式系数规律），培养创新意识与模型观念|

17.2用公式法分解因式 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．若k为自然数，则的值总能（   ） A．被3整除 B．被4整除 C．被5整除 D．被7整除 2．已知，则的值为（　　） A．57 B．120 C． D． 3．把多项式分解因式，结果正确的是（    ） A． B． C． D． 4．若，则n等于（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 5．将多项式因式分解的结果为（   ） A． B． C． D． 6．多项式与多项式的公因式是（    ） A．2 B．x C．1 D． 7．定义：如果一个正整数能表示成两个正整数m，n的平方差，那么称这个正整数为“智慧数”．例如，就是一个“智慧数”，可以利用进行研究．下列结论：①所有的正奇数都是“智慧数”；②除4以外所有能被4整除的正整数都是“智慧数”；③被4除余2的正整数都不是“智慧数”．其中正确的结论有（     ）个． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 8．因式分解的结果为（   ） A． B． C． D． 9．已知a，b，c为三边，且满足，则是（    ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．不能确定 10．某同学粗心大意，分解因式时，把式子中的一部分弄污了，那么你认为式子中的所对应的代数式是（    ） A． B． C． D． 11．如果x2+kx﹣10＝（x﹣5）（x+2），则k应为（　　） A．﹣3 B．3 C．7 D．﹣7 12．整式可以写成（   ） A． B． C． D． 二、填空题 13．分解因式： __________ 14．一个直角三角形斜边长为a，直角边长分别为b，c，若它的面积为6，斜边长为5，则的值为________． 15．若正方形的面积是，则该正方形的边长为_____． 16．计算：________． 17．分解因式：=___________． 三、解答题 18．若，，求多项式的值． 19．下面是某同学对多项式进行因式分解的过程． 回答下列问题： 解：设， 原式第一步 第二步 第三步 第四步) (1)该同学第二步到第三步运用了因式分解的 ； (2)该同学因式分解的结果是否彻底？ （填“彻底”或“不彻底”），若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果 ． (3)以上方法叫做“换元法”．请你模仿以上方法对进行因式分解． 20．如图，有若干张的边长为a的小正方形①、长为b宽为a的长方形②以及边长为b的大正方形③的三种纸片． (1)如果现有小正方形①1张，大正方形③2张，长方形②3张，其中．请你将它们拼成一个大长方形（画出图示），并运用面积之间的关系，将多项式分解因式． (2)已知长方形②的周长为6，面积为1，求小正方形①与大正方形③的面积之和． 21．【发现问题】现有图1中的A，B，C三种卡片若干，用这些卡片可以拼成各式各样的图形，根据这些图形的面积的不同表示可以将一些多项式因式分解． 例：用1张A卡片，2张B卡片，1张C卡片拼成如图2的图形，用两种方法表示该图形的面积，可以得到等式． (1)【小试牛刀】请把表示图3面积的多项式因式分解（直接写出等式即可）． (2)【自主探索】请利用图1的卡片，将多项式因式分解，并画出图形． 22．运算能力从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形（如图①），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图②）． (1)上述操作能验证的等式是 （填选项）． A． B． C． (2)若，，求的值． (3)计算：． 23．【探究题】 (1)【问题情景】将下列各式因式分解，将结果直接写在横线上：___________；___________；___________； 【探究发现】观察以上三个多项式的系数，我们发现：； (2)【归纳猜想】若多项式是完全平方式，猜想：系数之间存在的关系式是什么？ (3)【验证结论】请你写出一个不同于上面出现的完全平方式，并用此式验证你猜想的结论； (4)【解决问题】若多项式是一个完全平方式，利用你猜想的结论求出的值． 《17.2用公式法分解因式》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B D D B C D C D C B 题号 11 12 答案 A B 1．B 【分析】本题考查因式分解的应用，将利用平方差公式法进行因式分解，进而得出结论即可． 【详解】解：， ∴的值总能被4整除； 故选：B． 2．D 【分析】根据提公因式法、完全平方公式即可解决此题． 【详解】解： ， ∵， ∴原式． 故选：D． 【点睛】本题主要考查完全平方公式的变形应用、因式分解，熟练掌握完全平方公式、提公因式法是解决本题的关键． 3．D 【分析】本题考查了因式分解，根据平方差公式求解即可． 【详解】解：． 故选：D． 4．B 【分析】根据平方差公式计算即可． 【详解】解：∵ ， ∴n等于4． 故选B． 【点睛】本题考查因式分解．掌握利用平方差公式分解因式是解题关键． 5．C 【分析】本题考查了因式分解，掌握平方差公式分解因式是解题的关键根据进行因式分解即可得解． 【详解】解：， 故选：． 6．D 【分析】分别分解因式即可求解． 【详解】解：， ， 公因式是． 故选：D． 【点睛】本题考查了因式分解，公因式的定义，掌握因式分解的方法是解题的关键． 7．C 【分析】本题考查了平方差公式法因式分解以及整数的奇偶性分析．理解“智慧数”的定义是解题的关键． 根据“智慧数”的定义，通过对中、的取值分析来判断各个结论是否正确． 【详解】解：∵1不能表示成两个正整数m，n的平方差，故①错误； 设能被4整除的正整数为（为正整数且）， ，令， 将两式相加可得：，即， 解得：， 将代入，解得． 为正整数且， 、为正整数， 除4以外所有能被4整除的正整数都可以表示成两个正整数的平方差，即除4以外所有能被4整除的正整数都是“智慧数”， 故②正确； 假设存在正整数、，使得是被4除余2的正整数，即（为正整数）． 与的奇偶性相同，若与都是奇数，则都是奇数，不可能是这种偶数； 若与都是偶数，则能被4整除，也不可能是； 被4除余2的正整数都不是“智慧数”． 故③正确； 综上所述，正确的结论是②③． 故选：C． 8．D 【分析】此题考查了因式分解-运用公式法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 原式利用完全平方公式和平方差公式分解即可． 【详解】分解：原式， 故选：D． 9．C 【分析】将已知式子因式分解为，得到，则有，即可判断三角形的形状． 本题主要考查等腰三角形的判定和因式分解 ，熟练掌握因式分解是解题的关键． 【详解】， ∵a，b，c为三边 ∴ ∴ ∴是等腰三角形． 故选：C． 10．B 【分析】将等式右边用平方差公式展开，然后求解即可． 【详解】解：∵ ∴=． 故答案为B． 【点睛】本题主要考查了平方差公式的应用，灵活运用平方差公式是解答本题的关键． 11．A 【分析】根据多项式乘以多项式把等号右边展开，即可得答案． 【详解】解：（x-5）（x+2）=x2-3x-10， 则k=-3， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了因式分解，关键是掌握x2+（p+q）x+pq=（x+p）（x+q）． 12．B 【分析】本题考查了完全平方公式，掌握完全平方公式的特征是解题的关键． 根据完全平方公式的特征进行计算即可． 【详解】解：， ， ， ． 故选：B． 13． 【分析】本题考查了利用分组分解法进行因式分解；先把前两项、后两项结合，前两项利用平方差公式分解因式，则可提取公因式，即可分解因式． 【详解】解： ； 故答案为：． 14．444 【分析】本题考查的是因式分解的应用，直角三角形的面积的计算，先求解，再把进行因式分解，再代入计算即可． 【详解】解：∵直角三角形斜边长为a，直角边长分别为b，c，斜边长为5，面积为6， ∴，， ∴， ∴ ； 故答案为： 15． 【分析】本题考查了运用公式法进行因式分解，熟练掌握完全平方式的特点是解决问题的关键． 正方形的面积是边长的平方，给定表达式是一个完全平方式，运用公式法把多项式分解，即可得出答案． 【详解】解：给定面积表达式为 ，可因式分解为 ， 根据正方形面积公式，边长等于面积的算术平方根，且，， 故该正方形的边长为， 故答案为：． 16．/ 【分析】接利用平方差公式把每一个算式因式分解，再进一步发现规律计算即可． 【详解】解：原式= ， 故答案为：． 【点睛】此题考查因式分解的应用，解题关键在于利用公式进行计算． 17．(a+3b)(a－3b)(a2+9b2) 【分析】运用两次平方差公式进行因式分解即可． 【详解】解：原式 =(a+3b)(a－3b)(a2+9b2) ． 故答案为：(a+3b)(a－3b)(a2+9b2) ． 【点睛】本题考查运用平方差公式进行因式分解，解题关键是掌握a2-b2=(a+b)(a-b) ． 18．． 【分析】本题主要考查了提公因式法与公式法的综合运用，先将因式分解为，然后把，代入即可求解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 【详解】解： ， 当，时， 原式 ． 19．(1)两数和的完全平方公式 (2)不彻底， (3) 【分析】本题主要考查了因式分解及完全平方公式，熟练掌握完全平方公式因式分解是解题的前提， （1）根据完全平方公式作答即可； （2）根据因式分解的定义及完全平方公式作答即可； （3）根据换元法及完全平方公式因式分解即可； 【详解】（1）解：第二步到第三步使用的是公式， 即两数和的完全平方公式， 故答案为：两数和的完全平方公式； （2）解：∵， ∴该同学因式分解的结果不彻底，因式分解的最后结果是， 故答案为：不彻底，； （3）解：设， ． 20．(1)图见解析； (2)7 【分析】本题考查因式分解，完全平方公式与几何图形的面积问题： （1）根据，用1个小正方形①，3个长方形和2个大正方形拼成1个大的长方形，根据长方形的面积分解因式即可； （2）根据题意得到，利用完全平方公式变形求出即可． 【详解】（1） 解：（1）如图， 拼成边为和的长方形 ∴； （2）由题意，得：， ∴； 故小正方形①与大正方形③的面积之和为7． 21．(1) (2)， 图形如图所示： 【分析】本题主要考查了因式分解的应用： （1）仿照题意把图3的面积用两种方法表示出来，然后根据两种表示方法表示的面积相等即可得到答案； （2）仿照题意画出对应的图形即可得到答案； 【详解】（1）解：由图可知，图3是由1张A卡片，3张B卡片，2张C卡片拼成的， 图3的面积为， 又图3的面积又等于一个长为，宽为的长方形面积， ； （2）解：是由2张A卡片，5张B卡片，3张C卡片拼成的 同理可得； 22．(1)A (2) (3) 【分析】本题考查了平方差公式的应用，包括图形验证、代数求值，掌握平方差公式的变形与交叉约分的技巧是解题的关键． （1）通过比较剪拼前后图形的面积，验证平方差公式； （2）利用平方差公式，代入已知值求； （3）将每个括号内的式子用平方差公式分解，再通过交叉约分简化计算． 【详解】（1）解：图①面积： 图②面积： 因为剪拼前后面积相等， 所以验证的等式是： 故选：A． （2）解：，， ， ． （3）解：原式 23．（1）；（2）；（3）见解析；（4） 【分析】本题考查了完全平方公式的综合应用、因式分解的应用、数字规律等知识点点，灵活运用完全平方公式成为解题的关键． （1）利用完全平方公式进行分解因式即可； （2）根据问题情境式子中的系数关系，可猜想； （3）可用完全平方公式进行验证； （4）多项式是完全平方式，则系数a，b，c存在的关系为，可得出，进而求出n的值即可． 【详解】（1）解：；；． 故答案为：． （2）由情境中给的式子系数关系，可归纳猜想：． 故答案为：． （3）验证结论：可用， 验证：∵， ∴． （4）∵多项式是一个完全平方式， ∴， ∴，即，解得：． 学科网（北京）股份有限公司 $