第21章 二次函数与反比例函数概念清单速记表（知识清单）数学新教材沪科版九年级上册

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21.2 二次函数的图象和性质

二次函数y=ax²的图象特征

二次函数y=ax²(a≠0)的图象是一条抛物线。当a>0时，抛物线开口向上，顶点在原点，是最低点；当a<0时，抛物线开口向下，顶点在原点，是最高点。对称轴是y轴（直线x=0）。

抛物线,开口方向,顶点,对称轴,a的符号

|a|的大小对抛物线开口的影响

对于二次函数y=ax²，|a|的大小决定了抛物线开口的大小。|a|越大，抛物线的开口越小；|a|越小，抛物线的开口越大。当a>0与a<0时，抛物线关于x轴对称。

开口大小,|a|,对称性,a>0,a<0

二次函数y=ax²的增减性与最值

当a>0时，x<0时y随x增大而减小，x>0时y随x增大而增大，x=0时y最小=0；当a<0时，x<0时y随x增大而增大，x>0时y随x增大而减小，x=0时y最大=0。

增减性,最值,顶点,对称轴

抛物线y=ax²+k与y=ax²的位置关系

抛物线y=ax²+k(k≠0)与y=ax²的形状、开口大小和开口方向相同，只是位置不同。y=ax²+k可由y=ax²沿y轴方向平移|k|个单位长度得到：k>0时向上平移，k<0时向下平移。

平移,上下平移,顶点(0,k),y轴平移

抛物线y=a(x-h)²与y=ax²的位置关系

抛物线y=a(x-h)²(h≠0)与y=ax²的形状、开口大小和开口方向相同，只是位置不同。y=a(x-h)²可由y=ax²沿x轴方向平移|h|个单位长度得到：h>0时向右平移，h<0时向左平移。

平移,左右平移,顶点(h,0),x轴平移

二次函数y=a(x-h)²+k的图象和性质

二次函数y=a(x-h)²+k(a≠0)的图象是抛物线，顶点坐标为(h,k)，对称轴是直线x=h。当a>0时，开口向上，x=h时y最小=k；当a<0时，开口向下，x=h时y最大=k。

顶点式,顶点坐标,对称轴,开口方向,最值

配方法将y=ax²+bx+c化为顶点式

通过配方，可以将二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)化为y=a(x-h)²+k的形式。具体方法是通过提取公因式a，再对括号内的式子进行配方，从而确定抛物线的顶点坐标和对称轴。

配方,完全平方公式,顶点式,一般式

二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质

二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)的图象是抛物线，对称轴为直线，顶点坐标为(,)。a>0时开口向上，时y最小=；a<0时则相反。

对称轴,顶点坐标,开口方向,最值,一般式

用一般式求二次函数表达式

已知二次函数图象上三点的坐标，可以设二次函数的表达式为y=ax²+bx+c，将三个点的坐标分别代入，得到关于a、b、c的三元一次方程组，解方程组即可求出二次函数的表达式。

待定系数法,一般式,三元一次方程组,三点坐标

用顶点式求二次函数表达式

已知二次函数图象的顶点坐标(h,k)和图象上另一点的坐标，可以设二次函数的表达式为y=a(x-h)²+k，将另一点的坐标代入求出a的值，即可确定二次函数的表达式。

待定系数法,顶点式,顶点坐标,a的值

21.3 二次函数与一元二次方程

二次函数图象与x轴交点与方程根的关系

一般地，若二次函数y=ax²+bx+c的图象与x轴有交点，则交点的横坐标就是一元二次方程ax²+bx+c=0的根。图象与x轴的交点个数决定了方程实数根的个数。

x轴交点,实数根,抛物线,方程

判别式Δ=b²-4ac与抛物线和x轴交点个数的关系

对于抛物线y=ax²+bx+c，当Δ=b²-4ac>0时，方程有两个不等实根，抛物线与x轴有两个交点；当Δ=0时，方程有两个相等实根，抛物线与x轴有一个交点；当Δ<0时，方程没有实根，抛物线与x轴没有交点。

判别式,Δ,交点个数,实数根,无实根