第3章 实数（单元复习）培优讲义 2026-2027学年浙教版七年级数学上册

该初中数学“实数”单元复习讲义通过知识框架图系统梳理算术平方根、平方根、立方根及实数的概念、性质与运算，用对比表格呈现平方根与算术平方根的定义、表示及性质差异，以思维导图关联开平方与平方的区别联系，清晰呈现知识内在逻辑与重难点分布。 讲义亮点在于分层练习设计，基础题巩固概念（如求平方根），拓展题培养推理意识（如规律探究中个位数为5的整数算术平方根规律）和模型意识（如雷雨持续时间公式应用）。新定义题型（如“理想点”）提升创新意识，助力不同层次学生发展抽象能力与运算能力，支持教师实施精准复习教学。

实数 1．算术平方根 （1）定义：一般地，如果一个正数x的平方根等于a,即：那么这个正数x就叫做a的算术平方根，记作，读作“根号a”, （2）表示方法：非负数a的算术平方根记作，读作根号a, （3）性质：①正数只有一个算术平方根，并且恒为正；②0的算术平方根为0，即；③负数没有算术平方根，当式子有意义时，a一定是一个非负数。 2. 平方根 （1）定义：一般地，如果一个正数x的平方根等于a，即：那么数x就叫做a的平方根，记作，读作“正负根号a”, （2）表示方法：一个数a（a≧0）的平方根记作(a≧0)，读作根号a,“正负根号a”, （3）性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0只有一个平方根，是它本身，负数没有平方根。 3.开平方 （1）定义:求一个数a的平方根的运算，叫做开平方，a叫做被开方数； （2） （1） （2） （3） 区别：取值范围不同：中a为任意实数； 中a； 被开方数不同：中被开方数为； 中被开方数为a； 运算顺序不同：先平方再开方；先开方再平方。 联系：结果为非负数；中a≧0时，= 4. 立方根的定义 1.定义：如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根或三次方根.这就是说，如果，那么叫做的立方根.求一个数的立方根的运算，叫做开立方. 注意：一个数的立方根，用表示，其中是被开方数，3是根指数. 开立方和立方互为逆运算. 2：立方根的特征 立方根的特征：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0. 注意：任何数都有立方根，一个数的立方根有且只有一个，并且它的符号与这个非零数的符号相同. 两个互为相反数的数的立方根也互为相反数. 知识点2：立方根的性质 注意：第一个公式可以将求负数的立方根的问题转化为求正数的立方根的问题. 5. 实数 1.实数的概念：有理数和无理数统称为实数. 2.实数的分类 按定义分： 按与0的大小关系分： 实数 实数 3.实数与数轴上的点一一对应. 数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应. 6. 实数的运算 1．注意：有理数关于绝对值、相反数的意义同样适用于实数。 2．运算法则：先算乘方开方，再算乘除，最后算加减；如果有括号，先算括号里面的。 题型1：平方根与算术平方根 1.的平方根为 ． 2.一个自然数的一个平方根是，则与它相邻的下一个自然数的平方根是 ． 3.若（a﹣1）2与互为相反数，则a2018+b2019＝ ． 4.若与是同一个数的两个不相等的平方根，则这个数是 ． 5.（24-25七年级下·天津河东·期末）如果是2025的两个平方根，那么 ． 6.（2023上·浙江温州·七年级校联考期中）若，其中a，b均为整数，则 ． 7.（24-25七年级下·天津河北·期中）已知非零实数，满足，则等于（   ） A．0 B．2 C．1 D． 8.已知与互为相反数，求的值． 9.（2023下·安徽淮北·七年级淮北一中校联考阶段练习）请认真阅读下面的材料，再解答问题． 依照平方根（即二次方根）和立方根（即三次方根）的定义，可给出四次方根、五次方根的定义． 比如：若，则叫的二次方根；若，则叫的三次方根；若，则叫的四次方根． （1）依照上面的材料，请你给出五次方根的定义； （2）81的四次方根为______；的五次方根为______； （3）若有意义，则的取值范围是______；若有意义，则的取值范围是______； （4）求的值：． 10.（24-25七年级上·浙江温州·期中）如图1，的网格由9个边长为1的小正方形组成． (1)图1中阴影正方形的顶点都在网络的格点上，则阴影正方形的面积是____，它的边长是_____． (2)如图2所示，点A表示的数是_____． (3)请你在的网格中画出一个面积为10的正方形．（请用2B铅笔作图） 11. （24-25八年级上·山西晋中·期中）某地气象资料表明：当地雷雨持续的时间可以用公式来估计，其中d是雷雨区域的直径．(1)如果某场雷雨区域的直径是，那么这场雷雨大约能持续多长时间？（结果保留根号）(2)如果这场雷雨持续了，那么这场雷雨区域的直径大约是多少？（结果精确到；参考数据：） 12.（24-25七年级下·江西南昌·期中）某中学课外活动小组制作了精美的景点卡片，并为每一张卡片制作了一个特色的包装封皮．A小组成员制作正方形卡片，B小组成员制作长方形封皮．请你通过计算，判断卡片能否直接装进长方形封皮中． 课题 景点卡片及封皮制作 图示、数据及计算 图示                  相关数据及说明 正方形卡片的面积为，长方形封皮的长与宽的比为，面积为． 计算结果 …… (1)长方形封皮的长和宽分别是多少？ (2)正方形卡片能否装进长方形封皮内？请说明理由． 题型2：算术平方根的性质 1．若，，则 ． 2.（2023上·广东河源·八年级校考阶段练习）根据下表回答下列问题： 17 18 （1）的算术平方根是 ，的平方根是 ； （2） ；（保留一位小数） （3） ， ； （4）若介于17．6与17．7之间，则满足条件的整数n有 个； （5）若这个数的整数部分为m，求的值． 3.（24-25七年级下·河南新乡·期中）在学习了《实数》这一章的内容后，徐老师带着同学们一起进行对知识的探究．观察下面式子的规律，解答问题． ，，…… ，，… 【发现规律】（1）①如果被开方数的小数点向左移动两位，那么它的算术平方根的小数点向___移动___位． ②如果被开方数的小数点向右移动三位，那么它的立方根的小数点向_____移动_____位． 【应用规律】（2）①已知，那么_____，_____． ②已知，，那么_____． 【拓展】（3）已知，，则_____，_____． 题型3：整数部分与小数部分 1.（2023上·浙江杭州·七年级统考期中）已知a是的整数部分，b是的小数部分，则的平方根是 ． 2.若，则整数x的最小值为 ． 3.若a，b是两个连续的整数且，则的值为 ． 4.（2023下·山东济宁·七年级统考期中）我们知道，是一个无理数，将这个数减去整数部分，差就是小数部分，即的整数部分是1，小数部分是，请回答以下问题： （1）的小数部分是________，的小数部分是________． （2）若a是的整数部分，b是的小数部分，求的平方根． （3）若，其中x是整数，且，求的值． 5.（2023下·山东济宁·七年级统考期中）已知，x为的整数部分，y为的小数部分．求的值． 题型4：实数的性质 1.（2023下·安徽六安·七年级校考阶段练习）由无理数的定义可知无理数与有理数不可能相等，若m，n为有理数，为无理数，且，则，． （1）如果，其中a，b为有理数，求的平方根； （2）如果，其中a，b为有理数且是p的平方根，求p的值． 2.（24-25七年级上·浙江·期中）我们知道，任意一个有理数与无理数的和为无理数，任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数，而零与无理数的积为零．由此可得：如果，其中、为有理数，为无理数；那么必然有，且，据此，解决下列问题． (1)如果，其中、为有理数，则___________，___________； (2)如果，其中、为有理数，求的平方根． 3．（24-25七年级下·安徽淮北·阶段练习）阅读材料：我们知道，任意一个有理数与无理数的和为无理数，任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数，而零与无理数的积为零，由此可得，如果，其中m、n为有理数，为无理数，那么，．运用上述知识解决下列问题： (1)若m、n均为有理数，且，求的立方根； (2)若m、n均为有理数，且，求和的值． 4.【阅读理解】设m，n是有理数，满足，求m，n的值． 解：∵． ∴， ∴， ∵m、n是有理数， ∴也是有理数， ∵是无理数， ∴， ∴． 【类比应用】 （1）已知，求a的值； （2）在（1）的条件下，设x，y是有理数，满足，求的值． 题型5：实数与数轴 1.如图所示，数轴上点A表示的数是-1，0是原点以AO为边作正方形AOBC，以A为圆心、AB线段长为半径画半圆交数轴于两点，则点表示的数是 ，点表示的数是 ． 2．已知实数a在数轴上的位置如图所示，化简= . 3．如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B，点A表示，设点B所表示的数为m. (1) ______. (2)求的值； (3)在数轴上还有C、D两点分别表示实数c和d，且有与互为相反数，求的平方根. 题型6：立方根 1． 的立方根是 （ ） A．2 B．2 C．8 D．-8 2．若则的立方根为（    ） A．4 B．2 C． D．8 3．若都是实数，，求的立方根． 4.已知的立方根是3，的算术平方根是6，则的平方根是 ． 5．已知的平方根是，的立方根是4，是算术平方根等于自身的数，则 ． 6．已知的平方根是，的立方根是3，求的平方根． 7.（24-25七年级下·江苏南通·期中）观察下列式子：①；②；③；④． 根据上述等式反映的规律，回答如下问题： (1)根据上述等式的规律，写出一个类似的等式：__________； (2)由等式①，②，③，④所反映的规律，可归纳出一个这样的结论：对于任意两个不相等的有理数a，b，若__________，则，反之也成立； (3)根据（2）中的结论，解答问题：若与的值互为相反数，求x的值； (4)若与的值互为相反数，且，求a的值． 题型7：实数的混合运算 1．计算： (1)； (2)． 2．计算： (1)； (2) 题型8：规律探究 1.已知，，，，…，依上述规律，=（   ） A．2013 B．2015 C．1007 D．1008 2.（24-25七年级下·山东德州·期中）下列各式是求个位数为5的整数的算术平方根的运算：，，，，，，观察这些运算都有规律，试利用该规律直接写出运算的结果为（   ） A．9595 B．9995 C．9955 D．5995 3.（24-25七年级下·四川绵阳·期中）将1，，，按如图方式排列，若规定表示第排从左向右第个数，则与表示的两数之差是 . 4．如图是一个按某种规律排列的数阵： 1   第1行   2     第2行     3       第3行       4         第4行 …     …     …     …     …     …     …    … … 根据数阵排列的规律，第（是整数，且）行从左向右数第个数是（用含的代数式表示） ． 5.（2023上·浙江杭州·七年级校考期中）将、、、……按如图方式排列．若规定（x，y）表示第x排从左向右第y个数，则： ①（6，6）表示的数是 ； ②若在（x，y），则（2x﹣y）3的值为 ． 6.（2023上·河南南阳·八年级校考阶段练习）探究发散： （1）完成下列填空 ①______，②______，③______， ④______，⑤______，⑥______； （2）计算结果，回答：一定等于吗？你发现其中的规律了吗？请你用数学语言描述出来：_____________________ （3）利用你总结的规律，计算：若，则______； （4）有理数在数轴上的位置如图．    化简：． 7.（2023下·辽宁大连·七年级统考期末）据说．我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，希望求它的立方根．华罗庚脱口而出：39．乘客十分惊讶，忙问计算的奥秘．你知道华罗庚是怎样迅速准确地计算出来的吗？请按照下面的问题试一试： （1）由，，可以确定是______位数．由59319的个位上的数是9，可以确定的个位上的数字是______，如果划去59319后面的三位319得到数59，而，，由此可以确定、59319的十位上的数字是______； （2）已知32768，都是整数的立方，按照上述方法，请你分别求它们的立方根． 题型9：新定义 1.（24-25七年级下·山东临沂·期中）对于整数n，定义为不大于的最大整数，例如：，，．对72进行如下操作：，即对72进行3次操作后变为1，对整数m进行3次操作后变为2，则m的最大值为（    ） A．80 B．6400 C．6560 D．6561 2． （2023上·湖南岳阳·八年级统考期末）若记表示任意实数的整数部分，例如：，，…，则（其中“＋”“－”依次相间）的值为 ． 3.小李同学探索的近似值的过程如下： ∵面积为83的正方形的边长是，且，∴设，其中； 通过数形结合，可画出正方形的面积示意图： 又∵，∴ 当时，假设忽略不计，得，解得，即． (1)填空：的整数部分的值为 ；(2)类比上述方法，探究的近似值．（结果精确到0.01）（要求：画出示意图，标明数据，并写出求解过程） 温故知新 1．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 2.计算的结果是（    ） A． B． C． D． 3．已知的立方根是3，的算术平方根是4，则的值为（    ） A．5 B．3 C．2 D．9 4．若是的算术平方根，是的小数部分，则的值为 . 5．例、下面是一个按某种规律排列的数阵： 根据数阵排列的规律，应该在第 行． 6．小明用计算器求了一些正数的平方，记录如下表. 下面有四个推断： ① ②一定有个整数的算术平方根在之间 ③对于小于的两个正数，若它们的差等于，则它们的平方的差小于 ④比大 所有合理推断的序号是 . 7.已知，，，则 . 8．（23-24八年级上·河北·期中）甲、乙、丙三人对平方根和立方根进行了研究，以下是他们三人的结论：甲：当时，乙：时，丙：当时，则下列说法正确的是（    ） A．只有甲、乙正确 B．只有甲、丙正确 C．甲、乙、丙都正确 D．甲、乙、丙都不正确 9.（24-25七年级下·重庆·期中）如图所示为一个按某种规律排列的数阵． 根据数阵规律，第八行第十三个数是 . 10.（24-25七年级下·湖南怀化·阶段练习）已知的整数部分，的小数部分，则的值为 ． 11.如图，点，在数轴上表示的数分别是2，，点在数轴上，且，则点表示的数是 ． 12.（24-25七年级下·四川绵阳·期中）数轴上、两点所对应的实数分别是，，点为轴上一点，若、、中有一点是中点，则点所表示的实数是 ． 13．（24-25七年级下·安徽铜陵·期中）已知：，求的值. 14．已知的立方根为2，x是的算术平方根，求的算术平方根的平方根． 15．计算： (1)； (2)． （3） （4） 16.（24-25七年级下·江西南昌·期中）请认真阅读下面的材料，再解答问题． 依照平方根（即二次方根）和立方根（即三次方根）的定义，可给出四次方根、五次方根的定义． 比如：若，则叫的二次方根；若，则叫的三次方根；若，则叫的四次方根． (1)依照上面的材料，请你给出五次方根的定义：___；(2)625的四次方根为____；的五次方根为____； (3)求下列的值：①；②． 17.（24-25七年级下·辽宁大连·期末）如图，长方形内两个正方形的面积分别为和，则这个长方形的面积为 ． 18．（24-25七年级下·重庆·期中）探索规律． (1)__________；__________；__________；__________；__________； (2)__________； (3)若，则__________；若，则__________． 19.已知x，y是有理数，并且满足等式，求x，y的值． 解：∵，∴． ∴且，解得：，． 请解答：(1)如果，其中m是整数，且，那么______，______； (2)如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的值； (3)已知x，y是有理数，并且满足等式，求的值． 20.（24-25七年级下·河南漯河·期末）已知正数a的两个平方根分别是和，的立方根为2， （1）求a，b，c的值． （2）求 的平方根． 21.（24-25七年级下·广东阳江·期中）定义：若点满足，则称这个点为“理想点”．例如，，故点是“理想点”． (1)点，，中，不是“理想点”的是_____．(2)若点是“理想点”，求x的值． (3)是否存在点，使点M是“理想点”？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 22.新定义：若无理数的被开方数(T为正整数)满足 (其中n为正整数)，则称无理数的“青一区间”为；同理规定无理数的“青一区间”为．例如：因为，所以的“青一区间”为，的“青一区间”为，请回答下列问题： (1)的“青一区间”为 ；的“青一区间”为 ； (2)若无理数(a为正整数)的“青一区间”为，的“青一区间”为，求的值． (3)实数x，y，满足关系式：，求的“青一区间”． 23.（24-25七年级下·江苏南通·期中） 材料一： 材料二： 我们可以用以下方法表示无理数的小数部分． 中国古代数学家刘徽在《九章算术注》中提出了改进求算术平方根近似值的方法，其核心思想是通过“以面命之”和“求其微数”来处理开方开不尽的情况．其近似公式可概括为：设N为待开方的正数，若其算术平方根的整数部分为a（即），余数为，则N的算术平方根的近似值为：． ， ， 即，的整数部分为，的小数部分为． 以为例：， ． 代入公式得． 这一结果与现代方法所求近似值虽有误差，但在古代数学中已属先进成果． 任务：(1)利用材料一中的方法，的小数部分等于_______； (2)利用材料二中的方法，的近似值为_______（结果保留两位小数）； (3)已知，其中x为整数，且，结合所给材料，求式子的算术平方根的近似值（结果保留两位小数）． 24.观察下列等式． 第1个：；第2个：；第3个：；…… 根据以上规律，解决下列问题：(1)___________； (2)写出第个等式：___________；（用含的式子表示，为正整数） (3)计算：． 25.（24-25八年级上·福建泉州·期末）为正整数的近似值可以这样估算：，其中m是最接近n的完全平方数．如：，这与科学计算器计算的结果，很接近． (1)按照以上方法，可知，此时______； (2)某数学兴趣小组提出以下求的方法： 解：，即，设，其中，则，即， 当时，可忽略，所以，解得，即． 请任选一种方法求的近似值精确到． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 实数 1．算术平方根 （1）定义：一般地，如果一个正数x的平方根等于a,即：那么这个正数x就叫做a的算术平方根，记作，读作“根号a”, （2）表示方法：非负数a的算术平方根记作，读作根号a, （3）性质：①正数只有一个算术平方根，并且恒为正；②0的算术平方根为0，即；③负数没有算术平方根，当式子有意义时，a一定是一个非负数。 2. 平方根 （1）定义：一般地，如果一个正数x的平方根等于a，即：那么数x就叫做a的平方根，记作，读作“正负根号a”, （2）表示方法：一个数a（a≧0）的平方根记作(a≧0)，读作根号a,“正负根号a”, （3）性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0只有一个平方根，是它本身，负数没有平方根。 3.开平方 （1）定义:求一个数a的平方根的运算，叫做开平方，a叫做被开方数； （2） （1） （2） （3） 区别：取值范围不同：中a为任意实数； 中a； 被开方数不同：中被开方数为； 中被开方数为a； 运算顺序不同：先平方再开方；先开方再平方。 联系：结果为非负数；中a≧0时，= 4. 立方根的定义 1.定义：如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根或三次方根.这就是说，如果，那么叫做的立方根.求一个数的立方根的运算，叫做开立方. 注意：一个数的立方根，用表示，其中是被开方数，3是根指数. 开立方和立方互为逆运算. 2：立方根的特征 立方根的特征：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0. 注意：任何数都有立方根，一个数的立方根有且只有一个，并且它的符号与这个非零数的符号相同. 两个互为相反数的数的立方根也互为相反数. 知识点2：立方根的性质 注意：第一个公式可以将求负数的立方根的问题转化为求正数的立方根的问题. 5. 实数 1.实数的概念：有理数和无理数统称为实数. 2.实数的分类 按定义分： 按与0的大小关系分： 实数 实数 3.实数与数轴上的点一一对应. 数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应. 6. 实数的运算 1．注意：有理数关于绝对值、相反数的意义同样适用于实数。 2．运算法则：先算乘方开方，再算乘除，最后算加减；如果有括号，先算括号里面的。 题型1：平方根与算术平方根 1.的平方根为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查平方根，熟练掌握平方根的计算是解题的关键．根据题意得到，求出的平方根即可． 【详解】解： ， 故的平方根为， 2.一个自然数的一个平方根是，则与它相邻的下一个自然数的平方根是 ． 【答案】 【分析】根据平方根定义得原数为a2，故相邻的下一个自然数是a2+1，再求得平方根即可. 【详解】根据题意，平方根为a是数a2，则与它相邻的下一个自然数是a2+1，所以它的平方根是，故此题选择D. 【点睛】此题考查平方根定义，这里准确确定被开方数是解题关键. 3.若（a﹣1）2与互为相反数，则a2018+b2019＝ ． 【答案】0 【分析】根据相反数的概念和非负数的性质列出方程，求出a、b的值，最后代入所求代数式计算即可． 【详解】解：由题意得，（a﹣1）2+＝0， 则a﹣1＝0，b+1＝0， 解得，a＝1，b＝﹣1， 则a2018+b2019＝12018+（﹣1）2019＝1+（﹣1）＝0， 故答案为：0． 【点睛】本题考查了相反数的性质和算术平方根非负性的性质，正确运用算术平方根非负性的性质是解答本题的关键． 4.若与是同一个数的两个不相等的平方根，则这个数是 ． 【答案】9 【分析】本题考查平方根，由平方根的定义可知同一个数的两个不相等的平方根互为相反数，由此列方程求出m的值，进而求出或的平方即可． 【详解】解： 与是同一个数的两个不相等的平方根， ， 解得， ， ，即这个数是9． 故选D． 5.（24-25七年级下·天津河东·期末）如果是2025的两个平方根，那么 ． 【答案】2025 【分析】本题考查平方根的性质，熟练掌握一个正数的两个平方根互为相反数是解题的关键．根据一个正数的两个平方根互为相反数，得到，，整体代入法进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴； 故答案为：2025． 6.（2023上·浙江温州·七年级校联考期中）若，其中a，b均为整数，则 ． 【思路点拨】 先根据绝对值和算术平方根的非负性分三种情况进行讨论得出a，b的值，再代入进行计算即可求解 【解题过程】 解：∵，其中a，b均为整数， 又∵， ①当，时， ∴， ∴ ②当，时， ∴或， ∴或 ③当，时， ∴或， ∴或 故答案为：4或2或0． 7.（24-25七年级下·天津河北·期中）已知非零实数，满足，则等于（   ） A．0 B．2 C．1 D． 【答案】B 【详解】解：由可知，， ∴，即∴， ， ∴， ，∴，故选：B． 8.已知与互为相反数，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了一个非负数的算术平方根的非负性的性质，本题主要运用了算术平方根、平方、绝对值的非负性，求出a，b，c的值，再带入求解即可． 【详解】解：∵与互为相反数，， ，， ，，． ． 9.（2023下·安徽淮北·七年级淮北一中校联考阶段练习）请认真阅读下面的材料，再解答问题． 依照平方根（即二次方根）和立方根（即三次方根）的定义，可给出四次方根、五次方根的定义． 比如：若，则叫的二次方根；若，则叫的三次方根；若，则叫的四次方根． （1）依照上面的材料，请你给出五次方根的定义； （2）81的四次方根为______；的五次方根为______； （3）若有意义，则的取值范围是______；若有意义，则的取值范围是______； （4）求的值：． 【思路点拨】 （1）根据题意，进行作答即可； （2）进行开方运算即可； （3）根据定义，进行计算即可； （4）利用四次方根解方程即可． 【解题过程】 （1）解：五次方根的定义：若，则叫的五次方根； （2）解：； 故答案为：； （3）解：∵是一个数的四次方， ∴， ∴； ∴若有意义，则的取值范围是； ∵中是一个数的五次方， ∴为任意实数． 故答案为：，为任意实数； （4）解：， ∴， ∴， ∴， ∴或， ∴或． 10.（24-25七年级上·浙江温州·期中）如图1，的网格由9个边长为1的小正方形组成． (1)图1中阴影正方形的顶点都在网络的格点上，则阴影正方形的面积是____，它的边长是_____． (2)如图2所示，点A表示的数是_____． (3)请你在的网格中画出一个面积为10的正方形．（请用2B铅笔作图） 【答案】(1)5， (2) (3)图见解析 【分析】本题考查利用网格求面积，实数与数轴，算术平方根的应用： （1）利用分割法求出正方形的面积，利用算术平方根的定义求出正方形的边长； （2）根据两点间的距离公式进行求解即可； （3）在网格中画出一个边长为的正方形即可． 【详解】（1）解：由图可知：正方形的面积为：； ∴正方形的边长为：， 故答案为：5，； （2）由（1）知：正方形的边长为：， ∴点表示的数为：； （3）由题意，画出一个边长为的正方形即可，如图即为所求． 或 11.（24-25八年级上·山西晋中·期中）某地气象资料表明：当地雷雨持续的时间可以用公式来估计，其中d是雷雨区域的直径．(1)如果某场雷雨区域的直径是，那么这场雷雨大约能持续多长时间？（结果保留根号）(2)如果这场雷雨持续了，那么这场雷雨区域的直径大约是多少？（结果精确到；参考数据：） 【答案】(1)这场雷雨大约能持续(2)这场雷雨区域的直径大约是 【详解】（1）解：把代入，得．∴ 答：这场雷雨大约能持续； （2）解： 把代入，得．∴． 答：这场雷雨区域的直径大约是． 12.（24-25七年级下·江西南昌·期中）为宣传南昌旅游资源，促进旅游业发展，南昌某中学课外活动小组制作了精美的景点卡片，并为每一张卡片制作了一个特色的包装封皮．A小组成员制作正方形卡片，B小组成员制作长方形封皮．请你通过计算，判断卡片能否直接装进长方形封皮中． 课题 景点卡片及封皮制作 图示、数据及计算 图示                  相关数据及说明 正方形卡片的面积为，长方形封皮的长与宽的比为，面积为． 计算结果 …… (1)长方形封皮的长和宽分别是多少？ (2)正方形卡片能否装进长方形封皮内？请说明理由． 【答案】(1)长方形封皮的长为，宽为 (2)正方形卡片能够直接装进长方形封皮中，理由见解析 【分析】本题主要考查了算术平方根和平方根的应用，熟知求算术平方根和平方根的方法是解题的关键． （1）设长方形的宽为，则长为，再根据长方形面积计算公式建立方程求解即可； （2）根据正方形面积计算公式求出正方形的边长，再与长方形的宽比较即可得到答案． 【详解】（1）解：设长方形的宽为，则长为， 依题意，得， 整理，得， 解得或（舍去）， ∴， 答：长方形封皮的长为，宽为． （2）解；正方形卡片能够直接装进长方形封皮中，理由如下： ∵正方形卡片的面积为， ∴正方形卡片的边长为． ∵， ∴正方形卡片能够直接装进长方形封皮中． 题型2：算术平方根的性质 1．若，，则 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了算术平方根，依据被开方数小数点向左或向右移动位，对应的算术平方根的小数点向左或向右移动位求解即可，正确把握相关规律是解题关键． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 2.（2023上·广东河源·八年级校考阶段练习）根据下表回答下列问题： 17 18 （1）的算术平方根是 ，的平方根是 ； （2） ；（保留一位小数） （3） ， ； （4）若介于17．6与17．7之间，则满足条件的整数n有 个； （5）若这个数的整数部分为m，求的值． 【思路点拨】 （1）可得，，由算术平方根和平方根的定义即可求解； （2）可得，由，，即可求解； （3）开二次方时，被开方数的小数点每向右或左移动两位时，结果小数点每向右或左移动一位；据此即可求解； （4）可得，从而可求，即可求解； （5）由可求，代值计算即可求解． 【解题过程】 （1）解：由表格得 ， ， 的算术平方根是， ， 的平方根为， 故答案：，． （2）解：， ，， ， 故答案：． （3）解：开二次方时，被开方数的小数点每向右或左移动两位时，结果小数点每向右或左移动一位；， ， ， ； 故答案：，． （4）解： 介于17．6与17．7之间， ， ， 可取、、、， 整数n有个， 故答案：． （5）解：，， 的整数部分是， ， ． 3.（24-25七年级下·河南新乡·期中）在学习了《实数》这一章的内容后，徐老师带着同学们一起进行对知识的探究．观察下面式子的规律，解答问题． ，，…… ，，… 【发现规律】（1）①如果被开方数的小数点向左移动两位，那么它的算术平方根的小数点向___移动___位． ②如果被开方数的小数点向右移动三位，那么它的立方根的小数点向_____移动_____位． 【应用规律】（2）①已知，那么_____，_____． ②已知，，那么_____． 【拓展】（3）已知，，则_____，_____． 【答案】（1）①左，1；②右，1（2）①2.828，0.2828；②（3） 【详解】解：（1）①被开方数的小数点每向左移动两位，其算术平方根的小数点向左移动1位， ②被开方数的小数点每向右移动三位，其立方根的小数点向右移动1位， （2）①根据总结的规律可得：，， ②根据总结的规律可得：，， （3），，， ． 题型3：整数部分与小数部分 1.（2023上·浙江杭州·七年级统考期中）已知a是的整数部分，b是的小数部分，则的平方根是 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查估算无理数大小，平方根，代数式求值．先通过估算无理数求得到a、b值，再代入求出代数式值，然后根据平方根定义求解即可． 【解题过程】 解：∵ ∴ ∵a是的整数部分，b是的小数部分 ∴， ∴ ∴的平方根 2.若，则整数x的最小值为 ． 【答案】3 【分析】此题考查了立方根和无理数的估算，估算出，再根据，即可求出答案． 【详解】解：∵ ∴ ∵， ∵， ∴整数x的最小值为3， 故答案为：3 3.若a，b是两个连续的整数且，则的值为 ． 【答案】9 【分析】此题考查了无理数的估算，估算出，a，b是两个连续的整数且，据此得到，代入即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴ ∴ 由题意可知，a，b是两个连续的整数且， ∴ ∴ 故答案为：9 4.（2023下·山东济宁·七年级统考期中）我们知道，是一个无理数，将这个数减去整数部分，差就是小数部分，即的整数部分是1，小数部分是，请回答以下问题： （1）的小数部分是________，的小数部分是________． （2）若a是的整数部分，b是的小数部分，求的平方根． （3）若，其中x是整数，且，求的值． 【思路点拨】 （1）确定的整数部分，即可确定它的小数部分；确定的整数部分，即可确定的整数部分，从而确定的小数部分； （2）确定的整数部分，即知a的值，同理可确定的整数部分，从而求得它的小数部分，即b的值，则可以求得代数式+1的值，从而求得其平方根； （3）由得即，从而得x=9，y=，将x、y的值代入原式即可求解． 【解题过程】 （1）解：∵， ∴的整数部分为3， ∴的小数部分为， ∵， ∴， ∴即， ∴的整数部分为1， ∴的小数部分为， 故答案为：，； （2）解：∵，a是的整数部分， ∴a=9， ∵， ∴的整数部分为1， ∵b是的小数部分， ∴， ∴ ∵9的平方根等于， ∴的平方根等于； （3）解：∵， ∴即， ∵，其中x是整数，且， ∴x=9，y=， ∴． 5.（2023下·山东济宁·七年级统考期中）已知，x为的整数部分，y为的小数部分．求的值． 【思路点拨】 由，可得a+b=33，再根据x为的整数部分，y为的小数部分，确定x、y的值代入计算即可． 【解题过程】 解：∵，，， ∴∴． ∵，x为的整数部分，y为的小数部分， ∴，．∴． 答：的值为． 题型4：实数的性质 1.（2023下·安徽六安·七年级校考阶段练习）由无理数的定义可知无理数与有理数不可能相等，若m，n为有理数，为无理数，且，则，． （1）如果，其中a，b为有理数，求的平方根； （2）如果，其中a，b为有理数且是p的平方根，求p的值． 【思路点拨】 （1）根据已知可得，，从而可得，，然后代入式子中进行计算即可解答； （2）根据已知易得，从而可得，进而可得，然后利用平方根的意义，进行计算即可解答． 【解题过程】 （1）解：，其中，为有理数， ，， ，， ， 的平方根是； （2）， ， ， ，为有理数， ， 解得：， ，为有理数且是的平方根， ， 的值为． 2.（24-25七年级上·浙江·期中）我们知道，任意一个有理数与无理数的和为无理数，任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数，而零与无理数的积为零．由此可得：如果，其中、为有理数，为无理数；那么必然有，且，据此，解决下列问题． (1)如果，其中、为有理数，则___________，___________； (2)如果，其中、为有理数，求的平方根． 【答案】(1)3，2(2) 【详解】（1）解：，其中，为有理数，为无理数， ∴，∴； （2）解：∵，，为有理数，为无理数， ∴，解之，得． 则．∴的平方根是． 3．（24-25七年级下·安徽淮北·阶段练习）阅读材料：我们知道，任意一个有理数与无理数的和为无理数，任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数，而零与无理数的积为零，由此可得，如果，其中m、n为有理数，为无理数，那么，．运用上述知识解决下列问题： (1)若m、n均为有理数，且，求的立方根； (2)若m、n均为有理数，且，求和的值． 【答案】(1)1 (2)， 【详解】（1）解： ，其中，均为有理数， ，．解得，， 则，1的立方根为1，的立方根为1． （2）解：将原式整理，得，即， ∵m、n均为有理数，，．解得，． 4.【阅读理解】设m，n是有理数，满足，求m，n的值． 解：∵． ∴， ∴， ∵m、n是有理数， ∴也是有理数， ∵是无理数， ∴， ∴． 【类比应用】 （1）已知，求a的值； （2）在（1）的条件下，设x，y是有理数，满足，求的值． 【答案】（1）4；（2） 【分析】本题考查实数的混合运算，理解题意并进行正确地计算是解题的关键． （1）利用算术平方根的定义计算即可； （2）由题意可得，则，解得x的值后代入原式计算即可． 解：（1）解：； （2）解：∵x，y是有理数，满足， ∴， ∴， 解得：， 当时，， 当时，， 综上，原式的值为． 题型5：实数与数轴 1.如图所示，数轴上点A表示的数是-1，0是原点以AO为边作正方形AOBC，以A为圆心、AB线段长为半径画半圆交数轴于两点，则点表示的数是 ，点表示的数是 ． 【答案】 . . 【分析】首先利用勾股定理计算出的长，再根据题意可得，然后根据数轴上个点的位置计算出表示的数即可. 【详解】解：点表示的数是,是原点， ， ， 以为圆心、长为半径画弧， ， 点表示的数是， 点表示的数是， 故答案为：；. 【点睛】本题考查了数轴的性质，以及应用数形结合的方法来解决问题. 2．已知实数a在数轴上的位置如图所示，化简= . 【答案】- 【详解】根据数轴可知1＜a＜2，可知a＜，即a-＜0，因此根据绝对值的性质和二次根式的性质，可得=-a+a-2=-. 故答案为-. 点睛：此题主要考查了二次根式的性质，解题关键是利用绝对值的非负性，和二次根式的性质，注意在解题时二次根式的估算. 3．如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B，点A表示，设点B所表示的数为m. (1) ______. (2)求的值； (3)在数轴上还有C、D两点分别表示实数c和d，且有与互为相反数，求的平方根. 【答案】(1) (2)2 (3) 【分析】（1）根据两点间的距离公式计算即可； （2）由（1）可得、，再利用绝对值的性质化简绝对值号，最后合并同类项即可解答； （3）根据绝对值和算术平方根的非负性质求出、的值，再代入，进而求其平方根即可． 【详解】（1）解：∵蚂蚁从点A沿数轴向右爬了个单位长度到达点，点表示 ∴点表示 ∴． 故答案为：． （2）解：∵ ∴， ∴ ． （3）解：∵与互为相反数 ∴ ∴， ∴， ∴ ∴， 即的平方根是． 【点睛】本题主要考查了实数与数轴、绝对值的性质、相反数的性质、非负数的性质、求一个数的平方根等知识点，掌握并灵活运用相关性质是解题的关键． 题型6：立方根 1． 的立方根是 （ ） A．2 B．2 C．8 D．-8 【答案】A 【详解】先根据算术平方根的意义，求得=8，然后根据立方根的意义，求得其立方根为2. 故选A. 2．若则的立方根为（    ） A．4 B．2 C． D．8 【答案】C 【分析】本题考查了非负数的性质、求立方根，根据非负数的性质求出，，再求出的值，最后根据立方根的定义计算即可得出答案． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴，， ∴， ∴的立方根为， 故选：C． 3．若都是实数，，求的立方根． 【答案】3 【分析】本题主要考查了求一个数的立方根，非负数的性质，先根据被开方数要大于等于0得到，进而求出，再根据立方根的定义求解即可． 【详解】解；∵式子要有意义， ∴ 解得：， ∴， ∴， ∴的立方根是3． 4.已知的立方根是3，的算术平方根是6，则的平方根是 ． 【答案】 【分析】本题考查平方根以及算术平方根的计算，比较简单，注意运算时解方程要进行验算，确保计算的正确；区分算术平方根与平方根，一个正数的平方根有两个，但是算术平方根只有一个，并且是正的． 根据平方根的概念，可推出和的值，然后得到关于a和b的二元一次方程组，可解出a和b的值，再代入中得出的值即可得出答案． 【详解】解：∵的立方根是3， ∴， ∴， ∵的算术平方根是6， ∴， 解得：； ∴， ∴的平方根为； 故答案为． 5．已知的平方根是，的立方根是4，是算术平方根等于自身的数，则 ． 【答案】105或104 【分析】本题考查平方根、算术平方根与立方根，解题的关键是理解算术平方根等于自身的数存在0与1两种情况．     根据平方根、算术平方根与立方根的定义分别计算出a、b、c的值，再代入代数式求值即可． 【详解】由题意可知： 解得：或． ∴， 或． 故答案为：105或104． 6．已知的平方根是，的立方根是3，求的平方根． 【答案】 【分析】本题考查平方根、立方根的定义，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．根据平方根、立方根的含义先求解，，再进一步求解即可． 【详解】解：∵的平方根是，的立方根是3， ∴，， ∴，， ∴， ∴的平方根为； 7.（24-25七年级下·江苏南通·期中）观察下列式子：①；②；③；④． 根据上述等式反映的规律，回答如下问题： (1)根据上述等式的规律，写出一个类似的等式：__________； (2)由等式①，②，③，④所反映的规律，可归纳出一个这样的结论：对于任意两个不相等的有理数a，b，若__________，则，反之也成立； (3)根据（2）中的结论，解答问题：若与的值互为相反数，求x的值； (4)若与的值互为相反数，且，求a的值． 【答案】(1)（答案不唯一）；(2)；(3)；(4)． 【详解】（1）解：（答案不唯一）； （2）解：当时，则，反之也成立； （3）解：∵与的值互为相反数，则，解得． （4）解：与的值互为相反数， ，， ，，，． 题型7：实数的混合运算 1．计算： (1)； (2)． 【答案】(1)10； (2) 【分析】本题考查实数计算，立方根计算，算术平方根计算，绝对值化简等． （1）先利用算术平方根、立方根的定义化简，再从左到右依次计算即可； （2）先利用算术平方根、立方根的定义，绝对值的意义化简，再从左到右依次计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 2．计算： (1)； (2) 【答案】(1)5 (2) 【分析】本题主要考查了实数的运算： （1）先计算立方根和算术平方根，再计算绝对值，最后计算加减法即可； （2）计算立方根和算术平方根，再计算乘方和乘法，最后计算加减法即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型8：规律探究 1.已知，，，，…，依上述规律，=（   ） A．2013 B．2015 C．1007 D．1008 【答案】D 【分析】本题考查了算术平方根定义的应用，数字规律的探索，解此题的关键是能根据算术平方根得出规律，难度适中．根据式子得出，，，，由此得出规律，即可得出答案． 【详解】解：… ， 故选：D． 2.（24-25七年级下·山东德州·期中）下列各式是求个位数为5的整数的算术平方根的运算：，，，，，，观察这些运算都有规律，试利用该规律直接写出运算的结果为（   ） A．9595 B．9995 C．9955 D．5995 【答案】B 【详解】解：∵，， ，， ，，， ∴，∴，故选：B． 3.（24-25七年级下·四川绵阳·期中）将1，，，按如图方式排列，若规定表示第排从左向右第个数，则与表示的两数之差是 . 【答案】 【详解】解：根据数的排列方法可知，第一排：1个数，第二排2个数．第三排3个数，第四排4个数，…第排有个数，从第一排到排共有：个数，根据数的排列方法，每四个数一个轮回，表示第5排从左向右第4个数是， ∵前11排共有 (个)数，表示第12排第4个数即第70个数， ，表示的数是，与表示的两数之差是，故答案为：． 4．如图是一个按某种规律排列的数阵： 1   第1行   2     第2行     3       第3行       4         第4行 …     …     …     …     …     …     …    … … 根据数阵排列的规律，第（是整数，且）行从左向右数第个数是（用含的代数式表示） ． 【答案】 【分析】本题考查了算术平方根，数字类规律探索，由题意得出前行的数据的个数为，从而得出第（是整数，且）行从左向右数第个数的被开方数是，再由算术平方根的定义即可得解． 【详解】解：前行的数据的个数为：， 第（是整数，且）行从左向右数第个数的被开方数是， 第（是整数，且）行从左向右数第个数是， 故答案为：． 5.（2023上·浙江杭州·七年级校考期中）将、、、……按如图方式排列．若规定（x，y）表示第x排从左向右第y个数，则： ①（6，6）表示的数是 ； ②若在（x，y），则（2x﹣y）3的值为 ． 【思路点拨】 观察式子，得到如下规律，第排的个数为个，前排的总数为个，奇数排是从左到右依次增大排列，偶数排是从右到左依次增大排列，根据规律求解即可． 【解题过程】 解：观察式子可得， 第1排的个数为，前1排的总数为， 第2排的个数为，前2排的总数为，从右到左依次增大排列， 第3排的个数为，前3排的总数为，从左到右依次增大排列， 第4排的个数为，前4排的总数为，从右到左依次增大排列， …… 第排的个数为个，前排的总数为个，奇数排是从左到右依次增大排列，偶数排是从右到左依次增大排列， （6，6）表示第6排从左向右第6个数 前5排的总数为25，第6排的个数为11个，为偶数排，从右向左依次增大， 第6排中，从左向右第6个数，也就是从右向左第6个数， 所以（6，6）表示的数为； 因为， 所以是在第45排，即 第45排，为奇数排，从左向右依次增大， 因为，所以 将，代入得 故答案为：，． 6.（2023上·河南南阳·八年级校考阶段练习）探究发散： （1）完成下列填空 ①______，②______，③______， ④______，⑤______，⑥______； （2）计算结果，回答：一定等于吗？你发现其中的规律了吗？请你用数学语言描述出来：_____________________ （3）利用你总结的规律，计算：若，则______； （4）有理数在数轴上的位置如图．    化简：． 【思路点拨】 （1）根据数的算术平方根的计算可以求出各数的值； （2）结合（1）中计算可知不一定等于，并发现其中规律． （3）运用（2）得出的规律进行运算即可； （4）结合数轴可知，且，然后根据算术平方根的性质、相反数的性质以及绝对值的性质进行求解即可． 【解题过程】 （1）解：①，②，③， ④，⑤，⑥． 故答案为：3，0.5，6,0，，； （2）由（1）可知，不一定等于，可发现规律：正数和零的平方的算术平方根为其本身，负数的平方的算术平方根为其相反数 故答案为：正数和零的平方的算术平方根为其本身，负数的平方的算术平方根为其相反数； （3）若，则， 所以． 故答案为：； （4）由在数轴上的位置可知， ，且， 所以 ． 7.（2023下·辽宁大连·七年级统考期末）据说．我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，希望求它的立方根．华罗庚脱口而出：39．乘客十分惊讶，忙问计算的奥秘．你知道华罗庚是怎样迅速准确地计算出来的吗？请按照下面的问题试一试： （1）由，，可以确定是______位数．由59319的个位上的数是9，可以确定的个位上的数字是______，如果划去59319后面的三位319得到数59，而，，由此可以确定、59319的十位上的数字是______； （2）已知32768，都是整数的立方，按照上述方法，请你分别求它们的立方根． 【思路点拨】 （1）按照求立方根三步走，求位数，求个位，求十位推算即可； （2）按照题给方法，依次推算即可； 【解题过程】 （1）∵ ∴ 是两位数 ∵ 的个位上的数是 9 ∴ 的个位上的数字是 9 ∵划去59319后面的三位 319 得到数 59 ， ∴ 的十位上的数字是 3 故答案是：两，9，3 ； （2）①求 32768 的立方根 ∵ ∴ 的立方根是两位数 ∵ 个位数是 8 ∴ 的立方根个位数是 2 ∵ ∴ 的立方根十位数是 3 综合可得 32768 的立方根是 32 ②求立方根 ∵ ∴ 的立方根是两位数 ∵ 个位数是 5 ∴ 的立方根个位数是 5 ∵ ∴274625的立方根十位数是6 ∴274625的立方根65 ∴的立方根是． 题型9：新定义 1.（24-25七年级下·山东临沂·期中）对于整数n，定义为不大于的最大整数，例如：，，．对72进行如下操作：，即对72进行3次操作后变为1，对整数m进行3次操作后变为2，则m的最大值为（    ） A．80 B．6400 C．6560 D．6561 【答案】C 【详解】解：∵，，，∴对6560只需进行3次操作后变为2， ∵，，， ∴只需进行3次操作后变为2的所有正整数中，最大的是6560，∴m的最大值为6560．故选：C． 2．（2023上·湖南岳阳·八年级统考期末）若记表示任意实数的整数部分，例如：，，…，则（其中“＋”“－”依次相间）的值为 ． 【思路点拨】 按照整数是1，整数是2，…整数是44，确定算术平方根的个数，运用估算思想，列式，寻找规律计算． 【解题过程】 解：∵即时，，此时n=1，2，3， ∴； ∵即时，，此时n=4，5，6，7，8， ∴； ∵即时，，此时n=9，10，11，12，13，14，15， ∴=； 由此发现如下规律，整数部分是1的算术平方根的整数和是1，且奇数为正整数，偶数位为负整数；整数部分是2的算术平方根的整数和是-2，整数部分是3的算术平方根的整数和是3， ∵，， ∴即时，， ∴=-44， ∴ =1-2+3-4+5-6+…+43-44 =(1-2)+(3-4)+…+(43-44) = =-22， 故答案为：-22． 3.小李同学探索的近似值的过程如下： ∵面积为83的正方形的边长是，且，∴设，其中； 通过数形结合，可画出正方形的面积示意图： 又∵，∴ 当时，假设忽略不计，得，解得，即． (1)填空：的整数部分的值为 ；(2)类比上述方法，探究的近似值．（结果精确到0.01）（要求：画出示意图，标明数据，并写出求解过程） 【答案】(1)11(2) 【详解】（1）解：∵，∴， ∴的整数部分的值为11；故答案为：11； （2）解：∵面积为127的正方形的边长是，且， ∴设，其中； 通过数形结合，可画出正方形的面积示意图： 又∵，∴ 当时，假设忽略不计，得，解得，即． 温故知新 1．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据算术平方根，平方根的意义解答即可． 本题考查了算术平方根，平方根，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】A. ，正确，符合题意；     B. ，错误，不符合题意；     C. ，错误，不符合题意；     D. ，错误，不符合题意； 故选A． 2.计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了平方根、立方根及绝对值的值，解题的关键是掌握以上运算法则． 分别计算平方根、立方根及绝对值的值，再合并结果． 解： ． 故选：A． 3．已知的立方根是3，的算术平方根是4，则的值为（    ） A．5 B．3 C．2 D．9 【答案】C 【分析】本题考查了算术平方根、立方根的应用，熟练掌握算术平方根，立方根的定义是解题的关键．根据算术平方根和立方根的定义得到m，n的值，然后得出代数式的值，即可求解． 【详解】解： 的立方根是3， ， 解得， 的算术平方根是4， ， 将代入中， 有， 解得， 则的值为． 故选：C． 4．若是的算术平方根，是的小数部分，则的值为 . 【答案】【分析】本题考查了算术平方根的概念和无理数的估算，根据算术平方根的概念和无理数的估算求出，即可，熟练掌握算术平方根的概念和无理数的估算是解题的关键． 【详解】解：∵是的算术平方根， ∴， ∵，即， ∴， ∴， 5．例、下面是一个按某种规律排列的数阵： 根据数阵排列的规律，应该在第 行． 【答案】45 【分析】本题主要考查数字规律的探索，涉及开平方，根据题意可知第一行最后一位为1；第二行最后一位为2；以此类推，第n行最后一位为n，结合所在范围即可求得答案． 【详解】解：根据题意可知第一行最后一位为1；第二行最后一位为2；以此类推，第n行最后一位为n， ∵，， ∴在第45行， 故答案为：45． 6．小明用计算器求了一些正数的平方，记录如下表. 下面有四个推断： ① ②一定有个整数的算术平方根在之间 ③对于小于的两个正数，若它们的差等于，则它们的平方的差小于 ④比大 所有合理推断的序号是 . 【答案】①②③④． 【分析】此题考查了乘方运算，算术平方根，平方差公式；根据表格中的信息可知和其对应的算术平方根的值，然后依次判断各题即可． 【详解】解：根据表格中的信息知： ，故①正确； 根据表格中的信息知：， ∴正整数或或， ∴一定有个整数的算术平方根在之间，故②正确； ∵由题意设且， 由，， ∴对于小于的两个正数，若它们的差等于，则它们的平方的差小于，故③正确； ∵，，，故④正确； ∴合理推断的序号是①②③④． 故答案为：①②③④． 7.已知，，，则 . 【答案】27.76 【详解】解：∵，∴． 8．（23-24八年级上·河北·期中）甲、乙、丙三人对平方根和立方根进行了研究，以下是他们三人的结论：甲：当时，乙：时，丙：当时，则下列说法正确的是（    ） A．只有甲、乙正确 B．只有甲、丙正确 C．甲、乙、丙都正确 D．甲、乙、丙都不正确 【答案】B 【详解】解：甲：当时，，正确；乙：时，，错误； 丙：当时，，正确；故选：B． 9.（24-25七年级下·重庆·期中）如图所示为一个按某种规律排列的数阵． 根据数阵规律，第八行第十三个数是 . 【答案】 【详解】解：第一行有个数，第二行有个数，第三行有个数，，第行有个数， 前行包含第行数的总个数为：， 第八行数的个数为：，前八行包含第八行数的总个数为：， 根据规律，可知第八行的最后一个数为：， ，，第八行第十三个数是 10.（24-25七年级下·湖南怀化·阶段练习）已知的整数部分，的小数部分，则的值为 ． 【答案】 【详解】解：∵， ∴，，∴． ∵，x为的整数部分，y为的小数部分， ∴，．∴．故答案为：． 11.如图，点，在数轴上表示的数分别是2，，点在数轴上，且，则点表示的数是 ． 【答案】 【分析】本题考查实数与数轴，求出点，之间的距离，即的长，再根据题意求得的长，即可得出点对应的数． 解：∵点，在数轴上表示的数分别是2，， ∴， ∵， ∴， ∴点可以看成点向左移动， ∴点对应的数为， ∴点表示的数， 12.（24-25七年级下·四川绵阳·期中）数轴上、两点所对应的实数分别是，，点为轴上一点，若、、中有一点是中点，则点所表示的实数是 ． 【答案】或或 【分析】本题考查了数轴与实数，解题的关键是会用数轴上的实数表示点到点的距离． 根据题意进行分类讨论，用实数表示点到点的距离，计算即可． 解：设点所表示的实数是， ∵数轴上、两点所对应的实数分别是，，点为轴上一点， ∴当点是点和点的中点时，，解得，， 当点是点和点的中点时，，解得，， 当点是点和点的中点时，，解得，， ∴点所表示的实数是或或， 故答案为：或或． 13．（24-25七年级下·安徽铜陵·期中）已知：，求的值. 【答案】 【详解】解：实数满足，，，， 原式化为，整理得：，两边同时平方得：， 则． 14．已知的立方根为2，x是的算术平方根，求的算术平方根的平方根． 【答案】的算术平方根的平方根为 【分析】该题主要考查了立方根、算术平方根和平方根，解题的关键是掌握以上知识点． 首先利用立方根的定义得出的值，进而利用算术平方根的定义得出的值，进而求出答案． 【详解】解：∵的立方根为2， ， 则， ∵x是的算术平方根， ， 则， 故，则的算术平方根为25，25的平方根为． 15．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了实数的混合运算，立方根的求解，算术平方根的求解，化简绝对值，熟练掌握相关运算法则是解题关键． （1）先求出算术平方根，立方根，再算加减法即可； （2）先运算乘方，算术平方根，立方根，化简绝对值，再算加减法即可． 【详解】（1）解： ； （2） ． （3） （4） 【答案】（3）；（4） 【分析】本题考查实数的混合运算，涉及算术平方根，立方根，绝对值，乘方，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）利用算术平方根，立方根，绝对值，乘方进行化简，再进行加减即可； （2）利用绝对值，乘方，立方根进行化简，再进行加减即可． 解：（1）解： ； （2）解： ． 16.（24-25七年级下·江西南昌·期中）请认真阅读下面的材料，再解答问题． 依照平方根（即二次方根）和立方根（即三次方根）的定义，可给出四次方根、五次方根的定义． 比如：若，则叫的二次方根；若，则叫的三次方根；若，则叫的四次方根． (1)依照上面的材料，请你给出五次方根的定义：___；(2)625的四次方根为____；的五次方根为____； (3)求下列的值：①；②． 【答案】(1)若，那么叫做的五次方根(2)，(3)①或；② 【详解】（1）解：由题意得：若，那么叫做的五次方根， 故答案为：若，那么叫做的五次方根． （2）解：∵，∴625的四次方根是． ∵，∴的五次方根是． 故答案为：，． （3）解：①， 或． ② ． 17.（24-25七年级下·辽宁大连·期末）如图，长方形内两个正方形的面积分别为和，则这个长方形的面积为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了算术平方根，利用数形结合的思想解决问题是关键． 根据正方形的面积求出边长，即可得到边的长，然后根据面积公式求解即可． 解：长方形内两个正方形的面积分别为和， 两个正方形的边长分别为，， 边的长为， ∴这个长方形的面积为 故答案为：． 18．（24-25七年级下·重庆·期中）探索规律． (1)__________；__________；__________；__________；__________； (2)__________； (3)若，则__________；若，则__________． 【答案】(1)2；2；；；0(2)(3)； 【详解】（1）解：；；；；； （2）解：； （3）解：若，则； 若，则． 19.已知x，y是有理数，并且满足等式，求x，y的值． 解：∵，∴． ∴且，解得：，． 请解答：(1)如果，其中m是整数，且，那么______，______； (2)如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的值； (3)已知x，y是有理数，并且满足等式，求的值． 【答案】(1)2，(2)(3)或 【详解】（1）解：， ，其中m是整数，且，，，故答案为：2，； （2）∵，∴，， ∴； （3）∵，∴ ∴且，解得：，∴当时，；时，． 20.（24-25七年级下·河南漯河·期末）已知正数a的两个平方根分别是和，的立方根为2， （1）求a，b，c的值． （2）求 的平方根． 【答案】（1）25，，；（2） 【分析】题目主要考查平方根和立方根的计算，求代数式的值，综合运用这些知识点是解题关键． （1）根据题意，利用平方根及立方根的性质，求解即可； （2）根据（1）中结果，代入计算即可． 解：（1）解：根据题意，得， 解得． 所以 由的立方根为2，得，解得． 所以a，b，c的值分别为25，，． （2）把 代 入 ，得． 所以的平方根是∶ ． 21.（24-25七年级下·广东阳江·期中）定义：若点满足，则称这个点为“理想点”．例如，，故点是“理想点”． (1)点，，中，不是“理想点”的是_____．(2)若点是“理想点”，求x的值． (3)是否存在点，使点M是“理想点”？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)和(2)；(3)的值为0或． 【详解】（1）解：∵，， 又∵，∴点是“理想点”；∵，， 又∵，∴点不是“理想点”；∵，， 又∵，∴点是“理想点”；故答案为：和； （2）解：∵点是“理想点”，∴，∴，解得； （3）解：∵点是“理想点”，∴，整理可得，∴或， 当时，， 当时，． 综上所述，的值为0或． 22.新定义：若无理数的被开方数(T为正整数)满足 (其中n为正整数)，则称无理数的“青一区间”为；同理规定无理数的“青一区间”为．例如：因为，所以的“青一区间”为，的“青一区间”为，请回答下列问题： (1)的“青一区间”为 ；的“青一区间”为 ； (2)若无理数(a为正整数)的“青一区间”为，的“青一区间”为，求的值． (3)实数x，y，满足关系式：，求的“青一区间”． 【答案】(1)， (2)2或 (3) 【分析】（1）根据“青一区间”的定义和确定方法，进行求解即可； （2）根据“青一区间”的定义求出的值，再根据立方根的定义，进行求解即可； （3）利用非负性求出的值，再进行求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴的“青一区间”为； ∵， ∴的“青一区间”为； 故答案为：，； （2）∵无理数“青一区间”为， ∴， ∴，即， ∵无理数的“青一区间”为， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵为正整数， ∴或， 当时，， 当时，， ∴的值为2或． （3）∵ ∴， 即， ∴，， ∴， ∵， ∴的“青一区间”为． 【点睛】本题考查无理数的估算，非负性，求一个数的立方根．理解并掌握“青一区间”的定义和确定方法，是解题的关键． 23.（24-25七年级下·江苏南通·期中） 材料一： 材料二： 我们可以用以下方法表示无理数的小数部分． 中国古代数学家刘徽在《九章算术注》中提出了改进求算术平方根近似值的方法，其核心思想是通过“以面命之”和“求其微数”来处理开方开不尽的情况．其近似公式可概括为：设N为待开方的正数，若其算术平方根的整数部分为a（即），余数为，则N的算术平方根的近似值为：． ， ， 即，的整数部分为，的小数部分为． 以为例：， ． 代入公式得． 这一结果与现代方法所求近似值虽有误差，但在古代数学中已属先进成果． 任务：(1)利用材料一中的方法，的小数部分等于_______； (2)利用材料二中的方法，的近似值为_______（结果保留两位小数）； (3)已知，其中x为整数，且，结合所给材料，求式子的算术平方根的近似值（结果保留两位小数）． 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）解：，，即， 的整数部分为5，的小数部分为．故答案为：； （2）解：，，，， 代入公式得．故答案为：； （3）解：∵，∴， ∵，且，∴，， ∴， ∴的算术平方根为， ，，，，代入公式得． 24.观察下列等式． 第1个：；第2个：；第3个：；…… 根据以上规律，解决下列问题：(1)___________； (2)写出第个等式：___________；（用含的式子表示，为正整数） (3)计算：． 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）解：∵第1个：；第2个：； 第3个：；……∴； （2）解：由（1）可得第个等式为：； （3）解： ． 25.（24-25八年级上·福建泉州·期末）为正整数的近似值可以这样估算：，其中m是最接近n的完全平方数．如：，这与科学计算器计算的结果，很接近． (1)按照以上方法，可知，此时______； (2)某数学兴趣小组提出以下求的方法： 解：，即，设，其中，则，即， 当时，可忽略，所以，解得，即． 请任选一种方法求的近似值精确到． 【答案】(1)25(2)5.8 【详解】（1）解：最接近26的完全平方数25，，故答案为：25； （2）解：方法1：； 方法2：，即， 设，其中，则，即， 当时，可忽略，所以，解得，即． 学科网（北京）股份有限公司 $