第25章一元二次方程（单元自测卷）数学新教材人教版九年级上册

**基本信息** 九年级上册数学一元二次方程单元卷，以基础巩固为核心，融合低空旅游、光伏产业等时代热点及丢番图几何解法等文化素材，通过梯度设计实现知识应用与创新思维考查，适配单元复习。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|定义、解法、根的判别式|第8题结合直升机飞行时长增长考查增长率模型| |填空题|5/15|根与系数关系、新定义|15题以“同族二次方程”考查概念迁移| |解答题|9/75|实际应用、综合探究|20题通过几何图解法验证方程解，23题结合三角形边长考查配方法应用，体现推理能力与模型意识|

可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2025-2026学年九年级上册数学单元检测卷 第25章一元二次方程（参考答案） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1 6 > b 10 D D A B D B C A D 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11.-2 12.-2 13.x=2027 1 14.2 15.15 三、解答题（共9小题，共75分） 16. 【详解】(1)解：x2-2x-8=0, 因式分解得-4x+2)=0 ∴.x-4=0或x+2=0, 解得=4与-2 (2)解： 2x(x-3)=5(x-3) 整理得 x(X-3)-5(x-3)=0 因式分解得-3)(2x-5)=0 .x-3=0或2x-5=0, 5 解得x=3,=) 2 1/7 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 17. 【详解】解：，a是方程x2-2026x+1=0的一个根， ∴.a2-2026a+1=0, .a2+1=2026a,a2-2025a=a-1, .a2-2025a-g2+1 4-1-2026a=a-1-4=-1. 2026 2026 18. 【i详解】1i证明：△=(-2a-4×1×(2a-)=4a2-8a+4=4(a2-2a+1)=4a-1}≥0 .一元二次方程x2-2ax+2a-1=0有实数根 (2)解：.x2-2ar+2a-1=0, :[x-(2a-](c-1=0 5=2a-16=1 ∴.-2<2a-1<-1, 1 解得2<a<0, 19. 【详解】解：设这种环保汽车的数量平均每年增长的百分率为x, 依题意得： 325(1+x)=637 =0.4=40%x2=-2.4 解得 (舍去)· 答：这种环保汽车的数量平均每年增长的百分率为40%. 20. 【答案】1解：：∠C=90,BC=9-2,AC=b=3, 2 2/7 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .AB=4C2+BC2=3+2=13 ∴AD=AB-BD=V13-2 当x=3-2时，(3-2+4-2) =(3-4v13+4+413-8 =17-4V13+413-8 =9=32 ∴.线段AD的长是方程x2+4x=32的一个解： @解：：∠C=908C=号4C-b, B=VAC2+BC=B+ 4 AD=AB-BD=6+a_a_4bta-a 42 2 用求根公式求得=V46+a2一a 0,5=V46+a2-a 2 2 正确性：AD的长就是方程的正根. 遗憾之处：图解法不能表示方程的负根。 21」 【详解】(1)解：设这款茶叶礼盒销量的月平均增长率为x, 由题意得，100(1+x}=144 解得=02七=-22 (不合题意，舍去)· 答：这款茶叶礼盒销量的月平均增长率为20%. (2)解：设该茶叶礼盒的售价应降价a元， 3/7 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 由题意得， (70-40-a)144+8a）=4600 化简，得a2-12a+35=0, 解得9=54，=7 因为降价后的单盒利润不低于24元， 所以70-40-a≥24，即a≤6， 所以”7 不合题意，舍去 答：该茶叶礼盒的售价应降价5元. 22. 【详解】(1)解：设青菜的售价为x元/千克， 由慰意得，125-25x5=105 0.1 解得x=2.9 答：某天超市正好销售105千克的青菜，则青菜的售价为2.9元/千克. (2)解：设青菜的售价为'元/千克， (0y-2)125-y-2.5 5=100 由题意得， 0.1 解得片=3与=4 答：若超市想一天销售青菜获利100元，则青菜的售价为3元/千克或4元/千克. 23. 【详解】(4)解：x+4r-1=2+4+4-4-1=(x+2}-5.(x+2}≥0 “当x=-2时，x2+4x-1有最小值，最小值是-5. 分解因式2+2x-3,原式=r+2x+1-1-3=(c+-4=(c+3)x-1) (2)解：a2+b2-4a-6b+13=0, 4/7 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .a2-4a+4+b2-6b+9=0 .(a-2)2+(b-3)2=0 .a-2=0,b-3=0, .a=2,b=3, ..b-a<c<b+a, .1<c<5 (3)解：在四边形ABCD中，AC⊥BD, 5CD 2 .AC+BD=8, 1 ÷S四边形ABCD= 4C-(8-4C) --7AC+4AC 1 =4c-84c+16-1o) =(4c-4+8, (4c-4s0, (4c-4+8≤8， 四边形ABCD面积的最大值为8 24. 【详解】山)解：一元二次方程=1的两个根是=1，七=-，此时西1-=21，故方程 x2=1 不是“邻根方程”： 一元二次方程2+4x+4=0的两个根是5=-2，名=-2，此时--2-(2川=01，放方程 5/7 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 x2+4x+4=0 不是“邻根方程”： 一元二次方程-=0的两个根是=，名=0，此时--01，救方程-x=0是“绍根方 程”； (x-k)x-3)=0x=kx2=3 (2)解：解方程 ，得 方程(x-kx-3)=0是“邻根方程”， k-3=1 k-3=1或k-3=-1, 解得k=2或k=4. 3)证明：设方程”-x+C=0的两个根为，， 则5+6=b,x6=c,且△=(-b°-4x1xc=b2-4c20 “方程 2-bx+c=0。 是“邻根方程”， k-x=1 (x-x2)2=1 ∴(x1+x2)-4xx2=1 .b2-4c=1 b2-1 ∴C= 4 b+2c*1=b1+2x-46号6+20+l 、42 +明， 6/7 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 而6+≥0 6+20, 故b+2c+1≥0， 7/7 2025-2026学年九年级上册数学单元检测卷 第25章 一元二次方程 建议用时：120分钟，满分：120分 1、 选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列方程中，属于一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 2．用配方法解方程时，原方程应变形为（     ） A． B． C． D． 3．一元二次方程的根的情况是（     ） A．没有实数根 B．只有一个实数根 C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根 4．已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（     ） A．且 B． C． D． 5．关于的一元二次方程的一个根为，那么它的另一个根为（     ） A． B．1 C．3 D． 6．已知，是一元二次方程的两个实数根，下列结论中正确的是（     ） A． B． C． D． 7．已知a，b是一元二次方程的两个实数根，则的值为（     ） A． B．3 C． D． 8．近年来，延庆区大力发展低空旅游产业．延庆文旅将分散的长城资源串联成线，打造世界级长城大景区，让更多人领略“空中瞰长城”的震撼，八达岭机场是“空中瞰长城”的起飞地，从2026年3月起客流逐月递增．3月份直升机的总飞行时长约为119.2小时，5月份直升机的总飞行时长约为176.8小时．设直升机每月飞行时长的平均增长率为x，则下列所列的方程正确的是（     ） A． B． C． D． 9．随着光伏产业的发展，光伏组件的制造技术逐渐成熟．某光伏组件厂的制造成本逐渐降低，今年第三季度的制造成本是第一季度制造成本的．若每个季度的制造成本下降百分率都相同，则每个季度的下降百分率为（     ） A． B． C． D． 10．如图，这是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点……，第行有个点，前行的点数和可能是以下哪个结果（    ） A．100 B．93 C．86 D．78 2、 填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11．设，分别是一元二次方程的两个根，则________． 12．设，是方程的两个实数根，则代数式的值是________． 13．若关于的一元二次方程（）有一个实数根为，则一元二次方程必有一个实数根为___________． 14．已知，是关于x的一元二次方程的两个实数根，则的最小值是______________． 15．新定义：关于的一元二次方程与称为“同族二次方程”．如与是“同族二次方程”．现有关于的一元二次方程与是“同族二次方程”，那么代数式的值是________________． 三、解答题（共9小题，共75分） 16．解下列方程： (1)； (2)． 17．已知是方程的一个根，试求的值． 18．已知关于的一元二次方程，其中为实数． (1)求证：一元二次方程有实数根； (2)设一元二次方程的一个实数根为．若，求的取值范围． 19．碳排放是关于温室气体排放的一个总称或简称．温室气体中最主要的气体是二氧化碳，因此用碳（）一词作为代表．虽然并不准确，但作为让民众最快了解的方法就是简单地将“碳排放”理解为“二氧化碳排放”．机动车尾气大量排放是导致城市空气质量恶化的重要原因．为解决这个问题，某市试行将现有汽车改装为液化石油气燃料汽车（称为环保汽车）．按计划，该市将使全市的这种环保汽车由目前的325辆增加到两年后的637辆，求这种环保汽车的数量平均每年增长的百分率． 20．古希腊数学家丢番图（公元250年前后）在《算术》中就提到了一元二次方程的问题，不过当时古希腊人还没有寻求到它的求根公式．只能用“图解法”来求解．在欧几里得的《几何原本》中，形如（，）的方程的“图解法”是：如图，以和为两直角边作，再在斜边上截取，则的长就是所求方程的一个解． (1)若，，求图中线段的长，并验证线段的长是方程的一个解； (2)请利用你已学的知识验证该“图解法”的正确性，并说说这种解法的不足之处． 21．茶叶礼盒以春茶品质最佳，每年春季采摘加工成礼盒．本地茶农线上销售某款茶叶礼盒，该礼盒成本为40元/盒，售价为70元/盒．已知该礼盒4月份销售100盒，受端午节日氛围带动，6月份销量增至144盒． (1)若4月份到6月份销量的月平均增长率保持不变，求这款茶叶礼盒销量的月平均增长率； (2)为了延续端午销售热度，茶农计划在7月份对这款茶叶礼盒降价促销．市场调研显示：以6月份的销量144盒为基数，售价每降低1元，月销售量就会增加8盒．若要使7月份这款礼盒的总利润达到4600元，且降价后的单盒利润不低于24元，该茶叶礼盒的售价应降价多少元？ 22．某学校八年级开展社会实践活动，如表是“遇数临风”小组的记录表，请根据相关信息解决表中的两个问题． 学校社会实践记录表 团队名称 遇数临风 活动时间 2026.4.26 班级人员 802王嘉、马俊、张宁 地点 城南蔬菜超市 实践内容 调查青菜行情，帮超市解决销售问题的同时为顾客谋实惠． 调研信息 青菜的进价为2元/千克． 青菜售价为2.5元/千克时，每天可销售125千克． 每千克每涨价0.1元，每天少销售5千克． 解决问题 (1)某天超市正好销售105千克的青菜，则青菜的售价为多少元/千克？ (2)若超市想一天销售青菜获利100元，则青菜的售价为多少元/千克？ 23．综合与实践 【项目主题】配方法的应用． 【项目准备】 (1)利用完全平方公式将多项式变形为的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式的配方法．配方法是一种重要的数学方法，常用于求代数式的最值．例如：求代数式的最小值，可知，当时，有最小值，最小值是____________ ．配方法也可以对一些多项式进行因式分解，例如：分解因式，原式_________________________ ． (2)【项目解决】当a，b，c分别为的三边长，且满足时，直接写出c的取值范围． (3)如图，在四边形中，．若，求四边形面积的最大值 ． 24．定义：如果，是一元二次方程的两个根，且，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如：一元二次方程的两个根是，，此时，则方程是“邻根方程”． (1)下列方程中，属于“邻根方程”的是___________（填序号）． ①；②；③． (2)已知方程是“邻根方程”，求k的值． (3)若方程是“邻根方程”，求证：． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年九年级上册数学单元检测卷 第25章 一元二次方程 建议用时：120分钟，满分：120分 1、 选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列方程中，属于一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 2．用配方法解方程时，原方程应变形为（     ） A． B． C． D． 3．一元二次方程的根的情况是（     ） A．没有实数根 B．只有一个实数根 C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根 4．已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（     ） A．且 B． C． D． 5．关于的一元二次方程的一个根为，那么它的另一个根为（     ） A． B．1 C．3 D． 6．已知，是一元二次方程的两个实数根，下列结论中正确的是（     ） A． B． C． D． 7．已知a，b是一元二次方程的两个实数根，则的值为（     ） A． B．3 C． D． 8．近年来，延庆区大力发展低空旅游产业．延庆文旅将分散的长城资源串联成线，打造世界级长城大景区，让更多人领略“空中瞰长城”的震撼，八达岭机场是“空中瞰长城”的起飞地，从2026年3月起客流逐月递增．3月份直升机的总飞行时长约为119.2小时，5月份直升机的总飞行时长约为176.8小时．设直升机每月飞行时长的平均增长率为x，则下列所列的方程正确的是（     ） A． B． C． D． 9．随着光伏产业的发展，光伏组件的制造技术逐渐成熟．某光伏组件厂的制造成本逐渐降低，今年第三季度的制造成本是第一季度制造成本的．若每个季度的制造成本下降百分率都相同，则每个季度的下降百分率为（     ） A． B． C． D． 10．如图，这是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点……，第行有个点，前行的点数和可能是以下哪个结果（    ） A．100 B．93 C．86 D．78 2、 填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11．设，分别是一元二次方程的两个根，则________． 12．设，是方程的两个实数根，则代数式的值是________． 13．若关于的一元二次方程（）有一个实数根为，则一元二次方程必有一个实数根为___________． 14．已知，是关于x的一元二次方程的两个实数根，则的最小值是______________． 15．新定义：关于的一元二次方程与称为“同族二次方程”．如与是“同族二次方程”．现有关于的一元二次方程与是“同族二次方程”，那么代数式的值是________________． 三、解答题（共9小题，共75分） 16．解下列方程： (1)； (2)． 17．已知是方程的一个根，试求的值． 18．已知关于的一元二次方程，其中为实数． (1)求证：一元二次方程有实数根； (2)设一元二次方程的一个实数根为．若，求的取值范围． 19．碳排放是关于温室气体排放的一个总称或简称．温室气体中最主要的气体是二氧化碳，因此用碳（）一词作为代表．虽然并不准确，但作为让民众最快了解的方法就是简单地将“碳排放”理解为“二氧化碳排放”．机动车尾气大量排放是导致城市空气质量恶化的重要原因．为解决这个问题，某市试行将现有汽车改装为液化石油气燃料汽车（称为环保汽车）．按计划，该市将使全市的这种环保汽车由目前的325辆增加到两年后的637辆，求这种环保汽车的数量平均每年增长的百分率． 20．古希腊数学家丢番图（公元250年前后）在《算术》中就提到了一元二次方程的问题，不过当时古希腊人还没有寻求到它的求根公式．只能用“图解法”来求解．在欧几里得的《几何原本》中，形如（，）的方程的“图解法”是：如图，以和为两直角边作，再在斜边上截取，则的长就是所求方程的一个解． (1)若，，求图中线段的长，并验证线段的长是方程的一个解； (2)请利用你已学的知识验证该“图解法”的正确性，并说说这种解法的不足之处． 21．茶叶礼盒以春茶品质最佳，每年春季采摘加工成礼盒．本地茶农线上销售某款茶叶礼盒，该礼盒成本为40元/盒，售价为70元/盒．已知该礼盒4月份销售100盒，受端午节日氛围带动，6月份销量增至144盒． (1)若4月份到6月份销量的月平均增长率保持不变，求这款茶叶礼盒销量的月平均增长率； (2)为了延续端午销售热度，茶农计划在7月份对这款茶叶礼盒降价促销．市场调研显示：以6月份的销量144盒为基数，售价每降低1元，月销售量就会增加8盒．若要使7月份这款礼盒的总利润达到4600元，且降价后的单盒利润不低于24元，该茶叶礼盒的售价应降价多少元？ 22．某学校八年级开展社会实践活动，如表是“遇数临风”小组的记录表，请根据相关信息解决表中的两个问题． 学校社会实践记录表 团队名称 遇数临风 活动时间 2026.4.26 班级人员 802王嘉、马俊、张宁 地点 城南蔬菜超市 实践内容 调查青菜行情，帮超市解决销售问题的同时为顾客谋实惠． 调研信息 青菜的进价为2元/千克． 青菜售价为2.5元/千克时，每天可销售125千克． 每千克每涨价0.1元，每天少销售5千克． 解决问题 (1)某天超市正好销售105千克的青菜，则青菜的售价为多少元/千克？ (2)若超市想一天销售青菜获利100元，则青菜的售价为多少元/千克？ 23．综合与实践 【项目主题】配方法的应用． 【项目准备】 (1)利用完全平方公式将多项式变形为的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式的配方法．配方法是一种重要的数学方法，常用于求代数式的最值．例如：求代数式的最小值，可知，当时，有最小值，最小值是____________ ．配方法也可以对一些多项式进行因式分解，例如：分解因式，原式_________________________ ． (2)【项目解决】当a，b，c分别为的三边长，且满足时，直接写出c的取值范围． (3)如图，在四边形中，．若，求四边形面积的最大值 ． 24．定义：如果，是一元二次方程的两个根，且，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如：一元二次方程的两个根是，，此时，则方程是“邻根方程”． (1)下列方程中，属于“邻根方程”的是___________（填序号）． ①；②；③． (2)已知方程是“邻根方程”，求k的值． (3)若方程是“邻根方程”，求证：． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年九年级上册数学单元检测卷 第25章 一元二次方程 建议用时：120分钟，满分：120分 1、 选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列方程中，属于一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】一元二次方程需要满足三个条件：是整式方程，只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2，据此逐一分析选项即可． 【详解】解：A、含有，两个未知数，故A不符合题意； B、是分式，方程不是整式方程，故B不符合题意； C、含有，两个未知数，且未知数最高次数为1，是二元一次方程，故C不符合题意； D、只含一个未知数，未知数最高次数为2，且是整式方程，符合一元二次方程的定义，故D符合题意． 2．用配方法解方程时，原方程应变形为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】按照配方法的步骤，先移项，再在方程两边同时加上一次项系数一半的平方，将左边配成完全平方式即可得到结果． 【详解】解：∵， ∴， 等式两边同时加上一次项系数一半的平方，得， ∴． 3．一元二次方程的根的情况是（     ） A．没有实数根 B．只有一个实数根 C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根 【答案】D 【分析】计算一元二次方程根的判别式的值，根据与的大小关系即可判断根的情况． 【详解】解：∵对于一元二次方程，可得，，， ∴， ∴该一元二次方程有两个不相等的实数根． 4．已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（     ） A．且 B． C． D． 【答案】A 【分析】一元二次方程有实数根需满足两个条件：一元二次方程二次项系数不为0，方程有实数根时根的判别式大于或等于0，求解两个条件后取交集即可得到结果． 【详解】解：∵原方程是关于的一元二次方程， ∴二次项系数不为0，即， 解得； ∵原方程有实数根 ∴， 展开化简得， 解得， 综上，的取值范围是且． 5．关于的一元二次方程的一个根为，那么它的另一个根为（     ） A． B．1 C．3 D． 【答案】B 【分析】已知根代入方程求出参数，再解一元二次方程即可得到另一个根． 【详解】解：∵ 是一元二次方程 的根， ∴ 将 代入原方程得：， 解得 ， ∴ 原方程为 ， ， 解得方程的两个根为 ，. ∴ 方程的另一个根为 ． 6．已知，是一元二次方程的两个实数根，下列结论中正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】一元二次方程 ，若方程的两个实数根为 ，，则 ，． 【详解】解：∵ ，是一元二次方程的两个实数根． ∴ ，． 7．已知a，b是一元二次方程的两个实数根，则的值为（     ） A． B．3 C． D． 【答案】B 【分析】本题利用一元二次方程根与系数的关系得到两根之和与两根之积，先判断a，b的符号，再化简所求二次根式，最后代入计算即可． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个实数根， ∴由根与系数的关系可得，， ∵，， ∴，， ∴． 8．近年来，延庆区大力发展低空旅游产业．延庆文旅将分散的长城资源串联成线，打造世界级长城大景区，让更多人领略“空中瞰长城”的震撼，八达岭机场是“空中瞰长城”的起飞地，从2026年3月起客流逐月递增．3月份直升机的总飞行时长约为119.2小时，5月份直升机的总飞行时长约为176.8小时．设直升机每月飞行时长的平均增长率为x，则下列所列的方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平均增长率的计算方法，从初始月份开始逐步推导目标月份的飞行时长，结合已知条件列出方程即可． 【详解】解：∵3月份总飞行时长为小时，每月平均增长率为， ∴4月份总飞行时长为小时， ∴5月份总飞行时长为小时， 又∵已知5月份总飞行时长为小时， ∴可列方程． 9．随着光伏产业的发展，光伏组件的制造技术逐渐成熟．某光伏组件厂的制造成本逐渐降低，今年第三季度的制造成本是第一季度制造成本的．若每个季度的制造成本下降百分率都相同，则每个季度的下降百分率为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】用一元二次方程求解即可，设第一季度成本为单位1，设下降百分率为x，根据题意列方程，舍去不符合题意的解即可得到结果． 【详解】解：设每个季度的下降百分率为，设第一季度制造成本为单位， ∵从第一季度到第三季度共经过个季度，且第三季度制造成本为第一季度的， ∴， 开方得， ∵下降率满足， ∴取正根得， 解得． 10．如图，这是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点……，第行有个点，前行的点数和可能是以下哪个结果（    ） A．100 B．93 C．86 D．78 【答案】D 【分析】根据题意得出前行的点数和公式，进而列一元二次方程求解即可． 【详解】解：第一行有1个点，第二行有2个点，……第行有个点， 前行的点数和为． A、若和为100，则，即，解得：，无正整数解，故A不符合题意； B、若和为93，则，即，解得：，无正整数解，故B不符合题意； C、若和为86，则，即，解得：，无正整数解，故C不符合题意； D、若和为78，则，即，解得或（舍去），即前12行的点数之和为78，故D符合题意． 2、 填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11．设，分别是一元二次方程的两个根，则________． 【答案】 【分析】根据根与系数的关系可直接求出两根之和 【详解】解：一元二次方程为， ，， 12．设，是方程的两个实数根，则代数式的值是________． 【答案】 【分析】先将所求代数式通分变形，再利用根与系数的关系得到两根之和与两根之积，最后代入变形后的代数式计算即可． 【详解】解：，是方程的两个实数根， 由根与系数的关系可得： ， ， ． 13．若关于的一元二次方程（）有一个实数根为，则一元二次方程必有一个实数根为___________． 【答案】 【分析】根据题意可得，设，可得关于的一元二次方程（）有一个实数根为，则，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴， 设， 则方程可化为 ∵关于的一元二次方程（）有一个实数根为， ∴关于的一元二次方程（）有一个实数根为， ∴， ∴， ∴一元二次方程必有一个实数根为． 14．已知，是关于x的一元二次方程的两个实数根，则的最小值是______________． 【答案】 【分析】先根据一元二次方程根的判别式确定参数的取值范围，再利用根与系数的关系将变形为关于的一次式，结合一次函数的增减性求出最小值． 【详解】解：，是关于的一元二次方程的两个实数根， ， 解得， 由根与系数的关系得：，， ， ， 随的增大而减小， 当取最大值时，取得最小值， 代入得，最小值为． 15．新定义：关于的一元二次方程与称为“同族二次方程”．如与是“同族二次方程”．现有关于的一元二次方程与是“同族二次方程”，那么代数式的值是________________． 【答案】 【分析】根据“同族二次方程”的定义得到，进而可得方程组，解方程组即可得到答案． 【详解】解： 与是“同族二次方程”， ， ∴， ， 解得， ． 三、解答题（共9小题，共75分） 16．解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【详解】（1）解：， 因式分解得， ∴或， 解得，； （2）解：， 整理得， 因式分解得， ∴或， 解得，． 17．已知是方程的一个根，试求的值． 【答案】 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴， ∴，， ∴． 18．已知关于的一元二次方程，其中为实数． (1)求证：一元二次方程有实数根； (2)设一元二次方程的一个实数根为．若，求的取值范围． 【答案】(1)证明：∵， ∴一元二次方程有实数根． (2) 【分析】（1）计算出即可证明； （2）求出方程的解，代入即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∴，， ∴， 解得． 19．碳排放是关于温室气体排放的一个总称或简称．温室气体中最主要的气体是二氧化碳，因此用碳（）一词作为代表．虽然并不准确，但作为让民众最快了解的方法就是简单地将“碳排放”理解为“二氧化碳排放”．机动车尾气大量排放是导致城市空气质量恶化的重要原因．为解决这个问题，某市试行将现有汽车改装为液化石油气燃料汽车（称为环保汽车）．按计划，该市将使全市的这种环保汽车由目前的325辆增加到两年后的637辆，求这种环保汽车的数量平均每年增长的百分率． 【答案】 这种环保汽车的数量平均每年增长的百分率是 【分析】设这种环保汽车的数量平均每年增长的百分率为，根据该市将使全市的这种环保汽车由目前的325辆增加到两年后的637辆，列出方程解答即可． 【详解】解：设这种环保汽车的数量平均每年增长的百分率为， 依题意得：， 解得，（舍去）． 答：这种环保汽车的数量平均每年增长的百分率为． 20．古希腊数学家丢番图（公元250年前后）在《算术》中就提到了一元二次方程的问题，不过当时古希腊人还没有寻求到它的求根公式．只能用“图解法”来求解．在欧几里得的《几何原本》中，形如（，）的方程的“图解法”是：如图，以和为两直角边作，再在斜边上截取，则的长就是所求方程的一个解． (1)若，，求图中线段的长，并验证线段的长是方程的一个解； (2)请利用你已学的知识验证该“图解法”的正确性，并说说这种解法的不足之处． 【答案】(1)解：∵ ， ， ， 当时， ， ∴线段的长是方程的一个解； (2)解：∵， ， ， 用求根公式求得， 正确性：的长就是方程的正根． 遗憾之处：图解法不能表示方程的负根． 【分析】（1）先根据勾股定理求得的长，可求的长，再代入方程验算即可； （2）正确性：形象直观；遗憾之处：图解法不能表示方程的负根． 【详解】（1）解：略 （2）解：略 21．茶叶礼盒以春茶品质最佳，每年春季采摘加工成礼盒．本地茶农线上销售某款茶叶礼盒，该礼盒成本为40元/盒，售价为70元/盒．已知该礼盒4月份销售100盒，受端午节日氛围带动，6月份销量增至144盒． (1)若4月份到6月份销量的月平均增长率保持不变，求这款茶叶礼盒销量的月平均增长率； (2)为了延续端午销售热度，茶农计划在7月份对这款茶叶礼盒降价促销．市场调研显示：以6月份的销量144盒为基数，售价每降低1元，月销售量就会增加8盒．若要使7月份这款礼盒的总利润达到4600元，且降价后的单盒利润不低于24元，该茶叶礼盒的售价应降价多少元？ 【答案】(1)这款茶叶礼盒销量的月平均增长率为． (2)该茶叶礼盒的售价应降价5元． 【分析】（1）设这款茶叶礼盒销量的月平均增长率为x，根据“该礼盒4月份销售100盒，受端午节日氛围带动，6月份销量增至144盒”列方程求解即可； （2）设该茶叶礼盒的售价应降价a元，根据“7月份这款礼盒的总利润达到4600元”列方程求解，再结合降价后的单盒利润不低于24元取合适的解即可． 【详解】（1）解：设这款茶叶礼盒销量的月平均增长率为x， 由题意得，， 解得，（不合题意，舍去）． 答：这款茶叶礼盒销量的月平均增长率为． （2）解：设该茶叶礼盒的售价应降价a元， 由题意得，， 化简，得， 解得，． 因为降价后的单盒利润不低于24元， 所以，即， 所以不合题意，舍去． 答：该茶叶礼盒的售价应降价5元． 22．某学校八年级开展社会实践活动，如表是“遇数临风”小组的记录表，请根据相关信息解决表中的两个问题． 学校社会实践记录表 团队名称 遇数临风 活动时间 2026.4.26 班级人员 802王嘉、马俊、张宁 地点 城南蔬菜超市 实践内容 调查青菜行情，帮超市解决销售问题的同时为顾客谋实惠． 调研信息 青菜的进价为2元/千克． 青菜售价为2.5元/千克时，每天可销售125千克． 每千克每涨价0.1元，每天少销售5千克． 解决问题 (1)某天超市正好销售105千克的青菜，则青菜的售价为多少元/千克？ (2)若超市想一天销售青菜获利100元，则青菜的售价为多少元/千克？ 【答案】(1)青菜的售价为元/千克 (2)青菜的售价为元/千克或元/千克 【分析】（1）设售价为元/千克，根据销售量的变化关系列一元一次方程，即可求解； （2）根据“总利润每千克利润销售量”列一元二次方程，即可求解． 【详解】（1）解：设青菜的售价为元/千克， 由题意得，， 解得． 答：某天超市正好销售105千克的青菜，则青菜的售价为2.9元/千克． （2）解：设青菜的售价为元/千克， 由题意得，， 解得，． 答：若超市想一天销售青菜获利100元，则青菜的售价为3元/千克或4元/千克． 23．综合与实践 【项目主题】配方法的应用． 【项目准备】 (1)利用完全平方公式将多项式变形为的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式的配方法．配方法是一种重要的数学方法，常用于求代数式的最值．例如：求代数式的最小值，可知，当时，有最小值，最小值是____________ ．配方法也可以对一些多项式进行因式分解，例如：分解因式，原式_________________________ ． (2)【项目解决】当a，b，c分别为的三边长，且满足时，直接写出c的取值范围． (3)如图，在四边形中，．若，求四边形面积的最大值 ． 【答案】(1)；； (2) (3)8 【分析】（1）根据配方法进行配方，利用因式分解即可； （2）把化为，再利用三角形三边关系进一步求解即可； （3）由，结合，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴当时，有最小值，最小值是． 分解因式，原式． （2）解：， ， ， ，， ，， ∵， ∴． （3）解：∵在四边形中，， ∴， ∵， ∴ ， ∵， ∴， ∴四边形面积的最大值为． 24．定义：如果，是一元二次方程的两个根，且，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如：一元二次方程的两个根是，，此时，则方程是“邻根方程”． (1)下列方程中，属于“邻根方程”的是___________（填序号）． ①；②；③． (2)已知方程是“邻根方程”，求k的值． (3)若方程是“邻根方程”，求证：． 【答案】(1)③ (2)或 (3)证明：设方程的两个根为，， 则， ，且， 方程是“邻根方程”， ， ， ， ， ， 而， ， 故． 【分析】（1）根据“邻根方程”的定义，计算判断即可． （2）根据方程，得到，，根据“邻根方程”的定义，得，求解即可． （3）设方程的两个根为，， 则， ，根据题意，得方程是“邻根方程”，得到，利用完全平方，实数的非负性证明即可． 【详解】（1）解：一元二次方程的两个根是，，此时，故方程不是“邻根方程”； 一元二次方程的两个根是，，此时，故方程不是“邻根方程”； 一元二次方程的两个根是，，此时，故方程是“邻根方程”； （2）解：解方程，得，， 方程是“邻根方程”， ， 或， 解得或． （3）略 学科网（北京）股份有限公司1 / 21 学科网（北京）股份有限公司 $