10.1 平面及其基本性质（讲义）高二数学沪教版必修第三册

本讲义聚焦高中数学“空间直线与平面”章节中“平面及其基本性质”核心知识点，系统梳理平面的表示与画法、三大公理及推论、斜二测画法等内容，为后续空间位置关系学习构建从基础概念到逻辑推理的完整学习支架。 该资料以题型分类（符号使用、位置画法、点线共面等）引导学生规范数学语言表达，通过公理应用与证明题（如点共线、线共点）培养逻辑推理的数学思维，结合斜二测画法作图与计算发展几何直观的数学眼光。课中例题与变式巩固助力教师高效授课，课后分层练习帮助学生查漏补缺，强化知识应用能力。

第10章 空间直线与平面 10.1 平面及其基本性质 课标要点 1.认识平面的表示、画法与基本特征，规范区分点、直线、平面间的位置关系符号书写。 2.熟记平面三大公理及公理 2 的三条推论，能准确写出公理文字与对应数学符号表达式。 3.理解三大公理核心用途，会运用公理完成点线共面、点共线、线共点基础证明题。 4.掌握斜二测画法作图规则，熟练换算原图与直观图的长度、面积比例关系。 学习重难点 重点： 1.平面的规范画法、表示方法，分清∈与⊂两类几何符号，杜绝书写混用错误。 2.平面三大公理及公理 2 三条推论，掌握每条公理对应的几何证明解题应用场景。 3.斜二测画法作图步骤，牢记原图与直观图的长度变化规律、面积换算公式。 难点： 1.灵活运用三大公理完成立体几何证明，理清点共线、线共点、点线共面证明逻辑。 2.斜二测图形面积换算，易混淆 y 轴长度缩放比例，计算原图、直观图面积易出错。 知识点一 平面 平面 叙述 平面的表示 ①在立体几何中，通常以用平行四边形来表示平面 可写成平面，平面，平面或平面（对角线） 平面的画法 ①当平面水平放置时，平行四边形的锐角一般画成45°，且横边长等于其邻边长的2倍； ②当平面竖直放置时，平行四边形的一组对边通常画成铅垂线 图示 平面的特点 ①平面是平的； ②平面是无限延展的没有边界的； ③平面是没有厚度的。 点、直线、平面的位置关系 ①点与直线（平面）的位置关系只能用“”或“”； ②直线与平面的位置关系只能用“”或“” 即学即练 1．用集合符号表述语句“平面经过直线”：________． 【答案】 【详解】略. 知识点二 3个公理 1、公理1 文字定义：如果一条直线上有两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内。 符号表达： 核心作用：①判断直线、点是否在平面内；②借助直线检验平面。 2、公理2及其三个推论 公理2：过不在同一条直线上的三个点，有且只有一个平面。 功能：确定平面、判定两平面重合、证明点线共面。 三条推论： 推论1：经过一条直线和直线外一点，有且只有一个平面； 推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面； 推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面。 3、公理3 文字定义：两个不重合的平面若有一个公共点，则它们有且只有一条经过该点的公共直线。 核心作用：①判断两平面相交；②证明多点共线；③证明多条直线交于同一点。 即学即练 2．下列条件可以唯一确定一个平面的是（    ） A．空间中的三个点 B．空间中的两条直线 C．空间中垂直的两条直线 D．空间中相交的两条直线 【答案】D 【详解】对于A，如果三点共线，则无法确定一个平面，故A错误； 对于B，如果两条直线为异面直线，则无法确定一个平面，故B错误； 对于C，如果两条直线是异面垂直，则无法确定一个平面，故C错误； 对于D，由平面的基本性质，两条相交直线可以确定唯一的一个平面，故D正确. 知识点三 直观图 1、斜二测画法 空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，其规则是： 第一步 在已知图形中取互相垂直的轴和轴，两轴相交于点 画直观图时，把它们画成对应的轴和轴，两轴相交于点，且使(或)，它们确定的平面表示水平面. 第二步 已知图形中平行于轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于轴或轴的线段 第三步 已知图形中平行于轴的线段，在直观图中保持原长度不变， 平行于轴的线段，长度为原来的一半 强调注意： “斜”是指在已知图形的平面内与x轴垂直的线段，在直观图中均与轴成45°或135°； “二测”是指两种度量形式，即在直观图中，平行于轴或轴的线段长度不变；平行于轴的线段长度变为原来的一半． 2、直观图的面积与原图面积之间的关系 ①原图形与直观图的面积比为，即原图面积是直观图面积的倍， ②直观图面积是原图面积的倍. 即学即练 3．已知的直观图如图所示，//轴，//轴，且，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】根据斜二测画法可知，， 则． 题型01 符号的正确使用 解题贴士 点是元素，直线、平面是集合，对应符号不能混用。点与线、点与平面从属关系用；直线与平面、直线与直线包含关系用。 典｜例｜精｜析 【例1】如果点在直线上，而直线又在平面内，那么可以记作（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【详解】点是一个元素，直线和平面是一个集合，点在直线上可表示为：，AB错误； 而直线在平面内表示为，C错误，D正确． 故选：D 【例2】用集合符号表述下列语句，并将语句所描述的图形画在图中：    （1）点A在平面上：______； （2）平面经过直线AC：______； （3）点B不在平面上：______； （4）直线BC平行于平面：______． 【答案】 ，    【详解】               ， 变｜式｜巩｜固 【变式1-1】已知点在直线上，直线在平面内，但不在平面内，下列符号表示点、线、面的关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为点在直线上可表示为，故A错误； 直线在平面内，可表示为，故C正确； 因为，，所以，故B错误； 直线不在平面内，可表示为，故D错误. 故选：C 【变式1-2】点A在直线l上，而直线l在平面β上．用集合符号表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意可知：点为元素，线和面均为集合， 结合元素、集合之间的关系可知. 故选：B. 【变式1-3】使用恰当的符号表示下列点、直线、平面之间的关系．    (1)点P与直线 (2)点B与直线 (3)点P与直线 (4)点与平面 (5)直线与平面 (6)直线与平面 (7)平面与平面 【答案】(1)直线 (2)直线 (3)直线 (4)平面 (5)直线平面 (6)直线平面 (7)平面平面 【分析】 【详解】（1）点P在直线上，则直线. （2）点B不在直线上，则直线. （3）点P不在直线上，则直线. （4）点不在平面内，则平面. （5）直线在平面内，则直线平面. （6）直线与平面平行，则直线平面. （7）平面与平面平行，则平面平面. 题型02 空间位置的画法 解题贴士 平面绘制规则：平面用平行四边形表示，看不见的轮廓线画虚线，看得见的实线；多个平面相交时，遮挡部分统一虚线。 典｜例｜精｜析 【例3】图中表示两个相交平面，其中画法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】两平面相交画出公共直线作为交线， 且看不到的直线为虚线，故只有D正确. 故选：D 【例4】用符号表示下列语句，并画出相应的图形． (1)点在平面外，点在平面内，直线经过点，； (2)平面和的交线是直线，直线经过内不在直线上的点且经过内不在直线上的点． 【答案】(1)，，，．图形见解析 (2)，，，，，，．图形见解析 【分析】 【详解】（1），，，．大致图形如图（1）． （2），，，，，，．大致图形如图（2）． 变｜式｜巩｜固 【变式2-1】如图，在长方体中，画出与、、所确定的平面的交点，并说明理由．    【答案】答案见解析 【详解】如图，，平面，    所以平面. 【变式2-2】用符号和图形表示下列语句： (1)，两点既在平面内，又在平面内，则直线是平面与平面的交线； (2)两条相交直线和都在平面内； (3)直线在平面内，直线在平面外，与相交于一点． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3)答案见解析 【详解】（1）因为，两点既在平面内，又在平面内，则直线是平面与平面的交线， 符号表示为：、，，，则. 图形表示如下：    （2）因为两条相交直线和都在平面内， 符号表示为：，，， 图形表示如下：    （3）直线在平面内，直线在平面外，与相交于一点， 符号表示为：，，， 图形表示如下：    【变式2-3】根据下列符号表示的语句，说明点、线、面之间的位置关系，并画出相应的图形． (1)，； (2)，，； (3)，，，． 【答案】(1)详情见解析 (2)详情见解析 (3)详情见解析 【详解】（1）解：点在平面上，点不在平面上，如下图所示： （2）解：直线在平面上，直线与平面相交于点，且点不在直线上，如下图所示： ． （3）解：直线经过平面外一点和平面上一点，如下图所示： 题型03 证明点（线）共面问题 解题贴士 方法一：取不在同一直线上三点确定唯一平面，再证明其余点、直线上两点都落在该平面内，利用公理1证直线在平面内。 方法二：先由部分点、直线确定平面，再取剩余点、直线确定平面，证明两平面存在三组不共线公共点，推出与重合，全部元素共面。 方法三：利用相交直线、平行直线、直线加线外一点确定平面，再证其余元素满足在该平面的条件。 典｜例｜精｜析 【例5】如图，在下列正方体中，M，N为正方体的两个顶点，P，Q分别为所在棱的中点，则在这四个正方体中，M，N，P，Q四点共面的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于A：显然、、在正方体的上底面，且三点不共线，不在正方体的上底面， 所以、、、四点不共面，故A错误； 对于B： 如图，，即、、、四点共面，即、、三点共面，且三点不共线， 又平面，所以、、、四点不共面，故B错误； 对于C：显然、、在正方体的下底面，且三点不共线，不在正方体的下底面， 所以、、、四点不共面，故C错误； 对于D： 如图，连接，则，又，所以， 所以、、、四点共面，故D正确. 故选：D 【例6】如图，在正方体 中，分别是棱的中点.求证：四点共面. 【答案】证明见解析 【详解】如图， 取的中点，连接， 因为分别是棱的中点， 所以，，所以，四点共面， 又，，所以，四点共面， 又因为过不共线的三点的平面具有唯一性， 则平面与平面重合，故四点共面. 变｜式｜巩｜固 【变式3-1】空间四点A、B、C、D，若直线，，同时成立，则A、B、C、D四点的位置关系是（   ） A．一定共面 B．不一定共面 C．一定不共面 D．满足题设的四点不存在 【答案】B 【详解】若A、B、C、D四点共面且D是△ABC的垂心时， ，，同时成立， 故A、B、C、D四点可能共面； 若A、B、C、D四点不共面，当是正四面体时，因为正四面体对棱互相垂直， 此时，，同时成立， 故A、B、C、D四点也可能不共面. 【变式3-2】在正方体中，、分别为与的中点，求证：、、、四点共面 【答案】证明见解析 【详解】 连接， 因为，可知为平行四边形， 则， 因为、分别为与的中点，由中位线可知， 所以， 所以、、、四点共面. 【变式3-3】如图所示，在空间四面体中，、分别是、的中点，、分别是、上的点，且，.求证：、、、四点共面； 【答案】证明见解析 【详解】连接，，因为、分别是、的中点， 所以， 又、分别是、上的点，且，， ，， 、、、四点共面. 题型04 证明线共点问题 解题贴士 第一步：选取其中两条直线，证明两直线不平行，存在唯一交点； 第二步：证明交点同时在两条直线各自所属的平面内； 第三步：利用公理3，两平面公共点必在交线上，推出在剩余直线上； 典｜例｜精｜析 【例7】如图，在空间四边形ABCD中，点H，G分别是AD，CD的中点，E，F分别是边AB，BC上的点，且．求证：直线相交于一点． 【答案】证明见解析 【详解】如图所示，连接EF，GH， 由H，G分别是AD，CD的中点，则，且， 又，则，且， 所以，且，所以EH与FG相交，设交点为P， 又，平面ABD，则平面ABD， 同理平面BCD， 又平面平面，则， 所以直线相交于一点． 【例8】如图，已知分别是正方体的棱、、、的中点，且与相交于点．求证：点在直线上．    【答案】证明见解析 【详解】平面平面， 由于平面，平面， 所以，也即点在直线上.    变｜式｜巩｜固 【变式4-1】在空间四边形的边上分别取点，如果相交于一点，那么一定在直线________上． 【答案】BD 【详解】由题意，且， 因为点分别在上，而是平面内的直线， 所以平面，平面， 所以直线平面， 所以平面 因为点分别在上，而是平面内的直线， 所以平面，平面， 所以直线平面， 所以平面， 因此，直线与的公共点在平面与平面的交线上， 因为平面平面， 所以点直线． 故答案为：BD. 【变式4-2】如图所示，已知四面体中，E，F分别是AB，AD上的点，G，H分别是BC，CD上的点，且四边形是以EF，GH为底的梯形．求证：直线EG，FH，AC相交于同一点． 【答案】证明见解析 【详解】四边形是梯形，其两腰所在直线必相交． 设两腰EG，FH的延长线相交于一点， 平面ABC，平面ACD，平面ABC，平面ACD． 又平面平面， ，故直线EG，FH，AC相交于同一点． 【变式4-3】如图，在正四棱台中，分别为棱，，，上的点.已知，，，，正四棱台的高为6.证明：直线，，相交于同一点. 【答案】证明见解析 【详解】在正四棱台中，因为，，，，所以四边形，均为梯形， 则直线与必相交，与必相交. 延长，，，设的延长线与的延长线交于点， 的延长线与的延长线交于点． 在正四棱台中，，， 则，，得，所以点重合， 即直线，，相交于同一点. 题型05 证明点共线问题 解题贴士 要证多点共线，只需证明所有点同时落在两个不同平面内；根据公理3，两平面公共点全部在唯一交线上，即可证多点共线。 典｜例｜精｜析 【例9】若直线l与平面相交于点O，A，B∈l，C，D∈，且AC//BD，则O，C，D三点的位置关系是________． 【答案】共线 【详解】因AC//BD，则AC与BD确定一个平面，而C，D∈，从而得， 又，即，而，则有，于是得， 所以O，C，D三点共线. 故答案为：共线 【例10】如图，在空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，G，H分别在BC，CD上，且．设EG与FH交于点P，求证：P，A，C三点共线． 【答案】证明见解析 【详解】因为， 所以． 由已知可得，平面ABC，平面ABC， 所以平面ABC， 所以平面ABC． 同理，平面ADC，平面ADC． 所以为平面ABC与平面ADC的一个公共点． 又平面平面， 所以， 所以P，A，C三点共线． 变｜式｜巩｜固 【变式5-1】如图，在正方体中，为棱的靠近上的三等分点.设与平面的交点为，则（    ）        A．三点共线，且 B．三点共线，且 C．三点不共线，且 D．三点不共线，且 【答案】B 【详解】连接连接，，    直线平面平面. 又平面，平面平面直线 ∴三点共线. . 故选：B. 【变式5-2】如图，在空间四边形中， 分别在上，与交于点，求证：三点共线.    【答案】证明见解析 【详解】平面， 平面，同理，平面. 是平面与平面的公共点. 又平面平面， ,三点共线.    【变式5-3】如图，在三棱锥中，作截面，，的延长线交于点M，，的延长线交于点N，，的延长线交于点K．判断M，N，K三点是否共线，并说明理由． 【答案】三点共线，理由见解析 【详解】M，N，K三点共线．理由如下： 因为即在平面内又在平面内，所以在平面与平面的交线上，所以是平面与平面的交线， 即在平面内又在平面内，所以在平面与平面的交线上，所以是平面与平面的交线， 又平面与平面是同一平面，所以与是同一条直线，即M，N，K三点共线． 题型06 画直观图及直观图的还原 典｜例｜精｜析 【例11】用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时，则（   ） A．相等的角在直观图中仍然相等 B．相等的线段在直观图中仍然相等 C．菱形的直观图是菱形 D．三角形的直观图是三角形 【答案】D 【详解】如图： 平面正方形的直观图为平行四边形，且，，，，. 所以对A：，但直观图中，，故A错误； 对B：平面图形中，，但直观图中，，，所以，故B错误； 对C：正方形（也是菱形）的直观图为平行四边形，因为，所以四边形不是菱形，故C错误； 根对D：据斜二测画法的规则可知，三角形的直观图是三角形，故D正确. 【例12】若把一个高为10cm的圆柱的底面画在平面上，则圆柱的高应画成（ ）． A．平行于轴且大小为10cm B．平行于轴且大小为5cm C．与轴成且大小为10cm D．与轴成且大小为5cm 【答案】A 【详解】圆柱中平行于z轴（或在z轴上）的线段，在直观图中的方向和长度都与原来保持一致， 所以圆柱的高应画成平行于轴且大小为10cm. 变｜式｜巩｜固 【变式6-1】利用斜二测画法得到的以下结论，正确的是________（写出所有正确的序号）． ①三角形的直观图是三角形；②平行四边形的直观图是平行四边形；③正方形的直观图是正方形；④圆的直观图是椭圆；⑤菱形的直观图是菱形． 【答案】①②④ 【详解】①三角形的直观图是三角形； ②平行四边形的直观图是平行四边形； ③正方形的对边平行在直观图中仍然平行，但四个角不再相等，故直观图不是正方形； ④圆的直观图是椭圆； ⑤菱形的对边平行在直观图中仍然平行，但邻边不不一定相等，直观图不一定是菱形． 【变式6-2】如下图，已知图2为甲同学用斜二测画法作出的在平面直角坐标系中正五边形（见图1）的直观图即五边形，且保持坐标轴上的单位长度不变，其中各点的做法可能正确的为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】斜二测画直观图时，平行或与x轴重合的线段长度不变，则长度不变， 平行或与y轴重合的线段长度减半，则减掉一半，线段对应线段也会缩小， 所以的对应点画对了，的对应点画错了. 【变式6-3】画出如图水平放置的直角梯形的直观图，若图中1单位为1cm，求直观图的面积. 【答案】 面积为 【详解】第一步：结合所给图形，画出相应的轴和轴，使； 第二步：在轴上截取， 在轴上截取，过点作轴的平行线， 在上沿轴正方向取点，使得，连接； 第三步：所得四边形就是直角梯形的直观图； 四边形为梯形，高为， 故直观图的面积. 题型07 斜二测画法的计算问题 解题贴士 要证多点共线，只需证明所有点同时落在两个不同平面内；根据公理3，两平面公共点全部在唯一交线上，即可证多点共线。 典｜例｜精｜析 【例13】如图所示，正方形的边长为，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的高是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】如图所示，作出原图： 因为正方形的边长为， 所以， 由斜二测画法的规则可知，，， 因为正方形是水平放置的一个平面图形的直观图， 所以原图形的高是. 【例14】如图，四边形是正方形的直观图，且，则四边形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】∵ 四边形是正方形的直观图，在轴上且，根据斜二测画法规则，平行于轴的线段长度不变， ∴ 原正方形的对角线. ∴ 原正方形的面积. ∵ 斜二测画法中，直观图面积与原图形面积的比例为， ∴ 四边形的面积. 变｜式｜巩｜固 【变式7-1】如图，正方形的边长为2，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的面积为（    ） A． B． C． D．12 【答案】C 【详解】作出原图如图，在直观图中，， 则在原图形平行四边形中， 所以原图形的面积为. 【变式7-2】水平放置的的直观图如图所示，若，的面积为，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】如图，作于，，则，所以， 在原图形中，， 所以. 【变式7-3】如图，直角梯形满足，，，它是水平放置的平面图形的直观图，则该平面图形的周长是__________． 【答案】/ 【详解】 如图所示，为还原的平面图形，其中， 在直观图中，，，， 故，则， 则在中，，则 在中，，，则； 故周长为． 基础通关 1．下列条件一定能确定一个平面的是（    ） A．空间三个点 B．空间一条直线和一个点 C．两条相互垂直的直线 D．两条相交的直线 【答案】D 【详解】对于A，如果三点共线，则无法确定一个平面，所以A错误； 对于B，如果点在直线上，则无法确定一个平面，所以B错误； 对于C，如果两条直线是异面垂直，则无法确定一个平面，所以C错误； 对于D，由平面的基本性质，两条相交直线可以确定唯一的一个平面，所以D正确. 2．经过两条不同直线的平面个数可能为（   ） A．1 B．2 C．0或1 D．1或2 【答案】C 【详解】若两条直线平行或相交，则有且仅有1个平面经过两条不同直线； 若两条直线异面，则不存在经过两条不同直线的平面，即0个. 3．“平面上有一条直线，则这条直线上的一点必在这个平面上”用符号语言表述是（    ） A．若，，则 B．若 ，，则 C．若 ，，则 D．若 ，，则 【答案】C 【详解】平面上有一条直线，表述为，点在直线内表述为，点在平面内表述为； 故对应的符号语言为：若，，则，故C正确. 4．用斜二测画法画水平放置的的直观图如图所示，其中，，则在中，的长度为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】在中，，则, 在中，,, 因此 5．如图，在长方体中，、分别为矩形、矩形对角线的交点，则平面与平面的交线为（   ）    A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 【答案】C 【详解】点是长方体的顶点，显然平面 且平面， 所以平面平面； 是矩形的对角线交点，则平面，平面， 所以平面平面， 所以平面平面. 故选：C 6．如图，，，，且，直线，过三点的平面记作，则与的交线必通过（　　） A．点 B．点 C．点但不过点 D．点和点 【答案】D 【详解】∵直线，且，所以，由，则； 又因为且. 所以. 所以与的交线必通过点和点. 7．（多选）下列命题错误的是（   ） A．两两相交且不共点的三条直线确定一个平面 B．四边形可以确定一个平面 C．经过同一直线上的3个点的平面有且仅有3个 D．经过两条平行直线，有且只有一个平面 【答案】BC 【详解】A选项正确，两两相交且不共点的三条直线确定一个平面，因为他们构成一个三角形， 而三角形唯一确定一个平面； B选项不正确，因为四边形包括空间四边形，此类四边形不能确定一个平面； C选项不正确，经过同一直线上的3个点的平面有无数个，因为直线可以位于无数个平面； D选项正确，经过两条平行直线，有且只有一个平面. 故选：BC. 8．如图，直角是一平面图形的直观图，斜边，则这个平面图形的面积为_________． 【答案】 【详解】由图知，在中，， 则的面积为， 故这个平面图形的面积为. 9．已知平面α与平面β相交于直线l，若，，则M与a的位置关系是________． 【答案】或 【详解】若点是和直线的交点，则，若点在外且，则 故答案为：或 10．如图，在长方体中，P为棱的中点． (1)画出平面PAC与平面ABCD的交线； (2)画出平面与平面ABCD的交线． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【分析】 【详解】（1）平面PAC与平面ABCD的交线为AC，如图（1）. （2）延长交于点E，连接CE， 则CE为平面与平面ABCD的交线，如图（2）. 11．如图所示，在中，，边上的高． (1)画出水平放置的的直观图； (2)求直观图的面积． 【答案】(1)作图见解析 (2) 【分析】 【详解】（1）①以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，如图①， ②画出对应的，轴，使， 在轴上取点，，使，， 在轴上取点，使， 连接，，则即为的直观图，如图②． （2）在图②中，作，为垂足， ，， ， ． 12．如图，在长方体中，，，，分别为棱，的中点. 求证：，，，四点共面. 【答案】证明见解析 【详解】连接， 在长方体中， ∵∴四边形是平行四边形， ∴， 又因为，分别为棱，的中点，所以， 所以， 所以，，，四点共面. 素养提升 13．下列选项中，，，，分别是所在棱的中点，则这四个点不共面的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】在A图中，分别连接， 由正方体可得四边形为矩形，则， 因为为中点，故，则，所以四点共面. 在B图中，设为所在棱的中点，分别连接， 由A的讨论可得，故四点共面， 同理可得，故，同理可得， 故平面，平面，所以六点共面. 在C图中，由为中点可得，同理， 故，所以四点共面. 在D图中，为异面直线，四点不共面. 故选：D. 14．一个菱形的边长为4，它的一个内角为60°，将菱形水平放置并且使较长的对角线所在直线为轴，则用斜二测画法画出的这个菱形的直观图的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】画出菱形的原图，如图1，设两条对角线交于点，则. 用斜二测画法画出菱形的直观图，如图2所示，过点作，垂足为， 则，，所以该菱形的直观图的面积为. 15．如图，一个水平放置的直角梯形由斜二测画法得到的直观图是等腰梯形，其中，，则原梯形中的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为， 且是等腰梯形，所以， 在原直角梯形中，， 则，所以. 16．（8.4.2空间点、直线、平面之间的位置关系【第一课】“上好三节课，做好三套题“高中数学素养晋级之路）（多选）平面α与平面β，γ都相交，则这三个平面的交线可能有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】ABC 【详解】当经过的交线时，三个平面有一条交线，故A项正确； 当时，三个平面有两条交线，故B项正确； 当与两两相交且不交于同一条直线时，有三条交线，故C项正确； 因平面都是平坦的，且无限延展的，故三个平面最多只有三条交线，故D项错误. 故选:ABC. 17．（多选）直线、，直线、，点，点，点，点，若直线直线，则点必在直线_________上． 【答案】BD/DB 【详解】由，，，、，故，， 同理，，故，      由，，则，，故，同理可得， 又直线直线，故，即， 所以必在的交线上. 故答案为： 18．如图，已知平面，且，设在梯形中，，且.求证：共点． 【答案】证明见解析 【详解】如图，梯形中，因为， 所以与必交于一点， 设交于点，则， 又因为， 所以， 又因为，所以， 所以共点． 迁移创新 19．三个不互相重合的平面将空间分成个部分，则不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】按照三个平面中平行的个数来分类： （1）三个平面两两平行，如图1，可将空间分成部分； （2）两个平面平行，第三个平面与这两个平行平面相交，如图2，可将空间分成部分；    （3）三个平面中没有平行的平面： （i）三个平面两两相交且交线互相平行，如图3，可将空间分成部分； （ii）三个平面两两相交且三条交线交于一点，如图4，可将空间分成部分.    （iii）三个平面两两相交且交线重合，如图5，可将空间分成部分；    综上，可以为、、、部分，不能为部分， 故选：B. 20．在四边形中，，则该四边形通过斜二测画法得到的直观图面积的最大值为___________． 【答案】 【详解】记四边形的面积为，其直观图的面积为，则， 因为，则， 可得， 又因为，则，可得， 当且仅当时，等号成立， 所以． 21．在正方体中，分别为的中点，，，如图. (1)求证：四点共面； (2)作出直线与平面的交点的位置.并给出理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)与的交点R就是所求的交点，理由见解析 【分析】 【详解】（1）如图，和在同一个平面内且不平行，故必相交，设交点为O，因为F为的中点，所以且，则；同理直线与也相交，设交点为，则，故与O重合.由此可证得，故D，B，F，E四点共面. （2）设平面为.由于，所以四点共面（设为）. 因为，，所以.又，，所以， 所以.同理可证得，从而有.连接，交于点R， 因为，所以与平面的交点就是与的交点. 所以与的交点R就是所求的交点. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第10章 空间直线与平面 10.1 平面及其基本性质 课标要点 1.认识平面的表示、画法与基本特征，规范区分点、直线、平面间的位置关系符号书写。 2.熟记平面三大公理及公理 2 的三条推论，能准确写出公理文字与对应数学符号表达式。 3.理解三大公理核心用途，会运用公理完成点线共面、点共线、线共点基础证明题。 4.掌握斜二测画法作图规则，熟练换算原图与直观图的长度、面积比例关系。 学习重难点 重点： 1.平面的规范画法、表示方法，分清∈与⊂两类几何符号，杜绝书写混用错误。 2.平面三大公理及公理 2 三条推论，掌握每条公理对应的几何证明解题应用场景。 3.斜二测画法作图步骤，牢记原图与直观图的长度变化规律、面积换算公式。 难点： 1.灵活运用三大公理完成立体几何证明，理清点共线、线共点、点线共面证明逻辑。 2.斜二测图形面积换算，易混淆 y 轴长度缩放比例，计算原图、直观图面积易出错。 知识点一 平面 平面 叙述 平面的表示 ①在立体几何中，通常以用________来表示平面 可写成平面，平面，平面或平面（对角线） 平面的画法 ①当平面水平放置时，平行四边形的锐角一般画成________，且横边长等于其邻边长的________倍； ②当平面竖直放置时，平行四边形的一组对边通常画成________ 图示 平面的特点 ①平面是平的； ②平面是________的没有边界的； ③平面是没有________的。 点、直线、平面的位置关系 ①点与直线（平面）的位置关系只能用“________”或“________”； ②直线与平面的位置关系只能用“________”或“________” 即学即练 1．用集合符号表述语句“平面经过直线”：________． 知识点二 3个公理 1、公理1 文字定义：如果一条直线上有________在一个平面内，那么这条直线上________都在这个平面内。 符号表达： 核心作用：①判断直线、点是否在平面内；②借助直线检验平面。 2、公理2及其三个推论 公理2：过不在________上的三个点，有且只有一个平面。 功能：确定平面、判定两平面重合、证明点线共面。 三条推论： 推论1：经过一条直线和直线________一点，有且只有一个平面； 推论2：经过两条________直线，有且只有一个平面； 推论3：经过两条________直线，有且只有一个平面。 3、公理3 文字定义：两个不重合的平面若有一个公共点，则它们有且只有一条经过该点的________。 核心作用：①判断两平面相交；②证明多点共线；③证明多条直线交于同一点。 即学即练 2．下列条件可以唯一确定一个平面的是（    ） A．空间中的三个点 B．空间中的两条直线 C．空间中垂直的两条直线 D．空间中相交的两条直线 知识点三 直观图 1、斜二测画法 空间几何体的直观图常用________来画，其规则是： 第一步 在已知图形中取互相垂直的轴和轴，两轴相交于点 画直观图时，把它们画成对应的轴和轴，两轴相交于点，且使________(或________)，它们确定的平面表示水平面. 第二步 已知图形中________于轴或y轴的线段，在直观图中分别画成________于轴或轴的线段 第三步 已知图形中平行于轴的线段，在直观图中保持原长度________， 平行于轴的线段，长度为原来的________ 强调注意： “斜”是指在已知图形的平面内与x轴垂直的线段，在直观图中均与轴成________或________； “二测”是指两种度量形式，即在直观图中，平行于轴或轴的线段长度________；平行于轴的线段长度变为原来的________． 2、直观图的面积与原图面积之间的关系 ①原图形与直观图的面积比为________，即原图面积是直观图面积的________倍， ②直观图面积是原图面积的________倍. 即学即练 3．已知的直观图如图所示，//轴，//轴，且，则（     ） A． B． C． D． 题型01 符号的正确使用 解题贴士 点是元素，直线、平面是集合，对应符号不能混用。点与线、点与平面从属关系用；直线与平面、直线与直线包含关系用。 典｜例｜精｜析 【例1】如果点在直线上，而直线又在平面内，那么可以记作（   ） A．， B．， C．， D．， 【例2】用集合符号表述下列语句，并将语句所描述的图形画在图中：    （1）点A在平面上：______； （2）平面经过直线AC：______； （3）点B不在平面上：______； （4）直线BC平行于平面：______． 变｜式｜巩｜固 【变式1-1】已知点在直线上，直线在平面内，但不在平面内，下列符号表示点、线、面的关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】点A在直线l上，而直线l在平面β上．用集合符号表示为（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】使用恰当的符号表示下列点、直线、平面之间的关系．    (1)点P与直线 (2)点B与直线 (3)点P与直线 (4)点与平面 (5)直线与平面 (6)直线与平面 (7)平面与平面 题型02 空间位置的画法 解题贴士 平面绘制规则：平面用平行四边形表示，看不见的轮廓线画虚线，看得见的实线；多个平面相交时，遮挡部分统一虚线。 典｜例｜精｜析 【例3】图中表示两个相交平面，其中画法正确的是（    ） A． B． C． D． 【例4】用符号表示下列语句，并画出相应的图形． (1)点在平面外，点在平面内，直线经过点，； (2)平面和的交线是直线，直线经过内不在直线上的点且经过内不在直线上的点． 变｜式｜巩｜固 【变式2-1】如图，在长方体中，画出与、、所确定的平面的交点，并说明理由．    【变式2-2】用符号和图形表示下列语句： (1)，两点既在平面内，又在平面内，则直线是平面与平面的交线； (2)两条相交直线和都在平面内； (3)直线在平面内，直线在平面外，与相交于一点． 【变式2-3】根据下列符号表示的语句，说明点、线、面之间的位置关系，并画出相应的图形． (1)，； (2)，，； (3)，，，． 题型03 证明点（线）共面问题 解题贴士 方法一：取不在同一直线上三点确定唯一平面，再证明其余点、直线上两点都落在该平面内，利用公理1证直线在平面内。 方法二：先由部分点、直线确定平面，再取剩余点、直线确定平面，证明两平面存在三组不共线公共点，推出与重合，全部元素共面。 方法三：利用相交直线、平行直线、直线加线外一点确定平面，再证其余元素满足在该平面的条件。 典｜例｜精｜析 【例5】如图，在下列正方体中，M，N为正方体的两个顶点，P，Q分别为所在棱的中点，则在这四个正方体中，M，N，P，Q四点共面的是（   ） A． B． C． D． 【例6】如图，在正方体 中，分别是棱的中点.求证：四点共面. 变｜式｜巩｜固 【变式3-1】空间四点A、B、C、D，若直线，，同时成立，则A、B、C、D四点的位置关系是（   ） A．一定共面 B．不一定共面 C．一定不共面 D．满足题设的四点不存在 【变式3-2】在正方体中，、分别为与的中点，求证：、、、四点共面 【变式3-3】如图所示，在空间四面体中，、分别是、的中点，、分别是、上的点，且，.求证：、、、四点共面； 题型04 证明线共点问题 解题贴士 第一步：选取其中两条直线，证明两直线不平行，存在唯一交点； 第二步：证明交点同时在两条直线各自所属的平面内； 第三步：利用公理3，两平面公共点必在交线上，推出在剩余直线上； 典｜例｜精｜析 【例7】如图，在空间四边形ABCD中，点H，G分别是AD，CD的中点，E，F分别是边AB，BC上的点，且．求证：直线相交于一点． 【例8】如图，已知分别是正方体的棱、、、的中点，且与相交于点．求证：点在直线上．    变｜式｜巩｜固 【变式4-1】在空间四边形的边上分别取点，如果相交于一点，那么一定在直线________上． 【变式4-2】如图所示，已知四面体中，E，F分别是AB，AD上的点，G，H分别是BC，CD上的点，且四边形是以EF，GH为底的梯形．求证：直线EG，FH，AC相交于同一点． 【变式4-3】如图，在正四棱台中，分别为棱，，，上的点.已知，，，，正四棱台的高为6.证明：直线，，相交于同一点. 题型05 证明点共线问题 解题贴士 要证多点共线，只需证明所有点同时落在两个不同平面内；根据公理3，两平面公共点全部在唯一交线上，即可证多点共线。 典｜例｜精｜析 【例9】若直线l与平面相交于点O，A，B∈l，C，D∈，且AC//BD，则O，C，D三点的位置关系是________． 【例10】如图，在空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，G，H分别在BC，CD上，且．设EG与FH交于点P，求证：P，A，C三点共线． 变｜式｜巩｜固 【变式5-1】如图，在正方体中，为棱的靠近上的三等分点.设与平面的交点为，则（    ）        A．三点共线，且 B．三点共线，且 C．三点不共线，且 D．三点不共线，且 【变式5-2】如图，在空间四边形中， 分别在上，与交于点，求证：三点共线.    【变式5-3】如图，在三棱锥中，作截面，，的延长线交于点M，，的延长线交于点N，，的延长线交于点K．判断M，N，K三点是否共线，并说明理由． 题型06 画直观图及直观图的还原 典｜例｜精｜析 【例11】用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时，则（   ） A．相等的角在直观图中仍然相等 B．相等的线段在直观图中仍然相等 C．菱形的直观图是菱形 D．三角形的直观图是三角形 【例12】若把一个高为10cm的圆柱的底面画在平面上，则圆柱的高应画成（ ）． A．平行于轴且大小为10cm B．平行于轴且大小为5cm C．与轴成且大小为10cm D．与轴成且大小为5cm 变｜式｜巩｜固 【变式6-1】利用斜二测画法得到的以下结论，正确的是________（写出所有正确的序号）． ①三角形的直观图是三角形；②平行四边形的直观图是平行四边形；③正方形的直观图是正方形；④圆的直观图是椭圆；⑤菱形的直观图是菱形． 【变式6-2】如下图，已知图2为甲同学用斜二测画法作出的在平面直角坐标系中正五边形（见图1）的直观图即五边形，且保持坐标轴上的单位长度不变，其中各点的做法可能正确的为（ ） A． B． C． D． 【变式6-3】画出如图水平放置的直角梯形的直观图，若图中1单位为1cm，求直观图的面积. 题型07 斜二测画法的计算问题 解题贴士 要证多点共线，只需证明所有点同时落在两个不同平面内；根据公理3，两平面公共点全部在唯一交线上，即可证多点共线。 典｜例｜精｜析 【例13】如图所示，正方形的边长为，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的高是（     ） A． B． C． D． 【例14】如图，四边形是正方形的直观图，且，则四边形的面积为（    ） A． B． C． D． 变｜式｜巩｜固 【变式7-1】如图，正方形的边长为2，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的面积为（    ） A． B． C． D．12 【变式7-2】水平放置的的直观图如图所示，若，的面积为，则的长为（    ） A． B． C． D． 【变式7-3】如图，直角梯形满足，，，它是水平放置的平面图形的直观图，则该平面图形的周长是__________． 基础通关 1．下列条件一定能确定一个平面的是（    ） A．空间三个点 B．空间一条直线和一个点 C．两条相互垂直的直线 D．两条相交的直线 2．经过两条不同直线的平面个数可能为（   ） A．1 B．2 C．0或1 D．1或2 3．“平面上有一条直线，则这条直线上的一点必在这个平面上”用符号语言表述是（    ） A．若，，则 B．若 ，，则 C．若 ，，则 D．若 ，，则 4．用斜二测画法画水平放置的的直观图如图所示，其中，，则在中，的长度为（     ） A． B． C． D． 5．如图，在长方体中，、分别为矩形、矩形对角线的交点，则平面与平面的交线为（   ）    A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 6．如图，，，，且，直线，过三点的平面记作，则与的交线必通过（　　） A．点 B．点 C．点但不过点 D．点和点 7．（多选）下列命题错误的是（   ） A．两两相交且不共点的三条直线确定一个平面 B．四边形可以确定一个平面 C．经过同一直线上的3个点的平面有且仅有3个 D．经过两条平行直线，有且只有一个平面 8．如图，直角是一平面图形的直观图，斜边，则这个平面图形的面积为_________． 9．已知平面α与平面β相交于直线l，若，，则M与a的位置关系是________． 10．如图，在长方体中，P为棱的中点． (1)画出平面PAC与平面ABCD的交线； (2)画出平面与平面ABCD的交线． 11．如图所示，在中，，边上的高． (1)画出水平放置的的直观图； (2)求直观图的面积． 12．如图，在长方体中，，，，分别为棱，的中点. 求证：，，，四点共面. 素养提升 13．下列选项中，，，，分别是所在棱的中点，则这四个点不共面的是（    ） A． B． C． D． 14．一个菱形的边长为4，它的一个内角为60°，将菱形水平放置并且使较长的对角线所在直线为轴，则用斜二测画法画出的这个菱形的直观图的面积为（    ） A． B． C． D． 15．如图，一个水平放置的直角梯形由斜二测画法得到的直观图是等腰梯形，其中，，则原梯形中的值为（    ） A． B． C． D． 17．（多选）直线、，直线、，点，点，点，点，若直线直线，则点必在直线_________上． 18．如图，已知平面，且，设在梯形中，，且.求证：共点． 迁移创新 19．三个不互相重合的平面将空间分成个部分，则不可能是（    ） A． B． C． D． 20．在四边形中，，则该四边形通过斜二测画法得到的直观图面积的最大值为___________． 21．在正方体中，分别为的中点，，，如图. (1)求证：四点共面； (2)作出直线与平面的交点的位置.并给出理由. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $