第十三章 三角形 重难点检测卷-（暑期衔接课堂） 2026--2027学年人教版八年级数学上册

**基本信息** 本卷为八年级三角形单元检测卷（满分100分，120分钟，26题），全面覆盖三角形分类、性质、重心等核心知识，通过生活情境（篝火架、负重训练）与数学思想（方程思想、化归思想）融合，适配暑假巩固提升，体现几何直观、推理意识与应用意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/20|三角形分类、三边关系、中点性质|结合直角三角尺操作（第5题），考查几何直观| |填空题|8/16|等腰三角形性质、第三边范围、稳定性|以篝火节三角架（第13题）体现三角形稳定性，渗透文化传承| |解答题|8/64|等腰三角形计算、中线与面积、重心探究|设计重心性质分层探究（第23、26题），从基础证明到拓展应用，培养推理能力与创新意识|

第十三章 三角形重难点检测卷 （满分100分，考试时间120分钟，共26题） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：三角形全章内容； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 1、 选择题（10小题，每小题2分，共20分） 1．（25-26八年级上·全国·课后作业）用A表示等边三角形，B表示等腰三角形，C表示三边都不相等的三角形．下列四个分类图中，能正确表示它们之间关系的是（   ） A．   B．   C．   D．   2．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）在下面的四个盒子中，每个盒子里都有两根小棒，把其中的一根小棒用剪刀按图中所示的位置剪成两段，这两段小棒再与另一根小棒首尾相接，能够围成一个三角形的是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·全国·阶段检测）如图，在△中，点、分别是边、的中点，连接、，若的面积为8，则△的面积等于（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 4．（24-25七年级下·四川达州·期中）如图，在中，是高，是中线，是角平分线，交于点，交于点，给出以下结论：；；；；；，⑦，其中结论错误的有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 5．（25-26八年级上·河北衡水·期中）如图，老师将直角三角尺的一条直角边摆放在的边上，另一条直角边经过顶点C，则是的（   ） A．中线 B．高线 C．角平分线 D．中位线 6．（2026·安徽合肥·一模）已知，将一直角三角板如图放置，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 7．（25-26八年级上·云南昆明·期末）如图，在中，是上两点，且平分，下列说法中不正确的是（   ） A． B．是的角平分线 C．是的中线 D．是的高 8．（25-26八年级上·福建厦门·期末）平面图形的重心是指这个平面图形形状的匀质薄板的重心．下列图形中重心不一定在直线上的是（    ） A． B． C． D． 9．（2025·山西太原·模拟预测）数学思想方法是学生解决数学问题的根本思想和方法，是学生打开数学大门的钥匙，它蕴含于数学知识中，又产生数学知识．如图，在中，，和的平分线相交于点D，，那么的度数是多少？ 解题步骤如下解：设， ∵是的平分线， ∴ ∵ ∴ 由此得出方程 解方程得，即 本题解题思路应用的数学思想方法是（     ） A．数形结合思想方法 B．化归思想方法 C．方程思想方法 D．函数思想方法 10．（25-26八年级下·山东烟台·期末）一个小长方体木块静止在斜面上，其受力分析如图，重力的方向与水平地面垂直，摩擦力的方向与斜面平行，支持力的方向与斜面垂直．若斜面的坡角，则支持力与重力方向的夹角的度数是（     ） A． B． C． D． 二、填空题（8小题，每小题2分，共16分） 11．（24-25八年级上·新疆阿克苏·期中）如图，是等腰三角形，点是底边上任意一点，、分别与两边垂直，等腰三角形的腰长为5，面积为12，则的值为________． 12．（25-26八年级上·陕西渭南·期末）若一个三角形的两边长分别为11和4，则这个三角形的第三边长可能是_______．（只写一个） 13．（25-26七年级下·全国·课后作业）每年的6月18日是鄂伦春族的传统节日——篝火节，篝火就是在野外营地里配上三角竹架的火堆．如图所示的是一款户外露营便携篝火架，这样设计的原理是____________________． 14．（25-26八年级上·浙江温州·期中）如图，是的中线，是的中线，于点．若，，则长为_____ ． 15．（2026·湖南岳阳·一模）如图，体育课上，张老师用旧轮胎帮助同学们进行负重训练，绳子与水平地面的夹角为，绳子与人体的夹角，则人体的倾斜角__________°． 16．（25-26八年级上·广东阳江·期末）重心是个物理名词，从效果上看，我们可以认为物体所受重力的合力集中于一点，这一点叫物体的重心．三角形三条中线的交点叫三角形的重心；如图，点G为的重心，则______． 17．（2025·四川内江·模拟预测）如果一个等腰三角形的顶角为，那么其底边与腰之比等于．我们把这样的等腰三角形称作黄金三角形．如图，在中，，，看作第一个黄金三角形；作的平分线，交于点D，看作第二个黄金三角形；作的平分线，交于点E，看作第三个黄金三角形；…以此类推，第n个黄金三角形的腰长是______________． 18．（24-25八年级上·安徽安庆·期中）（1）生活中处处需要和谐，几何学也如此，如图1所示的图形我们称之为“和谐8字形”，则，之间的数量关系_____． （2）在图2中和的平分线和相交于点，交叉形成了多个“和谐8字形”，若，，那么的度数是_____． 三、解答题（8小题，共64分） 19．（24-25八年级上·浙江绍兴·期末）一个等腰三角形的周长是． (1)若腰长是底边长的2倍，求这个等腰三角形各边的长． (2)若其中一边的长为，求这个等腰三角形其余两边的长． 20．（25-26八年级上·云南昆明·期中）已知的三边长分别为，其中． (1)当为偶数时，求的值； (2)当为等腰三角形时，求的周长． 21．（25-26八年级上·河南驻马店·期中）如图，的角平分线和高线交于点，，．求的度数． 22．（25-26八年级上·安徽安庆·期末）如图，在中，点在边的延长线上，．求证：． 23．（25-26八年级上·河南开封·期中）如图①，用一根细绳从质地均匀的三角形薄板的重心处穿过，并将其悬挂在支架上，观察发现三角形薄板正好保持水平，数学兴趣小组对产生这一现象的原因进行了探究．请你帮助他们完成下列问题： (1)如图②，小组成员在三角形薄板上画出中线，可以得到_______（填“”“”或“”）； (2)如图③，三角形薄板的三条中线相交于点，试判断三角形薄板被三条中线所分成的六个小三角形的面积之间的数量关系，并说明理由； (3)结合（2）中的结论，直接写出的值． 24．（25-26七年级下·四川乐山·期末）解决下列问题： (1)如图1，在中，，的平分线与外角的平分线交于点，求的度数； (2)如图2，已知四边形中，，的平分线与四边形的外角的平分线相交于点，求的度数． 25．（25-26八年级上·贵州贵阳·期末）小星想通过多边形分割三角形的活动探究多边形的边数、多边形内点的个数以及分割三角形的个数之间的关系，于是他做了如下操作：在一个n边形内部取m个点，连同n边形的n个顶点，逐步连接这些点，保证所有连线不再相交产生新的点，直到n边形内所有区域都变成三角形．设分得三角形的个数为y（不计被分割的三角形）． 【问题解决】 （1）如图①，当，时，_____；如图②，当，时，_____； 【问题探究】 （2）当时，直接写出n，m的值，并画出图形； 【拓展延伸】 （3）直接写出y，m，n之间的关系：_____． 26．（25-26七年级下·四川资阳·期末）综合实践： 定义：三角形三条中线的交点叫三角形的重心． 发现：如图①，将一块质地均匀的三角形纸板，用一根细线绳从重心处悬吊起来，发现纸板处于水平状态． 探究：关于三角形的重心还有哪些性质呢？ (1)如图②，是的中线，则与的面积关系为：_______（填>、<或=）； (2)如图③，点是的重心，猜想与的面积之间的关系，并说明理由； (3)如图③，点是的重心，三条中线、、分别交、、于点、、，求的值； (4)如图④，点是的重心，且，若，，求四边形的面积． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十三章 三角形重难点检测卷 （满分100分，考试时间120分钟，共26题） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：三角形全章内容； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 1、 选择题（10小题，每小题2分，共20分） 1．（25-26八年级上·全国·课后作业）用A表示等边三角形，B表示等腰三角形，C表示三边都不相等的三角形．下列四个分类图中，能正确表示它们之间关系的是（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】本题考查了三角形中各类三角形的概念，根据定义就能够找到它们彼此之间的包含关系. 三条边均不相等的三角形是不等边三角形；有两条边相等的三角形是等腰三角形；有三条边相等的三角形是等边三角形；根据概念就可找到它们之间的关系. 【详解】解：根据各类三角形的概念可知，B可以表示它们彼此之间的包含关系. 故选：B ． 2．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）在下面的四个盒子中，每个盒子里都有两根小棒，把其中的一根小棒用剪刀按图中所示的位置剪成两段，这两段小棒再与另一根小棒首尾相接，能够围成一个三角形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】A选项中小棒被剪刀剪成两段，这两段之差比上面那根小棒还长，不符合三角形的三边关系，无法围成三角形，不符合题意； B选项中小棒被剪刀剪成两段，这两段之和比下面那根小棒短，不符合三角形的三边关系，无法围成三角形，不符合题意； C选项中小棒被剪刀剪成两段，这两段之和比上面那根小棒长，这两段之差比上面那根小棒短，符合三角形的三边关系，可以围成三角形，符合题意； D选项中小棒被剪刀剪成两段，这两段之和与上面那根小棒长度相等，不符合三角形的三边关系，无法围成三角形，不符合题意． 3．（25-26八年级上·全国·阶段检测）如图，在△中，点、分别是边、的中点，连接、，若的面积为8，则△的面积等于（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题考查了根据三角形的中线求三角形的面积． 根据三角形的中线与面积的关系即可得到结论． 【详解】解：∵点是边的中点，的面积为8， ∴， ∵是的中点， ∴， 故选：C． 4．（24-25七年级下·四川达州·期中）如图，在中，是高，是中线，是角平分线，交于点，交于点，给出以下结论：；；；；；，⑦，其中结论错误的有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查的是三角形的角平分线、中线和高，掌握它们的定义是解题的关键．根据三角形的中线的性质判断①和④和⑦；根据直角三角形的两锐角互余以及对顶角相等判断②；根据角平分线的定义判断③，根据题意判断⑤，根据三角形的面积公式判断⑥． 【详解】解：是的中线， ，故④正确，符合题意； 是角平分线， ， ， ， ， ， ， ， ，故②正确，符合题意； ，， ，故③正确，符合题意； 由已知条件不能确定， 与的关系不能确定，故⑤错误，不符合题意； ∵不一定是的中点，无法证明，故①错误，不符合题意； ∴不一定是， ∴不一定等于， ∴不一定等于，即：不一定等于，故⑦错误； ∵，是高， ∴ ∴，故⑥正确 综上，其中结论错误的有3个． 故选：C． 5．（25-26八年级上·河北衡水·期中）如图，老师将直角三角尺的一条直角边摆放在的边上，另一条直角边经过顶点C，则是的（   ） A．中线 B．高线 C．角平分线 D．中位线 【答案】B 【详解】解：根据题意得：， ∴是的高线． 6．（2026·安徽合肥·一模）已知，将一直角三角板如图放置，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由三角形外角的性质可得的度数，再由平行线的性质即可得到的度数． 【详解】解：如图所示，∵， ∴， ∵， ∴． 7．（25-26八年级上·云南昆明·期末）如图，在中，是上两点，且平分，下列说法中不正确的是（   ） A． B．是的角平分线 C．是的中线 D．是的高 【答案】A 【分析】本题考查三角形的高线，三角形的角平分线定义，三角形的中线等知识点，能熟记知识点的内容是解此题的关键．利用和三角形中线的定义可判断C选项的正确；利用平分和角平分线的定义即可判断出B选项的正确；由三角形的高线的定义，可判断D选项的正确；利用角平分线的定义只能得到，但没有办法得到，可判断出A选项错误． 【详解】解：∵，即点E为中点， ∴是的中线，故C正确，不符合题意； ∵平分， ∴是的角平分线，故B正确，不符合题意； ∵，即， ∴是的高，故D正确，不符合题意； ∵平分， ∴． 但没有办法得到，故A错误，符合题意． 故选：A． 8．（25-26八年级上·福建厦门·期末）平面图形的重心是指这个平面图形形状的匀质薄板的重心．下列图形中重心不一定在直线上的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查重心． 根据重心的概念，对各选项进行分析判断即可． 【详解】解：A．由作图可知，为三角形的一条中线所在的直线，重心一定在直线上，不符合题意； B．为三角形的一条高所在的直线，重心不一定在直线上，符合题意； C．组合图形关于直线对称，重心一定在直线上，不符合题意； D．点为正方形的重心，点为长方形的重心，重心一定在直线上，不符合题意． 故选：B． 9．（2025·山西太原·模拟预测）数学思想方法是学生解决数学问题的根本思想和方法，是学生打开数学大门的钥匙，它蕴含于数学知识中，又产生数学知识．如图，在中，，和的平分线相交于点D，，那么的度数是多少？ 解题步骤如下解：设， ∵是的平分线， ∴ ∵ ∴ 由此得出方程 解方程得，即 本题解题思路应用的数学思想方法是（     ） A．数形结合思想方法 B．化归思想方法 C．方程思想方法 D．函数思想方法 【答案】C 【详解】解：解答过程通过设，然后建立方程求解，利用数学思想方法是方程思想方法． 10．（25-26八年级下·山东烟台·期末）一个小长方体木块静止在斜面上，其受力分析如图，重力的方向与水平地面垂直，摩擦力的方向与斜面平行，支持力的方向与斜面垂直．若斜面的坡角，则支持力与重力方向的夹角的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】重力与水平地面垂直，得．由，得，由对顶角得．摩擦力与斜面平行，故．支持力与斜面垂直，即与垂直，得．由周角得． 【详解】解：如图，设重力的作用线与斜面交于点，与水平地面交于点． ∵重力的方向与水平地面垂直， ∴． ， ∴． ． 摩擦力的方向与斜面平行， ， 支持力的方向与斜面垂直， 支持力的方向与摩擦力的方向垂直， ， ． 二、填空题（8小题，每小题2分，共16分） 11．（24-25八年级上·新疆阿克苏·期中）如图，是等腰三角形，点是底边上任意一点，、分别与两边垂直，等腰三角形的腰长为5，面积为12，则的值为________． 【答案】 【分析】本题考查等腰三角形的性质，利用三角形的面积，由求解即可． 【详解】解：连接， 由题意，， 由图知，， ∴， ∴， 故答案为：． 12．（25-26八年级上·陕西渭南·期末）若一个三角形的两边长分别为11和4，则这个三角形的第三边长可能是_______．（只写一个） 【答案】8（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了三角形的三边的关系，三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，据此求出第三边长的取值范围即可得到答案． 【详解】解：设第三边长为x， 由题意得，， ∴， ∴这个三角形的第三边长可能是8， 故答案为：8（答案不唯一）． 13．（25-26七年级下·全国·课后作业）每年的6月18日是鄂伦春族的传统节日——篝火节，篝火就是在野外营地里配上三角竹架的火堆．如图所示的是一款户外露营便携篝火架，这样设计的原理是____________________． 【答案】三角形的稳定性 【分析】本题考查了三角形的特性，熟练掌握“三角形具有稳定性”是解题的关键； 运用三角形稳定性这一知识来解释篝火架设计原理． 【详解】解：三角形具有稳定性：三角形的三条边长度确定后，它的大小和形状就不会改变． 故答案为：三角形的稳定性 ． 14．（25-26八年级上·浙江温州·期中）如图，是的中线，是的中线，于点．若，，则长为_____ ． 【答案】 【分析】本题考查的知识点是三角形的中线平分三角形面积，解题关键是熟练掌握三角形的中线的性质． 由三角形的中线性质得出，，推出，再根据三角形的面积公式即可得出答案． 【详解】解：是的中线， ， 是的中线， ， ， ， ， 即， 解得． 故答案为：． 15．（2026·湖南岳阳·一模）如图，体育课上，张老师用旧轮胎帮助同学们进行负重训练，绳子与水平地面的夹角为，绳子与人体的夹角，则人体的倾斜角__________°． 【答案】 75 【分析】根据三角形外角的性质解答即可． 【详解】解：∵是的外角，， ∴． 16．（25-26八年级上·广东阳江·期末）重心是个物理名词，从效果上看，我们可以认为物体所受重力的合力集中于一点，这一点叫物体的重心．三角形三条中线的交点叫三角形的重心；如图，点G为的重心，则______． 【答案】/ 【分析】本题考查重心的定义，三角形的中线分出的三角形的面积相等；根据重心可得点D，E，F为三边中点，然后根据三角形的中线分出的三角形的面积相等得到，然后根据同高的两个三角形的面积比等于对应边的比解答即可． 【详解】解：∵G为的重心， ∴，，是的中线，即，，是，，的中线， ∴，，，， ∴，即， 同理， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 17．（2025·四川内江·模拟预测）如果一个等腰三角形的顶角为，那么其底边与腰之比等于．我们把这样的等腰三角形称作黄金三角形．如图，在中，，，看作第一个黄金三角形；作的平分线，交于点D，看作第二个黄金三角形；作的平分线，交于点E，看作第三个黄金三角形；…以此类推，第n个黄金三角形的腰长是______________． 【答案】 【分析】本题主要考查等腰三角形的定义、与图形有关的规律探究等，正确理解题意是解题关键．由题意可知，第1个黄金三角形的腰长为1，第2个黄金三角形的腰长为，第3个黄金三角形的腰长为，…，依次类推，即可确定答案． 【详解】解：由题意可知，第1个黄金三角形的腰为， ∴第1个黄金三角形的腰长为1； 第2个黄金三角形的腰为，且， ∴，即第2个黄金三角形的腰长为； 第3个黄金三角形的腰为，且， ∴，即第3个黄金三角形的腰长为； …， 依次类推，第n个黄金三角形的腰长为． 故答案为：． 18．（24-25八年级上·安徽安庆·期中）（1）生活中处处需要和谐，几何学也如此，如图1所示的图形我们称之为“和谐8字形”，则，之间的数量关系_____． （2）在图2中和的平分线和相交于点，交叉形成了多个“和谐8字形”，若，，那么的度数是_____． 【答案】 【分析】（1）根据三角形的内角和得到，由对顶角相等即可得到结论； （2）根据题意可得，得到，根据角平分线得到，再根据得到，即可得到答案． 【详解】解：（1） 而， ； （2），， ， ， 和的平分线和相交于点， ， ， ． 三、解答题（8小题，共64分） 19．（24-25八年级上·浙江绍兴·期末）一个等腰三角形的周长是． (1)若腰长是底边长的2倍，求这个等腰三角形各边的长． (2)若其中一边的长为，求这个等腰三角形其余两边的长． 【答案】(1) (2)与，或与 【分析】本题考查一元一次方程的应用，等腰三角形的定义等知识，掌握分类讨论思想是解题的关键． （1）设等腰三角形的底边长为，则腰长为，根据“周长是”列方程求解即可； （2）根据等腰三角形的定义，分腰为与底为两种情况分别求出其他两边即可； 【详解】（1）解：设等腰三角形的底边长为，则腰长为， 由题意得：， 解得： ∴，这个等腰三角形的底边长为，腰长分别为，， 即各边长分别是； （2）当腰为时，底边长为： ， ∴其余两边分别为，此时能构成三角形； 当底为时，腰长为：， ∴其余两边分别为，此时能构成三角形； 综上所述：其余两边分别为与，或与． 20．（25-26八年级上·云南昆明·期中）已知的三边长分别为，其中． (1)当为偶数时，求的值； (2)当为等腰三角形时，求的周长． 【答案】(1) 4或6 (2) 12 【分析】本题考查了三角形的三边关系，熟知三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解题的关键； （1）根据三角形的三边关系可得，结合为偶数即可得到答案； （2）由题意可得或，再结合三角形的三边关系分类求解即可． 【详解】（1）解：∵的三边长分别为，其中， ∴， 即， ∴当为偶数时，或6； （2）解：当为等腰三角形时， ∵， ∴或， 当时，三角形的三边为2，2，5， 由于，此时不能构成三角形，故此种情况须舍去； 当时，三角形的三边为5，5，2，满足三角形的三边关系， 此时的周长． 21．（25-26八年级上·河南驻马店·期中）如图，的角平分线和高线交于点，，．求的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，三角形内角和定理，三角形的高的定义，由三角形内角和定理和角平分线的定义可推出的度数，再由三角形的高的定义得到的度数，再由三角形内角和定理和对顶角相等即可得到答案． 【详解】解：，， ， 平分， ， ∵是高线， ， ． 22．（25-26八年级上·安徽安庆·期末）如图，在中，点在边的延长线上，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了三角形的外角性质．根据三角形的外角性质得，结合，即可证明． 【详解】证明：由三角形的外角性质得， ∵， ∴，即． 23．（25-26八年级上·河南开封·期中）如图①，用一根细绳从质地均匀的三角形薄板的重心处穿过，并将其悬挂在支架上，观察发现三角形薄板正好保持水平，数学兴趣小组对产生这一现象的原因进行了探究．请你帮助他们完成下列问题： (1)如图②，小组成员在三角形薄板上画出中线，可以得到_______（填“”“”或“”）； (2)如图③，三角形薄板的三条中线相交于点，试判断三角形薄板被三条中线所分成的六个小三角形的面积之间的数量关系，并说明理由； (3)结合（2）中的结论，直接写出的值． 【答案】(1) (2)相等，理由见详解 (3) 【分析】本题考查三角形的综合应用，熟练掌握等底等高的三角形面积相等，中点的性质是解题的关键． （1）根据等底等高的三角形面积相等，直接可求即可得到答案； （2）设，根据题意可得，即可得到，三条中线分成的六个三角形面积相等； （3）由（2）可知，三条中线分成的六个三角形面积相等，每个小三角形的面积是大三角形面积的，则，由两个三角形高相等，则，即可得出． 【详解】（1）解：∵是中线， ∴， ∴与等底等高， ， 故答案为：； （2）解：三条中线分成的六个三角形面积相等， 理由如下： 设， ∵是的中点， ， ， ， ， ， ， ， ， 即三条中线分成的六个三角形面积相等； （3）解：由（2）可知，三条中线分成的六个三角形面积相等，则每个小三角形的面积是大三角形面积的， ， ， ∴，即的值为． 24．（25-26七年级下·四川乐山·期末）解决下列问题： (1)如图1，在中，，的平分线与外角的平分线交于点，求的度数； (2)如图2，已知四边形中，，的平分线与四边形的外角的平分线相交于点，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据角平分线得出，再由外角的定义得出，，然后求解即可； （2）根据四边形内角和为360度推出，由平角的定义和角平分线的性质得到，再根据三角形外角的性质可得答案． 【详解】（1）解：∵的平分线与外角的平分线交于点， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴； （2）解：∵四边形中，， ∴， ∴， ∴； ∵四边形的内角的平分线与外角的平分线相交于点， ∴， ∵， ∴． 25．（25-26八年级上·贵州贵阳·期末）小星想通过多边形分割三角形的活动探究多边形的边数、多边形内点的个数以及分割三角形的个数之间的关系，于是他做了如下操作：在一个n边形内部取m个点，连同n边形的n个顶点，逐步连接这些点，保证所有连线不再相交产生新的点，直到n边形内所有区域都变成三角形．设分得三角形的个数为y（不计被分割的三角形）． 【问题解决】 （1）如图①，当，时，_____；如图②，当，时，_____； 【问题探究】 （2）当时，直接写出n，m的值，并画出图形； 【拓展延伸】 （3）直接写出y，m，n之间的关系：_____． 【答案】（1）3，6；（2），，图见详解；（3） 【分析】本题主要考查了图形规律探索，利用数形结合正确找出三角形的个数与n边形内点的个数关系是解题的关键． （1）根据三角形内有1个点时，三角形个数为3；四边形内有2个点时，三角形个数为6； （2）根据四边形内有2个点时，三角形个数为6；四边形内有1个点时，三角形个数为4；得出三角形个数为5时，多边形是三角形，三角形内的点数大于1，验证即可； （3）由（1）（2）中的规律可得n边形的规律． 【详解】解：（1）如图①，三角形内有1个点时，三角形个数为3， 即当，时，； 如图②，四边形内有2个点时，三角形个数为6， 即当，时，； 故答案为：3；6； （2）当，时，；当，时，； 故当时，， 当，时，如图，； 综上，，； （3）根据（1）（2）可知当，时，； 当，时，； 当，时，； ， 当，时，； 当，时，； 综上，． 26．（25-26七年级下·四川资阳·期末）综合实践： 定义：三角形三条中线的交点叫三角形的重心． 发现：如图①，将一块质地均匀的三角形纸板，用一根细线绳从重心处悬吊起来，发现纸板处于水平状态． 探究：关于三角形的重心还有哪些性质呢？ (1)如图②，是的中线，则与的面积关系为：_______（填>、<或=）； (2)如图③，点是的重心，猜想与的面积之间的关系，并说明理由； (3)如图③，点是的重心，三条中线、、分别交、、于点、、，求的值； (4)如图④，点是的重心，且，若，，求四边形的面积． 【答案】(1) (2)，理由如下：     点是的重心， ， 和同高，设高为， ， 同理得， ∴， ， ∴； (3) (4) 【分析】本题考查三角形中线的性质以及三角形面积的计算： （1）根据的中线得到，由于高相同，利用三角形面积公式可得出结论； （2）根据题干中关于重心的定义得，由于和同高，和同高，得出，去掉公共三角形，即可得到与的面积相等； （3）根据题干中关于重心的定义得，利用三角形面积公式得，去掉公共部分，得，利用三角形等底同高得，，即可得出结论； （4）连接交于点，先求出，通过各三角形底边之间的关系，得到、，进而求出四边形的面积． 【详解】（1）解：是三角形的中线， ， 和的底边分别是和，它们共用同一个顶点， 它们的高相等，设为， ． （2）解：，理由略． （3）解：点是的重心， ， 和同高，设高为， ， ， ∴， 同理：等底同高，等底同高， ，， ∴， ∴． （4）解：如图，连接交于点， 是的重心， 由（3）可得出，，，， 设，， ∴， 同理得，， ∵，， ∴， ∵， ∴， 同高， 设它们的高为， ，，且， ， 、和同高，设高为， ，，， ， ， ， ， ， 同理可得，， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $