13章三角形（暑假预习课）第2026-2027学年数学八年级上册人教版

**基本信息** 聚焦三角形核心概念与性质，通过基础巩固、中档应用、综合提升三层设计，构建从单一知识点到实际问题解决的递进路径，适配暑假预习需求，培养几何直观与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|三角形高/中线/三边关系|单选题1-4、填空题11-12，直接考查概念辨析与基本计算| |中档|内角和/等腰三角形/重心性质|单选题5-8、填空题13-15，结合图形分析角与面积关系| |提升|综合应用与动态问题|解答题19-21，涉及分类讨论、网格作图及运动情境下的角关系推理|

（暑假预习课）第13章三角形-2026-2027学年数学八年级上册人教版（新教材） 一、单选题 1．作的边上的高，其中直角三角板摆放正确的是（    ） A． B． C． D． 2．一把直尺与含的直角三角板如图所示放置，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 3．等腰三角形的两边长分别为3和7，则它的周长为（    ） A．13 B．17 C．13或17 D．10 4．如图，的面积为6，为中边上的中线，则的面积为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．如图，三边的中线，，的公共点为，若，则图中阴影部分面积为（    ） A． B． C． D． 6．如图，是的角平分线，B，C，E三点共线，则α，β，γ之间的数量关系是（    ） A． B． C． D． 7．如图，，，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 8．已知的三个内角，，满足关系式，则此三角形（   ） A．一定有一个内角为 B．一定有一个内角为 C．一定是直角三角形 D．一定是钝角三角形 9．如图，O是的重心，，，的延长线分别交，，于点D，E，F，则下列结论一定成立的是（   ） A．平分 B． C．平分 D． 10．为了方便市民绿色出行和锻炼身体，政府倡导大家使用共享单车．图①是一辆共享单车放在水平地面上的实物图，图②是其示意图，其中都与地面平行，．当时，的度数为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 11．三角形的三边长分别为7，11，，则的取值范围是______． 12．在中，，，垂足为，，那么的大小是___________． 13．如图，三角形中，，是边上两点，连接，，数一数图中角（小于平角）的个数，一共有________个． 14．一副直角三角尺如图摆放，点D在的延长线上，，则的度数是___． 15．已知一个三角形的三条边的长分别为，，． （1）若这个三角形是等腰三角形，则它的三边的长为________； （2）若这个三角形的三条边都不相等，且n为正整数，则n的最大值为________． 16．数学兴趣小组的同学用一个支点顶住一个三角形均质薄板（如图1），慢慢调整薄板，使其能够在支点上保持平衡，标记这个位置即薄板与支点的接触点为，则点是薄板的重心．小组成员把三角形薄板取下来，标记为（如图2），连接，延长交于点D，则_______（填“>”“=”或“<”）． 三、解答题 17．如图，在中,是边上的中线,周长比周长多的周长L为长为，求和的长． 18．已知，c是的三边长． (1)已知，求c的取值范围； (2)若，且的周长不超过，求a的取值范围． 19．如图，在中，，是它的高线，E为边上一点，连接． (1)若是的角平分线，，求的度数； (2)若是的中线，，，求的面积． 20．图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图，保留作图痕迹． (1)在图①中，作的中线． (2)在图②中，在边上找一点，连接，使的面积为． 21．如图①，已知，，点为直线上一动点．    (1)求证：； (2)作射线交直线于点，交直线于点，且．当点运动到如图②所示的位置时，请直接在图中补全图形，并直接用等式写出与之间的数量关系． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《（暑假预习课）第13章三角形-2026-2027学年数学八年级上册人教版（新教材）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C A B C C C D B A C 1．C 【分析】本题考查了三角形高的定义，从三角形的一个顶点出发向对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高，根据高的定义即可得出结论，熟知三角形高的定义是解题的关键． 【详解】解：、作出的是中边上的高，故本选项错误，不符合题意； 、不能作出中边上的高，故本选项错误，不符合题意； 、作出的是中边上的高，故本选项正确，符合题意； 、不能作出中边上的高，故本选项错误，不符合题意； 故选：． 2．A 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理，熟练掌握平行线的性质，三角形内角和定理的应用是解题的关键． 由得到，根据三角板可得，再由三角形内角和定理得到，据此即可求解． 【详解】解：如图， 由题意得，， ∴ ∴， 故选：A． 3．B 【分析】本题考查了三角形三边关系，等腰三角形的定义，分情况讨论是解题的关键．分两种情况讨论等腰三角形的腰长，结合三角形三边关系判断能否构成三角形，进而求出周长. 【详解】解：①当腰长为3时， ，不满足三角形两边之和大于第三边， ∴此情况不能构成三角形； ②当腰长为7时， ，满足三角形三边关系， ∴周长， 综上，该等腰三角形的周长为17． 故选：B． 4．C 【分析】本题考查了三角形的中线等分三角形面积，据此即可求解． 【详解】解：∵的面积为6，为中边上的中线， ∴， 故选：C． 5．C 【分析】本题考查了有关三角形中线的三角形面积计算，由中线得，，， ，，进行转化，即可求解． 【详解】解：三边的中线，，的公共点， ，，， ， ∴ ， ， ， 设， ， ， ， ， 解得， 阴影部分面积为， 故选：C． 6．C 【分析】本题主要考查的是三角形的角平分线的定义、三角形的外角的性质等知识点，弄清角之间的关系是解题的关键． 设，则，利用外角可得，，再进一步即可解答． 【详解】解：设，则， ∴，， ∴， ∴，即． 故选：C． 7．D 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形的外角性质，由，得，由三角形的外角性质可得，然后代入即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，， ∴， 故选：． 8．B 【分析】本题考查了三角形内角和的应用，利用三角形内角和定理，结合给定条件求解∠A的度数，即可得解． 【详解】解：∵，， ∴ ∴． ∴三角形一定有一个内角为， 故选：B． 9．A 【分析】本题考查了三角形重心的概念，由题意可得、、均为的中线，由此逐项分析即可得出结果，熟练掌握三角形重心的概念是解此题的关键． 【详解】解：∵O是的重心，，，的延长线分别交，，于点D，E，F， ∴、、均为的中线， ∴平分，故A选项结论成立，符合题意； 故不一定垂直，不一定平分，不一定等于，故B、C、D选项结论不成立，不符合题意； 故选：A． 10．C 【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质，三角形内角和定理，解题的关键是掌握以上性质． 根据平行线得出相等角，然后利用三角形的内角和定理得出，然后再用平行线的性质进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵都与地面平行， ∴， ∴， 故选：C． 11． 【分析】此题考查三角形三边关系定理，即任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． 根据三角形三边关系作答即可． 【详解】解：∵三角形的三边长分别为7，11，， ∴， 即． 故答案为：． 12．/42度 【分析】本题主要考查了直角三角形两锐角互余，根据直角三角形两锐角互余求出的度数，再由垂线的定义得到，则同理可求出的度数． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵，垂足为， ∴， ∴， 故答案为：． 13． 【分析】本题主要考查了角的计数，熟练掌握按顶点分类计数、不重复不遗漏地数出所有角是解题的关键．先按顶点分类，依次找出以点、、、、为顶点的所有小于平角的角，再将各类角的数量相加得到总数． 【详解】解：以点为顶点的角：，共个， 以点为顶点的角：，，，，，，共个， 以点为顶点的角：，，共个， 以点为顶点的角：，，共个， 以点为顶点的角：，共个， ， 故答案为： 14．/15度 【分析】本题考查平行线性质，三角尺角度，角度计算等．根据题意可知，再利用平行线性质可得，继而求得本题答案． 【详解】解：∵一副直角三角尺， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 15． 5，9，9 7 【分析】本题考查了三角形三边关系，等腰三角形的定义，不等式组的应用，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据题意，可知或，然后再根据三角形三边关系判断是否能构成三角形即可； （2）根据题意，可得，然后即可解出的范围，结合其是整数，即可得出答案． 【详解】解：（1）∵一个三角形的三条边的长分别为，，，当这个三角形是等腰三角形， ∴或， ∴或， 当时，三角形的三边分别是3，7，3，其中，不能构成三角形，故舍去； 当时，三角形的三边分别是5，9，9，其中，能构成三角形； 故答案为：5，9，9； （2）∵一个三角形的三条边的长分别为，，． ∴， ∴， ∵n为正整数， ∴n的整数取值为2，3，4，5，6，7， 又∵三条边都不相等， ∴； 故n的取值为2，4，5，6，7， ∴n的最大值为7． 当时，三角形三边分别为9，13，21，其中，能构成三角形，且三边都不相等，符合题意； 故答案为：7． 16．＝ 【分析】本题考查重心的定义，三角形中线的性质．根据点O是的重心可得是中线，根据三角形的中线将三角形分为两个面积相等的小三角形即可解答． 【详解】解：∵点O是的重心， ∴是的中线， ∴． 故答案为：＝． 17． 【分析】本题考查了三角形中线的性质及周长的计算，解题的关键是利用中线得出，再结合周长差得到与的关系． 根据三角形中线的定义，，所以和的周长之差也就是与的差，然后列出二元一次方程组，求解即可． 【详解】解：由三角形中线可知，， ∴， 即①， ∵的周长L为长为， ∴，即②， ①②得， 解得， ②①得， 解得． 18．(1) (2) 【分析】本题考查了三角形三边关系及不等式的求解，解题的关键是根据三角形三边关系“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”列不等式（组）． （1）根据三边关系，列求解； （2）先根据三边关系列不等式组确定的初步范围，再结合周长不超过24的条件，进一步确定的取值范围． 【详解】（1）解：∵，， 由三角形三边关系得：，即， 答：的取值范围是． （2）解：由三角形三边关系：， 化简得，解得． 又∵周长，即， ， ，解得， 综上，， 答：的取值范围是． 19．(1) (2) 【分析】本题考查了三角形内角和定理，三角形的中线与高，掌握这些知识是解题的关键； （1）由角平分线可得的度数，由是的高，即可求得； （2）利用三角形面积公式求得，再利用三角形中线求解即可． 【详解】（1）解：∵是的角平分线，， ∴， ∵是的高， ∴，即， ∴， ∴； （2）解：∵，，， ∴， ∵是的中线， ∴． 20．(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了应用三角形的中线定义和性质作图，解决本题的关键是准确利用网格作图． （1）根据网格找到的中点即可； （2）根据，利用三角形的中线将三角形分成面积相等的两个三角形，根据网格找到的中点，连接即可． 【详解】（1）解：如图①，中线即为所求； （2）解：如图②，点即为所求． 21．(1) 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； (2) 依题意，如图，    【分析】本题考查平行线的判定与性质、三角形的外角性质，会利用三角形的外角性质和平行线的性质探究角之间的关系是解答的关键． （1）利用平行线的判定与性质证得结论即可； （2）先根据题干叙述画出图形，根据平行线的性质得到，再根据三角形的外角性质得到，进而整理可得结论． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， 则， ∵，， ∴， 即， ∴． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $