第21章 二次函数与反比例函数概念清单速记表（知识清单）数学新教材沪科版九年级上册

该初中数学知识清单系统梳理了“二次函数与反比例函数”单元内容，涵盖二次函数的图象性质、与一元二次方程的关系、实际应用及反比例函数的概念性质与应用四大知识范畴，为学生搭建了从“概念定义”到“性质探究”再到“模型应用”的递进式学习支架。 清单通过“概念-定义-相关概念”三级结构呈现知识体系，如将“二次函数顶点式”与“一般式”通过配方法关联，标注“判别式与交点个数关系”等重难点，培养学生的抽象能力和模型意识。特别设计“平移规律口诀”（如“上加下减常数项，左加右减括号内”）和“k的几何意义图解”，不同层次学生可高效掌握，教师可利用其系统性进行精准复习，提升教学效率。

第21章 二次函数与反比例函数清单速记表 章节 概念 定义或说明 相关概念 21.2 二次函数的图象和性质 二次函数y=ax²的图象特征 二次函数y=ax²(a≠0)的图象是一条抛物线。当a>0时，抛物线开口向上，顶点在原点，是最低点；当a<0时，抛物线开口向下，顶点在原点，是最高点。对称轴是y轴（直线x=0）。 抛物线,开口方向,顶点,对称轴,a的符号 |a|的大小对抛物线开口的影响 对于二次函数y=ax²，|a|的大小决定了抛物线开口的大小。|a|越大，抛物线的开口越小；|a|越小，抛物线的开口越大。当a>0与a<0时，抛物线关于x轴对称。 开口大小,|a|,对称性,a>0,a<0 二次函数y=ax²的增减性与最值 当a>0时，x<0时y随x增大而减小，x>0时y随x增大而增大，x=0时y最小=0；当a<0时，x<0时y随x增大而增大，x>0时y随x增大而减小，x=0时y最大=0。 增减性,最值,顶点,对称轴 抛物线y=ax²+k与y=ax²的位置关系 抛物线y=ax²+k(k≠0)与y=ax²的形状、开口大小和开口方向相同，只是位置不同。y=ax²+k可由y=ax²沿y轴方向平移|k|个单位长度得到：k>0时向上平移，k<0时向下平移。 平移,上下平移,顶点(0,k),y轴平移 抛物线y=a(x-h)²与y=ax²的位置关系 抛物线y=a(x-h)²(h≠0)与y=ax²的形状、开口大小和开口方向相同，只是位置不同。y=a(x-h)²可由y=ax²沿x轴方向平移|h|个单位长度得到：h>0时向右平移，h<0时向左平移。 平移,左右平移,顶点(h,0),x轴平移 二次函数y=a(x-h)²+k的图象和性质 二次函数y=a(x-h)²+k(a≠0)的图象是抛物线，顶点坐标为(h,k)，对称轴是直线x=h。当a>0时，开口向上，x=h时y最小=k；当a<0时，开口向下，x=h时y最大=k。 顶点式,顶点坐标,对称轴,开口方向,最值 配方法将y=ax²+bx+c化为顶点式 通过配方，可以将二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)化为y=a(x-h)²+k的形式。具体方法是通过提取公因式a，再对括号内的式子进行配方，从而确定抛物线的顶点坐标和对称轴。 配方,完全平方公式,顶点式,一般式 二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质 二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)的图象是抛物线，对称轴为直线，顶点坐标为(,)。a>0时开口向上，时y最小=；a<0时则相反。 对称轴,顶点坐标,开口方向,最值,一般式 用一般式求二次函数表达式 已知二次函数图象上三点的坐标，可以设二次函数的表达式为y=ax²+bx+c，将三个点的坐标分别代入，得到关于a、b、c的三元一次方程组，解方程组即可求出二次函数的表达式。 待定系数法,一般式,三元一次方程组,三点坐标 用顶点式求二次函数表达式 已知二次函数图象的顶点坐标(h,k)和图象上另一点的坐标，可以设二次函数的表达式为y=a(x-h)²+k，将另一点的坐标代入求出a的值，即可确定二次函数的表达式。 待定系数法,顶点式,顶点坐标,a的值 21.3 二次函数与一元二次方程 二次函数图象与x轴交点与方程根的关系 一般地，若二次函数y=ax²+bx+c的图象与x轴有交点，则交点的横坐标就是一元二次方程ax²+bx+c=0的根。图象与x轴的交点个数决定了方程实数根的个数。 x轴交点,实数根,抛物线,方程 判别式Δ=b²-4ac与抛物线和x轴交点个数的关系 对于抛物线y=ax²+bx+c，当Δ=b²-4ac>0时，方程有两个不等实根，抛物线与x轴有两个交点；当Δ=0时，方程有两个相等实根，抛物线与x轴有一个交点；当Δ<0时，方程没有实根，抛物线与x轴没有交点。 判别式,Δ,交点个数,实数根,无实根 用图象法求一元二次方程的近似根 利用二次函数的图象可以求一元二次方程的近似根。由于作图或观察有误差，图象法求得的根一般是近似的。可以通过在交点附近取点逐步逼近，精确到要求的精度。 图象法,近似根,逐步逼近,精确度 二次函数与一元二次不等式 二次函数y=ax²+bx+c的图象被x轴分成三部分。图象在x轴上方时，y>0，即ax²+bx+c>0；图象在x轴下方时，y<0，即ax²+bx+c<0；图象与x轴交点处y=0。 一元二次不等式,解集,x轴上方,x轴下方 21.4 二次函数的应用 建立二次函数模型解决最大面积问题 在实际问题中，当问题涉及矩形的面积、图形的面积等与变量之间的关系时，可以建立二次函数模型。通过求二次函数顶点坐标的纵坐标，可以得到面积的最大值，进而解决最优化问题。 最大面积,二次函数模型,顶点,最值 建立二次函数模型解决抛物线形实际问题 在实际问题中，如悬索桥、隧道、喷泉等具有抛物线形状的问题，可以通过建立平面直角坐标系，设出二次函数表达式，利用已知条件求出函数表达式，再利用二次函数的性质解决实际问题。 抛物线形,坐标系,函数表达式,实际问题 用待定系数法求实际问题中的二次函数表达式 在实际问题中，根据数据的特点，可以假设y与x之间满足二次函数关系y=ax²+bx+c，选取三组数据代入，建立三元一次方程组，求出a、b、c的值，从而确定二次函数的表达式。 待定系数法,数据拟合,三元一次方程组,函数模型 利用二次函数求最优化问题 对于二次函数y=ax²+bx+c，当a<0时，函数在顶点处取得最大值；当a>0时，函数在顶点处取得最小值。利用这一性质可以解决实际问题中的最大利润、最大面积、最小成本等最优化问题。 最优化,最大值,最小值,顶点,实际问题 21.5 反比例函数 反比例关系的概念 如果两个量的乘积一定，那么这两个量就成反比例关系。如：路程一定时，速度与时间成反比例；矩形面积一定时，相邻两边长成反比例。反比例关系描述了两个变量之间相互依存的变化规律。 乘积一定,变量,依存关系,反比例 反比例函数的定义 一般地，形如（k为常数，且k≠0）的函数叫作反比例函数。其中x是自变量，y是函数值，k是比例系数。自变量x的取值范围是x≠0的一切实数。 y=k/x,比例系数,k≠0,自变量,定义域 反比例函数的图象 反比例函数 (k≠0)的图象是双曲线，关于原点成中心对称。由于自变量x≠0，所以y轴把函数的图象分隔成两个分支，它们分别位于不同的象限内。 双曲线,中心对称,原点对称,两个分支,x≠0 反比例函数的性质（k>0） 当k>0时，反比例函数的图象的两个分支分别位于第一、三象限。在每个象限内，图象自左向右下降，y随x的增大而减小。图象的两个分支可以无限延伸，并无限接近x轴和y轴，但永远不与它们相交。 k>0,第一象限,第三象限,y随x增大而减小,渐近线 反比例函数的性质（k<0） 当k<0时，反比例函数的图象的两个分支分别位于第二、四象限。在每个象限内，图象自左向右上升，y随x的增大而增大。图象的两个分支可以无限延伸，并无限接近x轴和y轴，但永远不与它们相交。 k<0,第二象限,第四象限,y随x增大而增大,渐近线 反比例函数中k的几何意义 在反比例函数的图象上任意一点P(x,y)，过点P分别作x轴、y轴的垂线，与坐标轴围成的矩形面积为|xy|=|k|。这个几何意义揭示了反比例函数中比例系数k与图象上点形成的图形面积之间的关系。 几何意义,矩形面积,|k|,垂线,坐标轴 反比例函数与正比例函数图象的交点 正比例函数y=kx与反比例函数的图象的交点关于原点对称。若两函数图象有交点，则交点坐标满足两个函数的表达式，可以通过解方程组求出交点坐标。 正比例函数,交点,关于原点对称,方程组 反比例函数的应用 反比例函数在实际生活中有广泛应用，如：压强与受力面积的关系、工作效率与工作时间的关系、药物浓度与时间的关系等。解决此类问题时，先根据题意建立反比例函数模型，再利用反比例函数的性质求解。 实际应用,函数模型,压强,工作效率,药物浓度 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $