专题06 特殊平行四边形最值、中点四边形问题（专项训练）数学新教材北师大版九年级上册

**基本信息** 聚焦特殊平行四边形（菱形、矩形、正方形）的最值问题及中点四边形判定，通过分层题型构建知识逻辑，培养几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |特殊平行四边形最值问题|3类9题（含多问综合题）|动态点、折叠、路径最短等最值模型|特殊平行四边形性质→轴对称/函数求最值→综合应用| |中点四边形问题|1类3题（含概念探究题）|中点连线性质、原四边形对角线关系判定|三角形中位线定理→中点四边形形状判定→性质拓展|

专题06 特殊平行四边形最值、中点四边形问题 常考题型·精准突破 题型1 菱形中的最值问题（难） 题型2 矩形中的最值问题（难） 题型3 正方形中的最值问题（难） 题型4 特殊平行四边形中的中点四边形问题（难） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型1菱形中的最值问题 1．（2026八年级下·浙江·专题练习）如图，在菱形中，，，点P，Q分别在，上，且．以，为邻边作，延长交射线于点N．当的长最小时，线段的长是________． 【答案】2 【分析】根据平行四边形的性质和条件，得到，，根据三角形外角性质和两直线平行同位角相等得到是的平分线，根据垂线段最短得到，当时，的长最小，此时，从而得到的长． 【详解】如图，连接． 四边形是菱形，， ，， 四边形是平行四边形， ，，． ， ， ， ， ， ， ， ，即， ，即是的平分线， ∴当时，最短，即最短． 此时，， 在和中，， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质及最值问题，核心素养表现为几何直观和推理能力． 2．（2025·陕西西安·二模）如图，在菱形中，为对角线的中点，点M在边上，点N在边上，连接．当最小时，的长为_____． 【答案】6 【分析】本题考查了轴对称-最短路径问题，等边三角形的判定和性质，菱形的性质．根据垂线段最短可得，当且过O时，最小，过O作于N，根据菱形的性质得到，根据等边三角形的性质得到，求得，根据直角三角形的性质得到结论． 【详解】解：根据垂线段最短可得，当MN⊥BC且过O时，最小，过O作于N， ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵O为对角线的中点， ∴， ∴， ∴， 故答案为：6． 3．（八年级数学下学期期末模拟试卷01-2023-2024学年八年级数学下学期期末考点大串讲（人教版））如图，菱形中，，，点为边上任意一点（不包括端点），连结，过点作，交边于点，点线段上的一点． (1)若点为菱形对角线的交点，为的中位线，求的值； (2)当的值最小时，请确定点的位置，并求出的最小值； (3)当的值最小，且的值最小时，在备用图中作出此时点，的位置，写作法并写出的最小值． 【答案】(1)4 (2)当点为中点，点关于对称的点与点坐在直线垂直于时，有最小值 (3)6 【分析】（1）由菱形的性质可得，均为等边三角形，点为的中点，连接，，利用三角形中位线定理即可求解． （2）由题可知，，为等边三角形，由菱形性质可知，与关于对称，在上，取点的对应点，连接，则，，连接，交于点，过点垂直于的直线交于，交于，可得，可得，则点为中点，利用含的直角三角形可得，，由三角形三边关系及垂线段最短可知，当，，三点在同一直线上，且与重合时取等号，即当点为中点，点关于对称的点与点坐在直线垂直于时，有最小值． （3）同（2）， 与关于对称，在上，取点的对应点，连接，则，连接，交于点，由（2）可得点为中点，作关于对称的线段，取点的对应点，连接，则，由对称可知：，则，当，，，在同一条直线上时取等号，此时点为中点，可知，为等边三角形，进而即可求解． 【详解】（1）解：四边形是菱形，，， ，， 则， 均为等边三角形， ， 点为菱形对角线的交点， 点为的中点， 连接，， 为的中位线， ，也为的中位线， 则，， ； （2）由（1）可知，均为等边三角形， 则，， ， ， 为等边三角形， ， ， 由菱形性质可知，与关于对称，在上，取点的对应点，连接，则，，连接，交于点，过点作垂直于的直线交于，交于， ， ， 又， ， ， 点为中点， ，， ， ， 由勾股定理得，，， ， ， ， 当，，三点在同一直线上，且与重合时取等号， 即当点与点重合（点为中点），与重合时取等号， 综上，当点为中点，点关于对称的点与点坐在直线垂直于时，有最小值． （3）同（2），与关于对称，在上，取点对应点，连接，则，连接 交于点，由（2）可得点为中点， 作关于对称的线段，取点的对应点，连接，则， 为等边三角形， ， 由对称可知：， 则，当，，，在同一条直线上时取等号，此时点为中点， ，则， 过点（点），且， 可知，为等边三角形， ，，， 即，，分别为，，的中点， 此时， 作图，如下： 作法：取的中点为，作交于； 综上，的最小值为． ◆题型2 矩形中的最值问题 4．（25-26九年级上·河南平顶山·期中）如图，矩形的顶点的坐标为，是的中点，是上的一点，当三角形的周长最小时，点的坐标是___________． 【答案】 【分析】本题考查轴对称相关的线段最值问题，根据轴对称性质找出符合要求的最值相关线段是解题的关键． 根据题意，要使的周长最小，即最小，且点为上一动点，作关于轴的对称点，连接，则线段与轴交点即为点的坐标． 【详解】解：∵点坐标为，结合四边形为矩形， 则， ∵点是的中点，故点的坐标为， 要使的周长最小，即最小， 作关于轴的对称点， 则的坐标为，连接， 即当点为线段与轴交点时，最小， 假设所在直线表达式为， 将点，代入函数表达式， 得 ，解得， 则所在直线表达式为， 当时，，故点坐标为， 故答案为：． 5．（25-26八年级下·陕西西安·期中）如图，在四边形中，，，，连接，点是内任意一点，则当最小时，的最大值为______． 【答案】 【分析】先证明为等边三角形，得出，，再证明当点P为的垂直平分线与垂直平分线的交点时，最小，过点C作于点M，过点D作于点N，说明当点P在与的交点处时，最小，根据等边三角形的性质和勾股定理求出，根据直角三角形的性质得出，根据两点之间线段最短，得出，从而得出，即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴为等边三角形， ∴，， 以为边在下边作等边，以为边在下边作等边，连接，，如图所示： 则，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴当D、P、E、F在同一直线上时，最小，即最小， ∴点P在上时，最小， ∵，， ∴点D、F在线段的垂直平分线上， ∴垂直平分， 即此时点P在的垂直平分线上， 同理可得：同理点P在的垂直平分线上时，最小， ∴当点P为的垂直平分线与垂直平分线的交点时，最小， 过点C作于点M，过点D作于点N，如图所示： ∵为等边三角形， ∴，，，， ∴垂直平分，垂直平分， ∴当点P在与的交点处时，最小， 根据勾股定理得：， ∵，， ∴， ∵， ∴， 解得：，负值舍去， ∵，， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴， ∴， ∴的最大值为． 6．（25-26八年级下·天津津南·期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点为坐标原点，顶点，的坐标分别为，．将矩形沿直线折叠，使得点落在对角线上的点处，折痕与边交于点． (1)填空：点的坐标为________，的长为________； (2)求的长及直线的解析式； (3)若为轴上一动点，当的周长最小时，请直接写出点的坐标． 【答案】(1)，5 (2)； (3) 【分析】（1）根据，勾股定理，解答即可； （2）设，则，根据勾股定理，得，求得ｘ的值，再设的解析式为，求解即可； （3）当取得最小值时，的周长最小，作点Ｂ关于ｘ轴的对称点，连接，交ｘ轴于点Ｐ，此时取得最小值，设直线的解析式为，求解即可． 【详解】（1）解：∵矩形的顶点为坐标原点，顶点，的坐标分别为，， ∴，，，，， ∴， ∴． （2）解：∵矩形沿直线折叠，使得点落在对角线上的点处，折痕与边交于点， ∴，， ∴， 设， 则， 根据勾股定理，得， ∴， 解得， ∴， ∴， 设的解析式为， ∴ 解得． 故的解析式为； （3）解：根据题意，得是定长，的周长为， 当取得最小值时，的周长最小， 作点B关于x轴的对称点， 连接，交x轴于点P，此时取得最小值， 设直线的解析式为， 把，代入， 得：， 解得 直线的解析式为； 当时，， 解得， 故； ◆题型3 正方形中的最值问题 7．（2024·贵州黔东南·二模）如图，在正方形中，，点是边的中点，是对角线上的动点（点在点的上方），且，连接．当的值最小时，的面积是______． 【答案】1 【分析】取的中点，连接，取的中点，连接，则是的中位线，有．进一步求得和，即可判定四边形是平行四边形，那么，．连接，交于点，则当点位于点处时，的值最小，即的值最小，此时的点记为点，结合正方形的性质求得即可求得面积． 【详解】解：如图，取的中点，连接，取的中点，连接， ∵点是边的中点， 是的中位线， ． 在正方形中，， ， ， ∴ ∴四边形是平行四边形， ， ． 连接，交于点，则当点位于点处时，的值最小，即的值最小． 将此时的点记为点，由正方形的对称性可知． ∴． 又， 则的面积为． 故答案为：1． 8．（25-26八年级下·山西·期中）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点A，C分别在x轴，y轴上，点O是坐标原点，点是边上一点，点M、N都是x轴上的动点，若点，（点M在点N的左侧），则最小时，点M的坐标是___________． 【答案】 【分析】根据是固定长度，要使最小，只需让最小．将点向右平移1个单位得到，此时，问题转化为：在x轴上找一点，使最小．作点关于x轴的对称点，则，连接，其与x轴的交点即为使最小的点．求出直线的解析式，令得，再根据向左平移1个单位，得到． 【详解】解：∵四边形是正方形，点， ∴，点，点． ∵为定值， ∴要使最小，只需使最小． 将点向右平移1个单位，得到点． ∵轴，且， ∴四边形是平行四边形， ∴． ∴， 作点关于轴的对称点，则． 根据轴对称的性质，， ∴． 根据“两点之间，线段最短”，连接，与轴的交点即为使最小的点，即最小时的点， 设直线的解析式为（， 将、代入，得：， 解得． ∴直线的解析式为． 令，则， 解得， ∴点的坐标为． ∵点在点的左侧，且， ∴点的横坐标为，纵坐标为． ∴点的坐标为． 9．（25-26八年级下·重庆开州·期中）已知在正方形中，点E是对角线上一点． (1)如图1连接，若，，求出的长． (2)如图2，过点E作于点E，交于点F，点G、H分别在，上（不与端点重合），连接，，若，，求证：． (3)如图3，在（1）的条件下，线段上有一动点M，当的值取得最小时，直接写出的值． 【答案】(1) (2) 证明：如图2，延长，交于，连接，， ， ， 由（1）知：， ， ，， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ； (3) 【分析】（1）连接，可求得和的长，进而得出和的长，进而得出的长，进一步得出结果； （2）延长，交于，连接，，可证得，从而，进而证明，从而，从而得出，进一步得出结论； （3）作，作于，作于，交于，作于，可推出，从而，从而得出当点在处时，最小，可得出，进而得出，设，则，，从而得出，进一步得出结果． 【详解】（1）解：如图1，连接， 四边形是正方形， ∴，，，，， ， ，，， ， ； （2）略 （3）解：如图3， 作，作于，作于，交于，作于， ， ， 当点在处时，最小， ，， ， ， 设，则，， ， ， 当的值取得最小时，． ◆题型4 特殊平行四边形中的中点四边形问题 10．（25-26八年级下·江苏宿迁·期末）如图，在四边形中，，若分别是四边形各边、、、的中点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)当时，求证：四边形是菱形； (3)在（2）的条件下，四边形满足_____________时，四边形是正方形．（直接写答案） 【答案】(1)证明：如图所示，连接， 在中，点分别是的中点， ∴， 在中，点分别是的中点， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． (2)证明： 如图所示，连接， ∵在中，点分别是的中点， ∴， ∵在中，点分别是的中点， ∴， ∵， ∴， 又∵由（1）知，四边形是平行四边形，且， ∴四边形是菱形． (3) 【分析】（1）连接，利用三角形中位线的性质证明即可； （2）连接，根据三角形中位线的性质转化为平行四边形的邻边相等证明即可； （3）根据三角形中位线的性质转化为菱形有一个角为证明即可． 【详解】（1）证明：略 （2）证明：略 （3）解：四边形满足时，四边形是正方形，理由如下： ∵在中，点分别是的中点， ∴， ∵， ∴， ∵在中，点分别是的中点， ∴， ∵， ∴， 由（2）知，四边形是菱形，且， ∴四边形是正方形． 11．（25-26八年级下·山西阳泉·期末）综合与探究 问题情景：数学课上，老师画出一个四边形（如图1所示），并依次标记了各边，，，的中点E，F，G，H．要求同学们对以下问题进行探究． (1)探究一：四边形是平行四边形吗？说明你的理由． (2)探究二：如图2，点P是四边形内一点，且满足，，，点E，F，G，H分别为边，，，的中点，猜想四边形的形状，并证明你的猜想； (3)探究三：若改变（2）中的条件，使，其他条件不变，请说出此时四边形的形状，并写出证明过程． 【答案】(1)四边形是平行四边形． 理由：如图1中，连接． ∵点E，H分别为边，的中点， ∴，． ∵点F，G分别为边，的中点， ∴，． ∴，． ∴四边形是平行四边形． (2)四边形是菱形． 证明：如图2中，连接，， ∵， ∴，即． 又∵，， ∴， ∴． ∵点E，F，G分别为边，，的中点， ∴，． ∴， 由（1）可知，四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形． (3)四边形是正方形． 证明：如图2中，设与交于点O，与交于点M，与交于点N． ∵， ∴， ∵． ∴， ∵，， ∴， ∵四边形是菱形， ∴四边形是正方形． 【分析】（1）连接，根据三角形中位线的性质得到，，，，推出，，即可证明； （2）如图2中，连接，交于点O，证明，得到，然后结合三角形中位线的性质即可证明； （3）如图2中，设与交于点O，与交于点M，与交于点N，证明，结合四边形是菱形即可证明． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 12．（25-26八年级下·河南许昌·期末）定义：对于一个四边形，我们把依次连接它的各边中点得到的新四边形叫作原四边形的“中点四边形”，如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们把这个原四边形叫作“中方四边形”． 【概念理解】 (1)下列四边形中一定是“中方四边形”的是 ．（填序号） ①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形． 【性质探究】 (2)如图1，若四边形是“中方四边形”，观察图形，写出四边形的对角线具有的一条性质： ． 【拓展应用】 (3)如图2，已知四边形是“中方四边形”，，，，分别是，，，的中点，对角线，交于点． ①试探究线段与之间的数量关系，并说明理由． ②若线段的长为6，则的最小值是 ． 【答案】(1)④ (2)或 (3)解：①．（或．） 理由如下：四边形是“中方四边形”， 四边形是正方形， ，， ． ，分别是，的中点， ， ．（或）； ② 【分析】（1）根据当原四边形对角线互相垂直且相等时得到的四边形是正方形分析即可； （2）由中位线的性质可得：，，，，结合正方形的性质可得结论； （3）①由题意得四边形是正方形，再根据等腰直角三角形性质与三角形的中位线的性质即可证得结论． ②令与的交点为，连接、，当点在上(即、、共线)时，最小，最小值为的长，得到，，再根据①可知，从而计算的最小值，进而求解 【详解】（1）解：在平行四边形、矩形、菱形、正方形中只有正方形是“中方四边形”， 理由如下：因为正方形的对角线相等且互相垂直，所以其中点四边形是正方形； （2）解：，．理由如下： ∵四边形是“中方四边形”， ∴四边形是正方形， ∴，， ∵E，F，G，H分别是，，，的中点， ∴，，，， ∴，； （3）解：②连接、； 由①可知，． 当点在上(即、、共线)时，最小，最小值为的长， 的最小值， 由题意可知；为正方形， ， ，， ， ∵，分别是，的中点， ∴，， ， 的最小值， 即时，最小，即最小； ∵线段的长度为6， ∴， ∴． 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1．（25-26八年级下·北京门头沟·期末）顺次连接四边形各边中点形成的四边形叫做中点四边形，有关中点四边形的描述如下： ①任意四边形的中点四边形一定是平行四边形； ②矩形的中点四边形一定是矩形； ③正方形的中点四边形一定是正方形； ④非正方形的中点四边形一定不是正方形． 其中所有正确推断的序号是（     ） A．①② B．①③ C．①③④ D．①②③④ 【答案】B 【分析】本题利用三角形中位线定理，根据原四边形对角线的关系判断中点四边形的形状，核心性质为：中点四边形的边分别平行于原四边形的对角线，且长度为原对角线长度的一半，逐一判定各描述即可得到结果. 【详解】解：根据三角形中位线定理可知，任意四边形中点四边形的对边分别平行于原四边形的对角线，且长度等于原对角线长度的一半，对边平行且相等， ①任意四边形的中点四边形对边平行且相等，因此一定是平行四边形，故①正确； ②矩形的对角线相等，因此矩形中点四边形的四条边长度相等，是菱形，不是矩形，故②错误； ③正方形的对角线相等且互相垂直，因此中点四边形四条边相等，邻边互相垂直，一定是正方形，故③正确； ④只要原四边形的对角线相等且互相垂直，无论原四边形是不是正方形，中点四边形都是正方形，因此非正方形也可以得到正方形的中点四边形，故④错误． 2．（25-26八年级下·广西百色·期末）如图，在边长为6的正方形中，点P为对角线上一动点，，，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：连接，如图， 四边形是正方形， ，， ，， 四边形是矩形， ， 当时，最短， 在中，， ， ，解得（负值已舍去）， ， 则的最小值为． 3．（25-26八年级下·湖南怀化·期末）如图，四边形是菱形，点A，B，C，D均在坐标轴上，，点，点是的中点，点是上的一动点，则的最小值是（     ） A．3 B．6 C． D． 【答案】B 【分析】根据菱形的性质，轴对称性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质，求解即可． 【详解】解：菱形，， ，， ∴关于直线对称， ∴， ∴， 连接， ∵， ∴三点共线时，取得最小值，且最小值为， 菱形，， ∴，，， ∴都是等边三角形， 点是的中点， ∴， 点， ， ，， ， 的最小值为6， 故的最小值为6； 4．（25-26八年级下·江苏宿迁·期末）如图，在矩形中，，E是上一点，，P是上一动点，连接，取的中点 F，连接，当线段取得最小值时，线段的长度是（     ） A．4 B． C．5 D．6 【答案】C 【分析】在上取一点M，使得，连接，并根据中位线的性质得出，再说明当取最小时，即最小，当时，最短，然后说明四边形是矩形，可得，最后根据勾股定理求出答案． 【详解】解：在上取一点M，使得，连接，如图所示， ∵点F是的中点，， ∴是的中位线， ∴． 当最小时，即最小，当时，最短， ∵四边形是矩形， ∴． 当时，四边形是矩形， ∴此时． 在中，， ∴， ∴当线段取得最小值时，线段的长度是5． 二、填空题 5．（25-26八年级下·北京·期末）如图，墙面与地面垂直，一块矩形木板的顶点A，B分别在和上滑动（点A，B均可与O重合），连接（图中各点均在同一平面内），若，，则在木板滑动的过程中，线段长度的取值范围是________． 【答案】 【分析】取的中点Q，连接，根据，求最大值，观察求最小值即可； 【详解】解：取的中点Q，连接， 矩形木板，， ，， 根据勾股定理，得， ， ， ， 三点共线时，取得最大值，此时； 根据图形，可知当在上时，存在最小值，此时， 故线段长度的取值范围是． 6．（25-26八年级下·辽宁营口·期末）如图，在菱形中，，，动点、分别在线段、上，且，则面积的最小值为________． 【答案】 【分析】连接，过点作，先证，得，再证是等边三角形，得，然后可得，要使的面积为最小，只需满足的长为最小即可，进而问题可求解． 【详解】解：连接，过点作，如图所示： ∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴要使的面积为最小，只需满足的长为最小即可， ∴当时，最小，如图所示： 此时， ， ∴， ∴面积的最小值为． 7．（25-26八年级下·福建福州·期末）如图，正方形纸片的边长为5，点E在边上，点F在边上，将正方形纸片沿对折，点B的对应点是点G，连接，若，则长的最小值是___________． 【答案】/ 【分析】连接，由，故三点共线时，取得最小值，且最小值为，此时，取得最小值，且最小值为 【详解】解：连接， 根据折叠的性质，得，， 正方形纸片， ，，， 根据勾股定理，得， ， 三点共线时，取得最小值，且最小值为，如图所示， 此时，取得最小值，且最小值为 8．（2026·陕西西安·三模）如图，在正方形中，，是边的中点，，分别为，上的任意一点，连接，，，则四边形周长的最小值为__________． 【答案】 【分析】根据正方形性质求出的长，利用轴对称性质分别作点关于的对称点和点关于的对称点，连接，根据两点之间线段最短可知的长即为的最小值，构造直角三角形利用勾股定理求解即可． 【详解】解：四边形是正方形，， ，，，， 是的中点， ， 如图，作点关于直线的对称点，作点关于直线的对称点，连接，分别交，于点，， 由轴对称的性质可知 ，， ， 根据两点之间线段最短，此时的值最小，即四边形的周长最小， 点与点关于直线对称， ，，， 三点共线， ， 点与点关于直线对称， ，，，，四点共线， ， 在中，由勾股定理得， 四边形周长的最小值为． 三、解答题 9．（25-26八年级下·福建福州·阶段检测）如图，菱形的对角线相交于点O，且，．点E在线段上，且，点F为线段上一动点． (1)求的长； (2)若时，连接，求四边形的面积； (3)记的最小值为a，的最小值为b．求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据四边形是菱形，且，，得出，，，．在中，根据直角三角形的性质得出，再根据勾股定理算出，即可解答； （2）如图，连接，设，在中，根据，得出，根据勾股定理即可解出，．证明，即可得出，．算出，，再根据即可计算； （3）如图，过点B作，且，过点F作于点G，连接．证出，在中，根据直角三角形的性质得出，根据，得出当E、F、G共线时，的值最小，此时，证出四边形是矩形，即可得出，．证明，得出，得出当A、F、H共线时，的值最小，在中，根据定理得出，即可算出，即可解答． 【详解】（1）解：∵四边形是菱形，且，， ∴，，， ． 在中，， ∴， ∴． ∴． （2）解：如图，连接，设， ∵， ∴， 在中，， ∴，， 即， 解得：（舍），． ∴． 在和中，， ∴． ∴，． ∴． ． ∴． ∴四边形的面积是． （3）解：如图，过点B作，且，过点F作于点G，连接． ∵，， ∴． ∴， ∴在中，． ∴． ∴当E、F、G共线时，的值最小，此时． ∴， ∴四边形是矩形． ∴． ∴． 在和中，， ∴． ∴， ∴． ∴当A、F、H共线时，的值最小． 在中，， ∴． ∴． 10．（25-26八年级下·陕西榆林·期末）【问题探究】 (1)如图，在矩形中，，，点、分别在边、上，且，点为边上的动点，连接、，求的最小值； 【问题解决】 (2)如图，四边形是一片矩形城区，，．为方便城区内的居民出行，现计划分别在边、、、上取点、、、，连接、、、，并沿这四条线段修建道路，围成一个四边形，已知，请求出四边形周长的最小值．（道路的宽度忽略不计） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）如图，作点关于直线的对称点，连接、、，交于点，连接，由对称性质可得，，，，，则当点与点重合时，取得最小值，最小值为的长．过点作于点，则，在中，由勾股定理求解即可； （2）分别作点关于直线的对称点，点关于直线的对称点，连接、、、、、，由（1）可知，，；作点关于直线的对称点，连接，交的延长线于点，连接、，设交于点，交于点，连接，交于点，由对称性质可得当点与重合、点与点重合、点与点重合时，取得最小值，最小值为的长．在中，由勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：如图，作点关于直线的对称点，连接、、，交于点，连接， 由对称性质可得，，，，， ， 当点与点重合时，取得最小值，最小值为的长． 四边形为矩形， ， 点在的延长线上， 过点作于点，则， 四边形为矩形， ，， ， 在中，由勾股定理，得， 的最小值为； （2）解：四边形的周长， 当取得最小值，同时取得最小值时，四边形的周长取得最小值． 如图，分别作点关于直线的对称点，点关于直线的对称点，连接、、、、、，则，，，，，， 由（1）可知，，； 作点关于直线的对称点，连接，交的延长线于点，连接、，设交于点，交于点，连接，交于点， 由对称可得，，， ， ， 当点与重合、点与点重合、点与点重合时，取得最小值，最小值为的长． 四边形是矩形， ， 点、都在直线上，且． ， 四边形为矩形， ，， ， 在中，由勾股定理，得， 四边形周长的最小值为． 11．（25-26八年级下·陕西安康·期中）【问题探究】 (1)如图①，P，Q是正方形的对角线上的点，且，连接，，若，则的长为______； (2)如图②，在梯形中，，E为边上一点，且，，P，Q是对角线上的两个动点，且，连接，，求的最小值； 【问题解决】 (3)如图③，某地计划在一片空地上修建一个森林生态公园平行四边形，并沿其对角线修建一条景观水渠，其中，，．现计划在水渠上找两个点P，Q，且，沿修建健身步道，沿修建塑胶跑道，已知修建健身步道的费用是20万元/，修建塑胶跑道的费用是40万元/．请你计算出修建健身步道与塑胶跑道的最低总费用．（水渠、健身步道及塑胶跑道的宽度均忽略不计） 【答案】(1)2 (2) (3)修建健身步道与塑胶跑道的最低总费用为万元 【分析】（1）证明，即可得到； （2）连接、，同理求得，再利用三角形三边关系求解即可； （3）取的中点的中点，连接、，作点关于的对称点交于点，过点作交的延长线于点，连接，利用三角形中位线定理求得，求得，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵四边形是正方形， ，， ， ， ， ； （2）解：如图2，连接、， ， ∴， ， ， ， ， ，     ， ∴，， 在中，， ， ∴当位于与的交点处时，取得最小值，最小值为； （3）解：由题意知，修建健身步道与塑胶跑道的总费用． 如图3，取的中点的中点，连接、，作点关于的对称点交于点，过点作交的延长线于点，连接． ∵四边形是平行四边形， ∴，， ， ，， ， ， ， ，，是的中位线， ， 关于对称， ， ， 在中，， ∴， ∴， ∴， ， 在中，， ， ， ， ． ， 的最小值为， 故修建健身步道与塑胶跑道的最低总费用为万元． 12．（25-26九年级上·辽宁阜新·期中）定义：对于一个四边形，我们把依次连接它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”．如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们把这个原四边形叫做“中方四边形”． 概念理解： （1）下列四边形中一定是“中方四边形”的是 ． A．平行四边形        B．矩形        C．菱形        D．正方形 性质探究： （2）如图1，四边形是“中方四边形”，观察图形，直接写出关于四边形的对角线的关系： 问题解决： （3）如图2，以锐角的两边为边长，分别向外侧作正方形和正方形，连接．求证：四边形是“中方四边形”； 拓展应用： 如图3，已知四边形是“中方四边形”，M，N分别是的中点， （4）试探索与的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）D；（2），；（3）见解析；（4），理由见解析 【分析】（1）由正方形对角线相等且互相垂直可得答案； （2）由中位线的性质可得：，，，，结合正方形的性质可得结论； （3）如图，取四边形各边中点分别为M、N、R、L并顺次连接成四边形，连接交于P，连接交于K，利用三角形中位线定理可证得四边形是平行四边形，再证得，推出是菱形，再由，可得菱形是正方形，即可证得结论； （4）如图，记、的中点分别为E、F，可得四边形是正方形，再根据等腰直角三角形性质与三角形的中位线的性质即可证得结论． 【详解】解：（1）在平行四边形、矩形、菱形、正方形中只有正方形是“中方四边形”， 理由如下：因为正方形的对角线相等且互相垂直，那么有中位线的性质可得四边相等，且一个内角为直角，所以其中点四边形是正方形； （2），．理由如下： ∵四边形是“中方四边形”， ∴四边形是正方形， ∴，， ∵E，F，G，H分别是，，，的中点， ∴，，，， ∴，． （3）如图，设四边形的边的中点分别为M、N、R、L，连接交于P，连接交于K，    ∵四边形各边中点分别为M、N、R、L， ∴、，，分别是、、、的中位线， ∴，，，，，，，， ∴，，，， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形和四边形都是正方形， ∴，，， ∴， ∴， ∴，， 又∵，， ∴， ∴平行四边形是菱形， ∵， ∴． 又∵，， ∴， ∴， 又∵，， ∴． ∴菱形是正方形，即原四边形是“中方四边形”． （4）如图，记、的中点分别为E、F， 连接    ∵四边形是“中方四边形”，M，N分别是，的中点， ∴四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵M，F分别是，的中点， ∴， ∴． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题06特殊平行四边形最值、中点四边形问题 内容概览 目常考题型精准突破 题型1菱形中的最值问题（难） 题型2矩形中的最值问题（难） 题型3正方形中的最值问题（难） 题型4特殊平行四边形中的中点四边形问题（难） 目综合攻坚知能拔高 常考题型精准突破 ◆题型1菱形中的最值问题 1.2 2.6 3. 【答案】 【详解】(1)解：四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°，AB=4, .∠ABC=∠D=60°，AB=BC=CD=AD=4, 则△ABC,△ACD均为等边三角形， :.AD=AC=CD=4, :点R为菱形ABCD对角线的交点， 点R为AC的中点， ◇ D 连接PR,OR P?为△ACD的中位线， .PR,QR也为△ACD的中位线， 1/21 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 则PR=CD=2,OR=号4D=2, 2 :.PR+OR=4: (2)由(1)可知△ABC,△ACD均为等边三角形， 则∠BAC=∠ACD=∠CAD=60°，AB=BC=CD=AD=AC=4, :PQ∥AC ·∠DPQ=∠CAD=60° ∴△PDQ为等边三角形， .PD=OD .AP=CO. 由菱形性质可知，AB与AD关于AC对称，在AB上，取点P的对应点P',连接PR,则PR=PR, AP=AP',连接P'Q,交AC于点O,过点O作垂直于AB的直线交AB于R,交CD于O, D .AP=CO .AP=AP'=CO, 又'∠AOP=∠CO0. .aAOP'≌aCO0(AAS). 1 OA=OC=AC=2, 2 ∴点O为AC中点， ∠BAC=∠ACD=60°，∠AR0=∠CQ0=90°， ÷.∠40R=∠C00=30°， -0=1c0-oc=1 由勾股定理得，OR=V5,Og=5」 Bg=25, .P'R=PR, ∴PR+QR=P'R+RQ≤PQ≤PQ=2N3 当P,R,Q三点在同一直线上，且P与重合时取等号， 2/21 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 即当点R与点O重合（点R为AC中点），P与R重合时取等号， 综上，当点R为AC中点，点P关于AC对称的点P与点R坐在直线垂直于AB时，PR+OR有最小值2V3 (3)同(2)，AB与AD关于AC对称，在AB上，取点P对应点P',连接PR,则PR=PR,连接PO 交AC于点O,由(2)可得点O为AC中点， 作AD关于CD对称的线段AD,取点P的对应点P',连接QP',则OP=OP, :aPDO为等边三角形， ∴.∠PQD=60° 由对称可知：∠P"OD=∠POD=60°， A D B 则PR+QR+PO=P'R+OR+OP"≥PP",当P,R,O,P"在同一条直线上时取等号，此时点R为AC 中点， D D R(O) ,则 A':∠P'QD=∠PQD=60°=∠ADC OP"Il AD .PP"过点O(点R),且PP"AD 可知△CRO,△ARP为等边三角形， ..CO=RC=OR=2,OD=PD=PO=2,AP=AR=PR=2, 即P，,R,O分别为AD,AC,CD的中点， ∴.此时PR+QR+Pg=6, 作图，如下： 作法：取AD的中点为P,作PQ∥AC交CD于Q: 3/21 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 综上，PR+QR+PO的最小值为6 ◆题型2矩形中的最值问题 4.(0,2) 5.1+ 3 6. 【答案】 【详解】(1)解：矩形0ACB的顶点0为坐标原点，顶点A,B的坐标分别为(4,0)，(0,3)， .0A∥CB,OA=4,OA=BC=4,0B=AC=3,∠A=90°， .C(4,3), ∴.0C=V(4-0)2+(3-0)2=5 (2)解：：矩形OACB沿直线OF折叠，使得点A落在对角线OC上的点E处，折痕与边AC交于点F, .OA=OE=4,FA=FE,∠OAF=∠OEF=∠CEF=90°， ∴CE=1, 设FA=FE=x, 则FC=3-x, 根据勾股定理，得FC2=EC2+EF2, .(3-x}=12+x2, 解得x=3 .EF=AF=4 , ) 设OF的解析式为y=, 44 … 解称 4/21 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 故OF的解析式为y=3x: (3)解：根据题意，得BF是定长，△PBF的周长为PB+PF+BF, 当PB+PF取得最小值时，△PBF的周长最小， B 'P A D 作点B关于x轴的对称点D(0,-3), 连接DF,交x轴于点P,此时PB+PF取得最小值， 设直线DF的解析式为y=sx+b, D(0,-3)代入y=x+b, 4 4s+b= 得： 3 b=-3 解得12 b=-3 3 :直线DF的解析式为y= 13 当y=0时， x-3=0 12 好的治， 36。 ◆题型3正方形中的最值问题 7.1 5/21 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 8 9. 【答案】(1)解：如图1，连接BD, A D E B 图1 :四边形ABCD是正方形， ∴∠AC=∠ADC=0e,∠B4C=2CD=AS,-cF-号4C,DAC0F=BF-aD, :BD=AC=2AB=42, AE-2N54E-4C=5,DF-25 EF=AF-AE=, DE=VEF+DR-+(2)=0: (2)证明：如图2，延长FE,交AD于O,连接CF,CQ, OH D E G B C 图2 :EF⊥AC ∴.∠AEF=∠AEQ=90° 由(1)知：∠ACD=∠BAC=∠CAD=45°， ∠AFE=∠AQE=45°， :AF=AO,AO=AE, ..EF =EO, ∴CF=CQ」 6/21 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :CE=CD,∠D=∠CEF=90°， .RtACEFRtACDO(HL), :EF DO, :∠GCH=∠ACD=45°， .∠DCH=∠ECG. ∴.ACDH≌△CEG(ASA). .DH=EG, :.GF=OH, ..AH=OH+AQ=GF+2AE: (3)解：如图3， D E M B WM ℃ .--N 图3 作∠BC=30°，作MN⊥CN于N,作EX⊥C于X,交BC于M',作EW⊥BC于W, M-CM, EM+ICM=EM+MN≥EN≥EX, :当点M在M处时，EM+)CM最小， ∠EXC=90°，∠ECX=∠ACB+∠BCX=45°+30°=75°， ∠CEX=15°， .∠EMW=∠CEX+∠ACB=15°+45°=60°， 设WM'=a,则EM'=2WM'=2a,CW=EW=V3WM'=V3a, :.CM'-CW-WM'=V3a-a=(3-1)a, CM'_V3-1 .EM2, 7/21 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 CM 3-1 当EM+)CM的值取得最小时，EM=2, ◆题型4特殊平行四边形中的中点四边形问题 10 【答案】(I)证明：如图所示，连接BD, G 在△ABD中，点E,H分别是AB,AD的中点， :EH-BD,BH/BD 在△CBD中，点F,G分别是BC,DC的中点， FG=)BD,FG∥BD .EH=FG,EH∥FG ∴.四边形EFGH是平行四边形. (②)证明：如图所示，连接AC,BD, G :在△ABD中，点E,H分别是AB,AD的中点， :H=D, :在△ABC中，点E,F分别是AB,BC的中点， 1 EF-ZAC, ·AC=BD .EH EF, 又：由(I)知，四边形EFGH是平行四边形，且EH=EF, 8/21 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.四边形EFGH是菱形. (3)解：四边形ABCD满足AC⊥BD时，四边形EFGH是正方形，理由如下： :在△ABC中，点E,F分别是AB,BC的中点， :EF=)4C,EF∥4C, 2 :AC⊥BD」 EF⊥BD, :在△ABD中，点E,H分别是AB,AD的中点， A.EH=BD,EH∥BD, ,EF⊥BD, .EH⊥EF, 由(2)知，四边形EFGH是菱形，且EH⊥EF, ∴四边形EFGH是正方形. 11. 【答案】(I)四边形EFGH是平行四边形， 理由：如图1中，连接BD。 D 图1 点E,H分别为边AB,DA的中点， 六eH /BD' EH-D :点F,G分别为边BC,CD的中点， FGIBD:FG=1BD 21 .EH∥FG,EH=FG .四边形EFGH是平行四边形， (2)四边形EFGH是菱形. 证明：如图2中，连接AC,BD, 9121 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D 、W M G 图2 .∠APB=∠CPD ∴.∠APB+∠APD=∠CPD+∠APD,即∠BPD=∠APC. 又AP=PB,PC=PD, .△APC≌aBPD(SAS), .AC=BD :点E,F,G分别为边AB,BC,CD的中点， :.EF-TAC,FG=IBD 2 2 .EF=FG 由(1)可知，四边形EFGH是平行四边形， ∴四边形EFGH是菱形. (3)四边形EFGH是正方形. 证明：如图2中，设AC与BD交于点O,AC与PD交于点M,AC与EH交于点N. .△APC≌△BPD .∠ACP=∠BDP, .∠DMO=∠CMP ∴.∠DOC=∠CPD=90°. :EH∥BD,AC∥HG :∠EHG=∠ENO=∠BOC=∠D0C=90°， 四边形EFGH是菱形， ∴，四边形EFGH是正方形. 12. 【答案】(1)解：在平行四边形、矩形、菱形、正方形中只有正方形是“中方四边形”， 理由如下：因为正方形的对角线相等且互相垂直，所以其中点四边形是正方形： (2)解：AC=BD,AC⊥BD.理由如下： ,四边形ABCD是“中方四边形”， 10/21 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .四边形EFGH是正方形， ∴.EF=FG=HG=EH,∠EFG=∠FGH=∠GHE=∠HEF=90°， :E,F,G,H分别是AB,BC,CD,AD的中点， EF=-AC,EFAC,FG=2BD,FGIBD 2 2 .AC=BD,AC⊥BD: 新，Dw号D.(成 BD=V2Mw） 理由如下：四边形ABCD是“中方四边形”， ∴.四边形MENF是正方形， ∴.FM=FN,∠MFN=90°」 ∴.MN=√MF2+FW2=√2FN. N,F分别是DC,BC的中点， .FN=-BD :.MNBD. 2 (或BD=2MN）: ②连接OM、ON; 由O可知，MN=2BD. 2 当点O在MN上（即M、O、N共线）时，OM+ON最小，最小值为MN的长， 2(OM+ON)的最小值=2MN, 由题意可知；EMFN为正方形， .EM⊥EN, EM∥BD,EN∥AC, .AC⊥BD」 ,M,N分别是AB,CD的中点， 11/21 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.AB=2OM,CD=2ON ∴.2(OM+ON)=AB+CD ∴.AB+CD的最小值=2MN, 即MN-(4B+CD)时，N最小，即AB+CD最小： ,线段BD的长度为6， .MN=3√2， .AB+CD=2MN=6√2. 综合攻坚知能拔高 一、单选题 1.B 2.C 3.B 4.C 二、填空题 5.3≤0C≤9 6.4 7W5 7.V26-4/-4+26 8.18 三、解答题 9. 【答案】(1)解：四边形ABCD是菱形，且∠ABC=60°，AB=6, ACLBD -C-AC,O8-OD-BD ∠08c=∠0B1=ABC=30. 12/21 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 在Rt△ABO中，∠OBA=30°， :01=)AB=3, 2 ..OB=AB2-042=62-32=33. ∴BD=20B=6W3 (2)解：如图，连接CE,设AE=x, D E B AE⊥AB ∴∠BAE=90°， 在Rt△ABE中，∠EBA=30°， :.BE=2AE=2x,AE2+AB2=BE2, 即x2+6=(2x)2, 解得：x=-25(舍)，x2=25】 .AE=25」 AB=BC 在 和 中， {∠ABE=∠CBE. △ABE△CBE BE=BE :.△ABE≌aCBE(SAS) .CE=AE=2W3,∠BCE=∠BAE=90°. 5am号8FCB=x2x25=25, SAmcp-1BD-OC-1x63x3-9 .S四边形DErc=S△BCD-SABr=9V3-2V3=7N5 ∴四边形DEFC的面积是7V5】 (3)解：如图，过点B作BH⊥AB,且BH=OB,过点F作FG⊥BH于点G,连接FH 13/21 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 H BH⊥ABFG⊥BH ∴.∠ABH=∠BGF=90° .∠CBH=∠ABH-∠ABC=90°-60°=30°， 在RIABFG中，FG=号F 2 FF-2FF-2(EF+FG)22EG .当E、F、G共线时，2EF+BF的值最小，此时∠EGB=90°. .∠EGB=∠ABG=LBAE=90°， ∴四边形ABGE是矩形. .'.EG=AB=6 .b=(2EF+BF)=2EG=12 OB=HB 在 和 中， ∠OBF=∠HBF, △OBF△HBF BF=BF ·.△OBF≌aHBF(SAS)」 .FH=OF .OF+AF=HF+AF≥AH 当A、F、H共线时，OF+AF的值最小. 在R△ABH中，AH=VAB2+BF=62+5=3N万 .a=(OF+AF)in =AH=317. a_3万万 6=124 10 【答案】(I)解：如图1，作点E关于直线CD的对称点E',连接DE'、E'G、EF,EF交CD于点G, 连接EG', 14/21 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A B H D G 图1 由对称性质可得，DE=DE=l,EG=E'G,EG'=E'G,∠EDC=∠E'DC, ·.EG+GF=E'G+GF2E'F, .当点G与点G重合时，EG+GF取得最小值，最小值为E'F的长. 四边形ABCD为矩形， .∠E'DC=∠EDC=∠C=90°， ∴点E在AD的延长线上， 过点F作FH⊥AD于点H,则∠FHD=90°， 四边形FHDC为矩形， .FH=CD=4.DH=CF=BC-BF=2, ∴EH=DH+DE=3, 在Rt△E'HF中，由勾股定理，得E'F=√FH+E'H=5, ∴.EG+GF的最小值为5： (2)解：~四边形EGFH的周长=EH+HF+EG+GF, .当EH+HF取得最小值，同时EG+GF取得最小值时，四边形EGFH的周长取得最小值. 如图2，分别作点E关于直线AB的对称点E,点E关于直线CD的对称点E,连接E,A、E,H、EF、 ED、E,G、E,F,则EH=E,H,EA=E,A,EG=E,G,ED=E,D,∠EAH=∠E,AH, ∠EDG=∠E,DG 15/21 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E H B A H D E M E 图2 由(1)可知， EH+HF=EH+HF≥EF,EG+GF=E,G+GF≥E,F； 作点E,关于直线BC的对称点E,连接E,E,交BC的延长线于点M,连接E,F、EE,设EE,交AB于 点H,交BC于点F,连接E,F,交CD于点G, 由对称可得∠E,MC=90°，E,M=E,M,E,F=E,F, :.E F+EF=E F+E F 2E Es, :EH+HF+EG+GF≥E,E, ∴.当点F与重合、点G与点G重合、点H与点H重合时，EH+HF+EG+GF取得最小值，最小值为 E,E3的长， 四边形ABCD是矩形， ∴∠EAH=∠EDG=∠FCD=∠E,DC=∠EAH=∠DCM=90° .点E、E2都在直线AD上，且E,E2=E,A+AE+ED+DE2=2AD=12km. .∵∠E,MC=90°」 :四边形DCME为矩形， ∴.∠DE,M=90°，E,M=CD=8km ∴.E2E3=2E2M=16km」 在Rt△E,E,E,中，由勾股定理，得E,E,=√E,E2+E,E,=20km, ∴.四边形EGFH周长的最小值为20km, 11. 【答案】 【详解】(1)解：：四边形ABCD是正方形， 16/21 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴AD=BC,AD∥BC, ∴∠ADP=∠CBQ. .DP=BO. ∴△ADP≌aCBQ(SAS). AP=C9=2: (2)解：如图2，连接AC、CQ, 图2 .∠ADC=∠BCD=90° AD∥BC, ∴∠EDP=∠CBQ. :BQ=DP,BC=DE」 ∴.△EDP≌aCBQ(SAS). ..EP=CO ∴EP+AQ=CQ+AQ≥AC, .DE=3AE=3. ∴.AE=1,AD=4, 在Rt△ADC中，AD=4,CD=2 AC=V√AD2+CD2=V42+22=25, :当位于AC与BD的交点处时，EP+A0取得最小值，最小值为25： (3)解，由题意知，修建能身步道与塑胶跑道的总费用=201P+40C0=40}4P+C0） 如图3，取DP的中点E,AD的中点F,连接EF、AE,作点A关于BD的对称点A,AM交BD于点K,过 点A作A'GLAD交AD的延长线于点G,连接AE、A'F 17/21 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B D A 图3 ,四边形ABCD是平行四边形， BC=AD,AD∥BC, ∴∠CBQ=∠ADE=60°， .DP=2BO,DE=PE, ∴.BQ=DE」 .△CBQ≌aADE(SAS), ∴.CQ=AE, :DE=EP,AF=DF,EF是△ADP的中位线， .EF=AP 2 :A、A关于BD对称， ∴AE=AE=CQ, AP+Ce=EF+AE之AF 在RIAAKD中，∠ADK=60°， .∠DAK=90°-∠ADK=30°， :DK=号Dl .AK=VAD2-DK2=√5， .AA=2AK=23, 在Rt△AAG中，∠KAD=30°， 4G=54=84G=5c=3, :DG=AF DF=1, :.FG=AD=2 18/21 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴4F=VG2+FG=V5+2=万】 :AP+CQ≥N万 404P+C0的最小有为40N7, 故修建健身步道与塑胶跑道的最低总费用为40√7万元. 12 【答案】解：(1)在平行四边形、矩形、菱形、正方形中只有正方形是“中方四边形”， 理由如下：因为正方形的对角线相等且互相垂直，那么有中位线的性质可得四边相等，且一个内角为直角， 所以其中点四边形是正方形： (2)AC=BD,AC⊥BD.理由如下： ,四边形ABCD是“中方四边形”， ∴四边形EFGH是正方形， ∴.EF=FG=HG=EH,∠EFG=∠FGH=∠GHE=∠HEF=90°， E,F,G,H分别是AB,BC,CD,AD的中点， EFC.EFMAC FG-D FGBD .AC=BD,AC⊥BD. (3)如图，设四边形BCGE的边BCCG、GE、BE的中点分别为M、N、R、L,连接CE交AB于P,连 接BG交CE于K G B M :四边形BCGE各边中点分别为M、N、R、L, ∴.MN、NR,RL,LM分别是△BCG、△CEG、△BGE、△CEB的中位线， ..CERN-CE.AL CE A-CE. .MN∥RL,MN=RL,RN∥CE∥ML,RN=ML, ∴四边形MNRL是平行四边形， 19/21 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ,四边形ABDE和四边形ACFG都是正方形， .AE=AB,AG=AC,∠EAB=∠GAC=90°， .∠EAC=∠BAG」 △EAC≌aBAG(SAS). ∴.CE=BG,∠AEC=∠ABG. 又RL-)BG,RN=)CE, 2 .RL=RN. ∴.平行四边形MNRL是菱形， ∠EAB=90°， .∠AEP+∠APE=90° 又：∠AEC=∠ABG,∠APE=∠BPK, ∴.∠ABG+∠BPK=90° ,∠BKP=90°， 又：MN∥BG,ML∥CE, .∠LMN=90° ∴菱形MNRL是正方形，即原四边形BCGE是“中方四边形”， (4)如图，记AD、BC的中点分别为E、F,连接ME,MF,EN,FW D :四边形ABCD是“中方四边形”，M,N分别是AB,CD的中点， ∴.四边形ENFM是正方形， ∴.FM=FN,∠MFN=90°， ∴，MN=VFM2+FN2=V2FM, M,F分别是AB,BC的中点， :.FM-TAC, 2 20/21 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .MN= √2 2 AC」 21/21可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题06特殊平行四边形最值、中点四边形问题 内容概览 目常考题型精准突破 题型1菱形中的最值问题（难） 题型2矩形中的最值问题（难） 题型3正方形中的最值问题（难） 题型4特殊平行四边形中的中点四边形问题（难） 目综合攻坚知能拔高 常考题型精准突破 ◆题型1菱形中的最值问题 1.(2026八年级下浙江·专题练习)如图，在菱形ABCD中，AB=6,AC=4,点P,Q分别在AC, AB上，且CP=A犯.以AO,P2为邻边作口AOPM,延长AM交射线CD于点N当PP的长最小时，线 段DN的长是」 2.(2025陕西西安二模)如图，在菱形ABCD中，AB=8,∠B=60°，0为对角线AC的中点，点M在 AD边上，点N在BC边上，连接ON,MN.当ON+MN最小时，BN的长为一· A M D 3.(八年级数学下学期期末模拟试卷01-2023-2024学年八年级数学下学期期末考点大串讲（人教版）) 如图，菱形ABCD中，AB=4,∠ABC=60°，点P为AD边上任意一点（不包括端点），连结AC,过点 P作PO∥AC,交边CD于点O,点R线段AC上的一点. 1/10 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 备用图1 备用图2 (I)若点R为菱形ABCD对角线的交点，PO为△ACD的中位线，求PR+QR的值： (②)当PR+QR的值最小时，请确定点R的位置，并求出PR+QR的最小值： (3)当PR+OR的值最小，且PR+QR+PO的值最小时，在备用图中作出此时点P,O的位置，写作法并写 出PR+OR+PO的最小值. ◆题型2矩形中的最值问题 4.(25-26九年级上河南平顶山期中)如图，矩形AB0C的顶点A的坐标为(4,6)，D是0B的中点， E是OC上的一点，当三角形ADE的周长最小时，点E的坐标是 B D 5.(25-26八年级下·陕西西安期中)如图，在四边形ABCD中，∠BAD=90°，∠BCD=60°， BC=DC=2,连接BD,点P是△BCD内任意一点，则当PB+PC+PD最小时，PA的最大值为： 6.(25-26八年级下·天津津南期末)如图，在平面直角坐标系中，矩形OACB的顶点O为坐标原点，顶 点A,B的坐标分别为(4,0)，(0,3).将矩形OACB沿直线0F折叠，使得点A落在对角线0C上的点E处， 折痕与边AC交于点F. 2/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A (1)填空：点C的坐标为， OC的长为一 (2)求EF的长及直线OF的解析式： (3)若P为x轴上一动点，当△PBF的周长最小时，请直接写出点P的坐标. ◆题型3正方形中的最值问题 7.(2024贵州黔东南二模)如图，在正方形ABCD中，AB=4,点E是CD边的中点，PD是对角线 BD上的动点（点？在点P的上方），且PQ=V2,连接AP,QE.当AP+QE的值最小时，△ODE的面 积是 D 8.(25-26八年级下山西期中)如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点A,C分别在x轴，y 轴上，点O是坐标原点，点D0,)是边OC上一点，点MN都是x轴上的动点，若点B(4,4),MN=1 (点M在点N的左侧)，则DM+MN+NB最小时，点M的坐标是 B(4,4) OMNA衣 9.(25-26八年级下·重庆开州期中)已知在正方形ABCD中，点E是对角线AC上一点. 3/10 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D A H D E G◇ E B B B 图1 图2 图3 ①如图1连接DE,若AB=4ME=44C,求出DE的长。 (②)如图2，过点E作EF⊥AC于点E,交AB于点F,点G、H分别在EF,AD上（不与端点重合），连 接CG,CH,若CE=CD,∠GCH=45°，求证：AH=GF+V2AE. CM (③)如图3，在(I)的条件下，线段BC上有一动点M,当EM+2CM的值取得最小时，直接写出EM的值. ◆题型4特殊平行四边形中的中点四边形问题 10.(25-26八年级下·江苏宿迁·期末)如图，在四边形ABCD中，AB‖CD,若E,F,G,H分别是四边形 ABCD各边AB、BC、CD、DA的中点. G ()求证：四边形EFGH是平行四边形： (2)当AC=BD时，求证：四边形EFGH是菱形： (3)在(2)的条件下，四边形ABCD满足 时，四边形EFGH是正方形.（直接写答案） 11.(25-26八年级下山西阳泉·期末)综合与探究 问题情景：数学课上，老师画出一个四边形ABCD(如图1所示)，并依次标记了各边AB,BC,CD DA的中点E,F,G,H.要求同学们对以下问题进行探究. D H H E F F 图1 图2 4/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (I)探究一：四边形EFGH是平行四边形吗？说明你的理由. (②)探究二：如图2，点P是四边形ABCD内一点，且满足PA=PB,PC=PD,∠APB=∠CPD,点E, F,G,H分别为边AB,BC,CD,DA的中点，猜想四边形EFGH的形状，并证明你的猜想； (3)探究三：若改变(2)中的条件，使∠APB=∠CPD=90°，其他条件不变，请说出此时四边形EFGH的 形状，并写出证明过程. 12.(25-26八年级下·河南许昌期末)定义：对于一个四边形，我们把依次连接它的各边中点得到的新四 边形叫作原四边形的“中点四边形”，如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们把这个原四边形叫作 “中方四边形”. 【概念理解】 (1)下列四边形中一定是“中方四边形”的是_·（填序号) ①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形. 【性质探究】 (②)如图1，若四边形ABCD是“中方四边形”，观察图形，写出四边形ABCD的对角线具有的一条性质：一 【拓展应用】 图1 (3)如图2，已知四边形ABCD是“中方四边形”，M,E,N,F分别是AB,AD,CD,BC的中点， 对角线AC,BD交于点O. N 图2 ①试探究线段BD与MN之间的数量关系，并说明理由. ②若线段BD的长为6，则AB+CD的最小值是_， 5/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 综合攻坚知能拔高 一、单选题 1.(25-26八年级下·北京门头沟期末)顺次连接四边形各边中点形成的四边形叫做中点四边形，有关中 点四边形的描述如下： ①任意四边形的中点四边形一定是平行四边形： ②矩形的中点四边形一定是矩形： ③正方形的中点四边形一定是正方形： ④非正方形的中点四边形一定不是正方形， 其中所有正确推断的序号是() A.①② B.①③ C.①③④ D.①②③④ 2.(25-26八年级下广西百色期末)如图，在边长为6的正方形ABCD中，点P为对角线AC上一动点， PE⊥AB,PF⊥BC,则EF的最小值为() D D A.62 B.6 C.3√2 D.42 3.(25-26八年级下湖南怀化期末)如图，四边形ABCD是菱形，点A,B,C,D均在坐标轴上， ∠ABC=120°，点A(-6,0),点E是CD的中点，点P是OC上的一动点，则PD+PE的最小值是() A.3 B.6 C.35 D.6V5 4.(25-26八年级下江苏宿迁期末)如图，在矩形ABCD中，AB=3,AD=6,E是AD上一点，AE=1, P是BC上一动点，连接AP,取AP的中点F,连接EF,当线段EF取得最小值时，线段PD的长度是 6/10 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E D A.4 B.4V2 C.5 D.6 二、填空题 5.(25-26八年级下·北京期末)如图，墙面M0与地面NO垂直，一块矩形木板ABCD的顶点A,B分别 在OM和ON上滑动（点A,B均可与O重合），连接OC(图中各点均在同一平面内)，若AB=8, BC=3,则在木板滑动的过程中，线段OC长度的取值范围是 M B N 6.(25-26八年级下辽宁营口期末)如图，在菱形ABCD中，∠B=120°，AB=6,动点E、F分别在线 段AB、BC上，且BE=CF,则△DEF面积的最小值为 D E 7.(25-26八年级下福建福州期末)如图，正方形纸片ABCD的边长为5，点E在AD边上，点F在CD 边上，将正方形纸片ABCD沿EF对折，点B的对应点是点G,连接DG,若AE=1,则DG长的最小值是 B 8. (2026陕西西安三模)如图，在正方形ABCD中，AB=6Cm,E是CD边的中点，F,G分别为AB, 7/10 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AD上的任意一点，连接CF,FG,EG,则四边形CEGF周长的最小值为 cm G 三、解答题 9.(25-26八年级下·福建福州阶段检测)如图，菱形ABCD的对角线4C,BD相交于点O,且 ∠ABC=60°，AB=6.点E在线段BD上，且AE⊥AB,点F为线段BC上一动点， D D B B 备用图1 备用图2 (I)求BD的长： (2)若BF=2时，连接EF,求四边形DEFC的面积； (③)记0F+4F的最小值为a,2EF+BF的最小值为b.求方的值. 10.(25-26八年级下陕西榆林期末)【问题探究】 H B F G D G 图1 图2 (I)如图l,在矩形ABCD中，CD=4,BC=3,点E、F分别在边AD、BC上，且DE=BF=1,点G为 边CD上的动点，连接EG、FG,求EG+GF的最小值： 【问题解决】 (2)如图2，四边形ABCD是一片矩形城区，AD=6km,CD=8km,为方便城区内的居民出行，现计划分 别在边AB、BC、CD、DA上取点H、F、G、E,连接EH、HF、FG、EG,并沿这四条线段修建 道路，围成一个四边形EGFH,已知AE=2km,请求出四边形EGFH周长的最小值.（道路的宽度忽略 不计) 8/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 11.(25-26八年级下陕西安康·期中)【问题探究】 图① 图② 图③ ()如图①，P,Q是正方形ABCD的对角线BD上的点，且DP=B0,连接AP,CQ,若AP=2,则CO 的长为 (2)如图②，在梯形ABCD中，∠ADC=∠BCD=90°，E为边AD上一点，且BC=DE=3AE=3,CD=2, P,Q是对角线BD上的两个动点，且BO=DP,连接EP,A0,求EP+A0的最小值； 【问题解决】 (3)如图③，某地计划在一片空地上修建一个森林生态公园平行四边形ABCD,并沿其对角线BD修建一条 景观水渠，其中4B>BC,BC-2m,∠CBD=60.现计划在水渠BD上找两个点2，Q,且BQ-DP, 沿AP修建健身步道，沿CQ修建塑胶跑道，己知修建健身步道的费用是20万元/km,修建塑胶跑道的费 用是40万元/km.请你计算出修建健身步道与塑胶跑道的最低总费用.（水渠、健身步道及塑胶跑道的宽 度均忽略不计) 12.(25-26九年级上·辽宁阜新·期中)定义：对于一个四边形，我们把依次连接它的各边中点得到的新四 边形叫做原四边形的“中点四边形”，如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们把这个原四边形叫做 “中方四边形”， 概念理解： (1)下列四边形中一定是“中方四边形”的是_， A.平行四边形 B.矩形C.菱形D.正方形 性质探究： (2)如图1， 四边形ABCD是“中方四边形”，观察图形，直接写出关于四边形ABCD的对角线AC,BD 的关系： 问题解决： (3)如图2，以锐角△ABC的两边AB,AC为边长，分别向外侧作正方形ABDE和正方形ACFG,连接 BE,EG,GC.求证：四边形BCGE是“中方四边形”： 拓展应用： 9/10 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 如图3，己知四边形ABCD是“中方四边形”，M,N分别是AB,CD的中点， (4)试探索AC与MN的数量关系，并说明理由. G M B E G W 图1 图2 图3 10/10