10.2 直线与直线间的位置关系（讲义）高二数学沪教版必修第三册

本讲义聚焦空间直线与直线间的位置关系，系统梳理基本事实4、等角定理，空间直线平行、相交、异面的分类，异面直线判定定理及所成角的定义与计算，构建“基础事实-位置关系-判定与计算”的递进学习支架，衔接平面到空间的知识扩展。 资料通过分层题型设计（基础到素养提升）和易错提醒（如等角定理互补情况、异面与平行混淆），结合平移法求夹角等解题贴士，培养学生空间观念（数学眼光）和逻辑推理（数学思维），规范符号表达（数学语言）。课中辅助教师高效教学，课后助力学生查漏补缺，强化知识应用。

第10章 空间直线与平面 10.2 直线与直线间的位置关系 课标要点 1. 掌握基本事实 4 与等角定理，能借助定理证明空间直线平行、两角相等或互补。 2. 分清空间两直线平行、相交、异面三类位置关系，熟记异面直线判定定理内容。 3. 理解空间四边形定义，区分它与平面四边形，能识别其边、对角线结构。 4. 掌握异面直线所成角定义与取值范围，会判定异面直线垂直并规范书写符号。 学习重难点 重点： 1. 基本事实 4、等角定理及推论，熟练运用定理完成平行、角度相关证明。 2. 空间直线三种位置关系，掌握异面直线判定定理，能快速判断异面直线。 3. 异面直线所成角定义、范围，明确异面垂直的含义与对应符号表示。 难点： 1. 等角定理易忽略互补情况，难以根据边的平行方向准确判断两角大小关系。 2. 区分无公共点的平行直线与异面直线，计算异面直线夹角易忽视角度范围限制。 知识点一 基本事实4与等角定理 1.基本事实4 ①文字语言：平行于同一条直线的两条直线平行．这一性质叫做空间平行线的传递性． ②符号表述：，作用：证明两条直线平行 2.等角定理 ①文字语言：如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补． ②符号语言：,或 等角定理的两个推论： （1）如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补； （2）如果两条相交直线与另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等。 作用：判断和证明两个角相等或互补。 易错提醒 仅记住两角相等，遗漏“两边平行且方向相反时两角互补”；判断夹角时不分开口方向，直接判定相等，忽略相等、互补两种结果。 3.空间四边形 顺次连接不共面的四点A、B、C、D所构成的图形，叫做空间四边形． 这四个点中的各个点叫做空间四边形的顶点； 所连接的相邻顶点间的线段叫做空间四边形的边； 连接不相邻的顶点的线段叫做空间四边形的对角线． 即学即练 1．已知是空间中三条不同的直线，若，则（    ） A． B． C．与相交 D．与是异面直线 【答案】A 【详解】选项A：因为，，所以； 选项B：由选项A可知，，所以和不垂直； 选项C：由选项A可知，，所以和不相交； 选项D：由选项A可知，，所以和共面. 知识点二 空间两条直线的位置关系 平行关系 相交关系 独有关系 图示 图示 图示 符号 语言 a∥b 符号语言 符号 语言 a，b是异面直线 异面直线判定定理 过平面外一点与平面上一点的直线，和此平面上不经过该点的任何一条直线都是异面直线 易错提醒 平行、相交属于共面直线，异面直线无公共点且不平行，容易混淆“无公共点=平行”。 即学即练 2．如图，在直四棱柱中，直线与的位置关系是（    ） A．异面 B．相交 C．平行 D．以上都有可能 【答案】A 【详解】在直四棱柱中， 因平面，平面，且，平面， 故直线与为异面直线. 知识点三 异面直线所成的角 定义 已知两条异面直线，经过空间任一点作直线，则与所成的锐角(或直角) 取值范围 垂直 如果两条异面直线所成的角是直角，就说这两条直线互相垂直，记作. 即学即练 3．在长方体中，，则异面直线和所成角的大小是___________． 【答案】 【详解】由知为异面直线和所成的角． 在Rt中，，则， 即异面直线和所成角的大小是. 题型01 平行的传递性 典｜例｜精｜析 【例1】如图，在三棱锥中，分别是边的中点，且，那么四边形是（   ） A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 【答案】C 【详解】因为H，G分别是，的中点，所以，且， 同理，且，所以四边形是平行四边形， 同理，且，且，又， 所以，故四边形为菱形. 故选：C. 【例2】如图，四棱锥中，底面是梯形，，，且是的中点，是的中点，则与的位置关系是__________． 【答案】 【详解】连接，如下图所示： 因为是的中点，是的中点，所以，且． 又，，所以，且， 所以四边形是平行四边形， 所以． 故答案为： 变｜式｜巩｜固 【变式1-1】如图所示，在三棱锥中，，，，分别是棱，，，的中点，则与的位置关系是（    ）    A．平行 B．相交 C．异面 D．平行或异面 【答案】A 【详解】因为，分别是棱，的中点，所以 因为，分别是棱，的中点，所以 所以. 故选：A. 【变式1-2】（多选）如图，设E，F，G，H依次是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA上除端点外的点，且，，则下列结论不正确的是（    ） A．当时，四边形EFGH是平行四边形 B．当时，四边形EFGH是梯形 C．当时，四边形EFGH是平行四边形 D．当时，四边形EFGH是梯形 【答案】CD 【详解】如图，连接BD， ，且， 同理，且，， 当时，，此时四边形EFGH是平行四边形，故A正确，D不正确， 当时，，四边形EFGH是梯形，故B正确，C不正确. 故选：CD. 【变式1-3】已知正方体中，，分别是，的中点．求证：． 【答案】证明见解析 【详解】在正方体中，取的中点，连接，如图， 由为的中点，得，则四边形为平行四边形， 于是，又， 因此四边形为平行四边形，， 所以. 题型02 等角定理的应用 典｜例｜精｜析 【例3】已知空间中的两个角和，若,则_____. 【答案】或 【详解】由等角定理可知与相等或互补， 所以或. 【例4】如果，，那么和（   ） A．相等 B．互补 C．相等或互补 D．大小无关 【答案】C 【详解】若一个角的两边与另一个角的两边分别平行，两个角的关系分两种情况： 若两组边的方向都相同或都相反，两个角相等； 若一组对边方向相同，另一组对边方向相反，两个角互补。 因此和相等或互补. 变｜式｜巩｜固 【变式2-1】空间中和两边分别平行，，则的大小是________. 【答案】或 【详解】因为空间中和两边分别平行，则和相等或互补， 又因为，则或. 【变式2-2】如图，已知直线，为异面直线，为直线上三点，，，为直线上三点，分别为，，，，的中点.若，则______. 【答案】 【详解】由分别是，的中点，得，同理， 则，，又的两边和的两边的方向分别相同， 因此，所以. 【变式2-3】已知空间中两个角，且角α与角β的两边分别平行，若，则_______. 【答案】或 【详解】根据等角定理知：或， 若，则或. 故答案为：或. 题型03 异面直线的判断 解题贴士 方法一：过平面外一点、平面内一点的直线，与平面内不经过该定点的直线为异面直线，严格对照条件逐一验证。 方法二：空间直线只有平行、相交、异面三类，若两条直线无公共点且不平行，则直接判定为异面直线。 典｜例｜精｜析 【例5】如图，在长方体的棱中，其所在直线与是异面直线的棱有________条． 【答案】 4 【详解】在长方体 中，与 相交的棱有 ； 与 平行的棱有 ；棱 所在直线与自身重合． 剩下的棱 所在直线与既不相交,也不平行,故均与是异面直线． 所以所求棱共有 条． 【例6】正方体中，M、N分别为棱、的中点，有以下四个结论： （1）直线AM与是相交直线；（2）直线AM与BN是平行直线； （3）直线BN与是异面直线；（4）直线AM与是异面直线. 其中正确的结论为____________.（把你认为正确结论的序号都写上） 【答案】（3）（4） 【详解】对于（1）：因为与为异面直线，可知四点不共面， 所以直线AM与是异面直线，故（1）错误； 对于（2）：因为与为异面直线，可知四点不共面， 所以直线AM与是异面直线，故（2）错误； 对于（3）：直线BN与是异面直线，故（3）正确； 对于（4）：因为与为异面直线，可知四点不共面， 所以直线AM与是异面直线，故（4）正确. 变｜式｜巩｜固 【变式3-1】（多选）在正四棱台中，下列四组直线无公共点的为（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】BC 【详解】对于A：正四棱台由正四棱锥平行于底面截取得到，因此和延长后相交，存在公共点，A错误； 对于B：正四棱台上下底面均为正方形，故，，由平行公理可得， 平行直线无公共点，B正确； 对于C：在底面内，与底面交于点，且不在上，同时与不平行， 因此两直线为异面直线，无公共点，C正确； 对于D：由，得，因此四点共面， 四边形为上下底不等的等腰梯形，两腰和延长后相交，存在公共点，D错误. 【变式3-2】如图为正六棱柱.其6个侧面的12条面对角线所在直线中，与直线异面的共有________条. 【答案】5 【详解】如图，连接， 因为六边形为正六边形，所以，因， 则，所以四点共面，不是异面直线， 同理可得：与共面，不是异面直线， 而，又与相交， 故条面对角线中，与不是异面直线的面对角线为， 其余面对角线均与异面，分别为，共5条. 【变式3-3】如图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，那么在线段，，，所在的直线中，互为异面直线的有（     ）    A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】A 【详解】还原为正方体，如下：    A选项，直线和直线是异面直线，A正确； B选项，直线与是相交直线，不是异面直线，B不正确； C选项，直线和直线是相交直线，不是异面直线，C不正确； D选项，直线和直线是平行直线，不是异面直线，D错误. 题型04 求异面直线所成的角 解题贴士 平移法： 步骤1：选取合适的点（线段端点、中点、顶点），平移其中一条或两条异面直线，使两直线相交。 步骤2：相交形成的锐角或直角，就是异面直线所成的角，范围。 步骤3：在构造出的三角形中，使用余弦定理计算角度：。 典｜例｜精｜析 【例7】正四面体中，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值__________. 【答案】/ 【详解】设正四面体的棱长为，取中点为，连接， 因为为的中点，所以， 所以（或其补角）就是异面直线与所成的角， 又是正中线，所以， 又是正中线，所以， 在中，， 又因为异面直线夹角范围为， 所以异面直线与所成角的余弦值为. 【例8】在四棱锥中，平面，、分别为、中点，且，． (1)证明：、、、四点共面． (2)求直线与直线夹角正弦值． 【答案】(1)证明：因为面，面，面面，所以， 又因为，分别为，中点，则，所以，所以四点共面． (2) 【分析】 【详解】（1）略 （2） 连接，因为，由（1）知， 则四边形为平行四边形，所以，． 因此直线与直线夹角即为与直线夹角， 在中，，，， 由余弦定理得， 则， 所以直线与直线夹角正弦值为. 变｜式｜巩｜固 【变式4-1】如图，正三棱柱的侧棱长为4，底面正三角形的边长为3，则异面直线与所成角的余弦值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为在正三棱柱 中，， 所以异面直线 与 所成的角即为直线 与 所成的角. 连接 ，在 中， 由题意可知，底面正三角形边长为 ，侧棱长为 ， 所以 . 在 中，. 同理，在 中，. 由余弦定理可得： . 因为异面直线所成角的范围是 ，且 ， 所以异面直线 与 所成角的余弦值为 . 【变式4-2】如图，在正三棱柱中，各棱长均相等，点为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为________________ 【答案】/ 【详解】连接，两者交于点，连接， 在正三棱柱中，可得，因点为的中点，则， 故异面直线与所成角即为直线与所成角，即或其补角. 不妨设，易得，，， 在中，由余弦定理，， 故异面直线与所成角的余弦值为． 【变式4-3】如图，直三棱柱的所有棱长都相等，，分别为棱，的中点，则异面直线与所成角的余弦值是______． 【答案】/ 【详解】如图，取棱AC的中点F，连接EF，DF． 因为E，F分别是棱，AC的中点，所以， 则是异面直线DE与所成的角或其补角． 直三棱柱的所有棱长都相等，设，则， 则， 即异面直线DE与所成角的余弦值是． 题型05 由异面直线所成角求其它量 典｜例｜精｜析 【例9】空间四边形中，，，分别是的中点，若异面直线与所成角为，则________. 【答案】或. 【详解】取线段的中点，连接、，    在四面体中，，，、分别为、的中点，为的中点， 所以，，，且，， 所以，异面直线、所成角为或其补角， 因为异面直线与所成角为，则或. 当时，由余弦定理可得 . 当时，由余弦定理可得 . 综上所述，或. 故答案为：或. 【例10】（多选）在空间四边形中，，且异面直线与所成的角为，E、F分别是边和的中点，则异面直线和所成的角等于（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】取的中点，记为点，连接. 则∥，∥，且. 所以为异面直线与所成的角或其补角. 因为，且异面直线与所成的角为，所以或. 若，则； 若，则. 故选：AC. 变｜式｜巩｜固 【变式5-1】如图，在直三棱柱中，底面是边长为2的等边三角形，异面直线与所成角的余弦值为，则该三棱柱的高为_____. 【答案】2 【详解】连接，如图， 在直三棱柱中，， 则（或其补角）是异面直线与所成的角，所以， 设三棱柱的高为，在和中，， 所以是等腰三角形. 因为，所以， 所以，所以该三棱柱的高为2. 故答案为：2. 【变式5-2】在三棱锥中，，且直线与所成的角为，分别为棱的中点，则直线与所成角的大小为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【详解】如图，取的中点，连接， 易知，，且，， 故，且是异面直线与所成角或其补角， 所以或， 所以异面直线与所成角为或其补角， 当时，；当时，， 所以直线与所成角的大小为或     故选：C    【变式5-3】正方体的棱长为4，点P是棱上一点(不包括端点)，若异面直线与所成角的余弦值为，则________. 【答案】 【详解】将原正方体的一侧补上另一个正方体变为如图所示的长方体. 在上取点使，连接，则易得， 所以即为异面直线与所成的角(或其补角). 设，则，， ， 又，， 则，所以为锐角， 所以，解得， 所以. 故答案为：. 题型06 证明异面直线垂直 解题贴士 方法一：夹角判定法 平移异面直线，证明两直线相交形成的角为90°，即可判定异面直线垂直，记作。 方法二：勾股逆定理 构造含平移线段的三角形，计算三边边长，满足，推出夹角为直角。 典｜例｜精｜析 【例11】直三棱柱中，，在三棱柱所有的棱中，与AC垂直且异面的有（　　） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】B 【详解】直三棱柱中，， 则与AC垂直且异面的直线有和. 故选：B. 【例12】（多选）如图，下列四个正方体中，分别是正方体的顶点或棱的中点，则的有（      ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】对于A，如图1，连接，由正方体的性质知平面， 又平面，所以， 又，，，所以， 所以，又，则， 所以，又平面，所以平面， 又平面，所以，故A正确， 对于B，如图2，连接，易知，又平面，平面，所以， 又平面，所以平面， 又平面，所以，故B正确， 对于C，如图3，连接，易知，且，所以， 所以与所成角为，故C错误， 对于D，如图4，连接，易知，，所以，故D正确. 变｜式｜巩｜固 【变式6-1】如图，在长方体中，直线与的位置关系是（ ） A．平行 B．相交 C．异面且垂直 D．异面但不垂直 【答案】C 【详解】在长方体中，平面， 因为平面，所以， 又直线与不相交且不平行， 所以直线与异面且垂直. 故选：C. 【变式6-2】（多选）如图，在下列各棱长都相等的正六棱柱中，O为底面中心，M，N为顶点，P为所在棱的中点，则满足的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】 如图，由正六棱柱的性质可知，，， 因为底面ABC，底面ABC，所以， 又因为，平面POD， 所以平面POD，又因为平面POD， 所以，即，故A正确； 如图，由正六棱柱的性质易知，四边形为平行四边形，所以， 同理由正六棱柱的性质易知，，，四边形是平行四边形， 则，显然与不垂直，所以与不垂直，故B错误； 如图，设C是的中点，因为正六棱柱各棱长均相等，易得四边形是正方形， 则，因为分别是的中点，所以，则， 由正六边形的性质易知，所以， 又在正六棱柱中，平面，平面，所以， 又，平面，所以平面， 又平面，所以， 又平面，所以平面， 又平面，所以，故C正确； 如图，设C为其所在棱的中点，由选项C的证明同理可得平面ACB， 又因为平面ACB，所以， 又由正六棱柱的性质可知，， 假设成立，则，又因为，平面， 所以平面，又平面， 所以，显然AB与PC不垂直，所以假设不成立，故D错误． 故选：AC 【变式6-3】如图，是等腰直角三角形，都垂直于平面，且为线段的中点．证明：. 【答案】证明见解析 【详解】取BC中点为G，连接DG，AG． 因分别为中点，则． 则四边形是平行四边形，故． 因为，则，所以. 基础通关 1．已知，，是空间三条直线，，则“”是“，，三线共面”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【详解】当，时，，如三棱柱的三条侧棱所在直线分别为，，，满足，，但这三条直线不共面，充分性不成立； 当，，三线共面，且时，与可能相交，也可能平行，所以必要性不成立. 所以“”是“三线共面”的既不充分也不必要条件. 2．已知命题：，为异面直线，命题直线，不相交，则是的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】若，为异面直线，则直线，不相交，充分性成立， 若，不相交，则直线，可能平行或异面，故不一定能推出，必要性不成立． 故是的充分不必要条件. 3．如图，，，，是正方体所在棱的中点，则与直线不是异面直线的是（    ）    A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 【答案】C 【详解】由图可知：直线、直线、直线均与直线异面，故ABD错误； 连接，    由题意可知：，，则， 可知四点共面，所以直线与直线不是异面直线，故C正确. 4．如图，A是所在平面外一点，M，N分别是和的重心，若，则MN的长为（    ）    A．2 B． C．1 D． 【答案】A 【详解】由M，N分别是和的重心，则为三角形中线的交点， 若为的中点，连接，则分别在上，， 而，，故. 故选：A    5．如图是某个正方体的侧面展开图，是侧面的两条对角线，则在正方体中，与（    ） A．互相平行 B．相交且夹角为 C．异面且夹角为 D．异面且互相垂直 【答案】B 【详解】将平面展开图还原成正方体如图所示， 则B，C两点重合，可知与相交，连接， 则，可知为正三角形，所以与的夹角为. 故选：B. 6．已知在正方体中，为的中点，则直线与直线夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】连接，设正方体的棱长为2， 因为，所以是直线与直线的夹角. 在直角三角形中，， 在直角三角形中，， 在直角三角形中，, 所以直线与直线夹角的余弦值为. 7．（多选）如图，在四棱锥中，底面四边形为梯形，．设，，，的中点分别为，，，，则（    ）    A． B． C．四点共面 D．四边形是梯形 【答案】BCD 【详解】由题意知，且，所以，故错误； 又，，所以，又， 所以四点共面，且四边形是梯形．故正确． 故选：. 8．（多选）如图是一个正方体的展开图，则在原正方体中（   ） A．与异面 B．与相交 C． D． 【答案】ABD 【详解】由题意，把展开图还原成正方体，如图所示： 从而可得，与异面，与相交. 9．空间中，与的两边分别平行，若，则_________． 【答案】或 【详解】由空间等角定理可知或， 故答案为：或 10．如图为正方体表面的一种展开图，则图中的，，，在原正方体中互为异面直线的有________对． 【答案】3 【详解】 画出该正方体的直观图如图所示，易知异面直线有，，．故共有3对． 故答案为：. 11．四个顶点不在同一平面内的四边形称为空间四边形.如图，在空间四边形中，点分别是边的中点.求证：四边形是平行四边形. 【答案】如图，连接， 因为分别是的中点，所以，， 又分别是的中点，所以，， 所以，， 所以四边形是平行四边形. 【详解】略 12．如图，是正所在平面外的一点，分别是和的中点，，且，求异面直线与所成角的余弦值．    【答案】 【详解】如图，连结，设为的中点，连结， 因为线段的中点，则，所以是与所成的角或其补角， 设， 因且， 则，，， 因为等边三角形，且边长为，为线段的中点，则， 则，， 则， 则在中利用余弦定理得， 因空间中两条异面直线所成角的取值范围为， 所以与所成角的余弦值为．    13．如图，在直三棱柱中，底面是边长为2的等边三角形，异面直线与所成角的余弦值为，求该三棱柱的高.    【答案】2 【详解】连接，如图，    设三棱柱的高为， 在和中，， 所以是等腰三角形. 因为， 所以（或其补角）是异面直线与所成的角，所以， 因为，所以， 所以，所以该三棱柱的高为2. 素养提升 14．如图，已知，分别是圆柱的下底面圆直径与母线，点在上底面圆的圆周上，且，若，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设圆柱的底面半径为，则. 如图过点作，交圆于点. 则，所以四边形是矩形， 所以. 则在下底面圆周上，取点，使. 又，所以，所以四边形为菱形， 所以，所以，且， 所以四边形是平行四边形，所以， 所以异面直线与所成的角等于与所成的角，即或其补角. 中，， . 所以. 即异面直线与所成角的余弦值为. 15．在正三棱台中，分别是和的中点，则异面直线和所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】如图所示，连接EC，，取EC的中点P，连接，PA， 在正三棱台中，设，则， 由E，F分别是AB，的中点，得，且， 四边形是平行四边形，，则即为异面直线EF，所成角（或其补角）， 在等腰梯形中，EF为梯形的高，过作于，则， ，，，， 即，，在中，． 因此，所以异面直线EF，所成角的余弦值为. 故选：D 16．已知直线为两条不重合的直线，若与正方体的各棱所成的角相等，则“与正方体的各棱所成的角相等”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】直线与正方体的各棱所成的角相等， 则它必与同一顶点出发的三条棱所成的角相等，显然正方体的体对角线满足条件. 当时，由等角定理可知结论成立，即必要性成立， 因正方体的四条体对角线交于同一点，故得不出，充分性不成立. 即“与正方体的各棱所成的角相等”是“”的必要不充分条件. 17．已知直线、相交，夹角为，交点为.在空间中过点且与直线、成相同夹角的直线只有3条，则的大小是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】当时，无满足条件的直线； 当时，有一条直线（为、夹角的角平分线）； 当时，有两条直线； 当时，有三条直线（包含、夹角的补角平分线，及另外两条空间直线）； 当时，有四条直线； 当时，有一条直线（为、的公垂线）； 故选：A 18．在三棱锥中，，，，是的中点，则异面直线与所成角的正弦值为__________． 【答案】 【详解】取中点，连接，， 因为，，所以，， 所以， 因为是的中点，，，所以，， 所以， 因为是的中点，是的中点，，所以，， 所以为异面直线与所成角（或其补角）， 在中，由余弦定理得， 所以， 所以异面直线与所成角的正弦值为. 19．（类型1线线平行的证明）如图，在正四棱柱中，分别为的中点，为上一动点，当时，证明：． 【答案】证明见解析 【详解】证明：如图，取的中点，连接交于点， 在正四棱柱中，， 所以，所以， 因为，所以，所以，即． 因为，所以，则为的三等分点，即点为的中点． 在中，因为为的中点，为的中点，所以． 在正四棱柱中，由于分别为的中点，易得， 所以． 迁移创新 20．，为异面直线，且，所成角为，过空间一点作直线，直线与，均异面，且所成角均为，若这样的共有四条，则的范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】将异面直线平移至均过点，得到相交直线，其夹角为，所以原问题等价于过点作直线，使与所成角均为，过点且与两条相交直线成等角的直线，其方向只可能落在两个角平分面上. 平面：平分所成角的平面（内平分面）， 平面：平分所成补角的平面（外平分面），且， 在任何一个角平分面内，固定一条角平分线（它与两直线的夹角为半角），然后让直线在该面内绕点旋转，与两直线的夹角会连续变化，范围如下： 1. 在平面内（平分角）. 在平面内与相交的角平分线，它与和所成的夹角是， 在平面内，将该角平分线绕点旋转，它与的夹角会从连续增大至， 因此平面内满足条件的直线条数为： 当时：条； 当时：条（即角平分线本身）； 当时：条（关于角平分线对称的两条）； 当时：条（垂直于平面的直线）. 2. 在平面内（平分角）. 在平面内与相交的角平分线与的夹角为， 同理，在平面内旋转该角平分线，夹角会从连续增大至， 因此平面内满足条件的直线条数为： 当时：条； 当时：条（即角平分线本身）； 当时：条（关于角平分线对称的两条）； 当时：条（垂直于平面的直线）. 综上所述，只有当时，满足条件的直线恰有条. 21．某种游戏中，黑、黄两个“电子狗”从棱长为1的正方体的顶点出发沿棱向前爬行，每爬完一条棱称为“爬完一段”．黑“电子狗”爬行的路线是，黄“电子狗”爬行的路线是，它们都遵循如下规则：所爬行的第段与第i段所在直线必须是异面直线（其中i是正整数）．设黑“电子狗”爬完2028段、黄“电子狗”爬完2029段后各自停在正方体的某个顶点处，这时黑、黄“电子狗”间的距离是________． 【答案】1 【详解】由题意，黑“电子狗”爬行的路线为， 即爬完6段后又回到起点，即黑“电子狗”爬行后到达的顶点位置以6为周期， 又，所以黑“电子狗”爬完2028段后停在点； 黄“电子狗”爬行的路线为， 黄“电子狗”也是爬完6段后又回到起点，即黄“电子狗”爬行后到达的顶点位置以6为周期， 又，所以黄“电子狗”爬完2029段后到达点． 此时黑、黄“电子狗”间的距离为1． 22．如图，已知正方体的棱长为2，分别为棱的中点，若点为线段上的动点，不包括端点），设异面直线与所成的角为，则的取值范围是___________. 【答案】 【详解】如图所示，连接，因为分别为棱的中点，可得 在正方体中，可得，所以， 所以异面直线与所成的角，即为直线与所成的角，即, 设，其中， 在中，由， 由余弦定理得， 设，则，可得， 再令，则，则， 设，可得函数在上为增函数， 又由，所以，所以， 所以异面直线与所成的角余弦值的取值范围为. 故答案为：. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第10章 空间直线与平面 10.2 直线与直线间的位置关系 课标要点 1. 掌握基本事实 4 与等角定理，能借助定理证明空间直线平行、两角相等或互补。 2. 分清空间两直线平行、相交、异面三类位置关系，熟记异面直线判定定理内容。 3. 理解空间四边形定义，区分它与平面四边形，能识别其边、对角线结构。 4. 掌握异面直线所成角定义与取值范围，会判定异面直线垂直并规范书写符号。 学习重难点 重点： 1. 基本事实 4、等角定理及推论，熟练运用定理完成平行、角度相关证明。 2. 空间直线三种位置关系，掌握异面直线判定定理，能快速判断异面直线。 3. 异面直线所成角定义、范围，明确异面垂直的含义与对应符号表示。 难点： 1. 等角定理易忽略互补情况，难以根据边的平行方向准确判断两角大小关系。 2. 区分无公共点的平行直线与异面直线，计算异面直线夹角易忽视角度范围限制。 知识点一 基本事实4与等角定理 1.基本事实4 ①文字语言：平行于_________直线的两条直线平行．这一性质叫做空间平行线的_________． ②符号表述：，作用：证明两条直线平行 2.等角定理 ①文字语言：如果空间中两个角的_________分别对应平行，那么这两个角_________或_________． ②符号语言：,或 等角定理的两个推论： （1）如果一个角的两边和另一个角的两边分别_________，那么这两个角_________或_________； （2）如果两条相交直线与另两条相交直线分别_________，那么这两组直线所成的_________（或_________）相等。 作用：判断和证明两个角相等或互补。 易错提醒 仅记住两角相等，遗漏“两边平行且方向相反时两角互补”；判断夹角时不分开口方向，直接判定相等，忽略相等、互补两种结果。 3.空间四边形 顺次连接_________的四点A、B、C、D所构成的图形，叫做空间四边形． 这四个点中的各个点叫做空间四边形的顶点； 所连接的_________顶点间的线段叫做空间四边形的边； 连接_________的顶点的线段叫做空间四边形的对角线． 即学即练 1．已知是空间中三条不同的直线，若，则（    ） A． B． C．与相交 D．与是异面直线 知识点二 空间两条直线的位置关系 平行关系 相交关系 独有关系 图示 图示 图示 符号 语言 a∥b 符号语言 符号 语言 a，b是异面直线 异面直线判定定理 过_________一点与_________一点的直线，和此平面上_________的任何一条直线都是_________ 易错提醒 平行、相交属于共面直线，异面直线无公共点且不平行，容易混淆“无公共点=平行”。 即学即练 2．如图，在直四棱柱中，直线与的位置关系是（    ） A．异面 B．相交 C．平行 D．以上都有可能 知识点三 异面直线所成的角 定义 已知两条异面直线，经过空间任一点作直线，则与所成的_________(或_________) 取值范围 _________ 垂直 如果两条异面直线所成的角是直角，就说这两条直线互相垂直，记作_________ 即学即练 3．在长方体中，，则异面直线和所成角的大小是___________． 题型01 平行的传递性 典｜例｜精｜析 【例1】如图，在三棱锥中，分别是边的中点，且，那么四边形是（   ） A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 【例2】如图，四棱锥中，底面是梯形，，，且是的中点，是的中点，则与的位置关系是__________． 变｜式｜巩｜固 【变式1-1】如图所示，在三棱锥中，，，，分别是棱，，，的中点，则与的位置关系是（    ）    A．平行 B．相交 C．异面 D．平行或异面 【变式1-2】（多选）如图，设E，F，G，H依次是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA上除端点外的点，且，，则下列结论不正确的是（    ） A．当时，四边形EFGH是平行四边形 B．当时，四边形EFGH是梯形 C．当时，四边形EFGH是平行四边形 D．当时，四边形EFGH是梯形 【变式1-3】已知正方体中，，分别是，的中点．求证：． 题型02 等角定理的应用 典｜例｜精｜析 【例3】已知空间中的两个角和，若,则_____. 【例4】如果，，那么和（   ） A．相等 B．互补 C．相等或互补 D．大小无关 变｜式｜巩｜固 【变式2-1】空间中和两边分别平行，，则的大小是________. 【变式2-2】如图，已知直线，为异面直线，为直线上三点，，，为直线上三点，分别为，，，，的中点.若，则______. 【变式2-3】已知空间中两个角，且角α与角β的两边分别平行，若，则_______. 题型03 异面直线的判断 解题贴士 方法一：过平面外一点、平面内一点的直线，与平面内不经过该定点的直线为异面直线，严格对照条件逐一验证。 方法二：空间直线只有平行、相交、异面三类，若两条直线无公共点且不平行，则直接判定为异面直线。 典｜例｜精｜析 【例5】如图，在长方体的棱中，其所在直线与是异面直线的棱有________条． 【例6】正方体中，M、N分别为棱、的中点，有以下四个结论： （1）直线AM与是相交直线；（2）直线AM与BN是平行直线； （3）直线BN与是异面直线；（4）直线AM与是异面直线. 其中正确的结论为____________.（把你认为正确结论的序号都写上） 变｜式｜巩｜固 【变式3-1】（多选）在正四棱台中，下列四组直线无公共点的为（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【变式3-2】如图为正六棱柱.其6个侧面的12条面对角线所在直线中，与直线异面的共有________条. 【变式3-3】如图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，那么在线段，，，所在的直线中，互为异面直线的有（     ）    A．与 B．与 C．与 D．与 题型04 求异面直线所成的角 解题贴士 平移法： 步骤1：选取合适的点（线段端点、中点、顶点），平移其中一条或两条异面直线，使两直线相交。 步骤2：相交形成的锐角或直角，就是异面直线所成的角，范围。 步骤3：在构造出的三角形中，使用余弦定理计算角度：。 典｜例｜精｜析 【例7】正四面体中，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值__________. 【例8】在四棱锥中，平面，、分别为、中点，且，． (1)证明：、、、四点共面． (2)求直线与直线夹角正弦值． 变｜式｜巩｜固 【变式4-1】如图，正三棱柱的侧棱长为4，底面正三角形的边长为3，则异面直线与所成角的余弦值为（    ）    A． B． C． D． 【变式4-2】如图，在正三棱柱中，各棱长均相等，点为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为________________ 【变式4-3】如图，直三棱柱的所有棱长都相等，，分别为棱，的中点，则异面直线与所成角的余弦值是______． 题型05 由异面直线所成角求其它量 典｜例｜精｜析 【例9】空间四边形中，，，分别是的中点，若异面直线与所成角为，则________. 【例10】（多选）在空间四边形中，，且异面直线与所成的角为，E、F分别是边和的中点，则异面直线和所成的角等于（   ） A． B． C． D． 变｜式｜巩｜固 【变式5-1】如图，在直三棱柱中，底面是边长为2的等边三角形，异面直线与所成角的余弦值为，则该三棱柱的高为_____. 【变式5-2】在三棱锥中，，且直线与所成的角为，分别为棱的中点，则直线与所成角的大小为（    ） A． B． C．或 D．或 【变式5-3】正方体的棱长为4，点P是棱上一点(不包括端点)，若异面直线与所成角的余弦值为，则________. 题型06 证明异面直线垂直 解题贴士 方法一：夹角判定法 平移异面直线，证明两直线相交形成的角为90°，即可判定异面直线垂直，记作。 方法二：勾股逆定理 构造含平移线段的三角形，计算三边边长，满足，推出夹角为直角。 典｜例｜精｜析 【例11】直三棱柱中，，在三棱柱所有的棱中，与AC垂直且异面的有（　　） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【例12】（多选）如图，下列四个正方体中，分别是正方体的顶点或棱的中点，则的有（      ） A． B． C． D． 变｜式｜巩｜固 【变式6-1】如图，在长方体中，直线与的位置关系是（ ） A．平行 B．相交 C．异面且垂直 D．异面但不垂直 【变式6-2】（多选）如图，在下列各棱长都相等的正六棱柱中，O为底面中心，M，N为顶点，P为所在棱的中点，则满足的是（    ） A． B． C． D． 【变式6-3】如图，是等腰直角三角形，都垂直于平面，且为线段的中点．证明：. 基础通关 1．已知，，是空间三条直线，，则“”是“，，三线共面”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．已知命题：，为异面直线，命题直线，不相交，则是的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 3．如图，，，，是正方体所在棱的中点，则与直线不是异面直线的是（    ）    A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 4．如图，A是所在平面外一点，M，N分别是和的重心，若，则MN的长为（    ）    A．2 B． C．1 D． 5．如图是某个正方体的侧面展开图，是侧面的两条对角线，则在正方体中，与（    ） A．互相平行 B．相交且夹角为 C．异面且夹角为 D．异面且互相垂直 6．已知在正方体中，为的中点，则直线与直线夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 7．（多选）如图，在四棱锥中，底面四边形为梯形，．设，，，的中点分别为，，，，则（    ）    A． B． C．四点共面 D．四边形是梯形 8．（多选）如图是一个正方体的展开图，则在原正方体中（   ） A．与异面 B．与相交 C． D． 9．空间中，与的两边分别平行，若，则_________． 10．如图为正方体表面的一种展开图，则图中的，，，在原正方体中互为异面直线的有________对． 11．四个顶点不在同一平面内的四边形称为空间四边形.如图，在空间四边形中，点分别是边的中点.求证：四边形是平行四边形. 12．如图，是正所在平面外的一点，分别是和的中点，，且，求异面直线与所成角的余弦值．    13．如图，在直三棱柱中，底面是边长为2的等边三角形，异面直线与所成角的余弦值为，求该三棱柱的高.    素养提升 14．如图，已知，分别是圆柱的下底面圆直径与母线，点在上底面圆的圆周上，且，若，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 15．在正三棱台中，分别是和的中点，则异面直线和所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 16．已知直线为两条不重合的直线，若与正方体的各棱所成的角相等，则“与正方体的各棱所成的角相等”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 17．已知直线、相交，夹角为，交点为.在空间中过点且与直线、成相同夹角的直线只有3条，则的大小是（   ） A． B． C． D． 18．在三棱锥中，，，，是的中点，则异面直线与所成角的正弦值为__________． 迁移创新 20．，为异面直线，且，所成角为，过空间一点作直线，直线与，均异面，且所成角均为，若这样的共有四条，则的范围为（   ） A． B． C． D． 21．某种游戏中，黑、黄两个“电子狗”从棱长为1的正方体的顶点出发沿棱向前爬行，每爬完一条棱称为“爬完一段”．黑“电子狗”爬行的路线是，黄“电子狗”爬行的路线是，它们都遵循如下规则：所爬行的第段与第i段所在直线必须是异面直线（其中i是正整数）．设黑“电子狗”爬完2028段、黄“电子狗”爬完2029段后各自停在正方体的某个顶点处，这时黑、黄“电子狗”间的距离是________． 22．如图，已知正方体的棱长为2，分别为棱的中点，若点为线段上的动点，不包括端点），设异面直线与所成的角为，则的取值范围是___________. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $