第1章 反比例函数（举一反三讲义）数学新教材苏科版九年级上册

该初中数学反比例函数复习讲义通过“夯实基础-进阶拔高-创新思辨”三级体系构建知识脉络，基础层涵盖定义判定、图象象限等8类核心题型，进阶层聚焦一次函数综合、面积问题等6类中档题型，创新层包含动点、新定义等6类拓展题型，清晰呈现知识内在逻辑与重难点分布。 讲义亮点在于“题型+例题+变式”的分层练习设计，如【题型7 系数k的几何意义】从矩形面积到不规则图形面积，培养推理能力，【题型8 实际应用】结合杠杆原理建立函数模型，发展模型意识。基础题巩固核心概念，拔高题提升综合能力，创新题激发创新思维，助力学生自主复习，便于教师实施分层教学。

第1章 反比例函数（举一反三讲义）全章题型归纳 【新教材苏科版】 题型归纳 【夯实基础】 1 【题型1 反比例函数的定义判定】 1 【题型2 反比例函数的图象分布象限判断】 2 【题型3 反比例函数的图象的增减性分析】 2 【题型4 反比例函数的图象上点的坐标特征】 3 【题型5 反比例函数的图象的对称性】 3 【题型6 待定系数法求反比例函数解析式】 5 【题型7 反比例函数中系数k的简单几何意义】 6 【题型8 反比例函数的实际应用】 7 【进阶拔高】 9 【题型9 反比例函数与一次函数的交点问题】 9 【题型10 利用反比例函数的图象解不等式】 10 【题型11 反比例函数中系数k的几何意义（不规则图形面积）】 11 【题型12 反比例函数与一次函数的图象分析】 13 【题型13 反比例函数围成的图形面积】 14 【题型14 与反比例函数有关的实际应用中的最值问题】 16 【创新思辨】 17 【题型15 与反比例函数有关的动点与存在性问题】 17 【题型16 反比例函数与图形变换的综合】 19 【题型17 反比例函数中的定值问题】 21 【题型18 反比例函数的最值问题】 23 【题型19 反比例函数新定义题型】 24 【题型20 反比例函数与角度问题】 26 【夯实基础】 【题型1 反比例函数的定义判定】 【例1】（25-26九年级上·甘肃张掖·期末）下列函数中，y是x的反比例函数的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】（25-26七年级上·广西梧州·期末）下列各选项中的两个量成反比例关系的是（   ） A．速度一定，路程与时间 B．圆柱的体积一定，底面积与高 C．小明的体重与他的年龄 D．圆的周长与半径 【变式1-2】（25-26九年级上·河南安阳·期末）若是反比例函数，则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】（25-26九年级上·山东东营·期末）已知函数是反比例函数，且其图象所在的每一个象限内，随的增大而减小，则此函数的表达式为___________． 【题型2 反比例函数的图象分布象限判断】 【例2】反比例函数的图像在第______象限． 【变式2-1】已知反比例函数的图象经过点，则其图象在______象限． 【变式2-2】（2026·陕西咸阳·一模）反比例函数（k为常数，）的图象与点的位置关系如图所示，已知点的坐标为，则的值可能是________．（写出一个符合题意的数即可） 【变式2-3】（2026·河北沧州·模拟预测）如图是反比例函数的图象的一部分，已知点，则k的值可能是________（写出一个值即可）． 【题型3 反比例函数的图象的增减性分析】 【例3】（2026·四川成都·二模）已知点在反比例函数的图象上，如果，那么的值可能为_____（请写出一个符合条件的值）． 【变式3-1】（25-26八年级下·河南洛阳·期中）已知反比例函数的图象上有三点，，，则，，的大小关系为__________．（用“>”连接） 【变式3-2】（2026·天津南开·二模），，都在反比例函数的图象上，且，则，和的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【变式3-3】（2026·山东淄博·一模）已知点，，三点均在反比例函数的图象上，若为正数，则t的取值范围是（   ） A． B． C．或 D． 【题型4 反比例函数的图象上点的坐标特征】 【例4】（2026·江苏宿迁·一模）已知、、三点，点、在反比例函数图像上，点在反比例函数图像上，若，，则（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（2025·云南昭通·模拟预测）已知点在反比例函数的图象上，则_____． 【变式4-2】（2026·陕西西安·一模）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过的顶点A，点B、C分别在x轴负半轴、y轴负半轴上，，则点A的坐标是____________． 【变式4-3】（24-25九年级上·甘肃张掖·月考）已知反比例函数，若当时，的最大值与最小值的差为，则的值为（ A． B．或 C． D．或 【题型5 反比例函数的图象的对称性】 【例5】（2026·江苏南通·一模）如图，将反比例函数的图象向右平移个单位，可以得到函数的图象．下列关于函数的说法中，正确的是（   ）． A．该函数图象交轴于点 B．该函数图象关于点对称 C．该函数图象关于直线对称 D．该函数图象上任取两点，若，则 【变式5-1】（25-26九年级上·河南·期末）若双曲线（）的图象经过点和，若，则的值是______． 【变式5-2】（2026·湖南湘潭·一模）如图，正比例函数与反比例函数的图象相交于、两点，过作轴于点，连接，则的面积为（    ） A． B．1 C． D．2 【变式5-3】（24-25八年级下·河南新乡·期末）如图，一次函数 的图象与反比例函数 的图象交于点 和点 (1)求一次函数的表达式； (2)结合图象，写出满足 的的取值范围； (3)分别连接并延长与反比例函数交于两点，连接，请将图补充完整，判断四边形的形状并说明理由． 【题型6 待定系数法求反比例函数解析式】 【例6】（25-26八年级下·河南南阳·期中）已知是的反比例函数，且当时，． (1)求该反比例函数的表达式； (2)补全表格并描点，画出该反比例函数的图象； (3)当时，利用函数图象直接写出函数的最大值为______． 【变式6-1】（25-26八年级下·山西临汾·期中）反比例函数的图象经过点，，则a的值为（   ） A． B． C．2 D．3 【变式6-2】（25-26九年级上·湖北荆州·期末）点，，，中，只有一个点不在同一个反比例函数的图象上，这个点是________． 【变式6-3】（2026·河南三门峡·一模）如图，在平面直角坐标系中，的顶点与原点重合，已知点，点．点在反比例函数的图象上． (1)求反比例函数的表达式． (2)将沿轴正半轴平移个单位长度后，点恰好落在反比例函数的图象上，求的值． 【题型7 反比例函数中系数k的简单几何意义】 【例7】（25-26九年级上·湖南株洲·期中）如图，在平面直角坐标系中，双曲线与矩形的边交于点，且，求矩形的面积． 【变式7-1】（25-26八年级下·四川内江·期中）如图，点，分别在反比例函数和位于第一象限的图象上．分别过点，向轴作垂线，若阴影部分的面积为2，则的值为（   ） A． B．5 C．7 D．4 【变式7-2】（2026·湖北宜昌·一模）如图，点，分别为反比例函数（）与（）图象上的点，轴，点在轴上，连接、，则的面积为（   ）． A．6.5 B．8.5 C．11 D．13 【变式7-3】（2024·江西宜春·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点在反比例函数的图象上，将点向右平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度得到点B，点B恰好也落在反比例函数的图象上，轴于点C，交于点D． (1)求反比例函数的解析式； (2)连接，，求的面积． 【题型8 反比例函数的实际应用】 【例8】（2026·辽宁丹东·一模）物理学家阿基米德有句名言：“给我一个支点，我可以撬动地球！”这句名言道出了“杠杆原理”的意义和价值，“杠杆原理”在实际生产和生活中有着广泛的运用．如图，用启瓶器很容易将瓶盖启开，运用的就是“杠杆原理”，即阻力阻力臂动力动力臂，已知阻力F（单位：N）和阻力臂L（单位：）之间的函数图象如图所示，若动力臂为，则需要使用________N的动力刚好将瓶盖启开． 【变式8-1】（2026·河北沧州·模拟预测）如图1，取一根长的匀质木杆，用细绳绑在木杆的中点O处并将其吊起来．在中点O的左侧距离O点处挂一个重的物体，在中点O右侧用一个弹簧测力计竖直向下拉，使木杆处于水平状态，弹簧测力计与中点O的距离L（单位：）与弹簧测力计的示数F（单位：N）的关系符合图2的反比例函数关系．下列说法错误的是（    ） A．F随L的增大而减小 B．当时， C．若弹簧测力计的示数F不超过，则L的取值范围是 D．若原物体重量增加，木杆保持水平时，F与L的关系式为 【变式8-2】（2026·贵州遵义·二模）研究发现，近视眼镜的度数（度）与镜片焦距（米）成反比例函数关系．验光师测得几组关于近视眼镜的度数与镜片焦距的对应数据如下表： 镜片焦距x（米） 近视眼镜的度数（度） (1)根据表格数据，求与的函数关系式； (2)小红原来佩戴度的近视眼镜，经过视力矫正和健康用眼，视力改善后，镜片焦距变为米，求小红的近视眼镜度数降低了多少度？ 【变式8-3】紫外线杀菌灯的电阻随温度的变化的大致图象如图所示．通电后温度由室温上升到时，电阻与温度成反比的函数关系．且在温度达到时，电阻下降到最小值，随后电阻随温度升高而增加，温度每上升，电阻增加．    (1)当时时，求与之间的关系式． (2)紫外线杀菌灯在使用过程中，温度在什么范围内时，电阻不超过． 【进阶拔高】 【题型9 反比例函数与一次函数的交点问题】 【例9】如图，直线与反比例函数的图象在第一象限交于点，与x轴交于点C，与y轴交于点D，过A作轴于点B，连接． (1)求反比例函数的解析式； (2)求证：． 【变式9-1】（2026·重庆大足·一模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点、，且与y轴交于点C．连接，，则的面积为（　　） A．4 B．9 C．16 D．8 【变式9-2】（2026·安徽合肥·二模）如图，直线与双曲线交于点，将直线向上平移2单位长度交轴于点，交双曲线于点．若，则k的值是______． 【变式9-3】（2026·河南信阳·一模）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数与一次函数交于、两点，一次函数分别交x轴、y轴于C、D两点，轴于点E． (1)求反比例函数及一次函数解析式； (2)请用尺规过点A向x轴作垂线，垂足为F（保留作图痕迹，不写作法）． (3)在（2）的基础上，连接，求证：． 【题型10 利用反比例函数的图象解不等式】 【例10】（25-26八年级下·海南海口·期中）如图，一次函数的图象与反比例函数图象相交于点与点，在第二象限内，观察函数图像，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D．或 【变式10-1】（25-26九年级上·宁夏银川·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于点．则满足不等式的的取值范围是______． 【变式10-2】（24-25九年级上·山东威海·期中）如图，平行于轴的直尺（一部分）与反比例函数的图象交于点，，与轴交于点，，连接，点，的刻度分别为，，直尺的宽度为，，设直线的解析式为． (1)不等式的解集为 ； (2)不等式的解集为 ； (3)平行于轴的直线与交于点，与反比例函数图象交于点，当这条直线左右平移时，线段的长为，求的值． 【变式10-3】（24-25九年级下·宁夏吴忠·期中）如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于A、B两点，且点．求： (1)反比例函数与一次函数表达式； (2)的面积； (3)直接写出不等式的解集． 【题型11 反比例函数中系数k的几何意义（不规则图形面积）】 【例11】（2026·山东青岛·一模）如图，点A是双曲线上一点，过点A分别作轴，轴，垂足分别为B，C两点，与双曲线分别交于D，E两点，若四边形的面积为5，则________． 【变式11-1】（2026·海南省直辖县级单位·一模）如图，反比例函数（k为常数，）的图象与直线交于点M，，其两边分别与两坐标轴的正半轴交于点A，B．四边形的面积为5．则k的值为（   ） A．5 B．4 C．2.5 D．2 【变式11-2】如图，正方形的顶点在位于第二象限的分支上，点B、C分别在轴、轴负半轴上，点在直线位于第一象限的图象上，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式11-3】如图，点，为反比例函数在第一象限上的两点，轴于点，轴于点，若点的横坐标是点横坐标的一半，且图中阴影部分的面积为，则的值为_____________． 【题型12 反比例函数与一次函数的图象分析】 【例12】（25-26八年级下·吉林长春·期中）已知一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【变式12-1】（25-26九年级上·山东淄博·期末）一次函数与反比例函数在同一坐标系内的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【变式12-2】（2024·安徽·模拟预测）若，则一次函数和反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（  ） A． B． C． D． 【变式12-3】（25-26九年级上·山东济南·期末）一次函数与反比例函数，其中，，均为常数，它们在同一坐标系中的图象可以是（　　） A． B． C． D． 【题型13 反比例函数围成的图形面积】 【例13】（2026·贵州六盘水·一模）如图，正方形的中心在平面直角坐标系的原点，正方形的边与坐标轴平行，点是正方形与反比例函数图象的一个交点．已知图中阴影部分的面积等于32，则k的值为（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 【变式13-1】（25-26九年级上·宁夏银川·期末）如图，点是反比例函数的图象与⊙O的一个交点，图中阴影部分的面积为，则反比例函数的解析式为______． 【变式13-2】（2025·安徽马鞍山·三模）如图，第一象限内点A，B分别在反比例函数和的图象上，分别过A，B两点向x轴，y轴作垂线，围成的阴影部分的面积为（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 【变式13-3】如图，在平面直角坐标系中，A（﹣6，0），曲线上每一点到x轴与y轴的距离的乘积都相等，过曲线上横坐标分别为﹣6，﹣4，﹣2的三点B，C，D分别向x轴、y轴作垂线，已知图中的阴影部分是由这些垂线围成的，且其面积是6，则由O，A，C三点围成的三角形的面积为_____． 【题型14 与反比例函数有关的实际应用中的最值问题】 【例14】如图1，利用秤杆研究杠杆原理．用细绳绑在秤杆上的点处并将其吊起来，在点右侧的秤钩上挂一个物体，在点左侧的秤杆上有一个动点（最大距离为），在点处用一个弹簧秤向下拉．当秤杆处于水平状态时，分别测得弹簧秤的示数（单位：）与的长度（单位：）的五组对应值，已在平面直角坐标系中描点如图2． (1)请在图2中画出与的函数图象，并判断它是什么函数． (2)求关于的函数表达式． (3)移动弹簧秤的位置，若秤杆仍处于水平状态，求弹簧秤的示数的最小值． 【变式14-1】某种气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的压强p（单位：）是气球的体积V（单位：）的反比例函数．现测得几组实验数据记录如下： 体积V（单位：） … … 压强p（单位：） … … (1)求p关于V的函数解析式； (2)当气球内气体的压强大于时，气球将爆炸，为了安全起见，求气球的体积V的最小值． 【变式14-2】（25-26九年级上·广东佛山·期末）某新能源车企在测试一款新型电池时发现：充满电的车辆在标准测试场以不同速度匀速行驶时，车辆可行驶的时间会发生变化．大量测试后得到下表（不完整）： … 40 50 60 … … 15 12 10 … (1)变量、之间的关系恰好满足某一函数模型．请先判断函数类型（说明理由）再求其表达式． (2)一辆充满电的车辆，先以的速度在测试场行驶了2小时，再以速度行驶，若要剩余电量能支持以该速度行驶的时间不少于4小时，则的最大值是多少？ 【变式14-3】实验数据显示：一般成人喝半斤低度白酒后，1.5小时内（包括1.5小时）其血液中酒精含量y（毫克/百毫升）与时间x（时）的关系可近似地用二次函数y＝﹣200x2+400x表示；1.5小时后（包括1.5小时）y与x可近似地用反比例函数y＝（k＞0）表示（如图所示）． （1）喝酒后多长时间血液中的酒精含量达到最大值？最大值为多少？ （2）求k的值． （3）按国家规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于20毫克/百毫升时属于“酒后驾驶”，不能驾车上路．参照上述数学模型，假设某驾驶员晚上20：00在家喝完半斤低度白酒，第二天早上7：00能否驾车去上班？请说明理由． 【创新思辨】 【题型15 与反比例函数有关的动点与存在性问题】 【例15】如图，已知：矩形的顶点B在反比例函数的图象上，且． (1)求反比例函数的关系式； (2)若动点E从A开始沿向B以每秒1个单位长度的速度运动，同时动点F从B开始沿向C以每秒2个单位长度的速度运动，当其中一个动点到达端点时，另一个动点随之停止运动，设运动时间为t秒， ①当t为何值时，是等腰直角三角形？ ②当时，在双曲线上是否存在一点M，使得四边形为平行四边形？说明理由； (3)若在（2）中的条件下，运动1秒时，在y轴上是否存在点D，使的周长最小？若存在，请求出的周长最小值；若不存在，请说明理由． 【变式15-1】已知，矩形在平面直角坐标系中的位置如图所示，点C在x轴的正半轴上，点A在y轴的正半轴上，已知点B的坐标为，反比例函数的图象经过的中点D，且与交于点E，顺次连接O，D，E． (1)求线段的长； (2)在线段上存在一点M，当的面积等于时，求点M的坐标； (3)平面直角坐标系中是否存在一点N，使得O、D、E、N四点构成平行四边形？若存在，请直接写出N的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式15-2】（25-26八年级下·山东济南·期中）如图，直线与双曲线交于两点，点的坐标为，点是双曲线第一象限分支上的一点，连接并延长交轴于点，且． (1)求的值并求出点的坐标； (2)点是轴上的动点，连接，，求周长的最小值； (3)是轴上的点，是否存在点，使得以为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请求出所有符合条件的点的坐标：若不存在，请说明理由． 【变式15-3】（2026·广东梅州·一模）如图，在平面直角坐标系中，的边在x轴上，点B的坐标为，点C的坐标为，反比例函数的图象经过点A，与交于点E． (1)求该反比例函数的表达式； (2)点G是y轴上的动点，连接，求最小值时点G坐标； (3)连接，在反比例函数图象上是否存在点P（点P与点E不重合），使得？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【题型16 反比例函数与图形变换的综合】 【例16】（2025·山东济南·一模）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象分别交于点和点，且与x轴交于点． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)如图1，将直线向上平移个单位，平移后的直线与的图象在第一象限交于点，若，求平移距离； (3)如图2，是第二象限内一点，，连接，将绕点顺时针旋转，点的对应点恰好落在该反比例函数图象上，求点的坐标． 【变式16-1】（2024·江苏连云港·中考真题）如图1，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点A、B，与轴交于点C，点A的横坐标为2． (1)求的值； (2)利用图像直接写出时的取值范围； (3)如图2，将直线沿轴向下平移4个单位，与函数的图像交于点D，与轴交于点E，再将函数的图像沿平移，使点A、D分别平移到点C、F处，求图中阴影部分的面积． 【变式16-2】如图，点B是反比例函数图象上一点，过点B分别向坐标轴作垂线，垂足为A，C．反比例函数的图象经过的中点M，与，分别相交于点D，E．连接并延长交x轴于点F，点G与点O关于点C对称，连接，． (1)填空： ； (2)求的面积； (3)求证：四边形为平行四边形． 【变式16-3】（24-25八年级下·江苏盐城·期中）几何图形是数学研究的主要对象之一，图形的形状、大小和位置是几何中研究的主要内容，平面几何中，平移、翻折、旋转是常见的图形变换．鹿鸣学堂数学兴趣小组的同学们在学习了反比例函数的相关内容后，进一步探究反比例函数的图像的平移、旋转、翻折的相关问题，过程如下： (1)如图1，将反比例函数的图像向左平移3个单位，求平移后的图像与y轴的交点坐标； (2)如图2，将反比例函数（）的图像绕点O顺时针旋转60°，点P为旋转后图像上的一点，过点P作直线的垂线，垂足是H，若，求的值； (3)如图3所示，反比例函数（）的图像沿直线翻折得到新图像．若直线与两条曲线交于E、F，直线与两条曲线交于G、H，同学们发现E、F、G、H四个点组成的四边形是矩形，当这个矩形的面积是4时，直接写出b的值． 【题型17 反比例函数中的定值问题】 【例17】（2025·江西·模拟预测）如图1，点是反比例函数 图象上任意一点，过点作轴的垂线，垂足为，已知的面积为． (1)求的值． (2)若过点的直线 与轴交于点，如图2． ①求证：． ②与的平方差是不是定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 【变式17-1】如图，是矩形，反比例函数的图像经过点D，反比例函数的图像经过点C．点A在x轴的负半轴上运动，点B在x轴的正半轴上运动．若矩形的面积为定值，则下列是定值的是（　　） A． B． C． D． 【变式17-2】直线与函数（）的图象只有一个公共点A，且直线与x轴、y轴分别交于B、C两点，过点A分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为D、E，则下列说法正确的有________（将正确的序号填在横线上）． ①； ②点恒在抛物线上； ③是定值； ④矩形面积为定值； ⑤和的面积之和为定值．      【变式17-3】如图，动点M在函数的图象上，过点M分别作x轴和y轴的平行线交反比例函数的图象于点B、C，作直线，设直线的函数表达式为．    (1)若点M的坐标为，①求直线的函数解析式；②点D在x轴上，点E在y轴上，且以点B、C、D、E为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点D、E的坐标； (2)连接，试探究点M在运动过程中，的面积是否是定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 【题型18 反比例函数的最值问题】 【例18】【阅读理解】对于任意正实数a、b，∵（，∴， ∴，（只有当a=b时，等于） 【获得结论】在（a、b均为正实数）中，若ab为定值p，则，只有当a=b时，有最小值． 【直接应用】根据上述内容，回答下列问题：若m＞0，只有当m= 时，有最小值 ； 【变形应用】如图，在平面直角坐标系中，平行于y轴的直线x=m分别与（x＞0），（x＞0）交于A，B两点，分别作AC⊥y，BD⊥y，求四边形ABDC周长的最小值； 【变式18-1】（2025·黑龙江哈尔滨·一模）如图，点A、B在反比例函数的图像上，点A坐标为，点B坐标为，y轴上有一动点P，连接、，则的最小值为（   ） A． B．5 C． D． 【变式18-2】（24-25八年级下·福建泉州·期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形边在y轴上，在x轴上，且点B坐标为，反比例函数的图象与，交于D，E两点，的面积为8，点P为y轴上一点，当取得最小值时，点P的坐标为__________． 【变式18-3】如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过点与，过点A作轴，垂足为，连接、． (1)求的值； (2)求证：为等腰三角形； (3)为轴上一点，的周长是否有最小值，若存在，请求出此时点的坐标，若不存在，请说明理由． 【题型19 反比例函数新定义题型】 【例19】（25-26九年级上·河南商丘·期末）定义新运算：，则对于函数，下列说法正确的是（   ） A．函数图象经过点 B．函数图象位于第一、三象限 C．当时， D．当时，y随x的增大而增大 【变式19-1】定义：在平面直角坐标系中，对于点，当点满足时，称点是点的“倍增点”．在平面直角坐标系中，若反比例函数图象上的点与点都是点的“倍增点”，连接，，则的面积为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式19-2】（2025·河北沧州·一模）定义：把横、纵坐标均为整数的点称为整点．如图，反比例函数的图象与直线：交于整点，与直线交于整点和整点，直线与交于整点，若线段上有7个整点（包括端点），且，则的值为______． 【变式19-3】（24-25九年级上·辽宁辽阳·期末）在平面直角坐标系中，正方形的边长为（为正整数），点在轴正半轴上，点在轴正半轴上．若点在正方形 的边上，且，均为整数，定义点为正方形的“点”． 若某函数的图象与正方形OABC只有两个交点，且交点均是正方形OABC的“点”，定义该函数为正方形的“函数”．例如：如图1，当 时，某函数的图象经过点和，则该函数是正方形的“函数”． (1)当时，若一次函数是正方形的“函数”，则一次函数的表达式是 （写出一个即可）； (2)如图2，当时，函数（）的图象经过点 ，与边相交于点，判断该函数是不是正方形的“函数”，并说明理由． 【题型20 反比例函数与角度问题】 【例20】（25-26九年级上·四川达州·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，交轴于点． (1)求反比例函数的表达式和点的坐标； (2)连接，，求的面积； (3)反比例函数的图象上是否存在一点，使得，若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式20-1】如图，中，，顶点，都在反比例函数的图象上，直线轴，垂足为，连接，，并延长交于点，当时，点恰为的中点，若，．    (1)求反比例函数的解析式； (2)求的度数． 【变式20-2】点，在反比例函数的图象上，且． (1)直接写出，的大小关系； (2)如图，过点作矩形，为对角线的交点，且轴于，连接． ①求证：三点共线； ②若，，求的度数（用的代数式表示）． 【变式20-3】（2024·宁夏银川·模拟预测）如图，反比例函数的图象经过点，且与一次函数的图象交于A，B两点． (1)求反比例函数的表达式． (2)当时，请写出x的取值范围． (3)如图，P是线段上的一点，过点P分别作轴，轴，垂足分别为D，C，与反比例函数图象分别交于点F，E，连接．将沿着直线翻折，点O的对应点为，得到菱形，请求出的度数． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 第1章 反比例函数（（举一反三讲义）全章题型归纳 【新教材苏科版】 题型归纳 【夯实基础】 1 【题型1 反比例函数的定义判定】 1 【题型2 反比例函数的图象分布象限判断】 3 【题型3 反比例函数的图象的增减性分析】 5 【题型4 反比例函数的图象上点的坐标特征】 7 【题型5 反比例函数的图象的对称性】 9 【题型6 待定系数法求反比例函数解析式】 13 【题型7 反比例函数中系数k的简单几何意义】 16 【题型8 反比例函数的实际应用】 20 【进阶拔高】 23 【题型9 反比例函数与一次函数的交点问题】 23 【题型10 利用反比例函数的图象解不等式】 28 【题型11 反比例函数中系数k的几何意义（不规则图形面积）】 33 【题型12 反比例函数与一次函数的图象分析】 38 【题型13 反比例函数围成的图形面积】 41 【题型14 与反比例函数有关的实际应用中的最值问题】 45 【创新思辨】 50 【题型15 与反比例函数有关的动点与存在性问题】 50 【题型16 反比例函数与图形变换的综合】 60 【题型17 反比例函数中的定值问题】 70 【题型18 反比例函数的最值问题】 77 【题型19 反比例函数新定义题型】 82 【题型20 反比例函数与角度问题】 87 【夯实基础】 【题型1 反比例函数的定义判定】 【例1】（25-26九年级上·甘肃张掖·期末）下列函数中，y是x的反比例函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数的定义，一般地，形如（k为常数，）的函数叫做反比例函数． 根据反比例函数的定义判断即可． 【详解】解：根据反比例函数的定义可知是反比例函数， 故选：B． 【变式1-1】（25-26七年级上·广西梧州·期末）下列各选项中的两个量成反比例关系的是（   ） A．速度一定，路程与时间 B．圆柱的体积一定，底面积与高 C．小明的体重与他的年龄 D．圆的周长与半径 【答案】B 【分析】本题考查了反比例关系； 判断两个量是否成反比例关系，需满足它们的乘积为常数． 【详解】解：A．速度一定时，路程与时间成正比，不符合题意； B．V=底面积S×高h，圆柱的体积V一定，底面积与高成反比例关系，符合题意； C．体重与年龄无确定比例关系，不符合题意； D．圆的周长与半径成正比，不符合题意； 故选：B． 【变式1-2】（25-26九年级上·河南安阳·期末）若是反比例函数，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查反比例函数的定义，掌握反比例函数的标准形式是解题关键． 反比例函数的标准形式为或，其中为常数且，据此对选项进行判断． 【详解】解：反比例函数的标准形式为或，其中为常数且， ∵是反比例函数，， ∴． 故选：． 【变式1-3】（25-26九年级上·山东东营·期末）已知函数是反比例函数，且其图象所在的每一个象限内，随的增大而减小，则此函数的表达式为___________． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的性质和定义，熟练掌握反比例函数的定义与性质是解题的关键． 根据反比例函数的定义，指数需为，且系数需大于0以保证函数在每一象限内y随x的增大而减小． 【详解】解：由反比例函数的定义，得， 解得或， ∵图象在每一个象限内y随x的增大而减小， ∴， 当时，，满足条件， 当时， ，不满足条件， ∴， ∴函数的表达式为． 故答案为：． 【题型2 反比例函数的图象分布象限判断】 【例2】反比例函数的图像在第______象限． 【答案】一、三 【分析】根据＞0，判定函数图像的分布即可． 【详解】解：∵＞0， 反比例函数的图像在第一、三象限． 故答案为：一、三． 【点睛】本题考查了反比例函数的图像分布，熟练判定反比例函数系数的正负性是解题的关键． 【变式2-1】已知反比例函数的图象经过点，则其图象在______象限． 【答案】二、四 【分析】本题考查了反比例函数的性质，，当时，图象在一、三象限，当时，图象在二、四象限，正确掌握该性质是解题的关键．用待定系数法求出k的值，根据反比例函数的性质判断其图象所在的象限即可． 【详解】解：将点代入得，解得：， 因为，所以的图象在二、四象限． 故答案为：二、四． 【变式2-2】（2026·陕西咸阳·一模）反比例函数（k为常数，）的图象与点的位置关系如图所示，已知点的坐标为，则的值可能是________．（写出一个符合题意的数即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据函数图象判定出参数的取值范围即可． 【详解】解：∵函数图象位于第二象限， ∴； 当时，， 解得， ∴可取，（答案不唯一）． 【变式2-3】（2026·河北沧州·模拟预测）如图是反比例函数的图象的一部分，已知点，则k的值可能是________（写出一个值即可）． 【答案】10（答案不唯一， 即可） 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数的图象上点的坐标特征是关键．直接利用反比例函数的图象上点的坐标特点得出的取值范围，进而得出答案． 【详解】解：点在反比例函数的图象的上方， 当时，， ， 又反比例函数的图象在第一象限， ， ， 取． 【题型3 反比例函数的图象的增减性分析】 【例3】（2026·四川成都·二模）已知点在反比例函数的图象上，如果，那么的值可能为_____（请写出一个符合条件的值）． 【答案】 3（答案不唯一，满足即可） 【分析】根据点 的横坐标大小关系和的大小关系，判断反比例函数的增减性，进而得到比例系数的取值范围，即可写出符合条件的的值． 【详解】解：点 在反比例函数的图象上， 又，且， 在第一象限内，随的增大而减小， 反比例函数图象经过第一、三象限， 比例系数大于，即， 解得， （答案不唯一）． 【变式3-1】（25-26八年级下·河南洛阳·期中）已知反比例函数的图象上有三点，，，则，，的大小关系为__________．（用“>”连接） 【答案】 【分析】先判断反比例函数比例系数的符号，再根据反比例函数的性质，判断三个点所在的象限，结合每一象限内函数的增减性比较函数值的大小． 【详解】解：反比例函数中，， 又， ， ， 函数图象的两个分支分别位于第二、四象限，且在每一象限内，随的增大而增大． ，，三点在函数图象上， ，在第二象限，点在第四象限， ， 即． 【变式3-2】（2026·天津南开·二模），，都在反比例函数的图象上，且，则，和的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据比例系数的符号判断函数图象所在象限，再根据y的大小判断各点所在象限，结合反比例函数的增减性比较x的大小即可． 【详解】∵ 反比例函数为 ， ∴ ， ∴ 反比例函数图象在第二、四象限，且每个象限内y随x的增大而增大， ∵ ， ∴ 点A、B在第四象限，点C在第二象限， ∴ ，，， 又∵ 第四象限内 ， ∴ ， 综上可得． 【变式3-3】（2026·山东淄博·一模）已知点，，三点均在反比例函数的图象上，若为正数，则t的取值范围是（   ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【分析】先将点代入反比例函数，求出，确定函数解析式．把点代入解析式，算出．根据在函数上，得，结合条件，列出不等式．然后分、两种情况解不等式即可解答． 【详解】解：∵点在上， ∴， ∴反比例函数为． ∵点在上， ∴， ∵点在上， ∴． ∵， ∴ 即， 当时：不等式两边同乘，不等号方向不变，得， ∴； 当时：不等式两边同乘，不等号方向改变，得， ∴，该不等式恒成立，即都满足条件． 综上，的取值范围是或． 【题型4 反比例函数的图象上点的坐标特征】 【例4】（2026·江苏宿迁·一模）已知、、三点，点、在反比例函数图像上，点在反比例函数图像上，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数图像上点的坐标特征得，，，结合已知等式逐步推导，即可求出的值． 【详解】解：∵点，在图像上， ∴，， ∵点在图像上， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∴． 【变式4-1】（2025·云南昭通·模拟预测）已知点在反比例函数的图象上，则_____． 【答案】3 【分析】本题主要考查了反比函数的图像，掌握反比例函数图象上的点坐标满足函数解析式成为解题的关键． 把代入反比例函数的解析式即可求得n的值． 【详解】解：把代入反比例函数的解析式可得：． 故答案为3． 【变式4-2】（2026·陕西西安·一模）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过的顶点A，点B、C分别在x轴负半轴、y轴负半轴上，，则点A的坐标是____________． 【答案】 【分析】先推导出得到点A的纵坐标为2，进而代入反比例函数的解析式求出，即可解答． 【详解】解：在中， ∴点A的纵坐标为2， 将代入，得 ， 解得， ∴点A的坐标是． 【变式4-3】（24-25九年级上·甘肃张掖·月考）已知反比例函数，若当时，的最大值与最小值的差为，则的值为（ A． B．或 C． D．或 【答案】B 【分析】本题考查反比例函数的增减性、根据反比例函数的增减性质，列一元一次方程解答即可． 【详解】解：当时，在每个象限内随的增大而减小， ∴当时，有最大值，则当时，y有最小值， ∴，解得； 当时，在每个象限内随的增大而增大， ∴设时，有最小值，当时，有最大值， ∴，解得， ∴或． 故选：B． 【题型5 反比例函数的图象的对称性】 【例5】（2026·江苏南通·一模）如图，将反比例函数的图象向右平移个单位，可以得到函数的图象．下列关于函数的说法中，正确的是（   ）． A．该函数图象交轴于点 B．该函数图象关于点对称 C．该函数图象关于直线对称 D．该函数图象上任取两点，若，则 【答案】C 【分析】结合反比例函数的图象与性质以及平移的性质逐项判断即可． 【详解】解：对于选项A：将代入，得， ∴该函数的图象交轴于点，故A错误； 对于选项B与C：∵关于点对称，且关于直线对称 又∵由向右平移1个单位得到， ∴关于点对称，且关于直线对称，故B错误，C正确； 对于选项D：举例，，则，， 满足，但不满足，故D错误． 【变式5-1】（25-26九年级上·河南·期末）若双曲线（）的图象经过点和，若，则的值是______． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数上点的坐标特征，反比例函数的性质，首先由得到和互为相反数，然后判断出点和关于原点对称，进而得到和3互为相反数，进而求解即可． 【详解】解：∵双曲线（）的图象经过点和， ∵， ∴和互为相反数， ∵反比例函数的图象关于原点对称， ∴点和关于原点对称， ∴和3互为相反数， ∴． 故答案为：． 【变式5-2】（2026·湖南湘潭·一模）如图，正比例函数与反比例函数的图象相交于、两点，过作轴于点，连接，则的面积为（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】此题考查了一次函数和反比例函数综合题，由点A与点C关于原点对称得到，再根据反比例函数的比例系数的几何意义即可求出答案． 【详解】解：∵正比例函数与反比例函数的图象相交于A、C两点， ∴点A与点C关于原点对称， ∴， ∵作轴于点， ∴， ∴的面积． 【变式5-3】（24-25八年级下·河南新乡·期末）如图，一次函数 的图象与反比例函数 的图象交于点 和点 (1)求一次函数的表达式； (2)结合图象，写出满足 的的取值范围； (3)分别连接并延长与反比例函数交于两点，连接，请将图补充完整，判断四边形的形状并说明理由． 【答案】(1) (2)或 3 (3)图形见解析，是平行四边形，理由见解析 【分析】（）求出点、的坐标，再利用待定系数法解答即可； （）根据图象解答即可； （）根据题意补全图形，再根据反比例函数图象的对称性可得与互相平分，即可求解； 本题考查了待定系数法求一次函数解析式，反比例函数与一次函数的交点问题，平行四边形的判定等，掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】（1）解：把坐标代入得， ，， ∴， ∴，， 把，代入得， ， 解得 ， ∴一次函数的表达式为； （2）解：由图象可知，当或时，， ∴满足 的的取值范围为 或 ； （3）解：图形补充如下： 四边形 是平行四边形，理由如下： ∵两点关于点对称， 两点关于点对称， ∴与互相平分， ∴四边形是平行四边形． 【题型6 待定系数法求反比例函数解析式】 【例6】（25-26八年级下·河南南阳·期中）已知是的反比例函数，且当时，． (1)求该反比例函数的表达式； (2)补全表格并描点，画出该反比例函数的图象； (3)当时，利用函数图象直接写出函数的最大值为______． 【答案】(1)； (2)填表、画图见解析； (3)． 【分析】（）利用待定系数法可求得反比例函数的解析式； （）先完成表格，再描点、连线； （）结合图象即可得到的最大值． 【详解】（1）解：∵是的反比例函数， ∴设， ∵当时，， ∴，解得：， ∴该反比例函数的表达式为； （2）解：列表： 描点： 连线： 画图象如下， （3）解：根据函数图象可知函数的最大值为：当时，， 故答案为：． 【变式6-1】（25-26八年级下·山西临汾·期中）反比例函数的图象经过点，，则a的值为（   ） A． B． C．2 D．3 【答案】B 【分析】先求出比例系数，再代入点坐标计算的值． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点， ∴， ∴， ∴反比例函数的解析式为， ∵点在该反比例函数图象上， ∴， ∴． 【变式6-2】（25-26九年级上·湖北荆州·期末）点，，，中，只有一个点不在同一个反比例函数的图象上，这个点是________． 【答案】 【分析】本题考查了求反比例函数的解析式，熟练掌握待定系数法是解题关键．设反比例函数的解析式为，利用待定系数法逐个判断即可得． 【详解】解：设反比例函数的解析式为， 将点代入得：， 将点代入得：， 将点代入得：， 将点代入得：， 由此可知，只有点不在同一个反比例函数的图象上， 故答案为：． 【变式6-3】（2026·河南三门峡·一模）如图，在平面直角坐标系中，的顶点与原点重合，已知点，点．点在反比例函数的图象上． (1)求反比例函数的表达式． (2)将沿轴正半轴平移个单位长度后，点恰好落在反比例函数的图象上，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用平行四边形的性质求得点的坐标为，再利用待定系数法求解即可； （2）先求得点平移后的坐标为，再代入，求解即可． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形，顶点与原点重合，点， ∴， ∵点， ∴点的坐标为， 将代入，得， ∴反比例函数的表达式为； （2）解：当点沿轴正半轴平移个单位长度后，得到的点坐标为， 将代入， 得， 解得． 【题型7 反比例函数中系数k的简单几何意义】 【例7】（25-26九年级上·湖南株洲·期中）如图，在平面直角坐标系中，双曲线与矩形的边交于点，且，求矩形的面积． 【答案】12 【分析】本题主要考查矩形的性质及反比例函数k的几何意义，熟练掌握矩形的性质及反比例函数k的几何意义是解题的关键；过点E作于点F，由题意易得四边形是矩形，然后由反比例函数k的几何意义可知：，进而根据可进行求解． 【详解】解：过点E作于点F，如图所示： ∵四边形是矩形， ∴， ∴四边形是矩形， 由反比例函数k的几何意义可知：， ∵， ∴， ∴． 【变式7-1】（25-26八年级下·四川内江·期中）如图，点，分别在反比例函数和位于第一象限的图象上．分别过点，向轴作垂线，若阴影部分的面积为2，则的值为（   ） A． B．5 C．7 D．4 【答案】C 【分析】阴影部分的面积刚好等于以为斜边的大三角形的面积减去以为斜边的小三角形的面积，即可得． 【详解】解：如图， ∵点分别在反比例函数和位于第一象限的图象上， ∴，， 又阴影部分的面积为2， ∴, 解得：． 【变式7-2】（2026·湖北宜昌·一模）如图，点，分别为反比例函数（）与（）图象上的点，轴，点在轴上，连接、，则的面积为（   ）． A．6.5 B．8.5 C．11 D．13 【答案】A 【分析】连接，，设与轴交于点，将 面积转化为 的面积，然后结合反比例函数系数 的几何意义求解． 【详解】解：如图，连接 ，，设 与 轴交于点 ， 轴， ， 点 ， 分别为反比例函数 ，的图象上的点， ，， ． 【变式7-3】（2024·江西宜春·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点在反比例函数的图象上，将点向右平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度得到点B，点B恰好也落在反比例函数的图象上，轴于点C，交于点D． (1)求反比例函数的解析式； (2)连接，，求的面积． 【答案】(1) (2)9 【分析】本题考查了反比例函数解析式的求解，直角坐标系中坐标的平移，正比例函数解析式的求解，正确求解出点A的坐标是解决本题的关键． （1）先根据坐标平移表示出点B的坐标，再根据点A与点B均在反比例函数上可求解m的值，进而可知点A与点B的坐标，代入函数解析式即可求解． （2）先求出直线的解析式，再求解出点D的坐标，由三角形面积公式求解即可． 【详解】（1）解：将点向右平移3个单位长度， 此时坐标为， 再向下平移4个单位长度得到点B， 由平移可知． ∵点与均在反比例函数的图象上， ∵，解得． 将代入， 得，解得， ∴反比例函数的解析式为． （2）解：设直线的解析式为， 把代入，得， ∴直线的解析式为． 又∵，， ∴点D的纵坐标为4． 令，解得， ∴， ∴． 又∵点C到的距离为， ∴． 【题型8 反比例函数的实际应用】 【例8】（2026·辽宁丹东·一模）物理学家阿基米德有句名言：“给我一个支点，我可以撬动地球！”这句名言道出了“杠杆原理”的意义和价值，“杠杆原理”在实际生产和生活中有着广泛的运用．如图，用启瓶器很容易将瓶盖启开，运用的就是“杠杆原理”，即阻力阻力臂动力动力臂，已知阻力F（单位：N）和阻力臂L（单位：）之间的函数图象如图所示，若动力臂为，则需要使用________N的动力刚好将瓶盖启开． 【答案】18 【分析】设阻力和阻力臂的函数解析式为，得出，再根据阻力阻力臂动力动力臂求解即可． 【详解】解：由题意得，设和阻力臂的函数解析式为， 将代入，得， ∵阻力阻力臂动力动力臂， 动力， ∴动力为18． 【变式8-1】（2026·河北沧州·模拟预测）如图1，取一根长的匀质木杆，用细绳绑在木杆的中点O处并将其吊起来．在中点O的左侧距离O点处挂一个重的物体，在中点O右侧用一个弹簧测力计竖直向下拉，使木杆处于水平状态，弹簧测力计与中点O的距离L（单位：）与弹簧测力计的示数F（单位：N）的关系符合图2的反比例函数关系．下列说法错误的是（    ） A．F随L的增大而减小 B．当时， C．若弹簧测力计的示数F不超过，则L的取值范围是 D．若原物体重量增加，木杆保持水平时，F与L的关系式为 【答案】D 【分析】根据杠杆平衡条件求出F与L的函数解析式，结合反比例函数的性质及实际意义逐一判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴当时，F随L的增大而减小，故A正确，不符合题意； 当时，，故B正确，不符合题意； 当时，， ∵L最大为， ∴若弹簧测力计的示数F不超过，则L的取值范围是，故C正确，不符合题意； 当原物体重量增加，，则，故D错误，符合题意． 【变式8-2】（2026·贵州遵义·二模）研究发现，近视眼镜的度数（度）与镜片焦距（米）成反比例函数关系．验光师测得几组关于近视眼镜的度数与镜片焦距的对应数据如下表： 镜片焦距x（米） 近视眼镜的度数（度） (1)根据表格数据，求与的函数关系式； (2)小红原来佩戴度的近视眼镜，经过视力矫正和健康用眼，视力改善后，镜片焦距变为米，求小红的近视眼镜度数降低了多少度？ 【答案】(1) (2)小红的近视眼镜度数降低了度 【分析】（1）利用待定系数法求得反比例函数解析式； （2）把代入，求得（度），再作差即可求解 【详解】（1）解：设与的函数关系式为 当时，，代入： 与的函数关系式为 （2）解：由（1）得与的函数关系式为 当时，（度） （度） 小红的近视眼镜度数降低了度． 【变式8-3】紫外线杀菌灯的电阻随温度的变化的大致图象如图所示．通电后温度由室温上升到时，电阻与温度成反比的函数关系．且在温度达到时，电阻下降到最小值，随后电阻随温度升高而增加，温度每上升，电阻增加．    (1)当时时，求与之间的关系式． (2)紫外线杀菌灯在使用过程中，温度在什么范围内时，电阻不超过． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设关系为，将代入求； （2）将代入函数关系式求出的值． 【详解】（1）解：设． 过点， ． 当时，与的关系式为：； （2）将代入上式中得：，． 温度在时，电阻． 在温度达到时，电阻下降到最小值；随后电阻随温度升高而增加，温度每上升，电阻增加， 当时， ， 把代入， 得； 把时代入， 得； 答：当时，电阻不超过． 【点睛】此题主要考查了反比例函数的应用．解题的关键是根据实际意义列出函数关系式，从实际意义中找到对应的变量的值，利用待定系数法求出函数解析式，再根据自变量的值求算对应的函数值． 【进阶拔高】 【题型9 反比例函数与一次函数的交点问题】 【例9】如图，直线与反比例函数的图象在第一象限交于点，与x轴交于点C，与y轴交于点D，过A作轴于点B，连接． (1)求反比例函数的解析式； (2)求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）把点A代入一次函数解析式，求出m的值，然后将点A的坐标代入反比例函数解析式，求出k的值，即可得出答案； （2）根据两点间距离公式求出，，然后进行判断即可． 【详解】（1）解：把代入得： ， 解得：， ∴点A的坐标为， 把代入得：，解得：， ∴反比例函数的解析式为； （2）解：∵， ∴点坐标为， 把代入得：， ∴D点坐标为， ∵， ， ∴． 【变式9-1】（2026·重庆大足·一模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点、，且与y轴交于点C．连接，，则的面积为（　　） A．4 B．9 C．16 D．8 【答案】D 【分析】把代入反比例函数解析式，求出m，进而求出n，再将点A、B的坐标代入求出直线的解析式求面积即可． 【详解】解：∵反比例函数的图象过点，， ∴， ∴， ∴， 把的坐标代入得， ， 解得， ∴直线的解析式为； 当时，， ∴， ∴， ∴． 【变式9-2】（2026·安徽合肥·二模）如图，直线与双曲线交于点，将直线向上平移2单位长度交轴于点，交双曲线于点．若，则k的值是______． 【答案】8 【分析】求出平移后的解析式，进而确定点的坐标，作轴于点，易得为等腰直角三角形，进而推出点坐标，即可得出k的值. 【详解】解：∵直线向上平移2单位长度交轴于点，且直线为一、三象限的角平分线， ∴平移后的直线的解析式为，当时，，，， ∴， 作轴于点， ∵，， ∴ ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴. 【变式9-3】（2026·河南信阳·一模）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数与一次函数交于、两点，一次函数分别交x轴、y轴于C、D两点，轴于点E． (1)求反比例函数及一次函数解析式； (2)请用尺规过点A向x轴作垂线，垂足为F（保留作图痕迹，不写作法）． (3)在（2）的基础上，连接，求证：． 【答案】(1)， (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）根据待定系数法即可求解； （2）根据垂线的性质画图即可； （3）根据平行四边形的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵在反比例函数图象上， ∴， ∴． ∴反比例函数解析式为 ∵在图象上， ∴． ∵经过和两点． ∴， 解得 ∴一次函数的解析式为， （2）解：如图所示： （3）解：∵轴，轴， ∴， 设的直线解析式为：， 则得， 解得： ∴直线的解析式， 又直线的解析式为， ∴， ∵,的纵坐标相等， ， ∴四边形为平行四边形， ∴ ∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴ ∴ ∴． 【题型10 利用反比例函数的图象解不等式】 【例10】（25-26八年级下·海南海口·期中）如图，一次函数的图象与反比例函数图象相交于点与点，在第二象限内，观察函数图像，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】根据函数图象找到一次函数图象在反比例函数图象上方时自变量的取值范围即可得到答案． 【详解】解：由函数图象可知，不等式的解集是． 【变式10-1】（25-26九年级上·宁夏银川·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于点．则满足不等式的的取值范围是______． 【答案】或 【分析】本题考查一次函数图象与反比例函数图象的交点问题，直接利用图象法求出不等式的解集即可． 【详解】解：由图象可知，不等式的的取值范围是或； 故答案为：或 【变式10-2】（24-25九年级上·山东威海·期中）如图，平行于轴的直尺（一部分）与反比例函数的图象交于点，，与轴交于点，，连接，点，的刻度分别为，，直尺的宽度为，，设直线的解析式为． (1)不等式的解集为 ； (2)不等式的解集为 ； (3)平行于轴的直线与交于点，与反比例函数图象交于点，当这条直线左右平移时，线段的长为，求的值． 【答案】(1)； (2)或； (3)或． 【分析】（）根据题意得出点，然后由图象即可求解； （）由图可知点的横坐标为，然后再根据图象即可求解； （）先求出反比例函数解析式为，直线的解析式为，当时，点的纵坐标为，点的纵坐标为，则，然后解方程即可； 本题考查了反比例函数与一次函数的关系，待定系数法求解析式，解一元二次方程，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）解：∵点，的刻度分别为，，， ∴点， 根据图象可知，不等式的解集为， 故答案为：； （2）解：由（）得，点，由图可知点的横坐标为， ∴不等式的解集为或； （3）解：由（）得，点， ∵反比例函数的图象交于点， ∴， ∴反比例函数解析式为， 由图可知点的横坐标为，且在反比例函数解析式为， ∴纵坐标为 ∴点， ∵直线的解析式为过点， ∴，解得：， ∴直线的解析式为， 当时，点的纵坐标为，点的纵坐标为， ∴， 解得：或， 经检验或是原方程的解， ∴的值为或． 【变式10-3】（24-25九年级下·宁夏吴忠·期中）如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于A、B两点，且点．求： (1)反比例函数与一次函数表达式； (2)的面积； (3)直接写出不等式的解集． 【答案】(1)反比例函数表达式为，一次函数表达式为 (2) (3)或 【分析】（1）把点A坐标分别代入一次函数与反比例函数表达式中，可求得k与的值，从而求得两个函数的表达式； （2）设直线交y轴于点C，则可求得，再联立一次函数与反比例函数解析式，可求得点B的横坐标，由即可求解； （3）观察图像即可求解． 【详解】（1）解：∵一次函数的图像与反比例函数的图像交于， ∴把点A的坐标分别代入与中，得，， ∴， ∴反比例函数表达式为，一次函数表达式为； （2）解：设直线交y轴于点C， 令，则， ∴，且； 联立，整理得：， 解得：， 即点B的横坐标为； ∴ ． （3）解：当反比例函数图像位于直线的上方时，有， 观察图像知：或． 【点睛】本题是一次函数与反比例函数的综合，考查了两函数图像的交点，待定系数法求函数解析式，图像法求不等式的解集，解一元二次方程等知识，求出两函数解析式是解题的关键． 【题型11 反比例函数中系数k的几何意义（不规则图形面积）】 【例11】（2026·山东青岛·一模）如图，点A是双曲线上一点，过点A分别作轴，轴，垂足分别为B，C两点，与双曲线分别交于D，E两点，若四边形的面积为5，则________． 【答案】 【分析】由反比例函数的几何意义得，，，再根据即可求出k的值． 【详解】解：∵D，E在反比例函数的图像上且图像在第二象限， ∴，， ∵点A是双曲线上一点，且图像在第二象限， ∴， ∵， ∴，解得：． 【变式11-1】（2026·海南省直辖县级单位·一模）如图，反比例函数（k为常数，）的图象与直线交于点M，，其两边分别与两坐标轴的正半轴交于点A，B．四边形的面积为5．则k的值为（   ） A．5 B．4 C．2.5 D．2 【答案】A 【分析】过点作轴、轴的垂线，构造正方形，利用全等三角形证明四边形的面积等于正方形面积，进而求出． 【详解】解：如图，过点作轴于，轴于 ， 点在直线上 ， 设 ，则 ，四边形为正方形 ， ， ， ， ， ， 在 和 中， ， ， ， ， ， ， ， ∵反比例函数的图象在第一三象限，， ． 【变式11-2】如图，正方形的顶点在位于第二象限的分支上，点B、C分别在轴、轴负半轴上，点在直线位于第一象限的图象上，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点作轴于点，过点作轴于点，于点，交轴于点，令、与坐标轴的交点分别为、，先证明四边形是正方形，进而证明，得到，从而推出，求出，同理可证，，得到，，确定点的坐标，即可求出的值． 【详解】解：如图，过点作轴于点，过点作轴于点，于点，交轴于点，令、与坐标轴的交点分别为、， ， 四边形是矩形， 点在第一象限直线的图象上， ， 四边形是正方形， ，， 四边形是正方形， ， ，即， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 同理可证，， ，， ， ， 点的坐标为， ． 【变式11-3】如图，点，为反比例函数在第一象限上的两点，轴于点，轴于点，若点的横坐标是点横坐标的一半，且图中阴影部分的面积为，则的值为_____________． 【答案】 【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征，设B（），则AC＝2CE＝2t，于是可表示出A（），由点B和点A的纵坐标可知BD＝2OC，然后根据三角形面积公式得到关于k的方程，解此方程即可． 【详解】解：设B（），OB与AC交于点M，BD与OA交于点N， ∵AC⊥y轴于点C，BD⊥x轴于点D，B点的横坐标是A点横坐标的一半， ∴AC＝2CE＝2a， ∴A（）， ∴BD＝2OC＝2DE， ∴OC=BE，∠MCO=∠MEB=90°，∠CMO=∠BME， ∴△OCM≌△BEM， ∴CM＝EM，同理EN＝DN， ∴阴影部分的面积＝， ， 解得，； 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数系数k的几何意义：在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．通过设坐标表示阴影部分的面积，列出方程是解题的关键． 【题型12 反比例函数与一次函数的图象分析】 【例12】（25-26八年级下·吉林长春·期中）已知一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据一次函数图象经过的象限即可得出、的正负，由此即可得出反比例函数图象经过的象限，再与函数图象进行对比即可得出结论． 【详解】解：A选项：一次函数的图象过第一、二、三象限， ，，矛盾，故本选项不符合题意； B选项：一次函数的图象过第一、三、四象限， ，， 反比例函数的图象应过第一、三象限，故本选项符合题意； C选项：一次函数的图象过第一、三、四象限， ，， 反比例函数的图象应过第一、三象限，故本选项不符合题意； D选项：一次函数的图象过第二、三、四象限， ，，矛盾，故本选项不符合题意； 故选：B． 【变式12-1】（25-26九年级上·山东淄博·期末）一次函数与反比例函数在同一坐标系内的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查反比例函数的图象与性质、一次函数的图象与性质，根据一次函数和反比例函数的性质可得结论． 【详解】解：一次函数的图象经过第一、二、三象限，故选项B和C错误，不符合题意； 反比例函数位于第一、三象限，故选项A正确，符合题意；选项D错误，不符合题意， 故选：A． 【变式12-2】（2024·安徽·模拟预测）若，则一次函数和反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，根据及一次函数与反比例函数图象的特点，可以从和两方面分类讨论得出答案． 【详解】解：当时，，此时一次函数的图象经过第二、三、四象限，反比例函数图象分布在第二、四象限，与选项C中图象一致． 当时，，此时一次函数的图象经过第一、三、四象限，反比例函数图象分布在第一、三象限，与题目选项中的图象均不一致． 故选：C． 【变式12-3】（25-26九年级上·山东济南·期末）一次函数与反比例函数，其中，，均为常数，它们在同一坐标系中的图象可以是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一次函数的图像和性质、反比例函数的图像和性质，首先假设一次函数的图像是正确的，根据一次函数图像确定、的取值范围，根据、的取值范围判断反比例函数图像是否正确． 【详解】解：A选项：一次函数的图像是随的增大而减小， ， 一次函数的图像与轴的交点在轴的正半轴， ， ， 反比例函数在第二、四象限， 故A选项错误； B选项：一次函数的图像是随的增大而减小， ， 一次函数的图像与轴的交点在轴的正半轴， ， ， 反比例函数在第二、四象限， 故B选项正确； C选项：一次函数的图像是随的增大而增大， ， 一次函数的图像与轴的交点在轴的负半轴， ， ， 反比例函数在第一、三象限， 故C选项错误； D选项：一次函数的图像是随的增大而增大， ， 一次函数的图像与轴的交点在轴的正半轴， ， 又， 一次函数的图像不成立， 故D选项错误． 故选：B． 【题型13 反比例函数围成的图形面积】 【例13】（2026·贵州六盘水·一模）如图，正方形的中心在平面直角坐标系的原点，正方形的边与坐标轴平行，点是正方形与反比例函数图象的一个交点．已知图中阴影部分的面积等于32，则k的值为（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】D 【分析】首先求出，然后由对称性得到，求出，然后将代入求解即可． 【详解】解：如图， ∵四边形是正方形，且正方形的中心在平面直角坐标系的原点，正方形的边与坐标轴平行，， ∴ ∵正方形和反比例函数图象都关于原点对称 ∴图中阴影部分的面积等于正方形的面积 ∴ ∴ 将代入得， ∴． 【变式13-1】（25-26九年级上·宁夏银川·期末）如图，点是反比例函数的图象与⊙O的一个交点，图中阴影部分的面积为，则反比例函数的解析式为______． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数图象的对称性的知识点，根据圆的对称性以及反比例函数的对称性可得，阴影部分的面积等于圆的面积的，即可求得圆的半径，再根据A在反比例函数的图象上，以及在圆上，即可求得k的值． 【详解】解：连接， 设圆的半径是r， 根据圆的对称性以及反比例函数的对称性可得：阴影部分的面积等于圆的面积的， ∴， 解得：， ∵点是反比例函数的图象与⊙O的一个交点，， ∴且， ∴， ∴， 则反比例函数的解析式是：． 故答案为． 【变式13-2】（2025·安徽马鞍山·三模）如图，第一象限内点A，B分别在反比例函数和的图象上，分别过A，B两点向x轴，y轴作垂线，围成的阴影部分的面积为（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数比例系数的几何意义；点A、B分别在反比例函数和图象上，利用反比例函数比例系数的几何意义，表示出，，由阴影部分的面积，由此解出k即可． 【详解】解：如图所示： 点A、B分别在反比例函数和图象上，且轴，轴， 四边形和为矩形， 根据反比例函数比例系数的几何意义，得： ，， 则阴影部分的面积为， 故选：B． 【变式13-3】如图，在平面直角坐标系中，A（﹣6，0），曲线上每一点到x轴与y轴的距离的乘积都相等，过曲线上横坐标分别为﹣6，﹣4，﹣2的三点B，C，D分别向x轴、y轴作垂线，已知图中的阴影部分是由这些垂线围成的，且其面积是6，则由O，A，C三点围成的三角形的面积为_____． 【答案】27 【分析】根据题意求得S矩形CFGH=12，S矩形ABOG=3×12=36，即可求得CE=9，然后根据三角形面积公式求得即可. 【详解】解：由反比例函数系数k的几何意义可知：S矩形ABGO＝S矩形CEOH， ∵图中的阴影部分是由这些垂线围成的，且其面积是6， ∴S矩形CFGH＝12， ∴S矩形ABGO＝3×12＝36， ∴HG＝3，OG＝6， ∴CE＝OH＝9， ∴S△OAC＝×6×9＝27． 故答案为27． 【点睛】本题考查反比例函数系数K的几何意义，学生们熟练掌握该意义即可求解. 【题型14 与反比例函数有关的实际应用中的最值问题】 【例14】如图1，利用秤杆研究杠杆原理．用细绳绑在秤杆上的点处并将其吊起来，在点右侧的秤钩上挂一个物体，在点左侧的秤杆上有一个动点（最大距离为），在点处用一个弹簧秤向下拉．当秤杆处于水平状态时，分别测得弹簧秤的示数（单位：）与的长度（单位：）的五组对应值，已在平面直角坐标系中描点如图2． (1)请在图2中画出与的函数图象，并判断它是什么函数． (2)求关于的函数表达式． (3)移动弹簧秤的位置，若秤杆仍处于水平状态，求弹簧秤的示数的最小值． 【答案】(1)图见解析，反比例函数 (2) (3) 【分析】本题考查反比例函数的实际应用，正确的求出函数解析式是解题的关键： （1）描线，画出函数图象即可； （2）待定系数法求出函数解析式即可； （3）根据反比例函数的增减性，进行求解即可． 【详解】（1）解：如图： 它是反比例函数． （2）设这个反比例函数的表达式为 由图像可知，图像过， ∴， ∴． （3）时，中随的增大而减小， 当的值最大时，最小． 即当时， 【变式14-1】某种气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的压强p（单位：）是气球的体积V（单位：）的反比例函数．现测得几组实验数据记录如下： 体积V（单位：） … … 压强p（单位：） … … (1)求p关于V的函数解析式； (2)当气球内气体的压强大于时，气球将爆炸，为了安全起见，求气球的体积V的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用待定系数法即可求出函数解析式；（2）列出不等式求解即可． 【详解】（1）设p关于V的函数解析式为，由题意可知， ∴ ∴p关于V的函数解析式为． （2）当时 即 解得，经检验是原方程的根， ∵ ∴函数在第一象限内气压p随V的增大而减小， ∵根据题意 ∴为了安全起见， ∴气球的体积V的最小值为． 【点睛】本题考查了反比例函数的实际应用、待定系数法求反比例函数、解分式方程等知识点，熟练掌握上述知识点是解答本题的关键． 【变式14-2】（25-26九年级上·广东佛山·期末）某新能源车企在测试一款新型电池时发现：充满电的车辆在标准测试场以不同速度匀速行驶时，车辆可行驶的时间会发生变化．大量测试后得到下表（不完整）： … 40 50 60 … … 15 12 10 … (1)变量、之间的关系恰好满足某一函数模型．请先判断函数类型（说明理由）再求其表达式． (2)一辆充满电的车辆，先以的速度在测试场行驶了2小时，再以速度行驶，若要剩余电量能支持以该速度行驶的时间不少于4小时，则的最大值是多少？ 【答案】(1)变量与满足反比例函数关系， (2) 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用以及反比例函数的应用，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，找出与之间的函数关系式；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． （1）由的值为定值，可得出变量、之间的关系满足反比例函数，结合，可求出关于的函数表达式； （2）根据满电续航为及可行驶的时间不少于4小时，可列出关于的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出结论． 【详解】（1）解：， 变量、之间的关系满足反比例函数， ， 函数表达式为； （2）解：该车充满电可行驶的总路程为， 根据题意得：， 解得：， 的最大值为120． 答：的最大值是120． 【变式14-3】实验数据显示：一般成人喝半斤低度白酒后，1.5小时内（包括1.5小时）其血液中酒精含量y（毫克/百毫升）与时间x（时）的关系可近似地用二次函数y＝﹣200x2+400x表示；1.5小时后（包括1.5小时）y与x可近似地用反比例函数y＝（k＞0）表示（如图所示）． （1）喝酒后多长时间血液中的酒精含量达到最大值？最大值为多少？ （2）求k的值． （3）按国家规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于20毫克/百毫升时属于“酒后驾驶”，不能驾车上路．参照上述数学模型，假设某驾驶员晚上20：00在家喝完半斤低度白酒，第二天早上7：00能否驾车去上班？请说明理由． 【答案】（1）x＝1时血液中的酒精含量达到最大值，最大值为200毫克/百毫升；（2）k=225；（3）不能驾车上班. 【详解】试题分析：（1）①利用y=-200x2+400x=-200（x-1）2+200确定最大值； ②直接利用待定系数法求反比例函数解析式即可； （2）求出x=11时，y的值，进而得出能否驾车去上班． 试题解析：（1）①y=-200x2+400x=-200（x-1）2+200， ∴x=1时血液中的酒精含量达到最大值，最大值为200（毫克/百毫升）； ②∵当x=5时，y=45，y=（k＞0）， ∴k=xy=45×5=225； （2）不能驾车上班； 理由：∵晚上20：00到第二天早上7：00，一共有11小时， ∴将x=11代入y=，则y=＞20， ∴第二天早上7：00不能驾车去上班． 考点：1.二次函数的应用；2.反比例函数的应用． 【创新思辨】 【题型15 与反比例函数有关的动点与存在性问题】 【例15】如图，已知：矩形的顶点B在反比例函数的图象上，且． (1)求反比例函数的关系式； (2)若动点E从A开始沿向B以每秒1个单位长度的速度运动，同时动点F从B开始沿向C以每秒2个单位长度的速度运动，当其中一个动点到达端点时，另一个动点随之停止运动，设运动时间为t秒， ①当t为何值时，是等腰直角三角形？ ②当时，在双曲线上是否存在一点M，使得四边形为平行四边形？说明理由； (3)若在（2）中的条件下，运动1秒时，在y轴上是否存在点D，使的周长最小？若存在，请求出的周长最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①；②存在， (3)存在， 【分析】（1）根据与的长，且B为第一象限角，确定出B的坐标，代入反比例函数解析式求出k的值，即可确定出反比例解析式； （2）①如图1所示，若为等腰直角三角形，则有，列出关于t的方程，求出方程的解即可得到结果；②根据 题意得到M位于线段上方时，四边形为平行四边形，利用平行四边形的性质得到，确定出此时M的坐标 即可； （3）若在（2）中的条件下，运动1秒时，在y轴上存在点D，使的周长最小，理由为：作出E关于y轴的对称点， 连接，与y轴交于点D，连接，此时周长最小，求出周长最小值即可． 【详解】（1）解：∵，且B在第一象限， ∴， 把B坐标代入，得：， 则反比例函数关系式为； （2）解：①由题意得：，， ， 当且仅当时，为等腰直角三角形， 即， 解得：， 则当时，是等腰直角三角形； ② ， ， 由题意得：M在线段上方时，四边形为平行四边形，如图1所示， ∴，此时M坐标为； （3）解：存在点D，使周长最小，理由为： 如图，作出E关于y轴的对称点，连接，与y轴交于点D，连接， 此时周长最小，即， ∵， ∴， 在中，根据勾股定理得：， ∴， 在中，， 根据勾股定理得： ， 的周长最小值为． 【点睛】此题属于反比例函数综合题，涉及的知识有：待定系数法确定反比例函数解析式，坐标与图形性质，等腰直角三角形的性质，平行四边形的性质，对称的性质，勾股定理，熟练掌握性质及定理是解本题的关键． 【变式15-1】已知，矩形在平面直角坐标系中的位置如图所示，点C在x轴的正半轴上，点A在y轴的正半轴上，已知点B的坐标为，反比例函数的图象经过的中点D，且与交于点E，顺次连接O，D，E． (1)求线段的长； (2)在线段上存在一点M，当的面积等于时，求点M的坐标； (3)平面直角坐标系中是否存在一点N，使得O、D、E、N四点构成平行四边形？若存在，请直接写出N的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，N的坐标为或或 【分析】此题属于反比例函数综合题，涉及的知识有：坐标与图形性质，平行四边形的性质，中点坐标公式，矩形的性质，熟练掌握各自的性质是解本题的关键． （1）根据B的坐标，利用中点坐标公式求出D的坐标，确定出反比例函数解析式，进而求出E的坐标，即可求出的长； （2）根据D坐标确定出直线与直线解析式，过点M作轴交于点N，设，，由，把已知面积代入求出t的值，即可确定出M坐标； （3）由题意得：，，，设，分三种情况考虑：当四边形为平行四边形时；当四边形为平行四边形时；当四边形为平行四边形时即可． 【详解】（1）解：∵点B的坐标为，D为中点， ∴， ∵反比例函数的图象经过的中点D， ∴， ∴反比例函数解析式为， 把代入得：，即， 则； （2）解：由，得到直线解析式为， 由，得到直线解析式为， 过点M作轴交于点N， 设，则， ∵ ， ∴，解得：， 则点M坐标为； （3）解：存在； 由题意得：，，，设， 分三种情况考虑：当四边形为平行四边形时，可得，， 解得：，，即； 当四边形为平行四边形时，可得，， 解得：，，即； 当四边形为平行四边形时，可得，， 解得：，，即， 综上，N的坐标为或或． 【变式15-2】（25-26八年级下·山东济南·期中）如图，直线与双曲线交于两点，点的坐标为，点是双曲线第一象限分支上的一点，连接并延长交轴于点，且． (1)求的值并求出点的坐标； (2)点是轴上的动点，连接，，求周长的最小值； (3)是轴上的点，是否存在点，使得以为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请求出所有符合条件的点的坐标：若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)存在，或或或 【分析】（1）根据待定系数法即可求，根据对称性即可求点坐标； （2）根据线段比例关系，可得，作关于轴的对称点，利用将军饮马模型即可求出最短距离； （3）设，即可表达出三边的边长，由为直角三角形即可分类讨论，然后利用勾股定理列式求解． 【详解】（1）解：点在直线上， ， 解得，即, 点在双曲线上， , 直线与双曲线的交点关于原点对称， 点B是点A关于原点的对称点， ； （2）解：设，过点作轴，过点作轴， 则， 作关于轴的对称点，连接交轴于点G，连接 ，即， ， 的纵坐标为， ， 解得，即， ， ， 两点之间线段最短， 最小，即最小． 此时的周长最小， 周长的最小值； （3）解：设， ，， ， ， ， 分三种情况： 当时，，即， ， 此时， 当时，，即， ，， 此时或 当时，，即 ， 此时， 综上所述，或或或． 【变式15-3】（2026·广东梅州·一模）如图，在平面直角坐标系中，的边在x轴上，点B的坐标为，点C的坐标为，反比例函数的图象经过点A，与交于点E． (1)求该反比例函数的表达式； (2)点G是y轴上的动点，连接，求最小值时点G坐标； (3)连接，在反比例函数图象上是否存在点P（点P与点E不重合），使得？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，点P坐标为 【分析】（1）利用菱形的性质结合勾股定理求得点，再利用待定系数法求解即可； （2）作点A关于y轴的对称点，连接交y轴于G，此时的值最小，最小为，求出直线解析式为，与反比例函数解析式联立求出．作点A关于y轴的对称点，连接交y轴于G，此时的值最小，最小为，再利用勾股定理求解即可； （3）过点E作轴于点F，过点A作轴于点D，过点P作轴于点G，设，求得，由求得，据此列式计算求解即可． 【详解】（1）解：∵的边在x轴上，点B坐标为， 如图1，过点B作轴于点H，过点A作轴于点D， ∴，， ∵点C坐标为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是菱形， ∴， ∵轴，轴， ∴， ∴， ∴点． ∵反比例函数的图象经过点， ∴， ∴反比例函数的表达式为； （2）解：如图2，作点A关于y轴的对称点，连接交y轴于G，此时的值最小，最小为， 设直线解析式为， ∵点B坐标为， ∴， ∴， ∴直线解析式为， ∵反比例函数的图象与交于点E， ∴， ∴或（舍去）， ∴， ∵， ∴， 连接，交y轴于点G，此时最小． 设直线的解析式为． 将，代入： 解得， ∴直线的解析式为． 令，得． ∴点G坐标为； （3）解：反比例函数图象上存在点P（点P与点E不重合），使得，理由如下： 如图3，过点E作轴于点F，过点A作轴于点D，过点P作轴于点G， ∴，，，， ∴， 设， ∴ ， ∵ ， ∴， 整理得：， ∴或（舍去）， ∴点P的坐标为． 【题型16 反比例函数与图形变换的综合】 【例16】（2025·山东济南·一模）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象分别交于点和点，且与x轴交于点． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)如图1，将直线向上平移个单位，平移后的直线与的图象在第一象限交于点，若，求平移距离； (3)如图2，是第二象限内一点，，连接，将绕点顺时针旋转，点的对应点恰好落在该反比例函数图象上，求点的坐标． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）先将点代入一次函数，求得一次函数解析式，再求出点，即可求出把比例函数解析式； （2）法1：作轴交直线于点，根据，即可求． 法2：设直线平移前后与轴分别交于两点，连接，根据与同底等高，，即可求； （3）连接，设点的对应点为点，过点作轴于，过点作轴于，由旋转的性质可证明，得，设，则，得点的坐标为，列方程，解方程进而可求点的坐标． 【详解】（1）解：点在一次函数上， ， 一次函数的表达式为； 点在直线上， ， ． ， 把代入得， 解得：， 反比例函数的表达式为； （2）解：法1：作轴交直线于点， ， ， ， ， ． 法2：设直线平移前后与轴分别交于两点， 连接， 与同底等高， ， ， ， ， ； （3）解：连接，设点的对应点为点，过点作轴于，过点作轴于， 由旋转的性质可知：， ， 轴，轴， ， ， ， ， ， 点， 为等腰直角三角形． 设，则， ， 点的坐标为， 点在反比例函数的图象上， ， 解得：（不合题意，舍去）， 当时，， 点的坐标为． 【点睛】本题主要涉及一次函数与反比例函数的性质及应用，还包括图形的旋转等知识，解题的关键在于利用函数图像上点的坐标满足函数解析式这一性质，求出函数中的未知参数，进而确定函数解析式；对于三角形面积问题，通过合理设点坐标利用面积公式求解；对于图形旋转问题，根据旋转的性质得到对应点坐标的关系，再结合反比例函数解析式求解． 【变式16-1】（2024·江苏连云港·中考真题）如图1，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点A、B，与轴交于点C，点A的横坐标为2． (1)求的值； (2)利用图像直接写出时的取值范围； (3)如图2，将直线沿轴向下平移4个单位，与函数的图像交于点D，与轴交于点E，再将函数的图像沿平移，使点A、D分别平移到点C、F处，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1) (2)或 (3)8 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的综合应用： （1）先求出点坐标，再将点代入一次函数的解析式中求出的值即可； （2）图像法求不等式的解集即可； （3）根据平移的性质，得到阴影部分的面积即为的面积，进行求解即可． 【详解】（1）点在的图像上， 当时，． ∴， 将点代入，得． （2）由（1）知：， 联立，解得：或， ∴； 由图像可得：时的取值范围为：或． （3）∵， ∴当时，， ∴， ∵将直线沿轴向下平移4个单位， ∴，直线的解析式为：，设直线与轴交于点H ∴当时，，当时，， ∴，， ∴， ∴， 如图，过点作，垂足为， ∴． 又，， ． 连接， ∵平移， ∴，， ∴四边形为平行四边形， ∴阴影部分面积等于的面积，即． 【变式16-2】如图，点B是反比例函数图象上一点，过点B分别向坐标轴作垂线，垂足为A，C．反比例函数的图象经过的中点M，与，分别相交于点D，E．连接并延长交x轴于点F，点G与点O关于点C对称，连接，． (1)填空： ； (2)求的面积； (3)求证：四边形为平行四边形． 【答案】(1)2 (2)3 (3)见详解 【分析】本题考查的是反比例函数综合运用，涉及到一次函数的性质、平行四边形的判定、面积的计算等，综合性强，难度适中． （1）设点，则点，则； （2）的面积的面积，即可求解； （3）确定直线的表达式为：，令，则，故点，即可求解． 【详解】（1）解：设点，则点， 则， 故答案为： 2 ； （2）解：连接， 则 的面积 的面积； （3）解：设点，则点， ∵点与点关于点对称，故点， 则点， 设直线的表达式为：， 将点的坐标代入上式得， 解得， 直线的表达式为：， 令，则， 故点， 故，而， 又 ∵， 故四边形为平行四边形． 【变式16-3】（24-25八年级下·江苏盐城·期中）几何图形是数学研究的主要对象之一，图形的形状、大小和位置是几何中研究的主要内容，平面几何中，平移、翻折、旋转是常见的图形变换．鹿鸣学堂数学兴趣小组的同学们在学习了反比例函数的相关内容后，进一步探究反比例函数的图像的平移、旋转、翻折的相关问题，过程如下： (1)如图1，将反比例函数的图像向左平移3个单位，求平移后的图像与y轴的交点坐标； (2)如图2，将反比例函数（）的图像绕点O顺时针旋转60°，点P为旋转后图像上的一点，过点P作直线的垂线，垂足是H，若，求的值； (3)如图3所示，反比例函数（）的图像沿直线翻折得到新图像．若直线与两条曲线交于E、F，直线与两条曲线交于G、H，同学们发现E、F、G、H四个点组成的四边形是矩形，当这个矩形的面积是4时，直接写出b的值． 【答案】(1) (2)2或3 (3)7或3 【分析】（1）根据函数图像变换规律“左加右减，上加下减”得到平移后的函数解析式，进而求解即可； （2）设点为点P旋转前的图像上的对应点，过点作轴于，则，设点坐标为，则①，②,解得，或，，则或；证明直线与x轴的夹角为；证明得到即可求解； （3）联立方程组求得，，进而求得，根据矩形性质求得，分当点H在点G右上方时和当点H在点G左下方时两种情况求得点H坐标，进而利用矩形的性质求得对角线的交点坐标，进而可求解． 【详解】（1）解：∵将反比例函数的图像向左平移3个单位， ∴平移后的函数解析式为， ∵当时，， ∴平移后的图像与y轴的交点坐标； （2）解：设点为点P旋转前的图像上的对应点，过点作轴于，如图， 则，设点坐标为， 则①，②, 解得，或，， 则或； 如图，在直线取一点，过T作轴于S， 则，，， ∴，满足直角三角形中，30度角所对的直角边等于斜边的一半， ∴，即直线与x轴的夹角为； ∴， ∴， 又，， ∴， ∴， 即的值为2或3； （3）解：解方程组，得或（舍去）， ∴； 解方程组，得或（舍去）， ∴， ∴， ∵E、F、G、H四个点组成的四边形是矩形，且面积是4， ∴， ∴， ∵直线与两条曲线交于G、H， ∴当点H在点G右上方时，形成矩形为， ∴，此矩形对角线的交点为的中点，坐标为， 根据轴对称性质，将代入得， 解得； ∴当点H在点G左下方时，形成矩形为， ∴，此矩形对角线的交点为的中点，坐标为， 根据轴对称性质，将代入得， 解得； 综上，满足条件的b值为7或3． 【点睛】本题考查平移的性质、旋转的性质、轴对称的性质以及图形变换的应用、全等三角形的判定与性质、含30度角的直角三角形的性质、矩形性质等知识，熟练掌握图形变换的性质是解答的关键． 【题型17 反比例函数中的定值问题】 【例17】（2025·江西·模拟预测）如图1，点是反比例函数 图象上任意一点，过点作轴的垂线，垂足为，已知的面积为． (1)求的值． (2)若过点的直线 与轴交于点，如图2． ①求证：． ②与的平方差是不是定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)①证明见解析；②是定值， 【分析】本题考查了反比例函数系数的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，熟知反比例函数图象上的点一定满足反比例函数解析式是解题的关键． （1）设 ，得到即可得到； （2）①根据题意得到，求出，得到，即可得到结论； ②是定值，由题得，继而得到，即，由（1）知，得到． 【详解】（1）解：设 ． 轴， ． ， ， ． ， ． （2）①证明：设 ． 点在直线上， ． ． 当时，， ． ． ． ． ②解：是定值． 设 ． 轴， ∴在中，， ，， ， ． ∴． 由（1）知， ． 【变式17-1】如图，是矩形，反比例函数的图像经过点D，反比例函数的图像经过点C．点A在x轴的负半轴上运动，点B在x轴的正半轴上运动．若矩形的面积为定值，则下列是定值的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数k的几何意义，正确理解矩形的面积的定值与反比例函数比例系数k的关系是解题的关键 【详解】设矩形的面积为定值m，与y轴的交点为E， 反比例函数的图像经过点D，反比例函数的图像经过点C， 得， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选B． 【变式17-2】直线与函数（）的图象只有一个公共点A，且直线与x轴、y轴分别交于B、C两点，过点A分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为D、E，则下列说法正确的有________（将正确的序号填在横线上）． ①； ②点恒在抛物线上； ③是定值； ④矩形面积为定值； ⑤和的面积之和为定值．      【答案】①②④⑤ 【分析】先求出B的坐标为，C的坐标为，再令求得A的坐标为，由此可得A为的中点，即，由直角三角形斜边中线等于斜边一半得：，故①正确；由得，从而得出点恒在抛物线上，故②正确；由得的值与b相关，不是定值，故③错误；由反比例函数k的几何意义得：矩形面积为2，恒为定值，故④正确；由于和的面积之和的面积矩形面积，恒为定值，故⑤正确． 【详解】解：令直线，得，即B的坐标为， 令，，即C的坐标为， 令，得①， ∵与（）的图象只有一个公共点A， ∴， ∴方程①的解， ∴A的坐标为， ∴A为的中点，即， 由直角三角形斜边中线等于斜边一半得：，故①正确； ∵， ∴点恒在抛物线上，故②正确； ∵， ∴的值与b相关，不是定值，故③错误； 由反比例函数k的几何意义得：矩形面积为2，恒为定值，故④正确； ∵的面积， ∴和的面积之和的面积矩形面积，恒为定值，故⑤正确． 故答案为：①②④⑤． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的几何意义，直角三角形斜边中线等于斜边一半，解一元二次方程，令求得的坐标为是解决此题的关键． 【变式17-3】如图，动点M在函数的图象上，过点M分别作x轴和y轴的平行线交反比例函数的图象于点B、C，作直线，设直线的函数表达式为．    (1)若点M的坐标为，①求直线的函数解析式；②点D在x轴上，点E在y轴上，且以点B、C、D、E为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点D、E的坐标； (2)连接，试探究点M在运动过程中，的面积是否是定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1)（1）①；②，或，； (2)的面积是定值，定值为． 【分析】（1）①根据点的坐标即可求出，． 再利用待定系数法即可求出直线的函数表达式；②设，，分情况讨论：当四边形为平行四边形时，利用平行四边形的性质即可求出，，进一步可求出，；当四边形为平行四边形时，同理利用平行四边形的性质即可求出，，进一步可求出，； （2）延长与轴交于点，设，则表示出，，，，，，利用即可求出的面积是定值，定值为． 【详解】（1）解：①∵点的坐标为，轴，轴， ∴，， 把代入中，得， ∴， 把代入中，得， ∴． 把、的坐标都代入中，得 ， 解得， ∴直线的函数表达式为：； ②设，， 当四边形为平行四边形时， ∵，，，， ∴，， ∴，， ∴，， 当四边形为平行四边形时， ∵，，，， ∴，， ∴，， ∴，． 综上，，或，； （2）解：的面积是定值． 延长与轴交于点，    设，则，，， ∴，，，，， ∴ ． ∴的面积是定值，定值为． 【点睛】本题考查点的坐标，一次函数和反比例函数的综合，平行四边形的性质，解题的关键是掌握待定系数法求解析式，平行四边形的性质． 【题型18 反比例函数的最值问题】 【例18】【阅读理解】对于任意正实数a、b，∵（，∴， ∴，（只有当a=b时，等于） 【获得结论】在（a、b均为正实数）中，若ab为定值p，则，只有当a=b时，有最小值． 【直接应用】根据上述内容，回答下列问题：若m＞0，只有当m= 时，有最小值 ； 【变形应用】如图，在平面直角坐标系中，平行于y轴的直线x=m分别与（x＞0），（x＞0）交于A，B两点，分别作AC⊥y，BD⊥y，求四边形ABDC周长的最小值； 【答案】【直接应用】1，2；【变形应用】四边形ABDC周长的最小值为 【分析】直接套用题中结论即可求解；用含m的代数式表示出矩形ABCD的周长，再利用题中的结论即可求解． 【详解】根据题中的结论，可知当m=，即m=1时，有最小值， 即最小值为：1+1=2， 故答案为：1、2； 根据题意有AC=BD=m，OC=，OD=， 则矩形ABCD的周长L=AC+BD+2(OC+OD)=2m+2(+)=2m+， 变形得：L=2m+=2m+， 根据题中的结论有：， 即：矩形ABCD的周长的最小值为． 【点睛】本题考查了反比例函数的性质、解答本题的关键是阅读理解材料中给出的不等式结论． 【变式18-1】（2025·黑龙江哈尔滨·一模）如图，点A、B在反比例函数的图像上，点A坐标为，点B坐标为，y轴上有一动点P，连接、，则的最小值为（   ） A． B．5 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的应用、两点之间的距离公式、轴对称的性质、点坐标与轴对称变化等知识，熟练掌握反比例函数的性质是解题关键．先利用待定系数法求出反比例函数的解析式，从而可得点的坐标，再作点关于轴的对称点，连接，则可得和点的坐标，然后根据两点之间线段最短可得当点共线时，的值最小，最小值为的长，由此即可得． 【详解】解：将点代入反比例函数得：， ∴反比例函数的解析式为， 将点代入得：， ∴， 如图，作点关于轴的对称点，连接， 则，， ∴， 由两点之间线段最短可知，当点共线时，的值最小，最小值为， 即的最小值为， 故选：D． 【变式18-2】（24-25八年级下·福建泉州·期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形边在y轴上，在x轴上，且点B坐标为，反比例函数的图象与，交于D，E两点，的面积为8，点P为y轴上一点，当取得最小值时，点P的坐标为__________． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数k值的几何意义、反比例函数图象上点的坐标特征、矩形的性质、轴对称-最短线路，熟练掌握以上知识点是关键． 利用求出反比例函数k值，继而得到，，再利用轴对称-最短路径求出点P坐标即可． 【详解】解：作轴， ∵点D、E都在反比例函数的图象上， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， 解得（负值已舍去）， ∴，， 找到点D关于y轴的对称点，则，连接交y轴于点P，此时，取得最小值， 设直线的解析式为，由条件可得：， 解得， ∴直线的解析式为， ∴． 故答案为：． 【变式18-3】如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过点与，过点A作轴，垂足为，连接、． (1)求的值； (2)求证：为等腰三角形； (3)为轴上一点，的周长是否有最小值，若存在，请求出此时点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)见解析 (3)存在， 【分析】（1）把与代入，解方程组即得； （2）过作于点，根据， ， 得到线段，，，得到垂直平分，即得为等腰三角形； （3）作点C关于轴的对称点，连接交轴于点，连接，此时，的周长最小．设所在直线的表达式为，把，代入，解方程组得到，即可求得点的坐标为． 【详解】（1）∵反比例函数的图象经过点与， ∴， 解得：， 故m的值为8； （2）过作于点， ∵ ∴点A的坐标为，点的坐标为，点的坐标为， ∴，，， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∴为等腰三角形； （3）存在，理由： 作点C关于轴的对称点，连接交轴于点，连接，此时，的周长最小． 设所在直线的表达式为， 把，代入， 得， 解得， ∴， 当时，， 故点的坐标为． 【点睛】本题主要考查了反比例函数、一次函数与三角形综合．熟练掌握待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数性质，线段垂直平分线性质，等腰三角形判断，轴对称线段最短，待定系数法求一次函数解析式，一次函数性质，是解决问题的关键． 【题型19 反比例函数新定义题型】 【例19】（25-26九年级上·河南商丘·期末）定义新运算：，则对于函数，下列说法正确的是（   ） A．函数图象经过点 B．函数图象位于第一、三象限 C．当时， D．当时，y随x的增大而增大 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质； 根据新运算定义得出函数表达式，再利用反比例函数的性质逐一分析选项即可． 【详解】解：∵定义新运算 ∴， 对于A选项：将代入，得，故函数图象不经过点，A错误； 对于B选项：∵， ∴反比例函数的图象位于第二、四象限，B错误； 对于C选项：当时，为负数，为正数，且从增大到时，从1增大到4，即，C错误； 对于D选项：∵， ∴当时，随的增大而增大，D正确； 故选：D． 【变式19-1】定义：在平面直角坐标系中，对于点，当点满足时，称点是点的“倍增点”．在平面直角坐标系中，若反比例函数图象上的点与点都是点的“倍增点”，连接，，则的面积为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，根据反比例函数图象上的点与点都是点的“倍增点”，求出、的坐标，从而得到直线的解析式，得到点的坐标，根据进行计算即可得出答案，求出、的坐标是解此题的关键． 【详解】解：如图，    反比例函数图象上的点与点都是点的“倍增点”， ， 整理得：， 解得：，， 当时，，当时，， ，， 设直线解析式为， 将，代入解析式得：， 解得：， 直线解析式为， 当时，， ， ， ， 故选：A． 【变式19-2】（2025·河北沧州·一模）定义：把横、纵坐标均为整数的点称为整点．如图，反比例函数的图象与直线：交于整点，与直线交于整点和整点，直线与交于整点，若线段上有7个整点（包括端点），且，则的值为______． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的综合应用，先求出点的坐标为，过点作轴的平行线，与过点作轴的平行线交于点，则，联立，求出，则可得，所以，又线段上有个整点，点，，都是整点，故，然后代入解析式即可求解，读懂图象中的交点及其他特殊点的坐标和性质是解题的关键． 【详解】解：联立， 解得， ∴点的坐标为， 过点作轴的平行线，与过点作轴的平行线交于点，则， 联立，解得：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵线段上有个整点，点，，都是整点， ∴， ∵点，都在反比例函数的图象上， ∴， 解得， 故答案为：． 【变式19-3】（24-25九年级上·辽宁辽阳·期末）在平面直角坐标系中，正方形的边长为（为正整数），点在轴正半轴上，点在轴正半轴上．若点在正方形 的边上，且，均为整数，定义点为正方形的“点”． 若某函数的图象与正方形OABC只有两个交点，且交点均是正方形OABC的“点”，定义该函数为正方形的“函数”．例如：如图1，当 时，某函数的图象经过点和，则该函数是正方形的“函数”． (1)当时，若一次函数是正方形的“函数”，则一次函数的表达式是 （写出一个即可）； (2)如图2，当时，函数（）的图象经过点 ，与边相交于点，判断该函数是不是正方形的“函数”，并说明理由． 【答案】(1)或（答案不唯一） (2)是，理由见解析 【分析】本题考查求反比例函数、一次函数解析式，图形与坐标； （1）当时，，，，写出一个一次函数，其图象过，即可； （2）求出，点的坐标为，可知函数的图象与正方形只有两个交点，且点，均是“点”，故函数    是正方形的“函数”． 【详解】（1）解：如图： 当时，，，， 当一次函数图象过，时， ， 解得：， ∴此时解析式为，且直线与正方形只有两个交点， 一次函数是正方形的“函数”； 当一次函数图象过，时， ， 解得：， ∴此时解析式为，且直线与正方形只有两个交点， 一次函数是正方形的“函数”； 故答案为：或（答案不唯一）． （2）解：当点时，代入中得：， 解得， ， 把代入得， 点的坐标为， 函数的图象与正方形只有两个交点，且点，均是“点”， 函数是正方形的“函数”． 【题型20 反比例函数与角度问题】 【例20】（25-26九年级上·四川达州·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，交轴于点． (1)求反比例函数的表达式和点的坐标； (2)连接，，求的面积； (3)反比例函数的图象上是否存在一点，使得，若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)15 (3)存在，或 【分析】本题考查反比例函数和一次函数交点问题，函数与几何结合问题，待定系数法求反比例函数解析式，待定系数法求一次函数解析式． （1）先将代入中求出，再将代入求出反比例解析式，后将一次函数和反比例函数联立方程组，求出； （2）先求出，再利用，代入数值即可求出本题答案； （3）先在图象上作出，有两种情况，第一种情况点在第四象限：过点作轴，，再分别过点和作的垂线，垂足分别为，继而得到，继而求出，后求出直线解析式，再与反比例函数联立方程组即可求出点的坐标；第二种情况点在第二象限：过点作轴，，再分别过点和作的垂线，垂足分别为，继而得到，继而求出，后求出直线解析式，再与反比例函数联立方程组即可求出点的坐标． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象与反比例函数的图象交于， ∴将代入中得：， ∴， ∴将代入中得：， ∴反比例函数的表达式：， ∵一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点， ∴，解得：， ∴； （2）解：连接，，将一次函数与轴交点命名为， ∴令，即，解得：， ∴， ∵， ∴； （3）解：存在，理由如下： ①第一种情况点在第四象限：过点作轴，使得，再分别过点和作的垂线，垂足分别为， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴设直线解析式为， 将，代入得： ，解得：， ∴， ∴联立，解得：或（与重合舍去）， ∴； ②点在第二象限：过点作轴，使得，再分别过点和作的垂线，垂足分别为， 同理可得， ∴ ∴设直线解析式为， 将，代入得： ，解得：， ∴， ∴联立，解得：， ∴， ∴综上所述：或． 【变式20-1】如图，中，，顶点，都在反比例函数的图象上，直线轴，垂足为，连接，，并延长交于点，当时，点恰为的中点，若，．    (1)求反比例函数的解析式； (2)求的度数． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，直角三角形斜边中线的性质，三角形外角的性质，等腰三角形的性质，证得，是解题的关键． （1）根据题意求得，然后代入，求得的值，即可求得反比例函数的解析式； （2）根据时，点恰为的中点，得出，根据直角三角形斜边中线的性质得出，根据等腰三角形的性质以及三角形外角的性质即可得出，从而求得． 【详解】（1）解：直线轴，垂足为，， 是等腰直角三角形， ， ， ， 顶点在反比例函数的图象上， ， 反比例函数的解析式为； （2）解：，点恰为的中点， ， ， 在中，， ， ， ， 轴， ， ， ， ． 【变式20-2】点，在反比例函数的图象上，且． (1)直接写出，的大小关系； (2)如图，过点作矩形，为对角线的交点，且轴于，连接． ①求证：三点共线； ②若，，求的度数（用的代数式表示）． 【答案】(1)； (2)①证明见解析；②． 【分析】（）根据反比例函数的性质即可判断求解； （）①由，，四边形为矩形，可得，，设直线的解析式为，把代入可得，再把代入得，得到点在直线上，即可求证； ②由矩形的性质可得，，进而得，再由轴于，得到轴，即得，即可得到，进而由三角形外角性质得到，又由可得，得到，最后根据角的和差关系即可求解； 本题考查了反比例函数的性质，矩形的性质，正比例函数图象上点的坐标特征，平行的性质，等腰三角形的性质，三角形外角性质，掌握反比例函数与正比例函数的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴在每一象限内，的值随的增大而减小， ∵， ∴； （2）解：①证明：∵，，四边形为矩形，轴于， ∴，， 设直线的解析式为， 把代入得，， ∴， ∴直线的解析式为， 把代入得，， ∴点在直线上， ∴点三点共线； ②解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∵轴于， ∴轴， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴． 【变式20-3】（2024·宁夏银川·模拟预测）如图，反比例函数的图象经过点，且与一次函数的图象交于A，B两点． (1)求反比例函数的表达式． (2)当时，请写出x的取值范围． (3)如图，P是线段上的一点，过点P分别作轴，轴，垂足分别为D，C，与反比例函数图象分别交于点F，E，连接．将沿着直线翻折，点O的对应点为，得到菱形，请求出的度数． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了求反比例函数解析、根据函数图象确定不等式的解集、菱形的性质等知识定，掌握数形结合思想成为解题的关键． （1）直接将代入求得k的值即可； （2）联立反比例函数和直线的解析式求得A、B的坐标，然后再根据函数图象确定的x取值范围即可； （3）设 ，则，由菱形的性质可得，据此结合两点间距离公式可求得，则；再证四边形是矩形，可得易证是等腰直角三角形，最后根据等腰直角三角形的性质即可解答． 【详解】（1）解：接将代入可得：，解得：， 所以反比例函数的解析式为． （2）解：联立反比例函数和直线的解析式可得，解得：， ∴, 根据函数图象可知：时，x的取值范围为：． （3）解：设 ，则， ∵将沿着直线翻折，点O的对应点为，得到菱形， ∴, ∴，解得：， ∴， ∵过点P分别作轴，轴，垂足分别为D，C， ∴四边形是矩形， ∴ ∴, ∴是等腰直角三角形， ∴． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $