10.2 直线与直线间的位置关系讲义-2025-2026学年高二下学期数学沪教版必修第三册

【阿波罗计划·数学必修三】：10.2 直线与直线间的位置关系 【知识梳理】： 1. 公理4：平行于同一条直线的两条直线相互平行． （平行的传递性） 2. 等角定理及其推论 （1）等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等； （2）等角定理的推论 推论1：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或者互补； 推论2：如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等． 3. 异面直线及其判定定理 （1）异面直线的定义：不同在任何一条直线上的两条直线叫做异面直线。 （2）异面直线判定定理：过平面外一点与平面上一点的直线，和此平面上不经过该点的任何一条直线都是异面直线。 4. 两条异面直线所成的角 （1）两条异面直线所成的角的定义：两条异面直线平移到相交位置时所得到的锐角或直角称为这两天异面直线所成的角． （2）两条异面直线所成角的范围：． 【同步练习】：夯实双基 一、单选题 1．已知是两条异面直线，，那么与的位置关系（ ） A．一定是异面 B．一定是相交 C．不可能平行 D．不可能垂直 2．两条异面直线指的是（     ） A．不同在任何一个平面内的两条直线 B．在空间内不相交的两条直线 C．分别位于两个不同平面内的直线 D．某一个平面内的一条直线和这个平面外的一条直线 3．若异面直线分别在平面，内，且，则直线（     ） A．与直线都相交 B．至少与中的一条相交 C．至多与中的一条相交 D．与直线中的一条相交，与另一条平行 4．正方体中，与面ABCD的对角线AC异面的棱有（     ） A．4条 B．6条 C．8条 D．10条 5．已知，则等于（ ） A． B．或 C． D．以上答案都不对 6．在正方体中，点在线段上运动，则异面直线与所成角的取值范围是（ ） A． B． C． D． 7．如图中,分别是正三棱柱(两底面为正三角形的直棱柱)的顶点或所在棱的中点，则表示直线是异面直线的图形有（    ） A．①③ B．②③ C．②④ D．②③④ 8． 如图，在空间四边形中，E，F分别是边上的点，且；，，则异面直线和所成角的度数为（    ） A． B． C． D． 9．已知和是成角的两条异面直线，则过空间一点且与都成角的直线共有（   ） A．2条 B．3条 C．4条 D．无数条 10．是棱长为1的正方体，一个质点从A出发沿正方体的面对角线运动，每走完一条面对角线称“走完一段”，质点的运动规则如下：运动第i段与第段所在的直线必须是异面直线（其中i是正整数），问质点走完的第2022段与第1段所在的直线所成的角是（    ） A．0° B．30° C．60° D．90° 二、填空题 11．如图是一个空间四边形，判断下列两直线的关系：    （1）直线与直线的位置关系是 ； （2）直线与直线的位置关系是 ； （3）直线与直线的位置关系是 ． 12．下列说法中正确的是 .（写出所有正确说法的序号）①两直线无公共点，则两直线平行；②两直线若不是异面直线，则必相交或平行；③过平面外一点与平面内一点的直线，与平面内的任一直线均构成异面直线；④和两条异面直线都相交的两直线必是异面直线. 13．已知，直线，直线且与是异面直线，则与所成角的大小是 . 14．在正方体中，与成角的面对角线的条数是 15．已知，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊂平面α，CD⊄平面α，则直线CD与平面α内的任意一条直线m的位置关系是 ． 16．如图，正方体中，E，F，G分别是棱，及的中点，，则 .    17．在空间四边形中，点分别为的中点，设，则与的大小关系式 ． 18．若异面直线a，b所成的角为，且直线，则异面直线b，c所成角的范围是 ． 19．设点平面，点平面，，且点直线，点直线，则直线与过、两点的直线的位置关系 20．在空间四边形中，分别是中点，且又，则与所成角的大小为 . 21．一个正方体纸盒展开后如图，在原正方体纸盒中有下列结论：①  ②与成  ③与是异面直线  ④，其中正确的是 ． 22．如图，将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一小块，八个顶点共截去八小块，得到八个面为正三角形、六个面为正方形的“阿基米德多面体”，则异面直线与所成角的大小是 三、解答题 23．已知平面，直线，，直线，，A与B不重合．求证：直线a与b是异面直线．    24．已知直线c、d分别与异面直线a、b相交于E、F和G、H四点，利用反证法证明：直线c、d是异面直线． 25．如图，已知是底面边长为1的正四棱柱，高． （1）求：异面直线与所成角的大小； （2）求：异面直线与的距离． 26．如图，为空间四边形，点、分别是、的中点，点、分别在、上，且，．求证： （1）、、、四点共面； （2）、必相交且交点在直线上． 27．如图所示，和的对应顶点的连线，，交于同一点O，且.    （1）证明: ，，. （2）求的值. 28．如图，在正方体中，E、F、G、H分别是棱、、、的中点. （1）判断直线与的位置关系，并说明理由； （2）求：异面直线与所成的角的大小. 29．在空间四边形ABCD中，，点M､N分别为BD､AC的中点. （1）若直线AB与MN所成角为60°，求：直线AB与CD所成角的大小； （2）若直线AB与CD所成角为，求：直线AB与MN所成角的大小. 30．设E、F、G、H分别是空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点，P、Q分别是这个空间四边形两条对边BD、AC的中点． （1）求证：； （2）若，，求：的值； （3）若，，，求：异面直线AC与BD所成的角的大小； （4）求证：EG、FH、PQ相交于同一点． 观看视频与讲义，完成习题： https://www.bilibili.com/video/BV1Gp4y1Q7K5?spm_id_from=333.788.videopod.episodes&vd_source=aa02aff039996f0fa1cbed9cbf97eb59&p=7 学科网（北京）股份有限公司 $$