第05讲有理数的乘法与除法（4大知识点+12大典例+变式训练+过关检测）-（暑期衔接课堂）2026年暑假苏科版七年级数学上册衔接讲义

第05讲有理数的乘法与除法（4大知识点+12大典例+变式训练+过关检测） 典型例题一 两个有理数的乘法运算 典型例题二 多个有理数的乘法运算 典型例题三 多个有理数的乘法运算 典型例题四 倒数 典型例题五 有理数乘法运算律 典型例题六 有理数的除法运算 典型例题七 有理数除法的应用 典型例题八 有理数乘除混合运算 典型例题九 有理数四则混合运算 典型例题十 有理数四则混合运算的实际应用 典型例题十一 根据点在数轴的位置判断式子的正负 典型例题十二 数轴上的翻折 知识点一：有理数乘法法则 1. 正数乘正数，积为正数；正数乘负数，积为负数；负数乘正数，积为负数；负数乘负数，积为正数．积的绝对值等于各乘数的绝对值的积． 2. 两数相乘，同号得正，异号得负，且积的绝对值等于乘数的绝对值的积；任何数与0相乘，都得0． 3. 有理数乘法法则也可以表示如下： 设a，b为正有理数，c为任意有理数，则 ； ，； ，． 【即时训练】 1．（2026·七年级上 四川德阳·阶段测试）计算 （     ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·内蒙古包头·阶段检测）计算： ______． 知识点二：倒数的概念与求法 1. 倒数的概念：乘积是1的两个数互为倒数．即若a与b互为倒数，则． 2. 倒数的求法 类型 方法 真、假分数的倒数 将分子分母交换位置 非0整数的倒数 整数作分母，1作分子 小数的倒数 对于可以除尽的数的倒数，可以用1除以这个数求倒数 对于除不尽的数，转换为分数，再按照真、假分数求倒数的方法来进行 带分数的倒数 先把带分数化为假分数，然后将分子分母调换位置 【即时训练】 1．（25-26七年级上·江西上饶·期中）的倒数是（   ） A． B． C．2036 D． 2．（25-26七年级上·重庆·期中）已知数表示的是的倒数，数表示的是最小的正整数，数表示的是的绝对值，则数，，的大小关系为_____（用“>”符号连接） 知识点三：有理数的乘法运算律 运算律 文字叙述 用字母表示 乘法交换律 两个数相乘，交换乘数的位置,积不变 乘法结合律 三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变 乘法分配率 一个数与两个数的和相乘，等于把这个数分别与这两个数相乘，再把积相加 【即时训练】 1．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）公式的运算依据是（） A．乘法结合律 B．乘法分配律 C．积的乘方法则 D．同底数幂的乘法法则 2．（24-25七年级上·广东潮州·阶段检测）计算：_______ ；_______ ；_______ 知识点四：多个有理数相乘的符号法则 1. 几个不为0的数相乘，负的乘数的个数是 2. 几个数相乘，如果其中有乘数为0，那么积为0． 3. 有理数除法法则 （1）除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数．即． （2）两数相除，同号得正，异号得负，且商的绝对值等于被除数的绝对值除以除数的绝对值的商．若 ，则；若,则． （3）0除以任何一个不等于0的数，都得0． 4. 有理数除法的两个法则要根据具体情况灵活选用 （1）对于除法的两个法则，在计算时可根据具体情况选用，一般在不能整除的情况下选用法则（1）比较简便，在能整除的情况下，选用法则（2）比较简便． （2）如果被除数和除数都是整数，且不能整除，或者如果被除数和除数中有小数或分数，一般选用法则（1)进行计算． 5. 有理数的乘除混合运算通常是先将除法转化为乘法，然后按照乘法法则，确定积的符号，最后求出结果． 6. 有理数的四则运算：先算乘除，后算加减，有括号先算括号里面的（先小括号，再中括号，最后大括号），同级运算，按照从左往右的顺序进行计算． 【即时训练】 1．（25-26七年级上·云南曲靖·期中）不计算，直接判断的结果是（   ） A．正数 B．负数 C．0 D．无法确定 2．（25-26七年级上·天津河西·阶段检测）计算_______，______，_______． 【典型例题一 两个有理数的乘法运算】 1．（2026·七年级上 浙江温州·阶段测试）元代《算学启蒙》中记载：“同号相乘为正，异号相乘为负”，则下列运算的结果为负数的是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·重庆·自主招生）规定，算一算的结果是________． 1．（25-26七年级上·天津河西·期中）一般地，“一个数与两个数的和相乘，等于把这个数分别与这两个数相乘，再把积相加．”对于以上运算律，用符号语言可以描述为（   ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·陕西西安）若的绝对值与的绝对值均为，则的倒数为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级上·上海金山·期中）计算：______． 4．（24-25七年级上·江苏·阶段检测）小明同学在学习完有理数的运算后，对运算产生了浓厚的兴趣，他借助有理数的运算，定义了一种新运算“”，运算规则为：． (1)计算的值； (2)填空：___________（填“>”或“=”或“<”） (3)求的值． 【典型例题二 多个有理数的乘法运算】 1．（25-26七年级上·山西晋城·期中）4个均不为0的有理数相乘，积为负数．下列关于这4个有理数的描述，可能正确的是（　　） A．2个正数，2个负数 B．1个正数，3个负数 C．都是负数 D．都是正数 2．（25-26七年级上·上海·阶段检测）________； 1．（25-26七年级上·河北邢台·阶段检测）四个有理数相乘，，其中一个有理数被污染，若积为负，则被污染的有理数可能是（    ） A．0 B． C． D． 2．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）已知，，，，则（   ） A．， B．， C．， D．， 3．（25-26七年级上·全国·周测）如图，小海有张写着不同数的卡片． （1）从中抽出张卡片，使卡片上的数相除，所得到的商最小，最小的商是___________． （2）从中抽出张卡片，使卡片上的数相乘，所得到的积最大，最大的积是___________． 4．（25-26七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 【典型例题三 多个有理数的乘法运算】 1．（25-26七年级上·北京海淀·阶段测试）中央民族大学附属中学开展民族团结主题活动，七年级共有320名学生参与，其中少数民族学生人数占总人数的，则少数民族学生人数为（   ） A．120 B．160 C．200 D．240 2．（25-26七年级上·湖南长沙·自主招生）一件羊绒混纺大衣的标签上写着：“羊毛，羊绒．”这件羊绒大衣重克，制作这件羊绒大衣需要羊绒_____克． 1．（25-26七年级上·黑龙江齐齐哈尔·阶段检测）齐齐哈尔扎龙自然保护区内有丹顶鹤约只，白鹤的数量是丹顶鹤的，白鹤比丹顶鹤少（   ）只． A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·吉林长春·阶段检测）小明从一条东西走向的人行道上某一点出发，以每秒米的速度向东行走秒后，立即改变方向，又以每秒米的速度向西奔跑秒后停止．若规定向东为正，向西为负，则上述过程写成算式是(   ) A． B． C． D． 3．（25-26七年级上·山西运城·期中）负数是与正数表示相反含义的量，例如某水库水位上升记为正，水位下降记为负，若该水库每天水位下降，经过天后，可列算式为，计算结果为，比现在低．若该水库每天下降，天前的水位变化情况可列算式为_____． 4．（25-26七年级上·湖北咸宁·阶段测试）无人车负责向某小区快递超市配送快递，计划平均每天配送600件快递，实际每天的配送量与计划量有出入，下表是该无人车2026年1月第一周的配送情况（超过计划量记为正，不足记为负）． 星期 一 二 三 四 五 六 日 配送情况（单位：件） 0 请问该无人车本周（7天）实际向快递超市配送多少件快递？ 【典型例题四 倒数】 1．（25-26七年级上·广东佛山·阶段测试）小穗的妈妈用手机记账本记录家庭收支，收入记为正数，支出记为负数．周一显示“”元，周二显示“”元．以下说法正确的是（   ） A．周一和周二收支的绝对值不相等 B．周一和周二收支情况互为相反数 C．的倒数是 D．是负数 2．（25-26七年级上·海南省直辖县级单位·期中）_______． 1．（24-25七年级上·河南周口·阶段检测）下列说法正确的是（    ） A．一定是负数 B．不是每一个有理数都可以在数轴上表示出来 C．小于的数的倒数一定大于其本身 D．一个数的倒数不可能等于它本身 2．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）的绝对值的相反数的倒数等于（    ） A． B． C． D．12 3．（25-26七年级上·山东日照·阶段检测）如果a和2025是互为相反数，那么a的倒数是______． 4．（25-26七年级上·全国·课后作业）写出下列各数的倒数： 1，，，3.5． 【典型例题五 有理数乘法运算律】 1．（25-26七年级上·广东湛江·期中）计算：的值为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·宁夏银川·期中）________． 1．（25-26七年级上·山东临沂·开学考试）下面的式子中应用了乘法结合律的是（   ） A． B． C． D． 2．（2026·七年级上 河北邢台·阶段测试）算式可以变形为，依据是（     ） A．乘法交换律 B．分配律 C．移项 D．乘法结合律 3．（25-26七年级上·广西南宁·期中）计算______． 4．（25-26七年级上·江苏扬州·阶段测试）计算： (1) ； (2)． 【典型例题六 有理数的除法运算】 1．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）从里面减去，要减（    ）次后所得的结果为0． A．2 B．3 C．4 D．5 2．（25-26七年级上·江苏无锡·自主招生）除数和商都是29，则被除数是___． 1．（25-26七年级上·山东青岛·阶段检测）在下列说法中： ①互为相反数的（除0外）的两个数相除的结果一定为； ②有理数不是整数就是分数； ③有的有理数不能在数轴上表示出来； ④两数的乘积为正数，则这两个数都是正数．正确的个数有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 2．（25-26七年级上·福建厦门·阶段检测）数轴上A，B，C，D，E五个点所对应的数分别为a，b，c，d，e，则下列代数式为负数的是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级上·黑龙江绥化·阶段检测）小溪在计算时，除号变乘号时，忘记把改成它的倒数，结果是54，则的正确结果是______． 4．（25-26七年级上·辽宁阜新·阶段检测）现有五张纸片，纸片上分别写有，，，，五个有理数； (1)从中取两张纸片，使这两张纸片上的数字相乘的积最小，列式并进行运算； (2)从中取两张纸片，使这两张纸片上的数字相除的商最大，列式并进行运算； 【典型例题七 有理数除法的应用】 1．（25-26七年级上·黑龙江大庆·期中）先锋小学开展奖章兑换活动，20个奖章可以换4支钢笔，笑笑有100个奖章，可以换（   ）支钢笔 A．40 B．5 C．10 D．20 2．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段测试）已知平均每个水龙头一天漏水约，如果1个人1年用水，那么按照这个漏水速度，100个水龙头1年（365天）的漏水量可供______人用1年． 1．（25-26七年级上·江苏·期中）江苏省城市足球联赛（简称“苏超”）于2025年5月10日拉开帷幕，第一轮常规赛由代表各地级市的13支球队进行单循环比赛，即每支球队都要与其他球队比赛一场，则“苏超”第一轮常规赛共比赛（    ） A．12场 B．24场 C．78场 D．85场 2．（24-25七年级上·黑龙江·期中）胜利小学计划招生人，实际 招生人， 实际多招了几分之几的算式是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级上·北京顺义·阶段测试）如图，大小两个正方形的各顶点处都有一个“圆圈”，将，，，，0，1，2，3分别填入“圆圈”中，使大正方形顶点处、小正方形顶点处以及大正方形的每条对角线上的四个“圆圈”内的数之和都相等，若，0已填入如图所示的位置．则表示的两个数的和为______，所表示的数分别为______（填出一种即可）． 4．（25-26七年级上·陕西咸阳·期中）三原圣女果是陕西省三原县特色农产品，果形椭圆、表皮光滑呈红色，口感清甜，富含维生素C、番茄红素等营养成分．小南家的圣女果每年通过网络进行包销销售，一客户在小南家预订了7箱圣女果，以每箱3千克为标准，超过的千克数记为正数，不足的千克数记为负数，记录如下表： ，，，，，，． (1)最重的一箱比最轻的一箱重_______千克； (2)这7箱圣女果的平均质量是多少？ (3)据调查，每箱圣女果的邮寄费用为2元，圣女果在邮寄途中的受损率为5%，破损部分由小南家按售价进行赔偿．若圣女果的成本为3元/千克，售价为8元/千克，顾客以这7箱圣女果的实际质量付款，求小南家售卖这7箱圣女果获得的利润． 【典型例题八 有理数乘除混合运算】 1．（2025七年级上·全国·专题练习）（　　） A．2 B． C．1 D．4 2．（25-26七年级上·上海浦东新·阶段测试）计算：_____． 1．（25-26七年级上·安徽合肥·阶段检测）计算：得（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·河南南阳·阶段检测）下列各式中，与的运算结果相同的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级上·全国·期中）将，，，，，，，填入九宫格内，如图所示的处应填_____． 4．（25-26七年级上·江苏扬州·周测）计算： (1)； (2)． 【典型例题九 有理数四则混合运算】 1．（25-26七年级上·内蒙古包头·阶段检测）按照运算顺序，计算第一步应算（     ） A． B． C．同时计算 D．无法确定 2．（25-26七年级上·重庆·自主招生）计算：________． 1．（25-26七年级上·广西钦州·阶段检测）“△”表示一种运算符号，其意义是：，那么等于（   ） A． B． C．1 D．5 2．（25-26七年级上·辽宁辽阳·阶段测试）用“☆”定义一种新运算：对于任意不为零的整数和，规定，如，则的值为（   ） A．3 B．6 C．7 D．11 3．（2025七年级上·全国·专题练习）计算：______． 4．（25-26七年级上·重庆沙坪坝·阶段检测）计算： 【典型例题十 有理数四则混合运算的实际应用】 1．（25-26七年级上·浙江宁波·阶段测试）如图，一把刻度尺放在数轴上，发现数轴上表示数和3的点分别与刻度尺上和的刻度线对应，则数轴上1个单位的长度是（    ）． A． B． C． D． 2．（2024七年级上·全国·专题练习）某地电费按梯度收费，不超过10度时，每度元，超过10度时，每度元．张家比李家多缴电费元，如果两家用电的度数都是整数度，那么张家缴电费__元，李家缴电费__元． 1．（25-26七年级上·山西临汾·阶段测试）《九章算术》中记载“今有上八人，下六人，上每人得钱五，下每人出钱三，问余钱几何？”（注：“上”指收入，“下”指支出，收入为正，支出为负）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 21．（24-25七年级上·广东深圳·开学考试）游泳馆收取门票，一次30元，现推出三种会员年卡：A卡收费50元，办理后每次门票25元：B卡收费200元，办理后每次门票20元； C卡收费400元，办理后每次门票15元． 某人一年游泳次数45~55次，他选择下列（   ）方案最合算． A．不办理会员年卡 B．办理A卡 C．办理B卡 D．办理C卡 3．（25-26七年级上·浙江温州）实验测得，海拔每增加，气温大约下降．小王所在位置的气温是，如果当时地面的气温是，则小王所在位置离地面的高度大约为___________． 4．（25-26七年级上·江苏南通·阶段测试）冬季来临，小芳家为了节省取暖费用，将旧空调更换为节能空调．她记录了一星期内每天节能空调的运行时长（如下表，单位：小时）．以5小时为标准，超过的小时数记为正数，不足的小时数记为负数．其中，星期五比星期四多用小时． 星期 一 二 三 四 五 六 日 时长 a 0 (1)根据题意得： ______； (2)已知旧空调耗电每小时度，节能空调耗电每小时度，若电价为元/度，小芳家换成节能空调后，这一星期七天的电费比原来使用旧空调节省了多少元？ 【典型例题十一 】根据点在数轴的位置判断式子的正负 1．（2025·七年级上 广东东莞）如图，点A，B为数轴上的两个点，点O为原点，若，则点A，B所对应的数a，b满足的数量关系不正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·全国·阶段测试）实数在数轴上表示如图：则下列结论正确的有__________（填序号）． ①；②；③；④． 1．（2026·七年级上 辽宁营口·阶段测试）实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·江西吉安·期中）有理数a，b在数轴上的位置如图所示，则的值是（   ） A．负数 B．正数 C．0 D．正数或0 3．（25-26七年级上·湖南娄底·阶段测试）有理数在数轴上的对应点位置如图所示.五个数中最大的是_____. 4．（24-25七年级上·江苏南通·阶段测试）有理数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示． (1)用“”、“”或“”填空：________，________； (2)用“”将，，连接起来（直接写出结果）． 【典型例题十二 数轴上的翻折】 1．（25-26七年级上·广东广州·期中）如图，一条数轴上有点A、B、C，其中点A、B表示的数分别是，20，现以点C为折点，将数轴向右对折，若点A落在射线上且到点B的距离为8，则C点表示的数是（   ） A．3 B．5 C．5或 D．或3 2．（25-26七年级上·浙江宁波·期中）如图，一个点从数轴上的原点开始，先向左移动1个单位长度到达点，再向左移动3个单位长度到达点，然后再向右移动9个单位长度到达点．已知数轴上一点，当将数轴折叠，使得点与点重合时，点恰好与点重合，则点表示的数为_______． 1．（25-26七年级上·福建厦门·阶段测试）点A，B，C是同一条数轴上的三个点，点表示的数为，点表示的数为6，点C在点的右边．若以点为折点，将向右对折，点落在数轴上的点处，，则点表示的数为（    ） A． B． C．或 D．或 2．（25-26七年级上·山东日照·阶段检测）小亮在纸上画了一条数轴后，折叠纸面，使数轴上表示的点与表示的点重合，则表示的点与表示（    ）的点重合 A．10 B． C．0 D． 3．（25-26七年级上·全国·周测）如图，在纸上有一条数轴．折叠这张纸，使对应的点与1对应的点重合，则3对应的点与________对应的点重合． 4．（25-26七年级上·广东汕头·阶段测试）操作探究：已知在纸面上有一数轴（如图所示）． 左右折叠纸面，折痕所在的直线与数轴的交点为“对折中心点” 操作一： （1）左右折叠纸面，使2表示的点与表示的点重合，则表示的点与______表示的点重合； 操作二： （2）左右折叠纸面，使表示的点与5表示的点重合，回答以下问题： ①对折中心点所表示的数为______，对折后6表示的点与数______表示的点重合； ②若数轴上，两点之间距离为12（在的左侧），且，两点经折叠后重合，求、两点表示的数是多少？ 1．（2026·七年级上 河南驻马店·阶段测试）设x是有理数，那么下列各式中一定表示正数的是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·河北衡水·阶段测试）四个有理数相乘，■，其中一个有理数被污染，若积为负数，则被污染的有理数可能是（    ） A． B．0 C．0.5 D．10 3．（25-26七年级上·山东菏泽·阶段测试）现有果冻食谱（1份）：果冻粉30克，砂糖20克（20克砂糖可以换6匙糖浆），咖啡粉70克；傅妈妈想根据此食谱内容制作六份果冻．若她加入50克砂糖后，不足砂糖可依比例换成糖浆，则她需再加糖浆（    ） A．15匙 B．18匙 C．21匙 D．24匙 4．（2026·七年级上 山东德州·阶段测试）的相反数的倒数是（   ） A． B． C． D．2026 5．（25-26七年级上·安徽铜陵·阶段测试）在算式变形：中，运用了（   ） A．分配律 B．乘法交换律 C．乘法交换律和分配律 D．分配律和乘法结合律 6．（25-26七年级上·上海松江·阶段测试）下列说法正确的是（   ） A．如果两个数的和为0，那么这两个数的商为 B．如果两个数的差为0，那么这两个数的商为1 C．如果两个数的积为，那么这两个数的和为0 D．如果两个数的商为，那么这两个数的和为0 7．（24-25七年级上·全国·阶段检测）下列算式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 8．（24-25七年级上·陕西西安·开学考试）一个筑路队要筑一条长2100米的公路，前5天平均每天修240米．余下的任务要求3 天完成，平均每天要修多少米？算式是（   ） A． B． C． 9．（25-26七年级上·安徽宿州·阶段检测）若，则的结果可用代数式表示为（   ） A． B． C． D． 10．（2026·七年级上 广西南宁·阶段测试）如图是一个运算程序的示意图，若输入x的值为1，则输出的结果是（     ） A．5 B．6 C．7 D．8 11．（25-26七年级上·江苏扬州·阶段测试）已知，，且，，则______． 12．（25-26七年级上·江苏扬州·阶段检测）绝对值不大于的所有整数的积是______ 13．（25-26七年级上·黑龙江绥化·阶段检测）的相反数是______，的绝对值是______，的倒数是______． 14．（25-26七年级上·重庆·自主招生）计算：________． 15．（25-26七年级上·山东青岛·期中）如图，有一块长为m，宽为m的长方形草地，为方便行人走路，在草地中建设了“土”字形状的小路，小路的宽度都为m，则剩余的草地的面积是_____m2． 16．（25-26七年级上·四川自贡·阶段检测）简便运算： (1)； (2)． 17．（25-26七年级上·安徽铜陵·阶段测试）有甲、乙两种得分卡片各5张，甲卡片上分别写有1，2，3，4，5共五个得分数字；乙卡片上分别写有，，，，共五个得分数字．两种卡片的背面完全相同，将两种卡片充分混合后把背面朝上． (1)从中抽取3张相乘，如果你想得到最高分，那么希望抽取哪几张，得分是多少？ (2)从中抽取3张相加，试举例两种得0分的可能情况． 18．（23-24七年级上·陕西渭南）王先生到市行政中心大楼办事，假定乘电梯向上一层记作，向下一层记作，王先生从1楼出发，要去不同楼层办理具体事务，电梯上下楼层依次记录为（单位：层）：． (1)请你通过计算说明王先生最后是否回到出发点1楼； (2)该电梯每向上或下一层平均需要15秒（包含了开关门，上下客），求王先生乘坐电梯期间（不包括等待电梯的时间）共用时多少分钟？ 19．（2026·七年级上 河北邢台·阶段测试）阅读下面解题过程： 计算： 解：原式…………① …………② …………③ (1)上面解题过程中有两处错误，第一处是第_____步，第二处是第_____步； (2)请你写出这道题的正确解答过程． 20．（2025七年级上·全国·专题练习）小明有下列5张写着不同数的卡片，请你按要求取出卡片，完成下列问题： (1)从中取出2张卡片，使这2张卡片上的数的乘积最大，最大值是 ． (2)从中取出2张卡片，使这2张卡片上的数相除的商最小，最小值是 ． (3)算24点游戏：从中取出4张卡片，对卡片上的数用学过的“，，，”进行运算（每张卡片上的数必须用一次且只能用一次，可以加括号），使运算结果为．请你任选4张卡片，写出1个满足条件的运算式． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第05讲有理数的乘法与除法（4大知识点+12大典例+变式训练+过关检测） 典型例题一 两个有理数的乘法运算 典型例题二 多个有理数的乘法运算 典型例题三 多个有理数的乘法运算 典型例题四 倒数 典型例题五 有理数乘法运算律 典型例题六 有理数的除法运算 典型例题七 有理数除法的应用 典型例题八 有理数乘除混合运算 典型例题九 有理数四则混合运算 典型例题十 有理数四则混合运算的实际应用 典型例题十一 根据点在数轴的位置判断式子的正负 典型例题十二 数轴上的翻折 知识点一：有理数乘法法则 1. 正数乘正数，积为正数；正数乘负数，积为负数；负数乘正数，积为负数；负数乘负数，积为正数．积的绝对值等于各乘数的绝对值的积． 2. 两数相乘，同号得正，异号得负，且积的绝对值等于乘数的绝对值的积；任何数与0相乘，都得0． 3. 有理数乘法法则也可以表示如下： 设a，b为正有理数，c为任意有理数，则 ； ，； ，． 【即时训练】 1．（2026·七年级上 四川德阳·阶段测试）计算 （     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：． 2．（25-26七年级上·内蒙古包头·阶段检测）计算： ______． 【答案】1 【详解】解：． 知识点二：倒数的概念与求法 1. 倒数的概念：乘积是1的两个数互为倒数．即若a与b互为倒数，则． 2. 倒数的求法 类型 方法 真、假分数的倒数 将分子分母交换位置 非0整数的倒数 整数作分母，1作分子 小数的倒数 对于可以除尽的数的倒数，可以用1除以这个数求倒数 对于除不尽的数，转换为分数，再按照真、假分数求倒数的方法来进行 带分数的倒数 先把带分数化为假分数，然后将分子分母调换位置 【即时训练】 1．（25-26七年级上·江西上饶·期中）的倒数是（   ） A． B． C．2036 D． 【答案】A 【分析】根据倒数的定义直接计算即可得到结果； 【详解】的倒数为． 2．（25-26七年级上·重庆·期中）已知数表示的是的倒数，数表示的是最小的正整数，数表示的是的绝对值，则数，，的大小关系为_____（用“>”符号连接） 【答案】 【分析】本题考查了整数、绝对值、倒数、有理数大小比较．先分别求出，，，然后比较三者的大小关系． 【详解】解：∵数表示的是的倒数，数表示的是最小的正整数，数表示的是的绝对值， ∴，，， ∵， ∴， 故答案为：． 知识点三：有理数的乘法运算律 运算律 文字叙述 用字母表示 乘法交换律 两个数相乘，交换乘数的位置,积不变 乘法结合律 三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变 乘法分配率 一个数与两个数的和相乘，等于把这个数分别与这两个数相乘，再把积相加 【即时训练】 1．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）公式的运算依据是（） A．乘法结合律 B．乘法分配律 C．积的乘方法则 D．同底数幂的乘法法则 【答案】B 【分析】本题考查了乘法分配律；公式表示一个数乘以多个数的和，等于这个数分别乘以每个数再相加，这符合乘法分配律的定义． 【详解】解：是乘法分配律的直接应用． 故选：B． 2．（24-25七年级上·广东潮州·阶段检测）计算：_______ ；_______ ；_______ 【答案】 1 【分析】本题主要考查有理数的运算，运用有理数加减法法则和乘法分配律进行计算即可． 【详解】解：； ； ． 故答案为：；；1． 知识点四：多个有理数相乘的符号法则 1. 几个不为0的数相乘，负的乘数的个数是 2. 几个数相乘，如果其中有乘数为0，那么积为0． 3. 有理数除法法则 （1）除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数．即． （2）两数相除，同号得正，异号得负，且商的绝对值等于被除数的绝对值除以除数的绝对值的商．若 ，则；若,则． （3）0除以任何一个不等于0的数，都得0． 4. 有理数除法的两个法则要根据具体情况灵活选用 （1）对于除法的两个法则，在计算时可根据具体情况选用，一般在不能整除的情况下选用法则（1）比较简便，在能整除的情况下，选用法则（2）比较简便． （2）如果被除数和除数都是整数，且不能整除，或者如果被除数和除数中有小数或分数，一般选用法则（1)进行计算． 5. 有理数的乘除混合运算通常是先将除法转化为乘法，然后按照乘法法则，确定积的符号，最后求出结果． 6. 有理数的四则运算：先算乘除，后算加减，有括号先算括号里面的（先小括号，再中括号，最后大括号），同级运算，按照从左往右的顺序进行计算． 【即时训练】 1．（25-26七年级上·云南曲靖·期中）不计算，直接判断的结果是（   ） A．正数 B．负数 C．0 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查了有理数乘法中的负号问题． 负数个数为奇数时，结果为负；偶数时为正，所有因数均非零，故结果不为零． 【详解】解：∵负数有：、、，共3个（奇数）， ∴结果为负数． 故选：B． 2．（25-26七年级上·天津河西·阶段检测）计算_______，______，_______． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的减法、乘法运算，熟练掌握有理数运算法则和运算顺序是解题的关键． 根据有理数减法、乘法法则即可解题． 【详解】解：（1）； （2）； （3）． 故答案为：2；；． 【典型例题一 两个有理数的乘法运算】 1．（2026·七年级上 浙江温州·阶段测试）元代《算学启蒙》中记载：“同号相乘为正，异号相乘为负”，则下列运算的结果为负数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题干给出的“同号相乘为正，异号相乘为负”，结合乘任何数都得的性质，判断各选项结果的符号，即可得出答案． 【详解】解：选项A：，0不是负数，不符合要求； 选项B：，结果为正数，不符合要求； 选项C：，同号相乘得正，结果为正数，不符合要求； 选项D： ，异号相乘得负，结果为负数，符合要求． 故选：D． 2．（25-26七年级上·重庆·自主招生）规定，算一算的结果是________． 【答案】6 【分析】按照运算顺序先计算括号内的式子，再根据给定运算规则计算括号外的式子即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 1．（25-26七年级上·天津河西·期中）一般地，“一个数与两个数的和相乘，等于把这个数分别与这两个数相乘，再把积相加．”对于以上运算律，用符号语言可以描述为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】题干描述的是乘法分配律，即一个数与两个数的和相乘，等于这个数分别与两个数相乘再相加，选项A的符号表示与此一致. 【详解】解：∵乘法分配律的符号表示为 ， ∴故选：A. 2．（23-24七年级上·陕西西安）若的绝对值与的绝对值均为，则的倒数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据绝对值的非负性，求出的值，再计算，最后得到的倒数即可． 【详解】∵与均为， ∴，， 解得：，， ∴， ∴的倒数为． 3．（25-26七年级上·上海金山·期中）计算：______． 【答案】 【分析】本题考查的是绝对值的运算，掌握绝对值的性质是解题的关键．根据绝对值的非负性，正数的绝对值是它本身，可得，再结合小数与分数的乘法运算求出结果． 【详解】解：，故． 故答案为：． 4．（24-25七年级上·江苏·阶段检测）小明同学在学习完有理数的运算后，对运算产生了浓厚的兴趣，他借助有理数的运算，定义了一种新运算“”，运算规则为：． (1)计算的值； (2)填空：___________（填“>”或“=”或“<”） (3)求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）， ； （2）， ， ， ； （3）， ． 【典型例题二 多个有理数的乘法运算】 1．（25-26七年级上·山西晋城·期中）4个均不为0的有理数相乘，积为负数．下列关于这4个有理数的描述，可能正确的是（　　） A．2个正数，2个负数 B．1个正数，3个负数 C．都是负数 D．都是正数 【答案】B 【分析】本题考查有理数的乘法，正确的推理是解题的关键． 根据有理数乘法法则，多个非零有理数相乘，积的符号由负因数的个数决定：若负因数个数为奇数，则积为负数；若负因数个数为偶数，则积为正数。本题中积为负数，故负因数个数必为奇数． 【详解】∵ 4个非零有理数相乘，积为负数， ∴ 负因数的个数为奇数（即1或3）， 选项A：2个负数，负因数个数为偶数（2），积应为正数，不符合； 选项B：3个负数，负因数个数为奇数（3），积为负数，符合； 选项C：4个负数，负因数个数为偶数（4），积应为正数，不符合； 选项D：0个负数，负因数个数为偶数（0），积应为正数，不符合． 故选：B． 2．（25-26七年级上·上海·阶段检测）________； 【答案】0 【分析】本题主要考查了有理数的乘法计算，任何数与0相乘都得0，据此可得答案． 【详解】解：， 故答案为：0． 1．（25-26七年级上·河北邢台·阶段检测）四个有理数相乘，，其中一个有理数被污染，若积为负，则被污染的有理数可能是（    ） A．0 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查有理数乘法符号法则，掌握相关知识是解决问题的关键．几个非零数相乘，如果负数有偶数个，积为正，如果负数有奇数个，积为负，据此解答即可． 【详解】解：若积为负，则负因数有奇数个，故为负数． 故选：C． 2．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）已知，，，，则（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题考查有理数的乘法运算，解题的关键是掌握有理数乘法运算法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．据此判断即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 综上所述，，． 故选：B． 3．（25-26七年级上·全国·周测）如图，小海有张写着不同数的卡片． （1）从中抽出张卡片，使卡片上的数相除，所得到的商最小，最小的商是___________． （2）从中抽出张卡片，使卡片上的数相乘，所得到的积最大，最大的积是___________． 【答案】 （1）；（2）. 【分析】本题考查了有理数的乘除运算，熟练掌握有理数的乘除运算法则是解题的关键； （1）根据两数相除，同号得正，异号得负。正数大于负数抽取计算即可， （2）根据两数相乘，同号得正，异号得负，正数大于负数抽取计算即可. 【详解】解：（1）抽张卡片，若使商最小， 则应用最小负数除以最小正数 即：. （2）抽张卡片，使积最大， 则应选 即：. 故答案为：（1）；（2）105 4．（25-26七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的乘法运算． （1）根据有理数的乘法法则计算即可； （2）根据“乘以任何数都等于” 计算即可． 【详解】（1）解： （2）解： 【典型例题三 多个有理数的乘法运算】 1．（25-26七年级上·北京海淀·阶段测试）中央民族大学附属中学开展民族团结主题活动，七年级共有320名学生参与，其中少数民族学生人数占总人数的，则少数民族学生人数为（   ） A．120 B．160 C．200 D．240 【答案】A 【分析】本题考查有理数乘法的实际应用，用总人数乘以少数民族学生所占的比例即可求出人数． 【详解】∵总人数为320名，少数民族学生人数占总人数的， ∴少数民族学生人数为=120（名）． ∴故选：A． 2．（25-26七年级上·湖南长沙·自主招生）一件羊绒混纺大衣的标签上写着：“羊毛，羊绒．”这件羊绒大衣重克，制作这件羊绒大衣需要羊绒_____克． 【答案】 【分析】本题考查有理数的乘法应用，理解题意列出算式是解决问题的关键． 羊绒占大衣总重的，根据百分比的意义，用总重乘以羊绒的百分比即可求出羊绒的重量． 【详解】解：（克）． 故答案为：． 1．（25-26七年级上·黑龙江齐齐哈尔·阶段检测）齐齐哈尔扎龙自然保护区内有丹顶鹤约只，白鹤的数量是丹顶鹤的，白鹤比丹顶鹤少（   ）只． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了有理数乘法和有理数减法的应用，根据白鹤的数量是丹顶鹤的，先求出白鹤的数量，再计算白鹤比丹顶鹤少的数量． 【详解】解：∵有丹顶鹤约只，白鹤的数量是丹顶鹤的， 故白鹤的数量为（只）， 白鹤的数量比丹顶鹤的数量少（只）． 故选：A． 2．（25-26七年级上·吉林长春·阶段检测）小明从一条东西走向的人行道上某一点出发，以每秒米的速度向东行走秒后，立即改变方向，又以每秒米的速度向西奔跑秒后停止．若规定向东为正，向西为负，则上述过程写成算式是(   ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了正负数的意义，有理数的混合运算的应用，根据题意列出算式，即可求解． 【详解】解：依题意， 故选：D． 3．（25-26七年级上·山西运城·期中）负数是与正数表示相反含义的量，例如某水库水位上升记为正，水位下降记为负，若该水库每天水位下降，经过天后，可列算式为，计算结果为，比现在低．若该水库每天下降，天前的水位变化情况可列算式为_____． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的乘法的应用，正负数的意义；根据题意，水位下降记为负，每天下降．对于“天前”的水位变化情况，由于时间方向为过去，时间间隔为负，因此算式应为速率乘以负的时间间隔，即，计算结果表示水位上升，即天前的水位比现在高． 【详解】解：水库每天水位下降，记为天．天前的时间间隔为天， 因此水位变化算式为． 根据有理数乘法法则，两负数相乘结果为正，故计算结果为，表示水位上升， 即天前的水位比现在高． 故答案为． 4．（25-26七年级上·湖北咸宁·阶段测试）无人车负责向某小区快递超市配送快递，计划平均每天配送600件快递，实际每天的配送量与计划量有出入，下表是该无人车2026年1月第一周的配送情况（超过计划量记为正，不足记为负）． 星期 一 二 三 四 五 六 日 配送情况（单位：件） 0 请问该无人车本周（7天）实际向快递超市配送多少件快递？ 【答案】无人车本周实际向快递超市配送4230件快递 【分析】本题考查了有理数的混合运算及正负数的应用，先计算第一周的实际每天的配送量和计划量的总体变化，再由第一周计划配送快递总数加上总体变化数即可得到第一周实际配送快递件数． 【详解】解：由题意得： ， （件）， 即无人车本周实际向快递超市配送4230件快递． 【典型例题四 倒数】 1．（25-26七年级上·广东佛山·阶段测试）小穗的妈妈用手机记账本记录家庭收支，收入记为正数，支出记为负数．周一显示“”元，周二显示“”元．以下说法正确的是（   ） A．周一和周二收支的绝对值不相等 B．周一和周二收支情况互为相反数 C．的倒数是 D．是负数 【答案】B 【分析】本题考查了正数和负数，相反数，绝对值，倒数，熟练掌握这些数学知识是解题的关键．根据正负数的意义，周一支出150元记为，周二收入150元记为，两者数值相等但符号相反，互为相反数． 【详解】解：A、周一和周二收支的绝对值相等，故A错误，不符合题意； B、周一和周二收支情况互为相反数，故B正确，符合题意； C、的倒数是，故C错误，不符合题意； D、是正数，故D错误，不符合题意； 故选：B． 2．（25-26七年级上·海南省直辖县级单位·期中）_______． 【答案】 【分析】本题考查倒数的性质，有理数的乘法，熟练掌握倒数的性质是解题的关键； 根据倒数的性质即可求解； 【详解】解：互为倒数的两个数乘积为， 故； 故答案为： 1．（24-25七年级上·河南周口·阶段检测）下列说法正确的是（    ） A．一定是负数 B．不是每一个有理数都可以在数轴上表示出来 C．小于的数的倒数一定大于其本身 D．一个数的倒数不可能等于它本身 【答案】C 【分析】根据负数的定义，倒数的性质，有理数的性质判断解答即可． 本题考查了负数，倒数，有理数，正确理解定义和性质是解题的关键． 【详解】解：A. 不一定是负数，错误，不符合题意； B. 每一个有理数都可以在数轴上表示出来，错误，不符合题意； C. 小于的数的倒数一定大于其本身，正确，符合题意， D. 一个数的倒数可能等于它本身，如1的倒数是1，的倒数为，错误，不符合题意 故选：C． 2．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）的绝对值的相反数的倒数等于（    ） A． B． C． D．12 【答案】C 【分析】本题考查绝对值，相反数，倒数，根据绝对值，相反数，倒数逐步求解即可． 【详解】解：∵的绝对值是，的相反数是，的倒数是， ∴的绝对值的相反数的倒数等于． 故选：C 3．（25-26七年级上·山东日照·阶段检测）如果a和2025是互为相反数，那么a的倒数是______． 【答案】 【分析】根据相反数定义求出的值，再依据倒数定义计算的倒数． 【详解】解：如果a和2025是互为相反数，，那么a的倒数是． 4．（25-26七年级上·全国·课后作业）写出下列各数的倒数： 1，，，3.5． 【答案】1；；； 【分析】本题主要考查倒数的概念，根据倒数的定义：乘积为1的两个数互为倒数，整数可视为分母为1的分数，小数需先化成分数，再求倒数． 【详解】解：因为，所以1的倒数是1； 因为，所以的倒数是； 因为，所以的倒数是； 化成分数为，因为，所以3.5的倒数为． 【典型例题五 有理数乘法运算律】 1．（25-26七年级上·广东湛江·期中）计算：的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了有理数的乘法分配律的应用，熟练掌握乘法分配律是解题的关键． 利用乘法分配律将36分别与括号内的数相乘，再进行加减运算即可． 【详解】解： ， 故选：． 2．（24-25七年级上·宁夏银川·期中）________． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的乘法，根据有理数的乘法运算律计算即可得解，熟练掌握有理数的乘法运算律是解此题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 1．（25-26七年级上·山东临沂·开学考试）下面的式子中应用了乘法结合律的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查的目的是理解掌握乘法交换律、乘法结合律、乘法分配律的意义及应用， 根据乘法交换律的意义，，乘法分配律的意义，，乘法结合律的意义，，据此解答即可． 【详解】解：A、，应用的是乘法交换律，故本选项不符合题意； B、，应用的是减法运算律，故本选项不符合题意； C、，应用的是乘法分配律，故本选项不符合题意； D、，应用的是乘法结合律，故本选项符合题意； 故选：D． 2．（2026·七年级上 河北邢台·阶段测试）算式可以变形为，依据是（     ） A．乘法交换律 B．分配律 C．移项 D．乘法结合律 【答案】D 【详解】解：原式变形为， 是将三个数相乘的运算顺序从“先算前两个数相乘”变为“先算后两个数相乘”， 符合乘法结合律的特征，故该变形的依据是乘法结合律． 3．（25-26七年级上·广西南宁·期中）计算______． 【答案】 【分析】本题考查了利用乘法分配律进行计算，熟练掌握有理数运算的运算法则及运算律是解题的关键． 根据乘法分配律，将分别与括号内的各项相乘，再求和即可． 【详解】解：原式   ， 故答案为：． 4．（25-26七年级上·江苏扬州·阶段测试）计算： (1) ； (2)． 【答案】(1)8 (2)19 【分析】（1）先去括号，然后计算加减； （2）利用有理数的乘法分配律求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【典型例题六 有理数的除法运算】 1．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）从里面减去，要减（    ）次后所得的结果为0． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的除法运算，问题实质是求 中包含多少个 ，使用除法计算即可； 【详解】解：∵ ， ∴ 需要减 4 次后结果为 0； 故选：C 2．（25-26七年级上·江苏无锡·自主招生）除数和商都是29，则被除数是___． 【答案】 【分析】根据除法运算中各部分的关系，被除数等于除数乘商，代入已知数值计算即可得到结果． 【详解】解：由题意可得． 1．（25-26七年级上·山东青岛·阶段检测）在下列说法中： ①互为相反数的（除0外）的两个数相除的结果一定为； ②有理数不是整数就是分数； ③有的有理数不能在数轴上表示出来； ④两数的乘积为正数，则这两个数都是正数．正确的个数有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【分析】本题主要考查了理论知识，解题的关键是掌握有理数的相关定义和性质． 根据有理数的相关定义和性质逐项进行判断即可． 【详解】解：①互为相反数的（除0外）的两个数相除的结果一定为，该说法正确，符合题意； ②有理数不是整数就是分数，该说法正确，符合题意； ③所有有理数都能在数轴上表示出来，该说法错误，不符合题意； ④两数的乘积为正数，则这两个数可能都是正数，也可能都是负数，该说法错误，不符合题意． 正确的个数为2， 故选：C． 2．（25-26七年级上·福建厦门·阶段检测）数轴上A，B，C，D，E五个点所对应的数分别为a，b，c，d，e，则下列代数式为负数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查利用数轴比较大小，有理数的运算等知识， 根据数轴及有理数的运算法则判断式子的正负即可． 【详解】解：由数轴可知：， ，，，， 故选：A． 3．（25-26七年级上·黑龙江绥化·阶段检测）小溪在计算时，除号变乘号时，忘记把改成它的倒数，结果是54，则的正确结果是______． 【答案】 【分析】先根据错误的计算过程列出关于的等式，求出的值，再代入正确的算式，根据有理数除法法则计算即可得到结果． 【详解】根据题意，可得错误的计算算式为：， 解得 ， 将代入正确算式， 得． 4．（25-26七年级上·辽宁阜新·阶段检测）现有五张纸片，纸片上分别写有，，，，五个有理数； (1)从中取两张纸片，使这两张纸片上的数字相乘的积最小，列式并进行运算； (2)从中取两张纸片，使这两张纸片上的数字相除的商最大，列式并进行运算； 【答案】(1)应抽取和，此时乘积最小为． (2)应抽取和，此时商最大为． 【分析】此题主要考查了有理数的乘法除法运算，关键是明确有理数乘法除法的结果符号的确定，同号得正，异号得负，以及两个负数，绝对值大的反而小． （1）从中2张卡片，要使这2张卡片上数字的乘积最小，应该取两张异号的，再进行比较即可； （2）从中抽取2张卡片，要使这两张卡片数相除的商最大，应该取两张同号的，且商的值最大，据此求解即可． 【详解】（1）解：，，，， ∵ ∴应抽取和，此时乘积最小为． （2）解：，， ∵， ∴应抽取和，此时商最大为． 【典型例题七 有理数除法的应用】 1．（25-26七年级上·黑龙江大庆·期中）先锋小学开展奖章兑换活动，20个奖章可以换4支钢笔，笑笑有100个奖章，可以换（   ）支钢笔 A．40 B．5 C．10 D．20 【答案】D 【分析】先计算出兑换1支钢笔所需的奖章数，再计算100个奖章可兑换的钢笔数量． 【详解】解：支， 故可以换20支钢笔． 2．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段测试）已知平均每个水龙头一天漏水约，如果1个人1年用水，那么按照这个漏水速度，100个水龙头1年（365天）的漏水量可供______人用1年． 【答案】73 【分析】本题考查了有理数的乘除法的应用，根据题意，先计算100个水龙头一年的总漏水量，再除以一个人一年的用水量，得到可供的人数． 【详解】解：平均每个水龙头一天漏水，100个水龙头一天漏水， 100个水龙头一年漏水． 因为一个人一年用水，所以（人）． 故答案为73． 1．（25-26七年级上·江苏·期中）江苏省城市足球联赛（简称“苏超”）于2025年5月10日拉开帷幕，第一轮常规赛由代表各地级市的13支球队进行单循环比赛，即每支球队都要与其他球队比赛一场，则“苏超”第一轮常规赛共比赛（    ） A．12场 B．24场 C．78场 D．85场 【答案】C 【分析】本题考查了握手问题的实际应用，单循环比赛的总场次计算公式为：总场次球队数 (球队数) ． 【详解】解：∵ 有13支球队，每支球队需要与其他12支球队各比赛一场， ∴ 总比赛场次为（场）． 故选：C． 2．（24-25七年级上·黑龙江·期中）胜利小学计划招生人，实际 招生人， 实际多招了几分之几的算式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的减法、除法应用，根据题意列出算式即可，掌握有理数减法、除法的应用是解题的关键． 【详解】解： 实际多招了， 故选：． 3．（25-26七年级上·北京顺义·阶段测试）如图，大小两个正方形的各顶点处都有一个“圆圈”，将，，，，0，1，2，3分别填入“圆圈”中，使大正方形顶点处、小正方形顶点处以及大正方形的每条对角线上的四个“圆圈”内的数之和都相等，若，0已填入如图所示的位置．则表示的两个数的和为______，所表示的数分别为______（填出一种即可）． 【答案】 2 （答案不唯一） 【分析】本题考查了有理数加减法的应用、有理数除法的应用，正确列式是解题关键．先求出大正方形顶点处、小正方形顶点处以及大正方形的每条对角线上的四个“圆圈”内的数之和都为，再利用减去即可得表示的两个数的和；假设所表示的数为3，则所表示的数为，然后分别求出表示的两个数的和、表示的两个数的和，据此解答即可得． 【详解】解：∵，， ∴大正方形顶点处、小正方形顶点处以及大正方形的每条对角线上的四个“圆圈”内的数之和都为， ∴表示的两个数的和为． 若所表示的数为3，则所表示的数为， ∴表示的两个数的和为， 表示的两个数的和为， ∴此时所表示的数分别为， 故答案为：2；（答案不唯一）． 4．（25-26七年级上·陕西咸阳·期中）三原圣女果是陕西省三原县特色农产品，果形椭圆、表皮光滑呈红色，口感清甜，富含维生素C、番茄红素等营养成分．小南家的圣女果每年通过网络进行包销销售，一客户在小南家预订了7箱圣女果，以每箱3千克为标准，超过的千克数记为正数，不足的千克数记为负数，记录如下表： ，，，，，，． (1)最重的一箱比最轻的一箱重_______千克； (2)这7箱圣女果的平均质量是多少？ (3)据调查，每箱圣女果的邮寄费用为2元，圣女果在邮寄途中的受损率为5%，破损部分由小南家按售价进行赔偿．若圣女果的成本为3元/千克，售价为8元/千克，顾客以这7箱圣女果的实际质量付款，求小南家售卖这7箱圣女果获得的利润． 【答案】(1)0.6 (2)2.9千克 (3)79.38元 【分析】本题主要考查有理数运算的应用，解题的关键是理解题意； （1）由题意可列式，然后问题可求解； （2）先得出记录中所有数据的平均数，然后问题可求解； （3）由题意易得这7箱圣女果的总质量，然后问题可求解． 【详解】（1）解：由题意得：（千克）； 故答案为0.6； （2）解：（千克）． 答：这7箱圣女果的平均质量是2.9千克． （3）解：由（2）可知，这7箱圣女果的总质量为（千克）． （元）． 答：小南家售卖这7箱圣女果获得的利润为79.38元． 【典型例题八 有理数乘除混合运算】 1．（2025七年级上·全国·专题练习）（　　） A．2 B． C．1 D．4 【答案】D 【分析】本题主要考查了有理数的乘除混合计算，先把除法变成乘法，再根据有理数乘法计算法则求解即可． 【详解】解：， 故选：D． 2．（25-26七年级上·上海浦东新·阶段测试）计算：_____． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算． 先将除法转化为乘法，再计算乘法即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 1．（25-26七年级上·安徽合肥·阶段检测）计算：得（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键;将除法转化为乘法，然后进行乘法运算，最后约分简化． 【详解】解：， 故选：B． 2．（24-25七年级上·河南南阳·阶段检测）下列各式中，与的运算结果相同的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用有理数的乘除混合运算法则逐一计算，并与题中的计算结果比较即可． 本题考查有理数的乘除混合运算，熟练掌握有理数的乘除混合运算法则是解题的关键． 【详解】解： A中、，不相同，故选项不符合题意； B中、相同，故选项符合题意： C中、，不相同，故选项不符合题意； D中、，不相同，故选项不符合题意； 故选：B． 3．（24-25七年级上·全国·期中）将，，，，，，，填入九宫格内，如图所示的处应填_____． 【答案】 【分析】题主要考查了九宫格和有理数的运算，求出每行、每列、每条斜对角线上的个数和为是关键．设左下角的数字为，右下角的数字为，先求出每行、每列、每条斜对角线上的3个数和为-3，再根据和不变依次求出、、即可． 【详解】解：如图，设左下角的数字为，右下角的数字为， 由条件可知每行、每列、每条斜对角线上的个数和， ， ， ， 故答案为：． 4．（25-26七年级上·江苏扬州·周测）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先将除法转化为乘法，再由有理数乘法运算法则计算即可得到答案； （2）先将除法转化为乘法，然后计算有理数乘法即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： 【典型例题九 有理数四则混合运算】 1．（25-26七年级上·内蒙古包头·阶段检测）按照运算顺序，计算第一步应算（     ） A． B． C．同时计算 D．无法确定 【答案】B 【详解】解：有理数混合运算顺序：先乘除，后加减，所以第一步先算． 2．（25-26七年级上·重庆·自主招生）计算：________． 【答案】 17 【分析】本题根据有理数混合运算顺序计算，先计算括号内的乘法，再计算括号内的减法，最后计算除法即可得到结果． 【详解】解： ． 1．（25-26七年级上·广西钦州·阶段检测）“△”表示一种运算符号，其意义是：，那么等于（   ） A． B． C．1 D．5 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的运算，根据新定义运算的规则，直接代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， 故选：A． 2．（25-26七年级上·辽宁辽阳·阶段测试）用“☆”定义一种新运算：对于任意不为零的整数和，规定，如，则的值为（   ） A．3 B．6 C．7 D．11 【答案】A 【分析】本题考查了新定义，有理数的混合运算． 根据新定义运算规则，先计算，再计算． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故选：A． 3．（2025七年级上·全国·专题练习）计算：______． 【答案】 【分析】此题考查了有理数的四则混合运算，化简绝对值，解题的关键是掌握以上运算法则． 首先计算乘除和化简绝对值，然后计算加法． 【详解】解： ． 故答案为：． 4．（25-26七年级上·重庆沙坪坝·阶段检测）计算： 【答案】 【详解】解： 【典型例题十 有理数四则混合运算的实际应用】 1．（25-26七年级上·浙江宁波·阶段测试）如图，一把刻度尺放在数轴上，发现数轴上表示数和3的点分别与刻度尺上和的刻度线对应，则数轴上1个单位的长度是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离，有理数的四则混合运算的应用． 根据数轴上两点之间的距离公式求解即可． 【详解】解：由题意得，， 故选：A． 2．（2024七年级上·全国·专题练习）某地电费按梯度收费，不超过10度时，每度元，超过10度时，每度元．张家比李家多缴电费元，如果两家用电的度数都是整数度，那么张家缴电费__元，李家缴电费__元． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数四则运算的应用．求出两家的用电量，即可求解． 【详解】解：（度，（度，，均不为整数， 李家的用电量不超过10度，张家的用电量超过10度． ， 李家的用电量为（度，李家缴电费（元； 张家的用电量为（度，李家缴电费（元． 张家缴电费元，李家缴电费元． 故答案为：，． 1．（25-26七年级上·山西临汾·阶段测试）《九章算术》中记载“今有上八人，下六人，上每人得钱五，下每人出钱三，问余钱几何？”（注：“上”指收入，“下”指支出，收入为正，支出为负）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是有理数的混合运算的应用，根据题意列式，再计算即可. 【详解】解：由题意可得：. 故选：B 21．（24-25七年级上·广东深圳·开学考试）游泳馆收取门票，一次30元，现推出三种会员年卡：A卡收费50元，办理后每次门票25元：B卡收费200元，办理后每次门票20元； C卡收费400元，办理后每次门票15元． 某人一年游泳次数45~55次，他选择下列（   ）方案最合算． A．不办理会员年卡 B．办理A卡 C．办理B卡 D．办理C卡 【答案】D 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算的应用，根据题意分别对三种情况进行计算是解题的关键． 需分别计算办理会员年卡的费用，然后比较各种方案的费用，选择最低方案即可． 【详解】不办卡：（元），（元）， 卡：（元），（元）； 卡：（元），（元）； 卡：（元），（元）； 他选择办理卡方案最划算． 故选：． 3．（25-26七年级上·浙江温州）实验测得，海拔每增加，气温大约下降．小王所在位置的气温是，如果当时地面的气温是，则小王所在位置离地面的高度大约为___________． 【答案】3 【分析】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键； 先计算地面与小王位置的气温差，再根据海拔每增加气温下降的关系，求高度． 【详解】解：∵地面气温为，小王所在位置气温为， ∴气温差为， ∵海拔每增加，气温下降， ∴高度增加为； 故答案为：3． 4．（25-26七年级上·江苏南通·阶段测试）冬季来临，小芳家为了节省取暖费用，将旧空调更换为节能空调．她记录了一星期内每天节能空调的运行时长（如下表，单位：小时）．以5小时为标准，超过的小时数记为正数，不足的小时数记为负数．其中，星期五比星期四多用小时． 星期 一 二 三 四 五 六 日 时长 a 0 (1)根据题意得： ______； (2)已知旧空调耗电每小时度，节能空调耗电每小时度，若电价为元/度，小芳家换成节能空调后，这一星期七天的电费比原来使用旧空调节省了多少元？ 【答案】(1)2 (2)节省了元 【分析】本题主要考查了有理数混合运算的应用，根据题意列出算式，是解题的关键． （1）先求出星期四节能空调的运行时长，然后根据星期五比星期四多用小时，求出星期五节能空调的运行时长，最后求出a的值即可； （2）先求出节约的电量，然后求出节省的钱数即可． 【详解】（1）解：． （2）解：（小时）， （小时）， （元）， 答：小芳家换成节能空调后，这一星期七天的电费比原来使用旧空调节省了元． 【典型例题十一 】根据点在数轴的位置判断式子的正负 1．（2025·七年级上 广东东莞）如图，点A，B为数轴上的两个点，点O为原点，若，则点A，B所对应的数a，b满足的数量关系不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离，熟练掌握其基础知识是解题的关键． 【详解】解：A、，且点A，B在原点的两侧，，故A正确； B、，且点A，B在原点的两侧，，故B错误； C、，且点A，B在原点的两侧，，故C正确； D、，且点A，B在原点的两侧，，故D正确； 故选：B． 2．（25-26七年级上·全国·阶段测试）实数在数轴上表示如图：则下列结论正确的有__________（填序号）． ①；②；③；④． 【答案】③④ 【分析】本题考查了绝对值、数轴，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据数轴和绝对值的意义解题即可． 【详解】解：由数轴可知，，故④正确； ∴，故①错误； ，故②错误； ，故③正确； 综上，正确的有③④． 故答案为：③④ ． 1．（2026·七年级上 辽宁营口·阶段测试）实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据数轴上a、b的位置确定其取值范围，再据此分析各选项即可． 【详解】解： A、， 两数相加，符号由绝对值较大的数决定，a离原点远， ∴， ∵， ∴，本项错误； B、， 则， 数轴上右边的数大于左边的数， ∵a在的右边， ∴，本项错误； C、， 两数相乘，同号为正，异号为负， ∵， ∴，本项错误： D、， 绝对值指表示的数与原点的距离，离原点越远，绝对值越大，本项正确，符合题意． 2．（25-26七年级上·江西吉安·期中）有理数a，b在数轴上的位置如图所示，则的值是（   ） A．负数 B．正数 C．0 D．正数或0 【答案】B 【分析】观察数轴得：，可得，再根据有理数的除法法则解答即可． 【详解】解：观察数轴得：， ∴， ∴，即的值是正数． 3．（25-26七年级上·湖南娄底·阶段测试）有理数在数轴上的对应点位置如图所示.五个数中最大的是_____. 【答案】 【分析】本题考查了数轴上有理数的大小比较及相反数的概念，解题的关键是根据数轴上点的位置确定、的取值范围，再求出、的范围，进而比较五个数的大小； 先由数轴得出，，再推出，，最后比较、、、、的大小． 【详解】解：由数轴可知，，， ∴ ，， ∴ ， 故五个数中最大的是． 故答案为：． 4．（24-25七年级上·江苏南通·阶段测试）有理数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示． (1)用“”、“”或“”填空：________，________； (2)用“”将，，连接起来（直接写出结果）． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查了有理数的大小比较，相反数的意义，数轴上两点距离，利用数形结合法解答是解题的关键． （1）根据相反数的几何意义在数轴上表示出，即可解答； （2）减法法则结合，，在数轴上的位置解答即可． 【详解】（1）解：如图， ∴． 故答案为：，； （2）解：如图， ∵ ∴． 【典型例题十二 数轴上的翻折】 1．（25-26七年级上·广东广州·期中）如图，一条数轴上有点A、B、C，其中点A、B表示的数分别是，20，现以点C为折点，将数轴向右对折，若点A落在射线上且到点B的距离为8，则C点表示的数是（   ） A．3 B．5 C．5或 D．或3 【答案】C 【分析】本题主要考查了数轴上的折叠问题，数轴上两点距离计算，分点A落在线段上和点A落在线段的延长线上，根据折叠后点A到点B的距离为8，求出折叠后点A表示的数，再根据折叠前点A表示的数为，即可求出点C表示的数． 【详解】解：当点A落在线段上时， ∵折叠后点A到点B的距离为8， ∴折叠后点A表示的数为， ∵折叠前点A表示的数为， ∴点C表示的数为； 当点A落在线段的延长线上时， ∵折叠后点A到点B的距离为8， ∴折叠后点A表示的数为， ∵折叠前点A表示的数为， ∴点C表示的数为； 综上所述，点C表示的数为5或， 故选：C． 2．（25-26七年级上·浙江宁波·期中）如图，一个点从数轴上的原点开始，先向左移动1个单位长度到达点，再向左移动3个单位长度到达点，然后再向右移动9个单位长度到达点．已知数轴上一点，当将数轴折叠，使得点与点重合时，点恰好与点重合，则点表示的数为_______． 【答案】8 【分析】本题主要考查了数轴上的点表示的数，折叠的性质， 先根据点的移动可得点A，B，C，D表示的数，再根据折叠的性质得出答案． 【详解】解；一个点从数轴上的原点开始，向左平移1个单位长度得到点A表示的数是，再向左平移3个单位长度得到点B表示的数是，然后向右平移9个单位长度得到点C表示的数是． 将数轴折叠，使得点A与点C重合，则折痕处的点为线段的中点，为， 所以折痕处的点到点B和点D的距离相等，点D表示的数是． 故答案为：8． 1．（25-26七年级上·福建厦门·阶段测试）点A，B，C是同一条数轴上的三个点，点表示的数为，点表示的数为6，点C在点的右边．若以点为折点，将向右对折，点落在数轴上的点处，，则点表示的数为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查数轴上的折叠问题，数轴上两点间的距离，利用折叠的性质（折叠后折点是对应点连线的中点），先根据确定表示的数，再结合中点公式计算点C表示的数即可． 【详解】解：∵点B表示的数为6，， ∴点表示的数为或． ∵以点C为折点折叠，点A落在处， ∴点C是线段的中点． 当表示的数为8时， ∵点A表示的数为a， ∴点C表示的数为． 当表示的数为4时， ∵点A表示的数为a， ∴点C表示的数为． 综上，点C表示的数为或． 故选D． 2．（25-26七年级上·山东日照·阶段检测）小亮在纸上画了一条数轴后，折叠纸面，使数轴上表示的点与表示的点重合，则表示的点与表示（    ）的点重合 A．10 B． C．0 D． 【答案】A 【分析】先确定折叠处（对称中心）表示的数，再根据对称点到对称中心的距离相等计算对应点表示的数． 【详解】解：∵折叠后数轴上表示的点与表示的点重合， ∴折叠处（对称中心）表示的数为， ∵表示的点与所求点关于对称， ∴所求点表示的数为． 3．（25-26七年级上·全国·周测）如图，在纸上有一条数轴．折叠这张纸，使对应的点与1对应的点重合，则3对应的点与________对应的点重合． 【答案】 【分析】本题考查数轴的对折问题，先求出对折处的点对应的数，再根据对折点到两个重合的点的距离相等，即可求解． 【详解】解：对应的点与1对应的点重合， 对折处的点对应的数为：， ，， 3对应的点与对应的点重合． 故答案为：． 4．（25-26七年级上·广东汕头·阶段测试）操作探究：已知在纸面上有一数轴（如图所示）． 左右折叠纸面，折痕所在的直线与数轴的交点为“对折中心点” 操作一： （1）左右折叠纸面，使2表示的点与表示的点重合，则表示的点与______表示的点重合； 操作二： （2）左右折叠纸面，使表示的点与5表示的点重合，回答以下问题： ①对折中心点所表示的数为______，对折后6表示的点与数______表示的点重合； ②若数轴上，两点之间距离为12（在的左侧），且，两点经折叠后重合，求、两点表示的数是多少？ 【答案】（1）7；（2）①，；②、 【分析】本题考查数轴上的折叠问题，解题的关键是确定对折中心点： （1）根据左右折叠纸面，使2表示的点与表示的点重合，得到对折中心点为原点，即可得出结果； （2）①根据对折中心点到两个重合的点之间的距离相等，求出对折中心点，进而求出对折后与6表示的点重合的点表示的数即可；②根据对折中心点到两个重合的点之间的距离相等，进行求解即可． 【详解】解：（1）∵左右折叠纸面，使2表示的点与表示的点重合， ∴对折中心点为原点， ∴表示的点与7表示的点重合； （2）①由题意，对折中心点为， ； 故对折后6表示的点与数表示的点重合； ②解：由题意可得：、两点距离对折中心点的距离为， 因为对折中心点所表示的数为2的点，，； 所以、两点表示的数分别为：、． 1．（2026·七年级上 河南驻马店·阶段测试）设x是有理数，那么下列各式中一定表示正数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：当时，，， 当时，， ， 是正数． 2．（25-26七年级上·河北衡水·阶段测试）四个有理数相乘，■，其中一个有理数被污染，若积为负数，则被污染的有理数可能是（    ） A． B．0 C．0.5 D．10 【答案】A 【分析】本题考查有理数的乘法，根据有理数乘法的符号法则，根据“”的个数，奇负偶正，得到被污染的有理数是一个负数，进行判断即可． 【详解】解：∵四个有理数相乘，■，其中一个有理数被污染，积为负数， ∴被污染的有理数是一个负数；故满足题意的只有A选项； 故选：A． 3．（25-26七年级上·山东菏泽·阶段测试）现有果冻食谱（1份）：果冻粉30克，砂糖20克（20克砂糖可以换6匙糖浆），咖啡粉70克；傅妈妈想根据此食谱内容制作六份果冻．若她加入50克砂糖后，不足砂糖可依比例换成糖浆，则她需再加糖浆（    ） A．15匙 B．18匙 C．21匙 D．24匙 【答案】C 【分析】本题考查有理数混合运算的实际应用，先计算制作6份果冻所需的总砂糖量，再算出还缺的砂糖量，最后根据砂糖和糖浆的兑换比例计算需要添加的糖浆量即可． 【详解】解：∵制作1份果冻需砂糖20克 ∴制作6份果冻需砂糖克 ∵已加入50克砂糖 ∴还缺砂糖克 又∵20克砂糖可换6匙糖浆 ∴需要添加的糖浆量为匙 故选：C． 4．（2026·七年级上 山东德州·阶段测试）的相反数的倒数是（   ） A． B． C． D．2026 【答案】B 【分析】根据绝对值，相反数，倒数的定义，逐步计算即可得到结果． 【详解】解：∵ ， ∴， 则的相反数为，的倒数为． 因此所求结果为． 5．（25-26七年级上·安徽铜陵·阶段测试）在算式变形：中，运用了（   ） A．分配律 B．乘法交换律 C．乘法交换律和分配律 D．分配律和乘法结合律 【答案】B 【分析】本题考查乘法运算律的识别，需根据各运算律的定义判断算式变形所运用的规律． 【详解】解：运用了乘法交换律，未涉及分配律和结合律 故选：B． 6．（25-26七年级上·上海松江·阶段测试）下列说法正确的是（   ） A．如果两个数的和为0，那么这两个数的商为 B．如果两个数的差为0，那么这两个数的商为1 C．如果两个数的积为，那么这两个数的和为0 D．如果两个数的商为，那么这两个数的和为0 【答案】D 【分析】本题考查真假命题的判断，根据题意判断命题的真假是解题的关键，通过逐一分析每个选项的条件和结论，判断其是否恒成立，即可得到答案. 【详解】解：选项A：∵如果两个数的和为0，则它们互为相反数，但当其中一个数为0时，商不存在，∴A错误； 选项B：∵如果两个数的差为0，则它们相等，但当数为0时，商不存在，∴B错误； 选项C：∵如果两个数的积为，则它们互为负倒数，但和不一定为0，例如2和，和为，∴C错误； 选项D：∵如果两个数的商为，则设一个数为，另一个数为， ∴， ∴D正确， 故选：D. 7．（24-25七年级上·全国·阶段检测）下列算式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的乘法、有理数的除法，首先根据除以一个不为的数等于乘以这个数的倒数，把除法转化为乘法，然后再根据有理数的乘法法则进行计算，根据计算的结果判断正误． 【详解】解：A选项：，故A选项错误； B选项：，故B选项错误； C选项：，故C选项正确； D选项：，故D选项错误． 故选：C． 8．（24-25七年级上·陕西西安·开学考试）一个筑路队要筑一条长2100米的公路，前5天平均每天修240米．余下的任务要求3 天完成，平均每天要修多少米？算式是（   ） A． B． C． 【答案】C 【分析】本题考查的是有理数的混合运算，先求出修5天后剩余的公路长度，再除以3即可． 【详解】解：由题意得，． 故选：C． 9．（25-26七年级上·安徽宿州·阶段检测）若，则的结果可用代数式表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查乘法分配律的基本应用，利用乘法分配律，将转化为，再结合已知条件求解． 【详解】解：∵， ∴． 故选：C． 10．（2026·七年级上 广西南宁·阶段测试）如图是一个运算程序的示意图，若输入x的值为1，则输出的结果是（     ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】根据运算程序示意图，将代入代数式进行计算，若结果大于等于1则输出，否则将结果重新代入计算． 【详解】解：当输入时，， ， 输出结果为． 11．（25-26七年级上·江苏扬州·阶段测试）已知，，且，，则______． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，根据题意，利用绝对值的代数意义，以及有理数的加法、乘法法则确定出a与b的值，代入原式计算即可求出值． 【详解】解：∵，， ∴ ∵，， ∴， ∴， 故答案为：7． 12．（25-26七年级上·江苏扬州·阶段检测）绝对值不大于的所有整数的积是______ 【答案】0 【分析】本题考查了绝对值定义和性质，有理数的乘法法则，正确理解绝对值的几何意义是解题的关键． 先求出所有的整数，再根据有理数的乘法法则计算即可． 【详解】解：绝对值不大于的所有整数是， 则积为． 故答案为：0 13．（25-26七年级上·黑龙江绥化·阶段检测）的相反数是______，的绝对值是______，的倒数是______． 【答案】 【详解】解：的相反数是； ，即的绝对值是； 的倒数是． 14．（25-26七年级上·重庆·自主招生）计算：________． 【答案】1103 【分析】观察原式中各数字的关系，对各项变形后，利用乘法分配律进行简便计算． 【详解】解： ． 15．（25-26七年级上·山东青岛·期中）如图，有一块长为m，宽为m的长方形草地，为方便行人走路，在草地中建设了“土”字形状的小路，小路的宽度都为m，则剩余的草地的面积是_____m2． 【答案】 【分析】本题考查有理数运算的应用．把长方形草地中的“土”字形状的小路剪去，将剩余部分拼起来，可以得到一个新的长方形，新长方形的长为，宽为，最后利用长方形面积公式计算即可． 【详解】解： 16．（25-26七年级上·四川自贡·阶段检测）简便运算： (1)； (2)． 【答案】(1)7 (2) 【分析】本题主要考查了有理数混合运算，熟练掌握有理数乘法分配律，是解题的关键． （1）根据有理数乘法分配律进行计算即可； （2）逆用乘法分配律进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 17．（25-26七年级上·安徽铜陵·阶段测试）有甲、乙两种得分卡片各5张，甲卡片上分别写有1，2，3，4，5共五个得分数字；乙卡片上分别写有，，，，共五个得分数字．两种卡片的背面完全相同，将两种卡片充分混合后把背面朝上． (1)从中抽取3张相乘，如果你想得到最高分，那么希望抽取哪几张，得分是多少？ (2)从中抽取3张相加，试举例两种得0分的可能情况． 【答案】(1)抽取写有，，5的3张，得分为100； (2)抽取1，2，三张或抽取，，3三张 【分析】本题考查有理数乘法法则：几个不为0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有偶数个时，积为正；当负因数有奇数个时，积为负，并把绝对值相乘；有理数加法法则的运用：①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；②绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反数的两个数相加得0；③一个数同0相加，仍得这个数．根据题意所给的情景，灵活运用有理数的加法法则，进行解题． 【详解】（1）解：抽取写有，，5的3张，得分为； （2）解：例如：∵或， ∴抽取1，2，三张或抽取，，3三张． 18．（23-24七年级上·陕西渭南）王先生到市行政中心大楼办事，假定乘电梯向上一层记作，向下一层记作，王先生从1楼出发，要去不同楼层办理具体事务，电梯上下楼层依次记录为（单位：层）：． (1)请你通过计算说明王先生最后是否回到出发点1楼； (2)该电梯每向上或下一层平均需要15秒（包含了开关门，上下客），求王先生乘坐电梯期间（不包括等待电梯的时间）共用时多少分钟？ 【答案】(1)王先生最后能回到出发点1楼 (2)王先生乘坐电梯期间共用时14分钟 【详解】（1）解： ， 计算结果为，表示王先生相对于出发点没有楼层变化，因此最后回到出发点1楼， 所以王先生最后能回到出发点1楼． （2）解：（秒）． （分钟）． 答：王先生乘坐电梯期间共用时14分钟． 19．（2026·七年级上 河北邢台·阶段测试）阅读下面解题过程： 计算： 解：原式…………① …………② …………③ (1)上面解题过程中有两处错误，第一处是第_____步，第二处是第_____步； (2)请你写出这道题的正确解答过程． 【答案】(1)②③ (2)36 【分析】（1）第②步运算顺序出错；第③步运算符号出错； （2）根据乘除运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解：第②步运算顺序出错；第③步运算符号出错； （2）解：原式 ． 20．（2025七年级上·全国·专题练习）小明有下列5张写着不同数的卡片，请你按要求取出卡片，完成下列问题： (1)从中取出2张卡片，使这2张卡片上的数的乘积最大，最大值是 ． (2)从中取出2张卡片，使这2张卡片上的数相除的商最小，最小值是 ． (3)算24点游戏：从中取出4张卡片，对卡片上的数用学过的“，，，”进行运算（每张卡片上的数必须用一次且只能用一次，可以加括号），使运算结果为．请你任选4张卡片，写出1个满足条件的运算式． 【答案】(1)15 (2) (3)（答案不唯一） 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是掌握有理数的运算法则． （1）根据乘积最大的就是找符号相同且数值最大的数，即可求解； （2）根据2张卡片上数字相除的商最小就要找符号不同，且分母越大越好，分子越小越好，据此求解即可； （3）用加减乘除只要答数是24即可． 【详解】（1）解：从中抽出2张卡片，使这两张卡片上数字乘积最大，最大值是：， 故答案为：15； （2）解：从中抽出2张卡片，使这两张卡片上数字相除的商最小，最小值是：， 故答案为：； （3）解：由题意可得，． 学科网（北京）股份有限公司 $