3.3.1抛物线及其标准方程课件-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦“抛物线及其标准方程”，系统覆盖定义、标准方程及应用，通过AI思考辨析（如定义中直线过焦点的轨迹讨论）和体验新知的判断、填空、解答题导入，衔接圆锥曲线前期知识，搭建从定义到方程再到应用的学习支架。 其亮点在于以“一动二定一相等”归纳定义本质，用表格对比四种标准方程，结合多角度例题（如拱桥实际应用建模、轨迹问题推理）和变式训练，培养数学眼光（抽象定义属性）、数学思维（逻辑推理求方程）、数学语言（表达现实问题）。学生能深化概念理解与解题能力，教师可获得系统教学资源与分层训练素材。

第三章　圆锥曲线的方程 3.3.1　抛物线及其标准方程　　 学 习 目 标 1.理解抛物线的定义、几何图形和标准方程. 2.体会数形结合思想在抛物线问题中的应用. 3.会解决抛物线的简单应用问题. 基础落实·必备知识全过关 重难探究·能力素养速提升 学以致用·随堂检测促达标 目 录 索 引 基础落实·必备知识全过关 知识点1　抛物线的定义 定义 把平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离 　　　　的点的轨迹叫做抛物线  焦点 　　　　叫做抛物线的焦点  准线 　　　　叫做抛物线的准线  集合表示 P={M||MF|=d},d为点M到准线l的距离 相等 点F 直线l AI·思考辨析 定义中如果直线l经过点F,则动点的轨迹是什么? 提示 当直线l经过点F时,点的轨迹是过点F且垂直于直线l的一条直线. 体验新知 1.判断正误.(正确的画√,错误的画×) (1)平面内一动点P到点F(1,0)的距离和到直线x=-2的距离相等,则点P的轨迹是抛物线.(　　) (2)若点P到点F(1,0)的距离和到直线x+y-1=0的距离相等,则点P的轨迹是抛物线.(　　) √ × 2.(人教B版教材习题改编)已知M是抛物线上一点,且M到抛物线的焦点的距离等于3,则M到抛物线的准线的距离是　　　　　.  3 3.(北师大版教材习题)如图,动圆P过定点A,且与定直线l相切,请指出圆心P的轨迹是什么,并说明理由. 解 点P的轨迹是抛物线.由题意知,动点P到定点A和定直线l的距离相等,且点A不在直线l上,故点P的轨迹是以A为焦点,l为准线的抛物线. 知识点2　抛物线的标准方程 图形 标准方程 焦点坐标 准线方程   y2=2px (p>0)   　　 　    y2=-2px (p>0) 　　 　  x= 图形 标准方程 焦点坐标 准线方程   x2=2py (p>0)   　　　 　    x2=-2py (p>0) 　　 　  y= AI·思考辨析 四种形式的抛物线都经过原点吗?我们学过的二次函数y=x2是这四种形式中的哪一种形式? 提示 四种形式的抛物线都经过原点.y=x2化为标准方程为x2=y,是x2=2py(p>0)这一形式. 体验新知 1.(2026安徽高二联考)抛物线C:y2=6x的焦点到其准线的距离为(　　) A.　　　 B.　　　 C.3　　　 D.6 C 解析 已知抛物线C:y2=6x,则焦点为,准线为x=-,则焦点到其准线的距离为3.故选C. 2.(2026河南高二期中)抛物线y2=-x的焦点坐标为(　　) A.(-1,0) B.(0,-1) C. D. C 解析 抛物线y2=-x的开口向左,焦点在x轴的负半轴上,因为2p=⇒p=,所以焦点坐标为.故选C. 3.(人教B版教材习题)分别根据下列条件,写出抛物线的标准方程: (1)焦点是F(2,0); (2)准线方程是x=- . 重难探究·能力素养速提升 能力提升点一　抛物线的标准方程 角度1 根据抛物线方程求焦点坐标以及准线方程 【例1】 (北师大版教材习题)求下列抛物线的焦点坐标、准线方程和焦点到准线的距离: (1)y2=12x;(2)2y2-x=0. 解 (1)抛物线y2=12x的焦点坐标为(3,0),准线方程为x=-3,焦点到准线的距离为6. 变式训练1　抛物线y=ax2(a≠0)的焦点坐标是　　　　　,准线方程是 　　　　　.  y=- 解析 由y=ax2得x2=, 当a>0时,p=,焦点坐标为,准线方程为y=-;当a<0时,p=-,焦点坐标为,准线方程为y=-.∴焦点坐标为,准线方程为y=-. 角度2 求抛物线的标准方程 【例2】 求满足下列条件的抛物线的标准方程: (1)抛物线的焦点是双曲线16x2-9y2=144的左顶点; (2)过点M(-6,6); (3)焦点F在直线l:3x-2y-6=0上. 解 (1)双曲线方程可化为=1,左顶点为(-3,0),由题意设抛物线方程为 y2=-2px(p>0)且=-3,∴p=6,∴抛物线的方程为y2=-12x. (2)由于点M(-6,6)在第二象限, 所以过点M的抛物线开口向左或开口向上. 若抛物线开口向左,焦点在x轴上, 设其方程为y2=-2px(p>0), 将点M(-6,6)的坐标代入,可得36=-2p×(-6), 所以p=3,所以抛物线的方程为y2=-6x. 若抛物线开口向上,焦点在y轴上,设其方程为x2=2py(p>0),将点M(-6,6)的坐标代入可得,36=2p×6,所以p=3,所以抛物线的方程为x2=6y. 综上所述,抛物线的标准方程为y2=-6x或x2=6y. (3)①因为直线l与x轴的交点为(2,0), 所以抛物线的焦点可以是F(2,0),所以=2,所以p=4, 所以抛物线的标准方程是y2=8x. ②因为直线l与y轴的交点为(0,-3), 所以抛物线的焦点可以是F(0,-3),所以=3,所以p=6, 所以抛物线的标准方程是x2=-12y. 综上所述,所求抛物线的标准方程是y2=8x或x2=-12y. 变式训练2 已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,抛物线C上一点M(x0,x0) (x0≠0)满足|MF|=5,则抛物线C的方程为(　　) A.y2=2x B.y2=x C.y2=8x D.y2=4x D 解析 依题意得=2px0,因为x0≠0,所以x0=2p.|MF|=x0+=5,解得p=2. 所以抛物线C的方程为y2=4x.故选D. 能力提升点二　抛物线的定义的应用 角度1 利用抛物线的定义解决轨迹问题 【例3】 (人教B版教材习题)已知点M到点F(4,0)的距离比它到直线l:x+6=0的距离小2,求点M的轨迹方程. 解 因为点M到点F(4,0)的距离比它到直线l:x+6=0的距离小2,所以点M到点F(4,0)的距离与它到直线l:x+4=0的距离相等.即点M的轨迹是以F(4,0)为焦点,直线l:x+4=0为准线的抛物线,抛物线方程为y2=2px(p>0), 则 =4,即p=8. 所以点M的轨迹方程为y2=16x. 变式训练3　已知点M到点A(2,0)的距离比到y轴的距离大2,求点M的轨迹方程. 解 当点M的横坐标大于等于0时,由题意可转化为点M到点A(2,0)的距离等于点M到直线x=-2的距离,设M(x,y),所以点M的轨迹是以A(2,0)为焦点,x=-2为准线,顶点在原点,开口向右的抛物线,设其方程为y2=2px(p>0),所以=2, p=4,所以点M的轨迹方程为y2=8x;当点M的横坐标小于0时,因为点A(2,0)到y轴的距离为2,所以点M在x轴上,即点M的轨迹方程为y=0(x<0). 综上,点M的轨迹方程为y2=8x或y=0(x<0). 角度2 与抛物线定义有关的距离问题 【例4—1】 (2023北京)已知抛物线C:y2=8x的焦点为F,点M在C上.若M到直线x=-3的距离为5,则|MF|=(　　) A.7 B.6 C.5 D.4 D 解析 因为抛物线C:y2=8x的焦点F(2,0),准线方程为x=-2,点M在C上,所以M到准线x=-2的距离为|MF|.又M到直线x=-3的距离为5,所以|MF|+1=5,故|MF|=4.故选D. 【例4—2】 已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F到其准线的距离为4,M是抛物线C上一点,若A(2,3),则|MF|+|MA|的最小值为(　　) A.8 B.6 C.5 D.4 D 解析 由抛物线C的焦点F到其准线的距离为4,得p=4. 设M,A在准线l:x=-2上的射影为M1,A1,如图, 则|MA|+|MF|=|MA|+|MM1|≥|AA1|=2+2=4, 当且仅当A1,M,A共线时,等号成立.所以所求最小值是4.故选D. 例题探究　(变结论)在例4—2中,若M,A,F三点能构成三角形,求△MAF周长的最小值. 解 △MAF的周长l=|MF|+|MA|+|AF|≥|AA1|+|AF|=7,当且仅当A1,M,A共线时,等号成立.所以所求最小值为7. 能力提升点三　抛物线的实际应用 【例5】 (人教B版教材习题)如图是一座抛物线型拱桥示意图,拱桥是抛物线的一部分且以抛物线的轴为对称轴,已知顶点距离水面4 m时,量得水面宽12 m,那么当水位升高1 m时水面的宽为多少? 解 建立如图所示的平面直角坐标系,设抛物线的方程为x2=-2py(p>0), 由题意知B(6,-4),将其坐标代入,得2p=9, ∴抛物线的方程为x2=-9y. 当y=-3时,x2=-9×(-3)=27, 变式训练4 有一个隧道内设双行线公路,其截面由一长方形和抛物线构成,如图所示.为了保证安全,要求行驶车辆顶部(设为平顶)与隧道顶部在竖直方向上的高度之差至少为0.7 m,若行车道总宽度为7.2 m,则车辆通过隧道时的限制高度为　　　m.  3.8 解析 由题意,建立如图所示的平面直角坐标系,则E(-4.8,-4.8),F(4.8,-4.8), D(-4.8,-7.2),C(4.8,-7.2),如图可设抛物线的方程为y=ax2,将点E的坐标代入,可得-4.8=a·(4.8)2,求得a=-=-,故抛物线的方程为y=-x2.将x=3.6代入抛物线方程,可得y=-×(3.6)2=-2.7,故车辆通过隧道时的限制高度为7.2-0.7-2.7=3.8(m). 本节要点归纳 1.知识清单: (1)抛物线的定义; (2)抛物线的标准方程的四种形式; (3)抛物线定义的应用. 2.方法归纳:待定系数法、定义法、转化化归法. 3.常见误区:(1)容易混淆抛物线的焦点位置和方程形式; (2)错误理解p的含义. 学以致用·随堂检测促达标 1 2 3 4 5 1.抛物线y2=2x的焦点到其准线的距离是(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 A 解析 由抛物线y2=2x的方程可得2p=2, 所以p=1,焦点到其准线的距离是p=1.故选A. 1 2 3 4 5 2.一个动圆与定圆F:(x+2)2+y2=1内切,且与定直线l:x=3相切,则此动圆的圆心M的轨迹方程是(　　) A.y2=8x B.y2=4x C.y2=-4x D.y2=-8x D 1 2 3 4 5 解析 设动圆M的半径为r,依题意|MF|=r-1,点M到定直线x=2的距离为d=r-1,所以动点M到定点F(-2,0)的距离等于到定直线x=2的距离,即点M的轨迹为以F为焦点,x=2为准线的抛物线,所以此动圆的圆心M的轨迹方程是y2= -8x.故选D. 1 2 3 4 5 3.(2026全国1,5)已知抛物线C1:y2=2p1x(p1>0)和C2:x2=2p2y(p2>0)均经过点(4,8),则C1的焦点与C2的焦点之间的距离为(　　) A.12 B.4 C.6 D. D 1 2 3 4 5 解析 ∵抛物线C1:y2=2p1x(p1>0)经过点(4,8), ∴将x=4,y=8代入C1的方程得82=2p1×4,即64=8p1,解得p1=8, ∴C1的焦点坐标为F1(,0),即F1(4,0). ∵抛物线C2:x2=2p2y(p2>0)经过点(4,8), ∴将x=4,y=8代入C2的方程得42=2p2×8,即16=16p2,解得p2=1, ∴C2的焦点坐标为F2(0,),即F2(0,). 根据两点间距离公式,F1与F2之间的距离为 |F1F2|=. 1 2 3 4 5 4.某桥的桥形可近似地看成抛物线,该桥的高度为h,跨径为a,则桥形对应的抛物线的焦点到准线的距离为　　　　　.  1 2 3 4 5 解析 如图所示,以桥顶为坐标原点,桥形的对称轴为y轴建立平面直角坐标系. 1 2 3 4 5 5.(北师大版教材例题)已知抛物线的焦点在x轴正半轴上,焦点到准线的距离为 ,求抛物线的标准方程、焦点坐标和准线方程. 本 课 结 束 x=- y=- 解 (1)由题意知,抛物线的焦点在x轴的正半轴上,且=2, ∴p=4,∴抛物线的标准方程为y2=8x. (2)由题意知,抛物线的焦点在x轴的正半轴上,且, ∴p=3,∴抛物线的标准方程为y2=6x. (2)将2y2-x=0化为y2=x, 因此,抛物线的焦点坐标为,准线方程为x=-,焦点到准线的距离为. ∴x=±3, ∴此时水面的宽约为6 m. 设抛物线为x2=-2py(p>0),结合题意可知,该抛物线经过点,则=2hp,解得p=,故桥形对应的抛物线的焦点到准线的距离为p=. 解 因为抛物线的焦点到准线的距离p=, 所以所求抛物线的标准方程为y2=x,其焦点坐标为,准线方程是x=-. $