2.5有理数的乘法与除法（暑期预习讲义）2026-2027学年苏科版数学七年级上册

2026-2027学年苏科版数学七年级上册 2.5有理数的乘法与除法 （暑期小升初预习讲义） 【知识点一】有理数的乘法 1.定义：有理数乘法是求几个相同加数的和的简便运算。例如，a×3 可以理解为a+a+a 的和。 2.符号法则：同号相乘得正，异号相乘得负。 即，如果两个有理数同号（同为正或同为负），则它们的乘积为正；如果两个有理数异号（一个为正，一个为负），则它们的乘积为负。 任何数与0相乘，结果都为0。 【典型例题】 【例题1】若（﹣4）×□＝8，则□内的数字是（　　） A．﹣2 B．2 C．4 D．﹣4 【例题2】绝对值不大于4的整数的积是（　　） A．16 B．0 C．576 D．﹣1 【例题3】对于两个有理数a、b，如果ab＜0，那么下列结论正确的是（　　） A．a+b＞0 B．a+b＝0 C．a+b＜0 D．无法确定a+b的正负 【例题4】在五个数2，﹣1，﹣5，4，﹣3中任取三个数相乘，其中最小的积等于 　　． 【例题5】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【例题6】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【知识点二】有理数乘法的运算律 1.乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积不变。即 a×b=b×a。 2.乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变。即 (a×b)×c=a×(b×c)。 3.乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把所得的积相加。即 a×(b+c)=a×b+a×c。 【典型例题】 【例题1】计算，最简便的方法是（　　） A． B． C． D． 【例题2】若表示三个有理数，则下列等式可以表示乘法交换律的是（    ） A． B． C． D． 【例题3】在算式1.25×（）×（﹣8）＝1.25×（﹣8）×（）＝[1.25×（﹣8）]×（）中，应用了（　　） A．分配律 B．分配律和结合律 C．交换律和结合律 D．交换律和分配律 【例题4】计算： ． 【例题5】计算：能用简算的用简算 (1)； (2)． 【例题6】下面是乐乐同学进行有理数运算的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解： 第一步 第二步 第三步 ．第四步 任务： (1)填空： ①以上运算步骤中，第一步依据的运算律是　　； ②第　　步开始出现错误，错误的原因是　　． (2) 请直接写出正确的计算结果． 【知识点三】有理数的倒数 1.定义：乘积是1的两个数互为倒数。 2.性质： （1）0没有倒数。 （2）正数的倒数是正数，负数的倒数是负数。 （3）倒数等于它本身的数是1和-1。 【典型例题】 【例题1】中国古代数学著作《九章算术》最早提到了负数．﹣2025的相反数的倒数是（　　） A．﹣2025 B．2025 C． D． 【例题2】的倒数是（　　） A． B． C． D． 【例题3】2025的相反数是 ，2的绝对值是 ，的倒数是 ． 【例题4】用一组不等于0的有理数a，b的值说明“如果a大于b，那么a的倒数小于b的倒数”这一说法是错误的，那么a的值可以是　　 ，b的值可以是　　 ． 【例题5】学习了有理数的除法后，我们知道了有理数的除法可以转化为乘法，即除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数．例如：，注意到与互为倒数． （1）若，则的值为 ． （2）计算的值为 ． 【例题6】阅读下面的材料． 计算：． 解法一：原式． 解法二：原式． 解法三：原式的倒数为， 其值20﹣15+5＝10， ∴原式． 上述解法的结果不同，肯定有错误的解法．你认为解法 　　 是错误的．在正确的解法中，你认为解法 　　 较简捷．用你认为简便的方法计算：． 【知识点四】有理数的除法 法则1：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，即。 法则2：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除． 0除以任何一个不等于0的数，都得0. 【典型例题】 【例题1】计算（﹣9）÷（﹣3）的结果等于（　　） A．﹣3 B．﹣2 C．2 D．3 【例题2】计算1时，除法变为乘法正确的是（　　） A． B． C． D． 【例题3】若x＜0，则　　 ． 【例题4】若三个非零有理数a，b，c满足1，则　﹣1　 ． 【例题5】计算： (1) ； (2) ； (3)． 【例题6】阅读下列材料，并回答问题： 计算：． 解法一：原式＝； 解法二：； 解法三：原式的倒数为； 故原式． (1)上述得出的结果不同，肯定有错误的解法，你认为解法 是错误的； (2)请你选择合适的解法计算：． 【知识点五】有理数的乘除混合运算 由于乘除是同一级运算，应按从左往右的顺序计算，一般先将除法化成乘法，然后确定积的符号，最后算出结果． 【典型例题】 【例题1】计算的结果是（　　） A． B．1 C．16 D． 【例题2】给出下列等式： ①（﹣1）×（﹣2）×（﹣4）＝8； ②（﹣49）÷（﹣7）＝﹣7； ③（）÷（﹣1）； ④（﹣4）（﹣2）＝4． 其中正确的个数是（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 【例题3】计算：（）×3÷3×（）＝　　． 【例题4】如图，按程序框图中的顺序计算，当输入的初始值x为32时，则输出的最后结果为 ． 【例题5】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【例题6】小王师傅是一名出租车司机．一天下午，他在一条东西走向的马路上连续接送8次乘客，并把每个乘客的行程记录如下：，，，，，，，．（注：向西记作“”，向东记作“”，单位是千米）请同学们思考并回答下列问题： (1)小王师傅在A处接上第一名乘客出发，将最后一名乘客送到目的地时，他此时在出发地A处什么方向？距A处多远？ (2)送完第几个乘客时距离A处最远？ (3)公司规定每趟车的起步价是10元，且每趟车3千米以内（含3千米）只收起步价；若超过3千米，除收起步价外，超过的每千米还需收2元钱，小王师傅接送8次乘客共收车费多少元？ 答案解析 【知识点一】有理数的乘法 1.定义：有理数乘法是求几个相同加数的和的简便运算。例如，a×3 可以理解为a+a+a 的和。 2.符号法则：同号相乘得正，异号相乘得负。 即，如果两个有理数同号（同为正或同为负），则它们的乘积为正；如果两个有理数异号（一个为正，一个为负），则它们的乘积为负。 任何数与0相乘，结果都为0。 【典型例题】 【例题1】若（﹣4）×□＝8，则□内的数字是（　　） A．﹣2 B．2 C．4 D．﹣4 【答案】A 【例题2】绝对值不大于4的整数的积是（　　） A．16 B．0 C．576 D．﹣1 【答案】B 【例题3】对于两个有理数a、b，如果ab＜0，那么下列结论正确的是（　　） A．a+b＞0 B．a+b＝0 C．a+b＜0 D．无法确定a+b的正负 【答案】D 【例题4】在五个数2，﹣1，﹣5，4，﹣3中任取三个数相乘，其中最小的积等于 　　． 【答案】-40 【例题5】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】（1）解： （2） （3） （4） 【例题6】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解： 【知识点二】有理数乘法的运算律 1.乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积不变。即 a×b=b×a。 2.乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变。即 (a×b)×c=a×(b×c)。 3.乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把所得的积相加。即 a×(b+c)=a×b+a×c。 【典型例题】 【例题1】计算，最简便的方法是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【例题2】若表示三个有理数，则下列等式可以表示乘法交换律的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【例题3】在算式1.25×（）×（﹣8）＝1.25×（﹣8）×（）＝[1.25×（﹣8）]×（）中，应用了（　　） A．分配律 B．分配律和结合律 C．交换律和结合律 D．交换律和分配律 【答案】C 【例题4】计算： ． 【答案】-22 【例题5】计算：能用简算的用简算 (1)； (2)． 【答案】（1）解： ； （2）解： ． 【例题6】下面是乐乐同学进行有理数运算的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解： 第一步 第二步 第三步 ．第四步 任务： (1)填空： ①以上运算步骤中，第一步依据的运算律是　　； ②第　　步开始出现错误，错误的原因是　　． (2)请直接写出正确的计算结果． 【答案】（1）解：①在所给运算步骤中，第一步依据的运算律是乘法分配律； ②第二步开始出现错误，错误的原因是计算时符号出现错误， 故答案为：①乘法分配律；②二，计算时符号出现错误； （2）解： ． 【知识点三】有理数的倒数 1.定义：乘积是1的两个数互为倒数。 2.性质： （1）0没有倒数。 （2）正数的倒数是正数，负数的倒数是负数。 （3）倒数等于它本身的数是1和-1。 【典型例题】 【例题1】中国古代数学著作《九章算术》最早提到了负数．﹣2025的相反数的倒数是（　　） A．﹣2025 B．2025 C． D． 【答案】D 【例题2】的倒数是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【例题3】2025的相反数是 ，2的绝对值是 ，的倒数是 ． 【答案】 2 【例题4】用一组不等于0的有理数a，b的值说明“如果a大于b，那么a的倒数小于b的倒数”这一说法是错误的，那么a的值可以是　　 ，b的值可以是　　 ． 【答案】1（答案不唯一）；﹣2（答案不唯一）． 【例题5】学习了有理数的除法后，我们知道了有理数的除法可以转化为乘法，即除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数．例如：，注意到与互为倒数． （1）若，则的值为 ． （2）计算的值为 ． 【答案】 （1）∵， ∴． （2） ， ． 故答案为：，． 【例题6】阅读下面的材料． 计算：． 解法一：原式． 解法二：原式． 解法三：原式的倒数为， 其值20﹣15+5＝10， ∴原式． 上述解法的结果不同，肯定有错误的解法．你认为解法 　　 是错误的．在正确的解法中，你认为解法 　　 较简捷．用你认为简便的方法计算：． 【答案】解：解法一是错误的；解法三较简捷； 故答案为：一，三； 原数的倒数为：（）÷（） ＝（）×（﹣42） （﹣42）（﹣42）（﹣42）（﹣42） ＝﹣7+9﹣28+12 ＝﹣14， 故原式． 【知识点四】有理数的除法 法则1：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，即。 法则2：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除． 0除以任何一个不等于0的数，都得0. 【典型例题】 【例题1】计算（﹣9）÷（﹣3）的结果等于（　　） A．﹣3 B．﹣2 C．2 D．3 【答案】D 【例题2】计算1时，除法变为乘法正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【例题3】若x＜0，则　　 ． 【答案】-1 【例题4】若三个非零有理数a，b，c满足1，则　﹣1　 ． 【答案】-1 【例题5】计算： (3) ； (4) ； (3)． 【答案】（1） ． （2）． （3） ． 【例题6】阅读下列材料，并回答问题： 计算：． 解法一：原式＝； 解法二：； 解法三：原式的倒数为； 故原式． (1)上述得出的结果不同，肯定有错误的解法，你认为解法 是错误的； (2)请你选择合适的解法计算：． 【答案】（1）上述得出的结果不同，正确答案为，解法一是错误的； 故答案为：一； （2）解法二：原式， ， ， ； 解法三：原式的倒数； ； ； ； ， 则原式． 【知识点五】有理数的乘除混合运算 由于乘除是同一级运算，应按从左往右的顺序计算，一般先将除法化成乘法，然后确定积的符号，最后算出结果． 【典型例题】 【例题1】计算的结果是（　　） A． B．1 C．16 D． 【答案】A 【例题2】给出下列等式： ①（﹣1）×（﹣2）×（﹣4）＝8； ②（﹣49）÷（﹣7）＝﹣7； ③（）÷（﹣1）； ④（﹣4）（﹣2）＝4． 其中正确的个数是（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【例题3】计算：（）×3÷3×（）＝　　． 【答案】 【例题4】如图，按程序框图中的顺序计算，当输入的初始值x为32时，则输出的最后结果为 ． 【答案】128 【例题5】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 【例题6】小王师傅是一名出租车司机．一天下午，他在一条东西走向的马路上连续接送8次乘客，并把每个乘客的行程记录如下：，，，，，，，．（注：向西记作“”，向东记作“”，单位是千米）请同学们思考并回答下列问题： (1)小王师傅在A处接上第一名乘客出发，将最后一名乘客送到目的地时，他此时在出发地A处什么方向？距A处多远？ (2)送完第几个乘客时距离A处最远？ (3)公司规定每趟车的起步价是10元，且每趟车3千米以内（含3千米）只收起步价；若超过3千米，除收起步价外，超过的每千米还需收2元钱，小王师傅接送8次乘客共收车费多少元？ 【答案】（1）解： 所以将乘客送到目的地时，他在A处东边，距离A处4千米； （2）解：由题意可知 ；；；；；；； 即送完第一个乘客距离A处2千米， 送完第二个乘客距离A处3千米， 送完第三个乘客距离A处0千米， 送完第四个乘客距离A处6千米， 送完第五个乘客距离A处3千米， 送完第六个乘客距离A处1千米， 送完第七个乘客距离A处3千米， 送完第八个乘客距离A处4千米， 所以在送完第四个乘客距离A处最远． （3）解： （元） ( 第 1 页 共 9 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $