25.2.2公式法（分层作业）数学新教材人教版九年级上册

**基本信息** 聚焦一元二次方程公式法，通过三级递进式分层设计，实现从判别式概念理解到参数计算再到综合应用的知识巩固，培养运算能力与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |类型一|判别式判断根的情况|基础选择填空为主，直接应用判别式概念，强化抽象能力| |类型二|根据根的情况求参数|含参数方程分析，需结合判别式与二次项系数条件，发展推理能力| |类型三|公式法解方程及综合|直接求解与几何、实际问题结合，体现模型意识与应用意识|

25.2.2公式法（原卷版） 目 录 类型一、根据判别式判断一元二次方程根的情况 1 类型二、根据一元二次方程根的情况求参数 3 类型三、公式法解一元二次方程 5 类型一、根据判别式判断一元二次方程根的情况 1．已知关于x的方程（），当时，方程的解为（    ） A．， B．， C． D． 2．下列关于的一元二次方程中有两个不相等的实数根的是（    ） A． B． C． D． 3．下列方程中，没有实数根的是（     ） A． B． C． D． 4．关于的一元二次方程的根的情况是（     ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 5．下列一元二次方程中，有两个相等的实数根的是（     ） A． B． C． D． 6．关于x的一元二次方程的根的情况（     ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断 7．一元二次方程根的情况为（     ）． A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．只有一个实数根 8．一元二次方程的根的情况是（     ） A．没有实数根 B．只有一个实数根 C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根 9．下列方程中，有两个不相等的实数根的是（     ） A． B． C． D． 10．关于的一元二次方程中，，则该方程的根的情况是（     ） A．两实数根之和为1 B．两实数根之积为1 C．没有实数根 D．有两个不相等的实数根 11．一元二次方程根的情况为（     ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．只有一个实数根 12．关于方程的根的情况，下列说法正确的是（     ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 13．一元二次方程的根的情况是（     ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 14．下列一元二次方程没有实数根的是（     ） A． B． C． D． 15．判断下列一元二次方程中根的情况： ①____________________     ②_____________________ ③____________________     ④________________________ 16．已知关于x的方程，其中a、b为实数． (1)若此方程有一个根为，判断a与b的大小关系__________； (2)若对于任何实数a，此方程都有实数根，b的取值范围为__________． 17．关于的一元二次方程的根的情况是______． 18．关于的方程，无论实数取何值，该方程总有两个不相等的实数根，则实数的取值范围为______． 19．方程无实数根，则点位于第______象限． 20．一元二次方程根的判别式的值为___________． 21．已知关于 的一元二次方程 (1)求证：方程总有两个实数根； (2)若方程的两个根均为整数，求 的值． 22．已知关于的方程． (1)求证：无论取何值时，方程总有实数根； (2)若该方程两个根的平方和为25，求的值． 23．已知关于的一元二次方程，求证：无论取何值，方程都有两个不相等的实数根． 24．已知，为正实数，关于的一元二次方程为． (1)求证：方程有两个不相等的实数根； (2)若是方程的一个实数根，试判断代数式与的大小． 25．已知：关于x的方程．求证：不论m取何实数，该方程总有两个实数根． 类型二、根据一元二次方程根的情况求参数 26．关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是（     ） A． B． C． D． 27．若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则m的值为（     ） A． B． C． D． 28．若关于x的方程有两个实数根，则k的取值范围是（     ） A． B． C． D． 29．已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（     ） A．且 B． C． D． 30．若关于x的方程有实数根，则c的取值范围是（     ） A． B． C． D． 31．若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 32．关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（     ） A． B． C． D． 33．若关于的方程有实数根，则的取值范围是（     ） A． B． C．且 D．且 34．关于的方程有实数根，则的取值范围为（     ） A． B． C．且 D．且 35．若关于的一元二次方程有两个不等的实数根，则实数的值可以为（     ） A． B． C． D． 36．关于x的一元二次方程满足，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 37．已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则m的值是（    ） A． B． C． D．2 38．已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则（     ） A． B． C． D．2 39．若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数m的值为（     ） A． B． C． D．4 40．定义新运算：，若关于x的方程有两个不相等的实数根，则m的值不能是（     ） A． B．0 C．1 D．2 41．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则a的取值范围是__________． 42．关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是________． 43．若关于的一元二次方程有实根，则的取值范围是__________． 44．若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是______． 45．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是______________． 46．在实数范围内，存在两个不相等的x的值，使得代数式与的值相等，则k的取值范围是__________． 47．若关于的方程有两个相等的实数根，则实数的值为__________． 48．若关于x的一元二次方程有实数根，则________（写出一个满足条件的值）． 49．若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是_____． 50．已知关于的一元二次方程有实数根，那么的取值范围是__________． 51．已知关于的一元二次方程（）有两个相等的实数根．求证：是非负数． 52．已知关于x的一元二次方程有两个实数根，求的取值范围． 53．关于的一元二次方程有两个不相等实数根，求的取值范围． 54．已知分别为满足条件的最大整数，关于的方程没有实数根，而方程有两个不相等的实数根． (1)求的值； (2)试判断关于的方程的根的情况； (3)若为完全平方式，求常数的值． 55．已知关于x的方程 (1)求证：无论k取何值，此方程总有实数根； (2)若一元二次方程满足，求k的值． 类型三、公式法解一元二次方程 56．方程的解为（  ） A． B． C． D．以上结论都不对 57．已知点是线段的黄金分割点，若，则的长为（    ） A． B． C． D． 58．大自然是美的设计师，即使是一个小小的盆景，经常也会产生最具美感的黄金比．如图，点为的黄金分割点，若，则长为_________．（   ） A． B． C． D． 59．点在线段上，且，如果，那么的长为（   ） A． B． C． D． 60．用公式法解一元二次方程时，的值为（   ） A． B．8 C．16 D．17 61．用公式法解方程时，a，b，c的值分别为（   ） A．2，6，3 B．2，， C．，6， D．2，6， 62．用求根公式解一元二次方程时，其中，，的值分别是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 63．若关于的一元二次方程的根为，则这个方程是（    ） A． B． C． D． 64．当用公式法解方程时，若，则的值为（   ） A．16 B． C．17 D． 65．用公式法解方程时，得，则“□”处应填（  ） A． B． C．5 D．7 66．方程的正根介于正整数与之间，则________． 67．一元二次方程的根是___________． 68．对二次三项式因式分解：___________． 69．一元二次方程的解为______． 70．方程的根是_________． 71．解方程： (1)； (2)． 72．若代数式与的值互为相反数，求的值． 73．用公式法解下列方程． (1)； (2)； (3)． 74．解方程： (1)； (2)． 75．解方程： (1)； (2)． 76．解下列方程： (1)(配方法)； (2)(公式法)． 77．解下列方程： (1)； (2)． 78．求方程的正数根． 79．用公式法解方程：． 80．解方程：． 1．定义：关于的方程是方程的“倒方程”．有下列五个结论：①的“倒方程”是；②如果是的“倒方程”的解，则；③若一元二次方程没有实数根，则它的“倒方程”也没有实数根；④如果是一元二次方程的根，则是其“倒方程”的根；⑤若是一元二次方程的“倒方程”的一个实数根，则的值为2026．其中，正确的有（     ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．对于一元二次方程，给出下列说法： ①若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根； ②若是方程的一个根，则一定有成立； ③若是一元二次方程的根，则； ④存在实数，使得． 其中正确的是（     ） A．只有①③ B．只有①② C．只有①③④ D．①②③④ 3．如图，在正方形中，为上一点，连接，过点作于点，若，，则________． 4．等腰三角形边长分别为，，，且，是关于的一元二次方程的两个根，则的值为______． 1．已知关于的方程 其中． (1)利用判别式判断该方程的根的情况； (2)C是线段上一点， ，的长是该方程的一个根， 且． ①求证； ②确定点在线段上的位置，并说明理由． 2．规定：两个含有二次根式的代数式，，满足，且a，b，c，d，m，n，p是有理数，则称与是关于p的“和谐二次根式”．如，则称与是关于5的“和谐二次根式”． (1)下面两个含有二次根式的代数式是关于9的“和谐二次根式”的是________________（填序号）； ①与；②与；③与． (2)若与是关于12的“和谐二次根式”，求t的值； (3)若两个含有二次根式的代数式与是关于7的“和谐二次根式”，试判断与能否是关于x的一元二次方程的两个根，并说明理由． 3．某大型游乐场五一期间为了制造梦幻色彩，吸引更多的年轻人游玩，在每天下午:开始进行的花车表演中加入了放“烟雾泡泡”的表演．游乐场的平面布局如图所示，点为过山车，点为激流勇进，点为飞跃地平线，点为海盗船，点位于点的正北方向米处，且在点的北偏东方向，点位于点的西北方向，点位于点的南偏东方向米处． （参考数据：，，） (1)求点和点之间的距离（结果保留根号）； (2)花车甲从点出发，沿着方向行进，当它到达点时，花车乙从点出发，沿着方向行进．已知花车甲的行驶速度与花车乙的行驶速度之比为，当两车之间的直线距离恰好等于花车甲离点的距离时，两车会同时表演“烟雾泡泡”．求此时花车乙离点的距离（结果保留整数）． 4．已知二次函数（m为常数，） (1)不论m 为何值，该函数的图像都会经过两个定点，这两个定点的坐标分别为 ， ； (2)求证：当时，该函数图象与x轴有两个公共点． (3)该函数图像经过的象限随m的值变化而变化，直接写出所经过的象限及对应的m的取值范围 ． 5．已知关于x的一元二次方程有两个不等实数根，． (1)求k的取值范围； (2)若，求k的值． (3)在（2）的条件下，求的值． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 25.2.2公式法（解析版） 目 录 类型一、根据判别式判断一元二次方程根的情况 1 类型二、根据一元二次方程根的情况求参数 11 类型三、公式法解一元二次方程 22 类型一、根据判别式判断一元二次方程根的情况 1．已知关于x的方程（），当时，方程的解为（    ） A．， B．， C． D． 【答案】D 【分析】已知，即判别式为0，方程有两个相等的实数根，通过配方即可得到方程的解． 【详解】解：∵一元二次方程，，且， ∴，方程有两个相等的实数根． 对原方程配方： 移项得， 两边同除以得， 配方得， ∵， ∴， ∴． 2．下列关于的一元二次方程中有两个不相等的实数根的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对于一元二次方程，当判别式时，方程有两个不相等的实数根，分别计算各选项的判别式即可得到结果． 【详解】解：对选项A，，，方程没有实数根，A不符合要求． 对选项B，，，方程没有实数根，B不符合要求． 对选项C，，，方程有两个相等的实数根，C不符合要求． 对选项D，，，方程有两个不相等的实数根，D符合要求． 3．下列方程中，没有实数根的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对于一元二次方程，当判别式时，方程没有实数根，计算各选项的判别式即可判断． 【详解】解：对于一元二次方程，判别式为． 选项A：方程为，， ，方程有两个不相等的实数根． 选项B：方程为，， ，方程有两个不相等的实数根． 选项C：方程为，， ，方程有两个不相等的实数根． 选项D：方程为，， ，方程没有实数根． 4．关于的一元二次方程的根的情况是（     ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 【答案】B 【分析】根据一元二次方程根的判别式即可判断根的情况． 【详解】解：∵ 对于一元二次方程 ，，，， ∴， ∵ ， ∴， ∴ 方程有两个不相等的实数根． 5．下列一元二次方程中，有两个相等的实数根的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】对于一元二次方程，当判别式时，方程有两个相等的实数根，计算各选项的判别式即可判断． 【详解】解：A、对于方程，，方程没有实数根，不符合题意； B、对于方程，，方程有两个相等的实数根，符合题意； C、对于方程，，方程有两个不相等的实数根，不符合题意； D、对于方程，，方程有两个不相等的实数根，不符合题意． 6．关于x的一元二次方程的根的情况（     ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断 【答案】A 【详解】解：对于一元二次方程， 可得，，， ∵， ∴方程有两个不相等的实数根. 7．一元二次方程根的情况为（     ）． A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．只有一个实数根 【答案】A 【分析】运用一元二次方程根的判别式判断根的情况即可求解． 【详解】解：∵，则，，， ∴， ∴该一元二次方程没有实数根． 8．一元二次方程的根的情况是（     ） A．没有实数根 B．只有一个实数根 C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根 【答案】D 【分析】计算一元二次方程根的判别式的值，根据与的大小关系即可判断根的情况． 【详解】解：∵对于一元二次方程，可得，，， ∴， ∴该一元二次方程有两个不相等的实数根． 9．下列方程中，有两个不相等的实数根的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对于一元二次方程，当时，方程有两个不相等的实数根，计算各选项的判别式即可得到结果． 【详解】对于一元二次方程，判别式为 选项A：方程中，， ， 方程没有实数根，A不符合要求； 选项B：方程中，， ， 方程有两个相等的实数根，B不符合要求； 选项C：方程中， ， 方程有两个不相等的实数根，C符合要求； 选项D：方程中， ， 方程没有实数根，D不符合要求． 10．关于的一元二次方程中，，则该方程的根的情况是（     ） A．两实数根之和为1 B．两实数根之积为1 C．没有实数根 D．有两个不相等的实数根 【答案】C 【分析】先计算根的判别式，结合判断判别式的符号，即可确定方程根的情况，即可得出答案． 【详解】解：对于一元二次方程，可得，，， ∴， ， ，即， 该方程没有实数根． 11．一元二次方程根的情况为（     ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．只有一个实数根 【答案】C 【分析】利用根的判别式计算即可得到结果． 【详解】解：对于一元二次方程 ，可得， ∵， ∴该一元二次方程无实数根． 12．关于方程的根的情况，下列说法正确的是（     ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题通过计算一元二次方程的判别式的值，根据判别式的意义判断根的情况． 【详解】解：∵方程中，，，， ∴， 根据判别式的意义，当时，方程有两个相等的实数根， ∴该方程有两个相等的实数根． 13．一元二次方程的根的情况是（     ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 【答案】C 【分析】根据判别式与0的大小关系判断根的情况，一元二次方程中，判别式，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根． 【详解】解：∵一元二次方程中，，，， ∴， ∴该一元二次方程没有实数根． 14．下列一元二次方程没有实数根的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对于一元二次方程，若判别式，则方程没有实数根，计算各选项的判别式即可得到结果． 【详解】解：A选项、， ，方程有两个不相等的实数根，不符合题意； B选项、， ， ，方程有两个不相等的实数根，不符合题意； C选项、， ，方程没有实数根，符合题意； D选项、， ，方程有两个相等的实数根，不符合题意． 15．判断下列一元二次方程中根的情况： ①____________________     ②_____________________ ③____________________     ④________________________ 【答案】 有两个不相等的实数根 有两个相等的实数根 有两个不相等的实数根 没有实数根 【分析】对于一元二次方程，根的判别式为，当时，方程有两个不相等的实数根，当时，方程有两个相等的实数根，当时，方程没有实数根，先确定每个一元二次方程的二次项系数，一次项系数，常数项，再计算根的判别式的值，根据判别式与0的大小关系判断根的情况． 【详解】解：①方程中，，，， ，因此该方程有两个不相等的实数根； ②方程中，，，， ，因此该方程有两个相等的实数根； ③方程中，，，， ，因此该方程有两个不相等的实数根； ④方程中，，，， ，因此该方程没有实数根． 16．已知关于x的方程，其中a、b为实数． (1)若此方程有一个根为，判断a与b的大小关系__________； (2)若对于任何实数a，此方程都有实数根，b的取值范围为__________． 【答案】 【分析】（1）把代入方程，求出的值，进行判断即可； （2）根据方程都有实数根，得到，进而求出 b的取值范围即可. 【详解】解：（1）∵方程有一个根为， ∴， 整理，得； ∵， ∴，即； （2）由题意，， ∵对于任何实数a，此方程都有实数根， ∴对于任何实数a，都有，即， ∴对于任何实数a，都有， ∵， ∴b的取值范围是. 17．关于的一元二次方程的根的情况是______． 【答案】有两个不相等的实数根 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．通过计算一元二次方程根的判别式，判断根的情况即可． 【详解】解：对于一元二次方程，判别式， 由于， 因此， 所以方程有两个不相等的实数根， 故答案为：有两个不相等的实数根． 18．关于的方程，无论实数取何值，该方程总有两个不相等的实数根，则实数的取值范围为______． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟知一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的两个实数根；当时，方程有两个相等的两个实数根；当时，方程无实数根是解题的关键． 求出的值，再判断即可得到结论． 【详解】解：原方程整理得， ， 无论实数取何值，该方程总有两个不相等的实数根， ， ， ， ， 故答案为：． 19．方程无实数根，则点位于第______象限． 【答案】四 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，点的坐标所在的象限．分类讨论，由方程无实数根的条件，通过判别式求得m的取值范围，再根据点P的坐标符号判断其所在象限，即可． 【详解】解：当时，即时， 方程为， 有实数根，不符合题意， 故； 当时，方程化为一般形式：， ∵方程无实数根， ∴， 解得， ∴，， ∴点位于第四象限． 故答案为：四 20．一元二次方程根的判别式的值为___________． 【答案】1 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题关键．根据一元二次方程根的判别式，代入题中数值计算即可． 【详解】解：∵中，，， ∴， 故答案为：1． 21．已知关于 的一元二次方程 (1)求证：方程总有两个实数根； (2)若方程的两个根均为整数，求 的值． 【答案】(1)证明：方程为一元二次方程，故即， 判别式， 方程总有两个实数根． (2)或 【分析】（1）证明即可； （2）根据求根公式，表示出两个根，利用整数的性质，求解即可； 【详解】（1）略 （2）解：由求根公式得      计算得，， 两根均为整数，为整数， ， 解得或 ． 22．已知关于的方程． (1)求证：无论取何值时，方程总有实数根； (2)若该方程两个根的平方和为25，求的值． 【答案】(1)证明：对于方程， 其中， ， ， 恒成立， 无论取何值时，方程总有两个不相等的实数根 (2) 【分析】（1）证明恒大于0； （2）若该方程两个根的平方和为25，求的值． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）知，利用求根公式： 解得：； 23．已知关于的一元二次方程，求证：无论取何值，方程都有两个不相等的实数根． 【答案】证明： ∴无论取何值，方程都有两个不相等的实数根． 【详解】略 24．已知，为正实数，关于的一元二次方程为． (1)求证：方程有两个不相等的实数根； (2)若是方程的一个实数根，试判断代数式与的大小． 【答案】(1)证明：可变形为， 判别式为， ，为正实数，所以，可得， ∴方程有两个不相等的实数根． (2) 【分析】（1）先将原方程整理为一元二次方程的标准形式，再计算判别式，根据题中条件得到，即可得证． （2）利用方程根的定义，把代入方程，通过计算得到两个代数式完全相等． 【详解】（1）略 （2）已知是方程的一个实数根， 代入方程可得，则， ， ∴． 25．已知：关于x的方程．求证：不论m取何实数，该方程总有两个实数根． 【答案】证明：∵关于的方程为， ∴ ， ∵不论取何实数，总有，即， ∴不论取何实数，该方程总有两个实数根． 【分析】计算方程的根的判别式，证明判别式恒大于等于0，即可证得结论． 【详解】略． 类型二、根据一元二次方程根的情况求参数 26．关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：对于一元二次方程，当时，方程有两个相等的实数根. 对本题而言， ，解得． 27．若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则m的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先将原方程整理为一元二次方程的一般形式，再根据方程有两个相等实数根得判别式的值为0，解方程即可求出的值. 【详解】解：展开得， ∵一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， 解得. 28．若关于x的方程有两个实数根，则k的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】当一元二次方程有两个实数根时，根的判别式，据此列出不等式求解即可得到的取值范围． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个实数根， ∴根的判别式， 方程中，，， 代入得：， 化简得， 解得， 因此的取值范围是． 29．已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（     ） A．且 B． C． D． 【答案】A 【分析】一元二次方程有实数根需满足两个条件：一元二次方程二次项系数不为0，方程有实数根时根的判别式大于或等于0，求解两个条件后取交集即可得到结果． 【详解】解：∵原方程是关于的一元二次方程， ∴二次项系数不为0，即， 解得； ∵原方程有实数根 ∴， 展开化简得， 解得， 综上，的取值范围是且． 30．若关于x的方程有实数根，则c的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用“方程有实数根时，根的判别式大于等于”列不等式，求解即可得到的取值范围． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有实数根， ∴， ∴． 31．若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】当一元二次方程有两个相等的实数根时，根的判别式，代入方程系数计算即可求出的值． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， ∴， 解得． 32．关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】若一元二次方程有两个不相等的实数根，则根的判别式，据此计算即可求出的取值范围． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， 其中，，， ∴， 化简得， 解得． 33．若关于的方程有实数根，则的取值范围是（     ） A． B． C．且 D．且 【答案】A 【分析】当，即时，原方程为一元一次方程，满足题意；当，即时，原方程是一元二次方程，利用判别式求出此时m的取值范围即可得到答案． 【详解】解：当，即时，此时原方程为，解得，有实数根，符合题意； 当，即时，原方程是一元二次方程， ∵原方程有实数根， ∴， ∴， 解得，即此时满足条件的范围是且， 综上所述，的取值范围是． 34．关于的方程有实数根，则的取值范围为（     ） A． B． C．且 D．且 【答案】A 【分析】分为和两类讨论，结合根的判别式求出的取值范围． 【详解】解：①当时，该方程为关于的一元二次方程， ∵方程有实数根， ∴， 解得， ∴且； ②当时，该方程为关于的一元一次方程， 原方程为，有实数根，符合题意； 综上所述，的取值范围为． 35．若关于的一元二次方程有两个不等的实数根，则实数的值可以为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由一元二次方程根的情况与判别式关系列出不等式求解即可． 【详解】解：关于的一元二次方程有两个不等的实数根， ，解得， 观察四个选项，只有． 36．关于x的一元二次方程满足，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用方程有两个相等实数根得到判别式为0，结合已知条件整理得到a，b，c的关系，进而判断选项． 【详解】解：关于x的一元二次方程有两个相等的实数根， ，且， ， ， 将代入，得， 整理，得， ， ， 将代入，得， ， 故C正确； ， ， 故A错误； ， 故B错误； ，a的值不确定， 不一定等于， 故D错误． 37．已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则m的值是（    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【详解】解：根据题意，得， ∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， 解得， 故选：A． 38．已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则（     ） A． B． C． D．2 【答案】D 【分析】利用一元二次方程根的判别式性质，方程有两个相等实数根时判别式，整理等式即可求出的值． 【详解】解：∵一元二次方程有两个相等的实数根， ∴根的判别式， 展开整理得， 即， ∴，得， ∵， 等式两边同除以得． 39．若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数m的值为（     ） A． B． C． D．4 【答案】B 【分析】本题利用一元二次方程根的判别式的性质求解，当一元二次方程有两个相等的实数根时，根的判别式等于0，代入方程系数即可计算出的值． 【详解】解：∵一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， 整理得， 解得． 40．定义新运算：，若关于x的方程有两个不相等的实数根，则m的值不能是（     ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】A 【分析】转化为一元二次方程，根据，求解即可； 【详解】解：∵，∴化为一般式为． ∵方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得． 41．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则a的取值范围是__________． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，题目已明确方程为一元二次方程，二次项系数不为0，根据方程有两个不相等的实数根，可得根的判别式大于0，解不等式即可得到的取值范围． 【详解】解： 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ， 整理得， 解得． 42．关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是________． 【答案】且 【分析】根据一元二次方程定义可得二次项系数不为0，方程有实数根可得根的判别式，联立不等式求解即可． 【详解】解：由题意，该方程为一元二次方程，得， ∵方程有实数根， ∴根的判别式满足， 解得， 因此的取值范围是且． 43．若关于的一元二次方程有实根，则的取值范围是__________． 【答案】且 【分析】根据一元二次方程的定义可得二次项系数不为，结合方程有实根可得根的判别式，列不等式求解即可得到的取值范围． 【详解】解：方程是关于的一元二次方程， 二次项系数，解得， 方程有实根， ， 解得， 综上，的取值范围是且． 44．若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】当一元二次方程有实数根时，根的判别式大于等于，据此列不等式即可求出的取值范围． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有实数根， ∴，即， 解得， ∴的取值范围是． 45．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是______________． 【答案】且 【分析】，一元二次方程的二次项系数不为，当一元二次方程有两个不相等的实数根时，根的判别式大于，据此列出关于的不等式求解即可． 【详解】解：∵方程是关于的一元二次方程， ∴， ∵方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴， 解得， 综上可得的取值范围是且． 46．在实数范围内，存在两个不相等的x的值，使得代数式与的值相等，则k的取值范围是__________． 【答案】 【分析】根据一元二次方程根的情况求参数取值范围，根据题意得到关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，利用根的判别式大于求解即可． 【详解】解：由题意得方程，整理得， 根据题意可得方程有两个不相等的实数根， ， 解得． 47．若关于的方程有两个相等的实数根，则实数的值为__________． 【答案】 【分析】根据方程有两个相等的实数根，得到根的判别式的值为，列方程求解即可得到的值. 【详解】解：对于一元二次方程，二次项系数为，一次项系数为，常数项为， ∵方程有两个相等的实数根， ∴根的判别式， 整理得， 解得. 48．若关于x的一元二次方程有实数根，则________（写出一个满足条件的值）． 【答案】 2 【分析】因为方程是一元二次方程，所以二次项系数不能为0，据此得到第一个关于的限制条件．因为一元二次方程有实数根，所以根的判别式，代入对应系数计算得到第二个关于的不等式．联立两个条件得到的取值范围，在范围内任选一个符合要求的值即可． 【详解】解：该方程是一元二次方程，因此， 因为方程有实数根， 所以， 解得， 因此只要取且的任意值都符合条件，比如． 49．若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是_____． 【答案】1 【分析】当一元二次方程有两个相等的实数根时，根的判别式，代入对应系数计算即可求出的值． 【详解】解：对于一元二次方程，可得，，， 因为方程有两个相等的实数根，所以， 代入系数得， 化简得， 解得． 50．已知关于的一元二次方程有实数根，那么的取值范围是__________． 【答案】 且 【分析】根据一元二次方程的定义和一元二次方程根的判别式，列不等式求解即可． 【详解】解：由题意知，， 又∵方程有实数根， ∴， 解得：， ∴且． 51．已知关于的一元二次方程（）有两个相等的实数根．求证：是非负数． 【答案】证明：关于的一元二次方程（）有两个相等的实数根， ， ， ， ， ∴是非负数． 【分析】首先根据一元二次方程有两个相等的实数根得到，然后代入得，即可得出结论． 【详解】略 52．已知关于x的一元二次方程有两个实数根，求的取值范围． 【答案】且 【分析】根据一元二次方程的定义和根的判别式得到且，求解即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个实数根， ∴，且， 即，且， ∴且． 53．关于的一元二次方程有两个不相等实数根，求的取值范围． 【答案】 【分析】当一元二次方程有两个不相等的实数根时，判别式大于0，本题二次项系数为1，已经满足一元二次方程二次项系数不为0的要求，只需计算判别式后解不等式即可得到结果． 【详解】解：已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． 该方程二次项系数为，满足一元二次方程定义，只需满足判别式． 计算判别式： 令，可得． 解得． 54．已知分别为满足条件的最大整数，关于的方程没有实数根，而方程有两个不相等的实数根． (1)求的值； (2)试判断关于的方程的根的情况； (3)若为完全平方式，求常数的值． 【答案】(1)， (2)方程没有实数根 (3) 【分析】本题整体利用一元二次方程根的判别式求解； （1）分别根据两个方程的根的情况列不等式，得到，，再取各自范围内的最大整数即可； （2）代入，计算判别式，根据判别式的符号判断根的情况； （3）根据完全平方式对应一元二次方程判别式为0，代入，整理求解即可． 【详解】（1）解：∵关于的方程没有实数根， ∴， 解得， ∵是满足条件的最大整数， ∴， ∵方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得， ∵是满足条件的最大整数， ∴； （2）解：将代入方程，得方程为， 其判别式 ， ∴方程没有实数根； （3）解：把代入得， ∵为完全平方式， ∴方程有两个相等的实数根， ∴， 整理得， 计算该方程的判别式得， ∴ ． 55．已知关于x的方程 (1)求证：无论k取何值，此方程总有实数根； (2)若一元二次方程满足，求k的值． 【答案】(1)见解析 (2)或 【分析】（1）讨论：当时，方程化为，解得；当时，即，计算根的判别式的值得到，则，则方程有两个实数根，从而可判断无论取何值，此方程总有实数根； （2）利用求根公式解方程得到，，再利用得到，然后解方程和方程即可． 【详解】（1）证明：当时，即，此时方程化为， 解得； 当时，即， ， 方程有两个实数根， 综上可知：无论取何值，此方程总有实数根； （2）解：， ，， ， ， 当，解得， 经检验为原方程的解， 当，解得， 经检验为原方程的解， 综上所述，的值为或． 类型三、公式法解一元二次方程 56．方程的解为（  ） A． B． C． D．以上结论都不对 【答案】D 【分析】先将原方程整理为标准一元二次方程，求解后判断选项，注意不要误将方程右边当成0直接求解． 【详解】解：∵原方程为， 展开左边得， 整理为标准形式得， 计算判别式得， 由求根公式得方程的解为，该解不等于或， ∴选项A，B，C都错误，故选D． 57．已知点是线段的黄金分割点，若，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查黄金分割点的概念，解一元二次方程．根据黄金分割点的定义，结合是较长的部分，满足，结合，设，则，列出方程求解. 【详解】解：∵点是线段的黄金分割点，， ∴， 设，则， 故， 整理得， ，，， 故， ∴， 解得，（舍去）， ∴的长为． 故选：A． 58．大自然是美的设计师，即使是一个小小的盆景，经常也会产生最具美感的黄金比．如图，点为的黄金分割点，若，则长为_________．（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了黄金分割的定义，解一元二次方程，根据黄金分割定义得，设，则，即，整理得，然后解方程并检验即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：根据黄金分割定义得， 设，则， ∴，整理得， 解得：，（舍去）， ∴， 故选：． 59．点在线段上，且，如果，那么的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，设，则，根据题意可得方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：设，则， ∵， ∴， ∴，即， 解得或（舍去）， 故选：B． 60．用公式法解一元二次方程时，的值为（   ） A． B．8 C．16 D．17 【答案】C 【分析】本题考查了公式法解一元二次方程，根的判别式，先将方程化为标准形式，再计算判别式的值，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解： ， ∴， ∴，，， ∴ ， 故选：C． 61．用公式法解方程时，a，b，c的值分别为（   ） A．2，6，3 B．2，， C．，6， D．2，6， 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，公式法解一元二次方程，首先要把方程化成一般形式，其中叫二次项，叫一次项，是常数项，其中，，分别叫二次项系数，一次项系数，常数项． 【详解】解：∵原方程， 移项得， ∴，，． 故选：B． 62．用求根公式解一元二次方程时，其中，，的值分别是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】B 【分析】本题考查了求根公式法解一元二次方程． 先移项，再找出，，的值即可． 【详解】， ， 则，，． 故选：B． 63．若关于的一元二次方程的根为，则这个方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了公式法解一元二次方程，通过比较给出的求根公式与标准求根公式，确定系数a、b、c的值，从而得到原方程，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：由题意可得：， ∴，， 解得，， ∵， ∴， ∴原方程为， 故选：B． 64．当用公式法解方程时，若，则的值为（   ） A．16 B． C．17 D． 【答案】A 【分析】本题考查了根的判别式，将原方程变形为一般式找出、、的值是解题的关键． 将原方程变形为一般式，找出、、的值，将其代入即可得出结论． 【详解】解：∵原方程可变形为， ， ， 故选：A． 65．用公式法解方程时，得，则“□”处应填（  ） A． B． C．5 D．7 【答案】A 【分析】本题考查公式法解一元二次方程，熟记公式法解一元二次方程的方法是解决问题的关键． 先将题中一元二次方程化为一般式，再由求根公式代入求解即可得到答案． 【详解】解：用公式法解方程时，得， 先化为一元二次方程一般式：， ， ， 则“□”处应填， 故选：A． 66．方程的正根介于正整数与之间，则________． 【答案】2 【分析】先求解方程得到正根，再估算正根的范围，即可得到整数的值． 【详解】解：， ∴ ， ∴方程的正根为， ， ， ，则． 67．一元二次方程的根是___________． 【答案】 【分析】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键；对于一元二次方程，由于无法直接因式分解，采用求根公式求解，先计算判别式，再代入公式求解即可． 【详解】解：方程中，，，， ∴， ∴， ∴； 故答案为． 68．对二次三项式因式分解：___________． 【答案】 【分析】本题考查了在实数范围内因式分解． 令，用公式法解方程得，，得到，即可得到答案． 【详解】解：令， ， ， ， 解得，， ． 故答案为： ． 69．一元二次方程的解为______． 【答案】， 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键．用公式法求解即可． 【详解】解：， ， ， ∴， ∴，． 故答案为： ，． 70．方程的根是_________． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，熟练掌握公式法解方程的方法是解答的关键． 利用公式法解一元二次方程． 【详解】解： ∴方程有两个不相等的实数根 ∴ ∴， 故答案为：． 71．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2) 【详解】（1）解：， 直接开平方：， 移项：， ∴． （2）解：， ， ， ， ， ∴． 72．若代数式与的值互为相反数，求的值． 【答案】 【分析】根据相反数的定义可得，解方程即可得到答案． 【详解】解：∵代数式与的值互为相反数， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得． 73．用公式法解下列方程． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：， ， ， ， ； （2）解：方程整理得：， ， ， ， ； （3）解：， ， ， ． 74．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用配方法解一元二次方程； （2）利用公式法解一元二次方程． 【详解】（1）解：， ， ， ， ∴， ∴； （2）解：， ∵， ∴， ∴， ∴． 75．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）利用配方法解一元二次方程即可； （2）利用公式法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：∵ ∴， ∴， ∴， ， ∴，． （2）解：∵其中，，， ∴， ∴原方程有两个不相等的实数根， ， ，． 76．解下列方程： (1)(配方法)； (2)(公式法)． 【答案】(1)， (2)， 【详解】（1）解：， ， ， ， ∴， ∴，； （2）解：， ∵，，， ∴， ∴， ∴，． 77．解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： 配方得 即 ， 开方得 ， 解得 ； （2）解：原方程整理为一般形式得，其中 ∵， ∴， ∴． 78．求方程的正数根． 【答案】 【分析】本题先确定一元二次方程的各项系数，利用求根公式求出方程所有根，再从中筛选出正数根即可求解． 【详解】解：对于方程，可得，，． ∴． ∴． 因为，， 所以方程的正数根为． 79．用公式法解方程：． 【答案】 ， 【分析】找准方程各项系数，正确计算判别式后代入求根公式求解即可； 【详解】解：在中，，，， ∴， ∴代入求根公式得， ∴，． 80．解方程：． 【答案】 ， 【详解】解：， ， ， ， ∴，． 1．定义：关于的方程是方程的“倒方程”．有下列五个结论：①的“倒方程”是；②如果是的“倒方程”的解，则；③若一元二次方程没有实数根，则它的“倒方程”也没有实数根；④如果是一元二次方程的根，则是其“倒方程”的根；⑤若是一元二次方程的“倒方程”的一个实数根，则的值为2026．其中，正确的有（     ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】根据“倒方程”的定义，逐个验证五个结论，结合一元二次方程解的定义和判别式判断正误，统计正确结论个数得到结果． 【详解】根据定义，原方程的“倒方程”为． ① 原方程为，则，“倒方程”为，与结论给出的不符，故①错误； ② 原方程为，其“倒方程”为，将代入得：，即，解得，符合条件，故②正确； ③ 原一元二次方程没有实数根，则判别式，得， 其“倒方程”为，判别式，故“倒方程”也没有实数根，故③正确； ④ 若是的根，则， ， ，两边同时除以得：，整理，得，即是“倒方程”的根，故④正确； ⑤ 原的“倒方程”为， 是“倒方程”的根， ， 对所求式变形：，故⑤正确． 综上，正确结论共4个，故选C． 2．对于一元二次方程，给出下列说法： ①若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根； ②若是方程的一个根，则一定有成立； ③若是一元二次方程的根，则； ④存在实数，使得． 其中正确的是（     ） A．只有①③ B．只有①② C．只有①③④ D．①②③④ 【答案】C 【分析】根据一元二次方程根与判别式的关系、根的定义及代数变形逐一判断各命题． 【详解】解：①方程有两个不相等的实根， ， ， 则方程的判别式， 方程必有两个不相等的实根，故①正确； ②是方程的一个根，则， ， 若，等式仍然成立，但不一定成立，故②不正确； ③若是一元二次方程的根， 则由求根公式得或， 或， ，故③正确； ④存在实数，使得， 整理得，即， 因为，只需取即可满足， 例如取，，就有，故④正确． 3．如图，在正方形中，为上一点，连接，过点作于点，若，，则________． 【答案】 【分析】根据题意，得，设，根据勾股定理，得，继而求得，根据勾股定理，得，故，解方程即可． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是正方形， ∴， ∵，， ∴， 设， ， ∴， ∴，， ∴， 解得，负的舍去，线段长不能为负， ∴， 根据勾股定理，得， ， 整理，得， 解得或，负的舍去，线段长不能为负， 故, 故； 4．等腰三角形边长分别为，，，且，是关于的一元二次方程的两个根，则的值为______． 【答案】 【分析】根据等腰三角形的性质，分两种情况讨论：①腰长为，即或，②底边长为，即，分别结合一元二次方程根的性质求出的值，再利用三角形三边关系验证，舍去不符合条件的结果，得到的最终值． 【详解】解：三角形为等腰三角形 分两种情况讨论：①或，②， ①当或时， ，是一元二次方程的两个根， 是方程的一个根， 将代入方程得， 解得， 当时，方程为 因式分解得， 解得，， 此时三角形三边长为，，， ，不满足三角形三边关系中两边之和大于第三边， 不合题意，舍去； ②当时，一元二次方程有两个相等的实数根 根的判别式， 解得， 此时方程为， 解得， 此时三角形三边长为，，，满足三角形三边关系，符合题意； 综上所述，． 1．已知关于的方程 其中． (1)利用判别式判断该方程的根的情况； (2)C是线段上一点， ，的长是该方程的一个根， 且． ①求证； ②确定点在线段上的位置，并说明理由． 【答案】(1)该方程有两个不相等的实数根 (2)①证明：∵的长是该方程的一个根， ∴．即．① ∵， ∴．② ①+②，得． ∴． ②解：在线段靠近的三等分点处，即． ∵， ∴． ∴． 【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式计算，得出，即可求解； （2）①根据的长是该方程的一个根，得出，结合已知，进而得出 ②根据，，求得的值，即可求解． 【详解】（1）解：， ∴该方程有两个不相等的实数根． （2）略 2．规定：两个含有二次根式的代数式，，满足，且a，b，c，d，m，n，p是有理数，则称与是关于p的“和谐二次根式”．如，则称与是关于5的“和谐二次根式”． (1)下面两个含有二次根式的代数式是关于9的“和谐二次根式”的是________________（填序号）； ①与；②与；③与． (2)若与是关于12的“和谐二次根式”，求t的值； (3)若两个含有二次根式的代数式与是关于7的“和谐二次根式”，试判断与能否是关于x的一元二次方程的两个根，并说明理由． 【答案】(1)①③ (2) (3)能，理由如下： 由“和谐二次根式”的定义得， 整理得， 由题意得， 解得， ∴， 对于方程， ∴，，即， 符合根的判别式的要求； 当时，方程为， ∴， ∴关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， 也符合根的判别式的要求； ∴与是关于x的一元二次方程的两个根． 【分析】（1）根据定义，两个代数式乘积需等于9，据此分别计算即可判断； （2）根据定义，整理得到，则，求得； （3）根据定义，整理得到，求得，得到，再利用一元二次方程根与系数的关系和根的判别式判断即可． 【详解】（1）解：①，符合题意； ②，不符合题意； ③，符合题意； （2）解：由定义得：， 整理得：， 由题意得， 解得； （3）解：略 3．某大型游乐场五一期间为了制造梦幻色彩，吸引更多的年轻人游玩，在每天下午:开始进行的花车表演中加入了放“烟雾泡泡”的表演．游乐场的平面布局如图所示，点为过山车，点为激流勇进，点为飞跃地平线，点为海盗船，点位于点的正北方向米处，且在点的北偏东方向，点位于点的西北方向，点位于点的南偏东方向米处． （参考数据：，，） (1)求点和点之间的距离（结果保留根号）； (2)花车甲从点出发，沿着方向行进，当它到达点时，花车乙从点出发，沿着方向行进．已知花车甲的行驶速度与花车乙的行驶速度之比为，当两车之间的直线距离恰好等于花车甲离点的距离时，两车会同时表演“烟雾泡泡”．求此时花车乙离点的距离（结果保留整数）． 【答案】(1)米 (2)米 【分析】（1）过点A作于点E，点B的正北方向记作，根据三角函数的应用，等边三角形的判定和性质，求解即可； （2）用点M表示花车甲，点N表示花车乙，花车甲的行驶速度与花车乙的行驶速度之比为，故路程之比等于速度之比，设花车甲距离点C的距离为米，则花车乙距离点A距离为米，根据特殊角的三角函数，勾股定理，解方程，求解即可； 【详解】（1）解：过点A作于点E，点B的正北方向记作， 根据题意，得，，，米，， 是等边三角形，，， 米，， ，， ，， （米）， （米）； （2）解：用点M表示花车甲，点N表示花车乙，花车甲的行驶速度与花车乙的行驶速度之比为， 故路程之比等于速度之比， 设花车甲距离点C的距离为米，则花车乙距离点A距离为米， ， 根据题意，得米， 过点N作于点T， ， 米，米， 米 根据勾股定理，得， 故， 整理，得 解得，（舍去）其3倍大于实际的长度， 故花车乙距离点A距离为米， 4．已知二次函数（m为常数，） (1)不论m 为何值，该函数的图像都会经过两个定点，这两个定点的坐标分别为 ， ； (2)求证：当时，该函数图象与x轴有两个公共点． (3)该函数图像经过的象限随m的值变化而变化，直接写出所经过的象限及对应的m的取值范围 ． 【答案】(1) (2)见解析 (3)当时，函数图像经过第一、二象限； 当时，函数图像经过第一、二、四象限； 当时，函数图像经过第一、二、三、四象限； 当时，函数图像经过第一、三、四象限 【分析】（1）整理函数解析式，令，求出方程的解，即可得出坐标； （2）根据根的判别式进行证明； （3）根据函数解析式得出顶点，与y轴交点，然后分情况进行讨论． 【详解】（1）解：整理函数得， 令， 解得或， 此时，与m无关， 因此定点为； （2）证明：令，得， 判别式， ∵， ∴， ∴，方程有两个不相等的实数根， ∴当时，该函数图象与x轴有两个公共点； （3）解：函数整理为，顶点，与y轴交点，分情况如下： 当时，函数图像经过第一、二象限； 当时，函数图像经过第一、二、四象限； 当时，函数图像经过第一、二、三、四象限； 当时，函数图像经过第一、三、四象限． 5．已知关于x的一元二次方程有两个不等实数根，． (1)求k的取值范围； (2)若，求k的值． (3)在（2）的条件下，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据根的判别式进行求解； （2）根据根与系数的关系进行求解； （3）利用完全平方公式进行变形，然后根据根与系数的关系进行求解． 【详解】（1）解：根据题意得， 解得； （2）解：， 解得或（不符合题意，舍去） ∴； （3）解： ， 将，代入上式得， ∴（负值已舍）． 【点睛】重点掌握根的判别式和根与系数的关系． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $