3.3.1 抛物线及其标准方程（第1课时）课件-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦抛物线的定义、标准方程及焦点准线概念，通过“入木三分”模块的问题（如定义中定点在定直线上的轨迹、与二次函数图象的区别）衔接旧知，课前自学以“一动三定”解析定义、表格梳理标准方程，搭建从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于结合数学抽象和数学运算素养，通过“探究”总结方法（如待定系数法步骤、定义转化距离），题型示例（如例3用定义求方程）和思考题（如焦点在直线上求方程）强化应用。学生能掌握方程求法与定义转化，教师可提升教学效率。

3.3　抛物线 3.3.1　抛物线及其标准方程 (第1课时) 素养目标 1.掌握抛物线的定义及焦点、准线的概念．(数学抽象)2.会求抛物线的标准方程，并能应用它解决有关问题．(数学运算、数学建模) 课前自学 3 要点1　抛物线的定义 平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离____________的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的______________，直线l叫做抛物线的______________． 相等 焦点 准线 第页 要点2　抛物线的标准方程 y2＝2px(p>0) y2＝－2px(p>0) 第页 x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0) 第页 (1)抛物线定义的关注点： “一动三定”：一动点M；一定点F(即焦点)，一定直线l(即准线)，一定值1(即动点M到定点F的距离与到定直线l的距离之比为1)． 第页 第页 1．抛物线的定义中，若点F在直线l上，那么点的轨迹是什么？ 答：点的轨迹是过点F且垂直于直线l的直线． 2．二次函数的图象也是抛物线，与本节所学抛物线相同吗？ 答：不完全相同．当抛物线的开口向上或向下时可以看作是二次函数的图象，当抛物线的开口向左或向右时不能看作二次函数的图象． 第页 3．抛物线标准方程中参数p的几何意义是什么？ 答：在抛物线的方程中只有一个参数p，它的几何意义是焦点到准线的距离，因此p>0，p越大，抛物线开口越开阔，反之越扁狭． 4．已知抛物线的标准方程，怎样确定抛物线的焦点位置和开口方向？ 答：一次项变量为x(或y)，则焦点在x轴(或y轴)上；若系数为正，则焦点在正半轴上；若系数为负，则焦点在负半轴上．焦点确定，开口方向也随之确定． 返 回 课时学案 11 例 1　分别求满足下列条件的抛物线的标准方程． (1)准线方程为2y＋4＝0； 题型一　 求抛物线的标准方程 第页 12 (2)过点(3，－4)． 第页 探究1 利用待定系数法求抛物线标准方程的步骤 (1)先确定焦点所在坐标轴． (2)设出抛物线标准方程的形式． (3)由条件求得参数p的值，从而确定抛物线的标准方程． 提醒：当抛物线的类型没有确定时，可设方程为y2＝mx(m≠0)或x2＝ny(n≠0)，这样可以减少讨论情况的个数． 第页 思考题1　(1)顶点在原点，焦点在直线x＋3y＋15＝0上的抛物线的标准方程是____________________________． x2＝－20y或y2＝－60x 【解析】　令x＝0，得y＝－5；令y＝0，得x＝－15.∴抛物线的焦点为(0，－5)或(－15，0)．∴所求抛物线的标准方程为x2＝－20y或y2＝－60x. 第页 (2)焦点在y轴上，焦点到准线的距离为5的抛物线的标准方程为_____________________________． x2＝10y和x2＝－10y 【解析】　设抛物线方程为x2＝2my(m≠0)，由焦点到准线的距离为5，知|m|＝5，m＝±5，所以满足条件的抛物线有两条，它们的标准方程分别为x2＝10y和x2＝－10y. 第页 例 2　(1)若抛物线y2＝2px(p>0)的焦点坐标为(1，0)，则p＝________，准线方程为________． 题型二　 抛物线的焦点和准线 2 x＝－1 第页 17 (2)已知抛物线的方程为y2＝ax(a≠0)，求它的焦点坐标和准线方程． 【思路分析】　由题设参数a≠0,有两种情况a＞0或a＜0,需分别求解． 第页 探究2 求抛物线的焦点和准线的方法 将抛物线的方程化为标准方程的形式，确定开口方向，求出参数p的值，然后再求得焦点坐标和准线方程． 第页 (0，－2) y＝2 第页 例 3　已知抛物线的顶点在原点，焦点在x轴上，抛物线上的点M(－3，m)到焦点的距离等于5，求抛物线的方程和m的值． 题型三　 抛物线定义的应用 第页 21 第页 探究3 抛物线定义的应用 实现距离转化．根据抛物线的定义，抛物线上任意一点到焦点的距离等于它到准线的距离，因此，由抛物线定义可以实现点点距与点线距的相互转化，从而简化某些问题． 第页 思考题3　若F是抛物线y2＝2x的焦点，A，B是该抛物线上的两点， |AF|＋|BF|＝6，则线段AB的中点到y轴的距离为________． 返 回 课后巩固 25 √ 第页 √ 第页 3．下列四个抛物线中，开口向下且焦点到准线的距离为5的是(　　) A．y2＝－10x B．x2＝－10y C．y2＝－5x D．x2＝－5y √ 解析　四个抛物线中，只有抛物线x2＝－10y与x2＝－5y的开口向下，又p＝5，所以x2＝－10y符合题意．故选B. 第页 4．若抛物线y2＝2px(p>0)上横坐标为6的点到焦点的距离为8，则焦点到准线的距离为(　　) A．1 B．2 C．4 D．6 √ 第页 y2＝20x 返 回 请做：课时作业（三十七） 图形 标准方程 焦点坐标 准线方程 ______________ ______________ ______________ ______________ Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(－p,2)，0)) ______________ Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0)) x＝－eq \f(p,2) x＝eq \f(p,2) y＝eq \f(p,2) ______________ ______________ ______________ ______________ ______________ ______________ Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2))) y＝－eq \f(p,2) Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(－p,2))) (2)用坐标表示的焦半径公式： 由教材中抛物线的定义可得抛物线的焦半径公式如下： 若点M(x0，y0)是抛物线y2＝2px(p>0)上一点，抛物线的焦点为F，准线为l，则线段MF叫做抛物线的焦半径．如图所示，过点M作l的垂线段MH，由抛物线的定义可知|MF|＝|MH|＝x0＋eq \f(p,2). 同理可得：若点M(x0，y0)在抛物线y2＝－2px(p>0)上，则|MF|＝eq \f(p,2)－x0. 若点M(x0，y0)在抛物线x2＝2py(p>0)上，则|MF|＝y0＋eq \f(p,2). 若点M(x0，y0)在抛物线x2＝－2py(p>0)上，则|MF|＝eq \f(p,2)－y0. 【思路分析】　eq \x(确定抛物线焦点的位置)→eq \x(设出标准方程)→eq \x(确定参数)→eq \x(写出方程) 【解析】　(1)准线方程为2y＋4＝0，即y＝－2，故抛物线焦点在y轴的正半轴上，设其方程为x2＝2py(p＞0)．又eq \f(p,2)＝2，∴2p＝8，故所求抛物线的标准方程为x2＝8y. 【解析】　(2)∵点(3，－4)在第四象限，∴抛物线开口向右或向下，设抛物线的标准方程为y2＝2px(p＞0)或x2＝－2p1y(p1＞0)．把点(3，－4)的坐标分别代入y2＝2px和x2＝－2p1y中，得(－4)2＝2p·3，32＝－2p1·(－4)，即2p＝eq \f(16,3)，2p1＝eq \f(9,4).∴所求抛物线的标准方程为y2＝eq \f(16,3)x或x2＝－eq \f(9,4)y. 【解析】　因为抛物线的焦点坐标为(1，0)，所以eq \f(p,2)＝1，p＝2，准线方程为x＝－eq \f(p,2)＝－1. 【解析】　当a＞0时，∵2p＝a，∴p＝eq \f(a,2). ∴焦点坐标为Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,4)，0))，准线方程为x＝－eq \f(a,4). 当a＜0时，y2＝－(－a)x， ∵2p＝－a，∴p＝－eq \f(a,2). ∴焦点坐标为Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,4)，0))，准线方程为x＝－eq \f(a,4). 综上所述，抛物线的焦点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,4)，0))，准线方程为x＝－eq \f(a,4). 【解析】　将y＝－eq \f(1,8)x2化为标准方程为x2＝－8y，由此可知焦点坐标是(0，－2)，准线方程为y＝2. 思考题2　抛物线y＝－eq \f(1,8)x2的焦点坐标是________，准线方程是________． 【解析】　方法一：根据已知条件，应设抛物线方程为y2＝－2px(p>0)，则焦点为Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，0)). ∵点M(－3，m)在抛物线上，且|MF|＝5，∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m2＝6p，,\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－3＋\f(p,2)))\s\up18(2)＋m2)＝5，)) 解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(p＝4，,m＝2\r(6)))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(p＝4，,m＝－2\r(6).)) ∴抛物线的方程为y2＝－8x，m的值为±2eq \r(6). 方法二：由已知条件，设抛物线的方程为y2＝－2px(p>0)，则准线方程为x＝eq \f(p,2). ∵M(－3，m)是抛物线上的点，根据抛物线定义，M点到焦点的距离等于M点到准线的距离，所以|－3|＋eq \f(p,2)＝5，∴p＝4. ∴所求的抛物线的方程为y2＝－8x. 又点M(－3，m)在抛物线上， 故m2＝(－8)×(－3)＝24. ∴m＝±2eq \r(6). eq \f(5,2) 【解析】　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线的定义，可得|AF|＋|BF|＝eq \f(p,2)＋x1＋eq \f(p,2)＋x2＝x1＋x2＋p＝6.∵p＝1，∴x1＋x2＝5，∴线段AB的中点的横坐标为eq \f(x1＋x2,2)＝eq \f(5,2).∴线段AB的中点到y轴的距离为eq \f(5,2). 1．抛物线x＝－2y2的准线方程是(　　) A．y＝eq \f(1,2)　　　　　　　　 B．y＝eq \f(1,8) C．x＝eq \f(1,4) D．x＝eq \f(1,8) 解析　由抛物线y＝2px2过点(1，4)，可得p＝2，∴抛物线的标准方程为x2＝eq \f(1,4)y，则焦点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,16))). 2．已知抛物线y＝2px2过点(1，4)，则该抛物线的焦点坐标为(　　) A．(1，0) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,16)，0)) C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,16))) D．(0，1) 解析　设M为抛物线上任意一点，xM＝6，F为焦点，连接MF，则|MF|＝xM＋eq \f(p,2)，∴8＝6＋eq \f(p,2)，∴p＝4，则焦点到准线的距离为4. 解析　抛物线y2＝4mx(m>0)的焦点为F(m，0)，双曲线eq \f(x2,16)－eq \f(y2,9)＝1的渐近线方程为3x±4y＝0，则F(m，0)到渐近线的距离为eq \f(|3m|,\r(32＋42))＝eq \f(3m,5)＝3⇒m＝5，所以抛物线的方程为y2＝20x. 5．抛物线y2＝4mx(m>0)的焦点到双曲线eq \f(x2,16)－eq \f(y2,9)＝1的一条渐近线的距离为3，则此抛物线的方程为________________． $