专题04 特殊平行四边形中的折叠问题（专项训练）数学新教材北师大版九年级上册

**基本信息** 聚焦菱形、矩形、正方形折叠问题，以题型分类构建从基础到综合的训练体系，强化折叠性质与特殊平行四边形性质的逻辑融合。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |菱形折叠|3题（含情境探究）|中点、对角线落点，证特殊四边形|折叠轴对称性→菱形四边相等/对角线性质→构建方程| |矩形折叠|4题（含中考真题）|高频考点，两次折叠、顶点落边|折叠对应关系→矩形直角/对边相等→勾股定理应用| |正方形折叠|5题（含多步折叠）|中点重合、角平分线，综合计算|折叠全等→正方形性质→相似/全等推理|

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题04特殊平行四边形中的折叠问题 内容概览 目常考题型精准突破 题型1菱形中的折叠问题（难） 题型2矩形中的折叠问题（高频）（难） 题型3正方形中的折叠问题（难） 目综合攻坚知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型1菱形中的折叠问题 1 1.8 2.6或6-25 3. 【答案】(I)解：四边形AFPE是菱形， 证明如下：设EF与AP交于点O, B A-- ,菱形纸片ABCD, ∠BAC=∠DAC, :折叠菱形纸片ABCD,使点A落在对角线AC上的点P处， .AF=PF,AE=PE,EF垂直平分AP, .∠AOF=∠AOE=90°， ∠BAC=∠DAC,OA=OA. ∴△AOF≌△AOE(ASA). .AF=AE, 1/16 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .AF=PF=AE PE, ∴.四边形AFPE是菱形： (2)①DG=PG, 证明：如图，连接BD,DP, GP D ,菱形ABCD,∠BCD=60° .AB=BC=CD=AD,∠BCD=∠A=60°，ADIIBC :.∠ADC=180°-∠BCD=120°，∠BDA=∠BDC=∠ADC=600, 2 ∴.△ABD是等边三角形， ∴.AB=BC=CD=AD=BD, 折叠， .AB=BP,∠BPE=∠A=60 ∴.AB=BP=BD,∠BPE=∠BDC=6O°， .∠BPD=∠BDP, ∴∠BPD-∠BPE=∠BDP-∠BDC. .∴∠GPD=∠GDP :.DG=PG; ②解：如图，连接BD,DP, M G E D .AB=4, .AB=BC=CD=AD=BD=BP=4, M恰好是CD的中点， CM=DM=CD=2,BM⊥CD 2/16 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠GMP=90°，BM=VBC2-CM2=23, :∠P=60°， ∴∠PGM=∠EGD=30°， ..PG=2PM,GM=PG2-PM2 =3PM, 根据①可得DG=PG, .DG=PG=2PM. ..DM=2=DG+GM =2PM+3PM, 解得：PM=4-25】 .DG=PG=2PM=8-4√5. :∠EGD=30°，∠ADC=120°， ∴.∠DEG=30°=∠EGD. .DG=DE=8-45, “AE=AD-DE=4-(8-4V3=45-4」 ◆题型2矩形中的折叠问题 4.2 5.2或2W2-2 6. 【答案】 【详解】(1)解：如图，连接AE,CF,设EF与AC交于点O, D E B 由翻折可知：AE=CE,AF=CF,EF是AC的垂直平分线， 即有AO=CO,EF⊥AC, :四边形ABCD是矩形， ∴.AB∥CD, .∠OCE=∠OAF,∠OEC=∠OFA, 3/16 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .△COE≌aAOF(AAS), ..OE=OF, ∴四边形AECF是平行四边形， 又，AE=CE, .四边形AECF是菱形： (2)解：①位置关系：AB'∥CG,理由如下： 连接BB交CG于点E,如图， D B G B 由翻折可知：CG垂直平分BB', .BE=BE,BB⊥CG, 点G为AB的中点， ∴.GE是△ABB'的中位线， GE∥AB,即AB'∥CG: ②如图， O B G 由①可知：BB=2BE,BB⊥CG, 在矩形纸片ABCD中，AB=6,BC=4, 点G为AB的中点， .'BG=AB=3. 2 在Rt△CBG中，CG=VBC2+BG=V42+32=5, S.wco-1BG.BC-CG.BE, 2 .BE-BG-BC_3x4 12 CG5=5, 4/16 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .'BB'=2BE= 24 5 又：AB∥CG,CG⊥BB, ∴.AB⊥BB, .AB2=AB2-BB2=62 AB= 59 (3)解：延长CD交FE的延长线于点K,如图， K D G P A F B 则ED=EP,∠EPC=∠EDC=9O°，DC=PC,∠DCE=∠PCE, ,四边形ABCD是矩形， .∠KDE=∠FAE=90°， ,点E为线段AD的中点， .'ED=EA, .∠DEK=∠AEF, .△DEK≌aAEF(ASA), :'DK=AF, .EG∥PC, ∴.∠GEC=∠ECP 由折叠得∠ECD=∠ECP, .∠GEC=∠DCE, 则GE=GC, 设GE=GC=x, :AB=6」 ..DG=DC-CG=AB-CG=6-x, :BC=AD=4,点E为线段AD的中点， ∴.ED=2, 5/16 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .EG2=ED2+DG2, x2=22+(6-x2, 烟一只 则DG=6-108 33 设Dk=a则KE=DK+Dg=G+4KG=KD+DG=a+ 3 .EG∥PC,∠EPC=90°， .∠KEG=90°， 在△KEG中，KE2+EG=KG, +49-a, 解得a=2, 则AF=DK=3 2 ◆题型3正方形中的折叠问题 7.310 8.5 9. 【答案】(1)解：根据折叠的性质可得∠4B0=∠ABO, ∠ABC=90°」 ∠4B0+∠AB0=90°，即2∠AB0=90°， ∠AB0=45°： (2)解：连接FA,如图， 6116 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D N 将长方形纸片 对折，折痕为 B C ABCD MN ∴.MN为AB的垂直平分线， ..FA=FB, 再由折叠的性质可得∠ABE=∠FBE,FB=AB, ∴AB=FB=FA, ∴△ABF为等边三角形， .∠ABF=60°， 、∠ABE=∠ABF=x60°=30°， 2 :∠EBC=90°-∠ABE=90°-30°=60°， (3)解：①H折叠性质可知：∠PHE=<GHP,∠PH-PHM. 四边形GHMN是正方形， ∴.∠GHM=90° 即∠GHP+∠MHP=90° ∠EHF=∠PHE+∠PHF=<GHP+MP-(<GtP+∠MHP)-90e=4S: ②：四边形GHMN是正方形，GH=10 ∴.GN=MN=GH=10.∠N=90° 由折叠可得MF=PF,GE=EP, MF=3, .FN=MN-MF=10-3=7,MF=PF=3, ∴EF=EP+PF=GE+3, EN=GN-GE=10-GE. Rt△ENF中，EN2+FN2=EF2, ∴(10-GE)2+72=(GE+3)2, 即26GE=140,解得GE=70 7/16 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 综合攻坚知能拔高 一、单选题 1.B 2.D 3.B 二、填空题 3 4.50.6 2-1 5.45 2 10.37 6.3或12 三、解答题 7. 【答案】(1)解：：四边形ABCD是矩形， AB=CD,∠A=∠D=90° 由折叠的性质可得∠G=∠A=90°，AB=GH, ..GH =DC, .DE=DC, .GH=DE, 又，EH=HE, .RtAGEH≌Rt△DHE(HL), :.EG=DH; (2)解：如图，连接BE, G 由折叠的性质得EB=EH,∠HEF=∠BEF, 在矩形ABCD中，∠A=∠D=90°，AB=DC, 8/16 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .DE=DC, ..DE =AB, ∴.RtABE≌RtDEH(H)」 .∠1=∠2 又∠1+∠3=90°， .∠2+∠3=90°， ∠BEH=90° A∠HEF=∠BEF=,∠HEB=4S: (3)解：猜想EF2+PF2=2HF2,证明如下： 如图，在线段HG上截取H0=HF，连接PO,E0, G 由(I)得RtAGEH≌Rt△DHE, .∠GEH=∠DHE, 在矩形ABCD中，∠A=∠B=90°， 由折叠的性质可得∠G=∠A=90°，∠FHG=∠B=90°， .∠G+∠FHG=180°， .EGFH, ∴.∠GEH=∠6， C6=∠DHE=)∠DHf HP平分∠CHF, :∠4=∠5=∠CHf, 2 ∠CHF+∠DHF=180°， ÷∠5+∠6=)×180°=90°，即∠EHP=90, 2 9116 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠HEF=45°， ∴△EHP为等腰直角三角形， .HE=HP,∠P=45°， :∠6+∠7=90°， ∠5=∠7 ∴△HPF≌△HEQ(SAS) PF=E0,∠P=∠HE0=45°， .∠FEQ=∠FEH+∠HEQ=90°， .EO2+EF2=FO, 又FQ=HQ+HF2=2HF2, :PF2+EF2=2FH2 8. 【答案】(1)证明：如图1， D G F B 图1 ,四边形ABCD是正方形， .AD=AB=DC=BC,∠D=∠BAD=90°， 根据折叠性质得：AD=AF,∠DAE=∠EAF,∠DEA=∠AEF,∠D=∠AFE=90°， .AF =BF, .AF BF=AB, .△ABF是等边三角形， .∠AFB=∠BAF=60°， ∴.∠FAD=∠BAD-∠BAF=30°，∠GFE=180°-∠AFE-∠BAF=30°， ∠DEF=360°-∠AFE-∠DAF-∠D=150°， .∠GEF=180°-∠DEF=30°， .∠GFE=∠GEF, 10/16 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .'.FG=EG (2)解：如图2， A E B 图2 连接CF,DF, ,F为BG的中点，△BCG是直角三角形， C.CF=BF=FG三2BO .∠FBC=∠FCB ,四边形ABCD是正方形， .CD=AB,∠ABC=∠DCB=90°， ∴.∠ABC-∠FBC=∠DCB-∠FCB, .∠ABF=∠DCF, .△ABF≌aDCF(SAS), .AF DF, 根据折叠性质得：AD=AF,∠DAE=∠EAF,∠D=∠AFE=90°， :'AD=AF DF, ∴.△ADF是等边三角形， .∠DAF=60° ∴.∠DAE=∠EAF=30°， i.EF-TAE, 2 EF 1 AE2· EF “AE的值为2 (3)解：如图3， 11/16 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A G B M 图3 延长EF交BC于M,连接AM交BF于N,则：∠AFM=90°， 根据折叠性质得：AD=AF,∠DAE=∠EAF,∠D=∠AFE=∠ABM=90°， DE=EF ,四边形ABCD是正方形，AB=6, .AD=AB=DC=BC=6,∠ABC=∠DCB=90°， AB=AF,AM=AM, ∴.RLAABM≌RteAFM(HL), ∴.BM=MF, ∴.∠CBF=∠MFB, .CF⊥BG, ∴.∠CFB=90° .∠BCF+∠CBF=90°，∠CFM+∠MFB=90°， .∠BCF=∠CFM, .MF MC, .MF MC=BM, .M是BC的中点， .MF-MCNC3. DE=x,DE=EF=x,EM=MF+EF=3+x,EC=DC-DE=6-x, 在直角三角形MCE中，根据勾股定理得：MC2+EC2=EM2, 32+(6-x=(3+x,解得：x=2, .DE=2, .DE的长为2. 9 12/16 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【答案】(I)证明：在菱形ABCD中，∠ABC=60°，BD平分∠ADC,AB∥DC, .ZDBC= 乙4BCX60P30BCD=1809∠ABC=1809-60P=20P 2 又由翻折可知，∠BEF=∠BCF=120° 在四边形BCFE中，∠EFC=360°-∠DBC-∠BCD-∠BEF=360°-30°-120°-120°=90° (2)①∠MNC=120°： 如图，过点N作NP⊥AD于点P,作N№LCD于点O, APM D B :.∠NPD=∠NQD=90° 在菱形ABCD中，∠ADC=∠ABC=6O°，BD平分∠ADC ..NP=NO, 又由翻折可知，NM=NC, 在RtAMNP和RtACNO中， NM=NC 由1NP=N0' .Rt△MNP≌Rt△CNQ(HL). ∴.∠PNM=∠QNC ∴.∠PNM+∠MNQ=∠QNC+∠MNg. 即∠PWQ=∠MNC 又，在四边形PDQN中， ∠PNQ=360°-∠NPD-∠NQD-∠ADC=360°-90°-90°-60°=120°， 即∠MNC=∠PNQ=120° ②存在，理由如下： 由M=NC,∠MWC=120°， 得∠MC=∠NCM=80-∠NC)=30, 过点N作NK⊥MC于点K, 13/16 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A M D ..CM=2CK RtaNCK ∴.CM=2CK=V3NC, :.CACMN NC+CM+MN NC+NC+3NC=(2+3)NC 故当NC最小时，aCMW的周长最小， 即NC⊥BD时，△CMN的周长最小， 此时，在RtABCN中，∠CBD=30°， .CACA =(2+3)NC=6+3V3 10. 【答案】(1)解：由折叠的性质知，∠CBD=∠EBD, ,四边形ABCD是矩形， .AD/IBC. .∠EDB=∠DBC, .∠EBD=∠EDB, ∴.BE=DE: (2)解：四边形ABCD是矩形， .∠B=90°， .AC=VAB2+BC2=V62+82=10, 由折叠的性质知，AE=AB=6,EF=BF,∠AEF=∠B=90°， .CE=AC-AE=10-6=4, 设EF=BF=x,则CF=BC-BF=8-x, .∠AEF=90° .∠FEC=180°-90°=90°」 .'EF2+CE2=CF2, 14/16 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 x2+42=(8-x2, 解得x=3, .BF=3, .AF=VAB2+BF2=V62+32=3V5: (3)解：MN垂直平分BC, ·MNIIAB, BN=1BC=8. 2 .AM‖BN,∠A=90°」 四边形AMNB为矩形， AM=BN=8,MN=AB=10. ①如图，当点F在矩形内部时， A--- D B N 由折叠的性质知，AE=EF,AB=BF=I0, .FN=VBF2-BW2=V102-82=6, .MF=MN-NF=10-6=4. 设AE=EF=x,则EM=AM-AE=8-x, .EM2+MF2=EF2, .(8-x}2+42=x2, 解得x=5, .AE=5: ②如图，当点F在矩形外部时， M E 同理可得EF=AE,BF=AB=10, 15/16 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .FM=VBF2-BW2=V102-82=6, .MF=WM+WF=10+6=16, 设AE=EF=x,则ME=AE-AM=x-8, .ME2+MF2=EF2, .(x-8)2+162=x2, 解得x=20, .AE=20: 综上所述，AE=5或20 16/16 专题04 特殊平行四边形中的折叠问题 常考题型·精准突破 题型1 菱形中的折叠问题（难） 题型2 矩形中的折叠问题（高频）（难） 题型3 正方形中的折叠问题（难） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型1菱形中的折叠问题 1．（25-26八年级下·山东济南·期末）如图，将菱形纸片折叠，使得点恰好落在边的中点处，折痕为．若菱形的边长为，，则_____． 2．（25-26八年级下·河南许昌·期末）如图，在菱形中，，，是的中点，是边上一动点．将沿折叠，得到．若与菱形的对角线平行，则的长为________． 3．（25-26八年级下·广西南宁·期末）【问题情境】在综合与实践课上，老师让同学们以“菱形纸片的折叠”为主题开展小组数学活动． 已知菱形纸片，． 【成果展示】 (1)第一小组：如图1，连接，折叠菱形纸片，使点落在对角线上的点处，折痕分别交，于点，．判断四边形的形状，并加以证明． (2)第二小组：将菱形纸片沿过点的直线折叠到如图2所示的位置，点的对应点为点，折痕交于点，交于点． ①判断和的数量关系，并加以证明． ②将菱形纸片沿过点的直线折叠到如图3所示的位置，其中交于点．若恰好是的中点，且，求线段的长． ◆题型2 矩形中的折叠问题 4．（2026·江苏连云港·中考真题）取一张矩形纸片（图1），按如图2所示方式折叠，使点A落在上，折痕为，再按如图3所示方式折叠，点与点恰好重合，则____． 5．（25-26八年级下·河南漯河·期末）在折纸活动中，小强将一张矩形纸片（如图1）进行了两次折叠，第一次将沿折叠，使点A的对应点E落在上（如图2）；第二次将沿折叠，点B的对应点为G （ 如图3）．若点G落在的边上，且， 则的长为___________． 6．（25-26八年级下·山东泰安·期末）手工实践课上，老师带领同学们开展趣味折纸活动，每位同学都领到三张平整的长方形卡纸，其中，．大家跟随老师的步骤动手折叠、探究图形变化中的数学问题： (1)动手操作一： 将一张长方形卡纸进行折叠，使顶点与顶点重合，压出平整折痕，然后展平得到图1，请写出四边形是什么特殊四边形：___________________； (2)动手操作二： 为进一步探究折叠规律，大家在第二张卡纸上先找出线段的中点，再沿着线段向内折叠，使顶点落在长方形内部的点处，连接，如图2， ①试判断线段与折痕的位置关系，并说明理由， ②求线段的长； (3)动手操作三： 大家在第三张卡纸上先找出线段的中点，沿线段折叠卡纸，让顶点落在点处，连接并延长，交边于点．展平后再次折叠纸片得到，如图3，请直接写出的长． ◆题型3 正方形中的折叠问题 7．（25-26八年级下·江苏南京·期末）如图，将正方形沿折叠，点A落在上的处．若，则折痕的长为________． 8．（25-26八年级下·贵州黔南·期末）如图，将正方形沿折叠，使得点A的对应点恰好与边上的中点E重合，点D的对应点为F，若，则_______． 9．（25-26八年级下·河北秦皇岛·期末）数学活动课上，老师发给每名同学一张矩形纸片和一张正方形纸片，要求同学们通过折叠，折出一些特殊角． (1)如图，小明将矩形纸片翻折，使点的对应点落在边上，折痕为，此时折出的 度； (2)如图，小刚受到小明折叠过程的启发，发现如果将长方形纸片对折，折痕为，然后展开，点为上一点，再将沿折叠，使点落到上的点处，此时 度； (3)如图，小慧将正方形纸片的沿过点的直线翻折，点的对应点落在正方形内部的点处，折痕为，再将沿过点的直线翻折，使点的对应点与点重合，折痕为． ①求的度数； ②若，求的长度． 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1．（25-26八年级下·河北沧州·期末）如图，正方形纸片的边长为，点分别在边上，将分别沿折叠，点恰好都落在上的点处，已知，则的长为（     ）． A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·广西钦州·期末）如图，菱形的边，高， 点F是边上一动点，将四边形沿折叠，点A的对应点为点P．当的长度最小时，的长为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（25-26八年级下·福建福州·期末）如图，在矩形纸片中，，先将矩形纸片对折，使边与重合，展平后得到折痕；点为边上一点，再将纸片沿折叠，使点落在线段上的点处，则折痕的长等于（     ） A． B． C． D． 二、填空题 4．（25-26八年级下·江苏苏州·期末）如图，正方形中，，，将沿对折至，延长交于点，则的长是__________． 5．（25-26八年级上·江苏无锡·阶段检测）数学实验课上，小聪将菱形纸片沿折叠，其中点E、F分别在边、上．当点B落在上的点处且时，恰有，则_______，此时_______． 6．（25-26八年级下·河南濮阳·期末）如图，矩形纸片，，，，分别是，上的点．将矩形沿直线折叠，点落在点，点落在点．若点是边的三等分点，则的长为________． 三、解答题 7．（25-26八年级下·福建泉州·期末）如图1，在矩形中，，点、分别在边、上，且满足．将矩形沿直线折叠，使点与重合，点与重合，点恰好落在边上，连接． (1)填空：_________（填“”或“”）； (2)求的度数； (3)如图2，过点作的平分线，交直线于点．请猜想线段、和之间的数量关系，并加以证明． 8．（25-26八年级下·辽宁抚顺·期末）在正方形中，点为边上一点，连接，将沿翻折得到，连接BF并延长交于点． (1)如图1，若，求证：； (2)如图2，若为的中点，求的值； (3)如图3，连接，若，，直接写出的长． 9．（25-26八年级下·广东广州·期末）数学活动课上，同学们以菱形纸片开展“折纸”活动．已知． (1)如图，折叠后，使点落在对角线上的点处，得到折痕，连接．证明：； (2)如图，折叠后，使点落在边上的点处，折痕与对角线交于点处，连接，，． ①求的度数； ②若菱形的边长为，则的周长是否存在最小值？若存在，求最小值；若不存在，说明理由． 10．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）【综合与探究】数学兴趣小组在学习矩形的过程中，对其中一个问题作如下探究： (1)【问题背景】教材79页8题 如图1，将矩形纸片沿着直线折叠，使点C落在处，，相交于点E，则与的数量关系是_____________． (2)【变式思考】如图2，矩形纸片，，，折叠纸片使点B的对应点E落在对角线上，求折痕的长； (3)【探究延伸】如图3，矩形纸片，，，点E为射线上一个动点，把沿着直线折叠，当点A的对应点F刚好落在线段的垂直平分线上时，求的长． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 特殊平行四边形中的折叠问题 常考题型·精准突破 题型1 菱形中的折叠问题（难） 题型2 矩形中的折叠问题（高频）（难） 题型3 正方形中的折叠问题（难） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型1菱形中的折叠问题 1．（25-26八年级下·山东济南·期末）如图，将菱形纸片折叠，使得点恰好落在边的中点处，折痕为．若菱形的边长为，，则_____． 【答案】 【分析】连接，根据菱形性质和证明是等边三角形，利用等腰三角形三线合一性质得出，结合平行线性质得出，设，利用折叠性质和勾股定理列方程求解． 【详解】解：连接、， 四边形是菱形，， ，，， 是等边三角形， 点是边的中点， ，， 在中，， ， ，即， 设 ，则， 由折叠的性质可知，， 在中，由勾股定理得， 即， 整理得， 解得， ∴． 2．（25-26八年级下·河南许昌·期末）如图，在菱形中，，，是的中点，是边上一动点．将沿折叠，得到．若与菱形的对角线平行，则的长为________． 【答案】6或 【分析】分两种情况：连接，若；连接，若；分别利用菱形的性质、等边三角形的判定与性质以及直角三角形的性质计算即可得出结果． 【详解】解：如图，连接，若， ∵四边形为菱形， ∴，， ∵， ∴， 由折叠的性质可得， ∴， ∴， ∵是的中点， ∴， 过点作于，则， ∴，， ∴， ∴； 如图，连接，若， ∵四边形为菱形， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴点落在上， ∵是的中点， ∴， ∴， 由折叠的性质可得， ∴； 综上所述，的长为6或． 3．（25-26八年级下·广西南宁·期末）【问题情境】在综合与实践课上，老师让同学们以“菱形纸片的折叠”为主题开展小组数学活动． 已知菱形纸片，． 【成果展示】 (1)第一小组：如图1，连接，折叠菱形纸片，使点落在对角线上的点处，折痕分别交，于点，．判断四边形的形状，并加以证明． (2)第二小组：将菱形纸片沿过点的直线折叠到如图2所示的位置，点的对应点为点，折痕交于点，交于点． ①判断和的数量关系，并加以证明． ②将菱形纸片沿过点的直线折叠到如图3所示的位置，其中交于点．若恰好是的中点，且，求线段的长． 【答案】(1)解：四边形是菱形， 证明如下：设与交于点， ∵菱形纸片， ， ∵折叠菱形纸片，使点落在对角线上的点处， ∴垂直平分， ， ， ， ， ， ∴四边形是菱形； (2)①， 证明：如图，连接， ∵菱形， ， ∴， ∴是等边三角形， ， ∵折叠， ， ， ， ， ， ； ② 【分析】（1）设与交于点，先由菱形纸片得到，再由折叠得到，，即可证明，得到，推出，则四边形是菱形； （2）①连接，由菱形，得到，由折叠得到，，则，根据，得到，利用等角对等边得到； ②由恰好是的中点，得到，则，则，根据，求出，则，最后根据求解即可； 【详解】（1）略 （2）①略 ②解：如图，连接，， ∵， ， ∵恰好是的中点， ， ， ∵， ， ， 根据①可得， ∴， ， 解得：， ， ， ， ， ． ◆题型2 矩形中的折叠问题 4．（2026·江苏连云港·中考真题）取一张矩形纸片（图1），按如图2所示方式折叠，使点A落在上，折痕为，再按如图3所示方式折叠，点与点恰好重合，则____． 【答案】 【分析】设，根据折叠的性质、矩形的性质可判断是等腰直角三角形，则可得，根据折叠的性质得出，即可求解． 【详解】解：设， ∵四边形是矩形， ∴， 根据图2可得， ∴是等腰直角三角形， ∴， 根据图3可得， ∴. 5．（25-26八年级下·河南漯河·期末）在折纸活动中，小强将一张矩形纸片（如图1）进行了两次折叠，第一次将沿折叠，使点A的对应点E落在上（如图2）；第二次将沿折叠，点B的对应点为G （ 如图3）．若点G落在的边上，且， 则的长为___________． 【答案】2或 【分析】第一次折叠得到，，，第二次折叠得到，，分两种情况：当点E和点G重合时，；当点G落在上时，则于点G，由勾股定理求出，再根据即可得解． 【详解】解：∵纸片是矩形， ∴，， ∵第一次将沿折叠，使点A的对应点E落在上， ∴，，， ∵第二次将沿折叠，点B的对应点为G， ∴，， 分以下两种情况： 如图，当点E和点G重合时，； 如图，当点G落在上时，则于点G， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上所述：的长为2或． 6．（25-26八年级下·山东泰安·期末）手工实践课上，老师带领同学们开展趣味折纸活动，每位同学都领到三张平整的长方形卡纸，其中，．大家跟随老师的步骤动手折叠、探究图形变化中的数学问题： (1)动手操作一： 将一张长方形卡纸进行折叠，使顶点与顶点重合，压出平整折痕，然后展平得到图1，请写出四边形是什么特殊四边形：___________________； (2)动手操作二： 为进一步探究折叠规律，大家在第二张卡纸上先找出线段的中点，再沿着线段向内折叠，使顶点落在长方形内部的点处，连接，如图2， ①试判断线段与折痕的位置关系，并说明理由， ②求线段的长； (3)动手操作三： 大家在第三张卡纸上先找出线段的中点，沿线段折叠卡纸，让顶点落在点处，连接并延长，交边于点．展平后再次折叠纸片得到，如图3，请直接写出的长． 【答案】(1)四边形是菱形 (2)①位置关系：，理由如下： 连接交于点，如图， 由翻折可知：垂直平分， ∴，， ∵点为的中点， ∴是的中位线， ∴，即； ②线段的长为； (3) 【分析】（1）连接，，设与交于点，由翻折可知，，是的垂直平分线，由线段垂直平分线的性质可得，，由矩形的性质可得，推出，，证明得出，即可得证； （2）①连接交于点，由翻折可知垂直平分，由线段垂直平分线的性质可得，，证明是的中位线，得出，即可得解；②根据①可求出，由勾股定理可得，由等面积法求出，得出，最后再由勾股定理计算即可得解； （3）延长交的延长线于点，则，，，，根据矩形的性质即可证明，有，结合平行线的性质得到，即有，设，则，利用勾股定理，求得和，设，则和，在中，利用勾股定理求得即可． 【详解】（1）解：如图，连接，，设与交于点， 由翻折可知：，，是的垂直平分线， 即有，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是菱形； （2）解：①略 ②如图， 由①可知：，， 在矩形纸片中，，， ∵点为的中点， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴； （3）解：延长交的延长线于点，如图， 则，，，， ∵四边形是矩形， ∴， ∵点为线段的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 由折叠得， ∴， 则， 设， ∵， ∴， ∵，点为线段的中点， ∴， ∵， ∴， 解得， 则， 设，则，， ∵，， ∴， 在中，， 即， 解得， 则． ◆题型3 正方形中的折叠问题 7．（25-26八年级下·江苏南京·期末）如图，将正方形沿折叠，点A落在上的处．若，则折痕的长为________． 【答案】 【分析】如图，过点作于点，连接，则四边形是矩形，接着根据正方形和折叠的性质，可利用证明，从而得到，设，然后根据线段的和差推出，，，进而在中，利用勾股定理建立方程求得，即可求得答案． 【详解】解：如图，过点作于点，连接， 则，， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵折叠， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴， 设， ∵， ∴，， ∴， ∴， 在中，，即， 解得 ∴，， ∴在中，． 8．（25-26八年级下·贵州黔南·期末）如图，将正方形沿折叠，使得点A的对应点恰好与边上的中点E重合，点D的对应点为F，若，则_______． 【答案】 【分析】利用折叠的性质，得到对应边相等、对应角相等，以及折痕垂直平分，确定已知边长：E是中点，，所以．设的长度为未知数，在中，根据勾股定理列方程，求解得到和的长度．过点N作的垂线，构造直角三角形，证明该直角三角形与全等，依据全等三角形对应边相等，得到和的长度．最后代入分式计算比值． 【详解】解：连接，过作于，则， ∵正方形边长为8， ∴， ∵是中点， ∴， ∴在中，​． 设，则， 由折叠知，， 在中，由勾股定理：， 代入得：， 解得， ∴，． ∵， ∴ ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， 由折叠知，折痕是的垂直平分线，． 设垂足为点H，则， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴． 9．（25-26八年级下·河北秦皇岛·期末）数学活动课上，老师发给每名同学一张矩形纸片和一张正方形纸片，要求同学们通过折叠，折出一些特殊角． (1)如图，小明将矩形纸片翻折，使点的对应点落在边上，折痕为，此时折出的 度； (2)如图，小刚受到小明折叠过程的启发，发现如果将长方形纸片对折，折痕为，然后展开，点为上一点，再将沿折叠，使点落到上的点处，此时 度； (3)如图，小慧将正方形纸片的沿过点的直线翻折，点的对应点落在正方形内部的点处，折痕为，再将沿过点的直线翻折，使点的对应点与点重合，折痕为． ①求的度数； ②若，求的长度． 【答案】(1) (2) (3)①② 【分析】（1）根据折叠的性质可得，再由求解即可； （2） 添加辅助线，连接，得到为的垂直平分线，结合折叠的性质可得，，进而得到为等边三角形，从而可求解，由此可解； （3）①根据折叠可知，，，再结合，求解即可； ②先由折叠的性质得到，，再由直角三角形中的勾股定理建立关于的方程，求解即可． 【详解】（1）解：根据折叠的性质可得， ， ，即， ； （2）解：连接，如图， 将长方形纸片对折，折痕为， 为的垂直平分线， ， 再由折叠的性质可得，， ， 为等边三角形， ， ， ； （3）解：①由折叠性质可知：，． 四边形是正方形， ， 即． ； ②四边形是正方形， ， 由折叠可得，， ， ，， ， ， 中，， ， 即，解得． 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1．（25-26八年级下·河北沧州·期末）如图，正方形纸片的边长为，点分别在边上，将分别沿折叠，点恰好都落在上的点处，已知，则的长为（     ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正方形的折叠的性质，利用勾股定理列方程即可得到答案． 【详解】∵正方形纸片的边长为， ∴，， 根据折叠的性质可得：， 设， 则，，， ∵在中，， 即，解得：， ∴，． 2．（25-26八年级下·广西钦州·期末）如图，菱形的边，高， 点F是边上一动点，将四边形沿折叠，点A的对应点为点P．当的长度最小时，的长为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据题意画出对应图形，由可推出，确定当三点共线时，的长度最小；画出三点共线时的图形，即可求解． 【详解】解：如图1： 由题意得：，，， ∴， ∴， ， ， 即：， 故当三点共线时，的长度最小，且最小值为， 如图2： 则有， ∵， ∴， ， . 3．（25-26八年级下·福建福州·期末）如图，在矩形纸片中，，先将矩形纸片对折，使边与重合，展平后得到折痕；点为边上一点，再将纸片沿折叠，使点落在线段上的点处，则折痕的长等于（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先由对折得，结合折叠知，，连接，通过证明是等边三角形，推出，进而推出，再在中利用角对边是斜边一半结合勾股定理求出长度． 【详解】解：如图，连接， 根据题意可知，为中点，为中点，， 四边形为矩形， ， ， 由沿折叠得到， ， ，， ，，， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ，即， 解得， 故． 二、填空题 4．（25-26八年级下·江苏苏州·期末）如图，正方形中，，，将沿对折至，延长交于点，则的长是__________． 【答案】/0.6 【分析】连接，利用折叠性质和正方形性质证明，得到，设，在中利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是正方形，， ∴，． ∵， ∴． ∵沿对折至， ∴，，． ∴，． 在和中，， ∴． ∴． 设，则，，． 在中，由勾股定理得：， 即． 解得． ∴的长是． 5．（25-26八年级上·江苏无锡·阶段检测）数学实验课上，小聪将菱形纸片沿折叠，其中点E、F分别在边、上．当点B落在上的点处且时，恰有，则_______，此时_______． 【答案】 【分析】第一空，根据等腰直角三角形的性质求解即可； 第二空，延长，相交于点P，设，根据菱形的性质及等腰直角三角形的判定与性质，可逐步求得，进而可求得和的长，即得答案． 【详解】解： ，，由折叠可知， ∴， ． 故答案为：． 延长，相交于点P， 设， ， ， 将菱形纸片沿折叠，点B落在上的点处， ， ， 四边形是菱形， ，， ，，， ， ， ， 同时可得， ， ， 将菱形纸片沿折叠， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了轴对称的性质，菱形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理，添加辅助线，构造等腰三角形是解题的关键． 6．（25-26八年级下·河南濮阳·期末）如图，矩形纸片，，，，分别是，上的点．将矩形沿直线折叠，点落在点，点落在点．若点是边的三等分点，则的长为________． 【答案】或 【分析】首先由矩形得到，，，设，则，然后根据题意分两种情况讨论，分别利用勾股定理列方程求解． 【详解】解：∵矩形纸片，，， ∴，，， 由折叠得，， 设，则， ∵点是边的三等分点， ∴当时，如图， ∴， ∵， ∴，即 解得 ∴； 当时，如图， ∵， ∴，即 解得 ∴； 综上所述，的长为或． 三、解答题 7．（25-26八年级下·福建泉州·期末）如图1，在矩形中，，点、分别在边、上，且满足．将矩形沿直线折叠，使点与重合，点与重合，点恰好落在边上，连接． (1)填空：_________（填“”或“”）； (2)求的度数； (3)如图2，过点作的平分线，交直线于点．请猜想线段、和之间的数量关系，并加以证明． 【答案】(1) (2) (3)解：猜想，证明如下：     如图，在线段上截取，连接， 由（1）得， ， 在矩形中，， 由折叠的性质可得， ∴， ， ， ； 平分， ， ， ，即， ， 为等腰直角三角形，     ，， ， ， ，         ，， ， ，     又， ．     【分析】（1）由矩形的性质可得，由折叠的性质可得，则可证明，得到； （2）连接，由折叠的性质得，，证明，得到，再证明，即可得到；         （3）如图，在线段上截取，连接，证明，推出，则可证明，再证明为等腰直角三角形，得到，，证明，得到，，则可证明，再由勾股定理即可得到结论．     【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴， 由折叠的性质可得， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）解：如图，连接， 由折叠的性质得，， 在矩形中，，， ， ， ，         ， 又， ， ，             ；         （3）略 8．（25-26八年级下·辽宁抚顺·期末）在正方形中，点为边上一点，连接，将沿翻折得到，连接BF并延长交于点． (1)如图1，若，求证：； (2)如图2，若为的中点，求的值； (3)如图3，连接，若，，直接写出的长． 【答案】(1)证明：如图1， ∵四边形是正方形， ∴，， 根据折叠性质得：，，，， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴，， ， ∴， ∴， ∴． (2) (3) 【分析】（1）根据四边形是正方形，结合折叠性质证明是等边三角形，根据等边三角形性质求出，，，进一步求出等于30度，即可得，再根据等角对等边即可证明． （2）根据四边形是正方形，即可得，，结合直角三角形斜边中线的性质得，可证明，即可得，再根据折叠性质即可证明是等边三角形，根据等边三角形性质求出，再根据30度角的直角三角形性质即可得的值． （3）延长交于，连接交于，根据折叠性质、结合四边形是正方形，即可证明，根据全等性质得，再根据，结合余角性质得，根据等角对等边得，结合已知条件得，设，用的代数式表示出、、，在直角三角形中，根据勾股定理列方程，解出即可得的长． 【详解】（1）略． （2）解：如图2， 连接，， ∵为的中点，是直角三角形， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 根据折叠性质得：，，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴． ∴的值为． （3）解：如图3， 延长交于，连接交于，则：， 根据折叠性质得：，，， ， ∵四边形是正方形，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴是的中点， ∴， 设，则，，， 在直角三角形中，根据勾股定理得：， ∴，解得：， ∴， ∴的长为． 【点睛】本题考查正方形性质、折叠性质、勾股定理、30度直角三角形性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质等知识点，充分理解题意，作出正确的辅助线、灵活运用几何知识是解题的关键． 9．（25-26八年级下·广东广州·期末）数学活动课上，同学们以菱形纸片开展“折纸”活动．已知． (1)如图，折叠后，使点落在对角线上的点处，得到折痕，连接．证明：； (2)如图，折叠后，使点落在边上的点处，折痕与对角线交于点处，连接，，． ①求的度数； ②若菱形的边长为，则的周长是否存在最小值？若存在，求最小值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)证明：在菱形中，，平分，， ∴，， 又由翻折可知， 在四边形中， (2)①；②存在，理由如下： 由，， 得， 过点N作于点K， ，， 在中，由勾股定理得， ， ． 故当最小时，的周长最小， 即时，的周长最小， 此时，在中，， ， 【分析】（1）根据菱形性质求出，根据折叠性质得，再由四边形内角和即可求出； （2）①过点N作于点P，作于点Q，先根据角平分线性质得到，从而证明，得到，通过角的转化得到，再由四边形内角和即可求出；②过点N作于点K，得到是一个顶角为的等腰三角形，通过勾股定理求出，从而表示出，故时，最小，最小． 【详解】（1）略 （2）解：①如图，过点N作于点P，作于点Q， ∴ 在菱形中，，平分 ， 又由翻折可知，， 在和中， 由， ， ， ， 即， 又∵在四边形中， ， 即． ②略 10．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）【综合与探究】数学兴趣小组在学习矩形的过程中，对其中一个问题作如下探究： (1)【问题背景】教材79页8题 如图1，将矩形纸片沿着直线折叠，使点C落在处，，相交于点E，则与的数量关系是_____________． (2)【变式思考】如图2，矩形纸片，，，折叠纸片使点B的对应点E落在对角线上，求折痕的长； (3)【探究延伸】如图3，矩形纸片，，，点E为射线上一个动点，把沿着直线折叠，当点A的对应点F刚好落在线段的垂直平分线上时，求的长． 【答案】(1) (2) (3)5或20 【分析】（1）根据折叠的性质和矩形的性质解题； （2）设，则，根据矩形的性质和勾股定理计算； （3）分类讨论当点在矩形内部和外部时，根据勾股定理列方程计算即可． 【详解】（1）解：由折叠的性质知，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， 由折叠的性质知，，，， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴； （3）解：∵垂直平分， ∴，， ∵，， ∴四边形为矩形， ∴，， ①如图，当点在矩形内部时， 由折叠的性质知，，， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， 解得， ∴； ②如图，当点在矩形外部时， 同理可得，， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， 解得， ∴； 综上所述，或． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $