专题01：平面及其基本性质（5大知识点+12大题型+21题强化）-2026-2027学年高二数学暑假班预习提优讲义（沪教版必修第三册）

2026-2027学年高二数学暑假班预修提升讲义【精英班课程】 专题01 平面及其基本性质 知识点一、平面的概念及表示、画法 （1）平面的概念：平面是从现实世界中抽象出来的几何概念；它没有厚薄，是无限延展的； 【诠释】 （1）“平面”是平的（这是区别“平面”与“曲面”的依据）； （2）“平面”无厚薄之分； （3）“平面”无边界，它可以向四周无限延展，这是区别“平面”与“平面图形”的依据． （2）平面的表示方法 ①图形表示：平面通常用平行四边形来表示，当平面水平放置的时候， 一般用水平放置的正方形的直观图作为平面的直观图(如图所示)； ②字母表示： 用希腊字母表示：如平面α，平面β，平面γ. 用代表平面的平行四边形的相对的两个顶点的大写英文字母表示：如平面AC，平面BD. 用代表平面的平行四边形的四个顶点的大写英文字母表示：如平面ABCD. （3）平面的画法（1）当平面水平放置时，如图（1），平行四边形的锐角通常画成45° ，且横边长等于其邻边长的2倍；当平面竖直放置时，如图（2），平行四边形的一组对边通常画成铅垂线． （2）如果一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强它的立体感，我们常把被遮挡部分用虚线画出来，也可以不画；如图（1）表示平面在平面的上面，图（2）表示平面在平面的前面； 知识点二、空间点、线、面位置关系及其符号与图形表示 点相当于集合中的元素，直线、平面相当于集合 文字语言表达 符号语言表示 文字语言表达 符号语言表示 点A在直线l上 A∈l 点A在直线l外 A∉l 点A在平面α内 A∈α 点A在平面α外 A∉α 直线l在平面α内 l⊂α 直线l在平面α外 l⊄α 直线l，m相交于点A l∩m＝A 平面α，β相交于直线l α∩β＝l 知识点三、平面的基本性质 平面的基本性质即书中的三个公理，它们是研究立体几何的基本理论基础 1、公理1 文字表示：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内； 符号表示：A∈α，B∈α⇒AB⊂α； 图形表示： 作用：①判定直线是否在平面内；②判断一个面是否是平面 2、公理2 文字表示：经过不在一条直线上的3个点，有且只有一个平面. 符号表示：A，B，C三点不共线⇒存在唯一的平面α使A，B，C∈α 图形表示： 作用：①确定平面的依据；②判定点、线共面 文字表示 符号表示 图形表示 推论1 经过一条直线与直线外一点，有且只有一个平面. ⇒存在唯一的平面，使，且； 推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面. ： ⇒存在唯一的平面，使且； 推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面 ⇒存在唯一的平面，使，且； 3、公理3 文字表示：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 符号表示：且 ⇒且； 图形表示： 作用：①判定两个平面相交的依据；②判定点在直线上 【说明】1、公理3说明，两个不重合的平面，只要有一个公共点，就一定有无数个公共点，而且这无数个公共点能构成一条直线，这条直线通常也称为两个平面的交线，如图所示，有； 2、在画两个平面相交时，其中一个平面被另一个平面遮住的部分应该画出虚线或不画，如图所示； 知识点三、点线共面的证明 所谓点线共面问题就是指证明一些点或直线在同一个平面内的问题． 1、证明点线共面的主要依据： （1）如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内（公理1）；②经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面（公理2及其推论）． 2、证明点线共面的常用方法： （1）证明几点共面的问题可先取三点（不共线的三点）确定一个平面，再证明其余各点都在这个平面内； （2）证明空间几条直线共面问题可先取两条（相交或平行）直线确定一个平面，再证明其余直线均在这个平面内． 知识点四、证明三点共线问题 所谓点共线问题就是证明三个或三个以上的点在同—条直线上． 1、证明三点共线的依据是公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们还有其他的公共点，且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线．也就说一个点若是两个平面的公共点，则这个点在这两个平面的交线上． 【诠释】①如果两个相交平面有两个公共点，那么过这两点的直线就是它们的交线；②如果两个相交平面有三个公共点，那么这三点共线；③如果两个平面相交，那么一个平面内的直线和另一个平面的交点必在这两个平面的交线上． 2、证明三点共线的常用方法 方法1：首先找出两个平面，然后证明这三点都是这两个平面的公共点．根据公理3知，这些点都在交线上． 方法2：选择其中两点确定一条直线，然后证明另一点也在其上． 知识点五、证明三线共点问题 所谓线共点问题就是证明三条或三条以上的直线交于一点． 1、证明三线共点的依据是公理3． 2、证明三线共点的思路：先证两条直线交于一点，再证明第三条直线经过这点，把问题转化为证明点在直线上的问题． 考点一、平面的概念、画法及表示 题型01：平面的概念及其表示 【方法点拨】几何中平面的特征：平面没有厚薄，是无限延展的. 【例1】下面说法中正确的是（    ） A．任何一个平面图形都是一个平面 B．平静的太平洋面是平面 C．平面就是平行四边形 D．在几何体的直观图中，平面多边形和圆、椭圆都可以表示一个平面 【答案】D 【分析】根据平面的概念，逐项判定，即可求解. 【解析】对于A中，平面是无限延展的，所以一个平面图形不是一个平面，所以A不正确； 对于B中，平静的太平洋面是个有边界的图形，不是平面，所以B不正确； 对于C中，平面可以用平行四边形表示，但平面不是是平行四边形，所以C不正确； 对于D中，在几何体的直观图中，平面多边形和圆、椭圆都可以表示一个平面，所以D正确. 故选：D. 【跟踪训练】 1. 现有下列命题：①桌面是平面；②个平面重叠起来要比个平面重叠起来厚；③有一个平面的长是，宽是；④平面是绝对平、无厚度、可以无限延展的抽象的数学概念．其中正确命题的个数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】平面的基本性质及辨析、平面的概念及其表示 【分析】根据平面的概念和特征判断即可. 【详解】由平面的概念和特征知，平面是平滑、无厚度、可无限延展的，可以判定命题④正确． 其余的命题都不符合平面的概念和特征，所以命题①②③都不正确． 故选：A． 题型02：平面的画法 【方法点拨】由图形语言表示点、线、面的位置关系时，要注意实线和虚线的区别． 【例2】下列各图符合立体几何作图规范要求的是（　　） A．直线在平面内 B．平面与平面相交 C．直线与平面相交 D．两直线异面 【答案】D 【分析】直接根据立体几何作图规范要求依次判断即可. 【解析】若直线在平面内，应将直线画在平面内，A错误； 平面与平面相交时，两个平面相交于直线，而不是点，B错误； 直线与平面相交，看不到的部分应当画虚线，C错误； 两直线异面满足作图规范. 故选：D 【跟踪训练】 1.下列图形表示两个相交平面，其中画法正确的是（   ） A．B．C． D． 【答案】D 【解析】对于A，图中没有画出平面与平面的交线，故A不正确； 对B，C，图中的虚实线没有按照画法原则去画，故 B，C不正确； 对D，符合画法原则，故D正确， 故选：D 3.下图中图形的画法正确的是_________ (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)(3) 【详解】对于(1)：点在表示平面的平行四边形内部，表示点在面内，故(1)正确； 对于(2)：直线在平面外，则直线与平面平行（没有交点），或直线与平面相交（有一个交点，记为）， 则所对应的图形如下所示： 故(2)错误； 对于(3)：由(2)可知(3)正确，故(3)正确； 对于(4)：三个平面两两相交，有一条交线或者有三条交线， 三条交线可能交于同一点也可能互相平行，(4)中没有三线平行的情形， 故(4)错误. 故选：(1)(3) 3.请给下列各图补上适当的虚线，使它们能比较直观地看出是立体图形． 【答案】作图见解析 【分析】在立体几何中，被遮挡直线画成虚线. 【详解】解：图①可看成平面被挡住一部分；图②可看成三棱锥；图③可看成是一个正方体，添加虚线即可． 如图． 题型03：用集合语言表示点、线、平面位置关系 【方法点拨】要注意符号语言的意义，如点与直线、点与平面间的位置关系只能用“∈”或“∉”，直线与平面间的位置关系只能用“⊂”或“⊄”． 【例3】下列关于点、线和面的关系表示错误的是（    ） A．点平面 B．直线平面 C．直线平面 D．平面平面 【答案】A 【解析】根据点，线，面的位置关系的符号表示，可知A.错误，应改为点平面； BCD.正确. 故选：A 【例4】若点在直线上，在平面上，则点，直线，平面之间的关系可以记作（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据空间点线面位置关系的符号语言判断即可. 【解析】点与直线的位置关于用表示 直线在平面内或不在平面内用表示 由题意可知 故选:B. 【跟踪训练】 1.用符号表示“点A不在直线上，直线在平面内”，正确的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】根据点、线以及线、面的符号表示，即得答案. 【详解】由题意用符号表示“点A不在直线上，直线在平面内”， 即，， 故选：A 2.若点A在平面内，直线l在平面内，点A不在直线l上，下列用集合表示这些语句的描述中，正确的是（    ） A．且 B．且 C．且 D．且 【答案】B 【分析】 根据点线面的关系结合元素和集合、集合与集合的关系直接写出即可. 【解析】因为直线和平面都是由点形成的， 所以根据元素与集合的关系知，点A在平面内表示为，点A不在直线l上表示为， 根据集合与集合的关系知，直线l在平面内可表示为. 故选：B 3.用符号语言改写下列语句： (1)点A在平面内，点B不在直线l上； (2)直线l在平面内，直线m与平面有且只有一个公共点M； (3)直线a和b相交于一点M． 【解析】（1）由点A在平面内，即； 由点B不在直线l上，即. （2）由直线l在平面内，即； 由直线m与平面有且只有一个公共点M，即且. （3）由直线a和b相交于一点M，即. 4．根据下列符号表示的语句，说明点、线、面之间的位置关系，并画出相应的图形． (1)，； (2)，，； (3)，，，． 【答案】(1)详情见解析 (2)详情见解析 (3)详情见解析 【分析】（1）（2）（3）根据空间中点、线、面的位置关系画出图形. 【解析】（1）解：点在平面上，点不在平面上，如下图所示： （2）解：直线在平面上，直线与平面相交于点，且点不在直线上，如下图所示： （3）解：直线经过平面外一点和平面上一点，如下图所示： 题型04：平面分空间的区域 【方法点拨】1.注意借助实物、利用几何体中的垂直、平行关系，构造三角形、特别是直角三角形解题. 2.将空间问题，转化成平面几何问题. 【例5】三个平面将空间分成7个部分的示意图是（      ） A．  B．  C．   D．   【答案】C 【分析】 根据空间中平面位置关系逐项判断即可. 【解析】对于A，三个平面将空间分成4个部分，不合题意； 对于B，三个平面将空间分成6个部分，不合题意； 对于C，三个平面将空间分成7个部分，符合题意； 对于D，三个平面将空间分成8个部分，不合题意. 故选：C 【跟踪训练】 1.一个西瓜切3刀，最多可以切成几块？最少可以切成几块？ 【答案】最多8块，最少4块. 【分析】根据空间平面的位置关系即可得到答案． 【详解】“一个西瓜切3刀，最多可以切成几块？最少可以切成几块？”相当于空间中3个平面最多可以把空间分成多少部分？最少可以把空间分成多少部分？ 当3个平面两两平行时，最少可以把空间分成4部分， 当3个平面两两相交如下图位置时，最多可以把空间分成8部分， 所以空间中3个平面最多可以把空间分成8部分，最少可以把空间分成4部分， 即一个西瓜切3刀，最多可以切成8块，最少可以切成4块. 考点二、平面的基本性质 题型05：平面基本性质辨析 【例6】给出下列四个结论： ①经过两条相交直线，有且只有一个平面； ②经过两条平行直线，有且只有一个平面； ③经过三点，有且只有一个平面； ④经过一条直线和一个点，有且只有一个平面. 其中正确结论的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据点、线、面的基本事实及推论进行判断即可. 【详解】根据基本事实以及推论，易知①②正确. 若三点共线，则经过三点的平面有无数多个，故③错误. 若点在直线外，则确定一个平面，若点在直线上，则可有无数个平面，故④错误. 即正确的命题有2个， 故选：B. 【跟踪训练】 1.下列命题正确的是（   ） A．过三个点有且只有一个平面 B．如果一条直线与两条平行直线都相交，那么这三条直线不一定共面 C．四边形为平面图形 D．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 【答案】D 【分析】根据平面的基本性质可判断A，D，由推论可判断B，根据特例可判断C. 【详解】根据公理知，过不共线的三点确定一个平面，故A错误； 因为两条平行直线确定一个平面，而两个交点都在这个平面内，故这条直线也在这个平面内，所以三条直线共面，故B错误； 由空间四边形不是平面图形可知，C错误； 由公理知，两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线，故D正确. 故选：D 2.下列命题中正确的是（    ） A．过三点确定一个平面 B．四边形是平面图形 C．三条直线两两相交则确定一个平面 D．两个相交平面把空间分成四个区域 【答案】D 【解析】选项A：过不共线的三点有且只有一个平面，故选项A错误； 选项B：四边形可能是平面图形也可能是空间图形，故选项B错误； 选项C：三条直线两两相交可能确定一个平面也可能确定三个平面，故选项C错误； 选项D：平面是无限延展的，两个相交平面把空间分成四个区域，故选项D正确. 故选：D. 2. 下列命题是真命题的是（    ） A．如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面重合 B．若四点不共面，则其中任意三点不共线 C．空间中，相交于同一点的三条直线在同一平面内 D．三个不重合的平面最多可将空间分成七个部分 【答案】B 【解析】A. 如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面可能相交或重合，所以该选项错误； B. 若四点不共面，则其中任意三点不共线，所以该选项正确； C. 空间中，相交于同一点的三条直线不一定在同一平面内，如三棱锥,相交于同一点的三条直线不在同一平面内，所以该选项错误； D. 三个不重合的平面最多可将空间分成八个部分，所以该选项错误. 故选：B 3. 自行车停放时将后轮旁边的撑子放下，自行车就停稳了，这里用到了（　　） A．两条平行直线确定一个平面 B．两条相交直线确定一个平面 C．不共线的三点确定一个平面 D．三点确定一个平面 【答案】C 【解析】自行车的前后轮与脚撑分别接触地面，使得自行车稳定， 此时自行车与地面的三个接触点不在同一条线上，即不共线的三点确定一个平面． 故选：C． 题型06：作平面的交线 【例7】如图，在长方体，P为棱的中点，画出由，，P三点所确定的平面与长方体表面的交线．    【答案】画图见解析 【分析】画平面与长方体不同的表面的交线，只需找到两平面的两个公共点，两点确定交线即可. 【详解】如图，由于P是上的点，所以平面，且平面， 所以平面平面=， 同理，平面平面=，平面平面=， 所以平面与长方体表面的交线是，，. 作法：连接，，，它们就是平面与长方体表面的交线（如图）．    【跟踪训练】 1. 如图所示，点______________平面；点______________平面；______________平面；______________平面；平面平面______________；平面______________平面______________． 【答案】 【知识点】平面的概念及其表示、判断图形中的面面关系、判断图形中的线面关系 【分析】根据点线面的位置关系即可求解. 【详解】根据点线面的位置关系即可知答案为： ；；；；；；. 2. 如图，在正方体中，平面平面______．    【答案】 【知识点】平面的基本性质及辨析 【分析】利用平面基本事实推理即得. 【详解】因为平面，平面，所以平面平面； 同理平面，平面，所以平面平面. 所以平面平面. 故答案为： 3. 如图，在长方体中， (1)设AC与BD的交点为O，O必为平面______与平面______的公共点（答案不唯一）； (2)画出平面与平面的交线． 【答案】(1)O必为平面与平面的公共点，（答案不唯一） (2)答案见解析 【知识点】平面的基本性质及辨析、空间位置关系的画法 【分析】（1）直接利用平面的性质和平面的图形求出两平面的交点． （2）直接利用平面所在的位置求出结果． 【详解】（1）在长方体中， 如图所示： 设与的交点为，因为平面，平面， 所以平面，平面， 故必为平面与平面的公共点，（答案不唯一） （2）因为平面，平面， 所以平面与平面的交线为. 如图：作出平面与平面的交线为． 4. 如图所示，G是正方体ABCD­A1B1C1D1的棱DD1延长线上的一点，E，F是棱AB，BC的中点，试分别画出过下列各点、直线的平面与正方体表面的交线． (1)过点G及AC． (2)过三点E，F，D1． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【分析】（1）连接GA交A1D1于点M，连接GC交C1D1于点N，从而可以得到过点G及AC的平面 （2）根据两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线，即可作出交线 【详解】（1）画法：连接GA交A1D1于点M，连接GC交C1D1于点N； 连接MN，AC，则MA，CN，MN，AC为所求平面与正方体表面的交线．如图①所示． （2）画法：连接EF交DC的延长线于点P，交DA的延长线于点Q； 连接D1P交CC1于点M，连接D1Q交AA1于点N； 连接MF，NE，则D1M，MF，FE，EN，ND1为所求平面与正方体表面的交线．如图②所示． 题型07：点（线）确定平面的数量问题 【例8】空间中有三条直线，如果其中一条直线和其他两条直线都相交，那么这三条直线能确定的平面个数是（    ） A．1或2 B．3或4 C．1或2或3 D．1或3或4 【答案】C 【分析】分三种情况讨论即可求解. 【详解】如图，在正方体中， ①，，直线，与可以确定1个平面（平面）； ②，，直线，与可以确定2个平面（平面和平面）； ③三条直线，，交于一点，它们可以确定3个平面（平面，平面和平面）． 故选：C. 【例9】空间中三条平行直线最多确定 个平面. 【答案】3 【分析】 结合公理2的推论3分析判断. 【解析】三条平行直线在一个平面内时，确定一个平面， 当三条平行直线不在同一个平面时，两两能确定一个平面，共能确定三个平面. 所以空间中三条平行直线最多确定三个平面. 故答案为：3. 【跟踪训练】 1.下列命题是真命题的是（    ） A．空间任意三个点确定一个平面 B．一个点和一条直线确定一个平面 C．两两相交的三条直线确定一个平面 D．两两平行的三条直线确定一个或三个平面 【答案】D 【分析】根据题意，结合确定平面的依据，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，当三个点共线时，可作无数个平面，所以A是假命题； 对于B中，如果这个点在这条直线上，这时有无数个平面， 如果这个点不在这条直线上，由推论1知，有且只有一个平面，所以B是假命题． 对于C中，当三条直线可能交于同一点，可能确定三个平面；当三条直线有三个不同的交点，可以确定一个平面，所以C是假命题； 对于D中，两两平行的三条直线，根据推理（3）可以确定一个或三个平面，所以D正确； 故选：D. 2.空间有6个点，其中任意三点不共线，且有五个点共面，则这6个点最多可以确定 个平面． 【答案】11 【分析】根据不共线的三点确定唯一一个平面，即可列举求解. 【详解】记5个共面的点分别为 ，不共面的第6个点为,则从中随机选取两个点，连同第6个点，即可构成一个平面，此时共有 共有10 个平面，这5个点确定一个平面，故最多可以确定10+1=11个平面， 故答案为：11 3. 一条直线和直线外的三点所确定的平面有（   ） A．1个或3个 B．1个或4个 C．1个，3个或4个 D．1个，2个或4个 【答案】C 【解析】若三点在同一条直线上， 且与已知直线平行或相交，即该直线在由该三点确定的平面内，则均确定1个平面； 若三点中有两点的连线和已知直线平行时可确定3个平面； 若三点不共线，且该直线在由该三点确定的平面外，则可确定4个平面， 故选：C 考点三、综合提升 题型08：点线共面问题 【方法点拨】（1）纳入法：先由部分直线确定一个平面，再证明其他直线在这个平面内． （2）重合法：先说明一些直线在一个平面内，另一些直线在另一个平面内，再证明两个平面重合． 【例10】两两相交且不过同一个点的三条直线必在同一个平面内． 已知：如图，直线两两相交，交点分别为．求证：直线共面．    【解析】因为直线和相交于点， 所以直线和可确定一个平面，记为． 因为，，所以，．所以． 因此，直线都在平面内，即它们共面． 【例11】给出以下四个命题： ①不共面的四点中，其中任意三点不共线； ②若点A，B，C，D共面，点A，B，C，E共面，则点A，B，C，D，E共面； ③若直线a，b共面，直线a，c共面，则直线b，c共面； ④依次首尾相接的四条线段必共面． 其中正确的有 ．(填序号) 【答案】① 【解析】对于①，反证法：如果四个点中，有个点共线，第个点不在这条直线上， 根据基本事实的推论可知，这四个点共面，这与已知矛盾，故①正确； 对于②，如下图，共面，共面，但不共面，故②错误； 对于③，如下图，共面，共面，但异面，故③错误； 对于④，如下图，四条线段首尾相接，但不共面，故④错误. 故答案为：①. 【跟踪训练】 1. 如图所示，在空间四面体中，、分别是、的中点，、分别是、上的点，且，.求证：、、、四点共面； 【解析】连接，，因为、分别是、的中点， 所以， 又、分别是、上的点，且，， ，， 、、、四点共面. 题型09：点共线问题 【方法点拨】证明多点共线的方法： 1.选择两点确定一条直线，然后证明其它点在这条直线上； 2.证明这些点都在两个平面内，而两平面相交，因此这些点都在两平面的交线上． 【例12】如图，正方体中，O是中点，与截面交于P，那么、P、O三点共线，其理由是 ．    【答案】、P、O是平面和平面的公共点，所以它们共平面与平面的交线 【分析】确定、、平面，、、平面，得到结论. 【详解】O是中点，则O是中点，故平面， 与截面交于P，故，故平面，又平面， 故、、平面，又、、平面， 故、、在平面和平面的交线上. 故答案为：、P、O是平面和平面的公共点，所以它们共平面与平面的交线. 【跟踪训练】 1. 如图所示，在平面外，三边AB，AC，BC所在直线分别交平面于P，Q，R三点．求证：P，Q，R三点在同一直线上． 【解析】由，可知点， 且平面ABC，可知点平面ABC，又， 所以点P在平面ABC与平面的交线上， 同理可得：点Q，R均在平面ABC与平面的交线上， 所以P，Q，R三点共线． 2．如图，在正方体中，对角线与平面交于点O，AC与BD交于点M，E为AB的中点，F为的中点，求证：，O，M三点共线． 【答案】证明见解析 【知识点】空间中的点共线问题 【分析】由题意得平面，又可证平面，根据基本事实，即可得证． 【详解】由题意得平面， 又，平面， 所以平面， 由基本事实3可得，点在平面和平面的交线上， 所以三点共线． 题型11：线共点问题 【方法点拨】证明三线共点时，首先证明两条直线相交于一点，再证这一点在另一条直线上．要证这一点在另一条直线上，可证这一点在以这条直线为交线的两个平面上． 【例13】如图所示，在正方体中，分别为的中点．求证：三线交于一点．    【答案】证明见解析 【分析】如图，连接，可证明四点共面，结合基本事实3即可证明. 【详解】连接，    因为为的中点，为的中点，所以且. 又因为且，所以且， 所以四点共面， 设.又平面平面， 所以点为平面与平面的公共点． 又因为平面平面， 所以根据基本事实3,得， 即三线交于一点． 【跟踪训练】 1. 如图，在空间四边形中，，分别是，的中点，，分别是边，上的点，且．求证：直线，，相交于一点． 【解析】在空间四边形中，连接， ∵分别为的中点，则，且， 又由，则，且， 故，且，故四边形为梯形，与交于一点， 设与交于点，如图， 由于平面，故点在平面内，同理点在平面内， 又∵平面平面，∴点在直线上， 故直线相交于一点． 2. 已知正方体中，G，H分别是，的中点，求证：，，延长后相交于一点. 【解析】∵，， ∴，又， ∴. ∴G，H，B，D四点共面，且四边形为梯形. 延长，后必交于点P，如图. 由，平面， ∴平面，同理平面. ∴P在面和面的交线上，又面面， ∴. ∴，，延长后相交于一点. 题型12：截面问题 【方法点拨】空间图形截面有三种方法：直接法、平行线法、延长线法 【例14】如下图所示，在正方体中，如果点E是的中点，那么过点、B、E的截面图形为（     ） A．三角形   B．矩形 C．正方形 D．菱形 【答案】D 【分析】根据题意作出截面图形，然后利用正方体的性质求解即可. 【详解】分别取的中点，连接， 如图即为过点、B、E截正方体所得的截面图形， 由题意可知：且，所以四边形为平行四边形， 所以，又因为且，且， 所以且，所以四边形为平行四边形，所以, 所以，同理，所以四边形为平行四边形， 又因为，所以平行四边形为菱形， 故选：. 【跟踪训练】 1．如图所示，今有一正方体木料，其中M、N分别是AB、CB的中点，要过、M、N三点将木料锯开，请你帮助木工师傅想办法，怎样画线才能顺利完成？ 【答案】答案见解析 【分析】根据空间点线面位置关系可解.连接MN并延长交DC的延长线于F，连接交于Q，连接QN；同理延长NM交DA的延长线于E，连接交于P，连接MP即可. 【详解】作法如下： (1)连接MN并延长交DC的延长线于F，连接交于Q，连接QN； (2)延长NM交DA的延长线于E，连接交于P，连接MP； (3)依次在正方体各个面上画线，PM，MN，NQ，，即为木工师傅所要画的线． 2.如图，在棱长为6的正方体中，P为的中点，Q为的一个三等分点（靠近C）．    (1)经过P，Q两点作平面，平面截正方体所得截面可能是n边形，请根据n的不同取值分别作出截面图形（每种情况作一个代表类型，例如只需要画一种，下面给了四幅图，可以不用完，如果不够请自行增加），保留作图痕迹；    (2)若M为AB的中点，求过点P，Q，M的截面的面积． 【解析】（1）截面可以分别为三角形，四边形，五边形，六边形, 如图，取上一点，连结，即为截面三角形； 如图，取线段上，靠近点处的一点，延长， 连结，，连结，则四边形为截面四边形；和 取上靠近点的四等分点，连结并延长，交于点， 连结并延长，交于点，连结并延长，交于点， 连结并延长，交于点，连结，如图五边形为截面五边形. 如图，延长，交的延长线交于点，取上靠近点的三等分点， 连结，并延长，交于点，连结，交于点，六边形为截面六边形. （2）如图：连接PQ所在直线交DC延长线于X，交的延长线于Z； 连接直线MX交BC于R，交DA延长线于Y； 连接YZ分别交，于S，T．则六边形PQRMST即为截面． ∵P为的中点，Q为的一个三等分点（靠近C），∴，，， 可得，，，， 又，，所以，，，， 又，M为AB的中点，，，所以YDZ为等腰直角三角形， 所以，，，，， ∴为等腰三角形，等边上的高为， ， 所以 方法二：可证明PQRM与PTSM是全等的等腰梯形，，，，所以等腰梯形PQRM的高为，所以． 一、填空题 1.下列说法中正确的是______． ①共面的四点中，任意三点不共线； ②和一条直线都相交的两条直线在同一平面内； ③三条两两相交的直线在同一平面内； ④有三个不同公共点的两个平面重合； ⑤依次首尾相接的四条线段不一定共面． 【答案】⑤ 【分析】根据点线面的空间关系与性质定理逐个判断即可. 【详解】易知⑤正确；①错误，任意三点可能共线；②错误，因为在空间中，这两条直线可能不在同一平面上； ③错误，如正方体中，具有同一顶点的三条棱不在同一平面内；④错误，三个不同的公共点可在两平面的交线上． 2.下列说法正确的序号有___________ ①平面的厚度是5cm；②经过一条直线和一个点确定一个平面 ③三条两两相交的直线一定在同一个平面内； ④直线l与平面有两个公共点的，则 【答案】④ 【分析】根据平面的概念及平面的基本性质的公理及推论可进行判定. 【详解】由平面的概念知平面无宽窄，无厚度，故①错误；根据经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面知②错误；当三条直线交于一点时，可不在同一平面内，故③错误；根据如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内知④正确. 故答案为：④ 3．三个不互相重合的平面将空间分成个部分，则为_______ 【分析】作出图形，可得出三个不互相重合的平面将空间所分成的部分数，即可得出的值. 【解析】按照三个平面中平行的个数来分类： （1）三个平面两两平行，如图1，可将空间分成部分； （2）两个平面平行，第三个平面与这两个平行平面相交，如图2，可将空间分成部分；    （3）三个平面中没有平行的平面： （i）三个平面两两相交且交线互相平行，如图3，可将空间分成部分； （ii）三个平面两两相交且三条交线交于一点，如图4，可将空间分成部分.    （iii）三个平面两两相交且交线重合，如图5，可将空间分成部分；    综上，可以为、、、部分，不能为部分， 4.已知，，，，则点P与直线l的位置关系用相应的符号表示为 . 【答案】 【分析】根据给定条件，利用平面基本性质即得答案. 【详解】由，得，而，，则，又， 所以. 故答案为： 5．已知，，，，则点P与直线l的位置关系用相应的符号表示为 . 【答案】 【分析】根据给定条件，利用平面基本性质即得答案. 【解析】由，得，而，，则，又， 所以. 故答案为： 6.给出以下说法： ①共面的四点中，任意三点不共线； ②和一条直线都相交的两条直线在同一平面内； ③三条两两相交的直线在同一平面内； ④有三个不同公共点的两个平面重合； ⑤依次首尾相接的四条线段不一定共面． 其中正确的个数是 ． 【答案】1 【解析】易知⑤正确；①错误，任意三点可能共线；②错误，因为在空间中，这两条直线可能不在同一平面上； ③错误，如正方体中，具有同一顶点的三条棱不在同一平面内；④错误，三个不同的公共点可在两平面的交线上． 所以正确命题的个数为1． 故答案为：1. 7.直线、，直线、，点，点，点，点，若直线直线，则点必在直线 上． 【答案】BD/DB 【分析】利用平面的基本性质证明，再根据点线、线面、及面面关系判断的位置. 【详解】由，，，、，故，， 同理，，故，      由，，则，，故，同理可得， 又直线直线，故，即， 所以必在的交线上. 故答案为： 二、选择题 8.下图中图形的画法错误的是（    ） A．点在平面内 B．直线在平面内 C．直线交平面于点 D．三个平面两两相交 【答案】B 【分析】根据点与平面、直线与平面、平面与平面的画法即可得出答案. 【详解】由点与平面、直线与平面、平面与平面的画法可知对，B答案直线应画在平行四边形里面. 故选： 9.如图所示，用符号语言可表述为（　　） A．，， B． C． D． 【答案】A 【分析】由题可知两平面相交于直线，直线在平面内，两直线交于点，从而可得答案. 【详解】由题可知平面相交于直线，直线在平面内，两直线交于点， 所以用符号语言可表示为，，， 故选：A. 10. 若点A在平面内，直线l在平面内，点A不在直线l上，下列用集合表示这些语句的描述中，正确的是（    ） A．且 B．且 C．且 D．且 【答案】B 【解析】因为直线和平面都是由点形成的， 所以根据元素与集合的关系知，点A在平面内表示为，点A不在直线l上表示为， 根据集合与集合的关系知，直线l在平面内可表示为. 故选：B 11. 下列说法，正确的有（    ） A．如果一条直线与另两条直线都相交，那么这三条直线必共面 B．如果三条直线两两都相交，那么它们能确定一个平面 C．如果三条直线相互平行，那么这三条直线在同一个平面上 D．如果一条直线与两条平行直线都相交，那么这三条直线确定一个平面 【答案】D 【分析】由空间中直线与直线的位置关系对选项逐一判断即可. 【详解】对于AB，当三条直线交于同一点时，三条直线可能不共面，故AB错误， 对于C，当三条直线相互平行时，三条直线可能不共面，故C错误， 对于D，一条直线与两条平行直线都相交，那么这三条直线确定一个平面，故D正确， 故选：D 12.如图，在正方体中，P，Q分别是棱，的中点，平面平面，则下列结论错误的是（    ） A．过点B B．不一定过点B C．的延长线与的延长线的交点在上 D．的延长线与的延长线的交点在上 【答案】B 【分析】作出辅助线，得到，P，B，Q四点共面，即平面，又平面，所以；作出辅助线，得到平面，平面，故，同理D正确. 【详解】连接，，如图， 因为P，Q分别是棱，的中点， 由勾股定理得， 所以四边形是菱形， 所以，P，B，Q四点共面，即平面. 又平面，所以，故A结论正确，B结论错误. 如图，延长与的延长线交于点F，延长与的延长线交于点E. 因为平面，所以平面， 因为平面，所以平面，所以， 同理，故C，D正确. 13.空间中四点可确定的平面有（    ） A．1个 B．4个 C．1个或4个 D．1个或4个或无数个 【答案】D 【解析】当四个点为平面四边形的四个端点时，只能确定唯一平面； 当四个点为三棱锥的四个端点时，可以确定四个不同的平面； 当四个点共线时，可以有无数个平面过这四个点. 故选：D. 14. 空间中有三条直线，如果其中一条直线和其他两条直线都相交，那么这三条直线能确定的平面个数是（    ） A．1或2 B．3或4 C．1或2或3 D．1或3或4 【答案】C 【解析】如图，在正方体中， ①，，直线，与可以确定1个平面（平面）； ②，，直线，与可以确定2个平面（平面和平面）； ③三条直线，，交于一点，它们可以确定3个平面（平面，平面和平面）． 故选：C. 15．以下四个命题中，正确命题是（    ） A．不共面的四点中，其中任意三点不共线 B．若点A、B、C、D共面，点A、B、C、E共面，则A、B、C、D、E共面 C．若直线a、b共面，直线a、c共面，则直线b、c共面 D．依次首尾相接的四条线段必共面 【答案】A 【分析】根据点共线、共面以及线共面等知识对选项进行分析，从而确定正确选项. 【解析】A选项，反证法：如果四个点中，有个点共线，第个点不在这条直线上， 根据基本事实的推论可知，这四个点共面，这与已知矛盾，所以A选项正确. B选项，如下图，共面，共面，但不共面，所以B选项错误. C选项，如下图，共面，共面，但异面，所以C选项错误. D选项，如下图，四条线段首尾相接，但不共面，所以D选项错误. 故选：A 三、解答题 16. 用符号和图形表示下列语句： (1)，两点既在平面内，又在平面内，则直线是平面与平面的交线； (2)两条相交直线和都在平面内； (3)直线在平面内，直线在平面外，与相交于一点． 【解析】（1）因为，两点既在平面内，又在平面内，则直线是平面与平面的交线， 符号表示为：、，，，则. 图形表示如下： （2）因为两条相交直线和都在平面内， 符号表示为：，，， 图形表示如下： （3）直线在平面内，直线在平面外，与相交于一点， 符号表示为：，，， 图形表示如下： 17.如图所示，在正方体中，分别为上的点且．求证：点三点共线．    【答案】证明见解析 【分析】由题意可证平面，平面，进而，即可证明. 【详解】因为，且平面，所以平面， 同理平面， 从而M在两个平面的交线上， 因为平面∩平面，所以成立． 所以点三点共线． 18. 如图，在正方体中，E，F分别是上的点，且.    (1)证明：四点共面； (2)设，证明：A，O，D三点共线. 【答案】(1)证明见祥解 (2)证明见祥解 【分析】（1）连接，利用中位线定理得到，再根据正方体的性质得到，进而证明四边形是平行四边形，从而得到，由此可证四点共面； （2）先证平面，且平面ABCD，又平面平面， 所以，进而得到A，O，D三点共线. 【详解】（1）证明：如图，连接.    在正方体中，，所以， 又，且， 所以四边形是平行四边形，所以， ，所以四点共面； （2）证明：由，，又平面，平面， 同理平面ABCD，又平面平面， ，即A，O，D三点共线. 19. 如下图，在正方体中，棱长为分别是的中点． (1)画出过三点的平面与平面、平面的交线； (2)设过三点的平面与交于点，求的长． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）利用平面的基本性质画出交线，进而确定比例和长度； （2）利用（1）直接求解. 【详解】（1）如图所示：平面， 与底面的交点必在侧面与底面的交线上， 过点的平面与平面的交线是，（在线段的延长线上）， 与平面的交线是（在线段上）． （2）由（1）可知：， 在Rt中，由勾股定理得． 20. 如图，在长方体中，E，F分别是和的中点． (1)证明：E，F，D，B四点共面． (2)证明：BE，DF，三线共点． 【解析】（1）如图， 连接EF，BD，． ∵EF是的中位线， ∴． ∵与平行且相等， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴E，F，D，B四点共面． （2）∵，且， ∴直线BE和DF相交． 延长BE，DF，设它们相交于点P， ∵直线BE，直线平面， ∴平面， ∵直线DF，直线平面， ∴平面， ∵平面平面， ∴， ∴BE，DF，三线共点． 21. 已知在正方体中，E、F分别为、的中点，，．求证： (1)D，B，F，E四点共面； (2)若交平面DBFE于R点，则P、Q、R三点共线； (3)DE、BF、三线交于一点． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【知识点】空间中的点（线）共面问题、空间中的点共线问题、空间中的线共点问题 【分析】（1）先证明两直线平行，再根据两平行线可确定一平面证明共面； （2）结合面面交线证明三点共线； （3）根据面面相交于一条直线，再证明三线交于一点； 【详解】（1）证明：因为EF是的中位线，所以． 在正方体中，，所以． 所以EF、BD确定一个平面，即D、B、F、E四点共面． （2）在正方体中，设平面为、平面BDEF为． 因为，所以．又，所以．所以Q是与的公共点． 同理，P也是与的公共点．所以． 又，所以，，且．则， 故P、Q、R三点共线． （3）因为且，所以DE与BF相交， 设交点为M，则由，平面，得平面， 同理，点平面．又平面平面， 所以．所以DE、BF、三线交于一点M． 22.如图所示，已知正方体中，分别为，的中点，，.求证： （1）四点共面； （2）若交平面于R点，则三点共线. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【解析】（1）由中位线定理可知，故四点共面（2）是平面与平面的交线，可证是两平面公共点，故过R，得证. 【详解】证明：（1）是的中位线， . 在正方体中，， . 确定一个平面，即四点共面. （2）正方体中，设确定的平面为， 又设平面为. . 又，， 则Q是与的公共点， . 又. ，且， 则，故三点共线. 【点睛】本题主要考查了多点共面及多点共线问题，主要利用平面的基本性质解决，属于中档题. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高二数学暑假班预修提升讲义【精英班课程】 专题01 平面及其基本性质 知识点一、平面的概念及表示、画法 （1）平面的概念：平面是从现实世界中抽象出来的几何概念；它没有厚薄，是无限延展的； 【诠释】 （1）“平面”是平的（这是区别“平面”与“曲面”的依据）； （2）“平面”无厚薄之分； （3）“平面”无边界，它可以向四周无限延展，这是区别“平面”与“平面图形”的依据． （2）平面的表示方法 ①图形表示：平面通常用平行四边形来表示，当平面水平放置的时候， 一般用水平放置的正方形的直观图作为平面的直观图(如图所示)； ②字母表示： 用希腊字母表示：如平面α，平面β，平面γ. 用代表平面的平行四边形的相对的两个顶点的大写英文字母表示：如平面AC，平面BD. 用代表平面的平行四边形的四个顶点的大写英文字母表示：如平面ABCD. （3）平面的画法（1）当平面水平放置时，如图（1），平行四边形的锐角通常画成45° ，且横边长等于其邻边长的2倍；当平面竖直放置时，如图（2），平行四边形的一组对边通常画成铅垂线． （2）如果一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强它的立体感，我们常把被遮挡部分用虚线画出来，也可以不画；如图（1）表示平面在平面的上面，图（2）表示平面在平面的前面； 知识点二、空间点、线、面位置关系及其符号与图形表示 点相当于集合中的元素，直线、平面相当于集合 文字语言表达 符号语言表示 文字语言表达 符号语言表示 点A在直线l上 A∈l 点A在直线l外 A∉l 点A在平面α内 A∈α 点A在平面α外 A∉α 直线l在平面α内 l⊂α 直线l在平面α外 l⊄α 直线l，m相交于点A l∩m＝A 平面α，β相交于直线l α∩β＝l 知识点三、平面的基本性质 平面的基本性质即书中的三个公理，它们是研究立体几何的基本理论基础 1、公理1 文字表示：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内； 符号表示：A∈α，B∈α⇒AB⊂α； 图形表示： 作用：①判定直线是否在平面内；②判断一个面是否是平面 2、公理2 文字表示：经过不在一条直线上的3个点，有且只有一个平面. 符号表示：A，B，C三点不共线⇒存在唯一的平面α使A，B，C∈α 图形表示： 作用：①确定平面的依据；②判定点、线共面 文字表示 符号表示 图形表示 推论1 经过一条直线与直线外一点，有且只有一个平面. ⇒存在唯一的平面，使，且； 推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面. ： ⇒存在唯一的平面，使且； 推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面 ⇒存在唯一的平面，使，且； 3、公理3 文字表示：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 符号表示：且 ⇒且； 图形表示： 作用：①判定两个平面相交的依据；②判定点在直线上 【说明】1、公理3说明，两个不重合的平面，只要有一个公共点，就一定有无数个公共点，而且这无数个公共点能构成一条直线，这条直线通常也称为两个平面的交线，如图所示，有； 2、在画两个平面相交时，其中一个平面被另一个平面遮住的部分应该画出虚线或不画，如图所示； 知识点三、点线共面的证明 所谓点线共面问题就是指证明一些点或直线在同一个平面内的问题． 1、证明点线共面的主要依据： （1）如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内（公理1）；②经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面（公理2及其推论）． 2、证明点线共面的常用方法： （1）证明几点共面的问题可先取三点（不共线的三点）确定一个平面，再证明其余各点都在这个平面内； （2）证明空间几条直线共面问题可先取两条（相交或平行）直线确定一个平面，再证明其余直线均在这个平面内． 知识点四、证明三点共线问题 所谓点共线问题就是证明三个或三个以上的点在同—条直线上． 1、证明三点共线的依据是公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们还有其他的公共点，且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线．也就说一个点若是两个平面的公共点，则这个点在这两个平面的交线上． 【诠释】①如果两个相交平面有两个公共点，那么过这两点的直线就是它们的交线；②如果两个相交平面有三个公共点，那么这三点共线；③如果两个平面相交，那么一个平面内的直线和另一个平面的交点必在这两个平面的交线上． 2、证明三点共线的常用方法 方法1：首先找出两个平面，然后证明这三点都是这两个平面的公共点．根据公理3知，这些点都在交线上． 方法2：选择其中两点确定一条直线，然后证明另一点也在其上． 知识点五、证明三线共点问题 所谓线共点问题就是证明三条或三条以上的直线交于一点． 1、证明三线共点的依据是公理3． 2、证明三线共点的思路：先证两条直线交于一点，再证明第三条直线经过这点，把问题转化为证明点在直线上的问题． 考点一、平面的概念、画法及表示 题型01：平面的概念及其表示 【方法点拨】几何中平面的特征：平面没有厚薄，是无限延展的. 【例1】下面说法中正确的是（    ） A．任何一个平面图形都是一个平面 B．平静的太平洋面是平面 C．平面就是平行四边形 D．在几何体的直观图中，平面多边形和圆、椭圆都可以表示一个平面 【跟踪训练】 1. 现有下列命题：①桌面是平面；②个平面重叠起来要比个平面重叠起来厚；③有一个平面的长是，宽是；④平面是绝对平、无厚度、可以无限延展的抽象的数学概念．其中正确命题的个数为（   ） A． B． C． D． 题型02：平面的画法 【方法点拨】由图形语言表示点、线、面的位置关系时，要注意实线和虚线的区别． 【例2】下列各图符合立体几何作图规范要求的是（　　） A．直线在平面内 B．平面与平面相交 C．直线与平面相交 D．两直线异面 【跟踪训练】 1.下列图形表示两个相交平面，其中画法正确的是（   ） A．B．C． D． 3.下图中图形的画法正确的是_________ (1) (2) (3) (4) 3.请给下列各图补上适当的虚线，使它们能比较直观地看出是立体图形． 题型03：用集合语言表示点、线、平面位置关系 【方法点拨】要注意符号语言的意义，如点与直线、点与平面间的位置关系只能用“∈”或“∉”，直线与平面间的位置关系只能用“⊂”或“⊄”． 【例3】下列关于点、线和面的关系表示错误的是（    ） A．点平面 B．直线平面 C．直线平面 D．平面平面 【例4】若点在直线上，在平面上，则点，直线，平面之间的关系可以记作（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1.用符号表示“点A不在直线上，直线在平面内”，正确的是（    ） A．， B．， C．， D．， 2.若点A在平面内，直线l在平面内，点A不在直线l上，下列用集合表示这些语句的描述中，正确的是（    ） A．且 B．且 C．且 D．且 3. 用符号语言改写下列语句： (1)点A在平面内，点B不在直线l上； (2)直线l在平面内，直线m与平面有且只有一个公共点M； (3)直线a和b相交于一点M． 4．根据下列符号表示的语句，说明点、线、面之间的位置关系，并画出相应的图形． (1)，； (2)，，； (3)，，，． 题型04：平面分空间的区域 【方法点拨】1.注意借助实物、利用几何体中的垂直、平行关系，构造三角形、特别是直角三角形解题. 2.将空间问题，转化成平面几何问题. 【例5】三个平面将空间分成7个部分的示意图是（      ） A．  B．  C．   D．   【跟踪训练】 1.一个西瓜切3刀，最多可以切成几块？最少可以切成几块？ 考点二、平面的基本性质 题型05：平面基本性质辨析 【例6】给出下列四个结论： ①经过两条相交直线，有且只有一个平面；②经过两条平行直线，有且只有一个平面； ③经过三点，有且只有一个平面；④经过一条直线和一个点，有且只有一个平面. 其中正确结论的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【跟踪训练】 1.下列命题正确的是（   ） A．过三个点有且只有一个平面 B．如果一条直线与两条平行直线都相交，那么这三条直线不一定共面 C．四边形为平面图形 D．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 2.下列命题中正确的是（    ） A．过三点确定一个平面 B．四边形是平面图形 C．三条直线两两相交则确定一个平面 D．两个相交平面把空间分成四个区域 2. 下列命题是真命题的是（    ） A．如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面重合 B．若四点不共面，则其中任意三点不共线 C．空间中，相交于同一点的三条直线在同一平面内 D．三个不重合的平面最多可将空间分成七个部分 3. 自行车停放时将后轮旁边的撑子放下，自行车就停稳了，这里用到了（　　） A．两条平行直线确定一个平面 B．两条相交直线确定一个平面 C．不共线的三点确定一个平面 D．三点确定一个平面 题型06：作平面的交线 【例7】如图，在长方体，P为棱的中点，画出由，，P三点所确定的平面与长方体表面的交线．    【跟踪训练】 1. 如图所示，点______________平面；点______________平面；______________平面；______________平面；平面平面______________；平面______________平面______________． 2. 如图，在正方体中，平面平面______．    3. 如图，在长方体中， (1)设AC与BD的交点为O，O必为平面______与平面______的公共点（答案不唯一）； (2)画出平面与平面的交线． 4. 如图所示，G是正方体ABCD­A1B1C1D1的棱DD1延长线上的一点，E，F是棱AB，BC的中点，试分别画出过下列各点、直线的平面与正方体表面的交线． (1)过点G及AC． (2)过三点E，F，D1． 题型07：点（线）确定平面的数量问题 【例8】空间中有三条直线，如果其中一条直线和其他两条直线都相交，那么这三条直线能确定的平面个数是（    ） A．1或2 B．3或4 C．1或2或3 D．1或3或4 【例9】空间中三条平行直线最多确定 个平面. 【跟踪训练】 1.下列命题是真命题的是（    ） A．空间任意三个点确定一个平面 B．一个点和一条直线确定一个平面 C．两两相交的三条直线确定一个平面 D．两两平行的三条直线确定一个或三个平面 2.空间有6个点，其中任意三点不共线，且有五个点共面，则这6个点最多可以确定 个平面． 3. 一条直线和直线外的三点所确定的平面有（   ） A．1个或3个 B．1个或4个 C．1个，3个或4个 D．1个，2个或4个 考点三、综合提升 题型08：点线共面问题 【方法点拨】（1）纳入法：先由部分直线确定一个平面，再证明其他直线在这个平面内． （2）重合法：先说明一些直线在一个平面内，另一些直线在另一个平面内，再证明两个平面重合． 【例10】两两相交且不过同一个点的三条直线必在同一个平面内． 已知：如图，直线两两相交，交点分别为．求证：直线共面．    【例11】给出以下四个命题： ①不共面的四点中，其中任意三点不共线； ②若点A，B，C，D共面，点A，B，C，E共面，则点A，B，C，D，E共面； ③若直线a，b共面，直线a，c共面，则直线b，c共面； ④依次首尾相接的四条线段必共面． 其中正确的有 ．(填序号) 【跟踪训练】 1. 如图所示，在空间四面体中，、分别是、的中点，、分别是、上的点，且，.求证：、、、四点共面； 题型09：点共线问题 【方法点拨】证明多点共线的方法： 1.选择两点确定一条直线，然后证明其它点在这条直线上； 2.证明这些点都在两个平面内，而两平面相交，因此这些点都在两平面的交线上． 【例12】如图，正方体中，O是中点，与截面交于P，那么、P、O三点共线，其理由是 ．    【跟踪训练】 1. 如图所示，在平面外，三边AB，AC，BC所在直线分别交平面于P，Q，R三点．求证：P，Q，R三点在同一直线上． 2．如图，在正方体中，对角线与平面交于点O，AC与BD交于点M，E为AB的中点，F为的中点，求证：，O，M三点共线． 题型11：线共点问题 【方法点拨】证明三线共点时，首先证明两条直线相交于一点，再证这一点在另一条直线上．要证这一点在另一条直线上，可证这一点在以这条直线为交线的两个平面上． 【例13】如图所示，在正方体中，分别为的中点．求证：三线交于一点．    【跟踪训练】 1. 如图，在空间四边形中，，分别是，的中点，，分别是边，上的点，且．求证：直线，，相交于一点． 2. 已知正方体中，G，H分别是，的中点，求证：，，延长后相交于一点. 题型12：截面问题 【方法点拨】空间图形截面有三种方法：直接法、平行线法、延长线法 【例14】如下图所示，在正方体中，如果点E是的中点，那么过点、B、E的截面图形为（     ） A．三角形   B．矩形 C．正方形 D．菱形 【跟踪训练】 1．如图所示，今有一正方体木料，其中M、N分别是AB、CB的中点，要过、M、N三点将木料锯开，请你帮助木工师傅想办法，怎样画线才能顺利完成？ 2.如图，在棱长为6的正方体中，P为的中点，Q为的一个三等分点（靠近C）．    (1)经过P，Q两点作平面，平面截正方体所得截面可能是n边形，请根据n的不同取值分别作出截面图形（每种情况作一个代表类型，例如只需要画一种，下面给了四幅图，可以不用完，如果不够请自行增加），保留作图痕迹；    (2)若M为AB的中点，求过点P，Q，M的截面的面积． 一、填空题 1.下列说法中正确的是______． ①共面的四点中，任意三点不共线； ②和一条直线都相交的两条直线在同一平面内； ③三条两两相交的直线在同一平面内； ④有三个不同公共点的两个平面重合； ⑤依次首尾相接的四条线段不一定共面． 2.下列说法正确的序号有___________ ①平面的厚度是5cm； ②经过一条直线和一个点确定一个平面 ③三条两两相交的直线一定在同一个平面内； ④直线l与平面有两个公共点的，则 3．三个不互相重合的平面将空间分成个部分，则为_______ 4.已知，，，，则点P与直线l的位置关系用相应的符号表示为 . 5．已知，，，，则点P与直线l的位置关系用相应的符号表示为 . 6.给出以下说法： ①共面的四点中，任意三点不共线； ②和一条直线都相交的两条直线在同一平面内； ③三条两两相交的直线在同一平面内； ④有三个不同公共点的两个平面重合； ⑤依次首尾相接的四条线段不一定共面． 其中正确的个数是 ． 7.直线、，直线、，点，点，点，点，若直线直线，则点必在直线 上． 二、选择题 8.下图中图形的画法错误的是（    ） A．点在平面内 B．直线在平面内 C．直线交平面于点 D．三个平面两两相交 9.如图所示，用符号语言可表述为（　　） A．，， B． C． D． 10. 若点A在平面内，直线l在平面内，点A不在直线l上，下列用集合表示这些语句的描述中，正确的是（    ） A．且 B．且 C．且 D．且 11. 下列说法，正确的有（    ） A．如果一条直线与另两条直线都相交，那么这三条直线必共面 B．如果三条直线两两都相交，那么它们能确定一个平面 C．如果三条直线相互平行，那么这三条直线在同一个平面上 D．如果一条直线与两条平行直线都相交，那么这三条直线确定一个平面 12.如图，在正方体中，P，Q分别是棱，的中点，平面平面，则下列结论错误的是（    ） A．过点B B．不一定过点B C．的延长线与的延长线的交点在上 D．的延长线与的延长线的交点在上 13.空间中四点可确定的平面有（    ） A．1个 B．4个 C．1个或4个 D．1个或4个或无数个 14. 空间中有三条直线，如果其中一条直线和其他两条直线都相交，那么这三条直线能确定的平面个数是（    ） A．1或2 B．3或4 C．1或2或3 D．1或3或4 15．以下四个命题中，正确命题是（    ） A．不共面的四点中，其中任意三点不共线 B．若点A、B、C、D共面，点A、B、C、E共面，则A、B、C、D、E共面 C．若直线a、b共面，直线a、c共面，则直线b、c共面 D．依次首尾相接的四条线段必共面 三、解答题 16. 用符号和图形表示下列语句： (1)，两点既在平面内，又在平面内，则直线是平面与平面的交线； (2)两条相交直线和都在平面内； (3)直线在平面内，直线在平面外，与相交于一点． 17.如图所示，在正方体中，分别为上的点且．求证：点三点共线．    18. 如图，在正方体中，E，F分别是上的点，且.    (1)证明：四点共面； (2)设，证明：A，O，D三点共线. 19. 如下图，在正方体中，棱长为分别是的中点． (1)画出过三点的平面与平面、平面的交线； (2)设过三点的平面与交于点，求的长． 20. 如图，在长方体中，E，F分别是和的中点． (1)证明：E，F，D，B四点共面． (2)证明：BE，DF，三线共点． 21. 已知在正方体中，E、F分别为、的中点，，．求证： (1)D，B，F，E四点共面； (2)若交平面DBFE于R点，则P、Q、R三点共线； (3)DE、BF、三线交于一点． 22.如图所示，已知正方体中，分别为，的中点，，.求证： （1）四点共面； （2）若交平面于R点，则三点共线. 1 学科网（北京）股份有限公司 $