专题1.2 直线与直线的位置关系（高效培优讲义）数学沪教版2020必修第三册

专题1.2 直线与直线的位置关系 教学目标 1.会判断空间两直线的位置关系. 2.能用基本事实4和等角定理解决一些简单的相关问题． 3.借助长方体，了解空间中直线与直线垂直的关系. 4.理解并掌握异面直线所成的角，会求任意两条直线所成的角 教学重难点 教学重点：异面直线判断，异面直线所成角 教学难点：异面直线所成角 知识点01 公理4 文字语言 平行于同一条直线的两条直线平行 图形语言 符号语言 直线a，b，c，a∥b，b∥c⇒a∥c 作用 证明两条直线平行 【即学即练】已知正方体中，，分别是，的中点．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】取的中点，利用平行四边形的判定性质，平行公理推理得证. 【详解】在正方体中，取的中点，连接，如图， 由为的中点，得，则四边形为平行四边形， 于是，又， 因此四边形为平行四边形，， 所以. 知识点02 等角定理 1．定理 文字语言 如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补 符号语言 OA∥O′A′，OB∥O′B′⇒∠AOB＝∠A′O′B′或∠AOB＋∠A′O′B′＝180° 图形语言 作用 判断或证明两个角相等或互补 2个推论 推论1：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行 ， 那么这两个角相等或者互补 ． 推论2：如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行 ， 那么这两组直线所成的锐角 （ 或直角 ） 相等 ． 【即学即练】如图所示，在正方体中，分别是棱的中点．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】利用平行四边形的性质得与的两边分别对应平行，继而即可证明. 【详解】如图，连接EE1． ∵E1，E分别为A1D1，AD的中点， ∴,且， ∴四边形为平行四边形， ∴， 又，∴， ∴四边形是平行四边形． ∴,同理． 又与的两边分别对应平行， 且和均为锐角， ∴． 知识点03 异面直线 定义：不同在任何一个平面上的两条直线叫做 异面直线 【即学即练】如图，在正方体中的直线、、、中与直线异面的直线有 条.      【答案】3 【分析】根据异面直线的定义，即可判断. 【详解】和是异面直线， 和是异面直线， 和是相交直线，不是异面直线， 和是异面直线，所以有3条. 故答案为：3 知识点04 空间两条直线位置关系 位置关系 是否共面 是否有公共点 相交 是 是 平行 是 否 异面 否 否 【即学即练】已知，是异面直线，直线平行于直线，那么直线与的关系是 ． 【答案】相交或异面 【分析】由异面直线定义以及平行线之间的关系分类讨论即可得出结论. 【详解】显然直线不可能平行，否则，由，知，与是异面直线矛盾， 根据异面直线定义可知， 设平面，当，，且，如下图所示： 此时与为异面直线； 当，，且时，如下图所示： 此时与相交， 所以与的位置关系是异面直线或相交直线. 故答案为：相交或异面 知识点05 异面直线判定定理 过平面外一点与平面上一点的直线 ， 和此平面上不经过该点的任何一条直线都是异面直线 【即学即练】如图，正六棱柱中与直线异面的侧棱共有 条． 【答案】 【分析】分别写出与平行的侧棱，以及相交的侧棱，即可得出答案. 【详解】根据正六棱柱的性质结合图象可得， 侧棱中，没有与平行的直线； 与相交的有，共2条. 又正六棱柱的侧棱，共有6条， 所以与直线异面的侧棱共有条. 故答案为：4. 知识点06异面直线所成角 1．已知两条异面直线，，经过空间任一点分别作直线，，我们把直线与所成的角叫做异面直线与所成的角(或夹角)． 2．空间两条直线所成角的取值范围是. 注意点： (1)两条异面直线所成的角的大小，是由这两条异面直线的相互位置决定的，与点的位置选取无关． (2)找出两条异面直线所成的角，要作平行移动(作平行线)，把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角． 【即学即练】如图，和是异面直线，，，分别为线段，上的点，且，，则与所成角的余弦值为 . 【答案】/0.625 【分析】过作，交于点，连接，利用比例性质得，则（或其补角）即为与所成角，利用余弦定理得，即可得解. 【详解】在平面中，过作，交于点，连接，如图， ，，又，，则， （或其补角）即为与所成角， 在中，，，， ，与所成角的余弦值为. 故答案为： 知识点07 直线与直线垂直 如果两条异面直线所成的角是直角，那么我们就说这两条异面直线互相垂直．直线与直线垂直，记作 注意点： 两条直线互相垂直，这两条直线可能是相交的，也可能是不相交的，即有共面垂直和异面垂直两种情形． 【即学即练】直三棱柱中，，在三棱柱所有的棱中，与AC垂直且异面的有（　　） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】B 【分析】由已知直三棱柱的结构特征，列举与AC垂直且异面的棱即可. 【详解】直三棱柱中，， 则与AC垂直且异面的直线有和. 故选：B. 题型01 等角定理的应用 【典例1】如图，在正方体中，，分别是棱和的中点．求证：．    【答案】证明见解析 【分析】利用数形结合的解题思想，根据几何性质，可得答案. 【详解】证明：在正方形中，，分别为，的中点， ∴且，∴四边形是平行四边形， ∴且． 又且，∴且， ∴四边形为平行四边形，∴， 同理可得四边形为平行四边形，∴． 由平面几何知识可知，和都是锐角， ∴． 【变式1】如图所示，△ABC和△A′B′C′的对应顶点的连线AA′，BB′，CC′交于同一点O，且，则 ． 【答案】 【分析】由等角定理得，，可得∽，继而即可求解. 【详解】因为，且＝＝， 所以，同理，， 因为，所以， 同理， 所以∽，且＝＝， 所以． 故答案为：. 【变式2】空间中两个角和，若，则的大小是 【答案】或 【分析】根据和相等或者互补即可求解. 【详解】因为， 所以和相等或者互补， 所以或. 故答案为:或. 【变式3】若，，且，则等于（    ） A． B． C．或 D．不能确定 【答案】C 【分析】根据空间等角定理判断即可. 【详解】因为，，且， 所以或. 故选：C 【变式4】如图：在平面内，在平面内，且平行于，平行于．求证： 【答案】证明见解析 【分析】分别在和的两边上截取和，使得，证明即可. 【详解】如图，分别在和的两边上截取和， 使得， 因为， 所以四边形为平行四边形， 所以， 同理， ， 所以四边形为平行四边形， 所以， 所以， 所以. 等角定理及推论 等角定理：如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补 推论1：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行 ， 那么这两个角相等或者互补 ． 推论2：如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行 ， 那么这两组直线所成的锐角 （ 或直角 ） 相等 ． 题型02 异面直线的判断 【典例1】3．如图，正方体中，P、Q、R、S、T分别为线段、、、、的中点，联结、，对空间任意两点M、N，若线段与线段不相交或与线段不相交，则称M、N两点可视.则此正方体中的点A、P、Q、R中与点可视的点有 .（答案从“点A、点P、点Q、点R”中选择） 【答案】点A、点Q、点R 【分析】分别连接，再去看是否与和相交. 【详解】对于点A，连接，因为平面， 平面，且，所以直线与是异面直线， 所以点与点可视； 对于点，如图，连接，得平面， 且与相交，连接，因为，， 所以四边形是平行四边形，得与相交，所以点与点不可视， 对于点，如图，连接，，因为平面， 平面，且，所以直线与是异面直线， 所以点与点可视； 对于点，如图，连接，， 因为平面，平面，且， 所以直线与是异面直线，所以点与点可视，故D错误. 故答案为：点、点、点. 【变式1】在长方体中，直线与BD的位置关系一定是 ． 【答案】异面 【分析】根据异面直线定义判断直线位置关系即可. 【详解】如下图，面，面，即面， 而面，故为异面直线.    故答案为：异面 【变式2】如图为正方体的平面展开图，则图中的在原正方体中互为异面直线的对数为（   ） A．1 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】首先画出正方体，根据异面直线的定义，正方体中判断. 【详解】如图，和，和，和都是异面直线，有3对. 故选：B 【变式3】下列各图是正方体或正四面体，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，这四个点不共面的图形是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据线线平行得出四点共面分别判定A，B，C，根据异面直线判定D. 【详解】 在A中，P，Q，R，S分别是所在棱的中点， 所以，因为，所以是平行四边形，所以， 所以，∴四点共面． 在B中，取的中点N，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，可得交于直线延长线上一点， ∴P，N，R，S四点共面，设为，因为，∴P，Q，N，S四点共面，设为. ∵都经过不共线的P，N，S三点，∴与重合，∴P，Q，R，S四点共面． 在C中，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，所以，所以，∴P，Q，R，S四点共面． 在D中，连接，如图②，∵平面平面且， ∴直线与为异面直线．∴P，Q，R，S四点不共面． 故选：D. 【变式4】已知是所在平面外的一点，分别是的中点，求证：直线与是异面直线； 【答案】证明见解析 【分析】用反证法证明，假设它们是异面直线，然后可以得到在同一平面，与题干相矛盾，从而证之. 【详解】证明：假设与不是异面直线，则与共面， 从而与共面，即与共面， 所以在同一平面内，这与是所平面外的一点相矛盾． 故直线与是异面直线． 1、定义：不同在任何一个平面上的两条直线叫做 异面直线 2、判定定理：过平面外一点与平面上一点的直线 ， 和此平面上不经过该点的任何一条直线都是异面直线 题型03 异面直线所成角辨析 【典例1】如图所示，在正方体中，，分别是，的中点，则过点B作与异面直线与所成的角都是的直线条数（    ）    A．有无数条 B．有两条 C．有三条 D．有一条 【答案】C 【分析】将平移到，平移到，则过点作与异面直线与所成的角都是的直线，一条在平面内，两条在平面外. 【详解】将平移到，平移到，    所以点作与异面直线与所成的角都是的直线， 即过点作与异面直线与所成的角都是的直线， 因为异面直线与所成的角为， 所以的角平分线平分角为或， 若的角平分线平分角为，则角平分线与异面直线与所成的角都是， 此时将过点的直线平移使其经过点，故有一条， 若的角平分线平分角为， 即角平分线与异面直线与所成的角都是， 则将过点的直线绕点向上转动到与平面垂直的过程中，存在两条与异面直线与所成的角都是的直线， 此时将过点的直线平移使其经过点，故有两条， 综上，过点作与异面直线与所成的角都是的直线条数有三条. 故选：C 【变式1】若异面直线所成的角为为空间一定点，则过点且与所成的角都是的直线有且仅有 条. 【答案】1 【分析】在空间取一点，经过分别作，，分析满足它的射影在所成角的平分线上时的情况可得出答案. 【详解】在空间取一点，经过分别作，，设直线确定平面， 当直线满足它的射影在所成角的平分线上时， 与所成的角等于与所成的角，设直线与所成角为， 因为直线所成角为，得所成锐角为， ①当直线的射影在所成锐角的平分线上时， 则与所成角的范围是， 这种情况下，过点有1条直线与所成角都是 ②当直线的射影在所成钝角的平分线上时， 则与所成角的范围是， 这种情况下，过点不存在直线与所成角都是， 综上，过点且与所成的角都是的直线有且仅有1条. 故答案为：1. 【变式2】异面直线a，b所成的角为，过空间一点P作直线l，使l与a，b所成的角均为，这样的直线条数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】数形结合把平移到点处，则与所成的角都为的直线有2条. 【详解】过作与平行的直线， 如图，， 直线过点且，这样的直线有两条. 又，直线为的平分线，则，其他射影落在角平分线的直线与的夹角都大于， 综上，满足条件的直线的条数为2. 故选：C. 【变式3】异面直线所成的角为，过空间一点P作直线l，使l与所成的角均为，这样的直线条数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】首先将直线平移至点，再根据两条直线的夹角和其补角的角平分线，判断直线的条数. 【详解】如图，过点作直线，与的夹角为，所以直线与的夹角相等的直线的射影落在或的角平分线上， 的角平分线与的夹角为，则其他射影落在角平分线的直线与的夹角都大于， 的角平分线与的夹角为，其他射影落在角平分线的直线与的夹角都大于， 所以只有1条直线l与所成的角均为，也即只有1条直线l与所成的角均为. 故选：A 【变式4】在正方体中，表面的对角线与成角的有（    ）条 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先确定与共面的面对角线中成角的共有条，再通过平行关系确定异面的面对角线中也有条，共条. 【详解】 以为一边的面对角线构成的等边三角形如上图为：和， 所以，与夹角为的面对角线有：、、、， 又因为，，，， 根据平行关系可知、、、也与成角， 可知满足题意的面对角线共有条， 故选：C. 异面直线所成角：平移使相交 题型04 异面直线所成角 【典例1】如图，在空间四边形中，，、分别是和中点，则异面直线和所成角的余弦值为 . 【答案】 【分析】连接，设为的中点，连接、，分析可知为异面直线和所成的角（或补角），求出的三边边长，结合余弦定理求解即可. 【详解】如图：连接，设为的中点，连接、， 因为、分别为、的中点，所以且， 所以为异面直线和所成的角（或补角）， 因为是边长为的等边三角形，为的中点，所以， 所以，同理可得， 所以，， ， 在中由余弦定理可得：， 因此，异面直线和所成角的余弦值为. 故答案为：. 【变式1】空间四边形中，，且异面直线与所成的角为，、分别为和的中点，则异面直线和所成角的大小是 ． 【答案】或 【分析】根据线线平行可得异面直线所成角的角，即可分情况求解. 【详解】如图，设是的中点，分别连接， 又因为、分别为和的中点， 所以， 所以是所成的角或是其补角． 因为，所以，所以， 因为异面直线与所成的角为，所以或， 当时，和所成角， 当时，和所成角， 综上所述：异面直线和所成角的大小是或. 故答案为：或. 【变式2】在正方体中，点P是线段上的一个动点，记异面直线DP与所成角为，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】连接，由题意可得（或其补角）是异面直线DP与所成的角，由，可知最小时，最小，求出答案. 【详解】连接，在正方体中，可得， 所以（或其补角）是异面直线DP与所成的角， 在正方体中，可得平面， 又平面，所以，所以，即， 当最小时，最小，此时最小， 当时，最小，令，可得， 所以的最小值为. 故答案为： 【变式3】如图，在直三棱柱中，，，点是的中点，若三棱柱的体积为4，则直线与所成角的余弦值为 ， 【答案】/ 【分析】先根据题中信息得出，将直三棱柱补形成棱长为的正方体，取的中点，将问题转化为求，最后利用余弦定理即可. 【详解】因，，则，则， 则， 因三棱柱的体积为4，且为直三棱柱， 则，得， 故可将直三棱柱补形成棱长为的正方体， 取的中点，连接， 因且，且， 故四边形和均为平行四边形，故，， 则直线与所成角和直线所成角相等， 容易得，，， 则在种利用余弦定理可得，， 故直线与所成角的余弦值为. 故答案为： 【变式4】如图，在直三棱柱中，，，D，E，F分别是棱，BC，的中点，则异面直线AD与EF所成角的余弦值为 ． 【答案】/ 【分析】把直三棱柱补成一个底面为菱形的直四棱柱，利用平移法找到异面直线与所成的角，再结合余弦定理求解即可. 【详解】把直三棱柱补成一个底面为菱形的直四棱柱，如图所示：    因为，且， 所以四边形为平行四边形，所以， 所以异面直线AD与EF所成的角为或其补角， 不妨设， 因为，所以， 所以为等边三角形，所以，， 所以， 因为为边长为的等边三角形，所以， 又因为， 所以在中，由余弦定理可得， 故异面直线与所成角的余弦值为. 故答案为：. 异面直线所成角：平移使相交 题型05 由异面直线所成角求其它量 【典例1】如图，在四面体中，与所成的角为，分别为的中点，则线段的长为 . 【答案】或 【分析】取的中点，连接、，即可得到为异面直线与所成的角或其补角，即或，再利用余弦定理计算可得. 【详解】取的中点，连接、， 、分别为、的中点，且， 同理可得且， 为异面直线与所成的角或其补角，则或. 在中，，， 若，由余弦定理可得 ； 若，由余弦定理可得 ； 综上所述，或. 故答案为：或. 【变式1】在空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点，若四边形对角线，对角线AC与BD所成的角为，则FH= ． 【答案】或 【分析】由题意可知四边形为菱形，且知菱形相邻的两个角分别为，再由所给边长即可求得的长. 【详解】如图，    由分别是的中点，得， ，则四边形为菱形，又与所成的角为， 于是直线与所成角为，即菱形的边长为1，相邻两个内角分别为， 即或，当时，, 当时，， 所以或. 故答案为：或 【变式2】在四面体ABCD中，，AD与BC所成的角为60°，若E，F分别为棱AC，BD的中点，则线段EF的长等于 . 【答案】1或 【分析】设G为CD中点，分别连接EG，FG，构造新的根据余弦定理可得到EF的长. 【详解】设G为CD中点，分别连接EG，FG，则EG是的中位线， 可得，                           同理可得， 因为AD与BC所成的角为60° 所以等于60°或120°， 当 在中根据余弦定理得， 当同理可得 故答案为：1或 【变式3】正方体的棱长为4，点P是棱上一点(不包括端点)，若异面直线与所成角的余弦值为，则 . 【答案】 【分析】将原正方体补形为长方体，利用线线角的定义得到为异面直线与所成的角，从而利用余弦定理得到关于的方程，解之即可得解. 【详解】将原正方体的一侧补上另一个正方体变为如图所示的长方体. 在上取点使，连接，则易得， 所以即为异面直线与所成的角(或其补角). 设，则，， ， 又，， 则，所以为锐角， 所以，解得， 所以. 故答案为：. 【变式4】四面体中，，，两两互相垂直，且，是的中点，异面直线与所成的角的大小为，求线段的长 . 【答案】4 【分析】利用三角形的中位线定理及异面直线所成角的定义，结合勾股定理及余弦定理的推论即可求解. 【详解】取的中点，连、，如图所示 是的中点， 故为异面直线与所成角， 设，则, 因为，异面直线与所成的角的大小为， 所以由余弦定理,得,解得， 所以线段的长为4． 故答案为：. 异面直线所成角：平移使相交 题型06 证明异面直线垂直 【典例1】如图，上海海关大楼的钟楼可以看作一个正四棱柱，且钟楼的四个侧面均有时钟悬挂，在0点到12点时针与分针的转动中（包括0点，但不包括12点），相邻两面时钟的时针两两相互垂直的情况的次数为（    ） A．0 B．2 C．4 D．12 【答案】B 【分析】根据正四棱柱相邻侧面的线线关系即可判断． 【详解】∵3点时和9点时相邻两钟面上的时针相互垂直， ∴在0点到12点时针与分针的转动中（包括0点，但不包括12点），相邻两面时钟的时针两两相互垂直的情况的次数为2， 故选：B． 【变式1】如图，这是一个正方体的展开图，关于原正方体，有以下四个结论：①；（2）；（3）；（4）.其中正确结论的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】画出正方体，由正方体的性质可得. 【详解】原正方体如图所示，由正方体的性质可知相交，， 则，则四边形为平行四边形，则； 因为等边三角形，则， 又空间内两条直线的夹角范围为，则直线与所成的角为； 因且，则， 则①③错误，②④正确. 故选：B. 【变式2】如图1，在菱形中，，是其对角线，是上一点，且，将沿直线翻折，形成四棱锥（如图2），则在翻折过程中，下列结论中正确的是（    ）    A．存在某个位置使得 B．存在某个位置使得 C．存在某个位置使得 D．存在某个位置使得 【答案】B 【分析】 选项A，在翻折过程中，与夹角始终不变，，故A错误；选项B，，转化为判断和是否会垂直，由图观察翻折过程中和夹角的变化范围可得解；选项C，由图观察翻折过程中和夹角的变化范围可得解；选项D，由于平行于翻折前的，故只需观察翻折过程中与翻折前的的夹角变化范围可得解. 【详解】对于选项A，沿翻折，在翻折过程中，与夹角始终不变，，故A错误；    对于选项B，，转化为判断和是否会垂直，由图观察翻折过程中和夹角变化范围是，故存在某个位置使得，故B正确； 对于选项C，由图观察翻折过程中和夹角的变化范围是，故不存在某个位置使得，故C错误； 对于选项D，由于平行于翻折前的，故只需观察翻折过程中与翻折前的的夹角变化范围，由图观察翻折过程中与的夹角变化范围是，所以不存在某个位置使得，故D错误. 故选：B. 【变式3】四面体ABCD中，对棱，E，F，G，H是它们所在棱的中点，求证：四边形EFGH是矩形． 【答案】证明见解析 【分析】首先利用三角形中位线性质证明出四边形EFGH是平行四边形，再通过即可证明，则证明出其为矩形. 【详解】如图，EF，HG分别是和的中位线， ∴，所以， ∴四边形EFGH是平行四边形，又EH是的中位线，∴， 故是异面直线AD与BC所成的角或其补角，∵，∴，∴，因此四边形EFGH是矩形． 【变式4】空间四边形ABCD，E，F，G分别是BC，AD，DC的中点，FG＝2，GE＝，EF＝3.求证：AC⊥BD. 【答案】证明见解析 【分析】异面直线所成角为90°，则两直线垂直. 【详解】∵点G，E分别是CD，BC的中点，∴GEBD，同理GFAC.∴∠FGE或∠FGE的补角是异面直线AC与BD所成的角． 在△EFG中，∵FG＝2，GE＝，EF＝3，满足FG2＋GE2＝EF2，∴∠FGE＝90°.即异面直线AC与BD所成的角是90°.∴AC⊥BD. 1．一个正方体的平面展开图如图所示，在该正方体中，则与所成的角为 ． 【答案】 【分析】将平面展开图复原为如图所示的正方体后结合正方体的性质可得与所成的角即为或其补角，故可求线线角的大小. 【详解】将平面展开图复原为如图所示的正方体： 设正方体的棱长为，连接，则， 由正方体的性质可得，故四边形为平行四边形， 故，故与所成的角即为或其补角，而， 故与所成的角为， 故答案为：. 2．如图，在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱中，，若平面ABCD内有且仅有一点到顶点的距离为1，则异面直线与夹角的余弦值为 . 【答案】/ 【分析】先根据平面内仅有一点到的距离为1，则正四棱柱变为正方体，再根据线线角的余弦求解. 【详解】由平面ABCD内仅有一点到的距离为1，则. 此时正四棱柱变为正方体，连接，则, 由图知与夹角为，连接. 则为等边三角形， ， ，故异面直线与夹角的余弦值为. 故选：. 3．如图，在正方体的所有棱所在直线中，与直线异面的共有 条． 【答案】6 【分析】根据异面直线定义分别列举即可求得答案. 【详解】与直线有公共点的棱均与直线不异面，有共6条， 与直线异面的棱有，共6条. 故答案为：6 4．如图， 在三棱锥中，，且分别是棱的中点，则和所成的角等于 .    【答案】 【分析】取中点，连接，则为所求， 【详解】如图所示，取BC的中点G，连接FG，EG．   ，F分别是CD，AB的中点， ，，且，． 为EF与AC所成的角（或其补角）． 又，，， 为直角三角形，，又为锐角， ，即EF与AC所成的角为． 故答案为：. 5．从正方体八个顶点的两两连线中任取两条直线，则所成角的余弦值的所有可能取值构成的集合是 . 【答案】 【分析】将所有直线分为正方体的棱，面对角线，体对角线三类，然后讨论不同情况的时候的直线的夹角的余弦值即可. 【详解】 利用直线的夹角范围为，故其余弦值范围为，可以分为以下几类： 两条直线都取两条棱所在的直线的时候，有与两种情况， 所成角的度数分别是0或，其余弦值为1或0； 两条直线一条取面对角线与一条取棱所在的直线时，有与两种情况， 所成角的度数分别是或，其余弦值为0或； 两条直线都取面对角线时，有与两种情况， 由为等边三角形，得； 所成角的度数分别是0或，其余弦值为0或； 两条直线一条取体对角线与一条取棱所在的直线时，有这一种情况， 设正方体的边长为1，在中， 可得, 故所成角的余弦值为； 两条直线一条取体对角线与一条取面对角线时，有与两种情况， 由面,可得,可得夹角得余弦值为0， 中，可得, 故夹角的余弦值为，故其余弦值分别是0或； 两条直线都取体对角线时，有这一种情况， 在中，,,, 故夹角的余弦为. 所以从正方体八个顶点的两两连线中任取两条直线， 则所成角的余弦值的所有可能取值构成的集合是. 故答案为： 6．已知，，是空间三条不同的直线，对下列命题： ①如果，，则②如果，，则，，共面 ③如果，，则④如果，，共点，则，，共面 其中正确的命题是 （填序号）. 【答案】① 【分析】通过异面直线的性质判断①的正误；利用直线的平行判断出②的正误；通过垂直关系利用反例判断③的正误；利用反例判断④的正误. 【详解】对于①，，则，①正确； 对于②，．则共面，例如正方体中的三条平行的棱，不共面，所以②错误； 对于③，例如直三棱柱中的侧棱与上下底面中的线，满足垂直，上下底面的直线不一定垂直，故③错误． 对于④，例如正方体，从同一个顶点出发的三条棱两两相交，三个直线不共面，故④错误． 故答案为：① 7．在正方体中，与异面的棱有 条. 【答案】6 【分析】结合正方体，根据异面直线的定义即可判断. 【详解】如图，正方体中，与异面的棱有，，，，，共6条. 故答案为：6.    8．如图，和是异面直线，，分别为线段上的点，且，则与所成角的大小为 ． 【答案】 【分析】在平面中，过作，交于点，连接，证明，然后利用余弦定理解三角形可得与所成角的大小． 【详解】解析在平面中，过作，交于点，连接，如图， ， 又， 则， （或其补角）即为与所成角， 在中，，， ， ， 与所成角的大小为60°． 故答案为：. 9．在长方体中，，异面直线与所成角的余弦值为，则的值为 ． 【答案】3 【分析】连接，由异面直线所成角的定义可知（或其补角）为异面直线与所成的角，利用余弦定理求解. 【详解】如图，连接，，可知（或其补角）为异面直线与所成的角． 设．因为，所以， 由余弦定理，得， 解得，则． 故答案为：3. 10．在正四棱台的12条棱所在的直线及直线BD，，中，与直线AC是异面直线的直线共有（    ） A．6条 B．7条 C．8条 D．9条 【答案】B 【分析】根据异面直线的概念判断即可. 【详解】 与直线AC是异面直线的直线有，，，，，，，共7条. 故选：B. 11．在长方体中，下列直线位置关系判断正确的是（   ） A．直线AB与AC异面 B．直线AC与相交 C．直线与AC异面 D．直线与相交 【答案】C 【分析】利用长方体中的线线位置关系，可逐一判断各选项. 【详解】 如图，连接， 对于A，因，故直线AB与AC相交，不异面，故A错误； 对于B，因， ，故得，则有， 故直线AC与不可能相交，故B错误； 对于C，因平面， 平面， 平面， 故直线与AC异面，即C正确； 对于D，因， ，故得，则， 而与相交，故直线与异面，故D错误. 故选：C. 12．已知三棱锥满足，. (1)证明：直线与直线是异面直线； (2)若为的中点，为的中点，求异面直线与所成角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据异面直线的定义，结合点平面，点平面，即可判断； （2）取的中点，连接，，根据平行关系可证明异面直线与所成角为（或其补角），结合余弦定理可得解. 【详解】（1）因为直线平面，点平面， 点，点平面，所以直线与直线是异面直线． （2）如图：取的中点，连接，， 因为为的中点，为的中点， 所以，， 所以异面直线与所成角（或其补角）， 因为，所以，， 在中，，则， 所以，即， 在中由余弦定理得， 因为异面直线所成角范围为，所以异面直线与所成角的余弦值为. 13．如图，正四棱柱的底面边长为2，侧棱长为3，的中点为. (1)求证：直线与直线是异面直线； (2)求直线与所成角的大小. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据异面直线判定定理进行证明. （2）找出异面直线所成的角，解三角形求角的大小. 【详解】（1）如图： 因为平面，平面，平面，所以直线与直线是异面直线. （2）因为，所以即为异面直线与所成的角. 在中，，，, 所以，所以. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.2 直线与直线的位置关系 教学目标 1.会判断空间两直线的位置关系. 2.能用基本事实4和等角定理解决一些简单的相关问题． 3.借助长方体，了解空间中直线与直线垂直的关系. 4.理解并掌握异面直线所成的角，会求任意两条直线所成的角 教学重难点 教学重点：异面直线判断，异面直线所成角 教学难点：异面直线所成角 知识点01 公理4 文字语言 平行于同一条直线的两条直线平行 图形语言 符号语言 直线a，b，c，a∥b，b∥c⇒a∥c 作用 证明两条直线平行 【即学即练】已知正方体中，，分别是，的中点．求证：． 知识点02 等角定理 1．定理 文字语言 如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补 符号语言 OA∥O′A′，OB∥O′B′⇒∠AOB＝∠A′O′B′或∠AOB＋∠A′O′B′＝180° 图形语言 作用 判断或证明两个角相等或互补 2个推论 推论1：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行 ， 那么这两个角相等或者互补 ． 推论2：如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行 ， 那么这两组直线所成的锐角 （ 或直角 ） 相等 ． 【即学即练】如图所示，在正方体中，分别是棱的中点．求证：． 知识点03 异面直线 定义：不同在任何一个平面上的两条直线叫做 异面直线 【即学即练】如图，在正方体中的直线、、、中与直线异面的直线有 条.      知识点04 空间两条直线位置关系 位置关系 是否共面 是否有公共点 相交 是 是 平行 是 否 异面 否 否 【即学即练】已知，是异面直线，直线平行于直线，那么直线与的关系是 ． 知识点05 异面直线判定定理 过平面外一点与平面上一点的直线 ， 和此平面上不经过该点的任何一条直线都是异面直线 【即学即练】如图，正六棱柱中与直线异面的侧棱共有 条． 知识点06异面直线所成角 1．已知两条异面直线，，经过空间任一点分别作直线，，我们把直线与所成的角叫做异面直线与所成的角(或夹角)． 2．空间两条直线所成角的取值范围是. 注意点： (1)两条异面直线所成的角的大小，是由这两条异面直线的相互位置决定的，与点的位置选取无关． (2)找出两条异面直线所成的角，要作平行移动(作平行线)，把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角． 【即学即练】如图，和是异面直线，，，分别为线段，上的点，且，，则与所成角的余弦值为 . 知识点07 直线与直线垂直 如果两条异面直线所成的角是直角，那么我们就说这两条异面直线互相垂直．直线与直线垂直，记作 注意点： 两条直线互相垂直，这两条直线可能是相交的，也可能是不相交的，即有共面垂直和异面垂直两种情形． 【即学即练】直三棱柱中，，在三棱柱所有的棱中，与AC垂直且异面的有（　　） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 题型01 等角定理的应用 【典例1】如图，在正方体中，，分别是棱和的中点．求证：．    【变式1】如图所示，△ABC和△A′B′C′的对应顶点的连线AA′，BB′，CC′交于同一点O，且，则 ． 【变式2】空间中两个角和，若，则的大小是 【变式3】若，，且，则等于（    ） A． B． C．或 D．不能确定 【变式4】如图：在平面内，在平面内，且平行于，平行于．求证： 等角定理及推论 等角定理：如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补 推论1：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行 ， 那么这两个角相等或者互补 ． 推论2：如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行 ， 那么这两组直线所成的锐角 （ 或直角 ） 相等 ． 题型02 异面直线的判断 【典例1】如图，正方体中，P、Q、R、S、T分别为线段、、、、的中点，联结、，对空间任意两点M、N，若线段与线段不相交或与线段不相交，则称M、N两点可视.则此正方体中的点A、P、Q、R中与点可视的点有 .（答案从“点A、点P、点Q、点R”中选择） 【变式1】在长方体中，直线与BD的位置关系一定是 ． 【变式2】如图为正方体的平面展开图，则图中的在原正方体中互为异面直线的对数为（   ） A．1 B．3 C．4 D．5 【变式3】下列各图是正方体或正四面体，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，这四个点不共面的图形是（　　） A． B． C． D． 【变式4】已知是所在平面外的一点，分别是的中点，求证：直线与是异面直线； 1、定义：不同在任何一个平面上的两条直线叫做 异面直线 2、判定定理：过平面外一点与平面上一点的直线 ， 和此平面上不经过该点的任何一条直线都是异面直线 题型03 异面直线所成角辨析 【典例1】如图所示，在正方体中，，分别是，的中点，则过点B作与异面直线与所成的角都是的直线条数（    ）    A．有无数条 B．有两条 C．有三条 D．有一条 【变式1】若异面直线所成的角为为空间一定点，则过点且与所成的角都是的直线有且仅有 条. 【变式2】异面直线a，b所成的角为，过空间一点P作直线l，使l与a，b所成的角均为，这样的直线条数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式3】异面直线所成的角为，过空间一点P作直线l，使l与所成的角均为，这样的直线条数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式4】在正方体中，表面的对角线与成角的有（    ）条 A． B． C． D． 异面直线所成角：平移使相交 题型04 异面直线所成角 【典例1】如图，在空间四边形中，，、分别是和中点，则异面直线和所成角的余弦值为 . 【变式1】空间四边形中，，且异面直线与所成的角为，、分别为和的中点，则异面直线和所成角的大小是 ． 【变式2】在正方体中，点P是线段上的一个动点，记异面直线DP与所成角为，则的最小值为 ． 【变式3】如图，在直三棱柱中，，，点是的中点，若三棱柱的体积为4，则直线与所成角的余弦值为 ， 【变式4】如图，在直三棱柱中，，，D，E，F分别是棱，BC，的中点，则异面直线AD与EF所成角的余弦值为 ． 异面直线所成角：平移使相交 题型05 由异面直线所成角求其它量 【典例1】如图，在四面体中，与所成的角为，分别为的中点，则线段的长为 . 【变式1】在空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点，若四边形对角线，对角线AC与BD所成的角为，则FH= ． 【变式2】在四面体ABCD中，，AD与BC所成的角为60°，若E，F分别为棱AC，BD的中点，则线段EF的长等于 . 【变式3】正方体的棱长为4，点P是棱上一点(不包括端点)，若异面直线与所成角的余弦值为，则 . 【变式4】四面体中，，，两两互相垂直，且，是的中点，异面直线与所成的角的大小为，求线段的长 . 异面直线所成角：平移使相交 题型06 证明异面直线垂直 【典例1】如图，上海海关大楼的钟楼可以看作一个正四棱柱，且钟楼的四个侧面均有时钟悬挂，在0点到12点时针与分针的转动中（包括0点，但不包括12点），相邻两面时钟的时针两两相互垂直的情况的次数为（    ） A．0 B．2 C．4 D．12 【变式1】如图，这是一个正方体的展开图，关于原正方体，有以下四个结论：①；（2）；（3）；（4）.其中正确结论的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2】如图1，在菱形中，，是其对角线，是上一点，且，将沿直线翻折，形成四棱锥（如图2），则在翻折过程中，下列结论中正确的是（    ）    A．存在某个位置使得 B．存在某个位置使得 C．存在某个位置使得 D．存在某个位置使得 【变式3】四面体ABCD中，对棱，E，F，G，H是它们所在棱的中点，求证：四边形EFGH是矩形． 【变式4】空间四边形ABCD，E，F，G分别是BC，AD，DC的中点，FG＝2，GE＝，EF＝3.求证：AC⊥BD. 1．一个正方体的平面展开图如图所示，在该正方体中，则与所成的角为 ． 2．如图，在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱中，，若平面ABCD内有且仅有一点到顶点的距离为1，则异面直线与夹角的余弦值为 . 3．如图，在正方体的所有棱所在直线中，与直线异面的共有 条． 4．如图， 在三棱锥中，，且分别是棱的中点，则和所成的角等于 .    5．从正方体八个顶点的两两连线中任取两条直线，则所成角的余弦值的所有可能取值构成的集合是 . 6．已知，，是空间三条不同的直线，对下列命题： ①如果，，则②如果，，则，，共面 ③如果，，则④如果，，共点，则，，共面 其中正确的命题是 （填序号）. 7．在正方体中，与异面的棱有 条. 8．如图，和是异面直线，，分别为线段上的点，且，则与所成角的大小为 ． 9．在长方体中，，异面直线与所成角的余弦值为，则的值为 ． 10．在正四棱台的12条棱所在的直线及直线BD，，中，与直线AC是异面直线的直线共有（    ） A．6条 B．7条 C．8条 D．9条 11．在长方体中，下列直线位置关系判断正确的是（   ） A．直线AB与AC异面 B．直线AC与相交 C．直线与AC异面 D．直线与相交 12．已知三棱锥满足，. (1)证明：直线与直线是异面直线； (2)若为的中点，为的中点，求异面直线与所成角的余弦值. 13．如图，正四棱柱的底面边长为2，侧棱长为3，的中点为. (1)求证：直线与直线是异面直线； (2)求直线与所成角的大小. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$