第16章《整式的乘法》单元测试卷 2026-2027学年人教版八年级数学上册

**基本信息** 《整式的乘法》单元测试卷，满分150分，时长120分钟，覆盖幂的运算、乘法公式等核心知识，通过基础巩固、规律探究及实际应用的梯度设计，培养抽象能力、推理意识与应用意识，适配初中数学单元复习需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|10/40|幂的运算、乘法公式应用|如第3题结合正方体表面积考查幂的乘方，体现几何直观| |填空题|6/24|代数式求值、新定义运算|第15题引入“i”的运算规律，培养创新意识与符号意识| |解答题|9/86|规律探究、数形结合、实际应用|第19题用几何图形面积表示代数恒等式，体现数形结合；第20题社区净化废水问题，培养应用意识；第25题“完美数”定义探究，发展推理能力|

《整式的乘法》 单元测试卷 满分：150分；时长：120分钟 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分，在每个小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。） 1．已知，则的值为（   ） A．19 B．22 C．25 D．28 【答案】A 【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用，正确对完全平方公式进行变形是解题的关键． 先利用完全平方公式的变形，再将整体代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴ ． 故选A． 2．已知，则下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵与不是同类项，不能合并计算， ∴A错误； ∵， ∴B错误； ∵， ∴C错误； ∵， ∴D正确． 3．如果一个正方体棱长扩大到原来的2倍，则表面积扩大到原来的（    ） A．2倍 B．4倍 C．8倍 D．16倍 【答案】B 【分析】设原来的正方体的棱长为a，则变化后的正方体的棱长为2a，然后分别求出变化前后的正方体表面积，进而问题可求解． 【详解】解：设原来的正方体的棱长为a，则变化后的正方体的棱长为2a， 原来的表面积：a×a×6＝6a2， 变化后的表面积：2a×2a×6＝24a2， 而24a2÷6a2＝4， 故选：B． 【点睛】本题主要考查整式的乘除法的应用，解题的关键是熟知正方体的表面积． 4．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查整式的运算及有理数的运算，根据有理数的减法，有理数的除法，合并同类项及单项式的乘法依次对各选项逐一判断即可．掌握相应的运算法则是解题的关键． 【详解】解：A．，故此选项不符合题意； B．，故此选项不符合题意； C．，故此选项符合题意； D．，故此选项不符合题意． 故选：C． 5．若，，则的值为（    ） A．1 B．2 C．4 D．9 【答案】A 【分析】此题主要考查了平方差公式的应用，直接利用平方差公式对等式左边分解因式，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故选：． 6．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据合并同类项、同底数幂的乘除法、幂的乘方运算法则逐一判断即可． 【详解】A、与不是同类项，不能合并，A错误； B 、根据同底数幂除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减，，B错误； C、根据同底数幂乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，，C错误； D、根据幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘，，D正确． 故选：D． 7．下列各式计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了单项式乘以单项式，掌握单项式乘以单项式的运算法则是解题的关键． 利用单项式乘以单项式的运算法则逐项判断即可． 【详解】解：A．，故该选项错误，不符合题意； B．，故该选项正确，符合题意； C．，故该选项错误，不符合题意；     D．，故该选项错误，不符合题意． 故选B． 8．若的积中不含的二次项，则常数的值为（　　） A．0 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据多项式乘多项式和的积中不含x的二次项，可以求得m的值，本题得以解决． 【详解】解：， ∵的积中不含x的二次项， ∴， 解得，， 故选：C． 【点睛】本题考查多项式乘多项式，解答本题的关键是明确不含x的二次项，说明多项式乘多项式的展开式中二次项的系数为零． 9．计算下列各式，其结果是的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了整式的混合运算，利用乘法公式逐一计算判断即可，熟练计算是解题的关键． 【详解】解：A、，符合题意； B、，不符合题意； C、，不符合题意； D、，不符合题意， 故选：A． 10．下列各式中，计算结果为的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查合并同类项以、同底数幂的乘除法、积的乘方等知识，分别根据运算法则计算后再进行判断即可 【详解】解：A．，故选项不符合题意； B．，故选项符合题意； C. ，故选项不符合题意； D. ，故选项不符合题意； 故选：B． 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分。） 11．_________ 【答案】24 【分析】根据同底数幂的乘法运算法则的逆运算进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴=3×8=24， 故答案为：24． 【点睛】本题考查同底数幂的乘法，熟练掌握同底数幂的乘法运算法则及其逆运算是解答的关键． 12．若，，则的值为___________． 【答案】4 【分析】本题考查同底数幂相除，求代数式的值．根据题意先将整理为，继而得到本题答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 13．已知：，，，则的值＝______． 【答案】 【分析】逆用同底数幂的乘除法，逆用幂的乘方，进而即可求解． 【详解】解：，，， 故答案为： 【点睛】本题考查了同底数幂的乘除法，幂的乘方，掌握同底数幂的乘除法法则，幂的乘方法则是解题的关键． 14．计算的值是______． 【答案】 【分析】先把相乘的两项变形成指数相同，再逆用积的乘方公式即可得到解答． 【详解】解：原式= = =． 故答案为 ． 【点睛】本题考查幂的应用，熟练掌握积的乘方公式并灵活运用是解题关键． 15．我们规定一个新数“i”，使其满足i1＝i，i2＝﹣1，并且进一步规定：一切有理数可以与新数进行四则运算，且原有的运算律和运算法则仍然成立，于是有i1＝i，i2＝﹣1，i3＝i2•i＝﹣i，i4＝i2•i2＝﹣1×（﹣1）＝1．那么i6＝____，i1+i2+i3+…+i2022+i2023＝____． 【答案】 -1 -1 【分析】各式利用题中的新定义计算即可求出值． 【详解】解：i6=i5•i=-1， 由题意得，i1＝i，i2＝﹣1，i3＝i2•i＝﹣i，i4＝i2•i2＝﹣1×（﹣1）＝1，i5=i4•i=i，i6=i5•i=-1， 故可发现4次一循环，一个循环内的和为0， 2023÷4=505…3 i1+i2+i3+…+i2022+i2023=505×0+（i-1-i）=-1． 故答案为：-1，-1． 【点睛】本题考查了同底数幂的乘法运算，解答本题的关键是计算出前面几个数的值，发现规律，求出一个循环内的和再计算，有一定难度． 16．若（n为正整数），则的值为 _____． 【答案】8 【分析】利用幂的乘方与积的乘方的法则进行运算即可． 【详解】解：当时， ． 故答案为：8． 【点睛】本题主要考查幂的乘方与积的乘方，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． 三、解答题（本大题共9小题，满分86分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。） 17．（本题6分）先化简再求值：，其中 【答案】； 【分析】此题主要考查了整式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键． 直接利用整式的混合运算法则化简，再代入求值即可． 【详解】解：原式 ∵， ∴， 当时，原式． 18．（本题6分）观察下列各式： ； ； ． (1)请你按照以上各式的运算规律，填空． ①　　； ②　　； ③　　． (2)应用规律计算： ． 【答案】(1)①；②；③； (2) 【分析】（1）根据材料中的规律可得结论； （2）先将分解为，再分别与后两项组合为立方和，立方差公式，最后再根据平方差公式进行计算即可． 【详解】（1）①； ②； ③． 故答案为：①；②；③； （2） ． 【点睛】本题考查了平方差公式及整式的混合运算，能根据求出的算式得出规律是解此题的关键． 19．（本题8分）先阅读材料，再解答问题． 我们已经知道，完全平方公式可以用平面几何图形的面积来表示，实际上还有一些代数恒等式也可以用这种形式来表示，例如，就可以用图1或图2等图形的面积表示． (1)请写出图3中所表示得代数恒等式． (2)试画出一个几何图形，使它的面积能表示代数恒等式：． 【答案】(1) ． (2)见解析． 【分析】（1）根据数据表示出矩形的长与宽，再根据矩形的面积公式写出等式的左边，再表示出每一小部分的矩形的面积，然后根据面积相等即可写出等式． （2）根据题目的要求和恒等式的意义即可画出图形． 【详解】（1）根据图形可得： 故答案为． （2）画图如下： 【点睛】本题考查了完全平方公式的几何背景，根据矩形的面积公式分整体与部分两种思路表示出面积，然后再根据同一个图形的面积相等即可，充分理解题意是解答本题的关键． 20．（本题8分）某社区要净化满满一池废水，长方体水池的长为、宽为、高为，已知净化速度为，则这池废水需要多长时间能净化完． 【答案】 【分析】本题考查单项式乘以单项式，单项式除以单项式的运算，求出长方体的体积，再除以速度，即可得出结果． 【详解】解：长方体废水池中废水的体积为， ∵净化速度为， 净化废水所需时间为． 答：这池废水需要能净化完． 21．（本题8分）利用我们学过的知识，可以导出下面这个形式优美的等式：，该等式从左到右的变形，不仅保持了结构的对称性，还体现了数学的和谐、简洁美． (1)请你展开右边检验这个等式的正确性． (2)利用上面的式子计算：． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了完全平方公式： （1）利用完全平方公式先去括号，然后合并同类项化简即可证明结论； （2）根据（1）所求可得原式，据此计算求解即可． 【详解】（1）证明： ， ∴式子正确； （2）解： ． 22．（本题10分）观察下列等式： ； ； ； ； … 根据上述规律，解答下列问题： (1)填空：　　，　　； (2)用含n（n是正整数）的等式表示这一规律，证明你的结论是正确的． 【答案】(1)48，72 (2)，见解析 【分析】（1）按题所给算式计算即可； （2）分别探索三个数列的规律，再按照等式形式表示即可，将结论按照平方差公式展开计算即可． 【详解】（1），， 故答案为：48，72． （2）由数列3，5，7，，得第个数为：， 由数列1，3，5，，得第个数为：， 由数列8，16，24，，得第个数为：， 该等式的规律为：． 等式左边： ， 结论正确． 【点睛】本题考查了数字规律的探究，平方差公式的应用是解题关键． 23．（本题12分）若且满足，求的值． 解：设， 则， ， ， 请仿照上面的方法解答下面的问题： (1)若且满足，求的值． (2)如图，已知正方形的边长为x，E，F分别是上的点，且，长方形的面积是48，分别以为边长作正方形和正方形，求阴影部分的面积． 【答案】(1) (2)阴影部分的面积为 【分析】本题考查的是完全平方公式的变形求值，根据题意列出正确的算式并进行计算是关键， （1）设，则，，根据完全平方公式变形求值即可； （2）根据题意得出，设，则，再根据完全平方公式变形求值即可． 【详解】（1）解：设， 则， ， ； （2）解：由题意得：正方形的边长为，正方形的边长为， 长方形的面积是48， ， 设， 则， ， ， 阴影部分的面积为． 24．（本题14分）华罗庚先生指出：“数无形时少直觉，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”，我们常借助几何图形解释或分析代数问题．如图1，是一个面积为的图形，同时此图形中有个边长为的正方形，个边长为的正方形，个两边长分别为和的长方形，从而可以得到乘法公式． (1)如图2，若，，则图中阴影部分的面积为________． (2)观察图3， ①从图3中得到________． ②根据得到的结论，解决问题： 若，，，求代数式的值． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）根据乘法公式，将，代入计算即可； （2）①根据图中正方形面积的两种表示方法，即可求解； ②根据①中的结果，代入求出，根据多项式乘多项式的运算法则求出，将，，代入计算，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， 将，代入，可得， 整理得， ． （2）解：①图是一个面积为的图形， 同时此图形中有个边长为的正方形，个边长为的正方形，个边长为的正方形，个两边长分别为和的长方形，个两边长分别为和的长方形，个两边长分别为和的长方形， 从而可以得到公式． ②∵， ∴， 将，代入，可得， 整理得； ∵， ， ， ， 故， 将，，代入，可得， 整理得． 25．（本题14分）定义：若一个整数能表示成（，是非负整数）的形式，则称这个数为“完美数”． 例如：因为，所以13是“完美数”； (1)在6，26，99中，是“完美数”的是________； (2)已知（是整数，是常数），要使为“完美数”，试写出符合条件的一个值________； (3)如果数，都是“完美数”，求证：也是“完美数”． 【答案】(1) (2)（答案不唯一） (3)证明：，都是“完美数”， 可设，，其中，，，都是非负整数． 对式子变形配方： 整理得． ， ，，，都是非负整数， ，都是整数，平方后均为非负整数． 可以表示为两个非负整数的平方和． 也是“完美数”． 【分析】（1）根据定义，逐一验证三个数能否表示为两个非负整数的平方和，即可得到结果． （2）对M进行配方，将其整理为一个完全平方式加常数的形式，只需使常数项为非负整数的平方，即可得到符合条件的k． （3）先将m，n分别表示为两个非负整数的平方和，展开后配方，将整理为两个非负整数的平方和，即可完成证明． 【详解】（1）解： 对三个数逐一验证： 6无法写成两个非负整数的平方和，不是“完美数”； ，符合“完美数”的定义，是“完美数”． 99无法写成两个非负整数的平方和，不是“完美数”． （2）对配方得： ． 由平方性质可得：，为整数，则必然是非负整数， 根据“完美数”定义，只需是一个非负整数的平方即可． 取，得， 此时，符合要求， 因此是一个符合条件的值，答案不唯一． （3）略 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 《整式的乘法》 单元测试卷 满分：150分；时长：120分钟 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分，在每个小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。） 1．已知，则的值为（   ） A．19 B．22 C．25 D．28 2．已知，则下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 3．如果一个正方体棱长扩大到原来的2倍，则表面积扩大到原来的（    ） A．2倍 B．4倍 C．8倍 D．16倍 4．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 5．若，，则的值为（    ） A．1 B．2 C．4 D．9 6．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 7．下列各式计算正确的是（    ） A． B． C． D． 8．若的积中不含的二次项，则常数的值为（　　） A．0 B． C． D． 9．计算下列各式，其结果是的是（　　） A． B． C． D． 10．下列各式中，计算结果为的是（     ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分。） 11．_________ 12．若，，则的值为___________． 13．已知：，，，则的值＝______． 14．计算的值是______． 15．我们规定一个新数“i”，使其满足i1＝i，i2＝﹣1，并且进一步规定：一切有理数可以与新数进行四则运算，且原有的运算律和运算法则仍然成立，于是有i1＝i，i2＝﹣1，i3＝i2•i＝﹣i，i4＝i2•i2＝﹣1×（﹣1）＝1．那么i6＝____，i1+i2+i3+…+i2022+i2023＝____． 16．若（n为正整数），则的值为 _____． 三、解答题（本大题共9小题，满分86分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。） 17．（本题6分）先化简再求值：，其中 18．（本题6分）观察下列各式： ； ； ． (1)请你按照以上各式的运算规律，填空． ①　　； ②　　； ③　　． (2)应用规律计算： ． 19．（本题8分）先阅读材料，再解答问题． 我们已经知道，完全平方公式可以用平面几何图形的面积来表示，实际上还有一些代数恒等式也可以用这种形式来表示，例如，就可以用图1或图2等图形的面积表示． (1)请写出图3中所表示得代数恒等式． (2)试画出一个几何图形，使它的面积能表示代数恒等式：． 20．（本题8分）某社区要净化满满一池废水，长方体水池的长为、宽为、高为，已知净化速度为，则这池废水需要多长时间能净化完． 21．（本题8分）利用我们学过的知识，可以导出下面这个形式优美的等式：，该等式从左到右的变形，不仅保持了结构的对称性，还体现了数学的和谐、简洁美． (1)请你展开右边检验这个等式的正确性． (2)利用上面的式子计算：． 22．（本题10分）观察下列等式： ； ； ； ； … 根据上述规律，解答下列问题： (1)填空：　　，　　； (2)用含n（n是正整数）的等式表示这一规律，证明你的结论是正确的． 23．（本题12分）若且满足，求的值． 解：设， 则， ， ， 请仿照上面的方法解答下面的问题： (1)若且满足，求的值． (2)如图，已知正方形的边长为x，E，F分别是上的点，且，长方形的面积是48，分别以为边长作正方形和正方形，求阴影部分的面积． 24．（本题14分）华罗庚先生指出：“数无形时少直觉，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”，我们常借助几何图形解释或分析代数问题．如图1，是一个面积为的图形，同时此图形中有个边长为的正方形，个边长为的正方形，个两边长分别为和的长方形，从而可以得到乘法公式． (1)如图2，若，，则图中阴影部分的面积为________． (2)观察图3， ①从图3中得到________． ②根据得到的结论，解决问题： 若，，，求代数式的值． 25．（本题14分）定义：若一个整数能表示成（，是非负整数）的形式，则称这个数为“完美数”． 例如：因为，所以13是“完美数”； (1)在6，26，99中，是“完美数”的是________； (2)已知（是整数，是常数），要使为“完美数”，试写出符合条件的一个值________； (3)如果数，都是“完美数”，求证：也是“完美数”． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $