专题04 三角形综合（5大考点）（广西专用）2026年中考数学二模分类汇编

**基本信息** 聚焦三角形综合应用，整合2026年广西多地二模真题，覆盖5大核心考点，梯度设计兼顾基础与创新，突出几何直观与逻辑推理能力考查。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |选择|15题|三角形边角关系、全等判定、相似性质等|结合菱形（第2题）、正六边形（第3题）等图形，考查空间观念| |填空|5题|勾股定理应用、反比例函数与三角形结合（第5题）|设置动态问题（第5题点P运动），渗透函数思想| |解答|23题|全等证明（第9题）、新定义“直角等距四边形”（第13题）、“切接圆”探究（第37题）|融入文化情境（第27题芒编技艺）、跨学科（第20题凸透镜折射），设计多问探究题（第13题三问递进）|

的学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题04三角形综合 考点01 三角形相关的角与线段 1.C 2.D 3.A 4.D 5.12 考点02 全等三角形 6.C 7.C 8.V2 9. (1)证明：，∠1=∠2， ∴.∠1+∠CBE=∠2+∠CBE, 即∠ABE=∠CBD 在△ABE和△CBD中， AB=CB ∠ABE=∠CBD BE=BD ∴.△ABE≌△CBD SAS (2)解：'△ABE≌△CBD, ∴.∠A=∠C, .∠AFC是△CFE和△ABF的外角， ∴.∠AFC=∠C+∠3，∠AFC=∠A+∠1， .∠3=∠1=62°. 10. (1)证明：，四边形ABCD是平行四边形， .AD‖BF, ∴.∠DAE=∠CFE,∠ADE=∠FCE, 1/3 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B为CD的中点， ∴.DE=CE, 在△ADE和△FCE中， ∠DAE=∠CFE ∠ADE=∠FCE, DE=CE ∴.△ADE≌△FCEAAS: (2)证明：由(1)得，AD=CF, 又.ADCF, .四边形ACFD是平行四边形， ,AC⊥BC,点F在BC的延长线上， ∴.∠ACF=90°， .四边形ACFD是矩形. 11. (1)解：延长CP交AB于点M,根据题意，得∠BMC=∠A+∠ACP,∠BPC=∠BMC+∠ABP, 故∠BPC=∠A+∠ACP+∠ABP」 因为∠A=40°，∠ABP=20°，∠ACP=30°， 所以∠BPC=40°+30°+20°=90°， 符合勾股点的定义， 、.P 故点P是△ABC的一个勾股点； (2)证明：连接BE, :△ABC和△AED都是等腰直角三角形，∠BAC=∠EAD=90°， ∴.AB=AC,AE=AD,∠ABC=∠ACB=∠AED=∠ADE=45°， .∠ACD=180°-∠ACB=135°， :.∠BAC-∠EAC=∠EAD-∠EAC, 2/3 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 E .∠BAE=∠CAD, AE=AD ,∠BAE=∠CAD BA=CA ∴△BAE≌△CAD|SAS, .∠ABE=∠ACD. .∠ABE=135°， .∠ABC=45°， ∴.∠EBC=∠ABE-∠ABC=90°， 故点B是△CDE的一个勾股点， (3)解：当∠APB=90°时， 在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3,BC=4, 所以AB=RAC2+BC2=5 因为点D是AB的中点，∠APB=90°， 所以PD=CD=AD=BD=AB, 所以四边形ACBP是平行四边形， 因为∠APB=90°， 所以四边形ACBP是矩形， 所以CP=AB=5: 当∠APC=90°时， 3/3 可学科网 www.zx×k.com 让教与学更高效 D 因为点D是AB的中点， 所以CD=AD=BD=号AB=5 2 2 -×5AC-BCxx3×4=3 SAcD2S△ABc=22 所dSsto-号AP-Dc-方×AP×号=3. 解得AP=12 所8p=ac-AP-F-得号 当∠CPB=90°时， 因为点D是AB的中点， 所以CD=AD=BD=号AB=5, 2 29 00 SABCD=2 Ac=号x号AC~BC=号×号×3x4=3 22 B 所以5 DG--×Bp×-3. 2 解得BP12 5 所oP-8BD-BP--g-石 所以CP=CD+DP +7=16 2105 4/3 的学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 当点C与点P重合时，CP=0, 9.16 综上所述，CP的长为5或或写或0. 12. (1)解：根据题意，作图如下： 则直线即为所求： (2)解：如图，连接AE, 由(1)知EF⊥AC,且平分AC, ∴.EF‖AB,且F是AC的中点， 带货1， ∴.E是BC的中点， AB=AC=2, 1米 F ∴.BC=VAB2+AC2=V22+22=22 米8 根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得AE=BC=2。 13. (1)解：EH=2EF,证明如下： 过点P作PO⊥FG,则四边形EFOP是矩形， ..OP=EF, ,矩形EFGH是“直角等距四边形”，P是它的“等垂点”， .FP=GP,FP⊥GP, 5/3 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∴.△FPG是等腰直角三角形， :.OP=1FG, 2 ,矩形EFGH, ∴.OP=EF,FG=EH, ∴.EH=2EF; 图2 (2)解：①证明：JQ=KQ,JQ⊥KQ, .∠MQJ+∠KQN=90°， .KN⊥IJ, ∴.∠KQN+∠QKN=90, ∴∠MQJ=∠NKQ, 在△JMQ和△QNK中， ∠JMQ=∠QNK ∠MQJ=∠NKQ JQ=KQ .∴.△JMQ≌△QNK, ∴.JM=QN; ②IJ=QJ=KL=V5,IQ=2,四边形IJKL是“直角等距四边形”， ∴.KQ=JQ=V5, ∴.△IJQ、△QKL为等腰三角形，JM⊥IQ, .点M为Q的中点， ∴.3=MQ=1, 在Rt△JMQ中，JM=JQ-MQ=(5-12=2' 由①知JM=QN, ∴.JM=QN=2, .△QKL是等腰三角形，KN⊥QL, 613 的学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 故点N为QL中点， ∴.QN=NL=2, ∴.QL=QN+NL=4: (3)解：，在Rt△RST中，RT=16,TS=20, .RS=/202-162=121 当点U是RS中点，RU=US=6,四边形RUVT是“直角等距四边形”，设点Y是四边形RUVT的“等垂 点” M 过V作VM⊥RT于M, ∴.△RTS一△MTV, :TM-IV_MV TR TS RS 兴为贺 设TM=4x,TV=5x,MV=3x, 由“等垂点”可得YU=V,∠UYV=90°， .∠RUY=∠YT=90°-∠RYU,、 .∠R=∠VMY=90°， ∴.△RYU≌△MY, ∴.RU=YM=6,RY=MV=3x, .RT=RY+YM+MT, ÷16=3x+6+4x,解得x=10 T=5x=50 当点U是TS中点，TU=US=10,四边形RVUT是“直角等距四边形”，设点Y是四边形RVUT的“等垂 点”， 713 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 过U作UM⊥RT于M, ∴.△RTS△MTU, ..IM-TU-MU TR TS RS ..IM-10-MU 1620-12, 解得TM=8,MU=6, 由“等垂点”可得U=V,∠UYV=90°，同理可得∴.△RYV≌△MUY, ∴.RV=YM,RY=MU=6, .RT=RY+YM+MT, .16=6+YM+8, .'RV=YM=2, T=VRV2+RT=V22+16=265 50 综上所述，VT=265或)， 14. (1)证明：.∠ACB=90°，∠ABC=45°， ∴.∠BAC=∠ABC=45°， :线段AD绕点A逆时针旋转180°-2×45°=90°得到线段AE,点D与点C重合， .∴.AE=AD=AC,∠EAB=90°-∠BAC=45°， .∠EAB=∠ABC, ∴.BCAE, :EF‖AB, .四边形ABFE是平行四边形， ∴.BF=AE ∴.BF=AC: 8/3 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2)①解：如图，在DC上取一点G,使得AG=AB. ②证明：，将线段AD绕点A逆时针旋转180°-2aα得到线段AE, ∴.DA=EA,∠DAE=180°-2a, .AG=AB .∠AGB=∠ABG=C, .∴.∠GAB=180°-2a, ∴.∠DAG=∠EAB, ∴.△DAG≌△EABSAS: (3)解：DF=2BC,理由如下： .AG=AB,∠ACB=90°， .∴.GB=2BC .∠AGB=∠ABG=a, .∠AGD=∠ABE=180°-a, ∴.∠FBE=∠ABE-∠ABC=180°-a-a=180°-2a, ,EF‖AB, ∴∠BFE=∠ABF=a, .∴.∠BEF=180°-∠FBE-∠BFE=C, .'BE=BF, .GD=BE, ∴GD=BF,即DF=GB, ∴.DF=2BC. 15. (1)证明：，四边形ABCD为正方形，四边形EFGH也是正方形， ∴.∠A=∠B=∠EFG=90°，EF=FG, .∠AEF=∠BFG=90°-∠AFE, 9/3 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∴△EAF≌△FBG AAS: (2)解：同(1)得△EAF≌△FBG≌△GCH≌△HDE, .AE=BF=CG=DH,AF=BG=CH=DE, 假设AE=x,则AF=7-X, ÷号A证AF=3x7-x=2 解得x=2或x=5, .AE=2米或AE=5米； (3)解：，AE=3米， ∴.AF=7-3=4米， ∴①号区域的面积为4S6r=4×号×3×4=24（平方米）； 2 由勾股定理得EF=AE2+AF=5米， ,四边形EFGH是正方形， ∴.EF=FG=GH=HE=5米， ,M、N、O、P分别为正方形EFGH四边的中点， M-p-3 同(1)得△EMP≌△FNM≌△GON≌△HPO, ②号区域的面积为4SAp=4×号×5x5=2 2222 (平方米)： ®号区域的面积为EF2-4S6n=25- 25_25 22 (平方米)： 假设甲种花卉每平方米的种植费用为Q元，根据题意得， 24a+25×80+25×100≤3450， 解得a≤50， ∴.甲种花卉每平方米的种植费用不能超过50元 16. (1)解：如图所示，点F即为所求作： 10/3 的学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2)证明：如图所示， ,四边形ABCD是平行四边形， ..AO=CO,BO=DO 点E是DO的中点，点F是BO的中点， 0号D0,R0=0. ..EO=FO .AO=CO,∠AOF=∠COE, ∴.△AOF≌△COE SAS, ..AF=CE. 17. (1)解：如图，EF即为所求. M (2)解：，四边形ABCD是矩形， .AD‖BC,∠BAD=90, 11/3 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∴.∠ACE=∠DAC=26°， EF垂直平分AC, ∴.EA=EC, .∠EAC=∠ACE=26°， .∠BAE=∠BAD-∠EAC-∠DAC=90°-26°-26°=38° 考点03 等腰三角形 18.D 19.C 20.A 21. (1)解：如图所示：⊙O即为所求， B D (2)证明：如图，作DE⊥AC,垂足为E,连接OD, .AB=AC ∴.∠B=∠C, 在⊙O中，OB=OD ∠ODB=∠B, ∴.∠ODB=∠C, ∴.OD‖AC, 又DE⊥AC, ∴.∠ODE=∠DEC=90°， ∴.OD⊥DE, 又.点D在⊙O上，OD是⊙O的半径， .∴.DE是⊙O的切线 22. (1)证明：，在⊙O中，AF=BE, 12/3 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∴.21=∠2. .AD是⊙O的切线， A ) .∠DAB=90°， 故∠1+∠CAD=90°， 又在Rt△DAB中，∠CDA+∠2=90°， ∴.∠CAD=∠CDA」 (2)解：由题意和(1)知∠CAD=∠CDA=60°， ∴.△CAD是等边三角形， .∴.CD=AD 在Rt△DAB中，AB=2V5,∠2=90°-∠CDA=30°， AD=AB·tam∠2=25-tan30=25×3_2i5 3 3 即CD=25 31 23. (1)证明：.AM=BN,OM=ON, ∴.AM+OM=BN+ON,即OA=OB ,点C是线段AB的中点， ∴.OC⊥AB, ∴.∠OCA=90. :EF‖AB, ∴.∠ODE=∠OCA=90°， .OD⊥EF. .OD是⊙O的半径， ∴EF是⊙O的切线. 13/3 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 M D (2)解：.OA=OB,OM=ON, OM_ON OA OB 又.∠MON=∠AOB, ∴.△MON~△AOB. MN_OM ·ABOA 即l8OM 28OM+10 解得OM=18m. 故摩天轮的半径OM的长为18m. (3)解：延长NO,MO分别交⊙O于点H和点G,连接MH和NG H G .NH MG ⊙0 H D 和 是 的直径， ∴.∠HMN=90°，∠GNM=90°， ∴.当点P刚好运动到点H处和点G时，△PMN为直角三角形 .当点P在H,G两点间的劣弧上时，△PMN为锐角三角形. OM=ON=MN=18m, ∴.△OMN为等边三角形. .∴.∠MON=60°， ..∠H0M=180°-60°=120° 当P与H重合时，1=120TX18=12元 180 14/3 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 当P与G重合时，1=π×18=18π， ,座舱P运动路径的取值范围是12π<1<18π. 24. (1)解：如图，AM即为所求， (2)解：猜想AM=CM, 证明：，四边形ABCD是矩形， ,AD‖BC,AB‖CD,∠B=∠DAB=90°， .∠ACB=60°」 .∠DAC=∠ACB=60°，∠BAC=90°-∠ACB=30°， .AB CD. ∴.∠ACD=∠BAC=30° ,∠DAC的平分线AM,交CD于点M. :∠CAM=∠DAM=∠DAC=30, ∴.∠CAM=∠ACD=30°， ..AM=CM 考点04 直角三角形与勾股定理 25.A 26.D 27.C 28.A 29.B 30.C 31. 5 32. DE1BC.DE=号Bc ②020am2:②AN的长度为4/14cm或85cm 15/3 命学科网 www.zx×k.com 让教与学更高效 33. (1)解：①，四边形ABCD是“垂等四边形”， .∴.AC⊥BD,∠ABE+∠BAC=90, AB=AC, ∠ABC=∠ACB=2180-∠BAC, .'∠ABE+∠DBC=∠ABC, 90-∠BMC+∠DsC=180°-∠B4C. 化简得∠BAC=2∠DBC. ②·AC⊥BD, .S△ACBF2 =1AC·DE =1ACBE,S△ACD :'S四边形ABCD=SACB+S△ACD,AB=AC, Sgan号ACBE+DEF号ABBD=×6×8=24, (2)证明：连接BD、EC,交于点F, >c.'△ADE△ABC D 是 旋转得到的， ∴.AB=AD,AC=AE,∠DAE=∠BAC=90°， .'∠EAC=∠DAE+∠CAD,∠BAD=∠BAC+∠CAD, ∴.∠EAC=∠BAD, AB=AD,AC=AE, ∠AEF=l80°-∠EAC,∠ADB=l80°-∠BMDL ∴.∠AEF=∠ADB, .'∠AED+∠ADE=180°-90°=90， ∴.∠AED-∠AEF+∠ADE+∠ADB=90°， 即∠FED+∠EDF=90, 点D在BC的垂直平分线上， 16/3 的学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∴.BD=CD, ∴四边形BCDE是垂等四边形. (3)解：：OA=4'0B=3=30C=3BC=3--3=6 ∴.AB=AC=V32+42=5' 设P点坐标为P,P,》分三种情况讨论： ①AC⊥BP, ,BP是对角线，且BP=BC, .四边形ABCP是“垂等四边形”， 连接PO,AC、PB交于点Q,过点P分别作PE⊥X轴，PF⊥y轴，垂足分别为点E,点F,如下图 4 ACBPx615 2 又.'SABP=S△ABO+SAAPO+SAOPC =号x3x4+5×4xP,+号x3×p, 2 3 =6+2px+2P,=15 得4Px+3Py=18, :Sime=Sar+Sae-=号BCA0+号AC-PQ 8PQ-号0=e-P0-6号告 .AC⊥BP, △cQ,cQ=nc-BQ-6- 4218, 5-1 5 Sa既BC~PE=Bp-CQ.BC=, 17/3 可学科网 www.zx×k.com 让教与学更高效 PE-CQ 9 将py= 心代入4卫+3卫，=18，得Px5 点P的坐标为9 18 5' 5 ②AB⊥PC, ,AB是对角线，AB=AC, 四边形APBC是“垂等四边形”， 过点P作PE⊥X轴，垂足为点E,如下图 .BP=BC,AB⊥PC ∴PQ=PC, 5-号AB-c0-8cA0=5×6×4=12 2 c0=9则Pc=2C0-智 5 在m△BCQ中，BQ=BC2-CQ-62- 24 2=1 5 5aRcP听=PGB0, 48×18 即PE=PC·BQ=55_14, BC 6 25 144 .p,=25 有-pF-6-尝 42, 25 .E0=B0+BE=3+42=117 2525 18/3 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 点P的坐标为 117144 25 ，25 ③AP⊥BC, ∴点P必然在AO的延长线上，即在y轴上， 过B点作线段BP=6,交y轴于点P, 如下图： 0 .BC BP=BC 是对角线， ∴.四边形ABPC是“垂等四边形”， .'AO⊥BC,∠BOP=90° ∴.0P=VBP2-B02=V62-3=33 :.点P的坐标为0，-33 综上所述，满足条件的点P有三个，坐标分别是91 5 5 117,1440,-33 25’25 34. (1)解：每一个矩形菜畦的长为X米，宽为y米， 根据题意，得乙， 解得K4 y=2 所以每一个矩形菜畦的长为4米，宽为2米： (2)解：①由(1)知，矩形菜畦的面积为4×2=8（平方米）， ,平行四边形菜畦的面积与矩形菜畦的面积相等， .平行四边形菜畦的面积为8平方米 19/3 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 如图，过点N作NK⊥PQ于点K, 人 20米 通道 M 20米 由(1)知AE=4, PN=4, 在Rt△NKP中，∠NPK=∠PQM=45°， .'.NK=KP, ..PN2=NK2+KP2=2NK2=2KP2, NK=KP= 42 (米). 2 =2V2 ·每一个矩形菜畦的面积与每一个平行四边形菜畦的面积相等，即S平行四边形=PQNK=S短形=8， PQ2V2=8, 解得PQ=22, 所以平行四边形菜畦的另一边的长为2V2米； ②设矩形菜畦有m排，则平行四边形器材区有m-1排， 由题意得，通道数量为：m+m-1-1=2m-2(条)，每条宽0.5米， ∴.通道总宽0.52m-2=m-1(米)， 由(1)矩形菜畦每排高4米，平行四边形菜畦每排的竖起高度为2V2米， .竖起方向总高度为：4m+2.8m-1+m-1=4m+3.8m-1, 要想该方案在边长为20米的正方形基地中实现，需满足：4m+3.8m-1≤20， 解得m≤3.05， ,m为正整数， ∴.m=3,即矩形菜畦有3排， .平行四边形菜畦有2排， 此时竖直高度为：4×3+2.8×2+3+2-1×0.5=12+5.6+2=19.6≤20，故竖直高度满足在边长为20 米的正方形基地中实现： 20/3 的学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 矩形菜畦每排可放20÷2=10（个），3排共能放3×10=30（个）， 则平行四边形菜畦需要放42-30=12（个），每排需放12÷2=6（个）， ,每个平行四边形菜畦水平方向占22≈2×1.4=2.8米， ∴.6个总长度：6×2.8=16.8≤20，故水平长度满足在边长为20米的正方形基地中实现： 综上，该方案能在边长为0米的正方形基地中实现， 35. （)证明：“AC=AC ∴.∠B=∠D, 又，∠DEA=∠CEB, ∴.△AED一△CEB: (2)解：CD为直径， .∠DAC=90°， AC=5,AD=12, CD=AC2+AD2=13 :.⊙0的半径为2 3 36. (1)解：连接OB, .O AC B CD B 是中点，是中点， ∴.OB是△ACD的中位线， .OB‖AD, .∠OBE=∠BED. ,BE⊥AD, ∴.∠BED=90°， .∴.∠OBE=90°， 21/3 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∴.OB⊥BE. .OB是半径， ∴BE为⊙O的切线. (2)解：在Rt△ABE中，根据勾股定理，得：AB=AE+BE=23: 由(1)得∠OBE=90°， ∴.∠OBA+∠ABE=90. .OA=OB, ∴.∠OBA=∠OAB 在Rt△ABC中，∠OAB+∠C=90°， ∴.∠C=∠ABE, sin∠C=sin∠ABE,即AB-AE AC AB 23_2 ·AC23 .∴AC=6, ∴.⊙0的半径为3. 37. (1)解：①在Rt△ABC中，由勾股定理可得： AC=BC2-AB=V10-6=81 ②⊙D是△ABC的“切接圆”，理由如下： ·BC=10,CD=25 41 ·BD=10-25=15 441 :⊙D的半径为4， 15 如解图①，过点D作DE⊥AC于点E, 22/3 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B D A 解图① .∠DEC=∠A=90°， :∠DCE=∠BCA, ∴.△DCE一△BCA, 25 C货即宝匹 106 解得DE=15 .BD=DE, .⊙D是△ABC的“切接圆”， ③当点D在AC上时， AC⊥BA, ∴点A是切点，AC是⊙D的直径， r=AC=4. 2 当点D在BC上时，如解图②，过点D作DF⊥BA于点F, A 解图② ∴.∠DFB=∠A=90°， ∠DBF=∠CBA, .△BDF一△BCA, 架器 根据“切接圆”的性质可设，DF=DC=r, .BD=10-r, 23/3 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :10r=5 108 解得r=40 综上所述，⊙D的半径为4或0： (2)解：①△ABC是等腰三角形， ,△ABC的顶点坐标为A(-3,-2),B(3,-2),C(0,2), AB=-3-32+-2--2=6 AC=-3-02+-2-22=5' BC=3-02+-2-22=5” ∴.△ABC的周长为AB+AC+BC=6+5+5=16, ②如解图③，连接PC,过点P作PG⊥AB, 解图③ 设点P的坐标为m,。m 21m PC=m-02+m2-2=m2+2 8 点G在AB上，∴.点G的纵坐标为-2， m+2, PG=1 ∴PC=PG, 1 根据“切接圆”的定义可知，以抛物线y=。x图象上任意一点P为圆心，PC长为半径作圆，⊙P是 81 △ABC的“切接圆”： ③点P的坐标为0,0. 24/3 的学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 要使PG最小，8m20,:当m=0时，PG取得最小值2，即此时⊙P的半径最小，÷点卫 标为0,01 考点05 相似三角形 1 38.7 4 39.9 40. (1)解：·四边形ABCD是正方形 ∴.AB=BC,∠ABC=90° 由旋转性质得：BE=BE,∠EBE=90° ,'∠ABC-∠EBC=∠EBE-∠EBC ∴.∠ABE=∠CBE 在△ABE和△CBE中 i .△ABE≌△CBE(SAS) ∴.AE=CE,∠ABE=∠CBE; (2)证明：由(1)得∠AEB=∠CEB=90° .∠BEF=90 又∠AEB=90°，则∠FEB=90°， 由旋转知∠EBE=90°， .四边形BEFE有三个内角为直角， ∴四边形BEFE是矩形， 又BE=BE, ∴.矩形BEFE是正方形： (3)①证明，四边形ABCD是矩形， ∴.∠ABC=90, 由旋转性质得：BE=BE,∠EBE=90°， .∴.∠ABE+∠EBC=∠CBG+∠EBC=90°， 25/3 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∴.∠ABE=∠CBG, 已知 BG_4 BE 3' 又AB=6,BC=8, ·AB-63nAB=BE BC84即8CBG 在△ABE与△CBG中 6, ∴.△ABE一△CBG, ∴.∠CGB=∠AEB=90°， 又∠AEB=90°，可得∠FEB=90°，且∠EBG=90°， ∴.四边形EBGF三个内角均为直角， ∴.四边形EBGF是矩形， ②解：设BE=3x, .·BE绕点B顺时针旋转90°得到BE, .∴.BE=BE=3X,∠EBE=90°， .BG_4 "BE3 BG号BE-4x 四边形EBGF为矩形， ∴.FG=BE=3X,EF=BG=4X,∠AFE=90°， 在Rt△ABE中，∠AEB=90°，AB=6, 由勾股定理得：AE2=AB2-BE2=62-(3x=36-9x2 过点D作DH⊥AF,垂足H落在线段AF上， ∴.∠DHA=90° .四边形ABCD是矩形， .∠BAD=90°，AD=BC=8, 26/3 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∴.∠BAE+∠DAH=90°， 又.'∠BAE+∠ABE=90°， ∴.∠ABE=∠DAH, 在△ABE和△DAH中 九 .△ABE一△DAH BE=AE-AB-6-3 AH DH AD 8 4' .'AH=4 BE=4x, 3 DH=号AE, Df-9AE-536-9X1=64-152 AF=AE+EF=AE+4x, .HF=AF-AH=AE+4x-4x=AE, .HF2=AE2=36-9x2, 在Rt△DHF中，∠DHF=90°，DF=5, 由勾股定理可得：DF2=DH+HF2, 52=(64-16x2)+(36-9x2)’ 25=100-25x2, x2=3, ,线段长度为正数，且点E在矩形内部， .x=3, .FG=3x, .FG=33. 41. (1)证明：连接OC, .OA=OC, ∴.∠A=∠ACO, 27/3 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ,∠BCD=∠A, ∴.∠BCD=∠ACO, .AB为⊙O的直径， .∠ACB=90°， ∴.∠ACO+∠BCO=90°， ∴.∠BCD+∠BCO=90°， .∴.∠OCD=90°， .OC⊥CD, .OC是⊙O的半径， 故CD是⊙O的切线； D B (2)解：设⊙O的半径为r,则OC=OB=r, .点B是AD的中点， .∴.BD=AB=2n .OD=OB+BD=r+2r=3r, BE⊥AD, ∴.∠EBD=90° ,∠OCD=90, ∴.∠EBD=∠OCD, ∠D=∠D, ∴.△EBD一△OCD, .BE=BD OC CD .CD=0D2-0C2=2V2r' 42r r 22r' 解得r=4V2, 故⊙0的半径为4V2, 28/3 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 42. (1)解：①，∠CAB=90°，AB=AC ÷∠ABC=∠ACB-180-∠BMC=45 由旋转的性质得∠BAC=∠CDE=90°，CD=DE, ∠DEC=∠DCE=1800-∠CDEl=45, ∴.∠ACD+∠BCD=∠BCD+∠BCE=45°， ∴.∠ACD=∠BCE, :点D为AB的中点， ∴AD=号AB=AC,即2AD=AC, tan∠BCE=tan∠ACD=AD-1」 AC2 ②由①知∠ACD=∠BCE,∠CDE=90°，∠DCE=45°，∠BAC=90°，∠ACB=45°， :.CE=2CD,BC=2AC, CB-BC=92, CD AC ∴.△ACD~△BCE; (2)解：由旋转的性质得∠CDE=∠BAC=36°，CD=DE, ..AB=AC, 、∠ABC=180。-∠BAC=72°，∠CED=号180°-∠CDE=72°， 同理(1)②得△ACD一△BCE, BC-BE ·ACAD,∠DAC=∠EBC=36, ∴.∠ABE=∠ABC+∠EBC=108°， 又：BC=5-1 ,AB=AC, AB 2 BC_BC_BE_5-1 ·AC AB AD2 当B是线段AD的黄金分割点时，分两种情况： 29/3 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 AB 5-1BE ①若点B是靠近点D的黄金分割点，则 AD 2 AD ∴.AB=BE,如图3所示： ∴.∠BAE=∠AEB=36 图3 ,∠BAC=36°， ∴.∠BAC+∠ABE+∠AEB=180°， ∴.点C在AE上， .∴.∠BED=∠CED-∠AEB=72°-36°=36°， ∴.∠BFD=∠CDE+∠BED=36°+36°=72°，BE与CD所夹的角的度数为72°（或 180°-72°=108)； BD 5-1 BE ②若点B是靠近点A的黄金分割点，则 AD 2 AD ∴.BD=BE,如图4所示： B .∠BDE=∠BED E 图4 又.'△ACD一△BCE, ..∠ADC=∠BEC, 而∠CDE=36°，∠CED=72°， ∴.∠ADC+36°=72°-∠BEC, ∴.∠ADC=∠BEC=18, .∴.∠BFD=∠EDF+∠=36°+72°-18°=90°； 综上所述，BE与CD所夹的角为72°（或108°）或90°. 30/3 的学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 43. (1)证明：，BE是⊙O的切线， .BD⊥BE,即∠DBE=90°， .∠E+∠BFE=90°. .∠EBG=∠BFE, ∴.∠E+∠EBG=90, ∴.∠EGB=90°， 即CG⊥AB: (2)证明：连接CD, D BD是⊙O的直径， .∠BCD=90° ,∠BDC=∠BAC,∠BCD=∠AGC=90°， ∴.△BCD~△CGA, 瓷是器 AC·BC=BD·CG: (3)解：连接CO G F B 在Rt△BCG中，∠ABC=60° .∠BCG=30°， .'BC=2BG, 31/3 命学科网 www.zx×k.com 让教与学更高效 根据勾股定理，得CG=VBC2-BG=3BG 在Rt△ACG中，AG+CG2=AC2, (3BG2+(3BG2=(6, 解得BG=1(负值舍去)， ..AG=CG=3,BC=2, ∴.∠CAG=∠ACG=45°， ∴∠BDC=∠BAC=45°， ∴.∠BOC=2∠BDC=90° 在Rt△BOC中，BO+CO=BC2, 即2B02=4, 解得BO=V2(负值舍去)， S=S府50c-S6c 90mx12-号×92×2=号-1 360 32/3 专题04三角形综合 5大考点概览 考点01三角形相关的角与线段 考点02全等三角形 考点03等腰三角形 考点04直角三角形与勾股定理 考点05相似三角形 三角形相关的角与线段 考点01 1．（2026·广西南宁·二模）若长度分别为，，的三条线段能组成一个三角形，则的值可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用三角形两边之差小于第三边、两边之和大于第三边求出的取值范围，再结合选项判断即可． 【详解】解：长度分别为，，的三条线段能组成一个三角形， ，即， 观察选项，只有满足 ， 故选项C符合题意． 2．（2026·广西贵港·二模）如图，菱形的对角线，相交于点O，点P为边上一动点（不与点A，B重合），于点E，于点F，若，，则的最小值为（   ） A． B．4 C． D． 【答案】D 【分析】根据菱形的性质，可证四边形是矩形，连接，则，当时，的值最小，即的值最小，再根据等面积法求高即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形，，， ∴，，， 在中，， 如图所示： ∵于点E，于点F， ∴四边形是矩形，则， 当时，的值最小，即的值最小， ∴， ∴， ∴的最小值为． 3．（2026·广西钦州·二模）如图，直线，正六边形的顶点，分别在直线，上，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先利用正六边形外角的性质直接求出和的度数，再通过三角形内角和定理求，最后结合平行线的性质与三角形内角和定理求出的度数． 【详解】解：延长交直线于点，延长交于点， ∵正六边形的外角和为， ∴每个外角的度数为， ∴． ∴， ∴． ∵， ∴． ∴． 4．（2026·广西南宁·二模）如图，在中，，把沿着对折，使得点落在边上的点处，再把沿着翻折得到，若，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由折叠的性质得，，，根据平行线的性质求得，得到，据此求解即可． 【详解】解：由折叠的性质得，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 5．（2026·广西贵港·二模）如图，在平面直角坐标系中，的顶点在轴正半轴上，是的中线，点在反比例函数（ ）的图象上，则的面积等于______． 【答案】 【分析】过点、点作轴的垂线，垂足为，则，得出，设，则，根据反比例函数的解析式表示出， ，，然后根据三角形面积公式求解即可． 【详解】解：如图，过点、点作轴的垂线，垂足为，则， ∴， ∵是的中线， ∴， 设，则， ∵点在反比例函数（）的图象上， ∴的横坐标为，的横坐标为， ∴， ， ∴， ∴， ∴， ∴． 全等三角形 考点02 6．（2026·广西玉林·二模）如图，正方形纸片中，是上一点，将纸片沿过点的直线折叠，使点落在上的点处，点落在点处，折痕交于点．若，，则的长为（   ） A．4 B． C．6 D． 【答案】C 【分析】由折叠性质可知，进而利用同角的余角相等证明，由此即可得出，进而确定．在中，根据勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：如图，连接交于点，过点作，垂足为， 则， 正方形， ， 四边形是矩形， ， 由折叠可知， ， ， 又， ， ， ， ， 设正方形边长为，则， ， ， 在中， 解得或（不合题意舍去）， ． 7．（2026·广西桂林·二模）如图，平行四边形的对角线在轴正半轴上，位于第一象限的点和第二象限的点分别在反比例函数和的图象上，过点，分别作轴的垂线，垂足分别为点，E．若，且，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点作轴于点，过点作轴于点，判定出四边形为矩形，四边形为正方形，通过全等三角形的判定和性质得出，利用锐角三角函数得出，然后利用反比例函数的性质求解． 【详解】解：如图，过点作轴于点，过点作轴于点， ∴， ∵轴，轴， ∴，且， ∴四边形和四边形为矩形， ∴， 又∵， ∴， ∴四边形为正方形， ∴， 解得（负值已舍）， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵图象位于第二象限，， ∴． 8．（2026·广西南宁·二模）如图，、为正方形内两点，且，连接，若，，，则的长为______． 【答案】 【分析】先根据正方形的性质得到，，再利用勾股定理分别求出 中的长和 中的长，即可得，，进而证明 ，得到，再结合直角三角形两锐角互余的性质，利用余角性质得 ， ，即可证明得到、的长度和，进而推出，然后计算出和的长度，最后在 中用勾股定理求出的长，从而确定答案． 【详解】解：如图，延长交于点， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴，， ，， 在 中，由勾股定理： ， 在 中，由勾股定理： ， ∴，， 在和中， ， ∴ ， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴ ， ∴ ， 在和中， ， ， ∴ ， ，， ∴， ， ， 在 中，． 9．（2026·广西南宁·二模）如图，点E在的边上，与交于点，，，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（）由可得，进而根据判定定理“”即可证明； （）由全等三角形的性质可得，再利用三角形的外角性质可得，即可求解． 【详解】（1）证明：， ， 即， 在和中， ， ； （2）解：， ， 是和的外角， ， ． 10．（2026·广西南宁·二模）如图，的对角线，为的中点，连接，并延长，交的延长线于点，连接． (1)求证：； (2)求证：四边形是矩形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）由得，，由E为的中点得，故； （2）由（1）得，，又，故四边形是平行四边形，由，点F在的延长线上得，故四边形是矩形． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ， ，， E为的中点， ， 在和中， ， ； （2）证明：由（1）得，， 又， 四边形是平行四边形， ，点F在的延长线上， ， 四边形是矩形． 11．（2026·广西玉林·二模）在中，点是平面内任意一点（不同于，，），若点与，，中的某两点的连线的夹角为直角时，则称点为的一个勾股点． (1)如图1，若点是内一点，，，，则点________（填“是”或“不是”）的一个勾股点； (2)如图2，为等腰直角三角形，是斜边延长线上一点，连接，以为直角边，为直角顶点作等腰直角三角形，连接．求证：点是的一个勾股点； (3)如图3，在中，，，，点是的中点，点在射线上，若点是的勾股点，求的长． 【答案】(1)是，见解析 (2)见解析 (3)5或或或0 【分析】（1）延长交于点M，利用三角形外角性质，求解即可； （2）连接，证明，求解即可； （3）根据定义，分类计算，活用勾股定理，三角形面积是解题的关键． 【详解】（1）解：延长交于点M，根据题意，得， 故， 因为，，， 所以， 符合勾股点的定义， 故点P是的一个勾股点； （2）证明：连接， ∵和都是等腰直角三角形，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故点是的一个勾股点． （3）解：当时， 在中，，，， 所以， 因为点是的中点，， 所以， 所以四边形是平行四边形， 因为， 所以四边形是矩形， 所以； 当时， 因为点是的中点， 所以， 所以， 解得， 所以； 当时， 因为点是的中点， 所以， 所以， 解得， 所以； 所以； 当点C与点P重合时，， 综上所述，的长为5或或或0． 12．（2026·广西玉林·二模）如图，在中，． (1)尺规作图：作线段的垂直平分线，分别交，于点，；（要求：保留作图痕迹，不写作法，标明字母） (2)在（1）所作的图中，连接，若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据线段垂直平分线的基本作图，求解即可； （2）连接，根据平行线分线段成比例定理，直角三角形的性质，求解即可； 【详解】（1）解：根据题意，作图如下： 则直线即为所求； （2）解：如图，连接， 由（1）知，且平分， ，且是的中点， 故， 是的中点， ， ， 根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得； 13．（2026·广西贵港·二模）新定义：如图1，对于平面内的一个四边形，Y是上一点，连接，，存在点Y，使得且，我们称四边形是“直角等距四边形”，点Y是四边形的“等垂点”． 【初步探索】 (1)如图2，矩形是“直角等距四边形”，P是它的“等垂点”，则和的数量关系是______； 【类比探究】 (2)如图3，四边形是“直角等距四边形”，Q是它的“等垂点”，分别过点J，K作的垂线，垂足分别为M和N． ①求证：； ②若，，求的长； 【拓展应用】 (3)如图4，在中，，，，点U，V为中不在同一边上的两点，且点U为所在边的中点，若以R，U，V，T为顶点的四边形是“直角等距四边形”，求的长． 【答案】(1) (2)①见解析；② (3)或 【分析】（1）过点作，证明是等腰直角三角形，得到，即可得到结论； （2）①根据题意证明，即可证明，即可得到结论； ②根据题意证明为等腰三角形，得到点为的中点，求出，根据勾股定理求出，再证明故点为中点，求出，即可得到答案； （3）分点是中点和点是中点两种情况进行讨论即可． 【详解】（1）解：，证明如下： 过点作，则四边形是矩形， ∴， 矩形是“直角等距四边形”，P是它的“等垂点”， ，， 是等腰直角三角形， ， 矩形， ， ； （2）解：①证明：， ， ， ， ， 在和中， ， ， ； ②，，四边形是“直角等距四边形”， ， 为等腰三角形，， 点为的中点， ， 在中，， 由①知， ， 是等腰三角形，， 故点为中点， ， ； （3）解：在中，，， ， 当点是中点，，四边形是“直角等距四边形”，设点是四边形的“等垂点”． 过作于， ∴， ∴， ∴， 设， 由“等垂点”可得，， ∴，、 ∵， ， ，， ∵， ∴，解得， ∴； 当点是中点，，四边形是“直角等距四边形”，设点是四边形的“等垂点”． 过作于， ∴， ∴， ∴， 解得， 由“等垂点”可得，，同理可得， ，， ∵， ∴， ∴， ∴； 综上所述，或． 14．（2026·广西钦州·二模）在中，，，点在射线上，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，且点不在直线上，过点作，交直线于点． (1)如图1，若点与点重合，，求证：； (2)如图2，点，都在的延长线上，连接． ①尺规作图：线段上取点，使；（保留作图痕迹，不写作法） ②证明：； (3)在（2）的情况下，判断与的数量关系，并证明． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；②见解析 (3)，理由见解析 【分析】（1）先利用已知角度推出为等腰直角三角形，再结合旋转的性质得到线段与角的等量关系，通过证明四边形为平行四边形，推导出与相等． （2）①根据全等三角形的对应边相等，在上截取线段，使，完成尺规作图． ②结合旋转的性质得到、，再利用等腰三角形的性质推出，最后通过证明． （3）先由等腰三角形的性质推出，再结合平行线的性质与三角形内角和定理证明，最后利用全等三角形的性质得到，进而推导出与的数量关系． 【详解】（1）证明：，， ， ∵线段绕点逆时针旋转得到线段，点与点重合， ，， ， ， ， ∴四边形是平行四边形， ， ； （2）①解：如图，在上取一点，使得． ②证明：∵将线段绕点逆时针旋转得到线段， ，， ， ， ， ， ； （3）解：，理由如下： ，， ． ， ， ， ， ， ， ， ， ，即， ． 15．（2026·广西桂林·二模）某中学为了美化校园环境，决定将边长为7米的正方形花圃按如下设计方案分成9个区域并种植不同的花卉：如图所示，点E，F，G，H分别为正方形的四条边上的点，四边形也是正方形，、、、分别为正方形四边的中点，其中所有①号区域种植甲种花卉、所有②号区域种植乙种花卉，③号区域种植丙种花卉． (1)求证：； (2)若甲种花卉的种植面积为20平方米，求的长； (3)学校实际种植时，先取定米，再按设计方案种植．已知乙种花卉每平方米的种植费用为80元．丙种花卉每平方米的种植费用为100元．若本次种植总费用不能超过3450元，则甲种花卉每平方米的种植费用不能超过多少元？ 【答案】(1)见解析 (2)米或米 (3)50 【分析】（1）根据正方形的性质得出直角和相等的边，利用余角定理得出相等的角，利用证明全等三角形即可； （2）利用全等三角形的性质得出相等的线段，假设，则，根据面积列出方程求解； （3）根据全等三角形的性质以及勾股定理求出各区域的面积，假设甲种花卉每平方米的种植费用为元，列出不等式求解． 【详解】（1）证明：∵四边形为正方形，四边形也是正方形， ∴， ∴， ∴； （2）解：同（1）得， ∴， 假设，则， ∴， 解得或， ∴米或米； （3）解：∵米， ∴米， ∴①号区域的面积为（平方米）； 由勾股定理得米， ∵四边形是正方形， ∴米， ∵、、、分别为正方形四边的中点， ∴， 同（1）得， ∴②号区域的面积为（平方米）； ∴③号区域的面积为（平方米）； 假设甲种花卉每平方米的种植费用为元，根据题意得， ， 解得， ∴甲种花卉每平方米的种植费用不能超过50元． 16．（2026·广西南宁·二模）如图，的对角线相交于点，点是的中点，连接． (1)尺规作图：作的中点；（不写作法，保留作图痕迹） (2)连接，证明：． 【答案】(1)作图见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）分别以点B，O为圆心，以为半径画弧，两弧交于点M，N，作直线交于点F，则点F即为所求作； （2）先根据平行四边形的对角线互相平分得出，即可得出，再根据“边角边”证明，然后根据全等三角形的对应边相等得出答案． 【详解】（1）解：如图所示，点F即为所求作； （2）证明：如图所示， ∵四边形是平行四边形， ∴． ∵点E是的中点，点F是的中点， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 17．（2026·广西桂林·二模）如图，在矩形中，为对角线，． (1)尺规作图：请作出线段的垂直平分线，交于点，交于点；（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，连接，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)的度数为 【分析】（1）分别以点，点为圆心，大于为半径画弧，交于点、，连接，与交于点， 与交于点，即为所求； （2）由四边形是矩形，可得，，可得，由垂直平分，可得，即可求解． 【详解】（1）解：如图，即为所求． （2）解：∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴． 等腰三角形 考点03 18．（2026·广西南宁·二模）如图，的直径，为中点，点在上，，点是上的一个动点，则周长的最小值是（   ） A．8 B．12 C． D． 【答案】D 【分析】先作点关于的对称点，连接，连接交于点，因为的直径，C为中点，得，再结合，得，再证明是等边三角形，运用勾股定理列式计算得，则周长，即可作答． 【详解】解：作点关于的对称点，连接，连接交于点，此时有最小值，最小值为的长，如图所示： ∴， ∵的直径，C为中点， ∴点在上，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴，， ∴， 则周长， ∴周长的最小值是． 19．（2026·广西桂林·二模）如图，菱形的三个顶点，，和点均在上，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用菱形的性质和圆的基本性质得是等边三角形，得，最后用圆周角定理即可得出答案． 【详解】解：四边形是菱形， , 又点，，和点均在上， , , 是等边三角形， ． 圆周角和圆心角所对的弧都是， 根据圆周角定理： ． 20．（2026·广西桂林·二模）如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心O的光线相交于点，点为焦点．若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平行线的性质求，根据等边对等角求． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴． 21．（2026·广西南宁·二模）如图，在中， ． (1)请用无刻度的直尺和圆规以为直径作，交于点．（保留作图痕迹，不写作法）； (2)作，垂足为，求证：是的切线． 【答案】(1)图见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）分别以点A和点B为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点，过作直线，直线与交于点O，以点O为圆心，为半径作，与相交于点D； （2）连接，根据“等边对等角”由，，可推出，再根据平行线的判定可得，最后由即可证得，由此即可求解． 【详解】（1）解：如图所示：即为所求， （2）证明：如图，作，垂足为，连接， ， ， 在中，， ， ， ， 又， ， ， 又点D在上，是的半径， 是的切线． 22．（2026·广西玉林·二模）如图，已知是的直径，点，是在上，，，交于点，的切线与的延长线交于点． (1)求证：； (2)若的半径为，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据切线的性质，圆的性质，余角的性质，证明即可； （2）证明是等边三角形，．求解即可． 【详解】（1）证明：∵在中，， ． 是的切线， ∴， 故， 又在中，， ∴． （2）解：由题意和（1）知， ∴是等边三角形， ． 在中，，， ． 即． 23．（2026·广西南宁·二模）【问题情境】如图1是一种摩天轮的横截面示意图．点为摩天轮圆形转轮的圆心，为水平支撑架，支撑塔架，与分别交于两点，已知． 【问题探究】 (1)如图2，设点是线段的中点，连接交于点．过点作，分别交，于点，求证：是的切线； 【问题解决】 (2)如图2，连接，经测量可得，，，，求摩天轮的半径的长； 【拓展延伸】 (3)在（2）的条件下，座舱（体积忽略不计）从点位置出发，沿摩天轮圆形转轮顺时针运动到点N．在这个过程中，当为锐角三角形时，求座舱的运动路径的长（记为）的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2)摩天轮的半径的长为 (3)座舱运动路径的取值范围是 【分析】（1）根据等边对等角并结合题意可得，即可证明是的切线． （2）根据相似三角形的判定，可证，利用相似三角形的性质可得，代入数据即可求解． （3）延长分别交于点和点，连接和，根据直径所对的圆周角为，则当点刚好运动到点处和点时，为直角三角形．当点在两点间的劣弧上时，为锐角三角形．先证明为等边三角形，可得，．利用弧长公式即可求解． 【详解】（1）证明：， ，即． ∵点是线段的中点， ， ． ， ， ． 是的半径， 是的切线． （2）解：， ． 又∵， ． ． 即， 解得． 故摩天轮的半径的长为． （3）解：延长分别交于点和点，连接和． 和是的直径， ， ∴当点刚好运动到点处和点时，为直角三角形． ∴当点在两点间的劣弧上时，为锐角三角形． ， 为等边三角形． ， ． 当与重合时，， 当与重合时，， ∴座舱运动路径的取值范围是． 24．（2024·广东梅州·模拟预测）如图，四边形是矩形，连接． (1)实践操作∶利用尺规作的平分线，交于点M．(要求∶尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母) (2)猜想证明：在所作的图中，猜想线段与的数量关系，并证明你的猜想． 【答案】(1)见解析 (2)，证明见解析 【分析】本题考查了基本作图-角平分线，矩形的性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握知识点并灵活运用是解题的关键． （1）根据尺规作图—角平分线的作法，进行作图即可； （2）利用矩形的性质和直角三角形的性质得到，，，利用角平分线得到，则，即可证明猜想． 【详解】（1）解：如图，即为所求， （2）解：猜想， 证明：∵四边形是矩形， ∴，，， ∵． ∴，， ∵， ∴ ∵的平分线，交于点M． ∴， ∴， ∴ 直角三角形与勾股定理 考点04 25．（2026·广西南宁·二模）如图，在菱形中，，，对角线、相交于点，于点，连接，则的长为（   ） A．3 B．4 C．5 D．8 【答案】A 【分析】根据菱形的性质，勾股定理求出的长，再根据斜边上的中线的性质，即可得出结果. 【详解】解：∵在菱形中，，， ∴， ∴， ∴， ∵于点， ∴， ∵， ∴. 26．（2026·广西南宁·二模）如图，若的三边长，，，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据勾股定理逆定理判断 为直角三角形，再利用锐角三角函数的定义求解即可． 【详解】解：∵ ∴ ∴ ∴ 是直角三角形，且， 在中，． 27．（2026·广西玉林·二模）广西芒编技艺是传统特色非遗手工艺．某校九年级学生参加社会实践，学习编织草帽（该草帽为圆锥形，其示意图如图所示），若这种圆锥形草帽的高为，底面圆的半径为，则该圆锥形草帽的侧面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用勾股定理求出圆锥的母线长，再根据圆锥的侧面积公式进行计算即可． 【详解】解：设圆锥的母线长为，圆锥的高为，底面圆半径为， ∴， 该圆锥形草帽的侧面积为：． 28．（2026·广西南宁·二模）如图，O是坐标原点，反比例函数（）与直线交于点A，点B在（）的图象上，直线与y轴交于点C，连接，若，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出A点坐标，根据可以求出，再根据，，可求出与的关系，进而可求出B点坐标，问题得解． 【详解】解：联立：，且， 解得：，即：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴，即， ∴， ∴， ∴． 29．（2026·广西钦州·二模）如图，有一个底部呈球形的烧瓶，瓶内液体已经过半，截面圆中弦的长为，最大深度，则球的半径为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，设球的半径为，利用垂径定理得到，再根据勾股定理列出关于的方程，求解得到半径． 【详解】解：连接，设球的半径为，则， ∵， ∴ 在中， ∵， ∴， 解得 30．（2026·广西南宁·二模）如图是一个隧道的横截面，它的形状是以点为圆心的圆的一部分.如果是中弦的中点，经过圆心交于点，并且．则的半径为（　　） A． B．3m C． D．4m 【答案】C 【分析】先根据垂径定理的逆定理得出，再根据勾股定理得出答案即可． 【详解】解：∵点M是的中点，且经过点O，， ∴， ∴． 设半径为r，则，根据勾股定理，得 ， 解得， 所以半径为． 31．（2026·广西南宁·二模）如图，在中，，是斜边上的中线，过点作交于点．若，的面积为5，则的值为______． 【答案】 【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边一半可得，进而得到，根据三角形的面积公式求出，由勾股定理，在中，求出，再根据锐角三角函数的定义求解即可． 【详解】解：如图，连接， 是斜边上的中线，， 是的垂直平分线， ，， ， ， ， 在中，，， ， ， ， 又， ，， ， ． 32．（2026·广西南宁·二模）【提出问题】 你能通过剪切和拼接下列图形得到一个矩形吗？在这些剪拼的过程中，剪下的图形是经过怎样的运动最后拼接成矩形的？ （1）平行四边形；（2）三角形；（3）菱形． 【动手操作】 小涵所在的学习小组对这道题进行了分工合作，小涵的任务是把一张三角形纸片剪拼得到一个矩形．她在动手操作的过程中发现了两种不同的剪拼方法． 方法一：任意剪一个，分别找到边，的中点，，连接，分别过点，作，，垂足分别为，，再将和分别绕点，旋转，即可得到矩形（如图）． 方法二：任意剪一个，分别找到边，的中点，，连接，过点作于点，再将和分别绕点，旋转，即可得到矩形（如图）． 【探究发现】 (1)如图，请判断与的位置关系和数量关系，并说明理由； (2)如图，小涵通过测量，发现，， ①求的面积． ②在绕点顺时针旋转的过程中，点的对应点为，当与的一边平行时，求出此时的长． 【答案】(1)， (2)①；②的长度为 或 【分析】（1）根据三角形中位线定理求解，即可解题； （2）①根据题意设，则，利用勾股定理建立方程求出，，进而得到，，再根据三角形面积公式求解，即可解题； ②根据与一边平行分情况讨论当时，当时，结合平行线性质，旋转的性质，矩形的判定与性质，勾股定理进行求解，即可解题． 【详解】（1）解： 、边的中点、， ∴， 与的位置关系为，数量关系为； （2）解：① ，． 设，则， ， ， ， 解得， ，， 、边的中点、， ，， 的面积为； ② 、、在同一直线上， 与不平行； 旋转过程中，记的对应点为， 当时，   四边形为矩形， ， ， ，的面积为， ， ， ， ， ， 由旋转的性质可知， ， ， ， ； 当时，作于点，   ， ， ， 由旋转的性质可知， ， ，，， ， ， 四边形为矩形； ， ， ， ； 综上所述，的长度为 或 ． 33．（2026·广西南宁·二模）四边形的形状特征与几何性质，和它的对角线有着密不可分的关系．在凸四边形中，若它的两条对角线互相垂直，且其中一条对角线与四边形的一边相等，则称该凸四边形为“垂等四边形”．如图，在四边形中，，，此时，四边形是“垂等四边形”． 【探究性质】 (1)如图，在垂等四边形中，，与相交于点． ①判断与的数量关系是______； ②若，，求垂等四边形的面积； 【判定推理】 (2)如图，在中，，将绕点顺时针旋转，得到，若点恰好落在的垂直平分线上，连接，，求证：四边形是垂等四边形； 【综合运用】 (3)如图，在平面直角坐标系中，点，，的坐标分别为，，，点为平面内一个动点，若以，，，为顶点的四边形是垂等四边形，且，直接写出点的坐标． 【答案】(1)①；②24 (2)见解析 (3)，， 【分析】（1）①根据“垂等四边形”的定义，可知,，根据，可知，再结合，联立化简，得到； ②根据“垂等四边形”的定义，可知,易得，可得垂等四边形的面积； （2）连接、，先证明，结合，可得，即，因为点在的垂直平分线上，所以,所以四边形是垂等四边形； （3）根据“垂等四边形”的定义，分三种情况讨论：①，②，③，分别求出P点的坐标． 【详解】（1）解：①四边形是“垂等四边形”， ，， ， ， ， ， 化简得． ② ， ， ，， ． （2）证明：连接、，交于点F， 是旋转得到的， ， ， ， ， ， ， ， ， 即， 点在的垂直平分线上， ， 四边形是垂等四边形． （3）解： ，，，， ， 设P点坐标为，分三种情况讨论： ①， 是对角线，且， 四边形是“垂等四边形”， 连接，、交于点，过点P分别作轴，轴，垂足分别为点E，点F，如下图 ， 又 得， 得，则， ， 中，， ，， ， 将代入，得， 点P的坐标为． ②， 是对角线，， 四边形是“垂等四边形”， 过点作轴，垂足为点，如下图 ， ， ， ，则， 在中，， ， 即， ， 在中，， ， 点P的坐标为． ③, 点P必然在的延长线上，即在y轴上， 过B点作线段，交y轴于点P， 如下图； 是对角线，， 四边形是“垂等四边形”， ，， ， 点P的坐标为． 综上所述，满足条件的点P有三个，坐标分别是，，． 34．（2026·广西南宁·二模）综合与实践 某学校计划利用一块矩形空地打造“阳光劳动基地”． (1)如图，矩形空地的宽度米，恰好能容纳个竖放的矩形菜畦和个横放的矩形菜畦，且每个矩形菜畦的形状、大小完全相同．求每一个矩形菜畦的长和宽； (2)为响应国家“五育并举”的号召，学校计划新建一个边长为米的正方形拓展基地，用于放置个菜畦，拟定了组合布局方案：采用竖放矩形菜畦和平行四边形菜畦的组合形式（如图），其中平行四边形菜畦的排数比矩形菜畦少排，每排菜畦之间设置米宽的通道，同时满足以下要求： （ⅰ）每一个矩形菜畦的长和宽与（1）中的矩形菜畦的长和宽完全相同； （ⅱ）每一个矩形菜畦的面积与每一个平行四边形菜畦的面积相等； （ⅲ）每一个平行四边形菜畦的形状、大小都相同，且有一个内角为，其非水平方向的边长与矩形菜畦的长边相等（即在平行四边形中，，） ①求平行四边形菜畦的另一边的长； ②请判断该方案能否在边长为米的正方形基地中实现，并说明理由（结果保留整数，参考数据：）． 【答案】(1)长为4米，宽为2米 (2)① ②能，见解析 【分析】（1）设每一个矩形菜畦的长为米，宽为米，由图可知长方形的长等于2个宽，长方形的长和宽的和为6米得出方程组，求出解即可；（2）①由（1）知矩形菜畦的面积为8平方米，过点作 于点，根据勾股定理求出（米），再根据 ，求出答案；②设矩形菜畦有排，则平行四边形菜畦有排，得出通道数量为条，通道每条宽米，则可计算出通道总宽为米，再计算竖直方向总高度为，列出不等式，得出的值，最后得出竖直高度和水平长度都不大于米即可得出答案． 【详解】（1）解：每一个矩形菜畦的长为米，宽为米， 根据题意，得， 解得， 所以每一个矩形菜畦的长为4米，宽为2米； （2）解：①由（1）知，矩形菜畦的面积为（平方米）， ∵平行四边形菜畦的面积与矩形菜畦的面积相等， ∴平行四边形菜畦的面积为8平方米． 如图，过点作 于点， 由（1）知， ， 在 中， ， ∴， ∴， ∴（米）． ∵每一个矩形菜畦的面积与每一个平行四边形菜畦的面积相等，即 ， ∴ ， 解得， 所以平行四边形菜畦的另一边的长为米； ②设矩形菜畦有排，则平行四边形器材区有排， 由题意得，通道数量为：（条），每条宽米， ∴通道总宽（米）， 由（1）矩形菜畦每排高4米，平行四边形菜畦每排的竖起高度为米， ∴竖起方向总高度为：， 要想该方案在边长为米的正方形基地中实现，需满足：， 解得， ∵为正整数， ∴，即矩形菜畦有3排， ∴平行四边形菜畦有2排， 此时竖直高度为：，故竖直高度满足在边长为米的正方形基地中实现； 矩形菜畦每排可放（个），3排共能放（个）， 则平行四边形菜畦需要放（个），每排需放 （个）， ∵每个平行四边形菜畦水平方向占米， ∴6个总长度：，故水平长度满足在边长为米的正方形基地中实现； 综上，该方案能在边长为米的正方形基地中实现． 35．（2026·广西南宁·二模）如图，在中，弦与直径相交于点，连接、． (1)求证：； (2)连接，若，，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据圆周角定理，得到，对顶角得到，即可得证； （2）圆周角定理得到，勾股定理求出的长，即可得出结果. 【详解】（1）证明：∵， ∴， 又∵， ∴； （2）解：∵为直径， ∴， ∵，， ∴， ∴的半径为． 36．（2026·广西钦州·二模）如图，是的外接圆，在中，，延长至点，使．过点作，垂足为． (1)求证：为的切线； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2)3 【分析】（1）根据三角形中位线定理可得，从而得到，即可求证； （2）根据勾股定理可得， 再证明，从而得到， 进而得到，可得到，即可解答． 【详解】（1）解：连接， 是中点，是中点， 是的中位线， ， ． ， ， ， ．   是半径， 为的切线． （2）解：在中，根据勾股定理，得：， 由（1）得， ． ， ．   在中，， ， ，即， ∴， ， 的半径为3． 37．（2026·广西南宁·二模）【概念生成】定义：我们把经过三角形的一个顶点并与其对边所在直线相切的圆叫做三角形的“切接圆”，如图1，，经过点A，并与点A的对边相切于点D，则该就叫做的切接圆，根据上述定义解决下列问题： (1)【理解应用】已知，中，，，． ①如图2，_________． ②如图2，若点D在边上，，以D为圆心，长为半径作圆，则__________（填“是”或“不是”）的“切接圆”，请证明． ③在图3中，若点D在的边上，以D为圆心，长为半径作圆，当是的“切接圆”时，求的半径． (2)【思维拓展】如图4，在平面直角坐标系中，的顶点坐标为，，， ①判断的形状，并求出的周长； ②试说明：以抛物线图像上任意一点P为圆心，长为半径作圆，一定是的“切接圆”； ③若点P在抛物线上，且是的“切接圆”，当的半径最小时，直接写出点P的坐标． 【答案】(1)①8， ②是，证明见详解， ③的半径为4或； (2)①是等腰三角形，∴的周长为16， ②见详解， ③点P的坐标为． 【分析】（1）①直接利用勾股定理求解即可， ②过点D作的垂线，构造相似三角形，进而得到线段的比例关系，即可得到圆的半径与 相同，进而证明， ③根据题意作出图形，进行分类讨论，分点D在上和点D在上两种情况，分别进行计算即可； （2）①利用两点间距离公式分别计算、、的长，进行相加即可， ②根据题意作出图形，设点P的坐标，从而计算出以及点P到的距离，再根据“切接圆”的定义可得出结论． ③在②小问的基础上判断当点P到的距离最小时，点P的坐标即可． 【详解】（1）解：①在中，由勾股定理可得： ， ②是的“切接圆”，理由如下： ∵，， ∴， ∴的半径为， 如解图①，过点D作于点E， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得， ∴， ∴是的“切接圆”， ③当点D在上时， ∵， ∴点A是切点，是的直径， ∴， 当点D在上时，如解图②，过点D作于点F， ∴， ∵， ∴， ∴， 根据“切接圆”的性质可设，， ∴， ∴， 解得， 综上所述，的半径为4或； （2）解：①是等腰三角形， ∵的顶点坐标为，，， ∴， ， ， ∴的周长为, ②如解图③，连接，过点P作，         设点P的坐标为， ∴， ∵点G在上，∴点G的纵坐标为， ∴， ∴， 根据“切接圆”的定义可知，以抛物线图象上任意一点P为圆心，长为半径作圆，是的“切接圆”； ③点P的坐标为． [解法]要使最小，∵，∴当时，取得最小值2，即此时的半径最小，∴点P的坐标为. 相似三角形 考点05 38．（2026·广西南宁·二模）如图，在矩形中，是边的中点，于点，交边于点，，则的值为____． 【答案】 【分析】根据题意及矩形的性质证明，得到比例式，设，表示出，即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∵矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设， ∵E是边的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 39．（2026·广西南宁·二模）如图，中，，按照以下步骤作图： ①在和上取，分别以M、N为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点O，作射线交于点D． ②以点C、点D为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点P和点Q，作直线分别交、于点E和点F． ③连接． 根据作图，若，，则_________． 【答案】 【分析】按照角平分线和线段垂直平分线的作图步骤作图，再求出，，证明，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求出答案． 【详解】解：如图， 中，，， ∴， 由作图可知，平分， ∴， ∴， 由作图可知，垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ 又∵ ∴， ∴． 40．（2026·广西南宁·二模）在研究几何图形的变换规律时，常常遵循从一般到特殊、再从特殊到一般的探究思路，通过观察猜想、严谨推理、归纳提炼，开展研究． (1)【初步感知】如图1，在正方形的内部取一点E，连接，将线段绕点B顺时针旋转得到线段，连接，，则与的数量关系是____________；与的数量关系是____________． (2)【特例研究】如图2，在（1）的前提下，当时，延长交的延长线于点，求证：四边形是正方形． (3)【类比探究】如图3，在矩形中，，，在其内部取一点E，使，将线段绕点顺时针旋转得到线段，延长至点，使，连接，延长交的延长线于点． ①求证：四边形是矩形； ②连接，若，请直接写出的值． 【答案】(1) (2)见解析 (3)①见解析；② 【分析】（1）利用正方形边长相等、内角为直角，结合旋转得边相等、旋转角，等量代换推出夹角相等，通过证三角形全等，得出边与角的关系． （2）借助全等三角形对应角相等得到直角，结合旋转直角，判定四边形为矩形；再由旋转性质得邻边相等，进而证出正方形． （3）①由矩形与旋转性质推出两组角相等，结合已知边长比例，证两边成比例且夹角相等，得到三角形相似；利用相似传递直角，依据三个内角为直角判定矩形．②按比例设未知数，结合矩形性质转化线段；作垂线构造相似三角形，把线段统一用含未知数式子表示；在直角三角形中套用勾股定理列方程求解，算出最终线段长度． 【详解】（1）解：四边形是正方形 由旋转性质得： 在和中 ； （2）证明：由（1）得 又，则， 由旋转知， 四边形有三个内角为直角， 四边形是矩形， 又， 矩形是正方形； （3）①证明四边形是矩形， ， 由旋转性质得：，， ， ， 已知，又，， ，即， 在与中 ， ， ， 又，可得，且， 四边形三个内角均为直角， 四边形是矩形， ②解：设， 绕点顺时针旋转得到， ， ∵， ， ∵四边形为矩形， ， 在中，，， 由勾股定理得：， 过点作，垂足落在线段上， ， 四边形是矩形， ，， ， 又， ， 在和中 ∴， ， ， ， ， ， ， 在中，，， 由勾股定理可得：， ， ， ， 线段长度为正数，且点在矩形内部， ， ， ． 41．（2026·广西贵港·二模）如图，内接于，为的直径，点D在的延长线上，连接，，过点B作，交于点E． (1)求证：是的切线； (2)若点B是的中点，且，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，证明，根据为的直径，得到，证明即可得到结论； （2）设的半径为，则，求出，证明，根据相似三角形的性质得到，即可得到答案． 【详解】（1）证明：连接， ， ， ， ， 为的直径， ， ， ， ， ， 是的半径， 故是的切线； （2）解：设的半径为，则， 点B是的中点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得， 故的半径为． 42．（2026·广西桂林·二模）已知中，，点为射线上一动点，将线段绕点顺时针旋转得到线段，且，连接，． (1)如图1，若，点在线段上时， ①若点为的中点，求的值； ②求证：； (2)我们把顶角为的等腰三角形称为“锐角黄金三角形”，其底边长与腰长的比为．如图2，若为锐角黄金三角形，且，点在线段的延长线上运动，当点是线段的黄金分割点时，求与所夹的角的度数． 【答案】(1)①；②见解析 (2)（或）或 【分析】（1）①利用旋转的性质及等腰三角形的性质证明，根据点为的中点，得到，最后利用正切的定义即可得出结果；②由①知，，易证，即可证明结论； （2）先求出，，同理（1）②得，推出，当是线段的黄金分割点时，分点是靠近点的黄金分割点和点是靠近点的黄金分割点，两种情况讨论即可． 【详解】（1）解：①∵，， ∴， 由旋转的性质得， ∴， ∴， ∴， ∵点为的中点， ∴，即， ∴； ②由①知，， ∴， ∴， ； （2）解：由旋转的性质得，， ∵， ∴，， 同理（1）②得， ，， ， 又∵， ， 当是线段的黄金分割点时，分两种情况： ①若点是靠近点的黄金分割点，则， ，如图3所示： ， ∵， ∴， ∴点在上， ， ，与所夹的角的度数为（或）； ②若点是靠近点的黄金分割点，则， ，如图4所示： ， 又， ， 而， ， ， ； 综上所述，与所夹的角为（或）或． 43．（2026·广西南宁·二模）如图，是的外接圆的直径，线段与相切于点，连接，交，于点． (1)求证：； (2)求证：； (3)如图2，若，求阴影部分的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）先根据切线的性质得，进而得出，再结合已知条件可得，则此题可解； （2）先根据直径所对的圆周角得，再根据“同弧所对的圆周角相等”得，接下来说明，进而得出，然后化成乘积式可得答案； （3）先根据直角三角形的性质得，再根据勾股定理求出，然后说明，接下来根据同弧所对的圆周角相等，再根据圆周角定理得，即可根据勾股定理求出，最后根据得出答案． 【详解】（1）证明：∵是的切线， ∴，即， ∴． ∵， ∴， ∴， 即； （2）证明：连接, ∵是的直径， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴； （3）解：连接, 在中，， ∴， ∴， 根据勾股定理，得． 在中，， ∴， 解得（负值舍去）， ∴， ∴， ∴， ∴． 在中，， 即， 解得（负值舍去）， ∴ ． 2/23 1/23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题04三角形综合 ☆5大考点概览 考点01三角形相关的角与线段 考点02全等三角形 考点03等腰三角形 考点04直角三角形与勾股定理 考点05相似三角形 考点01 三角形相关的角与线段 1.（2026广西南宁.二模)若长度分别为3,5，a的三条线段能组成一个三角形，则a的值可能是() A.1 B.2 C.6 D.9 2.(2026广西贵港·二模)如图，菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,点P为AB边上一动点（不与 点A,B重合)，PE⊥OA于点E,PF⊥OB于点F,若AC=8,BD=6,则EF的最小值为() D A.4.8 B.4 C.3.2 D.2.4 3.(2026广西钦州二模)如图，直线ab,正六边形ABCDEF的顶点A,C分别在直线a,b上，若 ∠1=44°，则∠2的度数是() A.16 B.18° C.22° D.44o 4.(2026广西南宁·二模)如图，在△ABC中，∠BAC=80°，把△ABC沿着AD对折，使得点C落在 AB边上的点C处，再把△BDC沿着CD翻折得到△BDC,若BCAD,则∠B的度数是() 1/23 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B B D A.60° B.45 C.40° D.30 5.(2026广西贵港·二模)如图，在平面直角坐标系中，△0AB的顶点A在x轴正半轴上，OC是△OAB 的中线，点B,C在反比例函数y=是(x>0)的图象上，则△OAB的面积等于· B 考点02 全等三角形 6.(2026广西玉林·二模)如图，正方形纸片ABCD中，E是AD上一点，将纸片沿过点E的直线折叠，使 点A落在CD上的点G处，点B落在点H处，折痕EF交BC于点F.若CG=3,EF=3V5,则AB的长为() A G A.4 B.9 C.6 D.2W10 7.(2026广西桂林·二模)如图，平行四边形ABC0的对角线0B在y轴正半轴上，位于第一象限的点A和 第二象限的点C分别在反比例函数y=是和y=会的图象上，过点A,C分别作x轴的垂线，垂足分别为点D ,E.若∠A0D=45°，且tan∠0CE=专，则k的值是() 1/23 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 E D A.-6 B.-4V5 C.-8 D.-45 8.(2026广西南宁，二模)如图，E、F为正方形ABCD内两点，且∠AEB=∠DFC=90°，连接EF,若 BC=5,AE=4,DF=3,则EF的长为· B 9.(2026广西南宁·二模)如图，点E在△BCD的边CD上，BC与AE交于点F,AB=CB,BE=BD, ∠1=∠2 A 1 B 2 C 3 E D (I)求证：△ABE兰△CBD; (2)若∠1=62°，求∠3的度数. 10.(2026广西南宁.二模)如图，☐ABCD的对角线AC⊥BC,E为CD的中点，连接AE,并延长AE, 交BC的延长线于点F,连接DF (I)求证：△ADE兰△FCE; (2)求证：四边形ACFD是矩形. 1/23 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 11.(2026广西玉林二模)在△ABC中，点P是平面内任意一点（不同于A,B,C),若点P与A,B,C 中的某两点的连线的夹角为直角时，则称点P为△ABC的一个勾股点， B 图1 图2 图3 (I)如图1，若点P是△ABC内一点，∠A=40°，∠ABP=20°，∠ACP=30°，则点P (填“是” 或“不是”)△ABC的一个勾股点： (2)如图2，△ABC为等腰直角三角形，D是斜边BC延长线上一点，连接AD,以AD为直角边，A为直角 顶点作等腰直角三角形ADE,连接EC.求证：点B是△CDE的一个勾股点； (3)如图3，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3,BC=4,点D是AB的中点，点P在射线CD上， 若点P是△ABC的勾股点，求CP的长. 12.(2026广西玉林·二模)如图，在△ABC中，∠BAC=90°. (I)尺规作图：作线段AC的垂直平分线1，分别交BC,AC于点E,F;(要求：保留作图痕迹，不写作法， 标明字母) (2)在(1)所作的图中，连接AE,若AB=AC=2,求AE的长 13.(2026广西贵港二模)新定义：如图1，对于平面内的一个四边形ABCD,Y是AD上一点，连接BY,， CY,存在点Y,使得YB=YC且YB⊥YC,我们称四边形ABCD是“直角等距四边形”，点Y是四边形 ABCD的等垂点”. 图1 图2 图3 图4 备用图 【初步探索】 (I)如图2，矩形EFGH是“直角等距四边形”，P是它的“等垂点”，则EH和EF的数量关系是 【类比探究】 (2)如图3，四边形JKL是“直角等距四边形”，Q是它的等垂点”，分别过点J,K作1L的垂线，垂足分别为 1/23 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 M和N. ①求证：JM=QN; ②若1J=QJ=KL=5,1Q=2,求QL的长 【拓展应用】 (3)如图4，在Rt△RST中，RT=16,TS=20,∠TRS=90·,点U,V为Rt△RST中不在同一边 上的两点，且点U为所在边的中点，若以R,U,V,T为顶点的四边形是“直角等距四边形”，求VT的长. 14.(2026广西钦州二模)在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=,点D在射线BC上，连接AD,将 线段AD绕点A逆时针旋转(180°一2a)得到线段AE,且点E不在直线AB上，过点E作EFAB,交直线 BC于点F (1)如图1，若点D与点C重合，《=45°，求证：BF=AC; C(D) B 图1 (2)如图2，点D,F都在BC的延长线上，连接BD· D 图2 ①尺规作图：线段DF上取点G,使△ADG兰△AEB;(保留作图痕迹，不写作法) ②证明：△ADG兰△AEB; (3)在(2)的情况下，判断DF与BC的数量关系，并证明. 15.(2026广西桂林二模)某中学为了美化校园环境，决定将边长为7米的正方形ABCD花圃按如下设计 方案分成9个区域并种植不同的花卉：如图所示，点E,F,G,H分别为正方形ABCD的四条边上的点， 四边形EFGH也是正方形，M、N、O、P分别为正方形EFGH四边的中点，其中所有①号区域种植甲种 花卉、所有②号区域种植乙种花卉，③号区域种植丙种花卉。 1/23 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 E ① ② ① ② H ③ ② ① ② ① B C (I)求证：△EAF≌△FBG: (2)若甲种花卉的种植面积为20平方米，求AE的长； (3)学校实际种植时，先取定AE=3米，再按设计方案种植.己知乙种花卉每平方米的种植费用为80元.丙 种花卉每平方米的种植费用为100元.若本次种植总费用不能超过3450元，则甲种花卉每平方米的种植费 用不能超过多少元？ 16.(2026广西南宁二模)如图，□ABCD的对角线AC,BD相交于点0，点E是OD的中点，连接CE, (1)尺规作图：作B0的中点F;(不写作法，保留作图痕迹) (2)连接AF,证明：AF=CE 17.(2026广西桂林二模)如图，在矩形ABCD中，AC为对角线，∠DAC=26°. D B (I)尺规作图：请作出线段AC的垂直平分线，交BC于点E,交AD于点F:(不写作法，保留作图痕迹) (②)在(1)的条件下，连接AE,求∠BAE的度数.。 考点03 等腰三角形 18.(2026广西南宁二模)如图，⊙0的直径AB=8,C为AB中点，点D在BC上，BD=CD,点P是 AB上的一个动点，则△PCD周长的最小值是() 1/23 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D P A.8 B.12 C.4y2+4 D.4V5+4 19.(2026广西桂林二模)如图，菱形0ABC的三个顶点A,B,C和点D均在⊙0上，则∠D的度数为() B A.40° B.35 C.30o D.25 20.(2026广西桂林二模)如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心 O的光线相交于点C,点D为焦点.若C0=CD,∠ABD=153°，则∠C0D的度数为() A.27o B.30° C.37o D.40° 21.(2026广西南宁·二模)如图，在△ABC中，AB=AC· B (I)请用无刻度的直尺和圆规以AB为直径作⊙O,交BC于点D.(保留作图痕迹，不写作法)： (2)作DE⊥AC,垂足为E,求证：DE是⊙O的切线. 22.(2026广西玉林·二模)如图，已知AB是⊙0的直径，点E,F是在⊙0上，AF=BE,AE,BF交 于点C,⊙O的切线AD与BF的延长线交于点D E B (I)求证：∠CAD=∠CDA: 1/23 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 2)若⊙0的半径为V5,∠CAD=60°，求CD的长。 23.(2026广西南宁.二模)【问题情境】如图1是一种摩天轮的横截面示意图.点0为摩天轮圆形转轮的圆 心，AB为水平支撑架，支撑塔架OA,OB与⊙O分别交于M,N两点，已知AM=BN. 图1 图2 【问题探究】 (I)如图2，设点C是线段AB的中点，连接0C交⊙O于点D.过点D作EFAB,分别交OA,OB于点E,F ,求证：EF是⊙O的切线； 【问题解决】 (2)如图2，连接MN,经测量可得，MN=18m,AB=28m,AM=10m,求摩天轮的半径0M的长； 【拓展延伸】 (3)在(2)的条件下，座舱P(体积忽略不计)从点M位置出发，沿摩天轮圆形转轮顺时针运动到点N.在 这个过程中，当△PMN为锐角三角形时，求座舱P的运动路径PM的长（记为）的取值范围. 24.(2024广东梅州模拟预测)如图，四边形ABCD是矩形，连接AC,∠ACB=60°. B (I)实践操作：利用尺规作∠DAC的平分线AM,交CD于点M.(要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法， 标明字母) (2)猜想证明：在所作的图中，猜想线段AM与CM的数量关系，并证明你的猜想， 考点04 直角三角形与勾股定理 25.(2026广西南宁.二模)如图，在菱形ABCD中，AB=5,AC=8,对角线AC、BD相交于点0， DE⊥AB于点E,连接OE,则OE的长为() 1/23 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B A.3 B.4 C.5 D.8 26.(2026广西南宁.二模)如图，若△ABC的三边长AB=3,BC=4,AC=5,则tanC的值为() B A.青 B.月 c. D. 27.(2026广西玉林二模)广西芒编技艺是传统特色非遗手工艺.某校九年级学生参加社会实践，学习编 织草帽（该草帽为圆锥形，其示意图如图所示），若这种圆锥形草帽的高为24cm,底面圆的半径为18cm, 则该圆锥形草帽的侧面积为(） 24 A.960mcm2B.720πcm2 C.540πcm2 D.480mcm2 28.(2026广西南宁二模)如图，O是坐标原点，反比例函数y=-是(x>0)与直线y=-4x交于点 A,点B在y=-是(x>0)的图象上，直线AB与y轴交于点C,连接OB,若AB=3AC,则OB的长 为() A.7 B.V15 c.v1o D.7 3 29.(2026广西钦州·二模)如图，有一个底部呈球形的烧瓶，瓶内液体己经过半，截面圆中弦AB的长为 1/23 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 2y21cm,最大深度CD=7cm,则球的半径为() 0 D A.4cm B.5cm C.4v6cm D.2v29 cm 30.(2026广西南宁，二模)如图是一个隧道的横截面，它的形状是以点0为圆心的圆的一部分.如果M是 ⊙0中弦CD的中点，EM经过圆心0交⊙0于点E,并且CD=4m,EM=6m.则⊙0的半径为() M D A.m B.3m C.号m D.4m 31.(2026广西南宁二模)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线，过点D作 DE⊥AB交AC于点E,若BC=4,△AED的面积为5，则Cos∠CDE的值为 D 32.(2026广西南宁，二模)【提出问题】 你能通过剪切和拼接下列图形得到一个矩形吗？在这些剪拼的过程中，剪下的图形是经过 怎样的运动最后拼接成矩形的？ (1)平行四边形；(2)三角形；(3)菱形. 【动手操作】 小涵所在的学习小组对这道题进行了分工合作，小涵的任务是把一张三角形纸片剪拼得到一个矩形.她在 动手操作的过程中发现了两种不同的剪拼方法. 1/23 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 图1 图2 备用图 方法一：任意剪一个△ABC,分别找到边AB,AC的中点D,E,连接DE,分别过点D,E作DF⊥BC EG⊥BC,垂足分别为F,G,再将△DBF和△EGC分别绕点D,E旋转180°，即可得到矩形FGI)(如 图1) 方法二：任意剪一个△ABC,分别找到边AB,AC的中点D,E,连接DE,过点A作AH⊥DE于点H, 再将△ADH和△AEH分别绕点D,E旋转180°，即可得到矩形BCMN(如图2) 【探究发现】 (I)如图1，请判断DE与BC的位置关系和数量关系，并说明理由： (2)如图2，小涵通过测量，发现BC=20cm,∠BAC=90·,AC=2AB. ①求△ADE的面积 ②在△AEH绕点E顺时针旋转180·的过程中，点A的对应点为A,当AE与△BDN的一边平行时，求出 此时AN的长， 33.(2026广西南宁，二模)四边形的形状特征与几何性质，和它的对角线有着密不可分的关系.在凸四边 形中，若它的两条对角线互相垂直，且其中一条对角线与四边形的一边相等，则称该凸四边形为“垂等四边 形”.如图1，在四边形ABCD中，AC⊥BD,AC=BC,此时，四边形ABCD是“垂等四边形”. 风 ☒④ 0 图1 图 图3 图4 【探究性质】 (I)如图2，在垂等四边形ABCD中，AB=AC,AC与BD相交于点E ①判断∠BAC与∠DBC的数量关系是； ②若AB=6,BD=8,求垂等四边形ABCD的面积； 【判定推理】 (2)如图3，在△ABC中，∠BAC=90°，将△ABC绕点A顺时针旋转，得到△ADE,若点D恰好落在 BC的垂直平分线上，连接CD,BE,求证：四边形BCDE是垂等四边形； 1/23 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【综合运用】 (3)如图4，在平面直角坐标系中，点A,B,C的坐标分别为(0,4)，（-3,0)，（3,0)，点P为平面内一 个动点，若以A,B,C,P为顶点的四边形是垂等四边形，且BP=BC,直接写出点P的坐标 34.(2026广西南宁，二模)综合与实践 某学校计划利用一块矩形空地打造“阳光劳动基地” 20米 H 竖放的矩形菜畦 AG 本D 通道 M 20米 6米 横放的矩形菜畦 图1 图2 (1)如图1，矩形空地ABCD的宽度CD=6米，恰好能容纳4个竖放的矩形菜畦和2个横放的矩形菜哇，且每 个矩形菜哇的形状、大小完全相同.求每一个矩形菜畦的长和宽： (2)为响应国家“五育并举的号召，学校计划新建一个边长为20米的正方形拓展基地，用于放置42个菜畦， 拟定了组合布局方案：采用竖放矩形菜哇和平行四边形菜畦的组合形式（如图2），其中平行四边形菜畦的 排数比矩形菜哇少1排，每排菜畦之间设置0.5米宽的通道，同时满足以下要求： (i)每一个矩形菜哇的长和宽与(1)中的矩形菜哇的长和宽完全相同： (ⅱ)每一个矩形菜哇的面积与每一个平行四边形菜畦的面积相等； ()每一个平行四边形菜哇的形状、大小都相同，且有一个内角为45·，其非水平方向的边长与矩形菜 畦的长边相等（即在平行四边形PQMN中，∠PQM=45°，PN=AE) ①求平行四边形菜畦的另一边PQ的长； ②请判断该方案能否在边长为20米的正方形基地中实现，并说明理由（结果保留整数，参考数据： V2014). 35.(2026广西南宁.二模)如图，在⊙0中，弦AB与直径CD相交于点E,连接BC、AD· B 1/23 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (I)求证：△AED△CEB; (2)连接AC,若AC=5,AD=12,求⊙0的半径， 36.(2026广西饮州二模)如图，⊙0是Rt△ABC的外接圆，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，延长 CB至点D,使CB=BD.过点B作BE⊥AD,垂足为E B (1)求证：BE为⊙O的切线： (2)若AE=2,BE=2W2,求⊙0的半径. 37.（2026广西南宁.二模)【概念生成】定义：我们把经过三角形的一个顶点并与其对边所在直线相切的圆 叫做三角形的“切接圆”，如图1，△ABC,⊙O经过点A,并与点A的对边BC相切于点D,则该⊙O就 叫做△ABC的切接圆，根据上述定义解决下列问题： B D B D 图1 图2 图3 图4 (I)【理解应用】已知，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=6,BC=10 ①如图2，AC= ②如图2，若点D在边BC上，CD=要，以D为圆心，BD长为半径作圆，则⊙D (填“是”或 “不是”)△ABC的“切接圆”，请证明. ③在图3中，若点D在△ABC的边上，以D为圆心，CD长为半径作圆，当⊙D是Rt△ABC的“切接圆” 时，求⊙D的半径。 (2)【思维拓展】如图4，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标为A(一3，一2)，B(3,-2,C0,2), ①判断△ABC的形状，并求出△ABC的周长； ②试说明：以抛物线y=言x2图像上任意一点P为圆心，PC长为半径作圆，⊙P一定是△ABC的“切接圆”； ③若点P在抛物线y=言x2上，且⊙P是△ABC的“切接圆”，当○P的半径最小时，直接写出点P的坐 1/23 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 标 考点05 相似三角形 38.(2026广西南宁，二模)如图，在矩形ABCD中，E是边AB的中点，AF⊥DE于点H,交边BC于点F AD=2AB,则BF:CF的值为 D B 39.(2026广西南宁二模)如图，Rt△ABC中，∠A=90°，按照以下步骤作图： C B ①在AB和BC上取BM=BN,分别以M、N为圆心，大于专MN长为半径作弧，两弧交于点O,作射线 BO交AC于点D, ②以点C、点D为圆心，大于专CD长为半径作弧，两弧交于点P和点Q,作直线PQ分别交AC、BC于点 E和点F. ③连接DF. SsB即E= 根据作图，若∠B=60°，AB=1,则： 40.(2026广西南宁·二模)在研究几何图形的变换规律时，常常遵循从一般到特殊、再从特殊到一般的探 究思路，通过观察猜想、严谨推理、归纳提炼，开展研究 (I)【初步感知】如图1，在正方形ABCD的内部取一点E,连接BE,将线段BE绕点B顺时针旋转90·得 到线段BE,连接AB,CE,则AE与CE的数量关系是 _；∠ABE与∠CBE'的数量关系是 1/23 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 1 E 图1 (②)【特例研究】如图2，在(1)的前提下，当∠AEB=90°时，延长AE交EC的延长线于点F,求证： 四边形BEFE是正方形. 图2 (3)【类比探究】如图3，在矩形ABCD中，AB=6,BC=8,在其内部取一点E,使∠AEB=90°，将 线段BE绕点B顺时针旋转90·得到线段BE,延长BE至点G,使噩=青，连接GC,延长GC交AE的延 长线于点F A G 图3 ①求证：四边形EBGF是矩形； ②连接DF,若DF=5,请直接写出FG的值. 41.(2026广西贵港·二模)如图，△ABC内接于⊙O,AB为⊙0的直径，点D在AB的延长线上，连接 CD,∠BCD=∠A,过点B作BE⊥AD,交CD于点E. (1)求证：CD是⊙O的切线： 1/23 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (②)若点B是AD的中点，且BE=4,求⊙O的半径， 42.(2026广西桂林·二模)己知△ABC中，AB=AC,点D为射线AB上一动点，将线段DC绕点D顺时 针旋转得到线段DE,且∠CDE=∠CAB,连接BE,EC 图1 图2 备用图 (I)如图1，若∠CAB=90°，点D在线段AB上时， ①若点D为AB的中点，求tan∠BCE的值； ②求证：△ACD∽△BCE; ②我们把顶角为36°的等腰三角形称为“锐角黄金三角形，其底边长与腰长的比为号.如图2，若 △ABC为锐角黄金三角形，且∠BAC=36°，点D在线段AB的延长线上运动，当点B是线段AD的黄金 分割点时，求BE与CD所夹的角的度数。 43.(2026广西南宁.二模)如图，BD是△ABC的外接圆⊙O的直径，线段BE与⊙0相切于点B,连接 CE,交BD,AB于点F,G,∠EBG=∠BFE D E B 图1 图2 (I)求证：CG⊥AB; (2)求证：AC·BC=BD·CG; 3)如图2，若AC=V6,AG=V3BG,∠ABC=60°，求阴影部分的面积. 1/23