精品解析：浙江台州市椒江区2025-2026学年七年级下学期期末数学试题

2025学年第二学期七年级期末教学评价试题 数学 亲爱的考生： 欢迎参加考试！请你认真审题，仔细答题，发挥最佳水平，答题时，请注意以下几点： 1．全卷共4页，满分120分，考试时间120分钟． 2．答案必须写在答题纸相应位置上，写在试卷、草稿纸上无效． 3．答题前，请认真阅读答题纸上的“注意事项”，按规定答题． 4．本次考试不得使用计算器． 一．选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分．请选出各题中一个符合题意的正确选项，不选、多选、错选，均不给分） 1. 下列方程为二元一次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】直接利用二元一次方程的定义从未知数个数、含未知数项的次数、是否为整式方程三个维度判断各选项． 【详解】解：与均只含个未知数，且是分式方程，不是二元一次方程； 含个未知数，不是二元一次方程； 含个未知数，含未知数的项的次数均为，是整式方程，故是二元一次方程，符合要求． 2. “新材料之王”石墨烯单层厚度极薄，仅为米．将用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值． 【详解】解：． 3. 下列调查中，最适合采用全面调查的是（ ） A. 高铁站对进站旅客行李的检查 B. 了解台州市民对春节晚会节目的满意度 C. 对一批牛奶中某添加剂的含量检测 D. 调查一批灯泡的使用寿命 【答案】A 【解析】 【详解】解：A、高铁站对进站旅客行李的检查事关公共安全，需逐一检查，适合全面调查； B、台州市民数量庞大，了解市民对春节晚会节目的满意度不适合全面调查； C、检测牛奶中添加剂的含量具有破坏性，不适合全面调查； D、调查灯泡的使用寿命具有破坏性，不适合全面调查． 4. 如图，直线，被直线所截，则与是（ ） A. 对顶角 B. 同位角 C. 内错角 D. 同旁内角 【答案】C 【解析】 【分析】根据两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线之间，并且在第三条直线（截线）的两侧，则这样一对角叫做内错角即可得出答案． 【详解】解：由图可知，直线，被直线所截，与是内错角． 5. 若分式无意义，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：∵分式无意义，则分母为零， ∴， 解得． 6. 下列等式中，从左到右的变形属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】把一个多项式化为几个最简整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解（也叫作分解因式），根据因式分解的定义，判断各选项是否将多项式转化为几个整式的积的形式． 【详解】解：A、等式右边是多项式，属于整式乘法，不属于因式分解，不符合题意； B、等式右边是整式的积的形式，属于因式分解，符合题意； C、等式右边含不是整式的项，不是整式的积的形式，不属于因式分解，不符合题意； D、等式右边为和的形式，不是整式的积的形式，不属于因式分解，不符合题意． 7. 为准备参加校园足球赛，某班计划采购球衣，对比实体店和淘宝店同款球衣，发现实体店每套的价格是淘宝店的倍，且实体店每套的价格比淘宝店贵元．设该款球衣在实体店和淘宝店的每套价格分别为元，元，则可列出方程组（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题干给出的两个价格等量关系，分别转化为对应的二元一次方程，再将两个方程联立得到所求方程组． 【详解】解：∵实体店每套价格是淘宝店的倍， ∴， ∵实体店每套价格比淘宝店贵元， ∴， 联立得方程组． 8. 南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》一书中，用三角形数表给出二项式展开式的系数规律，这个三角形数表称为杨辉三角（如图），例如：，展开式中所有系数的和为．根据杨辉三角，可得展开式中所有系数之和为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意得出规律：当二项式的次数为时，系数和为，据此求解； 【详解】解：观察可得： 当时，系数和为， 当时，系数和为， 当时，系数和为， 当时，系数和为， 当时，系数和为， ⋯， 当二项式的次数为时，系数和为， ∴展开式的系数和是． 9. 把长方形纸片沿折叠后再次沿折叠成如图所示，且的对应线段恰好落在上，设，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据折叠的性质得到、，，再利用长方形的性质求出，进而求出的度数，利用求解即可． 【详解】解：根据折叠的性质得：、，， 在长方形中，， ， ， ， ， ． 10. 如图为整式间运算的流程图，约定运算规则：上方相邻两个整式之积等于这两个整式下方箭头共同指向的整式，且．下列两个结论：①整式的值为定值；②若，则整式的值为定值．其中判断正确的是（ ） A. ①对，②错 B. ①错，②对 C. ①②都错 D. ①②都对 【答案】D 【解析】 【分析】根据流程图运算规则，先列出整式A的运算式，即上方相邻两个整式的乘积，化简后判断其是否为定值，验证结论①；再根据下方运算关系，，结合可变形得到B的表达式，结合的条件，判断化简后的B是否为定值，验证结论②． 【详解】解：根据题意得：、， ， ， 整理得：， ， ， ， 结论①：，则的值恒为2，是定值， 故①正确； 结论②：若、， 由完全平方公式得：， ， ， 即，是定值， 故②正确； 因此，①②都对． 二．填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分） 11. 因式分解：__________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查用公式法因式分解，熟练掌握平方差公式是解题的关键． 用平方差公式分解即可． 【详解】解： 故答案为：． 12. 已知是关于，的二元一次方程方程的解，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是二元一次方程组的解的含义，掌握“方程的解使方程的左右两边的值相等”是解本题的关键． 把代入方程，再解关于的方程，从而可得答案． 【详解】解：是关于，的二元一次方程方程的解， ， ， 故答案为：． 13. 某样本共有40个数据，把它分成5组，第一组到第四组的频数分别是10，x，4，12，第五组的频率是0．2，则x的值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】先求出第五组的频数，再利用各组频数之和等于样本总数计算x的值． 【详解】解：第五组的频数为， ． 14. 如图，△ABC的边长AB =3 cm，BC=4 cm，AC=2 cm，将△ABC沿BC方向平移a cm（a＜4 cm），得到△DEF，连接AD，则阴影部分的周长为_______cm． 【答案】9 【解析】 【分析】根据平移的特点，可直接得出AC、DE、AD的长，利用EC=BC－BE可得出EC的长，进而得出阴影部分周长． 【详解】∵AB=3cm，BC=4cm，AC=2cm，将△ABC沿BC方向平移acm ∴DE=AB=3cm，BE=acm ∴EC=BC－BE=(4－a)cm ∴阴影部分周长=2+3+(4－a)+a=9cm 故答案为：9 【点睛】本题考查平移的特点和整式的加减计算，解题关键是利用平移的性质，得出EC=BC－BE． 15. 已知，，则与的数量关系为_________（结果不含）． 【答案】 【解析】 【分析】需要消去参数，计算和的平方再作差，即可消去得到关系． 【详解】解：∵， ∴， ， ∴， 即． 16. 已知（其中，为整数），则的最小值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】将等式两边化为同底数幂，得到与的关系式，再将整理为关于的二次式，结合为整数求最小值． 【详解】解：将原式中各幂化为底数为的幂： ∵， ∴原等式可化为 根据同底数幂的除法法则，得 ∴，整理得 ∴ 配方得 ∵是整数，的最小值为，对应或 当时，，， 当时，，， 当取其他整数时，， 可得， ∴的最小值为． 三．解答题（本题有8小题，第17～21题每小题8分，第22～23题每小题10分，第24题12分，共72分） 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1）0 （2） 【解析】 【小问1详解】 解：原式 ． 【小问2详解】 解：原式 ． 18. 解方程（组）： （1）； （2）． 【答案】（1） （2）原分式方程无解 【解析】 【小问1详解】 解：解方程组 由①－②得． 所以． 把代入②，得． 所以． 所以原方程组的解是． 【小问2详解】 解：方程两边同乘，得． 去括号，得． 移项，合并同类项，得． 检验：当时，． 所以原分式方程无解． 19. 某校为了解七年级学生数学素养情况，随机抽取了部分同学的成绩进行整理，分成五组：A组分以下；B组分；C组分；D组分；E组分（每个组都含最小值不含最大值），并绘制了如下频数直方图、扇形统计图． 七年级学生数学素养测试成绩的频数直方图 七年级学生数学素养测试成绩的扇形统计图 根据以上信息，解答下列问题： （1）抽取的样本容量为 ，A组所在扇形的圆心角度数为 ． （2）补全频数直方图． （3）若成绩在分及以上为优秀，估计该校七年级名学生中能达到优秀的人数． 【答案】（1）； （2）B组人数为（人）， 补全频数直方图如下： （3）368人 【解析】 【分析】（1）由D组人数及其所占百分比可得总人数，A组人数除以总人数再乘以即可得到A组所在扇形的圆心角度数； （2）总人数乘B组对应百分比求出其人数即可补全图形； （3）先求出D组和E组人数和所占比例，再乘总人数即可． 【小问1详解】 解：本次随机抽查的样本容量为（人）， A组所在扇形的圆心角度数为， 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：（人）． 答：由样本估计总体得，该校七年级800名学生中能达到优秀的人数为368人． 20. 下面是小明对“”进行因式分解的过程，请认真阅读并完成下列各小题． 解：原式 第一步 第二步 ． 第三步 （1）小明第一步选择 法进行因式分解．（填序号） ①提取公因式 ②平方差公式 ③完全平方公式 （2）小明的因式分解过程从第 步开始出错． （3）请你写出正确的因式分解过程． 【答案】（1）① （2）二 （3）解： ． 【解析】 【分析】（1）观察原式两项都含有公因式，第一步是将公因式提取出来，据此对应判断所用的因式分解方法； （2）检查去括号的运算规则，逐一核对第二步去括号后的各项符号，判断出错步骤即可； （3）先正确提取公因式，再对括号内的项正确去括号、合并同类项，最后检查分解结果是否彻底，符合因式分解的要求． 【小问1详解】 解：小明第一步将原式两项共有的公因式提取出来，使用的是提取公因式法， 因此填①； 【小问2详解】 解：根据去括号法则：，小明第二步去括号时错误变号，写成了， 因此从第二步开始出错； 【小问3详解】 略． 21. 如图，，，分别是线段，，上的点，已知，． （1）判断与的位置关系，并说明理由． （2）若，且平分，求的度数． 【答案】（1），理由如下： ， ． ， ， ． （2） 【解析】 【分析】（1）根据平行线的判定与性质进行证明即可； （2）根据平行线的性质求解即可． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：， ， ， ． 平分， ． ， ． 22. 观察下列一组等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：；… （1）根据规律，写出第5个等式． （2）猜想第个等式（为正整数），并运用分式的有关知识，推理说明这个结论是正确的． 【答案】（1） （2）猜想：， 推理说明：左边， 右边， 左边右边， 猜想成立． 【解析】 【分析】（1）先观察给出的前4个等式的分子、分母、乘的整数、加的整数和等式序号的对应关系，确定各部分随序号变化的规律，以此写出第5个等式； （2）根据归纳出的规律，用含正整数的式子分别表示第个等式的左右两边，得到猜想的等式，对猜想的等式左右两边分别利用分式的运算法则进行化简，验证两边是否相等． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 略． 23. 如图，直线，一块三角尺（，）的顶点，分别落在直线和上，斜边于点．把三角尺绕点顺时针方向转动，当点第一次落在直线上时停止运动，点，分别对应点，，所在的直线交直线于点． （1）当三角尺转动（即）时，求及的度数． （2）当点落在直线上方时，探究与的数量关系，并说明理由． （3）当三角尺以每秒的速度转动秒时，若，请直接写出的值． 【答案】（1） （2） 结论：， 理由如下延长交于点，如图： ∵， ∴， 在中，， 由（）得：，  ∴． （3）或 【解析】 【分析】（）利用旋转、垂直求，作辅助线借三角形内角和和平行线性质求； （）作辅助线，结合平行线性质与直角，推出两角关系式； （）用旋转时间表示旋转角，结合角度关系列式，代入两角等量关系解方程求出． 【小问1详解】 解：旋转后， ∴，，旋转角， ∵， ∴， ∵，  ∴， 延长交于点，如图： 在中， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵三角尺以每秒的速度转动， ∴旋转角， ∵， ∴， 当点在上方，如图 ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即， 解得． 当点在下方，如图 ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， 解得． 综上，若，则的值为或． 24. 某人形机器人半程马拉松赛分为自主组与遥控组，总赛程均为．赛事规则如下表： 自主组 最终成绩净用时站外换电罚时违规干预罚时 遥控组 最终成绩净用时站外换电罚时违规干预罚时 备注：①站外换电罚时：第1次罚时5分钟，第2次10分钟，逐次累加． ②违规干预罚时：每次罚时2分钟． ③自主组违规干预超过3次将强制转为遥控组，按遥控组计算最终成绩．例如：某自主组机器人全程净用时小时，站外换电1次，违规干预5次，则最终成绩为小时． 已知自主组的“天行号”机器人后半赛程的平均速度比前半赛程的平均速度快，后半赛程所用的时间是前半赛程所用时间的． （1）求“天行号”前半赛程的平均速度及赛完全程的净用时． （2）比赛中“天行号”有1次站外换电与次违规干预，最终成绩比净用时多，求的值． （3）在（2）的条件下，自主组的“跃动号”机器人在比赛中有2次站外换电与1次违规干预，它在第一段赛程的平均速度为，第二段赛程的平均速度为，第三段赛程的平均速度为．已知前两段赛程净用时之和为，后两段赛程净用时之和为．问：“跃动号”与“天行号”的最终成绩哪个更好？为什么？ 【答案】（1）“天行号”前半赛程的平均速度为，赛完全程的净用时为 （2） （3）解：“跃动号”的最终成绩更好， 理由：由题意得， 解得：， ∴，． 由题意得，解得， ∴． 经检验得是所列方程组的根，且符合题意． ∴“跃动号”的净用时为． ∴“跃动号”的最终成绩为． 由（2）得“天行号”的最终成绩为． ∵， ∴“跃动号”的最终成绩更好． 【解析】 【分析】（1）一半赛程为，设“天行号”前半赛程的平均速度为，则后半赛程的平均速度为，根据题意列方程求解即可； （2）分当时，当时，分别求解即可； （3）列方程求出“跃动号”的净用时间，从而求出“跃动号”的最终成绩，与“天行号”的最终成绩比较即可解答； 【小问1详解】 解：设“天行号”前半赛程的平均速度为， 由题意得， 解得， 经检验得是所列方程的根，且符合题意， 跑完全程的净用时为， 答：“天行号”前半赛程的平均速度为，赛完全程的净用时为． 【小问2详解】 解：当时，由题意得， 解得（不符，舍去）， 当时，由题意得， 解得， 综上所述：． 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年第二学期七年级期末教学评价试题 数学 亲爱的考生： 欢迎参加考试！请你认真审题，仔细答题，发挥最佳水平，答题时，请注意以下几点： 1．全卷共4页，满分120分，考试时间120分钟． 2．答案必须写在答题纸相应位置上，写在试卷、草稿纸上无效． 3．答题前，请认真阅读答题纸上的“注意事项”，按规定答题． 4．本次考试不得使用计算器． 一．选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分．请选出各题中一个符合题意的正确选项，不选、多选、错选，均不给分） 1. 下列方程为二元一次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. “新材料之王”石墨烯单层厚度极薄，仅为米．将用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下列调查中，最适合采用全面调查的是（ ） A. 高铁站对进站旅客行李的检查 B. 了解台州市民对春节晚会节目的满意度 C. 对一批牛奶中某添加剂的含量检测 D. 调查一批灯泡的使用寿命 4. 如图，直线，被直线所截，则与是（ ） A. 对顶角 B. 同位角 C. 内错角 D. 同旁内角 5. 若分式无意义，则的值为（ ） A. B. C. D. 6. 下列等式中，从左到右的变形属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 7. 为准备参加校园足球赛，某班计划采购球衣，对比实体店和淘宝店同款球衣，发现实体店每套的价格是淘宝店的倍，且实体店每套的价格比淘宝店贵元．设该款球衣在实体店和淘宝店的每套价格分别为元，元，则可列出方程组（ ） A. B. C. D. 8. 南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》一书中，用三角形数表给出二项式展开式的系数规律，这个三角形数表称为杨辉三角（如图），例如：，展开式中所有系数的和为．根据杨辉三角，可得展开式中所有系数之和为（ ） A. B. C. D. 9. 把长方形纸片沿折叠后再次沿折叠成如图所示，且的对应线段恰好落在上，设，则的度数为（ ） A. B. C. D. 10. 如图为整式间运算的流程图，约定运算规则：上方相邻两个整式之积等于这两个整式下方箭头共同指向的整式，且．下列两个结论：①整式的值为定值；②若，则整式的值为定值．其中判断正确的是（ ） A. ①对，②错 B. ①错，②对 C. ①②都错 D. ①②都对 二．填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分） 11. 因式分解：__________ 12. 已知是关于，的二元一次方程方程的解，则的值为________． 13. 某样本共有40个数据，把它分成5组，第一组到第四组的频数分别是10，x，4，12，第五组的频率是0．2，则x的值为_________． 14. 如图，△ABC的边长AB =3 cm，BC=4 cm，AC=2 cm，将△ABC沿BC方向平移a cm（a＜4 cm），得到△DEF，连接AD，则阴影部分的周长为_______cm． 15. 已知，，则与的数量关系为_________（结果不含）． 16. 已知（其中，为整数），则的最小值为_________． 三．解答题（本题有8小题，第17～21题每小题8分，第22～23题每小题10分，第24题12分，共72分） 17. 计算： （1）； （2）． 18. 解方程（组）： （1）； （2）． 19. 某校为了解七年级学生数学素养情况，随机抽取了部分同学的成绩进行整理，分成五组：A组分以下；B组分；C组分；D组分；E组分（每个组都含最小值不含最大值），并绘制了如下频数直方图、扇形统计图． 七年级学生数学素养测试成绩的频数直方图 七年级学生数学素养测试成绩的扇形统计图 根据以上信息，解答下列问题： （1）抽取的样本容量为 ，A组所在扇形的圆心角度数为 ． （2）补全频数直方图． （3）若成绩在分及以上为优秀，估计该校七年级名学生中能达到优秀的人数． 20. 下面是小明对“”进行因式分解的过程，请认真阅读并完成下列各小题． 解：原式 第一步 第二步 ． 第三步 （1）小明第一步选择 法进行因式分解．（填序号） ①提取公因式 ②平方差公式 ③完全平方公式 （2）小明的因式分解过程从第 步开始出错． （3）请你写出正确的因式分解过程． 21. 如图，，，分别是线段，，上的点，已知，． （1）判断与的位置关系，并说明理由． （2）若，且平分，求的度数． 22. 观察下列一组等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：；… （1）根据规律，写出第5个等式． （2）猜想第个等式（为正整数），并运用分式的有关知识，推理说明这个结论是正确的． 23. 如图，直线，一块三角尺（，）的顶点，分别落在直线和上，斜边于点．把三角尺绕点顺时针方向转动，当点第一次落在直线上时停止运动，点，分别对应点，，所在的直线交直线于点． （1）当三角尺转动（即）时，求及的度数． （2）当点落在直线上方时，探究与的数量关系，并说明理由． （3）当三角尺以每秒的速度转动秒时，若，请直接写出的值． 24. 某人形机器人半程马拉松赛分为自主组与遥控组，总赛程均为．赛事规则如下表： 自主组 最终成绩净用时站外换电罚时违规干预罚时 遥控组 最终成绩净用时站外换电罚时违规干预罚时 备注：①站外换电罚时：第1次罚时5分钟，第2次10分钟，逐次累加． ②违规干预罚时：每次罚时2分钟． ③自主组违规干预超过3次将强制转为遥控组，按遥控组计算最终成绩．例如：某自主组机器人全程净用时小时，站外换电1次，违规干预5次，则最终成绩为小时． 已知自主组的“天行号”机器人后半赛程的平均速度比前半赛程的平均速度快，后半赛程所用的时间是前半赛程所用时间的． （1）求“天行号”前半赛程的平均速度及赛完全程的净用时． （2）比赛中“天行号”有1次站外换电与次违规干预，最终成绩比净用时多，求的值． （3）在（2）的条件下，自主组的“跃动号”机器人在比赛中有2次站外换电与1次违规干预，它在第一段赛程的平均速度为，第二段赛程的平均速度为，第三段赛程的平均速度为．已知前两段赛程净用时之和为，后两段赛程净用时之和为．问：“跃动号”与“天行号”的最终成绩哪个更好？为什么？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $