新生预习手册22《第6章平面图形的初步认识第3节相交线》预习讲义 2026年暑假苏科版七年级数学上册

数学臻选·2026年暑假苏科版七年级数学上新生预习手册22 《第6章平面图形的初步认识第3节相交线》预习讲义 一．预习目标 ( 1.理解同一平面内两条直线的位置关系，认识相交线，能区分邻补角、对顶角，说出它们的位置特征。 2.掌握对顶角相等、邻补角互补的性质，能利用性质进行简单角度计算。 3.理解垂直、垂足的概念，记住垂线的两条基本性质，理解垂线段最短与点到直线的距离的含义。 4.经历观察、画图、说理的探究过程，初步建立几何直观，学会简单的几何口头推理。 ) 二．重点难点 ( （一） 重点 1.识别邻补角与对顶角，运用对顶角相等、邻补角互补进行角度计算。 2.垂直的定义、垂线的画法，垂线段最短的应用。 （二） 难点 1.区分 “ 对顶角相等 ” 和 “ 相等的角是对顶角 ” ，区分补角与邻补角。 2.理解 “ 点到直线的距离是垂线段的长度（数量），不是垂线段（图形） ” 。 3.用文字进行简单几何说理，规范表达推理过程。 ) 三．自主探究 （一）认识相交线 如图，过一点P可以画出无数条相交的直线， 在同一平面内，两条直线只有一个公共点，这两条直线叫做相交线，公共点叫做交点。多条直线交于同一点，也属于相交线。 两条直线相交，会形成4个小于平角的角，我们把它们叫做“两线四角”。相交会产生邻补角、对顶角。 （二）邻补角与对顶角 两条直线相交所成的四个角中， 如图，∠1和∠3是对顶角，∠2和∠4是对顶角，∠1和∠2、∠4是邻补角，∠2和∠1、∠3是邻补角。 1.邻补角 （1）定义：两条直线相交，有一条公共边，另一边互为反向延长线的两个角，叫做邻补角。 （2）两个必要条件： ① 相邻（有公共顶点、一条公共边）。 ② 互补（和为 180o） （3）性质：邻补角一定互补，和为 180o。 （4）注意：互补的两个角，不一定是邻补角（没有公共边就不是）。 2.对顶角 （1）定义：两条直线相交于一点，有公共顶点，两边互为反向延长线的两个角，叫做对顶角。 （2）两个必要条件： ① 相对（有公共顶点、边互为反向延长线）。 ② 相等。 【探究】：证明对顶角相等 证明：如图 ∵ ∠1 + ∠2 = 180°（邻补角互补）∠3 + ∠2 = 180°（邻补角互补） ∴ ∠1 = ∠3（同角的补角相等） （3）性质：两直线相交，对顶角相等。 （4）注意：相等的两个角，不一定是对顶角。 对顶角是成对出现的，每两条直线就有两对对顶角，因而找对顶角的关键是看共有多少组两两相交的直线. （三）特殊的相交——垂直 1.初识垂直 请看下面一组图片，其中有相互垂直的线吗？ 【解析】这三张图片里都有相互垂直的线：第一张的红十字标志，横竖两条线互相垂直；第二张的中式格栅，横向和纵向的框架线条互相垂直；第三张的三角尺，两条直角边互相垂直。 【探究】 如图，转动细木条b，∠1和∠2的大小关系如何变化? 在图中，当∠1=∠2时,因为∠1十∠2=180°，所以∠1=∠2=90°。 2.垂直的定义： 如果两条直线相交所成的四个角中有一个角是直角，那么就称这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫作另一条直线的垂线(perpendicular line)，它们的交点叫作垂足(foot of a perpendicular). 3.垂直的表示方法： 在图中，两条直线互相垂直记作“a⟂b”或“AB⟂CD”，垂足是O.垂直用符号“⊥”表示， 如a⊥b读作“a垂直于b”，AB⊥CD读作“AB垂直于CD”， 画图时，在垂足处常打上直角的标记“ ”以便识别. 如图，如果∠1=90°，那么a⟂b. 如果a⟂b，那么∠1=90°。 4.垂线的画法 （1）已知直线a与直线a外的一点P,根据下图提供的方法画直线a的垂线。 ①将三角板的一条直角边与已知直线重合； ②平移三角板，让三角板的另一条直角边经过直线外的已知点； ③沿着经过点的这条直角边画出直线； ④在垂足位置画上直角标记。 （2）如图，过直线a上的一点Q，画直线a的垂线。 ①把三角板的一条直角边与已知直线重合； ②沿着直线平移三角板，让三角板的直角顶点落在直线上的已知点Q； ③沿着三角板的另一条直角边，从顶点出发，画一条直线； ④标出直角符号，这条线就是已知直线的垂线。 【归纳】垂线的画法 ①靠：三角板直角边贴合已知直线； ②移：平移三角板，对准定点； ③画：沿另一条直角边画线； ④标：画上直角符号。 5.垂线的性质： 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与己知直线垂直。 （四）垂线段 我们知道，两点之间的距离是两点之间线段的长度，那么，如何测量一个点到一条直线的距离呢?在跳远比赛中，裁判员怎样测量跳远成绩? 如图，裁判员将皮尺的起始端固定在点P，拉紧皮尺，使皮尺PO⊥l，垂足为0，线段PO的长度就是运动员所跳的距离。 1、垂线段的定义： 过直线外一点作已知直线的垂线，这点与垂足之间的线段叫做这点到这条直线的垂线段。如图，过直线l外一点P作l的线，垂足为 O，线段PO叫作点P到直线的垂线段。(vertical line segment) 2、垂线段的性质： 【尝试】：如图，把一根橡皮筋的一端固定在点P处，另一端Q沿直线l左右移动.在移动过程中，观察线段PQ长度的变化，你有什么发现? 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短。 3、点到直线的距离： 直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫作点到直线的距离，例如，如图，垂线段PO的长度就是点P到直线的距离。 【试一试】： 如图，方格纸中每个小正方形的边长为1个单位长度1. （1）能否找到点M，使点M到直线m的距离为2个单位长度?这样的点有多少个? 【解析】根据“到一条直线距离为定值的点的轨迹，是与该直线平行且距离为定值的两条直线”，与直线m平行且距离为2的直线有2条，这两条直线上的所有点都满足条件。 所以能找到这样的点M，有无数个。 （2）能否找到点N，使点N到直线m，n的距离分别为2个、1个单位长度?这样的点有多少个? 【解析】到直线m距离为2的点，在与m平行且距离为2的2条直线上；到直线n距离为1的点，在与n平行且距离为1的2条直线上；这两组直线的交点共有2×2 = 4个，分别在四个象限内。所以能找到这样的点N，有4个。 （3）能否找到点P，使点P到直线m，n的距离相等?这样的点有多少个? 【解析】到两条互相垂直的直线距离相等的点，在这两条直线所成角的平分线上，共有2条角平分线，这两条平分线上的所有点都满足条件。所以能找到这样的点P，有无数个。 四．经典例题 例1（2025·南通崇川·月考）下列图形中，∠1与∠2互为对顶角的是（ ） A. B. C. D. A B C D 【答案】：C 【解析】：对顶角定义：两条直线相交，有公共顶点，两边互为反向延长线的两个角。只有C满足定义。 例2 如图，直线AB与CD相交于点O，∠AOC＝75°，∠1＝25°，则∠2的大小为(　　) A. 25°　 B. 30°　 C. 40°　 D. 50° 【答案】：D 【解析】：对顶角相等，∠BOD与∠AOC是对顶角，所以∠BOD=75°。∠2=75°-∠1=75°-25°= 50° 例3（2025·扬州广陵·期末）过直线l外一点P作直线l的垂线，能作几条（ ） A. 0条 B. 1条 C. 2条 D. 无数条 【答案】：B 【解析】：平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。 例4（2025·镇江京口·期末）体育课立定跳远，测量成绩是测量起跳点到落地点的（ ） A. 两点间距离 B. 垂线段长度 C. 斜线段长度 D. 线段总长 【答案】：B 【解析】：点到直线的距离定义：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，跳远成绩是垂线段长度。 例5（2025·南通如皋·月考）直线AB、CD相交于O，∠AOD=125°，则邻补角∠AOC=____°。 【答案】：55 【解析】：邻补角互补，和为180°，180°−125°=55°。 例6（2025·盐城亭湖·期中）直线AB⊥CD，垂足为O，则∠AOC=____°。 【答案】：90 【解析】：垂直的定义：两条直线相交成直角，夹角为90°。 例7（2025·泰州姜堰·期末）直线AB、CD交于O，OE平分∠BOC，若∠AOC=80°，则∠BOE=____°。 【答案】：50 【解析】：∠BOC=180°−80°=100°，角平分线分成两个相等的角，100°÷2=50°。 例8（2025苏州常熟月考）如图，CD⊥AB，垂足为D，AC＝7，BC＝5，CD＝4，E是线段AB上的一个动点（包括端点），连接CE，则CE长度的取值范围是　　　　　　． 【答案】4≤CE≤7  【解析】已知 CD⊥AB，CD=4，根据垂线段最短，点C到直线AB的所有线段中，垂线段CD最短，所以CE的最小值是4。当E运动到线段AB的端点时，CE的长度取到最大值：AC = 7，BC=5，因为7>5，所以CE的最大值为7。因此，CE长度的取值范围是4≤CE≤7。 例9.如图，直线AB，CD相交于点O，若∠EOD＝100°，OA平分∠EOC，求∠BOD的大小． 解：因为∠EOD＝100°，所以∠EOC＝180°－∠EOD＝180°－100°＝80°. 因为OA平分∠EOC，所以∠AOC＝∠EOC＝40°，所以∠BOD＝∠AOC＝40°. 例10.如图，直线AB，CD相交于点O，OE⊥AB. (1) 若∠1＝∠2，请判断CD与OF是否垂直，并说明理由； (2) 若∠1＝∠BOC，求∠AOC和∠EOD的大小． 解： (1) CD⊥OF，理由如下：因为OE⊥AB，所以∠1＋∠AOC＝90°.又因为∠1＝∠2， 所以∠2＋∠AOC＝90°，即∠FOC＝90°，所以CD⊥OF. (2) 设∠1＝x°，则∠BOC＝4x°.因为OE⊥AB，所以∠BOE＝90°.又因为∠BOE＝∠BOC－∠1，所以4x－x＝90，解得x＝30，即∠1＝30°.因为∠AOC与∠1互余，∠EOD与∠1互补， 所以∠AOC＝90°－∠1＝60°，∠EOD＝180°－∠1＝150°. 五．夯实基础 （一）选择题 1.（2025·苏州吴中·期末）下列说法正确的是（ ） A. 相等的角是对顶角 B. 垂线段最短 C. 过一点可以作无数条已知直线的垂线 D. 两条直线相交，一定垂直 【答案】：B 【解析】：垂线段最短是基本性质；相等的角不一定是对顶角，平面内过一点只能作1条垂线，相交不一定垂直。 2.（2024·盐城大丰·期末）直线AB、CD相交于O，∠1和∠2互为邻补角，若∠1=62°，则∠2=（ ） A. 28° B. 62° C. 118° D. 128° 【答案】：C 【解析】：邻补角之和180°，180−62=118°。 3.（2025·南通通州·月考）点P在直线AB外，PC⊥AB于C，则线段PA、PB、PC、PD中最短的是（ ） A. PA B. PB C. PC D. PD 【答案】：C 【解析】：垂线段最短。 4.（2025·镇江丹阳·期末）两条直线相交形成的四个角中，有一个角是90°，则其余三个角都是（ ） A. 锐角 B. 直角 C. 钝角 D. 平角 【答案】：B 【解析】：垂直相交，四个角都是直角。 5.（2025·泰州海陵·期末）过线段AB外一点，作AB的垂线，垂足在线段的延长线上，这条垂线段的长度叫做（ ） A. 点到线段的距离 B. 点到直线AB的距离 C. 线段长度 D. 两点距离 【答案】：B 【解析】：距离是点到直线的垂线段长度，不管垂足在线段上还是延长线上。 6.（2024·徐州云龙·期末）∠α与∠β互为邻补角，∠α=3∠β，则∠β=（） A. 45° B. 60° C. 90° D. 135° 【答案】：A 【解析】：∠α+∠β=180°，3∠β+∠β=180°，4∠β=180°，∠β=45°。 7.（2025苏州姑苏模拟）如图，OA⊥OB，OC⊥OD，若∠1＝50°，则∠2的度数是(　　) A. 20° B. 40° C. 50° D. 60° 【答案】：C 【解析】∵OA⊥OB，OC⊥OD，∴∠AOB = 90°, ∠COD = 90°，∠1 + ∠BOC = 90°, ∠2 + ∠BOC = 90°，根据同角的余角相等，可得：∠2 = ∠1 = 50°。 8.如图，直线AB，CD交于点O，∠2＝3∠1，∠BOD＝108°，则∠1的大小为(　　) A. 27°　 B. 36°　 C. 81°　 D. 72° 【答案】：A 【解析】∠BOD = 108°，则 ∠AOC = 108°（对顶角相等）。∠1 + ∠2 = ∠AOC = 108°又 ∠2 = 3∠1，所以：∠1 + 3∠1 = 108°，4∠1 = 108°，∠1 = 27°答案：A （二）填空题 9.（2025·盐城滨海·期末）两条直线相交，形成____对对顶角。 【答案】：2 【解析】：两条直线相交，两组对顶角。 10.（2024·南通海门·期末）直线AB、CD相交于O，∠AOC=50°，则∠BOC=____°。 【答案】：130 【解析】：邻补角互补，180−50=130。 11.（2025·扬州邗江·期末）从直线外一点到这条直线的____，叫做点到直线的距离。 【答案】：垂线段的长度 【解析】：距离是长度，不是线段本身。 12.（2025·镇江扬中·期末）OE⊥CD，垂足为O，则∠EOD=____°。 【答案】：90 【解析】：垂直夹角为直角。 13.（2024·连云港海州·期末）直线AB、CD交于O，OE平分∠BOD，∠BOD=80°，则∠BOE=____° 【答案】：40 【解析】：角平分线平分角度，80÷2=40。 14.如图，点O在直线AB上，OC⊥OD. 若∠AOC＝120°，则∠BOD的大小为　　　　． 【答案】30° 【解析】已知点O在直线AB上，所以∠AOB = 180°。已知∠AOC = 120°，∠BOC = 180° - 120°= 60°，又OC⊥OD，所以∠COD = 90°，∠BOD = 90° - 60 °= 30° 15.如图，已知O是直线AB上的一点，OC⊥OD，OM是∠BOD的平分线，ON是∠AOC的平分线，则∠MON的大小为　　　　． 【答案】135° 【解析】已知OC⊥OD，所以∠COD = 90°，∠AOC + ∠BOD = 180° - 90°= 90°，ON平分∠AOC，OM平分∠BOD，∠NOC =∠AOC,∠DOM =∠BOD，∠NOC + ∠DOM = (∠AOC + ∠BOD) =× 90°=45°，∠MON = ∠NOC +∠COD + ∠DOM = 45°+ 90° = 135° 16.如图,直线a,b相交于点O,将量角器的中心与点O重合,发现表示60°的刻度线在直线a上,表示135°的刻度线在直线b上,则∠1的度数为　　　　.  【答案】75° 【解析】量角器上，60°刻度线在直线a上，135°刻度线在直线b上，两刻度线的夹角为： 135° - 60°= 75°，这个夹角就是∠1，所以∠1 = 75°。 （三）解答题 17. 如图,下列各图中,直线都交于一点,请探究交于一点的直线的条数与所形成的对顶角的对数之间的规律. (1) 请填写下表: 交于一点的直线的条数 2 3 4 对顶角的对数 (2) 若n条直线交于一点,则共有　　　　　对对顶角(用含n的代数式表示);  (3) 当100条直线交于一点时,共有　　　　对对顶角.  【答案】(1) 2　6　12　(2) n(n-1)　(3) 9900　 【解析】(1) 根据题图,可得2条直线交于一点,共有2对对顶角;3条直线交于一点,共有6对对顶角;4条直线交于一点,共有12对对顶角.(2) 依据规律,可得n条直线交于一点,共有n(n-1)对对顶角.(3) 当n=100时,n(n-1)=100×99=9900. 18.（2025泰州泰兴期末）利用网格图仅用无刻度直尺按照要求完成作图并回答问题． (1) 过点A作射线OB的垂线，垂足为点C； (2) 过点A作射线OA的垂线，交射线OB于点D. 解：(1) 如图，直线AC即为所求． (2) 如图，直线AD即为所求． 19. 画图并回答: (1) 如图,点P在∠AOB的边OA上. ① 过点P画OA的垂线交OB于点C; ② 画点P到OC的垂线段PM. (2) 指出上述作图中哪一条线段的长度表示点P到边OC的距离. (3) 比较PM,PC与OC的大小. 解：(1) ① 如图所示　② 如图所示　(2) 线段PM的长度表示点P到边OC的距离　(3) 根据“垂线段最短”,可得PM<PC<OC 20.（2024南京浦口期末）如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠BOD，∠AOC＝72°. (1) 求∠EOB的度数； (2) 若OF⊥OE，OF是否平分∠COB? 解：(1) 因为OE平分∠BOD，所以∠BOE＝∠DOE＝∠BOD，又因为∠BOD＝∠AOC＝72°， 所以∠BOE＝∠AOC＝36°. (2) OF平分∠COB，理由如下：因为∠AOC＝72°，所以∠BOC＝180°－72°＝108°. 因为OE⊥OF，所以∠EOF＝90°＝∠BOE＋∠BOF.因为∠BOE＝36°，所以∠BOF＝90°－36°＝54°，所以∠COF＝108°－54°＝54°＝∠BOF，所以OF平分∠COB. 六．巩固训练 （一）选择题 1.（2025·盐城盐都·期末）下列说法错误的是（ ） A. 对顶角相等 B. 垂线段最短 C. 过直线上一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D. 相等的角一定是对顶角 【答案】：D 【解析】：相等的角位置不一定满足对顶角的要求，错误。 2.（2025·南通启东·月考）直线AB⊥CD于O，∠AOD的度数是（ ） A. 45° B. 90° C. 120° D. 180° 【答案】：B 【解析】：垂直相交，夹角为90°。 3.（2024·苏州张家港·期末）点P到直线l的距离是3cm，说明（ ） A. P到l上任意一点距离都是3cm B. P到l的垂线段长3cm C. 过P可以画两条长度3cm的垂线段 D. 线段长都大于3cm 【答案】：B 【解析】：距离定义就是垂线段的长度。 4.（2025·扬州仪征·期末）直线AB、CD相交于O，∠AOC+∠BOD=100°，则∠AOC=（ ） A. 40° B. 50° C. 80° D. 100° 【答案】：B 【解析】：∠AOC=∠BOD，所以2∠AOC=100°，∠AOC=50°。 5.如图，直线AB与CD相交于点O，∠AOC－2∠AOE＝20°，OF平分∠DOE.若∠BOD＝60°，则∠AOF的大小为(　　) A. 50°　 B. 60°　 C. 70°　 D. 80° 【答案】：C 【解析】：已知直线AB与CD相交于点O，所以∠AOC =∠BOD = 60°（对顶角相等）。代入∠AOC - 2∠AOE = 20°：60°- 2∠AOE = 20°，解得：∠AOE = 20°。因为∠AOC = 60°，所以∠AOD = 180°- 60°= 120°，∠DOE = ∠AOD - ∠AOE = 120°- 20° = 100°。因为OF平分∠DOE，所以∠DOF =∠DOE = 50°，∠AOF =∠ AOD -∠DOF=120° - 50 °= 70°。 6.如图，直线AB，CD相交于点O，OE⊥AB于点O，OF平分∠AOE，∠1＝15°31′，则下列结论中不正确的是(　　) A. ∠2＝45° B. ∠1＝∠3 C. ∠AOD与∠1互为补角 D. ∠1的余角等于75°31′ 【答案】：D 【解析】：已知OE⊥AB，所以∠AOE = 90°。OF平分∠AOE，所以∠2 = ×90° = 45°（A正确）。直线AB、CD相交，∠1 = ∠3（对顶角相等，B正确）。∠AOD + ∠1 = 180°（邻补角，C正确）。∠1 = 15°31'，它的余角为90°- 15°31' = 74°29' ≠75°31'（D错误）。 7.已知三条射线OA，OB，OC，OA⊥OC，∠AOB＝60°，则∠BOC的大小为(　　) A. 150°　 B. 30°　 C. 40°或140°　 D. 30°或150° 【答案】：D 【解析】：已知OA⊥OC，所以∠AOC = 90°，分两种情况：（1）OB在∠AOC内部：∠BOC = ∠AOC - ∠AOB = 90°- 60° = 30°。（2）OB在∠AOC外部：∠BOC = ∠AOC + ∠AOB = 90° + 60 °= 150°。 8.（2025·泰州兴化·期末）过一点画已知直线的垂线，三角尺的操作第一步是（ ） A. 把三角尺的直角边和直线重合 B. 随便放三角尺 C. 把顶点放在点上 D. 先画一条斜线 【答案】：A 【解析】：垂线作图步骤：一重合，二平移，三画线。 9.（2024·邳州·期末）∠1和∠2是邻补角，∠1比∠2大40°，则∠2=（ ） A. 70° B. 80° C. 90° D. 110° 【答案】：A 【解析】：设∠2=x，∠1=x+40，x+x+40=180，解得x=70。 10.（2024南京鼓楼月考）如图，河道的一侧有甲、乙两个村庄，现要铺设一条管道将水引向甲、乙两村，下列四种方案中最节省材料的是(　　) A B C D 【答案】：B 【解析】： A：没有利用垂线段最短，管道长度不是最短。B：先从河岸作垂线段到乙村，再连接甲、乙两村，既利用了垂线段最短，又利用了两点之间线段最短，总长度最短。C：甲村到乙村用了水平+垂直的折线，比直接连接甲、乙的线段长，不节省材料。D：甲村到河岸的垂线段没有先连接甲、乙再作垂线，总长度比B方案长。 （二）填空题 11.（2025·盐城建湖·期末）两条直线相交，一共可以形成____对邻补角。 【答案】：4 【解析】：每一组相交产生4组邻补角。 12.（2024·南通如东·期末）直线AB、CD相交于O，∠BOD=66°，则∠AOC=____°。 【答案】：66 【解析】：对顶角相等。 13. （2024·连云港赣榆·期末）直线AB、CD交于O，OE平分∠AOC，∠AOC=84°，则∠AOE=_ _°。 【答案】：42 【解析】：84÷2=42。 14.（2025·常州金坛·期末）∠α与∠β互为对顶角，∠α+∠β=124°，则∠α=___°。 【答案】：62 【解析】：两个角相等，124÷2=62。 15.如图，O是直线AB上的一点，OC⊥OD，若∠AOC∶∠BOD＝5∶1，则∠AOC的大小为　　　　． 【答案】：75° 【解析】：已知 OC⊥OD，所以∠COD = 90°。又因为 O 在直线 AB 上，所以 ∠AOB = 180°， 可得∠AOC + ∠BOD = 180°- 90° = 90°。设∠BOD=x，则∠AOC = 5x，5x + x = 90°， 6x = 90°，x = 15°，所以 ∠AOC = 5 ×15°= 75°。 16.如图，直线AB，CD相交于点O，OD平分∠BOF，OE⊥CD于点O.若∠EOF＝α，则下列说法：①∠AOC＝α－90°；②∠EOB＝180°－α；③∠AOF＝360°－2α.其中正确的是　　　　．（填序号） 【答案】①②③ 【解析】已知 OE⊥CD，所以∠EOD = 90°。因为∠EOF =α，所以 ∠DOF=α- 90°。① OD 平分∠BOF，所以∠BOD =∠DOF =α- 90°，而∠AOC =∠BOD（对顶角相等），故①正确。② ∠EOB = 90°- ∠BOD = 90°- (α- 90°) = 180°- α，故②正确。③ ∠AOF = 180°- ∠BOF = 180° - 2(α- 90°) = 360°- 2α，故③正确。所以①②③都正确 17.如图，直线AB，CD，EF相交于点O，CD⊥EF，OG平分∠BOE，且∠EOG＝36°，则∠AOC＝　　　　． 【答案】18° 【解析】已知 OG 平分∠BOE，∠EOG = 36°，所以∠BOE = 2×36°= 72°。因为 CD⊥EF，所以∠COE = 90°，∠AOC = 180°- ∠COE - ∠BOE = 180°- 90°- 72=° 18° 18.如图，已知O为直线AB上的任意一点，OE⊥OF，∠BOC＝2∠COE，且∠AOF的度数比∠COE的度数的4倍小8°，则∠EOC＝　　　　． 【答案】14° 【解析】设∠COE = x，因为∠BOC = 2∠COE，所以∠BOC = 2x，则∠BOE = ∠COE + ∠BOC = 3x。又因为OE⊥OF，所以∠EOF = 90°，且O在直线AB上，故∠AOF + ∠EOF +∠BOE = 180°，即∠AOF + 90°+ 3x = 180°，所以∠AOF = 90°- 3x。根据题意∠AOF = 4x - 8°， 所以90°- 3x = 4x - 8°，解得7x = 98°，x = 14°。所以∠EOC = 14°。 19.（2025南京溧水期末）如图，OA⊥OB，垂足为O，射线OC在∠AOB的内部，∠AOC＜30°，若∠BOD＝∠AOC，OE平分∠AOD，设∠EOD＝m°，则∠COB＝　　　　°.（用含m的代数式表示） 【答案】（180-2m）° 【解析】已知OA⊥OB，所以∠AOB = 90°。设∠AOC = ∠α，则∠BOD = ∠AOC = ∠α，∠AOD = ∠AOB + ∠BOD = 90°+∠α。因为OE平分∠AOD，所以∠AOE = (90°+ ∠α)。∠EOD =∠AOD - ∠AOE = (90°+∠α) = m°，所以90°+ ∠α= 2m°，解得∠α= 2m°- 90°。 ∠COB = ∠AOB - ∠ AOC = 90°- ∠α= 90°- (2m - 90°) = 180°- 2m°。∠COB = (180 - 2m)°。 20.（2025苏州常熟月考）如图，CD⊥AB，垂足为D，AC＝7，BC＝5，CD＝4，E是线段AB上的一个动点（包括端点），连接CE，则CE长度的取值范围是　　　　　　． 【答案】4 ≤CE≤7 【解析】因为CD⊥AB，CD = 4，AC = 7，BC = 5，根据“垂线段最短”，CE的最小值为CD的长度，即4；比较AC = 7和BC = 5，可知CE的最大值为AC = 7。所以CE长度的取值范围是4 ≤CE≤7。 （三）解答题 21.在如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，小正方形的顶点叫作格点．已知A，B，C都在格点上． (1) 连接BC，画BD⊥AC，垂足为D； (2) 点B到AC的距离为　　　　； (3) 线段BD和BC的大小关系为BD　　　　BC.（填“＞”“＜”或“＝”） 解：(1) 如图，BD即为所求．　(2) 2　(3) ＜ 22.如图,直线AB,CD相交于点O,OE是∠AOD的平分线,∠FOC=90°,∠1=40°,求∠2与∠3的度数. 解：因为∠1+∠3+∠FOC=180°,∠FOC=90°,∠1=40°,所以∠BOC=∠1+∠FOC=40°+90°=130°,∠3=180°-∠FOC-∠1=180°-90°-40°=50°.因为直线AB,CD相交于点O,所以∠AOD=∠BOC=130°.又因为OE平分∠AOD,所以∠2=∠AOD=65° 23. 如图,AO-OB为一条在点O处拐弯的河,要修建一条从村庄P通向这条河的道路.现在有以下两种方案:一是沿PM修路;二是沿PO修路(这里满足PO⊥AO).如果不考虑其他因素,那么上述两种方案哪种更经济些?它是否是最佳方案?如果不是,请你帮助设计出最佳方案. 解：因为PO⊥AO,根据“垂线段最短”,可得PO<PM,所以沿PO修路更经济些　它不是最佳方案　如图,过点P画PN⊥OB,垂足为N.因为PN⊥OB,根据“垂线段最短”,可得PN<PO,所以沿PN修路是最佳方案 24.如图，AB，CD，NE相交于点O，OM平分∠BOD，∠MON＝90°，∠AOC＝50°. (1) 线段　　　　的长度表示点M到NE的距离； (2) 比较MN与MO的大小：MN　　　　MO（填“>”“<”或“＝”），理由：　　　　　　； (3) 求∠AON的大小． 解：(1) MO (2) >　垂线段最短 (3) 因为∠BOD＝∠AOC＝50°，OM平分∠BOD，所以∠BOM＝25°，所以∠AON＝180°－∠BOM－∠MON＝180°－25°－90°＝65°. 25.如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠BOD. (1) 如图1，若∠AOC＝30°，∠FOB＝90°，则∠EOF＝　　　　； (2) 如图2，若OF平分∠AOE，∠DOF＝60°，求∠AOC的大小； (3) 如图3，若∠AOC＝50°，将射线OF从射线OA的位置开始，绕点O顺时针旋转α(0°＜α＜360°)，当∠EOF＝90°时，求α的大小． 图1 图2 图3 解：(1) 75° (2) 因为OE平分∠BOD，所以∠BOE＝∠DOE.又OF平分∠AOE，所以∠AOF＝∠FOE＝∠DOF＋∠DOE，所以(∠DOF＋∠DOE)×2＋∠BOE＝180°，即2×60°＋3∠DOE＝180°，解得∠DOE＝20°，所以∠AOC＝∠BOD＝2∠DOE＝2×20°＝40°. (3) ①当射线OF在∠AOD的内部时，∠BOE＝∠BOD＝∠AOC＝25°，所以α＋90°＋25°＝180°，解得α＝65°； ②当射线OF在∠BOC的内部时，α－90°＝∠AOE＝180°－∠BOE＝180°－25°＝155°，解得α＝245°，所以α的大小为65°或245°. 26.如图，直线AB与CD相交于点O，OP是∠BOC的平分线，OE⊥AB，OF⊥CD. (1) 请写出两对图中除直角外其他相等的角； (2) 若∠BOF＝50°，求∠DOP的度数； (3) OP平分∠EOF吗？请写出理由． 解： (1) ∠BOP＝∠COP，∠AOD＝∠BOC(答案不唯一) (2) 因为OF⊥CD，所以∠COF＝∠DOF＝90°，所以∠BOC＝∠COF－∠BOF＝90°－50°＝40°.因为OP平分∠BOC，所以∠BOP＝∠BOC＝20°，所以∠DOP＝∠DOF＋∠BOF＋∠BOP＝90°＋50°＋20°＝160°. (3) OP平分∠EOF，理由如下：因为OE⊥AB，OF⊥CD，所以∠COE＋∠BOC＝∠BOF＋∠BOC＝90°，所以∠COE＝∠BOF.因为OP是∠BOC的平分线，所以∠BOP＝∠COP，所以∠BOF＋∠BOP＝∠COE＋∠COP，即∠FOP＝∠EOP，所以OP平分∠EOF. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学臻选·2026年暑假苏科版七年级数学上新生预习手册22 《第6章平面图形的初步认识第3节相交线》预习讲义 一．预习目标 ( 1.理解同一平面内两条直线的位置关系，认识相交线，能区分邻补角、对顶角，说出它们的位置特征。 2.掌握对顶角相等、邻补角互补的性质，能利用性质进行简单角度计算。 3.理解垂直、垂足的概念，记住垂线的两条基本性质，理解垂线段最短与点到直线的距离的含义。 4.经历观察、画图、说理的探究过程，初步建立几何直观，学会简单的几何口头推理。 ) 二．重点难点 ( （一） 重点 1.识别邻补角与对顶角，运用对顶角相等、邻补角互补进行角度计算。 2.垂直的定义、垂线的画法，垂线段最短的应用。 （二） 难点 1.区分 “ 对顶角相等 ” 和 “ 相等的角是对顶角 ” ，区分补角与邻补角。 2.理解 “ 点到直线的距离是垂线段的长度（数量），不是垂线段（图形） ” 。 3.用文字进行简单几何说理，规范表达推理过程。 ) 三．自主探究 （一）认识相交线 如图，过一点P可以画出无数条相交的直线， 在同一平面内，两条直线只有一个公共点，这两条直线叫做相交线，公共点叫做交点。多条直线交于同一点，也属于相交线。 两条直线相交，会形成4个小于平角的角，我们把它们叫做“两线四角”。相交会产生邻补角、对顶角。 （二）邻补角与对顶角 两条直线相交所成的四个角中， 如图，∠1和∠3是对顶角，∠2和∠4是对顶角，∠1和∠2、∠4是邻补角，∠2和∠1、∠3是邻补角。 1.邻补角 （1）定义：两条直线相交，有一条公共边，另一边互为反向延长线的两个角，叫做邻补角。 （2）两个必要条件： ① 相邻（有公共顶点、一条公共边）。 ② 互补（和为 180o） （3）性质：邻补角一定互补，和为 180o。 （4）注意：互补的两个角，不一定是邻补角（没有公共边就不是）。 2.对顶角 （1）定义：两条直线相交于一点，有公共顶点，两边互为反向延长线的两个角，叫做对顶角。 （2）两个必要条件： ① 相对（有公共顶点、边互为反向延长线）。 ② 相等。 【探究】：证明对顶角相等 证明：如图 ∵ ∠1 + ∠2 = 180°（邻补角互补）∠3 + ∠2 = 180°（邻补角互补） ∴ ∠1 = ∠3（同角的补角相等） （3）性质：两直线相交，对顶角相等。 （4）注意：相等的两个角，不一定是对顶角。 对顶角是成对出现的，每两条直线就有两对对顶角，因而找对顶角的关键是看共有多少组两两相交的直线. （三）特殊的相交——垂直 1.初识垂直 请看下面一组图片，其中有相互垂直的线吗？ 【探究】 如图，转动细木条b，∠1和∠2的大小关系如何变化? 在图中，当∠1=∠2时,因为∠1十∠2=180°，所以∠1=∠2=90°。 2.垂直的定义： 如果两条直线相交所成的四个角中有一个角是直角，那么就称这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫作另一条直线的垂线(perpendicular line)，它们的交点叫作垂足(foot of a perpendicular). 3.垂直的表示方法： 在图中，两条直线互相垂直记作“a⟂b”或“AB⟂CD”，垂足是O.垂直用符号“⊥”表示， 如a⊥b读作“a垂直于b”，AB⊥CD读作“AB垂直于CD”， 画图时，在垂足处常打上直角的标记“ ”以便识别. 如图，如果∠1=90°，那么a⟂b. 如果a⟂b，那么∠1=90°。 4.垂线的画法 （1）已知直线a与直线a外的一点P,根据下图提供的方法画直线a的垂线。 ①将三角板的一条直角边与已知直线重合； ②平移三角板，让三角板的另一条直角边经过直线外的已知点； ③沿着经过点的这条直角边画出直线； ④在垂足位置画上直角标记。 （2）如图，过直线a上的一点Q，画直线a的垂线。 ①把三角板的一条直角边与已知直线重合； ②沿着直线平移三角板，让三角板的直角顶点落在直线上的已知点Q； ③沿着三角板的另一条直角边，从顶点出发，画一条直线； ④标出直角符号，这条线就是已知直线的垂线。 【归纳】垂线的画法 ①靠：三角板直角边贴合已知直线； ②移：平移三角板，对准定点； ③画：沿另一条直角边画线； ④标：画上直角符号。 5.垂线的性质： 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与己知直线垂直。 （四）垂线段 我们知道，两点之间的距离是两点之间线段的长度，那么，如何测量一个点到一条直线的距离呢?在跳远比赛中，裁判员怎样测量跳远成绩? 如图，裁判员将皮尺的起始端固定在点P，拉紧皮尺，使皮尺PO⊥l，垂足为0，线段PO的长度就是运动员所跳的距离。 1、垂线段的定义： 过直线外一点作已知直线的垂线，这点与垂足之间的线段叫做这点到这条直线的垂线段。如图，过直线l外一点P作l的线，垂足为 O，线段PO叫作点P到直线的垂线段。(vertical line segment) 2、垂线段的性质： 【尝试】：如图，把一根橡皮筋的一端固定在点P处，另一端Q沿直线l左右移动.在移动过程中，观察线段PQ长度的变化，你有什么发现? 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短。 3、点到直线的距离： 直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫作点到直线的距离，例如，如图，垂线段PO的长度就是点P到直线的距离。 【试一试】： 如图，方格纸中每个小正方形的边长为1个单位长度1. （1）能否找到点M，使点M到直线m的距离为2个单位长度?这样的点有多少个? （2）能否找到点N，使点N到直线m，n的距离分别为2个、1个单位长度?这样的点有多少个? （3）能否找到点P，使点P到直线m，n的距离相等?这样的点有多少个? 四．经典例题 例1（2025·南通崇川·月考）下列图形中，∠1与∠2互为对顶角的是（ ） A. B. C. D. A B C D 例2 如图，直线AB与CD相交于点O，∠AOC＝75°，∠1＝25°，则∠2的大小为(　　) A. 25°　 B. 30°　 C. 40°　 D. 50° 例3（2025·扬州广陵·期末）过直线l外一点P作直线l的垂线，能作几条（ ） A. 0条 B. 1条 C. 2条 D. 无数条 例4（2025·镇江京口·期末）体育课立定跳远，测量成绩是测量起跳点到落地点的（ ） A. 两点间距离 B. 垂线段长度 C. 斜线段长度 D. 线段总长 例5（2025·南通如皋·月考）直线AB、CD相交于O，∠AOD=125°，则邻补角∠AOC=____°。 例6（2025·盐城亭湖·期中）直线AB⊥CD，垂足为O，则∠AOC=____°。 例7（2025·泰州姜堰·期末）直线AB、CD交于O，OE平分∠BOC，若∠AOC=80°，则∠BOE=____°。 例8（2025苏州常熟月考）如图，CD⊥AB，垂足为D，AC＝7，BC＝5，CD＝4，E是线段AB上的一个动点（包括端点），连接CE，则CE长度的取值范围是　　　　　　． 例9.如图，直线AB，CD相交于点O，若∠EOD＝100°，OA平分∠EOC，求∠BOD的大小． 例10.如图，直线AB，CD相交于点O，OE⊥AB. (1) 若∠1＝∠2，请判断CD与OF是否垂直，并说明理由； (2) 若∠1＝∠BOC，求∠AOC和∠EOD的大小． 五．夯实基础 （一）选择题 1.（2025·苏州吴中·期末）下列说法正确的是（ ） A. 相等的角是对顶角 B. 垂线段最短 C. 过一点可以作无数条已知直线的垂线 D. 两条直线相交，一定垂直 2.（2024·盐城大丰·期末）直线AB、CD相交于O，∠1和∠2互为邻补角，若∠1=62°，则∠2=（ ） A. 28° B. 62° C. 118° D. 128° 3.（2025·南通通州·月考）点P在直线AB外，PC⊥AB于C，则线段PA、PB、PC、PD中最短的是（ ） A. PA B. PB C. PC D. PD 4.（2025·镇江丹阳·期末）两条直线相交形成的四个角中，有一个角是90°，则其余三个角都是（ ） A. 锐角 B. 直角 C. 钝角 D. 平角 5.（2025·泰州海陵·期末）过线段AB外一点，作AB的垂线，垂足在线段的延长线上，这条垂线段的长度叫做（ ） A. 点到线段的距离 B. 点到直线AB的距离 C. 线段长度 D. 两点距离 6.（2024·徐州云龙·期末）∠α与∠β互为邻补角，∠α=3∠β，则∠β=（ ） A. 45° B. 60° C. 90° D. 135° 7.（2025苏州姑苏模拟）如图，OA⊥OB，OC⊥OD，若∠1＝50°，则∠2的度数是(　　) A. 20° B. 40° C. 50° D. 60° 8.如图，直线AB，CD交于点O，∠2＝3∠1，∠BOD＝108°，则∠1的大小为(　　) A. 27°　 B. 36°　 C. 81°　 D. 72° （二）填空题 9.（2025·盐城滨海·期末）两条直线相交，形成____对对顶角。 10.（2024·南通海门·期末）直线AB、CD相交于O，∠AOC=50°，则∠BOC=____°。 11.（2025·扬州邗江·期末）从直线外一点到这条直线的____，叫做点到直线的距离。 12.（2025·镇江扬中·期末）OE⊥CD，垂足为O，则∠EOD=____°。 13.（2024·连云港海州·期末）直线AB、CD交于O，OE平分∠BOD，∠BOD=80°，则∠BOE=____° 14.如图，点O在直线AB上，OC⊥OD. 若∠AOC＝120°，则∠BOD的大小为　　　　． 15.如图，已知O是直线AB上的一点，OC⊥OD，OM是∠BOD的平分线，ON是∠AOC的平分线，则∠MON的大小为　　　　． 16.如图,直线a,b相交于点O,将量角器的中心与点O重合,发现表示60°的刻度线在直线a上,表示135°的刻度线在直线b上,则∠1的度数为　　　　.  （三）解答题 17. 如图,下列各图中,直线都交于一点,请探究交于一点的直线的条数与所形成的对顶角的对数之间的规律. (1) 请填写下表: 交于一点的直线的条数 2 3 4 对顶角的对数 (2) 若n条直线交于一点,则共有　　　　　对对顶角(用含n的代数式表示);  (3) 当100条直线交于一点时,共有　　　　对对顶角.  18.（2025泰州泰兴期末）利用网格图仅用无刻度直尺按照要求完成作图并回答问题． (1) 过点A作射线OB的垂线，垂足为点C； (2) 过点A作射线OA的垂线，交射线OB于点D. 19. 画图并回答: (1) 如图,点P在∠AOB的边OA上. ① 过点P画OA的垂线交OB于点C; ② 画点P到OC的垂线段PM. (2) 指出上述作图中哪一条线段的长度表示点P到边OC的距离. (3) 比较PM,PC与OC的大小. 20.（2024南京浦口期末）如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠BOD，∠AOC＝72°. (1) 求∠EOB的度数； (2) 若OF⊥OE，OF是否平分∠COB? 六．巩固训练 （一）选择题 1.（2025·盐城盐都·期末）下列说法错误的是（ ） A. 对顶角相等 B. 垂线段最短 C. 过直线上一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D. 相等的角一定是对顶角 2.（2025·南通启东·月考）直线AB⊥CD于O，∠AOD的度数是（ ） A. 45° B. 90° C. 120° D. 180° 3.（2024·苏州张家港·期末）点P到直线l的距离是3cm，说明（ ） A. P到l上任意一点距离都是3cm B. P到l的垂线段长3cm C. 过P可以画两条长度3cm的垂线段 D. 线段长都大于3cm 4.（2025·扬州仪征·期末）直线AB、CD相交于O，∠AOC+∠BOD=100°，则∠AOC=（ ） A. 40° B. 50° C. 80° D. 100° 5.如图，直线AB与CD相交于点O，∠AOC－2∠AOE＝20°，OF平分∠DOE.若∠BOD＝60°，则∠AOF的大小为(　　) A. 50°　 B. 60°　 C. 70°　 D. 80° 6.如图，直线AB，CD相交于点O，OE⊥AB于点O，OF平分∠AOE，∠1＝15°31′，则下列结论中不正确的是(　　) A. ∠2＝45° B. ∠1＝∠3 C. ∠AOD与∠1互为补角 D. ∠1的余角等于75°31′ 7.已知三条射线OA，OB，OC，OA⊥OC，∠AOB＝60°，则∠BOC的大小为(　　) A. 150°　 B. 30°　 C. 40°或140°　 D. 30°或150° 8.（2025·泰州兴化·期末）过一点画已知直线的垂线，三角尺的操作第一步是（ ） A. 把三角尺的直角边和直线重合 B. 随便放三角尺 C. 把顶点放在点上 D. 先画一条斜线 9.（2024·邳州·期末）∠1和∠2是邻补角，∠1比∠2大40°，则∠2=（ ） A. 70° B. 80° C. 90° D. 110° 10.（2024南京鼓楼月考）如图，河道的一侧有甲、乙两个村庄，现要铺设一条管道将水引向甲、乙两村，下列四种方案中最节省材料的是(　　) A B C D （二）填空题 11.（2025·盐城建湖·期末）两条直线相交，一共可以形成____对邻补角。 12.（2024·南通如东·期末）直线AB、CD相交于O，∠BOD=66°，则∠AOC=____°。 13. （2024·连云港赣榆·期末）直线AB、CD交于O，OE平分∠AOC，∠AOC=84°，则∠AOE=_ _°。 14.（2025·常州金坛·期末）∠α与∠β互为对顶角，∠α+∠β=124°，则∠α=___°。 15.如图，O是直线AB上的一点，OC⊥OD，若∠AOC∶∠BOD＝5∶1，则∠AOC的大小为　　　　． 16.如图，直线AB，CD相交于点O，OD平分∠BOF，OE⊥CD于点O.若∠EOF＝α，则下列说法：①∠AOC＝α－90°；②∠EOB＝180°－α；③∠AOF＝360°－2α.其中正确的是　　　　．（填序号） 17.如图，直线AB，CD，EF相交于点O，CD⊥EF，OG平分∠BOE，且∠EOG＝36°，则∠AOC＝　　　　． 18.如图，已知O为直线AB上的任意一点，OE⊥OF，∠BOC＝2∠COE，且∠AOF的度数比∠COE的度数的4倍小8°，则∠EOC＝　　　　． 19.（2025南京溧水期末）如图，OA⊥OB，垂足为O，射线OC在∠AOB的内部，∠AOC＜30°，若∠BOD＝∠AOC，OE平分∠AOD，设∠EOD＝m°，则∠COB＝　　　　°.（用含m的代数式表示） 20.（2025苏州常熟月考）如图，CD⊥AB，垂足为D，AC＝7，BC＝5，CD＝4，E是线段AB上的一个动点（包括端点），连接CE，则CE长度的取值范围是　　　　　　． （三）解答题 21.在如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，小正方形的顶点叫作格点．已知A，B，C都在格点上． (1) 连接BC，画BD⊥AC，垂足为D； (2) 点B到AC的距离为　　　　； (3) 线段BD和BC的大小关系为BD　　　　BC.（填“＞”“＜”或“＝”） 22.如图,直线AB,CD相交于点O,OE是∠AOD的平分线,∠FOC=90°,∠1=40°,求∠2与∠3的度数. 23. 如图,AO-OB为一条在点O处拐弯的河,要修建一条从村庄P通向这条河的道路.现在有以下两种方案:一是沿PM修路;二是沿PO修路(这里满足PO⊥AO).如果不考虑其他因素,那么上述两种方案哪种更经济些?它是否是最佳方案?如果不是,请你帮助设计出最佳方案. 24.如图，AB，CD，NE相交于点O，OM平分∠BOD，∠MON＝90°，∠AOC＝50°. (1) 线段　　　　的长度表示点M到NE的距离； (2) 比较MN与MO的大小：MN　　　　MO（填“>”“<”或“＝”），理由：　　　　　　； (3) 求∠AON的大小． 25.如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠BOD. (1) 如图1，若∠AOC＝30°，∠FOB＝90°，则∠EOF＝　　　　； (2) 如图2，若OF平分∠AOE，∠DOF＝60°，求∠AOC的大小； (3) 如图3，若∠AOC＝50°，将射线OF从射线OA的位置开始，绕点O顺时针旋转α(0°＜α＜360°)，当∠EOF＝90°时，求α的大小． 图1 图2 图3 26.如图，直线AB与CD相交于点O，OP是∠BOC的平分线，OE⊥AB，OF⊥CD. (1) 请写出两对图中除直角外其他相等的角； (2) 若∠BOF＝50°，求∠DOP的度数； (3) OP平分∠EOF吗？请写出理由． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $