精品解析：2026年湖南永州市中考第二次模拟考试数学试卷

永州市2026年中考第二次模拟考试 数学 注意事项： 1、考生作答时，选择题和非选择题均须作答在答题卡上，在本试题卷上作答无效，考生在答题卡上按答题卡中注意事项的要求答题． 2、考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回． 3．本试卷包括试题卷和答题卡，满分120分，考试时量120分钟． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题只有一个正确答案，请将正确选项填涂到答题卡上相应的位置．每小题3分，共30分） 1. 2026的倒数是（　　） A. B. 2026 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查倒数的定义，根据倒数的定义计算即可得到结果. 【详解】∵ 乘积为的两个数互为倒数， 设的倒数为，则 ， ∴ ， 故选D. 2. 下列水平放置的几何体中，俯视图为正方形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】A．圆锥的俯视图是圆形（含圆心），不是正方形，故不符合题意； B．圆柱的俯视图是圆形，不是正方形，故不符合题意； C．球的俯视图是圆形，不是正方形，故不符合题意； D．正方体的俯视图是正方形，故符合题意． 3. “湘超冠军城，永州欢迎你”、年五一假期，永州市共接待游客约万人次，将用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据科学记数法的形式为，满足，为整数，根据原数确定和的值即可求解． 【详解】解：． 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查幂的相关运算法则，分别运用同底数幂乘法、积的乘方、幂的乘方、同底数幂除法法则计算各选项，即可判断出正确结果． 【详解】解：选项A：∵同底数幂相乘，底数不变，指数相加，∴，A错误． 选项B：∵积的乘方，等于把积的每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，∴ ，B错误． 选项C：∵幂的乘方，底数不变，指数相乘，∴，C正确． 选项D：∵同底数幂相除，底数不变，指数相减，∴，D错误． 5. 某校准备从甲、乙、丙、丁四个小组中选出一组参加全市中小学科技创新竞赛，下表记录了各组平时成绩的平均数（单位：分）及方差，若要选出一个成绩好且状态稳定的小组去参加比赛，则应选择的小组是（ ） 甲 乙 丙 丁 平均数 方差 A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】C 【解析】 【分析】本题需根据平均数和方差的意义解题，成绩好对应平均数更高，状态稳定对应方差更小，先筛选出平均数高的小组，再比较方差得到结果． 【详解】∵乙、丙的平均数为，高于甲、丁的平均数， ∴成绩较好的小组为乙和丙， 又∵乙的方差为，大于丙的方差，方差越小成绩越稳定， ∴丙成绩好且状态稳定，故应选择丙小组． 6. 将一副教学常用三角板（厚度不计）如图摆放，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由图可知，． 7. 如图，直径，弦，垂足为．若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接， 由垂径定理可得的长，在中，利用勾股定理求解即可． 【详解】如图，连接， 弦，， ， 在中， ，， 根据勾股定理得： ． 8. 若点，，都在函数的图像上，则，，的大小关系正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的函数值计算与大小比较，将各点横坐标代入函数解析式求出对应y值，再比较大小即可． 【详解】解：∵点，，都在的图像上， ∴将各点横坐标分别代入解析式得： ，，， ∵， ∴． 9. 某文创公司的月收入逐月攀升，今年月份收入万元，经过两个月后，月份收入达到万元，设该文创公司收入的月平均增长率为，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】解题思路是根据月平均增长率依次推出3月份的收入表达式，结合已知3月份收入列出方程． 【详解】解：∵1月份收入为万元，月平均增长率为, ∴2月份收入为 万元, ∴3月份收入为万元, 又∵已知3月份收入为万元, ∴可列方程为 . 10. 若函数图象上存在点，且其横、纵坐标相等，则称点为这个函数图象上的一个“优级点”．若关于的函数图象上只有一个“优级点”，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设这个函数图象上的一个“优级点”为点，代入函数可得一个关于的一元二次方程，再得出这个方程有两个相等的实数根，利用根的判别式求解即可． 【详解】解：由题意，设这个函数图象上的一个“优级点”为点， 将点代入关于的函数得：， ∴， ∵这个函数图象上只有一个“优级点”， ∴关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴这个方程根的判别式， 解得． 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11. 如图，已知，作交于点，则________度． 【答案】 【解析】 【分析】根据两直线平行，同位角相等直接求解即可． 【详解】，， ． 12. 因式分解：__________． 【答案】 【解析】 【详解】解：=； 故答案为 13. 某学校课后服务开设了足球、篮球、乒乓球三个社团，每名学生从这三个社团中随机只选一个参加，小明选择足球社团的概率是________． 【答案】 【解析】 【详解】解：由题意可知，三个社团中随机选一个，所有等可能的结果共有种，其中选择足球社团的结果有种， 则小明选择足球社团的概率为． 14. 已知一次函数的图象经过点，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】将点，代入解析式即可求解． 【详解】解：将点代入一次函数， 即． 15. 如图，在中，，，以点为圆心，的长为半径作圆弧，交于点，再分别以点和点为圆心，大于的长为半径作圆弧，两弧分别交于点和点，作直线交于点．则的周长为________． 【答案】22 【解析】 【分析】由作图可得，垂直平分，得到，然后等量代换即可得到的周长． 【详解】解：由作图可得，垂直平分， ， 的周长为． 16. 已知：（为正整数，且），则________． 【答案】6 【解析】 【分析】先根据合并同类项的意义，将左边化简，再利用同底数幂的乘法法则计算，根据幂相等，底数时指数相等，列出一元一次方程求解即可． 【详解】解：左边为个相加，可得 根据同底数幂的乘法法则，得 已知等式为 因为为正整数，且，所以等式两边底数相等，因此指数相等，即 移项得 合并同类项得 系数化为得． 三、解答题（本大题共8个小题，其中17-20题各8分，21、22题各9分，23题10分，24题12分，共72分，解答时应写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】先计算算术平方根、零指数幂、锐角三角函数、绝对值，再计算加减运算即可． 【详解】解：原式 ． 18. 解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来． 【答案】， 【解析】 【分析】先分别求出两个不等式的解集，进而求出不等式组解集，并把解集在数轴上表示出来即可． 【详解】解：， 解不等式： ， ， 解得； 解不等式：， 解得， 不等式组的解集为，解集在数轴上表示略． 19. 随着科技的进步和网络资源的丰富，在线学习已成为更多人的自主学习选择．某校计划为学生提供以下四类在线学习方式：在线阅读，在线听课，在线答题，在线讨论．为了解学生需求，该校随机对本校部分学生进行了“你对哪类在线学习方式最感兴趣”的调查（只选一项），并根据调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．根据图中信息，解答下列问题： （1）本次调查的学生人数是________人； （2）补全条形统计图； （3）求扇形统计图中“在线讨论”对应的扇形圆心角的度数； （4）该校共有学生人，请你估计该校对“在线阅读”最感兴趣的学生有多少人？ 【答案】（1） （2） （3） （4）人 【解析】 【分析】（1）在线听课的人数除以占比，即可得到调查的总人数； （2）用总人数减去在线阅读的人数减去在线听课的人数减去在线讨论的人数，得到在线答题的人数，补全统计图，即可； （3）用在线讨论的人数除以总人数，得到占比再乘以，即可； （4）先求出“在线阅读”的占比，乘以，即可． 【小问1详解】 解：调查的总人数为：（人）； 【小问2详解】 解：在线答题的人数为：（人）． 统计图略； 【小问3详解】 解：对应的扇形圆心角的度数为： ； 【小问4详解】 解： （人）； 答：该校对“在线阅读”最感兴趣的学生有人． 20. 如图，在中，，点在边上，以点为圆心，为半径作圆，与交于点，恰与相切于点，连接，，． （1）求证：平分； （2）求的长． 【答案】（1）证明：连接， 是的切线， ， ， ， ， ， ， ， ， 平分． （2） 【解析】 【分析】（1）由切线的性质结合已知可证明，再由平行线的性质结合等边对等角等量代换证明，即可得证； （2）设，进而表示出，在中，利用勾股定理列方程求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设，则 ， 在中，， 即，解得． 即的长为． 21. 某学校为科技室准备购买，两种型号的机器人模型，已知机器人模型单价比机器人模型单价多元，用元购买的机器人模型数量与用元购买的机器人模型数量相同． （1）求、机器人模型的单价分别是多少元？ （2）若需购买和机器人模型共台，且总费用不超过元，则最多能购买机器人模型多少台？ 【答案】（1）机器人模型的单价是元，机器人模型的单价是元 （2）最多能购买机器人模型台 【解析】 【分析】（1）根据题目中的数量关系，设机器人模型的单价是元，用含x的式子表示机器人模型的单价，再由“用元购买的机器人模型数量与用元购买的机器人模型数量相同”列方程求解即可； （2）根据题目中的数量关系，设购买台机器人模型，列一元一次不等式求解即可． 【小问1详解】 解：设机器人模型的单价是元，则机器人模型的单价是（）元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， （元）． 答：机器人模型的单价是元，机器人模型的单价是元； 【小问2详解】 解：设购买台机器人模型，则购买（）台机器人模型， 根据题意得： ． 解得：， 的最大值为． 答：最多能购买机器人模型台． 22. 陈树湘红色文化园是为纪念红三十四师师长陈树湘“断肠明志”壮举所建的红色地标．某数学研学小组利用数学知识来测量文化园中烈士纪念碑的高度．方法如下：如图，点是纪念碑顶部一点，的长表示点到水平地面的高度．在点处测得点的仰角．然后沿方向前进米到达点处，此时测得点的仰角．请根据上述数据，计算纪念碑的高度． （参考数据：，，） 【答案】米 【解析】 【分析】在中，解直角三角形可用表示出，可证明是等腰直角三角形，得到，进而根据表示出，然后根据长列方程求解即可． 【详解】解：在中，，，， ， 在中，，， 是等腰直角三角形， ． 根据题意得， 米，则米， 解得 ． 答：纪念碑的高度长约为米． 23. 【初步感知】 （1）如图，已知四边形，，点，分别是，的中点，连接并延长交的延长线于点．易知和， 求证：； （2）【知识应用】如图，已知四边形，，，，点，是上两点，且，过点，分别作，交于点，．求的值； （3）【拓展探究】如图，已知四边形，，，，点，分别是，的中点，求的值． 【答案】（1）证明：， ，， ∵点是的中点， 是的中位线， ∴ （2）10 （3） 【解析】 【分析】（1）先证明全等三角形，将转化为，再利用三角形中位线定理证明即可； （2）构造中点并连线，利用（1）中的结论，即可得到 ； （3）倍长构造以为中位线的三角形，再通过倍长中线形成的相等线段和对顶角，利用得到全等三角形，从而借助 得到特殊角，最后作垂线，用勾股定理求解即可． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：在、上分别取中点、，并连接． ，， ，，， ， ， ， ， ，， 由（1）的结论可知：， ∵，， ∴． 【小问3详解】 解：过点作交的延长线于点，并连接． ， ， ， 由（1）知，得，， ∵点，分别是、的中点， 为的中位线， ， 过点作交的延长线于点． 在中，，， ，， ， ， ， 在中，，，， ， ∴． 24. 如图，已知二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，为顶点，且． （1）求此二次函数的表达式； （2）如图，是此二次函数图象上第四象限内一动点，是直线上一动点，且，记直线，当为何值时，有最大值？并求此时点的坐标； （3）依据（2）中结论，点是第四象限内二次函数图象对称轴上一动点，过点作，交二次函数图象于点，若，试求点到对称轴的距离． 【答案】（1） （2）， （3） 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）易得顶点的坐标，利用待定系数法求出直线的表达式，进而表示出点的坐标，将点、的坐标代入直线可表示出，根据二次函数的性质即可确定最值； （3）过作轴， 轴，与交于点，设抛物线的对称轴为直线，过作于点，证明 ，可得出，，进而表示出点的坐标，再将点的坐标代入二次函数的表达式求解即可． 【小问1详解】 解：由题意知，，，将两点坐标代入得： ，解得， 此二次函数的表达式是． 【小问2详解】 解：， ， 设直线的表达式为， 将点，代入得， ，解得， 直线的表达式为， ， ， ， ， 是此二次函数图象上第四象限内一动点， ，， ，解得 ， ， 将点，代入直线得： ， 解得， ， ， 当时，有最大值，此时，即． 【小问3详解】 解：由（2）得，设，则， 如图，过作轴， 轴，与交于点，设抛物线的对称轴为直线，过作于点， ，， ， ， ， ， ， ， ， ，即， ，， 或，即或， 把代入，得 ， 解得，与均不符，舍去， 把代入，得 ， 解得， ， ， 此时，点的横坐标为， 点到对称轴的距离是 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 永州市2026年中考第二次模拟考试 数学 注意事项： 1、考生作答时，选择题和非选择题均须作答在答题卡上，在本试题卷上作答无效，考生在答题卡上按答题卡中注意事项的要求答题． 2、考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回． 3．本试卷包括试题卷和答题卡，满分120分，考试时量120分钟． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题只有一个正确答案，请将正确选项填涂到答题卡上相应的位置．每小题3分，共30分） 1. 2026的倒数是（　　） A. B. 2026 C. D. 2. 下列水平放置的几何体中，俯视图为正方形的是（ ） A. B. C. D. 3. “湘超冠军城，永州欢迎你”、年五一假期，永州市共接待游客约万人次，将用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 某校准备从甲、乙、丙、丁四个小组中选出一组参加全市中小学科技创新竞赛，下表记录了各组平时成绩的平均数（单位：分）及方差，若要选出一个成绩好且状态稳定的小组去参加比赛，则应选择的小组是（ ） 甲 乙 丙 丁 平均数 方差 A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 6. 将一副教学常用三角板（厚度不计）如图摆放，则（ ） A. B. C. D. 7. 如图，直径，弦，垂足为．若，则（ ） A. B. C. D. 8. 若点，，都在函数的图像上，则，，的大小关系正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 某文创公司的月收入逐月攀升，今年月份收入万元，经过两个月后，月份收入达到万元，设该文创公司收入的月平均增长率为，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 10. 若函数图象上存在点，且其横、纵坐标相等，则称点为这个函数图象上的一个“优级点”．若关于的函数图象上只有一个“优级点”，则的值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11. 如图，已知，作交于点，则________度． 12. 因式分解：__________． 13. 某学校课后服务开设了足球、篮球、乒乓球三个社团，每名学生从这三个社团中随机只选一个参加，小明选择足球社团的概率是________． 14. 已知一次函数的图象经过点，则的值为______． 15. 如图，在中，，，以点为圆心，的长为半径作圆弧，交于点，再分别以点和点为圆心，大于的长为半径作圆弧，两弧分别交于点和点，作直线交于点．则的周长为________． 16. 已知：（为正整数，且），则________． 三、解答题（本大题共8个小题，其中17-20题各8分，21、22题各9分，23题10分，24题12分，共72分，解答时应写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程） 17. 计算：． 18. 解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来． 19. 随着科技的进步和网络资源的丰富，在线学习已成为更多人的自主学习选择．某校计划为学生提供以下四类在线学习方式：在线阅读，在线听课，在线答题，在线讨论．为了解学生需求，该校随机对本校部分学生进行了“你对哪类在线学习方式最感兴趣”的调查（只选一项），并根据调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．根据图中信息，解答下列问题： （1）本次调查的学生人数是________人； （2）补全条形统计图； （3）求扇形统计图中“在线讨论”对应的扇形圆心角的度数； （4）该校共有学生人，请你估计该校对“在线阅读”最感兴趣的学生有多少人？ 20. 如图，在中，，点在边上，以点为圆心，为半径作圆，与交于点，恰与相切于点，连接，，． （1）求证：平分； （2）求的长． 21. 某学校为科技室准备购买，两种型号的机器人模型，已知机器人模型单价比机器人模型单价多元，用元购买的机器人模型数量与用元购买的机器人模型数量相同． （1）求、机器人模型的单价分别是多少元？ （2）若需购买和机器人模型共台，且总费用不超过元，则最多能购买机器人模型多少台？ 22. 陈树湘红色文化园是为纪念红三十四师师长陈树湘“断肠明志”壮举所建的红色地标．某数学研学小组利用数学知识来测量文化园中烈士纪念碑的高度．方法如下：如图，点是纪念碑顶部一点，的长表示点到水平地面的高度．在点处测得点的仰角．然后沿方向前进米到达点处，此时测得点的仰角．请根据上述数据，计算纪念碑的高度． （参考数据：，，） 23. 【初步感知】 （1）如图，已知四边形，，点，分别是，的中点，连接并延长交的延长线于点．易知和， 求证：； （2）【知识应用】如图，已知四边形，，，，点，是上两点，且，过点，分别作，交于点，．求的值； （3）【拓展探究】如图，已知四边形，，，，点，分别是，的中点，求的值． 24. 如图，已知二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，为顶点，且． （1）求此二次函数的表达式； （2）如图，是此二次函数图象上第四象限内一动点，是直线上一动点，且，记直线，当为何值时，有最大值？并求此时点的坐标； （3）依据（2）中结论，点是第四象限内二次函数图象对称轴上一动点，过点作，交二次函数图象于点，若，试求点到对称轴的距离． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $