第17章 因式分解 （暑假预习课） -2026-2027学年人教版数学八年级上册

**基本信息** 暑假预习用八年级上册因式分解单元卷，覆盖提公因式法、公式法等核心方法，通过密码生成情境与阅读材料题，提升运算推理与模型应用能力。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选题|10|最大公因式、因式分解定义、整除性判断|基础巩固，考查概念辨析与基本运算| |填空题|6|公因式提取、代数式求值、密码生成应用|情境创新，结合生活实例（如密码生成）| |解答题|5|分组分解、几何应用、规律探究|能力提升，含阅读材料题（如配方法、分组分解法），培养推理与模型意识|

（暑假预习课）第17章因式分解-2026-2027学年数学八年级上册人教版（新教材） 一、单选题 1．多项式的最大公因式是（    ） A． B． C．3 D． 2．将分解因式正确的是（   ） A． B． C． D． 3．若多项式可因式分解为，则的值为（） A． B． C． D． 4．下列等式中，从左边到右边变形是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 5．对于任意整数，多项式都能（　　） A．被6整除 B．被7整除 C．被8整除 D．被9整除 6．因式分解的结果是（   ） A．B． C． D． 7．已知多项式在有理数范围可以分解因式，则k可取的单项式为（   ） A．9 B． C． D． 8．已知，，则的值为（   ） A．20 B．80 C．100 D．120 9．若，，是三角形三边的长，则代数式的值（    ） A．小于等于零 B．小于零 C．等于零 D．大于零 10．在因式分解关于的多项式时，其中一个正确的因式为，另一个正确因式为，则=（　　） A． B． C． D． 二、填空题 11．因式分解：________． 12．在对多项式进行因式分解时，提取的公因式为______． 13．若，则______． 14．已知，则的值为__________． 15．如果关于x的整式可以因式分解为，其中a、b均为整数，那么满足条件的p的值有______个． 16．人类使用密码的历史悠久，利用因式分解可以生成密码：先将确定的多项式分解因式，再对因式赋值生成正整数或0的因式码，将因式码按从小到大的顺序排列就可以形成密码．例如多项式，将其分解因式为，当，时，有，，，其中0，12，72分别为因式码，将这三个因式码按从小到大的顺序排列就形成密码01272．对于多项式，当x，y分别取正整数时，用上述方法生成密码，若密码的前两个因式码为6，18，则密码是___________． 三、解答题 17．因式分解 (1)； (2)． 18．小雅同学计算一道整式除法：，由于她把除号错写成了乘号，得到的结果为． (1)_____，_______； (2)求这道除法计算的正确结果； (3)若，求（2）中代数式的值． 19．【阅读材料】：某同学研究十位数字是（是至的整数），个位数字是的两位数的平方，发现了如下运算规律： ， ， ， …… 任务： (1)请用含的式子写出你发现的规律； (2)请证明你发现的规律； (3)请证明个位数字是的两位数的平方是的倍数． 20．阅读材料：对于某些二次三项式（a、b、c是常数，且），可以运用完全平方公式“配”出一个完全平方式，再进行因式分解，这种分解因式的方法叫“配方法”．例如：因式分解：． 解：原式． 请根据上述阅读材料，解决下列问题： (1)用“配方法”因式分解：； (2)若，求M的最小值． 21．阅读材料：在多项式因式分解中，存在一些无法直接用提公因式法或公式分解法分解的多项式．分组因式分解法是指将这类多项式重新分组后，再通过提公因式法或公式法继续分解的方法例如： ． 利用上述分解因式的方法，解决问题． (1)因式分解：； (2)若a，b，c是的三边，求证：； (3)求方程的整数解． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《（暑假预习课）第17章因式分解-2026-2027学年数学八年级上册人教版（新教材）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D A B D D B D C B C 1．D 【分析】本题主要考查了求多项式的最大公因式，找最大公因式的要点是：（1）最大公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数；（2）字母取各项都含有的相同字母；（3）相同字母的指数取次数最低的，据此求解即可． 【详解】解：由题意得，多项式的最大公因式是， 故选：D． 2．A 【分析】本题考查了十字相乘法因式分解，即，熟练掌握十字相乘法方法是解答本题的关键． 利用十字相乘法分解即可． 【详解】解：． 故选A． 3．B 【分析】通过展开因式分解后的表达式，与原多项式比较系数，即可求出的值． 【详解】解：∵多项式可因式分解为， ∴展开得：． 又∵原多项式为， ∴比较系数得：，． 因此的值为3． 故选：B． 4．D 【分析】本题主要考查了因式分解的定义，掌握因式分解是将多项式化为整式乘积的形式是解题的关键． 根据因式分解的定义逐项判断即可． 【详解】解：A．左边是乘积形式，右边是多项式，是整式乘法，不是因式分解，不符合题意； B．右边是不是整式乘积，不是因式分解，不符合题意； C．右边是不是整式乘积，不是因式分解，不符合题意； D．右边是是整式乘积，且左边，是因式分解，符合题意． 故选D． 5．D 【分析】此题考查了因式分解的应用．利用平方差公式分解因式，化简后判断整除性即可． 【详解】解：∵ ， ∵ 为整数， ∴ 为整数， ∴ 原式能被9整除． 故选：D 6．B 【分析】本题主要考查分解因式，掌握提取公因式法以及完全平方公式，是解题的关键． 先提取公因式，再利用完全平方公式，即可分解因式． 【详解】解：， 故选：B． 7．D 【分析】本题主要考查了分解因式，令分别取四个选项中的单项式，再看多项式能否在有理数的范围内分解因式即可得到答案． 【详解】解：当时，多项式不能在有理数范围分解因式，故A不符合题意； 当时，多项式不能在有理数范围分解因式，故B不符合题意； 当时，多项式不能在有理数范围分解因式，故C不符合题意； 当时，，能在有理数范围分解因式，故D符合题意； 故选：D． 8．C 【分析】此题主要考查了因式分解的应用，解答此题的关键是灵活运用完全平方公式． 将表达式因式分解为，然后代入已知值计算． 【详解】解：∵， 又∵，， ∴原式． 故选：C． 9．B 【分析】本题考查了因式分解的应用，三角形三边关系，将代数式分解因式，利用三角形三边关系得，，然后判断符号即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵ ， 又∵，，是三角形三边， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 即原代数式的值小于零， 故选：． 10．C 【分析】本题考查了因式分解及整式乘法的应用，根据因式分解的结果，将多项式展开后比较系数，求出和的值，再代入代数式计算即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：∵多项式的因式为和， ∴， ∴，， ∴， 故选：． 11． 【详解】解：． 12． 【分析】根据公因式的确定方法，分别求出多项式各项系数的最大公约数，以及各项共有的相同字母的最低次数，二者乘积即为公因式． 【详解】解：多项式的各项系数分别为，，，其最大公约数为，各项都含有的相同字母为，，其中的次数分别为，，，最低次数为，的次数分别为，，，最低次数为， 因此提取的公因式为． 13． 【分析】本题考查了因式分解和整式的乘法的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； 通过将等式右边展开，与左边多项式比较对应项系数，建立方程求解； 【详解】解：将等式右边展开：， 左边为， 比较系数，得： 一次项系数：， 常数项：， 由，解得：， 或由，解得：， 验证：当时，右边为，与左边相等； 故答案为：； 14． 【分析】本题考查代数式化简与整体代入思想．熟悉代数式化简的方法，利用整体代入思想代入已知条件求得代数式的值，是解题的关键． 首先去括号将多项式化简，再根据完全平方公式进行因式分解，最后代入已知式子的值即可． 【详解】解：将原式展开并整理， 得：， 已知，代入得：， ∴原式的值为． 故答案为：． 15．6 【分析】本题考查了因式分解与多项式乘以多项式，解题的关键是熟练掌握知识点的应用． 根据因式分解与多项式乘法的关系，比较系数得出整数a和b满足，且，列举所有整数对并计算p，得到不同的p值的个数． 【详解】解：整式因式分解为，则展开后得，与原式比较系数，有和， 由于a和b均为整数， ∴或，则； 或，则； 或，则； 或，则； 或，则； 或，则； 因此不同的值有，共6个， 故答案为：6． 16．61830 【分析】此题考查了因式分解的应用，将多项式分解因式后代入正整数求因式码，根据前两个因式码确定x和y的值，再计算第三个因式码并排序得到密码． 【详解】解：∵， ∴因式码分别为、、， ∵x，y分别取正整数， ∴， ∵前两个因式码为6和18， ∴，， ∴， ∴， ∴三个因式码为6、18、30，按从小到大顺序排列形成密码61830． 故答案为：61830． 17．(1)； (2)． 【分析】本题主要考查的是因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． （1）先提取公因式，再运用完全平方公式进行因式分解即可； （2）先提取公因式，再运用平方差公式进行因式分解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 18．(1)6， (2) (3) 【分析】本题主要考查了单项式乘以多项式的运算，多项式除以单项式的运算，代数式求值，分解因式，正确计算是解题的关键． （1）根据单项式乘以多项式的运算法则求出的结果，再根据题意可得，据此可得a、b的值； （2）根据多项式除以单项式的运算法则求解即可； （3）利用提公因式法分解因式得到，据此代入求值即可． 【详解】（1）解： ， 由题意得，， ∴， ∴； （2）解：由（1）可得， ∴ ； （3）解：∵， ∴ 19．(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】本题考查了多项式乘法中的规律性问题，完全平方公式的应用，因式分解的应用，根据已知等式得出变化规律是解题的关键． （1）根据已知式子得出变化规律即可； （2）根据完全平方公式和提公因式法对式子变形即可得证； （3）根据提公因式法对式子变形即可得证． 【详解】（1）解：观察可知：； （2）证明： ， 十位数字是，个位数字是的两位数的平方是； （3）证明： ， 是至的整数， 是整数， 是的倍数． 20．(1) (2) 【分析】本题考查因式分解的应用： （1）原式常数项化为，利用完全平方公式化简，再利用平方差公式求解即可； （2）将原式的前两项利用完全平方公式配平方，再利用非负数的性质确定最小值即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ∵， ∴当时，有最小值． 21．(1)； (2)见解析 (3)或． 【分析】本题考查整式的运算，掌握因式分解、平方差公式以及多项式乘以多项式是解题的关键，． （1）根据分解因式的方法-分组分解法分解因式即可； （2）不等式左边分解因式后，根据两边之和大于第三边验证即可； （3）先进行因式分解，然后解方程组即可得到结论． 【详解】（1）解： （2）证明： ， ∵，， ∴，， ∴， 则； （3）解：∵ ∴， ∴， ∴， ∵x，y为整数， ∴与也是整数， ∴， ∴或， ∴或． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $