精品解析：湖南省永州市道县梅花镇车头中学　2026年中考数学考前模拟试题

2026年上道县初中学业水平模拟测试数学试题 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．） 1. 年3月，十四届全国人大四次会议在北京胜利召开，为“十五五”开局擘画蓝图．若一个数与的和为0，则这个数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：与的和为0的数是的相反数，即为． 2. 一个可预见的AI时代正在到来．下列是世界著名人工智能品牌公司的图标，其中是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ） A. B.     C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】轴对称图形是指沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合的图形；中心对称图形是指绕某一点旋转后能够与自身重合的图形．根据定义对各选项图形进行判断即可． 【详解】解：A、该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故不符合题意； B、该图形沿中间竖直直线折叠后两旁的部分能重合，是轴对称图形；绕中心旋转后不能与自身重合，不是中心对称图形，故不符合题意； C、该图形既是轴对称图形，也是中心对称图形，故不符合题意； D、该图形绕中心旋转后能与自身重合，是中心对称图形；找不到任何一条直线使折叠后两旁部分重合，不是轴对称图形，故符合题意． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：A．∵ ， ∴A计算错误． B．∵与不是同类二次根式，不能合并， ∴B计算错误． C．∵同底数幂相除，底数不变，指数相减， ， ∴C计算正确． D．∵， ∴D计算错误． 4. 某年级组织数学单元检测，随机抽取60名学生的成绩进行统计分析，如图所示．关于这60名学生的成绩，下列说法正确的是（ ） A. 中位数是12 B. 中位数是75 C. 众数是21 D. 众数是85 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了众数与中位数，一组数据中出现次数最多的数叫做众数；把一组数据按大小排列，最中间一个（奇数个数据）或两个（偶数个数据）数据的平均数是中位数，按照这两个概念进行求解即可． 【详解】解：从统计图知，85分出现的次数最多，故众数是85；把分数按大小排列，最中间的两个数是第30与31个数，而，故中位数是；故只有选项D正确． 5. 若点，，都在反比例函数的图象上，且，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据比例系数的符号判断函数图象所在象限，再根据点的横坐标范围判断点所在象限，结合同一象限内随的变化规律即可比较大小． 【详解】解：∵反比例函数中，， ∴函数图象的两个分支分别位于第一、三象限，且在每一象限内，随的增大而减小， ∵， ∴点在第三象限，可得， ∵， ∴点，都在第一象限，可得， 综上可得． 6. 如图，在平面直角坐标系中，与是以原点O为位似中心的位似图形，，点B坐标为，则点E的坐标为（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了位似变换的性质，掌握关于原点位似的两个图形对应点坐标之间的关系是解题的关键． 根据与以原点为位似中心，相似比是2，再根据上一点的坐标是，则在中，它的对应点的坐标是或，再根据图形即可求出点E的坐标． 【详解】解：∵与是以原点O为位似中心的位似图形，， ∴，相似比为2， ∵点B坐标为， ∴点E的坐标是． 故选D． 7. 定义新运算：，如果，那么的值为（ ） A. 或4 B. 6或 C. 3或6 D. 3或 【答案】B 【解析】 【分析】分类讨论：①当时，②当时，逐个分析求解即可． 【详解】解：①当时， ， ∵， ∴， 解得， 经检验，是原方程的解； ②当时， ， ∵， ∴， 解得， 经检验，是原方程的解； ∴x的值为或6． 8. 如图，已知正八边形的边长为4，连接，交于点O，以点O为圆心，的长为半径画弧，得，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】过点E作，垂足为M，求出，再利用弧长公式即可求出答案． 【详解】解：如图，过点E作，垂足为M， 正八边形的每一个内角, 由题意可得四边形是矩形，与均为等腰直角三角形， ，，， ， 即所求弧的半径为， 的长为． 9. 近视眼镜是一种为了矫正视力，让人们可以清晰看到远距离物体的凹透镜片．研究发现，近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（m）的函数关系如图所示，则下列说法中错误的是（ ） A. 镜片焦距x的值越大，近视眼镜的度数y的值越小 B. 图中曲线是反比例函数的图象（其中一支） C. 当焦距x为时，近视眼镜的度数y约为300度 D. 对于每一个镜片焦距x，都有唯一的近视度数y与它对应 【答案】C 【解析】 【分析】根据反比例函数的性质可以判断． 【详解】解：∵近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（m）为反比例函数关系， ∴当x的值增大时，y的值随之减小，故A正确，不符合题意； 图中曲线是反比例函数的图象（其中一支），故B正确，不符合题意； 当焦距x为时，近视眼镜的度数y约为333度，故C不正确，符合题意； 当焦距x为时，不存在近视度数y与它对应，故D正确，不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查了反比例函数的应用，正确利用反比例函数的性质是解题关键． 10. 如图1，在矩形中，，E是边上的一个动点，，交于点F，设，，图2是点E从点B运动到点C的过程中，y关于x的函数图象，则的长为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数图象，确定当时，，即有，再证明，即可作答． 【详解】解：根据函数图象有：当时，， 此时：， ∵， ∴， ∴， ∵矩形中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11. 分解因式：_____． 【答案】 【解析】 【详解】解： 12. 分式方程的解为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解分式方程，熟练掌握解方程的方法是解题的关键．利用去分母将原方程化为整式方程，解得x的值后进行检验即可． 【详解】解：原方程去分母得：，即 解得：， 检验：当时，， 故原方程的解为， 故答案为：． 13. 已知m是一元二次方程的一个根，则的值为______． 【答案】2026 【解析】 【分析】根据一元二次方程根的定义得到的值，再整体代入计算即可． 【详解】解：是一元二次方程的一个根， 将代入方程得， 整理得， ． 14. 如图，将的边分别延长至点D，E，F，使得，，，再连接．现随机向内投掷一枚小针，则针尖落在阴影区域的概率是________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，根据三角形的中线等分三角形的面积以及几何概率公式求解即可． 【详解】解：连接， 设， ∵ ∴， ∵ ∴，， ∴ ∵ ∴， ∴． 15. 如图，数学课上，老师让同学们从卡纸上剪下一个扇形，它可以折成一个底面半径为，高为的圆锥体，那么这个扇形的面积是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据勾股定理可知母线的长度，再根据弧长公式可知圆心角，进而可知扇形的面积． 【详解】解：设圆锥的母线为，这个扇形的圆心角， 则， ∵圆锥的底面周长等于扇形的弧长， 则， ∴， 解得：， 则． 16. 如图，某社区快递员从配送站出发，需要先到y轴上的P处投递一个包裹，然后到x轴上的Q处取出一个退件，再沿x轴向右骑行2个单位到充电桩R给电动车充电，最后前往下一个配送点．快递员沿折线骑行，若P，Q的位置满足使总骑行路径最短，则这条最短路径的总长度为________． 【答案】12 【解析】 【分析】作点关于y轴的对称点G，将点向x轴的负半轴平移两个单位至点E，作点关于x轴的对称点F，连接，，，分别交y、x轴于点P、Q，结合轴对称的性质可得、、的坐标，进而可得，再证明四边形是平行四边形，根据两点直线线段最短可得出最短骑行路线，问题随之得解． 【详解】解：作点关于y轴的对称点G，将点向x轴的负半轴平移两个单位至点E，作点关于x轴的对称点F，连接，，，分别交y、x轴于点P、Q，如图， 即有，，， ∴， ∴， 根据平移有：，轴， 又∵， ∴，即四边形是平行四边形， ∴， 根据轴对称的性质有：，， 根据两点之间线段最短，即此时的骑行路线为最短， 且为：． 【点睛】根据轴对称的特点构造出辅助线，确定最短骑行路线是解答本题的关键． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【详解】解：， ， ， ． 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】先计算分式的减法，再将的值代入计算即可． 【详解】解：原式 ， 将代入得：原式． 19. 教育部印发的《大中小学劳动教育指导纲要试行》指出，学生要承担一定的家庭劳动．某学校为了解全校学生每月参与家庭劳动的次数，随机调查了该校名学生，根据统计的结果，绘制出如下的统计图①和图②． 请根据相关信息，解答下列问题： （1）填空：的值为_____，图①中的值为_____，被调查学生每月参与家庭劳动的次数的统计中，众数和中位数分别为_____和_____； （2）求被调查学生参加家庭劳动次数的平均数； （3）根据样本数据，若该校共有1000名学生，估计该校学生每月参与家庭劳动的次数是7次的人数为多少？ 【答案】（1），，7， （2）平均数是6.48； （3）估计该校学生每月家庭劳动次数是7次的人数为360人 【解析】 【分析】（1）根据条形统计图求得总人数，即可求得，进而求得的值． （2）运用平均数的定义进行计算，即可作答． （3）根据样本估计总体进行计算，即可作答． 【小问1详解】 解：由题意可知， ， ，即， 每月参与家庭劳动次数中人数最多的是7次， 众数是7， 将这组数据按从小到大的顺序排列，第25、26个数据分别为6，7， 中位数是 ． 【小问2详解】 解： ， 被调查学生参加家庭劳动次数的平均数是6.48； 【小问3详解】 （人）， 答：估计该校学生每月家庭劳动次数是7次的人数为360人 20. 如图，是的直径，射线交于点D，E是劣弧上一点，且，过点E作于点F，延长和的延长线交于点G． （1）证明：是的切线； （2）若，求的半径． 【答案】（1）证明：如图，连接，    ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是的切线 （2）3 【解析】 【分析】（1）连接，因为，所以对应的圆周角相等，可推出与的平行关系；又因为，所以，结合是半径，根据切线判定定理即可证明； （2）设半径为，则，因为，所以是直角三角形，根据勾股定理列方程即可求解． 【小问1详解】 略． 【小问2详解】 解：设的半径为r，， ∵在中，， ∴， 解得， 即的半径为3． 21. 南宁作为面向东盟的国际门户枢纽，本土物流与新能源产业发展迅速，某企业计划投入资金采购“安心”和“优电”两种型号的新能源充电桩．已知1套“安心”比1套“优电”充电桩便宜2万元，用20万元购买“安心”充电桩的数量与用30万元购买“优电”充电桩的数量相等． （1）求购买1套“安心”充电桩和1套“优电”充电桩各需要多少万元； （2）若该企业计划采购“安心”、“优电”两种型号的充电桩共30套，其中采购“安心”充电桩的数量不多于“优电”充电桩数量的2倍，当采购“安心”充电桩多少套时，所需总资金最少，最少资金是多少万元？ 【答案】（1） 购买1套“安心”充电桩需要4万元，购买1套“优电”充电桩需要6万元 （2） 采购“安心”充电桩20套时，所需总资金最少，最少资金是140万元 【解析】 【分析】（1）设1套“优电”充电桩的单价是x万元，则1套“安心”充电桩的单价是万元，根据用20万元购买“安心”充电桩与用30万元购买“优电”充电桩的数量相等，列出分式方程，解方程即可； （2）设购买“安心”充电桩的数量为m套，则购买“优电”充电桩的数量为套，根据采购“安心”充电桩的数量不多于“优电”充电桩数量的2倍，列出一元一次不等式，解得，再设所需费用为w万元，求出w与m的函数关系式，然后根据一次函数的性质即可得出结论； 【小问1详解】 解：设1套“优电”充电桩的单价是x万元，则1套“安心”充电桩的单价是万元， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：1套“优电”充电桩的单价是6万元，1套“安心”充电桩的单价是4万元； 【小问2详解】 解：设购买“安心”充电桩的数量为m套，则购买“优电”充电桩的数量为套， 由题意得：， 解得：， 设所需费用为w元， 由题意得：， ∵， ∴w随m的增大而减小， ∴当时， ∴w取得最小值为140万元， 答：采购“安心”充电桩20套时，所需总资金最少，最少资金是140万元． 22. 城市轨道交通发展迅猛，为市民出行带来极大方便，某校“综合实践”小组想测得轻轨高架站的相关距离，数据勘测组通过勘测得到了如下记录表： 综合实践活动记录表 活动内容 测量轻轨高架站的相关距离 测量工具 测倾器，红外测距仪等 过程资料 相关数据及说明：图中点，在同平面内，房顶，吊顶和地面所在的直线都平行，点在与地面垂直的中轴线上，，． 成果梳理 …… 请根据记录表提供的信息完成下列问题： （1）求点到地面的距离； （2）求顶部线段的长．（结果精确到，参考数据：，，，） 【答案】（1）点到地面的距离为； （2）顶部线段的长为． 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质及解直角三角形，熟练掌握解直角三角形是解题的关键． （1）过点作，交的延长线于点，由得，在中解直角三角形即可得解； （2）过点作，垂足为由平行线的性质得，进而得，根据平行线间的距离处处相等得，从而得，最后在中，解直角三角形即可得解． 【小问1详解】 解：如图，过点作，交的延长线于点， 在中 答：点到地面的距离为 【小问2详解】 解：如图，过点作，垂足为 ， ， 平行线间的距离处处相等 ， ∵， 在中 答：顶部线段的长为 23. 在平面直角坐标系中，是自变量的函数，爱好创新的小鸣构建一个新函数：当时，，当时，，即，将变换后的函数称为原函数的关联函数．例如：一次函数的关联函数为 （1）直接写出二次函数的关联函数的函数表达式； （2）若点在一次函数的关联函数的图象上，求点的坐标； （3）对于二次函数，是否存在实数n满足当时，该二次函数的关联函数的取值范围是，若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由； 【答案】（1） （2）点P的坐标为或 （3）解：不存在实数n满足当时，该二次函数的关联函数的取值范围是 ，理由如下： 当时，， ∴此时函数的开口向上，对称轴为直线， ∴当时，随x的增大而增大， 当时，， ∴当时，； 当时，， ∴此时函数的开口向下，对称轴为直线， ∴当时，随x的增大而减小， 当时，， ∴当时，； 在中，当时，， 解得或； ∵当时，该二次函数的关联函数的取值范围是， ∴当时，函数的最大值为5，最小值为； 当时，在满足时，函数的最大值为5，最小值为， ∴， ∴（舍去，）； 当时，在满足时，函数的最大值为5，最小值为处的函数值， ∴， 解得（舍去，）或（舍去）； 综上所述，不存在实数n满足当时，该二次函数的关联函数的取值范围是； 【解析】 【分析】（1）根据定义求解即可； （2）根据定义求出，再利用待定系数法求解即可； （3）当时，，可求出当时，；当时，，可求出当时，；在中，当时，可求出；当时，在满足时，函数的最大值为5，最小值为，则，解得（舍去，）；当时，在满足时，函数的最大值为5，最小值为处的函数值，则，解方程，即可求解． 【小问1详解】 解：由题意得，当时，， 当时，， 综上所述，； 【小问2详解】 解：当时，， 当时，， ∵点在一次函数的关联函数的图象上， ∴当时，则，解得，符合题意，此时点P的坐标为； 当时，则，解得，符合题意，此时点P的坐标为； 综上所述，点P的坐标为或； 【小问3详解】 略 24. 综合应用 【问题发现】 （1）如图1，在正方形中，E为对角线上的动点，过点B作的垂线，过点C作的垂线，两条垂线交于点F，连接，求证：； 【类比探究】 （2）如图2，在矩形中，E为对角线上的动点，过点B作的垂线，过点C作的垂线，两条垂线交于点F，且，连接，求的值； 【拓展延伸】 （3）如图3，在（2）的条件下，将E改为直线上的动点，其余条件不变，取线段的中点M，连接，．若，则当是直角三角形时，求的长． 【答案】 （1）证明：∵四边形是正方形， ∴，， ∵，， ∴，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴． （2）的值为； （3）的长为或． 【解析】 【分析】（1）由正方形性质，结合同角的余角相等，证明，从而可证得结论； （2）由矩形的性质，结合同角的余角相等，可得，，可得，证明，对应边成比例，即可得的值； （3）由（2）结合已知可得，利用得到，利用直角三角形性质得到， ，进而得到，由是直角三角形，可得，设，则，按照点在线段上和点在延长线上，分类讨论，结合勾股定理列方程求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∴的值为． （3）解：∵，， ∴， ∴， ∵，，为的中点， ∴，， ∴， 由是直角三角形，可得， ∴， ∴， ∴， 设，则， 当在线段上时，， ∵， ∴， ∴ ∴或（不合题意，舍去）， 当在延长线上时， ，，， ， ， ， ， （不合题意，舍去）或， 综上所述，的长为或． 【点睛】本题考查正方形性质，矩形的性质，同角的余角相等，三角形全等的判定和性质，直角三角形的性质，三角形相似的判定和性质，锐角三角函数，勾股定理． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年上道县初中学业水平模拟测试数学试题 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．） 1. 年3月，十四届全国人大四次会议在北京胜利召开，为“十五五”开局擘画蓝图．若一个数与的和为0，则这个数是（ ） A. B. C. D. 2. 一个可预见的AI时代正在到来．下列是世界著名人工智能品牌公司的图标，其中是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ） A. B.     C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 某年级组织数学单元检测，随机抽取60名学生的成绩进行统计分析，如图所示．关于这60名学生的成绩，下列说法正确的是（ ） A. 中位数是12 B. 中位数是75 C. 众数是21 D. 众数是85 5. 若点，，都在反比例函数的图象上，且，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在平面直角坐标系中，与是以原点O为位似中心的位似图形，，点B坐标为，则点E的坐标为（ ）． A. B. C. D. 7. 定义新运算：，如果，那么的值为（ ） A. 或4 B. 6或 C. 3或6 D. 3或 8. 如图，已知正八边形的边长为4，连接，交于点O，以点O为圆心，的长为半径画弧，得，则的长为（ ） A. B. C. D. 9. 近视眼镜是一种为了矫正视力，让人们可以清晰看到远距离物体的凹透镜片．研究发现，近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（m）的函数关系如图所示，则下列说法中错误的是（ ） A. 镜片焦距x的值越大，近视眼镜的度数y的值越小 B. 图中曲线是反比例函数的图象（其中一支） C. 当焦距x为时，近视眼镜的度数y约为300度 D. 对于每一个镜片焦距x，都有唯一的近视度数y与它对应 10. 如图1，在矩形中，，E是边上的一个动点，，交于点F，设，，图2是点E从点B运动到点C的过程中，y关于x的函数图象，则的长为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11. 分解因式：_____． 12. 分式方程的解为______． 13. 已知m是一元二次方程的一个根，则的值为______． 14. 如图，将的边分别延长至点D，E，F，使得，，，再连接．现随机向内投掷一枚小针，则针尖落在阴影区域的概率是________． 15. 如图，数学课上，老师让同学们从卡纸上剪下一个扇形，它可以折成一个底面半径为，高为的圆锥体，那么这个扇形的面积是________． 16. 如图，某社区快递员从配送站出发，需要先到y轴上的P处投递一个包裹，然后到x轴上的Q处取出一个退件，再沿x轴向右骑行2个单位到充电桩R给电动车充电，最后前往下一个配送点．快递员沿折线骑行，若P，Q的位置满足使总骑行路径最短，则这条最短路径的总长度为________． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 计算：． 18. 先化简，再求值：，其中． 19. 教育部印发的《大中小学劳动教育指导纲要试行》指出，学生要承担一定的家庭劳动．某学校为了解全校学生每月参与家庭劳动的次数，随机调查了该校名学生，根据统计的结果，绘制出如下的统计图①和图②． 请根据相关信息，解答下列问题： （1）填空：的值为_____，图①中的值为_____，被调查学生每月参与家庭劳动的次数的统计中，众数和中位数分别为_____和_____； （2）求被调查学生参加家庭劳动次数的平均数； （3）根据样本数据，若该校共有1000名学生，估计该校学生每月参与家庭劳动的次数是7次的人数为多少？ 20. 如图，是的直径，射线交于点D，E是劣弧上一点，且，过点E作于点F，延长和的延长线交于点G． （1）证明：是的切线； （2）若，求的半径． 21. 南宁作为面向东盟的国际门户枢纽，本土物流与新能源产业发展迅速，某企业计划投入资金采购“安心”和“优电”两种型号的新能源充电桩．已知1套“安心”比1套“优电”充电桩便宜2万元，用20万元购买“安心”充电桩的数量与用30万元购买“优电”充电桩的数量相等． （1）求购买1套“安心”充电桩和1套“优电”充电桩各需要多少万元； （2）若该企业计划采购“安心”、“优电”两种型号的充电桩共30套，其中采购“安心”充电桩的数量不多于“优电”充电桩数量的2倍，当采购“安心”充电桩多少套时，所需总资金最少，最少资金是多少万元？ 22. 城市轨道交通发展迅猛，为市民出行带来极大方便，某校“综合实践”小组想测得轻轨高架站的相关距离，数据勘测组通过勘测得到了如下记录表： 综合实践活动记录表 活动内容 测量轻轨高架站的相关距离 测量工具 测倾器，红外测距仪等 过程资料 相关数据及说明：图中点，在同平面内，房顶，吊顶和地面所在的直线都平行，点在与地面垂直的中轴线上，，． 成果梳理 …… 请根据记录表提供的信息完成下列问题： （1）求点到地面的距离； （2）求顶部线段的长．（结果精确到，参考数据：，，，） 23. 在平面直角坐标系中，是自变量的函数，爱好创新的小鸣构建一个新函数：当时，，当时，，即，将变换后的函数称为原函数的关联函数．例如：一次函数的关联函数为 （1）直接写出二次函数的关联函数的函数表达式； （2）若点在一次函数的关联函数的图象上，求点的坐标； （3）对于二次函数，是否存在实数n满足当时，该二次函数的关联函数的取值范围是，若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由； 24. 综合应用 【问题发现】 （1）如图1，在正方形中，E为对角线上的动点，过点B作的垂线，过点C作的垂线，两条垂线交于点F，连接，求证：； 【类比探究】 （2）如图2，在矩形中，E为对角线上的动点，过点B作的垂线，过点C作的垂线，两条垂线交于点F，且，连接，求的值； 【拓展延伸】 （3）如图3，在（2）的条件下，将E改为直线上的动点，其余条件不变，取线段的中点M，连接，．若，则当是直角三角形时，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $