专题1.6 有理数的乘方与近似数（高效培优讲义）数学新教材沪科版七年级上册

本讲义聚焦有理数的乘方与近似数核心知识点，系统梳理乘方概念（底数、指数、幂）、运算法则（符号规律）、混合运算顺序，延伸至科学记数法（大数表示与还原）及近似数（精确度两种表述），构建从基础到应用的递进学习支架。 资料特色在于知识点分块清晰，即学即练结合题型分类（如程序流程图、结绳计数应用），通过符号规律归纳培养分类讨论思想（数学思维），用科学记数法表示实际数据（如460万辆销量）培养数据意识（数学语言），课中辅助教师授课，课后助力学生查漏补缺。

专题1.6 有理数的乘方与近似数 教学目标 1.理解有理数乘方的意义，掌握底数、指数、幂的概念，能正确读写乘方算式，区分乘方与乘法的联系和区别。 2.熟练掌握有理数乘方的运算法则，能准确计算正数、0、负数的乘方，分清与的含义及计算结果差异。 3.掌握科学记数法的形式，会用科学记数法表示绝对值较大的有理数，能还原科学记数法对应的原数。 4.能准确区分准确数与近似数，理解精确度的含义，掌握近似数两种常见表述方式：精确到某一位、保留若干个有效数字。 5.会根据指定精确度对有理数（整数、小数、大数、科学记数法表示的数）取近似值，能反向判断近似数的精确位数。 6.通过观察、归纳乘方符号规律，培养符号运算能力，体会分类讨论思想，感受乘方运算的增长规律。 教学重难点 1.重点 （1）乘方的相关概念（底数、指数、幂）与有理数乘方基础运算； （2）负数乘方的符号判定规律； （3）科学记数法表示大数； （4）区分 “精确到某一位” 和 “保留几个有效数字” 两种不同取近似值要求. 2. 难点 （1）区分与的运算意义与计算结果； （2）根据指数奇偶性准确判断负数幂的符号； （3）结合乘、除、加减进行含乘方的混合基础运算，灵活运用科学记数法解决实际大数问题。 知识点01 有理数的乘方 1.乘方的概念：一般地，个相同的因数相乘，记作，即。 这种求个相同因数的积的运算叫作乘方；乘方的结果叫作幂。 2.在乘方运算中，叫作底数，叫作的幂的指数，简称指数。 3.读作“的次方”，看作的次方的结果时，也可读作的次幂。 4.一个数的一次方，就是这个数本身；指数1通常省略不写。 5.有理数乘方运算法则：求非0有理数的乘方，将其绝对值乘方，并取符号：正数的任意次幂都取正号；负数的奇次幂取负号，负数的偶次幂取正号。 【即学即练】 1．计算可以表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：根据有理数幂的意义得：． 2．（2026·山东济南·一模）计算的结果是_______ ． 【答案】 【分析】根据乘方的定义进行计算即可． 【详解】解：． 3．（25-26七年级上·广东江门·期中）计算：___________． 【答案】 【分析】根据有理数乘方的运算法则，负数的奇次幂为负数，先计算底数绝对值的乘方，再确定结果的符号． 【详解】解：． 知识点02 含有乘方的有理数混合运算 1．有理数的加、减、乘、除、乘方混合运算顺序：先乘方，再乘除，后加减；如果有括号，先进行括号里的运算。 【即学即练】 1．（25-26七年级上·山东青岛·期末）计算（   ） A． B．14 C． D．6 【答案】C 【分析】本题考查有理数的混合运算，原式先计算乘方、再计算乘法、最后进行加减运算即可. 【详解】解： ． 故选：C． 2．计算：. 【答案】 【详解】解： ． 3．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 知识点03 科学记数法 1.科学记数法：一般地，绝对值大于10的数都可记成的形式（其中，等于原数的整数位数减1）这种记数方法称为科学记数法。 如：340000000=3.4×108；－567000000=－5.67×108。 【即学即练】 1．据联合国难民署（UNHCR）统计，月日，因俄乌冲突，乌克兰外流难民已超过万，就增长速度和规模而言，这场难民危机自第二次世界大战以来前所未有．将数据“万”用科学记数法表示应为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为，其中，为整数，先将“万”转化为普通整数，再按要求写出科学记数法即可． 【详解】解：，将写成（ ，为整数）的形式，可得，小数点向左移动了位，即， 万用科学记数法表示为． 2．地球绕太阳公转的速度用科学记数法表示为，把它写成原数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了科学记数法，解题的关键是掌握科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．本题根据已知科学记数法的结果再判断原数，先确定原数的整数数位即可． 【详解】解：， 故选：B． 知识点04 近似数 1.准确数：表示实际数量的数。 2.近似数：与实际数值很接近的数，称为近似数。 3.误差：近似值与它的准确值的差叫作误差，即误差=近似值－准确值。 3.精确度：表示近似数与准确数的接近程度。 4.精确度的类型： ①纯数字类：（精确到个位）；（精确到十分位，或叫精确到）； （精确到百分位，或叫精确到）；（精确到千分位，或叫精确到）； ②带单位类：如近似数万（精确到千位）。 ③科学记数法类：如近似数（精确到百位）。 【即学即练】 1．将数用四舍五入法精确到为______． 【答案】 【分析】精确到，需要对千分位上的数字进行四舍五入，根据四舍五入法则即可得到结果． 【详解】解：的千分位数字为，，向百分位进， 因此用四舍五入法精确到为． 2．一个三位小数用四舍五入法取近似值8.40，则这个数原来最小是________． 【答案】 【详解】解：若为“五入”得到，则原三位小数的整数部分为，十分位为，百分位为，千分位需满足进位条件，最小为，即原数为， 因此这个数原来最小是． 题型01 幂的概念 【典例1】关于的说法正确的是（     ） A．指数是 B．结果是 C．表示4个相加 D．表示4个相乘 【答案】D 【分析】根据乘方的定义逐一判断选项即可. 【详解】解：A.中，指数是，不是，故A错误； B.，结果不是，故B错误； C.个相加表示为，不是，故C错误； D.符合乘方定义，表示个相乘，故D正确. 【变式1】（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查乘法和乘方的意义，只需根据定义分别化简分子和分母，即可得到结果，选出正确选项． 【详解】解：根据乘法的意义，个相同加数相加，可得 根据乘方的意义，个相同因数相乘，可得 原式． 【变式2】（25-26七年级上·内蒙古乌兰察布·期中）对乘积记法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据乘方定义即可判断； 【详解】解：∵根据乘方定义，个相同因数相乘，记作，其中为底数，为指数， 本题中共有个相同因数相乘， ∴底数为，指数为，正确记法为． 题型02 有理数的乘方运算 【典例1】（25-26七年级下·江苏泰州·期末）用分数表示：_______． 【答案】 【分析】先将化成分数，再根据乘方定义计算出结果． 【详解】解：． 【典例2】已知，则的值为（    ） A．7 B．9 C．10 D．12 【答案】A 【分析】此题主要考查了有理数的乘方运算，求代数式的值，解题的关键是掌握运算法则． 根据题意得出，然后代入求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 【变式1】（25-26九年级上·海南省直辖县级单位·期末） ____________． 【答案】 【详解】解：． 【变式2】（25-26七年级上·江西上饶·期末）计算：_______． 【答案】 【分析】本题考查有理数的乘方运算与多重符号的化简，关键是遵循“从内到外”的运算顺序，先化简内层括号的符号，再计算乘方，最后处理外层的符号． 【详解】解：； 故答案为：． 【变式3】（25-26七年级上·广东深圳·期中）若，则________． 【答案】或3 【分析】本题主要考查了有理数乘方的逆运算，解题的关键是掌握相关的运算法则． 将27化为幂的形式，然后逆用有理数的乘方法则进行计算即可． 【详解】解：， 因为， 所以或， 故答案为：或3． 题型03 含乘方的有理数混合运算 【典例1】计算：_____． 【答案】 【分析】本题考查了含乘方的有理数混合运算，准确的计算是解决本题的关键． 先计算绝对值和括号内的指数运算、除法和加法，最后将结果相乘即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 简便运算：合理运用运算律，凑整、凑零，简化复杂混合计算。 【变式1】计算： 【答案】 【详解】解：， ， ， ． 【变式2】计算： (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】第一题涉及有理数乘法分配律的计算；第二题涉及到乘方的计算和绝对值的计算． 【详解】（1） （2） 【变式3】计算：． 【答案】 4 【详解】解： ． 【变式4】计算： (1) (2) 【答案】(1)3 (2)3 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 题型04 程序流程图与有理数计算 【典例1】（25-26七年级上·陕西榆林·期中）按如图所示的程序计算，当输入的值为时，则输出的值为（　　） A．6 B．8 C．15 D．24 【答案】B 【分析】本题主要考查了程序运算题，含乘方的有理数的混合运算，解题的关键是读懂程序和掌握运算法则． 按照程序列出算式进行计算即可． 【详解】解：根据程序可得，当时， 第一轮：， 第二轮：， ∴输出的值为8， 故选：B． （1）读图步骤：先梳理流程图分支、判断条件、运算公式，明确输入、运算、输出三步流程； （2）分支判断：根据输入数值的正负、大小，匹配对应运算公式，不混用分支规则； （3）循环题型：按流程逐次代入计算，记录每次结果，满足终止条件即刻停止； （4）代入计算：严格套用流程给定公式，优先计算乘方，再算乘除加减，规范运算顺序。 【变式1】根据图中所示的程序计算，若输入x的值为1，则输出y的值是（  ） A．17 B．20 C．4 D．26 【答案】C 【分析】本题主要考查了程序流程图与有理数计算，熟练掌握有理数的运算是解题的关键．根据程序计算图进行求解即可． 【详解】解：当时，则有， ， 当时，则有， ， ∴输出4． 故选：C． 【变式2】（25-26七年级上·山东滨州·期末）有一个数值转换程序，其工作原理如下图所示： 若输入的值为1，则输出的结果为_____． 【答案】/ 【分析】考查了有理数的混合运算，程序流程图的理解，求代数式的值，严格遵循流程、准确计算是解题的关键．解题关键是弄清题意，根据题意把的值代入，按程序一步一步计算即可求得结果． 【详解】解：明确流程图的运算为，判断能否成立， 若成立，输出 y； 若不成立，将 y 作为新的 x 再次代入运算，直到满足条件， 将代入上式，得， 将代入上式，得，， 输出的结果为． 故答案为：. 【变式3】按如图所示的程序进行计算，则输出的结果为______． 【答案】160 【分析】按照框图的计算顺序进行计算即可． 【详解】解：把40输入得： ， 把80输入得： ， ∴输出结果为：160． 题型05 乘方的应用 【典例1】在我国远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，类似现在我们熟悉的“进位制”．如图所示是远古时期一位母亲记录孩子自出生后的天数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满八进一，根据图示可知，孩子已经出生的天数是（   ） A．64 B．90 C．132 D．210 【答案】B 【分析】由题可知，孩子出生的天数的八进制数为132，化为十进制数即可． 【详解】解：根据题意得：孩子出生的天数的八进制数为132， 化为十进制数为：． 【典例2】拉面是很多人都喜欢吃的一种面食．拉面馆的师傅用一根很粗的面条，把两头捏合在一起拉长，再捏合，又拉长，反复几次，就把这根很粗的面条拉成了许多根较细的面条．回答下列问题： (1)第6次捏合后，可得多少根面条？ (2)经过多少次捏合后可得到256根面条？ 【答案】(1)64根 (2)8次 【分析】本题主要考查了有理数乘乘方的应用． （1）计算即可得出答案． （2）由即可得出答案． 【详解】（1）解：（根） 则第6次捏合后，可得64根面条． （2）解：因为， 所以经过8次捏合后可得到256根面条． 层数、次数问题：折纸层数、对折次数，严格对应指数关系，区分次数与指数。 【变式1】有一张厚度是的纸，将它对折1次后，厚度是，那么对折6次后的厚度是（   ） A．12 B．1.2 C．64 D．6.4 【答案】D 【分析】本题考查了有理数乘方的应用，正确列出运算式子是解题关键．根据题意得出将它对折6次后，厚度是，据此计算即可得． 【详解】解：将它对折1次后，厚度是， 将它对折2次后，厚度是， 将它对折3次后，厚度是， 依此类推，将它对折6次后，厚度是， 故选：D． 【变式2】（25-26七年级上·山东德州·期末）计算机利用的是二进制数，它共有两个数码0，1．将一个十进制数转换为二进制，只把该数写成若干个数的和，依次写出1或0即可．如，为二进制下的五位数，则十进制数65是二进制下的________位数． 【答案】 【分析】本题考查有理数的乘方运算，将十进制数65转换为二进制数，再进行分析，即可作答． 【详解】解：依题意，， ∵为二进制下的7位数， ∴十进制数65是二进制下的7位数． 故答案为：7． 【变式3】如图，从卫生纸的包装纸上得到以下信息：300格，每格，如图①；用尺子量出整卷卫生纸的半径与纸筒内芯的半径分别为和，如图②．求卫生纸的厚度．（取3） 【答案】 【分析】本题考查了有理数的乘方的应用，有理数的乘除的混合应用，圆柱的体积，正确掌握相关性质是解题的关键． 先结合整卷卫生纸的半径与纸筒内芯的半径分别为和，且运用圆柱的体积公式进行列式计算可得整卷卫生纸的体积，再根据图中的数据信息进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵整卷卫生纸的半径与纸筒内芯的半径分别为和， ∴整卷卫生纸的体积， 则卫生纸的厚度． 题型06 科学记数法 【典例1】（2026·广东深圳·三模）比亚迪是深圳一家著名企业，某年比亚迪新能源汽车销量约为460万辆，同比增长8.2%，其中460万用科学记数法表示为（     ） A．4.6×10⁶ B．4.6×10⁷ C．46×10⁵ D． 【答案】A 【分析】先将单位“万辆”的单位转化为“辆”，再根据科学记数法的规则确定和的值，即可得到结果． 【详解】解：∵ 460万 ， 科学记数法的表示形式为，要求，为整数， 将4600000转化为的形式时，小数点向左移动6位，得，， ∴ 460万用科学记数法表示为． 【典例2】（2026·黑龙江大庆·二模）2025年10月31日神舟二十一号载人飞船采用自主快速交会对接模式，发射后仅用3.5小时与空间站成功对接，其平均速度高达千米/小时，则这个用科学记数法表示的数据原数是（     ）米/小时 A．2764810 B．2764800 C．27648000 D．276480000 【答案】C 【详解】解：千米/小时米/小时． （1）大数记数技巧：整数位数减1即为指数，将首位数字后加点，保留有效数字作； （2）还原原数技巧：看指数，小数点向右移动位，不足补0。 【变式1】用四舍五入法将精确到百位得到的近似数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵的百位数字为，十位数字为， 根据四舍五入规则，精确到百位需向百位进， ∴精确到百位得到的近似数为，即． 【变式2】根据国家卫健委官网统计，截至2021年12月20日，31个省（自治区、直辖市）和新疆生产建设兵团累计报告接种新冠病毒疫苗接近27亿剂次，则27亿用科学记数法表示为________________． 【答案】 【详解】解：27亿． 【变式3】（25-26七年级下·河北邢台·期末）某快递分拣中心每小时能处理件包裹，为应对电商发展，该中心优化流程后，每小时处理量提升到原来的倍，若将优化后每小时处理量用科学记数法表示为，则的值是________． 【答案】3.5 【分析】先根据题意计算优化后每小时的包裹处理量，再根据科学记数法的定义确定的值． 【详解】解：根据题意，优化后每小时处理量为 ． 【变式4】我国的森林面积用科学记数法表示约为公顷，还原成以“亿”为单位的原数是________亿公顷． 【答案】 【分析】本题考查了将科学记数法表示的数还原，根据亿，再将科学记数法表示的数还原，转化单位即可得出结果，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵亿， ∴亿， 故答案为：． 题型07 求一个数的近似数 【典例1】（25-26七年级上·内蒙古乌兰察布·期中）用四舍五入法取近似数：__________．（精确到千分位） 【答案】 【分析】精确到千分位即小数点后保留三位小数，需看万分位上的数字，根据四舍五入法进行近似即可． 【详解】解：（精确到千分位）． 精准到万位、亿位，先分级再取舍，最后可改写为科学记数法。 【变式1】（25-26七年级上·云南普洱·期末）用四舍五入法，取近似值：______（精确到） 【答案】 【分析】精确到即保留两位小数，需观察千分位上的数字，依据四舍五入法进行取舍即可． 【详解】解：精确到即保留两位小数，观察的千分位数字为7，因为，根据四舍五入法，向百分位进1，百分位上的5加1后变为6，所以． 【变式2】一只羊重为，精确到得到的近似数为________． 【答案】 【分析】根据四舍五入法，向十位进1，十位数字4加1变为5，个位及后续数字舍去，得到近似数即可． 【详解】解∶精确到得到的近似数为． 题型08 求近似数的精确度 【典例1】由四舍五入法得到的近似数精确到______位． 【答案】百 【分析】根据用科学记数法表示的数的精确度的表示方法是：先把数还原，再看原近似数的最后一位数字所在的位数，即为精确到的位数． 【详解】解：∵， ∴还原后的最后一个8在百位， ∴近似数精确到百位． 有效数字：从左边第一个非0数字起，到末尾数字止，所有数字都是有效数字。 【变式1】近似数万精确到（   ）位． A．十 B．十分位 C．千 D．万 【答案】C 【分析】判断带计数单位的近似数的精确度，需先将带单位的近似数还原为不带单位的原数，再观察最后一位有效数字所在的数位，即可得到近似数精确到的数位． 【详解】解：万，85000中最后一位有效数字“”位于千位， 则近似数万精确到千位． 【变式2】（25-26七年级上·河南周口·期末）用四舍五入法得到的近似数精确到_________． 【答案】千位 【分析】本题考查近似数的精确度．科学记数法表示的近似数，其精确度由系数最后一位数字所在的数位决定，据此进行解答即可． 【详解】解：， 系数最后一位数字0对应千位， 故精确到千位． 故答案为：千位． 【变式3】（25-26八年级上·江苏泰州·期末）下列说法错误的是________． ①近似数3.5万精确到千位；②近似数3.5与3.50的精确度相同；③数495640精确到万位是 【答案】② 【分析】本题考查近似数的精确度和科学记数法，需根据近似数的最后一位数字所在数位判断精确度，以及四舍五入规则和科学记数法表示． 根据科学记数法、近似数的定义逐项进行判断即可． 【详解】解：对于说法①，近似数3.5万表示35000，数字5在千位上，因此精确到千位，说法正确； 对于说法②，近似数3.5精确到十分位，而3.50精确到百分位，因此精确度不同，说法错误； 对于说法③，数495640精确到万位，千位数字是5，根据四舍五入规则，需进位，得到500000，用科学记数法表示为，说法正确． 故答案为：②． 题型09 近似数推断取值范围 【典例1】某同学测量身高近似米，若这位同学的身高记为米，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了近似数推断取值范围，身高近似1.68米是四舍五入到百分位的结果，据此即可得到的取值范围． 【详解】解：∵身高近似1.68米，是四舍五入到百分位的结果， ∴的取值范围为， 故选：C． 【变式1】近似数是由数a四舍五入得到的，则数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查近似数，熟练掌握近似数的方法是解题的关键． 近似数精确到百分位，即是从千分位上的数字四舍五入得到的，若千分位上的数字大于等于5，百分位上的数字应是“9”，十分位上是“3”；若千分位上的数字小于5，百分位上的数字应是“0”，十分位上是“4”，据此解答即可． 【详解】解：近似数是由a四舍五入到百分位得到的， 则a的取值范围为， 故选：D． 【变式2】一个三位小数，“四舍五入”后约是，这个三位小数最大是___________． 【答案】 【分析】本题主要考查了根据近似数确定原数的取值范围，确定五入的最小值和四舍的最大值，从而得到这个三位小数的取值范围，进而可得到答案． 【详解】解：∵一个三位小数，“四舍五入”后约是， ∴这个三位小数要大于或等于，且要小于， ∴这个三位小数最大是， 故答案为：． 【变式3】近似数万，则a的取值范围是 ____________________． 【答案】 【分析】本题主要考查的知识点是近似数，熟练应用四舍五入求近似值是解题关键，根据近似值是通过四舍五入得到的：精确到哪一位，只需对下一位数字进行四舍五入即可得出结果． 【详解】根据取近似数的方法，得万， 可以由大于或等于的数，6后面的一位数字，满5进1得到； 或由小于的数，舍去1后的数字得到． 因而， 故答案为：． 1．有理数的值为（     ） A． B．4 C． D．1 【答案】D 【详解】解：． 2．下列说法中不正确的是（    ） A．表示3个2相乘 B．底数是 C．指数是3 D．幂为 【答案】A 【详解】解：A．表示的是3个相乘，即选项A错误，符合题意； B．的底数是，故选项B正确，不符合题意； C．的指数是3，故选项C正确，不符合题意；   D．，故选项D正确，不符合题意． 3．（25-26七年级上·河南郑州·期末）计算（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解： 4．（2026·河南周口·三模）2026年河南文旅综合收入突破 元， 原数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查科学记数法还原为原数，根据科学记数法定义，将还原时，只需把的小数点向右移动位即可得到原数． 【详解】中， 将的小数点向右移动位，得到原数为，故选B． 5．（25-26七年级下·四川成都·期末）若，，则______． 【答案】 【详解】解：，则， ，则， ． 6．我国渤海、黄海、东海、南海海水含有不少化学元素，其中铝、锰元素总量均约为8000000吨，则铝、锰元素总量的和约为______________吨（用科学记数法表示）． 【答案】 【详解】解：吨． 7．规定一种运算：，则的值为__________． 【答案】 【分析】根据新定义代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴． 8．用四舍五入法将近似数精确到个位的结果是_____． 【答案】 【详解】解：根据四舍五入法则，的十分位数字为，需向个位进，因此（精确到个位）． 9．把精确到百位的近似值是______． 【答案】 【详解】解：， ∴把精确到百位的近似值是． 10．一个三位小数，用“四舍五入”法精确到百分位约是，这个数最大是___ ，最小是___． 【答案】 【分析】本题主要考查了取一个小数的近似数，有两种情况：“四舍”得到的近似数比原数小，“五入”得到的近似数比原数大，根据题的要求灵活掌握解答方法． 要考虑是一个三位小数的近似数，有两种情况：“四舍”得到的最大是，“五入”得到的最小是，由此解答问题即可． 【详解】解：一个三位小数，用“四舍五入”法精确到百分位约是，这个数最大是，最小是． 故答案为：，． 11．一个三位小数，用“四舍五入”法精确到百分位是，设该数为，则这个数的取值范围______． 【答案】 【分析】本题考查了近似数，根据“四舍五入”法推导出一个三位小数不能大于，不能小于，这样的数精确到百分位可得到，即可求解． 【详解】解：一个三位小数，用“四舍五入”法精确到百分位是，这个数最大是，最小是． 故答案为：． 12．（25-26七年级上·江苏扬州·期末）计算： (1) (2) 【答案】(1)0 (2)2 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 13．计算：． 【答案】 【详解】解：原式 ． 14．（25-26七年级上·福建漳州·期中）计算： (1) (2) 【答案】(1)16 (2)8 【分析】（1）根据乘法的分配律求解即可； （2）根据含有乘方的有理数混合运算计算即可； 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 1．地球上水的总储量为，但目前能被人们利用的水仅占总储量的，即约为，关于数据“”，下列说法正确的是（     ） A．用科学记数法可以表示为 B．用科学记数法可以表示为 C．该数是一个18位数 D．该数是一个19位数 【答案】A 【分析】用科学记数法表示绝对值大于的数，其科学记数法的表示形式为，其中，n为整数，且的值为原数的整数位数减，据此求解即可． 【详解】解：，故A正确，B错误； 该数是一个位数，故C，D错误． 2．（2026·河北保定·二模）某快递中心每小时能分拣件包裹，为提升效率，在优化流程后每小时分拣量为原来的倍．若将优化后每小时的分拣量用科学记数法表示为，则a的值是（    ） A．8 B．4.375 C．3.5 D．35 【答案】C 【分析】先计算的倍，再确定a的值即可． 【详解】解：． 故． 3．下列说法正确的是（     ） A．0.318精确到百分位 B．3.6万精确到个位 C．精确到十位 D．3000精确到千位 【答案】C 【分析】本题考查近似数精确位数的判断，只需确定最后一位有效数字在原数中的位置，得到对应精确位数后逐个判断选项即可． 【详解】解：近似数的精确位数由最后一位有效数字在原数中的位置决定，逐个判断选项： A.的最后一位在千分位，因此精确到千分位，原说法错误， B.万，在千位，因此精确到千位，原说法错误， C.，在十位，因此精确到十位，原说法正确， D.近似数的精确数位具有不确定性，故原说法错误． 4．（25-26七年级上·安徽芜湖·期末）进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统，约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制，逢三进一就是三进制． 二进制数的组成数字为0，1．十进制数19化为二进制数：． 传统三进制数的组成数字为0，1，2．十进制数19化为三进制数：． 将二进制数化为三进制数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的混合运算．先将二进制数转化为十进制数，再把十进制数转化为三进制数，依据进位制的转化规则计算即可． 【详解】解： ∵ ∴ ∴二进制数化为三进制数为 故选：A． 5．（2026·河南周口·二模）我国古代《易经》中记载了“结绳记数”的方法．一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，满五进一，用来记录孩子出生后的天数．若从右起第1位打结数为3，第2位为2，第3位为1，则孩子出生后的天数为______天． 【答案】38 【分析】由题意可知满五进一符合五进制计数规则，将各数位的打结数乘以对应数位的权重，再求和即可得到总天数． 【详解】解：根据满五进一的计数规则，从右起第位的权重为，因此总天数为： 天． 6．（25-26七年级上·内蒙古通辽·期中）如图是一个有理数混合运算的流程图．例：当的值为，的值为，输入的值为2时，根据流程图可列式为，，符合输出条件，输出结果为．依照此流程，当的值为，的值为6，输入的值为8时，最终输出的结果是______． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算与流程图，理解流程图的含义，掌握有理数的混合运算法则是关键． 根据题意，分别代入列式，结合有理数的混合运算法则即可求解． 【详解】解：当的值为，的值为6， ∴第一次计算： ， ∵， ∴第二次计算： ， 故答案为： ． 7．若，为有理数，且，则______． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的乘方的运算，偶次幂和绝对值的非负性，有理数除法，利用非负数的性质，求出 和 的值，再代入计算即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵，，且， ∴且， 解得，， 则， ∴， 故答案为：． 8．计算： (1)． (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 9．计算： (1)； (2) 【答案】(1)； (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 10．某种细胞分裂时，1个细胞分裂1次变为2个，分裂2次变为4个，分裂3次变为8个……你能由此说明的合理性吗？ 【答案】 是合理的. 【分析】根据细胞分裂的规律可得分裂n次变为个，据此规律解答． 【详解】解：∵1个细胞分裂1次变为个； 分裂2次变为个； 分裂3次变为个， ∴这种细胞分裂n次变为个， 则没有分裂表示为个， ∴． 则是合理的． 11．（25-26七年级上·广东江门·期末）【综合与实践】进位制的认识与探究． 生活中常用的十进制是用这十个数字来表示数，满十进一，例如：；计算机常用二进制来表示字符代码，它是用0和1两个数来表示数，满二进一，例如：二进制数转化成十进制数：.其他进制也有类似的算法⋯⋯ 【体验领悟】（1）根据以上信息，将二进制数“1010”转化为十进制数是__________； 【理解运用】（2）计算：，和的结果用十进制数表示； 【拓展延伸】（3）在我国远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，如图所示是远古时期一位母亲记录孩子出生后的天数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满五进一，根据图示，求孩子已经出生的天数．（结果用十进制数表示） 【答案】（1）10；（2）25；（3）69天 【分析】本题考查有理数乘方的应用，理解二进制、五进制的意义是解题的关键． （1）根据题干中的方法计算即可； （2）分别将和转化为十进制数，相加即可； （3）仿照二进制数转化成十进制数的方法计算． 【详解】解：（1）， 故答案为：10； （2） ； （3）由题意知，图示中的五进制数为， ， 即孩子已经出生69天． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.6 有理数的乘方与近似数 教学目标 1.理解有理数乘方的意义，掌握底数、指数、幂的概念，能正确读写乘方算式，区分乘方与乘法的联系和区别。 2.熟练掌握有理数乘方的运算法则，能准确计算正数、0、负数的乘方，分清与的含义及计算结果差异。 3.掌握科学记数法的形式，会用科学记数法表示绝对值较大的有理数，能还原科学记数法对应的原数。 4.能准确区分准确数与近似数，理解精确度的含义，掌握近似数两种常见表述方式：精确到某一位、保留若干个有效数字。 5.会根据指定精确度对有理数（整数、小数、大数、科学记数法表示的数）取近似值，能反向判断近似数的精确位数。 6.通过观察、归纳乘方符号规律，培养符号运算能力，体会分类讨论思想，感受乘方运算的增长规律。 教学重难点 1.重点 （1）乘方的相关概念（底数、指数、幂）与有理数乘方基础运算； （2）负数乘方的符号判定规律； （3）科学记数法表示大数； （4）区分 “精确到某一位” 和 “保留几个有效数字” 两种不同取近似值要求. 2. 难点 （1）区分与的运算意义与计算结果； （2）根据指数奇偶性准确判断负数幂的符号； （3）结合乘、除、加减进行含乘方的混合基础运算，灵活运用科学记数法解决实际大数问题。 知识点01 有理数的乘方 1.乘方的概念：一般地，个相同的因数相乘，记作，即。 这种求个相同因数的积的运算叫作乘方；乘方的 叫作幂。 2.在乘方运算中，叫作 ，叫作的幂的 ，简称指数。 3.读作“的次方”，看作的次方的结果时，也可读作的次幂。 4.一个数的一次方，就是这个数本身；指数1通常省略不写。 5.有理数乘方运算法则：求非0有理数的乘方，将其绝对值乘方，并取符号：正数的任意次幂都取 ；负数的奇次幂取 ，负数的偶次幂取 。 【即学即练】 1．计算可以表示为（     ） A． B． C． D． 2．（2026·山东济南·一模）计算的结果是_______ ． 3．（25-26七年级上·广东江门·期中）计算：___________． 知识点02 含有乘方的有理数混合运算 1．有理数的加、减、乘、除、乘方混合运算顺序：先乘方，再乘除，后加减；如果有括号，先进行括号里的运算。 【即学即练】 1．（25-26七年级上·山东青岛·期末）计算（   ） A． B．14 C． D．6 2．计算：. 3．计算： (1)； (2)． 知识点03 科学记数法 1.科学记数法：一般地，绝对值大于10的数都可记成的形式（其中，等于原数的整数位数减1）这种记数方法称为科学记数法。 如：340000000=3.4×108；－567000000=－5.67×108。 【即学即练】 1．据联合国难民署（UNHCR）统计，月日，因俄乌冲突，乌克兰外流难民已超过万，就增长速度和规模而言，这场难民危机自第二次世界大战以来前所未有．将数据“万”用科学记数法表示应为（     ） A． B． C． D． 2．地球绕太阳公转的速度用科学记数法表示为，把它写成原数是（    ） A． B． C． D． 知识点04 近似数 1.准确数：表示实际数量的数。 2.近似数：与实际数值很接近的数，称为近似数。 3.误差：近似值与它的准确值的差叫作误差，即误差=近似值－准确值。 3.精确度：表示近似数与准确数的接近程度。 4.精确度的类型： ①纯数字类：（精确到个位）；（精确到十分位，或叫精确到）； （精确到百分位，或叫精确到）；（精确到千分位，或叫精确到）； ②带单位类：如近似数万（精确到千位）。 ③科学记数法类：如近似数（精确到百位）。 【即学即练】 1．将数用四舍五入法精确到为______． 2．一个三位小数用四舍五入法取近似值8.40，则这个数原来最小是________． 题型01 幂的概念 【典例1】关于的说法正确的是（     ） A．指数是 B．结果是 C．表示4个相加 D．表示4个相乘 【变式1】（） A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级上·内蒙古乌兰察布·期中）对乘积记法正确的是（   ） A． B． C． D． 题型02 有理数的乘方运算 【典例1】（25-26七年级下·江苏泰州·期末）用分数表示：_______． 【典例2】已知，则的值为（    ） A．7 B．9 C．10 D．12 【变式1】（25-26九年级上·海南省直辖县级单位·期末） ____________． 【变式2】（25-26七年级上·江西上饶·期末）计算：_______． 【变式3】（25-26七年级上·广东深圳·期中）若，则________． 题型03 含乘方的有理数混合运算 【典例1】计算：_____． 简便运算：合理运用运算律，凑整、凑零，简化复杂混合计算。 【变式1】计算： 【变式2】计算： (1) (2)． 【变式3】计算：． 【变式4】计算： (1) (2) 题型04 程序流程图与有理数计算 【典例1】（25-26七年级上·陕西榆林·期中）按如图所示的程序计算，当输入的值为时，则输出的值为（　　） A．6 B．8 C．15 D．24 （1）读图步骤：先梳理流程图分支、判断条件、运算公式，明确输入、运算、输出三步流程； （2）分支判断：根据输入数值的正负、大小，匹配对应运算公式，不混用分支规则； （3）循环题型：按流程逐次代入计算，记录每次结果，满足终止条件即刻停止； （4）代入计算：严格套用流程给定公式，优先计算乘方，再算乘除加减，规范运算顺序。 【变式1】根据图中所示的程序计算，若输入x的值为1，则输出y的值是（  ） A．17 B．20 C．4 D．26 【变式2】（25-26七年级上·山东滨州·期末）有一个数值转换程序，其工作原理如下图所示： 若输入的值为1，则输出的结果为_____． 【变式3】按如图所示的程序进行计算，则输出的结果为______． 题型05 乘方的应用 【典例1】在我国远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，类似现在我们熟悉的“进位制”．如图所示是远古时期一位母亲记录孩子自出生后的天数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满八进一，根据图示可知，孩子已经出生的天数是（   ） A．64 B．90 C．132 D．210 【典例2】拉面是很多人都喜欢吃的一种面食．拉面馆的师傅用一根很粗的面条，把两头捏合在一起拉长，再捏合，又拉长，反复几次，就把这根很粗的面条拉成了许多根较细的面条．回答下列问题： (1)第6次捏合后，可得多少根面条？ (2)经过多少次捏合后可得到256根面条？ 层数、次数问题：折纸层数、对折次数，严格对应指数关系，区分次数与指数。 【变式1】有一张厚度是的纸，将它对折1次后，厚度是，那么对折6次后的厚度是（   ） A．12 B．1.2 C．64 D．6.4 【变式2】（25-26七年级上·山东德州·期末）计算机利用的是二进制数，它共有两个数码0，1．将一个十进制数转换为二进制，只把该数写成若干个数的和，依次写出1或0即可．如，为二进制下的五位数，则十进制数65是二进制下的________位数． 【变式3】如图，从卫生纸的包装纸上得到以下信息：300格，每格，如图①；用尺子量出整卷卫生纸的半径与纸筒内芯的半径分别为和，如图②．求卫生纸的厚度．（取3） 题型06 科学记数法 【典例1】（2026·广东深圳·三模）比亚迪是深圳一家著名企业，某年比亚迪新能源汽车销量约为460万辆，同比增长8.2%，其中460万用科学记数法表示为（     ） A．4.6×10⁶ B．4.6×10⁷ C．46×10⁵ D． 【典例2】（2026·黑龙江大庆·二模）2025年10月31日神舟二十一号载人飞船采用自主快速交会对接模式，发射后仅用3.5小时与空间站成功对接，其平均速度高达千米/小时，则这个用科学记数法表示的数据原数是（     ）米/小时 A．2764810 B．2764800 C．27648000 D．276480000 （1）大数记数技巧：整数位数减1即为指数，将首位数字后加点，保留有效数字作； （2）还原原数技巧：看指数，小数点向右移动位，不足补0。 【变式1】用四舍五入法将精确到百位得到的近似数是（    ） A． B． C． D． 【变式2】根据国家卫健委官网统计，截至2021年12月20日，31个省（自治区、直辖市）和新疆生产建设兵团累计报告接种新冠病毒疫苗接近27亿剂次，则27亿用科学记数法表示为________________． 【变式3】（25-26七年级下·河北邢台·期末）某快递分拣中心每小时能处理件包裹，为应对电商发展，该中心优化流程后，每小时处理量提升到原来的倍，若将优化后每小时处理量用科学记数法表示为，则的值是________． 【变式4】我国的森林面积用科学记数法表示约为公顷，还原成以“亿”为单位的原数是________亿公顷． 题型07 求一个数的近似数 【典例1】（25-26七年级上·内蒙古乌兰察布·期中）用四舍五入法取近似数：__________．（精确到千分位） 精准到万位、亿位，先分级再取舍，最后可改写为科学记数法。 【变式1】（25-26七年级上·云南普洱·期末）用四舍五入法，取近似值：______（精确到） 【变式2】一只羊重为，精确到得到的近似数为________． 题型08 求近似数的精确度 【典例1】由四舍五入法得到的近似数精确到______位． 有效数字：从左边第一个非0数字起，到末尾数字止，所有数字都是有效数字。 【变式1】近似数万精确到（   ）位． A．十 B．十分位 C．千 D．万 【变式2】（25-26七年级上·河南周口·期末）用四舍五入法得到的近似数精确到_________． 【变式3】（25-26八年级上·江苏泰州·期末）下列说法错误的是________． ①近似数3.5万精确到千位；②近似数3.5与3.50的精确度相同；③数495640精确到万位是 题型09 近似数推断取值范围 【典例1】某同学测量身高近似米，若这位同学的身高记为米，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式1】近似数是由数a四舍五入得到的，则数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式2】一个三位小数，“四舍五入”后约是，这个三位小数最大是___________． 【变式3】近似数万，则a的取值范围是 ____________________． 1．有理数的值为（     ） A． B．4 C． D．1 2．下列说法中不正确的是（    ） A．表示3个2相乘 B．底数是 C．指数是3 D．幂为 3．（25-26七年级上·河南郑州·期末）计算（   ） A． B． C． D． 4．（2026·河南周口·三模）2026年河南文旅综合收入突破 元， 原数为（     ） A． B． C． D． 5．（25-26七年级下·四川成都·期末）若，，则______． 6．我国渤海、黄海、东海、南海海水含有不少化学元素，其中铝、锰元素总量均约为8000000吨，则铝、锰元素总量的和约为______________吨（用科学记数法表示）． 7．规定一种运算：，则的值为__________． 8．用四舍五入法将近似数精确到个位的结果是_____． 9．把精确到百位的近似值是______． 10．一个三位小数，用“四舍五入”法精确到百分位约是，这个数最大是___ ，最小是___． 11．一个三位小数，用“四舍五入”法精确到百分位是，设该数为，则这个数的取值范围______． 12．（25-26七年级上·江苏扬州·期末）计算： (1) (2) 13．计算：． 14．（25-26七年级上·福建漳州·期中）计算： (1) (2) 1．地球上水的总储量为，但目前能被人们利用的水仅占总储量的，即约为，关于数据“”，下列说法正确的是（     ） A．用科学记数法可以表示为 B．用科学记数法可以表示为 C．该数是一个18位数 D．该数是一个19位数 2．（2026·河北保定·二模）某快递中心每小时能分拣件包裹，为提升效率，在优化流程后每小时分拣量为原来的倍．若将优化后每小时的分拣量用科学记数法表示为，则a的值是（    ） A．8 B．4.375 C．3.5 D．35 3．下列说法正确的是（     ） A．0.318精确到百分位 B．3.6万精确到个位 C．精确到十位 D．3000精确到千位 4．（25-26七年级上·安徽芜湖·期末）进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统，约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制，逢三进一就是三进制． 二进制数的组成数字为0，1．十进制数19化为二进制数：． 传统三进制数的组成数字为0，1，2．十进制数19化为三进制数：． 将二进制数化为三进制数为（   ） A． B． C． D． 5．（2026·河南周口·二模）我国古代《易经》中记载了“结绳记数”的方法．一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，满五进一，用来记录孩子出生后的天数．若从右起第1位打结数为3，第2位为2，第3位为1，则孩子出生后的天数为______天． 6．（25-26七年级上·内蒙古通辽·期中）如图是一个有理数混合运算的流程图．例：当的值为，的值为，输入的值为2时，根据流程图可列式为，，符合输出条件，输出结果为．依照此流程，当的值为，的值为6，输入的值为8时，最终输出的结果是______． 7．若，为有理数，且，则______． 8．计算： (1)． (2) 9．计算： (1)； (2) 10．某种细胞分裂时，1个细胞分裂1次变为2个，分裂2次变为4个，分裂3次变为8个……你能由此说明的合理性吗？ 11．（25-26七年级上·广东江门·期末）【综合与实践】进位制的认识与探究． 生活中常用的十进制是用这十个数字来表示数，满十进一，例如：；计算机常用二进制来表示字符代码，它是用0和1两个数来表示数，满二进一，例如：二进制数转化成十进制数：.其他进制也有类似的算法⋯⋯ 【体验领悟】（1）根据以上信息，将二进制数“1010”转化为十进制数是__________； 【理解运用】（2）计算：，和的结果用十进制数表示； 【拓展延伸】（3）在我国远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，如图所示是远古时期一位母亲记录孩子出生后的天数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满五进一，根据图示，求孩子已经出生的天数．（结果用十进制数表示） 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $