专题05 三角形（5年汇编）（天津专用）2022-2026年中考数学真题分类汇编

**基本信息** 整合天津2022-2026年中考真题及模拟题，聚焦三角形四大核心考点，通过本土建筑、生活场景等情境与动态折叠旋转问题设计，实现基础巩固到综合应用的能力梯度。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|约37题|三角形内角和、全等判定SSS/SAS、等腰三角形性质|结合尺规作图，考查几何直观与推理| |填空题|约12题|直角三角形勾股定理、解直角三角形|融入动点问题，突出分类讨论思想| |解答题|约7题|全等综合证明、解直角三角形应用|以天津本土工程为背景，考查建模与计算能力|

函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题05三角形 5年真题1年模拟 中考品题透析园 考点分类 天津考情(2022-2026) 命题规律 2022-2026年连续5年均 1.基础题侧重三角形内角和180°、外角等于不相邻两 有考查，以选择题、填空 内角和的直接应用，常结合平行线、对顶角等知识 题为主，常结合三角形内 点；2.中档题常与等腰三角形、等边三角形、直角三 角和定理、外角性质、等 角形结合，考查等角对等边、三线合一等性质的综合 考点01与三角形 腰/等边三角形性质综合命 应用；3.压轴题常融入折叠、旋转、圆的切线等情 有关的角 题，分值稳定在3-6分： 境，结合分类讨论思想，考查角度的动态变化与存在 2025年、2026年在解答 性问题；4.命题情境贴近天津本土文化，常以古代建 题中与圆、四边形结合考 筑、几何图案、生活场景为载体，突出几何直观与逻 查角度计算，难度有所提 辑推理能力的考查。 升。 1.基础题侧重SSS、SAS、ASA、AAS、HL五大判定 2022-2026年连续5年必 定理的直接应用，常以网格作图、简单几何图形为背 考，是几何证明的核心考 景，考查全等三角形的判定与性质；2.中档题常结合 点，以解答题为主，常出 平行四边形、矩形、菱形、正方形等特殊四边形，考 现在第22-23题，分值稳 考点02三角形全 查全等三角形的证明与对应边、对应角的推导，是几 定在8-10分：2025年、 等的判定 何证明题的核心得分点：3.压轴题常融入折叠、旋 2026年在填空题、压轴题 转、动点等动态情境，结合手拉手模型、一线三等角 中均有结合考查，全题型 模型等，考查全等三角形的构造与综合应用，突出分 覆盖，是区分度较高的核 类讨论与转化思想；4.命题强调严谨的逻辑推理，要 心考点。 求规范的证明书写，常设置条件开放、结论探究类设 1/25 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 问，考查学生的逆向思维与创新能力。 1.基础题侧重等腰三角形"等边对等角"等角对等 边"三线合一"等核心性质的直接应用，常结合三角形 2022-2026年连续5年高 内角和、外角性质考查角度与线段计算：2.中档题常 频考查，覆盖选择、填 与全等三角形、特殊四边形、圆结合，考查等腰三角 空、解答全题型，分值稳 形的判定与性质的综合应用，常以尺规作图、网格图 考点03等腰三角 定在12-15分：2024年、 形为背景，考查学生的构图能力与逻辑推理；3.压轴 形 2025年、2026年均在压 题常结合坐标系、二次函数、折叠旋转等动态情境， 轴题（第24-25题）中作 考查等腰三角形的存在性问题，核心是"腰/底不确 为核心考点考查，是几何 定顶角/底角不确定"的分类讨论，是区分学生几何能 综合题的基础与核心。 力的核心考点；4.命题趋势是"基础性质为核心，综合 应用为重点，分类讨论为难点"，常融入天津本土情 境，突出对直观想象、数学建模核心素养的考查。 1.基础题侧重勾股定理及逆定理、直角三角形两锐角 互余、3045特殊直角三角形性质的直接应用，常以 2022-2026年连续5年必 选择题、填空题形式考查，难度较低；2.中档题固定 考，是几何计算的核心考 在解答题第22题考查解直角三角形的实际应用，常以 点，覆盖选择、填空、解 天津本地的建筑、工程、地理情境为载体，结合锐角 答全题型，解答题第22 三角函数，考查学生的建模能力与计算能力，是固定 考点04直角三角 题固定考查解直角三角 得分点；3.压轴题常结合折叠、旋转、动点、二次函 形 形，分值稳定在10-14 数等情境，考查直角三角形的存在性问题、最值问 分；2025年、2026年在 题，结合全等三角形、相似三角形综合命题，突出分 压轴题中与二次函数、动 类讨论与数形结合思想；4.命题强调"数形结合”，要 点结合考查，难度梯度清 求学生能从图形中提取直角三角形模型，熟练运用勾 晰。 股定理、锐角三角函数解决问题，是几何计算能力的 核心考查点。 五年真题分类园 2/25 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 考点01与三角形有关的角 1. (2026天津.中考真题)如图，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=100°，BD是△ABC的角平分线. 按以下步骤作图：①以点D为圆心，适当长为半径作弧，与射线BD相交于点E,F:②分别以点E,F为 圆心，大于2EF的长为半径作弧，两弧（所在圆的半径相等）相交于点G:③作直线DG,与边BC相交 于点H.则∠CDH的大小为() A E A.25° B.30 C.35° D.40° 2.(2025天津.中考真题)如图，CD是△ABC的角平分线.按以下步骤作图：①以点A为圆心，适当长 为半径画弧，与边AB相交于点E,与边AC相交于点F;②以点B为圆心，AE长为半径画弧，与边BC相 交于点G:③以点G为圆心，EF长为半径画弧，与第②步中所画的弧相交于点H;④作射线BH,与CD 相交于点M,与边AC相交于点N.则下列结论一定正确的是() D M A.∠ABN=∠AB.BN⊥AC C.CM=AD D.BM=BD 3.(2024天津中考真题)如图，Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=40°，以点A为圆心，适当长为半径 画弧，交AB于友E,交AC于点，再分别以点E,F为圆心，大于BF的长为半径画弧，两弧（所在圆 的半径相等)在∠BAC的内部相交于点P:画射线AP,与BC相交于点D,则∠ADC的大小为() 3/25 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B A.60 B.65 C.70 D.75 4.(2023天津中考真题)如图，把△ABC以点A为中心逆时针旋转得到△ADE,点B,C的对应点分 别是点D,E,且点E在BC的延长线上，连接BD,则下列结论一定正确的是() B E D A.∠CAE=∠BED B.AB=AE C.∠ACE=∠ADED.CE=BD 考点02三角形全等的判定 5. (2025天津.中考真题)如图，在矩形ABCD中，AB=2,BC=3,点E在边BC上，且EC=2BE. (1)线段AE的长为 (2)F为CD的中点，M为AF的中点，N为EF上一点，若∠FMN=75°，则线段MN的长为 M F N 6.(2025天津.中考真题)如图，在△ABC中，∠ACB=90°，将△ABC绕点A顺时针旋转得到 △ABC,点B,C的对应点分别为B,C,BC的延长线与边BC相交于点D,连接CC.若 AC=4,CD=3'则线段CC的长为() 4/25 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B BD A 2 B. 16 C.4 24 5 7.(2023天津.中考真题)如图，在边长为3的正方形ABCD的外侧，作等腰三角形ADE,EA=ED B E D (1)△ADE的面积为 (2)若F为BE的中点，连接AF并延长，与CD相交于点G,则AG的长为 8.(2022天津.中考真题)如图，△OAB的顶点O(0,0),顶点A,B分别在第一、四象限，且AB⊥x轴， 若AB=6,OA=OB=5,则点A的坐标是() A B A.（5,4) B.(3,4) c.(5,3】 D.（4,3 考点03等腰三角形 9.(2026天津·中考真题)如图，在△ABC中，AB=8,AC=6,将△ABC绕点A顺时针旋转得到 △ADE,使点C的对应点E落在边AB上，点B的对应点为D,连接CE并延长，与BD相交于点F,若 BF=3,则△ABF的面积为() 5/25 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 E B A.2V55 B.4V10 c.82 D.7V2 10.(2025天津.中考真题)在平面直角坐标系中，O为原点，等边△ABC的顶点A0,2,B0,-1,点 C在第一象限，等边△E0F的顶点E-3,0?顶点F在第二象限. A A E EO O B B 图① 图② (1)填空：如图①，点F的坐标为 点C的坐标为 (②)将等边△EOF沿水平方向向右平移，得到等边△EOF,点E,O,F的对应点分别为E,O,F.设 00=t. ①如图②，若边EF与边AB相交于点G,当△EOF与△ABC重叠部分为四边形OOFG时，试用含 有t的式子表示线段GA的长，并直接写出t的取值范围： ②股平移后金浩部分的面积为，当3。代5附改按东日《宝接写出销架可. 4 11.(2022·天津.中考真题)如图，在△ABC中，AB=AC,若M是BC边上任意一点，将△ABM绕点A逆 时针旋转得到△ACN,点M的对应点为点，连接N,则下列结论一定正确的是() A.AB=ANB.AB‖NC C.∠AMN=∠ACND.MN⊥AC 6/25 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 考点04直角三角形 12.（2024天津.中考真题)如图，△ABC中，∠B=30°，将△ABC绕点C顺时针旋转60°得到△DEC, 点A,B的对应点分别为D,E,延长BA交DE于点F,下列结论一定正确的是() A.∠ACB=∠ACD B.AC‖DE C.AB=EF D.BF⊥CE 13.(2023·天津.中考真题)综合与实践活动中，要利用测角仪测量塔的高度. 如图，塔AB前有一座高为DE的观景台，已知CD=6m,∠DCE=30°，点E,C,A在同一条水平直线 上. D 1270 h30人45 某学习小组在观景台C处测得塔顶部B的仰角为45°，在观景台D处测得塔顶部B的仰角为27° (1)求DE的长： (2)设塔AB的高度为h(单位：m)· ①用含有h的式子表示线段EA的长（结果保留根号）： ②求塔AB的高度(tan27°取0.5，V3取1.7，结果取整数). 一年模拟练测 一、单选题 1.(2026天津南开·三模)如图，在△ABC中，按以下步骤作图： ①以点A为圆心，AC的长为半径画弧，交BC于点D: ②分别以点C和点D为风心，大于号CD的长为半径画弧，两弧相交于点B: 7/25 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ③画射线AF交BC于点E.若∠C=2∠B,BC=23,BD=13.则下列结论一定正确的是() B A.AE垂直平分线段BC B.2∠EAC=∠BAE C.AE=12 D.BE=13 2.(2026天津和平.三模)如图，有一张矩形纸片ABCD,AB=4,BC=5,E为CD上一点，将纸片沿 AE折叠，BC的对应边BC恰好经过点D'则线段DE的长为（） B E 5 A. B.3 c. D.5 3. (2026天津和平.三模)如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC.按以下步骤作图：分别以点 B,C为圆心，大于BC的长为半径画弧，交于点E,F,作直线EF交BC于点D,以点D为圆心，AB长 为半径画弧，在BC右侧交直线EF于点G,连接BG,CG.若BC=2,则△BCG的周长为() B A.8 B.9 C.10 D.11 4.(2026天津北辰.二模)如图，在△ABC中，∠C=2∠B.按以下步骤作图：①以点A为圆心，AC 长为半径画弧，与边BC相交于点D;②分别以点C,D为圆心，大于 CD的长为半径画弧（弧所在圆的 半径相等)，两弧在∠CAB的内部相交于点E:③作射线AE,与边BC相交于点F.若BC=11,CF=3, 8/25 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 则AF的长为() A.4 B.33 C.3 D.V13 5.(2026天津南开·二模)如图，正方形ABCD绕点C逆时针旋转60°得到正方形EFGC,点B,A,D 的对应点分别为G,F,E,连接AF.若AF=4,则边AB的长为() E G A.43-4V2B.2 c.2V2 D.2V3 6.(2026天津南开.二模)如图，在△ABC中，AB=8,BC=6,CA=5.BD是△ABC的角平分线. 按以下步骤作图： B ①以点C为圆心，CD长为半径画弧，交BD于点Q: ②分别以点D和点Q为圆心，以大于号DQ的长为半径画弧，两弧交于点户： ③连接CP并延长交AB边于点E,连接DE.则△DAE的周长为() A.7 B.8 C.9 D.10 7.(2026·天津河东·二模)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6,BC=8,将△ABC绕点A 逆时针旋转得到△ADE,点B,C的对应点分别为点D,E,AD与BC相交于点F,当DE平行于AB时，则 DF的长是() 9/25 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 E D B 15 A. B. 4 7-4 c D.9 8.(2026天津红桥·二模)如图，在△ABC中，∠ABC=90°，将△ABC绕点A顺时针旋转得到 △ADE,点B的对应点为D,点C的对应点为E,且点E在AB的延长线上，连接BD.若AB=15, BC=20,则线段BD的长为() B E A.12 B.65 C.15 D.10V5 D ∠ABC=90°AB=15BC=20 B C Rt△ABC E 在 中， 9.(2026天津红桥二模)如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①以点A为圆心，适当长为半径画弧， 与边AB相交于点M,与边AC相交于点V:②分别以点M,N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧 (所在圆的半径相等)在∠BAC的内部相交于点D,作射线AD与BC相交于点E;③分别以点A,C为圆 1C的长为半径画弧，两弧（所在圆的半径相等）相交于点P,Q:④连接PQ与AC 与AE相交于点G,连接GC.则下列结论一定正确的是() 10125 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B A.CE=号BC B.BE=AF C.∠ACG=∠BAED.AE⊥BC 10.(2026·天津河西·二模)如图，在锐角三角形ABC中，AD是边BC上的高，在BA,BC上分别截取 线段BE和BF,使BE=BF:分别以点E,F为圆心，大于EF的长为半径画弧，两弧交于∠ABC内部 的一点P,作射线BP,交AD于点M,过点M作MN⊥AB于点N.若MN=2,AD=4MD,则AN的长 为() p M D A.6 B.5 c.4V2 D.2V10 11.(2026天津东丽一模)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=6,将△ABC绕点C逆时针旋 转得到△ACB,点A,B的对应点分别为A,B,若点B恰好落在AB中点，则线段AA的长为 A.6 B.3V3 C.3 D.3V2 12.(2026天津一模)如图，ABCD,以点A为圆心，适当长为半径画弧，交AB,AC于点M,N, 分别以M,N为圆心，大于号MN长为半径作弧（弧所在圆的半径都相等），两弧相交于点P,连接AP并 延长交CD于点E.下列结论一定正确的是() 11/25 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A.AC=AEB.∠CAE=∠CEAC.∠BAE=∠CD.AE=CE 13.(2026·天津.一模)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=4,将△ABC绕点C逆时针旋转得 △ABC'点A'B的对应点分别为A'B若点B恰好落在AB中点，则线段AA的长为() B B C A.4 B.23 C.3 D.32 14.(2026天津滨海新区一模)如图，在△ABC中，∠B=34°，∠A=74°，点D在边AB上，以点C 为圆心，小于线段CD长为半径画弧，分别交线段BC,DC于点E,F,连接EF;以点D为圆心，线段 CF长为半径画弧，交线段DC于点G;以点G为圆心，线段EF长为半径画弧，该弧交以点D为圆心，线 段CF长为半径所画弧于点H,作射线DH交AC于点L,则∠AID的大小为() B A.36° B.54° C.62 D.72 15.(2026·天津和平.一模)如图，△ABC中，∠A=36°，AB=AC,将△ABC绕着点B逆时针旋转 n°得到△ACB,点A,C的对应点分别为A,C,点C恰好落在边AC上，则下列结论不正确的是( 12125 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A.n=72 B.BC平分∠ABCC.BC=BC D.AB‖AC 16.(2026天津红桥·三模)如图，在△ABC中，∠C=90°，∠BAC=30°，将△ABC绕顶点A顺时 针旋转60°得△ADE,点B,C的对应点分别为D,E,连接BE与AC相交于点F,与AD相交于点G.若 BC=1,则下列结论一定正确的是() A.∠AEB=∠ABE B.AG=AF C.∠AGF=75 D.BE=7 17.(2026·天津河东·三模)如图，已知△ABC.按以下步骤作图：①以点B为圆心，适当长为半径画弧， 与边AB交于点M,与边BC交于点N:②分别以点M,N为圆心，大于号MN的长为半径面弧，两弧交于 点P,作射线BP,与AC相交于点D;③以点C为圆心，适当长为半径画弧，与边AC交于点F,与边BC 交于点G:④以点D为圆心，CF长为半径画弧，与线段AD交于点H;⑤以点H为圆心，GF长为半径画 弧，与第④步中所画的弧交于点T,作射线DT,与AB相交于点E.则下列结论一定正确的是() E A.∠AED=∠C B.AE=CD C.BD⊥ACD.DE=BE 18.(2026·天津河东·三模)如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,D是BC边上一点，将 13125 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 △ABD绕点A逆时针旋转得到△ACE,点B,D的对应点分别为C,E,连接DE,F是DE的中点，连接 CF.若AB=4,BD=√2，则线段CF的长为() D A.2V5 B.V10 c.95 D.2 19.(2026天津河东·二模)如图，在△ABC中，∠A=120°，AB=AC=6cm.动点M从点B出发， 以1Cm/s的速度沿边BA向终点A运动；动点N从点C同时出发，以2cm/s的速度沿边CB向终点B运动. 规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动.设运动的时间为ts.当t=2s时，点M,N的 位置如图所示.有下列结论：①当t=2s时，AM+BN=BC;②当1≤t≤2时，△BMN的最大面积为 27 2 8 cm;③t有两个不同的值满足△BMN的面积为3cm2.其中，正确结论的个数是() B M A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 20.(2026天津北辰·二模)如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2V2,点D是边AC的中 点，连接BD,将△BCD绕点B顺时针旋转得到△BEF(BF在BC的右侧)，点C,D的对应点分别为 E,F,连接CF,且CFAB,下列结论错误的是(). D B A.EF=2 B.CF=2+6 C.△CBF是等腰三角形 D.点F的运动轨迹是以点B为圆心，以BD长为半径的圆 21.(2026天津和平.二模)如图，在直角△ABC中，∠ACB=90°，将△ABC绕着点C顺时针旋转一 14125 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 定角度得到△ABC,点A,B的对应点分别为A,B,点A恰好落在边AB上，连接BB.若AA=1, AB=2' 则线段BB的长为(） A.2 B.32 c.V5 D.22 2 22.(2026天津西青二模)如图，在△ABC中，AB=BC=5,AC=6,以点A为中心，把△ABC逆时 针旋转60。得到△ABC,点B'C的对应点分别为B'C,连接BC则BC的长是(） A.4+3V3 B.3+3/3 C.9 D.11 23.(2026天津·二模)如图，在△ABC中，∠B=30°，将△ABC绕点C顺时针旋转60°得到△DEC, 点A,B的对应点分别为D,E,延长BA交DE于点F,若BC=2,则EF的长为() E D 3 B.3 C.1 D.23 3 24.(2026天津.二模)如图，在△ABC中，O为AB的中点.按下列要求作图：①以点B为圆心，适当长 为半径画弧，交BA于点D,交BC于点E;②以点A为圆心，BD长为半径画弧，交AB于点F;③以点F 为圆心，DE长为半径画弧，交②中的弧于点G,点G与点E在直线AB同侧：④连接AG,并延长交BC于 15125 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 点M,连接MO,下列结论一定成立的是() M C A.AM=AC B.∠AMC+∠BAC=180° c.OM‖AC D.AM+CM=BC 25.(2026天津滨海新区·二模)如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=12mm,BC=24mm,动点P 从点A开始沿边AB向终点B以2mm/s的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC向终点C以4mm/s的速度 移动，如果P,Q两点分别从A,B两点同时出发，设运动时间为ts,有下列结论：①当t=2s时， PQ=10mm;②△PBQ的面积的最大值为36mm2;③t=1s时的四边形APQC的面积大于t=4s时的四 边形APQC的面积.其中，正确结论的个数是() A.3 B.2 C.1 D.0 26.(2026天津东丽·二模)如图，在△ABC中，∠ABC=45°，AB=62cm,AC=10cm.动点P 从点B出发，以1Cm/s的速度沿BC边向终点C匀速运动，运动到终点停止运动，当点P出发后，以BP 为边作正方形BPDE,使点D,A始终在BC边同侧，设点P运动时间为XS,正方形BPDE与△ABC重叠 部分图形的面积为ycm2.有下列结论： D B P ①BC长为14cm: ②当6<X≤14时，y关于x的函数关系式为y=-3 x-142+42: ③当正方形BPDE的对称中心与点A重合时，y=40 其中，正确结论的个数是() 16125 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A.0 B.1 C.2 D.3 27.(2026·天津西青一模)在△ABC中，AB=AC=6cm,∠B=30°.动点M从点B出发，以 2cm/s的速度沿边BA、边AC向终点C运动；动点N同时从点B出发，以1cm/s的速度沿边BC向终点C 运动.规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动.设运动的时间为ts,当t=2s时，点 M,N的位置如图所示.有下列结论： (1)当t=4s时，BN=CM: (2)△BMN的最大面积为4cm: 有一个值满足△BMIN的面积 其中，正确结论的个数是() A M B A.0 B.1 C.2 D.3 28.(2026天津红桥·一模)如图，在△ABC中，∠BAC=120°，以BC为边向外作等边三角形BCD, 连接AD,将△ABD绕点D顺时针旋转得到△ECD,点A的对应点为E,则下列结论一定正确的是() D A.DE=AB+CE B.AB ED C.∠DCE=∠BCD D.AD⊥BC 29.(2026天津.一模)如图，在△ABC中，∠ABC=45°，AB=3V2cm,AC=5cm.动点P从点B 出发，以1Cm/s的速度沿BC边向终点C匀速运动，运动到终点停止运动，当点P出发后，以BP为边做正 方形BPDE,使点D,A始终在BC边同侧，设点P运动时间为ts|t>O,正方形BPDE与△ABC重叠部分 图形的面积为ycm2.有下列结论： 17/25 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B P ①BC长为7cm; ②当3<t≤7时，y关于t的函数关系式为y=- 3t-7P+21 ③当正方形PDEB的对称中心与点A重合时，y=10 其中，正确结论的个数是() A.0 B.1 C.2 D.3 30.(2026天津滨海新区.一模)如图，△ABC中，∠C=30°，CA=CB,将△ABC绕点B逆时针旋转， 得到△DBE,旋转角为C30°<<120°.点A的对应点为点D,点C的对应点为点E,延长ED交边 AC于点F,连接BF,则下列说法不一定正确的是() B A.AC=DE B.BD‖AC C.∠EFB=∠AFB D.∠EBC+∠DFA=180° 31.(2026天津河西.一模)如图，在△ABC中，∠B=90°，∠C=30°，AB=20cm,点M从点B出 发，以1cm/s的速度沿边BA向终点A运动：动点N从点A同时出发，以2cm/s的速度沿边AC向终点C运 动.规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动.设运动的时间为ts.当t=5S时，点M, N的位置如图所示.有下列结论： 20 ①当t=3s时，AM=AN:②当t=5s时，MN的长度最小，③t有两个不同的值满足△AMN面积为 40V3cm2. 其中，正确结论的个数是() 18125 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 M A.0 B.1 C.2 D.3 32.(2026·天津河西一模)如图，∠ABC=90°，P为射线BC上一点(P与B不重合)，分别以AB, AP为边，在∠ABC的内部作等边△ABE和等边△APQ,连接QE并延长交BP于点F.若AB=BP=3, 则线段QF的长为() P C 1.34 5 B.5 c.3/2 D.3+93 33.(2026天津红桥.一模)如图，在正方形ABCD中，E为边BC上一点，连接AE.按以下步骤作图： ①以点A为圆心，适当长为半径画弧，与边AB相交于点F,与AE相交于点G;②以点E为圆心，AF长为 半径画弧，与EC相交于H:③以点H为圆心，FG长为半径画弧，与第②步中所画的弧相交于点I(在 BC上方)，作射线EI;④以点E为圆心，AE长为半径画弧，与射线EI相交于点J,连接AJ与边CD相交 于点K,连接EK.若AB=3,BE=1,则线段EK的长为() A.2 B.V5 C. D.10 二、填空题 19/25 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 34.(2026天津和平.三模)如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O,AC=8,BD=12, E是线段OA的中点，连接BE, B D (I)线段BE的长为 (I)G为BE的中点，F是OC的中点，连接GF,则线段GF的长为 35.(2026天津河北·二模)如图，四边形ABCD中，BC=CD=6,∠C=90°」 B (I)线段BD的长为： (IⅡ)若AB=BD,∠ABD=30°，则线段AD的长为 36.(2026天津东丽一模)如图，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，AB=AC=5,边长为V5 的正方形DEFM的顶点D,E,F分别在△ABC的边AB,AC,BC上. B (I)点F到AC边的距离为 (II)BF的长为 37.(2026天津.一模)如图，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，AB=AC=5,边长为5的正 方形DEFM的顶点D,E,F分别在△ABC的边AB,AC,BC上. 20125 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (1)点F到AC边的距离为 (2)BF的长为 38.(2026·天津河西·一模)如图，在矩形ABCD中，点E,F分别在边AB,BC上，且AE=4,CF=3. D B (1)若BE=BF=2,则线段AF的长为： (2)若M为AC的中点，N为EF的中点，则线段MN的长为 39.(2026天津红桥·一模)如图，在边长为6的等边三角形ABC中，点D在边AB上，BD=2AD,过 点D作DE L BC,垂足为E. D (1)线段DE的长为 (2)F为DE的中点，G为边AC上一点，若∠GFD=60°，则线段GF的长为 40.(2026天津西青.一模)如图，口ABCD中，AB=4,BC=8,∠ABC=60°，E为BC边中点，对 角线AC,BD相交于点O,F是线段AO中点，连接AE,EF. D E ①线段AE的长是 ②线段EF的长是一： 41。(2026天津滨海新区·三模)如图，在边长为2的等边△ABC中，D为边BC上一点，且BD=号CD, 点E,F分别在边AB,AC上，DF‖AB且∠EDF=90°. 21125 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 E B D (1)∠BED的度数为 (2)连接EF,若M为边EF的中点，连接CM交DF于点N.则CM的长为 42.(2026天津南开·二模)如图，已知Rt△ABC,∠C=90°，E为BC边上一点，ED⊥AB,垂足为 点D,D恰为AB中点，点F为线段AE上一点，且∠CAB=∠EFD E ◇ (1)若∠=69°，则∠EFD的大小为 (度)； (2)若CE=3EF,AC=2V7,则线段BD的长为 43.(2026天津西青·二模)如图，在△ABC中，AB=AC,∠ABC=45°，D为AC边中点，连接BD, 过点C作CE⊥BC,与BD的延长线相交于点E. (1)∠ACE的大小是 (2)若CE=2V2,则边AB的长是 44.（2026天津.二模)如图，E为正方形ABCD的边CD上一点，连接AE,把AE绕点E逆时针旋转90°， 得到EF,连接CF并延长与AB的延长线交于点G.AD=3,DE=1 22125 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B (I)BG的长为 (Ⅱ)若H是BC的中点，连接FH,则FH的长为 45.(2026天津滨海新区.一模)如图，四边形ABCD是正方形，点E是边AB上一动点（点A,B除外）， 点F在正方形ABCD内部.△EFG是直角三角形，EG=EF,点G在DA的延长线上，FE的延长线与 CB的延长线交于点H,若点E为FH的中点，AG=3,则FC的长为 G B 三、解答题 46.(2026·天津和平·三模)综合与实践活动中，要用测角仪测量物体上升的高度CE. 如图①，在水平地面上，一辆小车用一根绕过定滑轮的绳子将物体竖直向上提起， B E D 图① 图② 图③ (I)起始位置示意图如图②，此时测得点A到BC所在直线的距离AC=3m,∠CAB=60°，点A,B,C 在同一平面内，求AB的长： (2)停止位置示意图如图③，点C,A,D在同一直线上，且直线CD与地面平行，此时测得∠CDB=37°， 图③中所有点在同一平面内.定滑轮半径忽略不计，运动过程中绳子总长不变.求物体上升的高度CE( sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75,3≈1.73，结果保留小数点后一位) 23125 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 47.(2026天津河西·二模)将一个直角三角形纸片ABO,放置在平面直角坐标系中，点A(3,0),点 B(0,V3),点O(0,0).动点E从点A出发沿x轴负方向运动，F为边AB上的点，且∠AEF=30°，以EF 所在直线为折痕折叠该纸片，点A的对应点为A,点O的对应点为O.设AE=t. B B H -- A A■ 图① 图② (1)如图①，当t=1时，点E的坐标为 点F的坐标为 (2)如图②，若折叠后重合部分为四边形，折痕EF与边BO交于点D,AO分别与边BO,AB相交于点G, H,试用含有t的式子表示HF的长，并直接写出t的取值范围： (3)设折叠后重合部分的面积为S,当1≤t≤4时，求S的取值范围（直接写出结果即可）， 48.(2026天津河西.一模)在平面直角坐标系中，O为原点，等边△OAB的顶点A(4,0),点B在第一象 限，△COD的顶点C(0,3),且CD‖x轴，顶点D在AB边上. x00 图① 图② (1)填空：如图①，点B的坐标为，点D的坐标为： (2)将△COD沿水平方向向右平移，得到△COD,点C,O,D的对应点分别为C,O,D.设 OO=t.△COD与△OAB重叠部分的面积为S, ①如图②，若边CD,OD分别与边AB相交于点E,点F,当△COD与△OAB重叠部分为四边形时， 试用含有t的式子表示S,并直接写出t的取值范围； ②当0≤t≤ 3时，求S的取值范围（直接写出结果即可）， 49. （2026天津西青一模）在平面直角坐标系中，0为原点，等边△0AB的顶点B63,0?点A在第 24125 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 一象限，Rt△C0D的顶点D-63,0点C在第二象限，∠CD0=90'∠COD=30: N B D B 0 图① 图② (1)填空：如图①，点A的坐标为 ,点C的坐标为 (2②)将Rt△COD沿水平方向向右平移，得到Rt△COD,点C,O,D的对应点分别为C,O,D.设 00=t. ①如图②，若边CO与边OA,AB分别相交于点M,N,边CD与边OA相交于点P,当Rt△COD与 等边△OAB重叠部分为五边形PMNB时，试用含有t的式子表示线段AN的长，并直接写出t的取值范 围； ②设平移后两三角形重叠部分的面积为S,当63≤t≤10V3时，求S的取值范围（直接写出结果即可）· 25125函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题05三角形 5年真题1年模拟答案版 五年真题分类园 考点01与三角形有关的角 1.B 2.D 3.B 4.A 考点02三角形全等的判定 5 9V15 5. 3 6.D 7. 3 13 8.D 考点03等腰三角形 9.C 10.a)_33331 2’22’2 2)03t-1, t<5295s5≤3 2 16 4 11.c 考点04直角三角形 12.D 1/4 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 13.(1)3m 2)0h+33m:②11m 一年模拟练测园 1.C 2.A 3.A 4.A 5.C 6.A 7.A 8.B 9.c 10.C 11.B 12.B 13.B 14.D 15.A 16.D 17.D 18.C 19.C 20.C 21.C 2.A 23.D 24.D 25.B 214 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 26.C 27.B 28.B 29.C 30.B 31.C 32.D 33.C 34. 2V10 3V2 35. 6V2: 6V3-6. 36 2 3V2 37. 3/2 38. 2V10 52 39. 2V3 33 40. 4 41. 90 53 6 42. 69 2V14 43. 45 6 5 44. 3 2 45.3V5 46.1)6m (2)2.7m 47.02,0y 3 (2)HF= 3 6 t,3<t<4 2s5s33 314 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 48.)2,23,(3,3 2)0S=- 3:+33 128sss73 其中的取值范围是1≤t<3.@273sS 5 49.33,9-63,6 20AWN=125-t,63<t<8/3:②63sSs815 5 414 专题05 三角形 5年真题1年模拟 考点分类 天津考情（2022-2026） 命题规律 考点01与三角形有关的角 2022-2026年连续5年均有考查，以选择题、填空题为主，常结合三角形内角和定理、外角性质、等腰/等边三角形性质综合命题，分值稳定在3-6分；2025年、2026年在解答题中与圆、四边形结合考查角度计算，难度有所提升。 1. 基础题侧重三角形内角和180°、外角等于不相邻两内角和的直接应用，常结合平行线、对顶角等知识点；2. 中档题常与等腰三角形、等边三角形、直角三角形结合，考查等角对等边、三线合一等性质的综合应用；3. 压轴题常融入折叠、旋转、圆的切线等情境，结合分类讨论思想，考查角度的动态变化与存在性问题；4. 命题情境贴近天津本土文化，常以古代建筑、几何图案、生活场景为载体，突出几何直观与逻辑推理能力的考查。 考点02 三角形全等的判定 2022-2026年连续5年必考，是几何证明的核心考点，以解答题为主，常出现在第22-23题，分值稳定在8-10分；2025年、2026年在填空题、压轴题中均有结合考查，全题型覆盖，是区分度较高的核心考点。 1. 基础题侧重SSS、SAS、ASA、AAS、HL五大判定定理的直接应用，常以网格作图、简单几何图形为背景，考查全等三角形的判定与性质；2. 中档题常结合平行四边形、矩形、菱形、正方形等特殊四边形，考查全等三角形的证明与对应边、对应角的推导，是几何证明题的核心得分点；3. 压轴题常融入折叠、旋转、动点等动态情境，结合手拉手模型、一线三等角模型等，考查全等三角形的构造与综合应用，突出分类讨论与转化思想；4. 命题强调严谨的逻辑推理，要求规范的证明书写，常设置条件开放、结论探究类设问，考查学生的逆向思维与创新能力。 考点03 等腰三角形 2022-2026年连续5年高频考查，覆盖选择、填空、解答全题型，分值稳定在12-15分；2024年、2025年、2026年均在压轴题（第24-25题）中作为核心考点考查，是几何综合题的基础与核心。 1. 基础题侧重等腰三角形"等边对等角""等角对等边""三线合一"等核心性质的直接应用，常结合三角形内角和、外角性质考查角度与线段计算；2. 中档题常与全等三角形、特殊四边形、圆结合，考查等腰三角形的判定与性质的综合应用，常以尺规作图、网格图形为背景，考查学生的构图能力与逻辑推理；3. 压轴题常结合坐标系、二次函数、折叠旋转等动态情境，考查等腰三角形的存在性问题，核心是"腰/底不确定""顶角/底角不确定"的分类讨论，是区分学生几何能力的核心考点；4. 命题趋势是"基础性质为核心，综合应用为重点，分类讨论为难点"，常融入天津本土情境，突出对直观想象、数学建模核心素养的考查。 考点04 直角三角形 2022-2026年连续5年必考，是几何计算的核心考点，覆盖选择、填空、解答全题型，解答题第22题固定考查解直角三角形，分值稳定在10-14分；2025年、2026年在压轴题中与二次函数、动点结合考查，难度梯度清晰。 1. 基础题侧重勾股定理及逆定理、直角三角形两锐角互余、30°/45°特殊直角三角形性质的直接应用，常以选择题、填空题形式考查，难度较低；2. 中档题固定在解答题第22题考查解直角三角形的实际应用，常以天津本地的建筑、工程、地理情境为载体，结合锐角三角函数，考查学生的建模能力与计算能力，是固定得分点；3. 压轴题常结合折叠、旋转、动点、二次函数等情境，考查直角三角形的存在性问题、最值问题，结合全等三角形、相似三角形综合命题，突出分类讨论与数形结合思想；4. 命题强调"数形结合"，要求学生能从图形中提取直角三角形模型，熟练运用勾股定理、锐角三角函数解决问题，是几何计算能力的核心考查点。 考点01 与三角形有关的角 1．（2026·天津·中考真题）如图，在中，，，是的角平分线．按以下步骤作图：①以点 为圆心，适当长为半径作弧，与射线相交于点，；②分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧（所在圆的半径相等）相交于点；③作直线，与边 相交于点．则的大小为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用等边对等角求得，利用角平分线的定义求得，利用三角形的外角性质求得，由作图知，据此求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴， 由作图知， ∴， ∴． 2．（2025·天津·中考真题）如图，是的角平分线．按以下步骤作图：①以点为圆心，适当长为半径画弧，与边相交于点，与边相交于点；②以点为圆心，长为半径画弧，与边相交于点；③以点为圆心，长为半径画弧，与第②步中所画的弧相交于点；④作射线，与相交于点，与边相交于点．则下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要查了尺规作图，等腰三角形的判定，三角形外角的性质．由作法可得：，再结合三角形外角的性质，等腰三角形的判定解答，即可． 【详解】解：由作法得：， 根据题意无法得到与的大小关系， 所以无法确定与的大小关系，故A选项错误； ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴，故D选项正确； 题干中没有说明的大小关系， ∴无法判断的大小关系，则无法得到的度数，故B选项错误； 根据题意无法得到的大小关系，故C选项错误； 故选：D 3．（2024·天津·中考真题）如图，中，，以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点；再分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧（所在圆的半径相等）在的内部相交于点；画射线，与相交于点，则的大小为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查基本作图，直角三角形两锐角互余以及三角形外角的性质，由直角三角形两锐角互余可求出，由作图得，由三角形的外角的性质可得，故可得答案 【详解】解：∵， ∴， 由作图知，平分， ∴， 又 ∴ 故选：B 4．（2023·天津·中考真题）如图，把以点A为中心逆时针旋转得到，点B，C的对应点分别是点D，E，且点E在的延长线上，连接，则下列结论一定正确的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据旋转的性质即可解答． 【详解】根据题意，由旋转的性质， 可得，，， 无法证明，，故B选项和D选项不符合题意， ，故C选项不符合题意， ，故A选项符合题意， 故选：A． 【点睛】本题考查了旋转的性质，熟练掌握旋转的性质和三角形外角运用是解题的关键． 考点02 三角形全等的判定 5．（2025·天津·中考真题）如图，在矩形中，，，点在边上，且． （1）线段的长为____________； （2）为的中点，为的中点，为上一点，若，则线段的长为____________． 【答案】 【分析】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，解直角三角形，全等三角形的性质与判定等等，熟知矩形的性质与勾股定理是解题的关键． （1）求出，再利用勾股定理即可求出答案； （2）过点M作于H，由矩形的性质得到，，证明，得到，，则可证明，可得，则；由勾股定理得，则，解直角三角形求出的长，进而可求出的长． 【详解】解：（1）∵，， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 故答案为：； （2）如图所示，过点M作于H， ∵四边形是矩形， ∴，， ∵为的中点， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴； 在中，由勾股定理得， ∵为的中点， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 6．（2025·天津·中考真题）如图，在中，，将绕点顺时针旋转得到，点B，C的对应点分别为的延长线与边相交于点，连接．若，则线段的长为（   ） A． B． C．4 D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质、线段垂直平分线的判定、旋转的性质、勾股定理等知识，熟练掌握旋转的性质是解题关键．连接，交于点，先证出，根据全等三角形的性质可得，再证出垂直平分，则可得，，然后利用勾股定理和三角形的面积公式求出的长，由此即可得． 【详解】解：如图，连接，交于点， 由旋转的性质得：，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴垂直平分， ∴，， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故选：D． 7．（2023·天津·中考真题）如图，在边长为3的正方形的外侧，作等腰三角形，．    （1）的面积为________； （2）若F为的中点，连接并延长，与相交于点G，则的长为________． 【答案】 3 【分析】（1）过点E作，根据正方形和等腰三角形的性质，得到的长，再利用勾股定理，求出的长，即可得到的面积； （2）延长交于点K，利用正方形和平行线的性质，证明，得到的长，进而得到的长，再证明，得到，进而求出的长，最后利用勾股定理，即可求出的长． 【详解】解：（1）过点E作，   正方形的边长为3， ， 是等腰三角形，，， ， 在中，， , 故答案为：3； （2）延长交于点K， 正方形的边长为3， ，， ，， ， ， ， F为的中点， ， 在和中， ， ， ， 由（1）可知，，， ， ， ， ， ， 在中，， 故答案为：．    【点睛】本题考查了正方形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，作辅助线构造全等三角形和相似三角形是解题关键． 8．（2022·天津·中考真题）如图，△OAB的顶点O(0，0)，顶点A，B分别在第一、四象限，且AB⊥x轴，若AB=6，OA=OB=5，则点A的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用HL证明△ACO≌△BCO，利用勾股定理得到OC=4，即可求解． 【详解】解：∵AB⊥x轴， ∴∠ACO=∠BCO=90°， ∵OA=OB，OC=OC， ∴△ACO≌△BCO(HL)， ∴AC=BC=AB=3， ∵OA=5， ∴OC=4， ∴点A的坐标是（4，3）， 故选：D． 【点睛】本题考查了坐标与图形，全等三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 考点03 等腰三角形 9．（2026·天津·中考真题）如图，在中，，，将绕点顺时针旋转得到，使点的对应点落在边上，点的对应点为，连接并延长，与相交于点，若，则的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由旋转的性质可知：，则有，然后可得，则有，过点作，进而根据勾股定理及等腰三角形的性质进行求解即可． 【详解】解：由旋转的性质可知：， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 过点作，如图所示： ∴， ∴， ∴． 10．（2025·天津·中考真题）在平面直角坐标系中，为原点，等边的顶点，点在第一象限，等边的顶点，顶点在第二象限． (1)填空：如图①，点的坐标为____________，点的坐标为____________； (2)将等边沿水平方向向右平移，得到等边，点的对应点分别为．设． ①如图②，若边与边相交于点，当与重叠部分为四边形时，试用含有的式子表示线段的长，并直接写出的取值范围； ②设平移后重叠部分的面积为，当时，求的取值范围（直接写出结果即可）． 【答案】(1) (2)①，② 【分析】（1）作于点，作于点，根据等边三角形的性质，结合勾股定理进行求解即可； （2）平移的性质，得到，求出的长，解直角三角形求出的长，线段的和差表示出的长，当点落在轴上之后，直至点与点重合之前，重叠部分为四边形，求出的范围即可； （3）分，和三种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：作于点，作于点， ∵均为等边三角形， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴； （2）①∵平移， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 当点落在轴上时，此时，点为的中点，则：， 当点与点重合时，， ∴当与重叠部分为四边形时，； ②当时，则重叠的部分为四边形，如图，作轴， 由（1）和（2）①可知：，，， ∴， ∴当时，的值最小，为； ∴； 设交轴于点，则：， ∴当时，此时点于重合，与点重合， 重叠的部分恰为， ∴； 当，随着的增大而减小， ∴当时，有最小值，此时点轴，如图： 此时重叠部分为五边形，， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 由平移可得：，， ∴， ∴， ∴， 同法可得：， ∴； 综上：． 【点睛】本题考查坐标与图形，等边三角形的判定和性质，勾股定理，解直角三角形，二次函数求最值等知识点，熟练掌握相关知识点，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． 11．（2022·天津·中考真题）如图，在△ABC中，AB=AC，若M是BC边上任意一点，将△ABM绕点A逆时针旋转得到△ACN，点M的对应点为点N，连接MN，则下列结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据旋转的性质，对每个选项逐一判断即可． 【详解】解：∵将△ABM绕点A逆时针旋转得到△ACN，∴△ABM≌△ACN， ∴AB=AC，AM=AN， ∴AB不一定等于AN，故选项A不符合题意； ∵△ABM≌△ACN， ∴∠ACN=∠B， 而∠CAB不一定等于∠B， ∴∠ACN不一定等于∠CAB， ∴AB与CN不一定平行，故选项B不符合题意； ∵△ABM≌△ACN， ∴∠BAM=∠CAN，∠ACN=∠B， ∴∠BAC=∠MAN， ∵AM=AN，AB=AC， ∴△ABC和△AMN都是等腰三角形，且顶角相等， ∴∠B=∠AMN， ∴∠AMN=∠ACN，故选项C符合题意； ∵AM=AN， 而AC不一定平分∠MAN， ∴AC与MN不一定垂直，故选项D不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的判定与性质．旋转变换是全等变换，利用旋转不变性是解题的关键． 考点04 直角三角形 12．（2024·天津·中考真题）如图，中，，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点分别为，延长交于点，下列结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了旋转性质以及两个锐角互余的三角形是直角三角形，平行线的判定，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据旋转性质得，结合，即可得证，再根据同旁内角互补证明两直线平行，来分析不一定成立；根据图形性质以及角的运算或线段的运算得出A和C选项是错误的． 【详解】解：记与相交于一点H，如图所示： ∵中，将绕点顺时针旋转得到， ∴ ∵ ∴在中， ∴ 故D选项是正确的，符合题意； 设 ∴ ∵ ∴ ∴ ∵不一定等于 ∴不一定等于 ∴不一定成立， 故B选项不正确，不符合题意； ∵不一定等于 ∴不一定成立， 故A选项不正确，不符合题意； ∵将绕点顺时针旋转得到， ∴ ∴ 故C选项不正确，不符合题意； 故选：D 13．（2023·天津·中考真题）综合与实践活动中，要利用测角仪测量塔的高度． 如图，塔前有一座高为的观景台，已知，点E，C，A在同一条水平直线上．    某学习小组在观景台C处测得塔顶部B的仰角为，在观景台D处测得塔顶部B的仰角为． (1)求的长； (2)设塔的高度为h（单位：m）． ①用含有h的式子表示线段的长（结果保留根号）； ②求塔的高度（取0.5，取1.7，结果取整数）． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）根据含30度角的直角三角形的性质求解即可； （2）①分别在和中，利用锐角三角函数定义求得，，进而可求解； ②过点作，垂足为．可证明四边形是矩形，得到，．在中，利用锐角三角函数定义得到，然后求解即可． 【详解】（1）解：在中，， ∴． 即的长为． （2）解：①在中，， ∴． 在中，由，，， 则. ∴． 即的长为． ②如图，过点作，垂足为． 根据题意，， ∴四边形是矩形． ∴，． 可得． 在中，，， ∴．即． ∴． 答：塔的高度约为． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用，涉及含30度角的直角三角形的性质、矩形判定与性质、锐角三角函数，理解题意，掌握作辅助线构造直角三角形解决问题是解答的关键． 一、单选题 1．（2026·天津南开·三模）如图，在中，按以下步骤作图： ①以点为圆心，的长为半径画弧，交于点； ②分别以点和点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点； ③画射线交于点．若，，．则下列结论一定正确的是（     ） A．垂直平分线段 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据作图步骤得出，垂直平分；通过计算得出的长，进而求出的长，利用外角性质证明，最后在中利用勾股定理求出的长，再结合各选项即可解答． 【详解】解：如图： 由作图步骤可知：，垂直平分， ∴，， ， ， ∵不一定成立， ∴不一定正确，即B选项错误； ∵，， ∴， ∴， ∴，故选项D错误； ∵， ∴不平分，故选项A错误； ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 在中，，故选项C正确． 2．（2026·天津和平·三模）如图，有一张矩形纸片，，，为上一点，将纸片沿折叠，的对应边恰好经过点，则线段的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据折叠的性质可得，，，在中利用勾股定理求出的长，进而求出的长，设，在中利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，． 根据折叠的性质，得，，，，． ∵经过点， ∴． 在中，由勾股定理，得． ∴． 设，则， ∴． 在中，由勾股定理，得， 即． 解得． ∴． 3．（2026·天津和平·三模）如图，在中，，．按以下步骤作图：分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，交于点，，作直线交于点，以点为圆心，长为半径画弧，在右侧交直线于点，连接，．若，则的周长为（     ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】A 【分析】根据勾股定理求出，由作图知：是的垂直平分线，，根据线段垂直平分线的性质知，根据勾股定理求出，即可求解. 【详解】解：∵，， ∴， 由作图知：是的垂直平分线，， ∴，，， ∴， ∴的周长为. 4．（2026·天津北辰·二模）如图，在中，．按以下步骤作图：①以点A为圆心，长为半径画弧，与边相交于点D；②分别以点C，D为圆心，大于的长为半径画弧（弧所在圆的半径相等），两弧在的内部相交于点E；③作射线，与边相交于点F．若，则的长为（   ） A．4 B． C．3 D． 【答案】A 【分析】连接，由作法得：，再由等腰三角形的性质可得，，从而得到，以及三角形外角的性质可得，从而得到，再由勾股定理解答即可． 【详解】解：如图，连接， 由作法得：， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 5．（2026·天津南开·二模）如图，正方形绕点C逆时针旋转得到正方形，点B，A，D的对应点分别为G，F，E，连接．若，则边的长为（   ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】连接，易得为等边三角形，再利用勾股定理求． 【详解】解：连接， 由旋转可知，， 为等边三角形， ， 在正方形中，， 则，解得． 6．（2026·天津南开·二模）如图，在中，，，．是的角平分线．按以下步骤作图： ①以点C为圆心，长为半径画弧，交于点Q； ②分别以点D和点Q为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点P； ③连接并延长交边于点E，连接．则的周长为（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】A 【分析】由题可知，设交于，可证，得到，则是的垂直平分线，进而得到，再根据边的关系计算周长即可． 【详解】解：由题可知，设交于， ， 是的角平分线， ，又， ， ， 是的垂直平分线， ， 又，，， , 则的周长． 7．（2026·天津河东·二模）如图，在中，，，，将绕点逆时针旋转得到，点的对应点分别为点，与相交于点，当平行于时，则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据勾股定理求出，根据旋转的性质得到和的对应边和对应角相等，设，利用勾股定理列方程求出，再在中用勾股定理以及线段的和差求得． 【详解】解：，，， ， 绕点旋转得到， ，， 平行于， ， ， 设， 则， ， ， 即， 解得：， ． 8．（2026·天津红桥·二模）如图，在中，，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点为，点的对应点为，且点在的延长线上，连接．若，，则线段的长为（   ） A．12 B． C．15 D． 【答案】B 【分析】根据勾股定理得出，根据旋转得出，，结合，得出，最后根据勾股定理求出结果即可． 【详解】解：过点D作， 在中，，，， ∴， ∵将绕点A顺时针旋转得到， ∴，， 又∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴． 9．（2026·天津红桥·二模）如图，在中，按以下步骤作图：①以点为圆心，适当长为半径画弧，与边相交于点，与边相交于点；②分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧（所在圆的半径相等）在的内部相交于点，作射线与相交于点；③分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧（所在圆的半径相等）相交于点，；④连接与相交于点，与相交于点，连接．则下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由作图可得是的平分线，是的垂直平分线，依据它们的性质可解决问题． 【详解】解：由作图可得是的平分线，是的垂直平分线， ∴，， ∴， ∴，故选项C正确； 由于不是等边三角形，故不存在，，故选项A，B不正确； 由于，故不垂直于，故选项D不正确． 10．（2026·天津河西·二模）如图，在锐角三角形中，是边上的高，在，上分别截取线段和，使；分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于内部的一点，作射线，交于点，过点作于点．若，，则的长为（     ） A．6 B．5 C． D． 【答案】C 【分析】由作图可知平分，则根据角平分线的性质定理可得，然后可得，进而根据勾股定理可进行求解． 【详解】解：由作图可知：平分， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴在中，由勾股定理可得． 11．（2026·天津东丽·一模）如图，在中，，，将绕点C逆时针旋转得到，点A，B的对应点分别为，，若点恰好落在中点，则线段的长为 A．6 B． C．3 D． 【答案】B 【分析】先求出，证明是等边三角形，得出，在中，利用勾股定理求出，最后证明是等边三角形，从而求出的长度． 【详解】解：由旋转的性质可知：，， ，点恰好落在中点， ∴， ∴， 是等边三角形， ∴， 在中，， ， ， 是等边三角形， ． 12．（2026·天津·一模）如图，，以点为圆心，适当长为半径画弧，交，于点，，分别以，为圆心，大于长为半径作弧（弧所在圆的半径都相等），两弧相交于点，连接并延长交于点．下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由尺规作图可知平分，故，结合利用平行线的性质即可得出正确结论． 【详解】解：由作图可知，平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故B正确，A，C，D 错误． 13．（2026·天津·一模）如图，在中，，，将绕点逆时针旋转得到，点，的对应点分别为，，若点恰好落在中点，则线段的长为（   ） A．4 B． C．3 D． 【答案】B 【分析】求出，证明是等边三角形，得出，在中，利用勾股定理求出，最后证明是等边三角形，从而求出的长度． 【详解】解：由旋转的性质可知：，， ，点恰好落在中点， ∴， ∴， 是等边三角形， ∴， 在中，， ， ， 是等边三角形， ． 14．（2026·天津滨海新区·一模）如图，在中，，，点D在边上，以点C为圆心，小于线段长为半径画弧，分别交线段，于点E，F，连接；以点D为圆心，线段长为半径画弧，交线段于点G；以点G为圆心，线段长为半径画弧，该弧交以点D为圆心，线段长为半径所画弧于点H，作射线交于点I，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据作图过程证明，从而得到，进而判断，最后利用平行线的性质和三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：由作图可知，，， 在和中， ， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∴． 15．（2026·天津和平·一模）如图，中，，，将绕着点B逆时针旋转得到，点A，C的对应点分别为，，点恰好落在边上，则下列结论不正确的是（　　） A． B．平分 C． D． 【答案】A 【分析】由等腰三角形性质求出，由旋转的性质可知，，，再结合角的和差，角平分线的定义以及平行线的判定分析判断，即可解题． 【详解】解： ，， ， 由旋转的性质可知，，，故C选项正确，不符合题意； ， ， 即，故A选项不正确，符合题意． ， 平分，故B选项正确，不符合题意； ∵， ，故D选项正确，不符合题意． 16．（2026·天津红桥·三模）如图，在中，，，将绕顶点A顺时针旋转得，点B，C的对应点分别为D，E，连接与相交于点F，与相交于点G．若，则下列结论一定正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据直角三角形性质求出的长，由旋转性质得出，结合图形相交条件判断出，利用勾股定理求出的长即可判断 【详解】解：在中，， ， 由旋转的性质可知：，，， ∴， ，故A错误； ∵，， ∴， ∴；故B错误； 线段与相交， 射线在内部， ， ∵， ∴， ∴，故C错误； 在中，，故D正确. 17．（2026·天津河东·三模）如图，已知．按以下步骤作图：①以点为圆心，适当长为半径画弧，与边交于点，与边交于点；②分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线，与相交于点；③以点为圆心，适当长为半径画弧，与边交于点，与边交于点；④以点为圆心，长为半径画弧，与线段交于点；⑤以点为圆心，长为半径画弧，与第④步中所画的弧交于点，作射线，与相交于点．则下列结论一定正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了尺规作图—作角平分线、作一个角等于已知角，平行线的判定与性质，等腰三角形的判定．由作图步骤可知平分，，进而证得，利用平行线的性质和角平分线的定义推出，即可求解． 【详解】解：由作图步骤①②可知，是的角平分线， ， 由作图步骤③④⑤可知，， ， ， ， ， 故选：D． 18．（2026·天津河东·三模）如图，在中，，，是边上一点，将绕点逆时针旋转得到，点，的对应点分别为，，连接，是的中点，连接．若，，则线段的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据旋转的性质可得，可得，，再由等腰直角三角形的性质可得，，从而得到，，然后在中，根据勾股定理，求得的长，再利用三角形的性质即可求解． 【详解】解：根据旋转的性质得， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， 在中，， ∵是的中点， ∴． 19．（2026·天津河东·二模）如图，在中，，．动点M从点B出发，以的速度沿边BA向终点A运动；动点N从点C同时出发，以的速度沿边向终点B运动．规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为．当时，点M，N的位置如图所示．有下列结论：①当时，；②当时，的最大面积为；③t有两个不同的值满足的面积为．其中，正确结论的个数是（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】根据提供的信息分析两点运动的时间与路程，再利用面积公式求三角形面积，根据二次函数的性质求最值，解一元二次方程． 【详解】解：①当时，，， ∴，， ∴， 故①正确； ②由题意知，，， 如图，过点作，过点A作， ∵，， ∴，， ∴，， ∴，， ∵规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，，， ∴， ∴， ∴， ∴当时，最大，为， ∵， ∴当时，的最大面积不是， 故②错误； ③由②知， 当的面积为时，， 解得或， 即t有两个不同的值满足的面积为， 故③正确． 综上所述，正确的有①③，一共2个． 20．（2026·天津北辰·二模）如图，在中，，点是边的中点，连接，将绕点顺时针旋转得到（在的右侧），点的对应点分别为，连接，且，下列结论错误的是（   ）． A． B． C．是等腰三角形 D．点的运动轨迹是以点为圆心，以长为半径的圆 【答案】C 【分析】根据为等腰直角三角形，得到，，，由旋转的性质得到，，点是在以为圆心、为半径的圆弧上运动，得证选项、正确；过点作于点，根据勾股定理和等腰直角三角形的性质得到的长度，从而得到答案． 【详解】解：∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵为中点， ∴，由勾股定理得， ∵绕点旋转得到， ∴，选项正确； ∵， ∴点是在以为圆心、为半径的圆弧上运动，选项正确， ∵， ∴， 如图，过点作于点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，选项正确， ∵，，， ∴不是等腰三角形，选项错误． 21．（2026·天津和平·二模）如图，在直角中，，将绕着点顺时针旋转一定角度得到，点，的对应点分别为，，点恰好落在边上，连接．若，，则线段的长为（   ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】先由旋转性质得到相关边与角的等量关系，再由等腰三角形性质及三角形内角和定理得出是直角三角形，最后由勾股定理求解即可． 【详解】解：由旋转性质可得，，，， ， 则， ，， ， ， ， 在中，，，则由勾股定理可得． 22．（2026·天津西青·二模）如图，在中，，，以点为中心，把逆时针旋转得到，点，的对应点分别为，，连接，则的长是（     ） A． B． C．9 D．11 【答案】A 【分析】连接，与相交于点O，如图，先根据旋转的性质得到，，则可判断为等边三角形，所以，结合，根据线段垂直平分线定理的逆定理得到垂直平分，接着利用勾股定理计算出，，然后计算即可． 【详解】解：连接，与相交于点O，如图， ∵逆时针旋转得到， ∴，， ∴为等边三角形， ∴， ∴点在的垂直平分线上， ∵， ∴B点在的垂直平分线上， ∴垂直平分， ∴，， 在中，∵，， ∴， 在中，∵，， ∴， ∴． 23．（2026·天津·二模）如图，在中，，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点分别为，延长交于点，若，则的长为（     ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【分析】由旋转性质得出相关角度及线段长度，在中求出，进而由对顶角相等得出，在中，由含直角三角形性质求出，进而得出，在中，解直角三角形即可得到答案． 【详解】解：如图所示： 将绕点顺时针旋转得到， ，且，， 在中，，，则， ， 在中，，，则， ， 在中，，，则， ． 24．（2026·天津·二模）如图，在中，为的中点．按下列要求作图：①以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点；②以点为圆心，长为半径画弧，交于点；③以点为圆心，长为半径画弧，交②中的弧于点，点与点在直线同侧；④连接，并延长交于点，连接，下列结论一定成立的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题中作图，结合三角形全等的判定与性质得到，逐项验证各个选项即可得到答案． 【详解】解：由题中的作图可知，， ， ，则， A、题中无法确定，不一定成立； B、由于，而题中无法确定，则不一定成立； C、由等腰三角形三线合一性质得到，而题中无法确定，则不一定成立； D、由于、，则一定成立． 25．（2026·天津滨海新区·二模）如图，在中，，，，动点从点开始沿边向终点以的速度移动，动点从点开始沿边向终点以的速度移动，如果，两点分别从，两点同时出发，设运动时间为．有下列结论：①当时，；②的面积的最大值为；③时的四边形的面积大于时的四边形的面积．其中，正确结论的个数是（     ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】B 【分析】根据题意表示出和，对于①，使用勾股定理进行计算即可；对于②，容易得到，根据二次函数的性质计算最值即可；对于③，在②的基础上，写出四边形的面积的表达式，代入求值并比较大小即可． 【详解】解：由题意可知，，， ∴， 对于①，当时，，， 由勾股定理可得，，故①错误； 对于②，， ∵， ∴当时，取得最大值，故②正确； 对于③，由②可知，， ∴， 当时，；当时，， ∵， ∴③正确； 综上，正确的结论有2个． 26．（2026·天津东丽·二模）如图，在中，，，．动点P从点B出发，以的速度沿边向终点C匀速运动，运动到终点停止运动，当点P出发后，以为边作正方形，使点D，A始终在边同侧，设点P运动时间为，正方形与重叠部分图形的面积为．有下列结论： ①长为； ②当时，y关于x的函数关系式为； ③当正方形的对称中心与点A重合时，． 其中，正确结论的个数是（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】如图，过点A作于点F，根据等角对等边得，根据勾股定理求出，，可判断①；分两种情况：当点D在线段上运动时；当点D在线段的延长线上运动时，分别求解，可判断②；根据条件及正方形的性质得，根据等角对等边,根据勾股定理得，，可判断③． 【详解】解：设点P运动时间为，正方形与重叠部分图形的面积为， 过点A作于点F， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，故结论①正确，符合题意； 当点D在线段上运动时， ∵由题意可得：运动到终点停止运动，点P运动时间为，四边形是正方形， ∴，，， 当点D与点A重合时，点P与点F重合， 此时， ∴； 当点D在线段的延长线上运动时，如图，设交于点G， 此时点P在线段上运动，则， ∵，，，， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴，即， ∴， ∴ ∴当时，y关于x的函数关系式为，故结论②正确，符合题意； 当正方形的对称中心与点A重合时， 此时点A为的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，故结论③不正确，不符合题意； 综上，正确的结论是①②，共2个． 27．（2026·天津西青·一模）在中，，．动点M从点B出发，以的速度沿边、边向终点C运动；动点N同时从点B出发，以的速度沿边向终点C运动．规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为．当时，点M，N的位置如图所示．有下列结论： （1）当时，； （2）的最大面积为； （3）t只有一个值满足的面积为． 其中，正确结论的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】由题意易得，当时，点M在边上，则，当时，点M在边上，则，然后分类进行求解即可． 【详解】解：由题意可知：，当时，点M在边上，则，当时，点M在边上，则， 当时，此时点M在边上， ∴， ∴，故（1）正确； 当时，过点M作于点E，如图所示： ∵，， ∴， ∴， 当时，的面积为最大，最大值为； 当时，过点M作于点F，如图所示： ∵， ∴， ∴， 当时，的面积为最大，最大值为；故（2）错误； 当时，解得：（负根舍去），符合， 当时，解得：（负根舍去）， ∵， ∴，符合题意； ∴t有两个值满足的面积为，故（3）错误； 综上所述：正确的结论只有一个． 28．（2026·天津红桥·一模）如图，在中，，以为边向外作等边三角形，连接，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点为，则下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据旋转的性质、等边三角形的性质及判定、平行线的判定逐一判断即可. 【详解】解：∵以为边向外作等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵由旋转可知：， ∴C错误； ，， ∴即：三点共线， ∵ ∴是等边三角形， ∴， ∴A错误； ∵是等边三角形， ∴， ∵ ∴ ∴， ∴B正确； ∵不一定相等， ∴不一定垂直于， ∴D错误. 29．（2026·天津·一模）如图，在中，，，．动点从点出发，以的速度沿边向终点匀速运动，运动到终点停止运动，当点出发后，以为边做正方形，使点，始终在边同侧，设点运动时间为，正方形与重叠部分图形的面积为．有下列结论： ①长为； ②当时，关于的函数关系式为； ③当正方形的对称中心与点重合时，． 其中，正确结论的个数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】如图，过点作于点，根据等角对等边得，根据勾股定理求出，，可判断①；分两种情况：当点在线段上运动时；当点在线段的延长线上运动时，分别求解，可判断②；根据条件及正方形的性质得，根据等角对等边，根据勾股定理得，，可判断③． 【详解】解：如图，过点作于点， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，故结论①正确； 当点在线段上运动时， ∵动点从点出发，以的速度沿边向终点匀速运动，运动到终点停止运动，点运动时间为，四边形是正方形， ∴，，， 当点与点重合时，点与点重合， 此时， ∴； 当点在线段的延长线上运动时，如图，设交于点 此时点在线段上运动，则， ∵，，，， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴，即， ∴， ， ∴当时，关于的函数关系式为，，故结论②正确； 当正方形的对称中心与点重合时，如图， 此时点为的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，故结论③不正确； 综上所述，正确结论的个数是． 30．（2026·天津滨海新区·一模）如图，中，，，将绕点B逆时针旋转，得到，旋转角为．点A的对应点为点D，点C的对应点为点E，延长交边于点F，连接，则下列说法不一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据旋转的性质可得，从而判断选项A；过点B作于点H，作于点G，利用证明，进而利用证明，可判断C；利用四边形内角和及全等三角形性质可判断D；通过计算平行所需的旋转角的值判断B． 【详解】解：由旋转的性质知，， ， 故A正确； 过点B作于点H，作于点G， ， ， 、， 在和中， ， ， ，， 在和中， ， ， ， 故C正确； 、， ， 在四边形中，， ， ， 故D正确； 若，则或， ， ， 当时，旋转角或， ，不一定为或， 不一定平行于， 故B不一定正确． 【点睛】本题考查旋转的性质、全等三角形的判定与性质、四边形内角和、平行线的性质，熟练掌握相关性质，数形结合的思想方法的运用是解题的关键． 31．（2026·天津河西·一模）如图，在中，，，，点从点出发，以的速度沿边向终点运动；动点从点同时出发，以的速度沿边向终点运动．规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为．当时，点，的位置如图所示．有下列结论： ①当时，；②当时，的长度最小；③有两个不同的值满足面积为． 其中，正确结论的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】代入，得到与的长度，由此可判断是否相等；由勾股定理表示出的长度，再由最值求解即可；由边长表示出面积，从而求解关于t的一元二次方程，由公式法求解即可． 【详解】解：①∵点的运动速度为，点的运动速度为， 当时，，， 则， 则当时，，故①正确； ②过点N作交于点P，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， 则， ∵，， ∴， 则在中，，， ∴， 在中，， 当时，的长度最小，故②错误； ③， 则有，且， 可得， ∴，即，， 即有两个不同的值满足面积为，故③正确． ∴正确结论的个数是2个． 32．（2026·天津河西·一模）如图，，为射线上一点（与不重合），分别以，为边，在的内部作等边和等边，连接并延长交于点．若，则线段的长为（   ） A． B．5 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等的性质和判定，含特殊角的直角三角形．解题时，先证明，进而求出，然后过点作，求出即可求解． 【详解】解：如图，过点作， ， 是等边三角形， ，，． ． 在 和 中， ， ，． ， ， ． ， ， ， ． ， ． 33．（2026·天津红桥·一模）如图，在正方形中，为边上一点，连接．按以下步骤作图：①以点为圆心，适当长为半径画弧，与边相交于点，与相交于点；②以点为圆心，长为半径画弧，与相交于；③以点为圆心，长为半径画弧，与第②步中所画的弧相交于点（在上方），作射线；④以点为圆心，长为半径画弧，与射线相交于点，连接与边相交于点，连接．若，，则线段的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】以点为原点建立平面直角坐标系，由作图可知 ，，可证，根据全等三角形的性质可以求出点的坐标为，利用待定系数法求出直线的解析式，根据解析式求出点的坐标，利用平面直角坐标系中两点之间的距离公式即可求出的长度． 【详解】解：四边形是正方形， ， ，， ， 由作图可知，， 如下图所示，以点为原点建立平面直角坐标系， 则有点的坐标是，点的坐标是，点的坐标是，点的坐标是， 过点作轴， 在和中，， ， ，， ， 点的坐标为， 设的解析式是， 可得：， 解得：， 直线的解析式是， 当时，可得：， 点的坐标是， ， 点的坐标是， ． 二、填空题 34．（2026·天津和平·三模）如图，在菱形中，对角线与相交于点，，，是线段的中点，连接， （I）线段的长为____________； （II）为的中点，是的中点，连接，则线段的长为____________． 【答案】 【分析】（I）根据菱形对角线互相垂直平分求出 的长，由中点定义求出的长，在中利用勾股定理求出； （II）取中点，连接，利用三角形中位线定理求出的长，进而求出的长，在中利用勾股定理求出． 【详解】（I） 四边形 是菱形，，， ，，． 是线段 的中点， ， 在 中，由勾股定理得： ． （II）如图，取的中点，连接， 为的中点，为的中点， 是的中位线， ，， ， ，即． 为的中点，， ． 是的中点，， ， ． 在中，由勾股定理得： ． 35．（2026·天津河北·二模）如图，四边形中，，． （Ⅰ）线段的长为______； （Ⅱ）若，，则线段的长为______． 【答案】 ； ． 【分析】根据勾股定理可求出的长；过点作于点，用三角函数求出和，再求出，最后根据勾股定理可求出的长． 【详解】解：（Ⅰ），， ； （Ⅱ）如图，过点作于点， 由题意可得，， 在直角中， ，即， ， ，即， ， ， 在直角中， ， ． 36．（2026·天津东丽·一模）如图，是等腰直角三角形，，，边长为的正方形的顶点D，E，F分别在的边，，上． （Ⅰ）点F到边的距离为__________； （Ⅱ）的长为__________． 【答案】 2 【分析】过点F作与点G，由等腰直角三角形的性质得出，，进一步得出是等腰直角三角形，则，证明，由全等三角形的性质得出，，设，则，，，由勾股定理求出，再由勾股定理求出，最后根据线段的和差关系即可求出． 【详解】解：过点F作与点G， ∵是等腰直角三角形，， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴． ∵四边形是正方形， ∴，， ∴，， ∴， 又， ∴， ∴，． 设，则，，， 在中，， 即， 解得：， ∴， ∴， ∴． 37．（2026·天津·一模）如图，是等腰直角三角形，，，边长为的正方形的顶点，，分别在的边，，上． （1）点到边的距离为__________； （2）的长为__________． 【答案】 2 【分析】（）通过证明，找出等量关系，设，则,结合勾股定理即可． （2）先根据勾股定理求出、，再根据代入即可． 【详解】（）过作交于， ∵是等腰直角三角形，，， ∴，， ∵， ∴， ∴, ∴, ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴在和中， ∴（）， ∴，， ∴， 设，则， ∴在中，， ∴， 整理得， 解得， ∴． （）由（）可知，， ∴在中，， ∵，， ∴在中，， ∴． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，综合掌握相关的知识点是解决问题的关键． 38．（2026·天津河西·一模）如图，在矩形中，点，分别在边，上，且，． （1）若，则线段的长为______； （2）若为的中点，为的中点，则线段的长为______． 【答案】 【分析】（1）由矩形的性质可得，求出，利用勾股定理即可求解； （2）作射线，过点作的平行线交射线于点，证明，得到，易证，勾股定理求出，再证明为的中位线，即可求解． 【详解】解：（1）∵在矩形中，且， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）作射线，过点作的平行线交射线于点， 则， ∵点为的中点， ∴， ∴， ∴，， ∵，矩形中， ∴， ∴， ∵点为的中点，点为的中点， ∴为的中位线， ∴． 39．（2026·天津红桥·一模）如图，在边长为6的等边三角形中，点D在边上，，过点D作，垂足为E． （1）线段的长为________； （2）F为的中点，G为边上一点，若，则线段的长为________． 【答案】 【分析】（1）由等边三角形的性质求出，证明是直角三角形，由勾股定理求出； （2）过点作于点，于点，得到和都是直角三角形，求出，，证明四边形是矩形，即可得到答案． 【详解】解：（1）边长为6的等边三角形， 点D在边上，， ，垂足为， 是直角三角形， 在中， ， 由勾股定理得：； （2）过点作于点，于点， ， 和都是直角三角形， 由（1）可知，， 点是的中点， ， 在中，， ， ， 在中，， ， ， ， ， ， ， 四边形是矩形， ． 40．（2026·天津西青·一模）如图，中，，，，E为边中点，对角线相交于点O，F是线段中点，连接． ①线段的长是______； ②线段的长是______． 【答案】 4 【分析】①根据中点的性质及等边三角形的判定和性质得出，为等边三角形，即可求解； ②连接，根据三角形中位线的判定和性质得出，再由三角形外角的性质得出，确定，得出，再由勾股定理结合图形求解即可． 【详解】解：①∵，E为边中点， ∴， ∵，， ∴，为等边三角形， ∴； ②连接， ∵， ∴O为中点， 由①得E为中点， ∴， 由①得：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵F是线段中点， ∴， ∴． 41．（2026·天津滨海新区·三模）如图，在边长为2的等边中，为边上一点，且，点，分别在边，上，且． （1）的度数为_______； （2）连接，若为边的中点，连接交于点．则的长为______． 【答案】 【分析】（1）由等边三角形中，，，结合平角定义可得，进一步可得答案. （2）根据等边三角形边长为2，在中求得的长，再根据垂直平分，在中求得，利用三角形中位线求得的长，最后根据线段和可得的长． 【详解】解：（1）等边三角形边长为2，， ∴，， 等边三角形中，， ， ， ， ∴， （2）∵，，， ， ∴， 如图，连接，则中，为边的中点， ∴，   ， 是等边三角形， ， 垂直平分， ， 中，， ∴， ∵， ∴是中位线， ∴， ． 42．（2026·天津南开·二模）如图，已知，，E为边上一点，，垂足为点D，D恰为中点，点F为线段上一点，且． （1）若，则的大小为______________（度）； （2）若，，则线段的长为______________． 【答案】 【分析】（1）先证，得到，进而可得，然后可得； （2）过作，设，再证，得到，在中利用勾股定理求出，然后可求线段的长． 【详解】解：（1），D恰为中点， ， ， ，又， ， ； （2）过作， 由（1）可知， 为等腰三角形， 平分，则， 设，则， 又， ， ，， 又，D恰为中点， ， 为的中位线， ，则， 又， ， 在中，，即， 解得（负值已舍去）， ，， ． 43．（2026·天津西青·二模）如图，在中，，，为边中点，连接，过点作，与的延长线相交于点． （1）的大小是______°； （2）若，则边的长是_______． 【答案】 6 【分析】解：（1）由和，计算即可； （2）过作于，由和得到，设，则，，最后证明，得到代入列方程求解即可． 【详解】解：（1）∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴； （2）过作于， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴（负值舍去）， 设，则， ∵为边中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， 经检验是分式方程的解， ∴． 44．（2026·天津·二模）如图，E为正方形的边上一点，连接，把绕点E逆时针旋转，得到，连接并延长与的延长线交于点G．，． （Ⅰ）的长为________； （Ⅱ）若H是的中点，连接，则的长为________． 【答案】 3 【分析】（Ⅰ）过点作交延长线于点，证明和全等，得到，再根据等腰直角三角形性质解答； （Ⅱ）作，结合第一问结论判定等腰直角三角形，得到、长度；再证四边形为正方形，利用中点求，最后由勾股定理算出． 【详解】解：过点作交延长线于点， ， 四边形是正方形， ，， 绕点逆时针旋转，得到， ，， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， 四边形是正方形， ， 是等腰直角三角形， ， ． 过点F作于点， ， 四边形是正方形， ， 又∵， 四边形是矩形， ∵, ∴四边形是正方形， ， ∵，H是的中点， ， ， 在中，由勾股定理得： ． 45．（2026·天津滨海新区·一模）如图，四边形是正方形，点E是边上一动点（点A，B除外），点F在正方形内部．是直角三角形，，点G在的延长线上，的延长线与的延长线交于点H，若点E为的中点，，则的长为________． 【答案】 【分析】根据正方形性质和直角三角形性质，通过互余关系证明，结合证明，从而得到和；利用点E为的中点及三角形中位线定理求出点F到的距离和水平位置，最后利用勾股定理计算的长． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∴，， ∵是直角三角形，， ∴是等腰直角三角形，， ∵点E为的中点， ∴， ∴， ∵点H，E，F三点共线， ∴， ∴， 在中，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 如图，过点F作交于点M， ∵， ∴， ∴， ∵点E为的中点， ∴， ∴是的中位线， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，． 三、解答题 46．（2026·天津和平·三模）综合与实践活动中，要用测角仪测量物体上升的高度． 如图①，在水平地面上，一辆小车用一根绕过定滑轮的绳子将物体竖直向上提起． (1)起始位置示意图如图②，此时测得点到所在直线的距离，，点，，在同一平面内，求的长； (2)停止位置示意图如图③，点，，在同一直线上，且直线与地面平行，此时测得，图③中所有点在同一平面内．定滑轮半径忽略不计，运动过程中绳子总长不变．求物体上升的高度（，，，，结果保留小数点后一位） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）在中，利用余弦值即可求解； （2）在中，利用正切值可知，进而根据正弦值可知，根据即可求解． 【详解】（1）解：在中， ，， ∴， （2）解：在中，， 在中，， ∴ 47．（2026·天津河西·二模）将一个直角三角形纸片，放置在平面直角坐标系中，点，点，点．动点从点出发沿轴负方向运动，为边上的点，且，以所在直线为折痕折叠该纸片，点的对应点为，点的对应点为．设． (1)如图①，当时，点的坐标为__________，点的坐标为__________； (2)如图②，若折叠后重合部分为四边形，折痕与边交于点，分别与边，相交于点，，试用含有的式子表示的长，并直接写出的取值范围； (3)设折叠后重合部分的面积为，当时，求的取值范围（直接写出结果即可）． 【答案】(1)， (2)， (3) 【分析】(1) 由可直接写出点坐标，再在中利用角度关系得，作垂线构造含角的直角三角形，利用求出，进而求解． (2)先证明，过作于，则，在中， 求出，，再证明，通过分析临界点得到t的范围； (3) 分与两段讨论重合部分的形状，前者为三角形，后者为四边形，分别用t表示出面积表达式，再结合二次函数性质求最值． 【详解】（1）解：，动点从点出发沿轴负方向运动，且， ， ，， ，， ， ， 在边上，且， ， ， 过作于，则是底边上的中线， ， 在中，， ， ， ∴，， ． （2）解：对于任意，， 在中，， ， 过作于，则， 在中，， ， ， ∴， 由折叠性质，，， ，， ， ， ∴， ∴当点E刚好到O时，重叠部分恰好为三角形，此时，当重叠部分为四边形，随着点E向左移动，点G、H逐渐靠近，并向B移动，直到过点B时，重叠部分为三角形，故； （3）解：当时，重合部分为， 由（1）可知，，，， ∴， ∴，， 当时，随的增大而增大， 时，， 当时，重合部分为四边形， 由折叠可知，，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵由（2）， ∴, ∴, ∴, 二次项系数为， 抛物线开口向下，对称轴为直线， 时，， 又∵时，，时，， 当时，，， ． 48．（2026·天津河西·一模）在平面直角坐标系中，为原点，等边的顶点，点在第一象限，的顶点，且轴，顶点在边上． (1)填空：如图①，点的坐标为______，点的坐标为______； (2)将沿水平方向向右平移，得到，点，，的对应点分别为，，．设．与重叠部分的面积为． ①如图②，若边，分别与边相交于点，点，当与重叠部分为四边形时，试用含有的式子表示，并直接写出的取值范围； ②当时，求的取值范围（直接写出结果即可）． 【答案】(1)， (2)①．其中的取值范围是．② 【分析】（1）作于，作于，根据等边三角形的性质和含的直角三角形的性质，可以求出，到轴，轴的距离，再根据它们所在的象限即可确定它们的坐标； （2）①先求出的面积，然后用的代数式表示的面积，再把的面积减去的面积便得到，延长交于点，当与重合时，得到的最小值，当与重合时，得到的最大值，这样即可确定的范围； ②根据三角形形平移过程中与正三角形重叠部分的不同形状，进行分类讨论，求出每一种情况下对应的的函数解析式，通过函数的性质，求出相应的的范围，最后便能确定的范围． 【详解】（1）解：如图，作于，作于， ，为等边三角形， ，，， ， ∴的坐标为， ∵的坐标为，轴， ， 在中，， ， ， ∴的坐标为； （2）解：①如图： ，， ，， ，，， ， 如图：由平移性质可知， ， 是含的直角三角形，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 如图：延长交于点，交轴于， 则， ， 综上所述； ②第一种情况，当时，如下图： 设交于点， 则，， ， ， ∵， ， ∴当时，， 当时，， ； 第二种情况，如下图所示： 当时， ∵时，对称轴为直线， ∴当时，随增大而减小， 当时，， 当时，， ； 第三种情况，如下图所示： 当时，设交于点， ， ， ， ， 当时，随增大而减小， 当时，， 当时，， ； 综上所述． 49．（2026·天津西青·一模）在平面直角坐标系中，O为原点，等边的顶点，点A在第一象限，的顶点，点C在第二象限，，． (1)填空：如图①，点A的坐标为______，点C的坐标为______； (2)将沿水平方向向右平移，得到，点C，O，D的对应点分别为，，．设． ①如图②，若边与边，分别相交于点M，N，边与边相交于点P，当与等边重叠部分为五边形时，试用含有t的式子表示线段的长，并直接写出t的取值范围； ②设平移后两三角形重叠部分的面积为S，当时，求S的取值范围（直接写出结果即可）． 【答案】(1)， (2)①，；② 【分析】（1）过A作于H，解直角三角形求出、、的长度，即可求解； （2）①求出，根据含的直角三角形的性质求出，进而求出，然后在中，解直角三角形即可；求出当和O重合时和当在上时两种情况下t的值即可求出t的取值范围 ②分，讨论，根据割补法求出S关于t的函数解析式，然后根据二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：过A作于H， ∵等边的顶点， ∴，， ∴，， 又∵点A在第一象限， ∴， ∵的顶点， ∴， ∵，， ∴， 又点C在第二象限， ∴； （2）解：①∵平移， ∴，， 又， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，； 当和O重合时，如图， 当在上时，如图， ， ∴， ∴当时，如图， 此时重叠部分为五边形， ②当在上时，如图， ， ∴， ∴当时，重叠部分为五边形，， ∴， ∴ ， ∵， ∴抛物线开口向下， ∴当时，S有最大值为， 当时，，当时，， ∴S的最小值为 ∴； 当时，如图，过P作于Q， 此时重叠部分为四边形， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∵， ∴抛物线开口向下， ∴当时，S随t的增大而减小， ∴当时，S有上限为，当时，S有最小值为， ∴， 又， ∴． 试卷第1页，共3页 2 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $