专题1.4 有理数的乘除（举一反三讲义）数学新教材沪科版七年级上册

本讲义聚焦初中数学有理数的乘除核心知识点，系统梳理从乘法法则（符号判断、绝对值运算）、倒数概念与求法、运算律（交换律、结合律、分配律），到除法法则（转化为乘法）、乘除混合运算及加减乘除混合运算的递进脉络，构建阶梯式学习支架。 该资料以14类题型为框架，例题与变式题结合，融入实际应用（如电费计算、行程问题）和简便运算，通过具体问题培养学生运算能力（数学思维）、应用意识（数学语言）和创新意识（数学眼光）。课中辅助教师分层教学，课后助力学生巩固练习、查漏补缺。

专题1.4 有理数的乘除（举一反三讲义） 【新教材沪科版】 题型归纳 【题型1 有理数乘法的基本运算】 2 【题型2 有理数的乘法中的符号判断】 4 【题型3 有理数的乘法的应用】 6 【题型4 求一个数的倒数】 8 【题型5 根据倒数的性质求值】 9 【题型6 有理数的乘法的简便计算】 11 【题型7 有理数的乘法与绝对值、倒数的综合】 14 【题型8 有理数除法的基本运算】 18 【题型9 有理数的除法在实际生活中的应用】 19 【题型10 有理数的乘除混合运算的基本计算】 21 【题型11 有理数的乘除混合运算的实际应用】 23 【题型12 有理数的加减乘除混合运算】 24 【题型13 有理数的加减乘除混合运算中的简便计算】 26 【题型14 有理数的加减乘除混合运算的实际应用】 31 考点1 有理数的乘法 知识点1 有理数乘法法则 1. 正数乘正数，积为正数；正数乘负数，积为负数；负数乘正数，积为负数；负数乘负数，积为正数．积的绝对值等于各乘数的绝对值的积． 2. 两数相乘，同号得正，异号得负，且积的绝对值等于乘数的绝对值的积；任何数与0相乘，都得0． 3. 有理数乘法法则也可以表示如下： 设a，b为正有理数，c为任意有理数，则 ； ，； ，． 知识点2 倒数的概念与求法 1. 倒数的概念：乘积是1的两个数互为倒数．即若a与b互为倒数，则． 2. 倒数的求法 类型 方法 真、假分数的倒数 将分子分母交换位置 非0整数的倒数 整数作分母，1作分子 小数的倒数 对于可以除尽的数的倒数，可以用1除以这个数求倒数 对于除不尽的数，转换为分数，再按照真、假分数求倒数的方法来进行 带分数的倒数 先把带分数化为假分数，然后将分子分母调换位置 知识点3 有理数的乘法运算律 运算律 文字叙述 用字母表示 乘法交换律 两个数相乘，交换乘数的位置,积不变 乘法结合律 三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变 乘法分配率 一个数与两个数的和相乘，等于把这个数分别与这两个数相乘，再把积相加 知识点4 多个有理数相乘的符号法则 1. 几个不为0的数相乘，负的乘数的个数是 2. 几个数相乘，如果其中有乘数为0，那么积为0． 【题型1 有理数乘法的基本运算】 【例1】（25-26七年级上·福建漳州·期末）如图，小林有5张标有数字的卡片，从中取出2张，则卡片上两数乘积的最大值为_____． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的乘法运算，依题意，选取绝对值较大且符号相同的两数相乘，即可求解． 【详解】解：依题意，卡片上两数乘积的最大值为 故答案为：． 【变式1-1】计算的结果是（   ） A．12 B． C． D．7 【答案】A 【分析】此题主要考查了有理数的乘法的运算，两个负数相乘，结果为正数． 【详解】解：∵， ∴ 结果为12． 故选：A． 【变式1-2】（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图所示为一个正方体的侧面展开图，则原正方体相对两个面的数字积最小的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了有理数乘法，有理数大小比较，正方体相对两个面上的数字，注意正方体的空间图形，根据相对的面之间一定相隔一个正方形，是解题的关键． 【详解】解：和5是相对面，数字积为；1和是相对面，数字积为；和是相对面，数字积为； ∵， 原正方体相对两个面的数字积最小的是． 故选：C． 【变式1-3】（25-26七年级上·江苏常州·月考）若两个整数的乘积是6，则这两个整数的和的最小值是___________． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的运算，掌握有理数的乘法法则、加法法则是解决本题的关键． 利用有理数的乘法法则，先找出乘积为6的两个整数，再比较它们的和并取最小值即可． 【详解】解：，；，；，；，． ∵， ∴这两个整数的和的最小值是． 故答案为：． 【题型2 有理数的乘法中的符号判断】 【例2】下列说法正确的是（    ） A．两数之积为正，这两数同为正 B．三数相乘，积为负，这三个数都是负数 C．两数之积为负，这两数为异号 D．几个数相乘，积的符号由因数的个数决定 【答案】C 【分析】利用有理数的乘法法则，①有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘． ②任何数同零相乘，都得0．③多个有理数相乘的法则：①几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正．②几个数相乘，有一个因数为0，积就为0．进行判定即可得出答案． 【详解】解：A．因为两数之积为正，这两数同为正或同为负，所以A选项说法不正确，故A选项不符合题意； B．因为三数相乘，积为负，这三个数中有一个负数或三个负数，所以B选项说法不正确，故B选项不符合题意； C．因为两数之积为负，这两数为异号，所以C选项说法正确，故C选项符合题意； D．因为几个不为0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，所以D选项说法不正确，故D选项不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了有理数乘法，熟练掌握有理数乘法法则进行求解是解决本题的关键． 【变式2-1】下列乘积的结果，符号为正的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的乘法运算，根据同号得正，异号得负，0乘以任何数为0；对各选项分析判断即可求解． 【详解】解：A． 结果为0，故该选项不正确，不符合题意； B． 结果是负数；故该选项不正确，不符合题意； C． 结果是正数，故该选项正确，符合题意；     D． 结果是负数，故该选项不正确，不符合题意；． 故选：C． 【变式2-2】（24-25六年级上·山东烟台·期中）若有理数满足，，则中负数的个数是______． 【答案】 【分析】本题考查利用有理数乘法和加法的符号，来判断有理数的符号．熟练掌握有理数的乘法运算法则：“同号为正，异号为负．”加法法则：“同号相加，取相同的符号，异号相加，取绝对值大的符号．”是解题的关键． 根据有理数的乘法法则：同号为正，异号为负，以及互为相反数的两数之和为0，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴三数均为正，或两数为负，一数为正， 当三数均为正时：，不符合题意； ∴三数中有两数为负，一数为正． 故答案为：． 【变式2-3】（25-26七年级上·江苏南京·期中）5个非零有理数两两相乘，若所有乘积中恰好有4个负数，则这5个数中负数的个数为___________． 【答案】或 【分析】本题考查了代数式两数之积的正负性，合理分类讨论是解题的关键．设这非零有理数为，，，，，分类讨论解答即可． 【详解】解：设这非零有理数为，，，，， 两两相乘一共有：，，，，，，，，，，十种情况， 当有一个负数时，令为负数，则负数的情况有：，，，，四种情况，符合题意； 当有两个负数时，令a，b为负数，则负数的情况有：，，，，，，六种情况，不符合题意； 当有三个负数时，令a，b，为负数，则负数的情况有：，，，，，，六种情况，不符合题意； 当有四个负数时，令a，b，，为负数，则负数的情况有：，，，，四种情况，符合题意； 当有五个负数时，令a，b，，，为负数，则没有负数的情况，不符合题意； 综上，当有一个负数或有四个负数时符合题意， 故答案为：或． 【题型3 有理数的乘法的应用】 【例3】（25-26七年级上·河南平顶山·期末）人体的血液的质量约占人体的至之间．已知小红的体重为，则她体内的血液质量可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的乘法运算的应用．分别计算与，即可知道小红体内血液质量所处的范围，根据选项即可作出判断． 【详解】解：由题意知，小红体内血液质量位于至之间， 由四个选项知，小红体内的血液质量可能为； 故选：C． 【变式3-1】（25-26七年级上·北京海淀·期末）中央民族大学附属中学开展民族团结主题活动，七年级共有320名学生参与，其中少数民族学生人数占总人数的，则少数民族学生人数为（   ） A．120 B．160 C．200 D．240 【答案】A 【分析】本题考查有理数乘法的实际应用，用总人数乘以少数民族学生所占的比例即可求出人数． 【详解】∵总人数为320名，少数民族学生人数占总人数的， ∴少数民族学生人数为=120（名）． ∴故选：A． 【变式3-2】（25-26七年级上·贵州黔东南·期末）某地居民电费根据年用电量实行阶梯式收费，收费标准如下表： 年用电量（度） 对应电价（元/度） 3000度及以下 超过3000度但不超过4700度的部分 超过4700度的部分 若该地某家在2025年累计年用电量为5000度，则他家应缴电费__________元． 【答案】2458 【分析】本题考查了有理数的乘法运算，读懂题目信息，理解阶梯电价的收费方法和电费的计算方法是解题的关键． 根据阶梯电价标准，年用电量5000度超过4700度，需分三部分计算电费：3000度及以下部分、超过3000度但不超过4700度部分、超过4700度部分． 【详解】解：第一阶梯电费为元； 第二阶梯电费为元； 第三阶梯电费为元； ∴总电费为元． 故答案为： 【变式3-3】（2024·山东烟台·中考真题）《周髀算经》是中国现存最早的数理天文著作．书中记载这样一道题：“今有女子不善织，日减功迟．初日织五尺，末日织一尺，今三十日织，问织几何？”意思是：现有一个不擅长织布的女子，织布的速度越来越慢，并且每天减少的数量相同．第一天织了五尺布，最后一天仅织了一尺布，天完工，问一共织了多少布？ A．尺 B．尺 C．尺 D．尺 【答案】C 【分析】本题考查了数字的变化规律，由题意可知每天减少的量一样，由数的规律求和即可，读懂题意，找出规律是解题的关键． 【详解】解：由题意得，第一天织布尺，第天织布尺， ∴一共织布（尺）， 故选：． 【题型4 求一个数的倒数】 【例4】（25-26九年级上·重庆·期中）2026的倒数是（　　） A． B．2026 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查倒数的定义，根据倒数的定义计算即可得到结果. 【详解】∵ 乘积为的两个数互为倒数， 设的倒数为，则 ， ∴ ， 故选D. 【变式4-1】（25-26六年级上·上海·期末）的倒数是______． 【答案】 【分析】本题主要考查了倒数．先将带分数转化为假分数，再依据倒数的定义求解即可． 【详解】解：的倒数是． 故答案为． 【变式4-2】（25-26七年级上·河北邢台·期末）一个正方体的平面展开图如图所示，已知正方体相对两个面上的数互为倒数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正方体相对两个面上的数，倒数的定义，有理数的乘法． 根据正方体相对两个面上的数互为倒数求出，，进而代入计算即可． 【详解】解：由正方体的平面展开图可知，a相对面上的数是3，b相对面上的数是， ∵正方体相对两个面上的数互为倒数， ∴，， ∴． 故选：A． 【变式4-3】（25-26七年级上·河南开封·期中）是最大的负整数，的倒数是它本身，是绝对值最小的有理数，则（　　） A． B．1 C．0或 D．0或 【答案】D 【分析】本题考查有理数的混合运算，解题的关键是明确题意，求出各项的值． 根据定义，a是最大的负整数即，b的倒数是它本身即或，c是绝对值最小的有理数即，代入计算，即可解答． 【详解】解：∵ a是最大的负整数， ∴； ∵b的倒数是它本身， ∴或； ∵ c是绝对值最小的有理数， ∴； 当时，； 当时，； 或， 故选D． 【题型5 根据倒数的性质求值】 【例5】（2025七年级上·全国·专题练习）若a，b互为倒数，则的值为__________． 【答案】 【分析】本道题主要考查了倒数的定义及性质，解题的关键是熟记倒数的定义与性质； 根据倒数的定义，a与b互为倒数则，代入计算即可． 【详解】因为a，b互为倒数， 所以． 所以． 故答案为：． 【变式5-1】（25-26七年级上·广东东莞·月考）已知互为相反数，互为倒数，则的值为___________． 【答案】1 【分析】本题主要考查了相反数，倒数，代数式求值，根据相反数和倒数的定义，得出和 ，然后代入计算即可． 【详解】解：∵a、b互为相反数， ∴； ∵c、d互为倒数， ∴． ∴． 故答案为：1． 【变式5-2】（25-26七年级上·山东临沂·期末）若与互为相反数，与互为倒数，则的值是__________． 【答案】0 【分析】本题考查了相反数，倒数的定义，代数式求值，由a与b互为相反数，得，由c与d互为倒数，得．代入表达式计算即可． 【详解】解：与b互为相反数， ． 与d互为倒数， ． ． 故答案为：0 【变式5-3】（25-26七年级上·全国·期末）已知和互为相反数，和互为倒数，是绝对值最小的有理数，是最小的正整数，求的值． 【答案】 【分析】本题考查代数式求值，涉及相反数定义、倒数定义、绝对值等相关知识，掌握相关数学知识得到式子与字母的值是解决问题的关键． 先由题意，得到，代入代数式计算即可得到答案． 【详解】解：∵和互为相反数，和互为倒数，是绝对值最小的有理数，是最小的正整数， ， 即， ∴ ． 【题型6 有理数的乘法的简便计算】 【例6】（2025七年级上·全国·专题练习）用简便方法计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)27 (2)11 (3) 【分析】本题考查了有理数的乘法，利用运算定律可以使计算更简便，要注意对运算算式的整理． （1）把带分数化为假分数，然后利用有理数的乘法运算法则进行计算即可得解； （2）利用乘法分配律进行计算即可得解； （3）把写成，然后利用乘法分配律进行计算即可得解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解：， ， ， ， ． 【变式6-1】（25-26六年级上·山东淄博·期末）计算时，将式子变形为进行简便运算，这样做的依据是运用了______． 【答案】乘法交换律和结合律 【分析】本题主要考查了有理数的乘法运算、有理数的乘法运算律等知识点，掌握乘法运算律是解题的关键． 通过改变乘数的顺序和分组，使计算简便，依据是乘法的交换律和结合律． 【详解】解：原式计算中，将式子变形为先计算与的乘积，再乘以8，应用了乘法的交换律改变乘数的顺序，并结合结合律改变乘法的分组，从而使计算简便． 故答案为：乘法交换律和结合律． 【变式6-2】（25-26七年级上·山西临汾·期末）在简便运算时，把变形成最合适的形式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的简便运算，将带分数变形成凑整的形式，便于计算，据此进行分析，即可作答． 【详解】解：依题意，， ∴，这样便于后面的运算， 故选：A 【变式6-3】学习了有理数的运算后，王老师给同学们出了这样一道题：计算，看谁算得又对又快． 下面是两位同学给出的不同解法． 小强：原式 小莉：原式． (1)以上两种解法，你认为谁的解法比较简便？ (2)你还有其他解法吗？如果有，请你写出解答过程； (3)你能用简便方法计算吗？如果能，请你写出解答过程． 【答案】(1)小莉 (2)有，见解析 (3) 【分析】（1）对比二者的运算过程的繁简程度即可判断； （2）将原数化为，用乘法分配律即可求解； （3）将原数化为，用乘法分配律即可求解． 【详解】（1）解：由题意得 小强没有进行约分计算，导致数字偏大，运算量大；小莉将原数拆分后利用乘法分配律进行运算，简化了运算； 故小莉的解法比较简便； （2）解：还有其他的解法； 原式 ； （3）解：能； 原式 ． 【点睛】本题考查了有理数的混合运算，乘法分配律，会利用运算律进行简便运算是解题的关键． 【题型7 有理数的乘法与绝对值、倒数的综合】 【例7】（24-25七年级上·河北廊坊·月考）已知与互为倒数，与互为相反数，的绝对值等于1，则的值为__________． 【答案】 【分析】根据与互为倒数，与互为相反数，的绝对值等于1．可以得到，，，然后代入所求式子计算即可．本题考查有理数的混合运算，相反数的定义，倒数的定义，解答本题的关键是求出，，． 【详解】解：与互为倒数，与互为相反数，的绝对值等于1， ，，， ∴ ， 故答案为：． 【变式7-1】下列说法： ①2018个有理数相乘，其中负数有2005个，那么所得的积为负数 ②若m满足|m|＋m＝0则m<0    ③有理数的倒数是 ④若三个有理数a，b，c满足=-1，则 其中正确的是有（      ）个 A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】利用有理数的乘除法法则，绝对值，以及倒数定义判断即可． 【详解】解：①中当有理数中有0时，结果为0，故①错误； ②中若m满足|m|＋m＝0则m≤0，故②错误； ③中有理数当分子b=0时，它没有倒数，故③错误； ④中若三个有理数a，b，c满足=-1，可得ab，ac，bc中有两个为负的， ∴a，b，c中负数有2个正数1个或者负数有1个正数2个， ∴或1，故④错误， 故选：A． 【点睛】此题考查了有理数的乘除法法则，绝对值以及倒数的概念等，有理数中0常常作为一个特例需要特别注意，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【变式7-2】（24-25七年级上·河北石家庄·月考）解答下列问题： (1)已知， ①若，求的值． ②若，求的值． (2)已知互为倒数，互为相反数（不为0），，根据已知条件请回答： ①_______，_______，_______，_______． ②求的值． 【答案】(1)①；②或； (2)①，，，；② 【分析】本题主要考查了绝对值的定义，倒数定义以及相反数的定义，熟练掌握性质定理是解题的关键． （1）①首先利用绝对值的定义求出的值，根据确定值代入即可； ②根据绝对值的定义得到，确定值代入即可； （2）①根据倒数、相反数、绝对值的定义求解即可； ②将①所得值，代入求值即可． 【详解】（1）解：① ， ，， ， 当时，； 当时，； 的值为； ② ， ，， ， ， 当时，； 当时，； 故的值为或； （2）解：① 互为倒数，互为相反数（不为0），， ，， ， ， ， 故答案为：，，，； ②将，，代入， 原式 ． 【变式7-3】（25-26七年级上·河南许昌·期中）（1）若a与b互为相反数，c和d互为倒数，m是最大的负整数，数轴上n对应的点到对应的点的距离是7，求的值； （2）已知，，且，求的值． 【答案】 （1）1或 （2）17或 【分析】本题考查了相反数、倒数、负整数的定义，数轴上两点间的距离，绝对值的性质及代数式求值，解题的关键是根据定义和性质确定各字母的取值；易错点在于数轴上到某点距离为定值的点有两个，以及绝对值化简时忽略符号的多种情况，易漏解． （1）由相反数得，倒数得，最大负整数得，由数轴上两点间距离公式得，分情况代入代数式计算； （2）由绝对值得、，结合分异号情况计算． 【详解】（1）解∵与互为相反数， ∴； ∵和互为倒数， ∴； ∵是最大的负整数， ∴； ∵， ∴或 当时，； 当时， ． ∴的值为1或． （2）解∵， ∴或； ∵， ∴或； ∵， ∴、异号． 当，时，； 当，时，， ∴的值为17或． 考点2 有理数的除法 知识点5 有理数的除法 1. 有理数除法法则 （1）除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数．即． （2）两数相除，同号得正，异号得负，且商的绝对值等于被除数的绝对值除以除数的绝对值的商．若 ，则；若,则． （3）0除以任何一个不等于0的数，都得0． 2. 有理数除法的两个法则要根据具体情况灵活选用 （1）对于除法的两个法则，在计算时可根据具体情况选用，一般在不能整除的情况下选用法则（1）比较简便，在能整除的情况下，选用法则（2）比较简便． （2）如果被除数和除数都是整数，且不能整除，或者如果被除数和除数中有小数或分数，一般选用法则（1)进行计算． 知识点6 有理数乘除混合运算 有理数的乘除混合运算通常是先将除法转化为乘法，然后按照乘法法则，确定积的符号，最后求出结果． 【题型8 有理数除法的基本运算】 【例8】（25-26六年级下·黑龙江绥化·月考）小溪在计算时，除号变乘号时，忘记把改成它的倒数，结果是54，则的正确结果是______． 【答案】 【分析】先根据错误的计算过程列出关于的等式，求出的值，再代入正确的算式，根据有理数除法法则计算即可得到结果． 【详解】根据题意，可得错误的计算算式为：， 解得 ， 将代入正确算式， 得． 【变式8-1】（25-26七年级上·河北邢台·期末）计算的结果是（   ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查有理数的除法运算，先把除法变成乘法，再计算乘法即可得到答案． 【详解】解：， 故选：C． 【变式8-2】（25-26六年级上·上海·期末）乐乐在计算时，误将“”看成“”，所得的结果是，那么的正确结果应是______． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的减法和除法，根据题意求出的值，再代入算式计算即可求解，掌握有理数的运算法则是解题的关键． 【详解】解：由题意得，， ∴， ∴正确结果为， 故答案为：． 【变式8-3】（25-26七年级上·河北衡水·期末）如图1，点A，B，C是数轴上从左到右排列的三点，分别对应的数为，m，4．某同学将刻度尺如图2放置，使刻度尺上的对齐数轴上的点A，发现点B对齐刻度尺处，点C对齐刻度尺处．那么，数轴上点B所对应的数m为______． 【答案】0 【分析】本题主要考查了数轴上两点间的距离、有理数的加减运算、有理数的除法运算，根据已知条件算出数轴上1个单位长度表示实际长度是解题的关键．先算出数轴上1个单位长度表示实际长度cm，然后根据间的实际长度，求出数轴上点所对应的数即可． 【详解】解：根据题意知，数轴上1个单位长度表示实际长度， ∵间的实际距离为， ∴在数轴上表示的单位长度为：， ∴数轴上点所对应的数为． 故答案为： ． 【题型9 有理数的除法在实际生活中的应用】 【例9】（25-26六年级上·黑龙江哈尔滨·期末）升的牛奶能平均装在个瓶子里，则每个瓶子装_____升． 【答案】 【分析】本题主要考查有理数的除法，根据有理数除法的运算法则计算即可． 【详解】解：. 故答案为 ： 【变式9-1】（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）将2025转换为八进制数为__________． 【答案】 【分析】本题考查进制的转换，将十进制数2025转换为八进制数，通过不断除以8并取余数，直到商为0，然后将余数从下往上排列得到八进制数． 【详解】解：余1 余5 余7 余3 将余数从下往上排列为3751，故2025的八进制数为3751； 故答案为：． 【变式9-2】（24-25七年级上·浙江金华·月考）一列“动车组”高速列车和一列普通列车的车身长分别为80米与100米，它们相向行驶在平行的轨道上，若坐在高速列车上的旅客看见普通列车驶过窗口的时间是6秒，则坐在普通列车上的旅客看见高速列车驶过窗口的时间是（　　） A．秒 B．秒 C．5秒 D．4秒 【答案】B 【分析】两车相向行驶，相对速度保持不变，旅客看见对方列车驶过窗口时，行驶路程等于对方列车的车身长，先根据已知条件求出相对速度，再计算所求时间． 【详解】解：∵两车相向行驶，相对速度不变，坐在高速列车上的旅客观察普通列车时，行驶路程为普通列车车身长100米，时间为6秒， ∴两车的相对速度为（米/秒）． ∵坐在普通列车上的旅客观察高速列车时，行驶路程为高速列车车身长80米， ∴坐在普通列车上的旅客看见高速列车驶过窗口的时间为（秒）． 【变式9-3】（25-26七年级下·山东泰安·期中）我国古代人们根据《孙子算经》“物不知数”问题改编的灯谜：大年三十彩灯悬，彩灯齐明光灿灿，三三数时能数尽，五五数时剩一盏，七七数时刚刚好，八八数时还缺三、大体意思是：大年三十挂彩灯，彩灯数量满足以下条件： 3个3个地数，正好数完（没有剩余）； 5个5个地数，最后剩1盏； 7个7个地数，正好数完； 8个8个地数，还差3盏（也就是数到最后一组差3盏不到8盏） 请问：这些彩灯最少有_____盏? 【答案】21 【分析】彩灯数量需同时满足：是3的倍数、除以5余1、是7的倍数、除以8余5．通过寻找3和7的公倍数，并结合其他条件求解． 【详解】解：由题知彩灯数量需同时满足：是3的倍数、除以5余1、是7的倍数、除以8余5． ∵彩灯数量是3和7的公倍数，即21的倍数． ∴设数量为，k为正整数．   当时，， 余1，满足题意， 余5，即缺3，满足题意， ∴这些彩灯最少有21盏． 【题型10 有理数的乘除混合运算的基本计算】 【例10】（25-26七年级上·山东日照·期中）已知：，且a，b，c都均为正数，则a，b，c中最小的数是（    ） A．a B．b C．c D．无法确定 【答案】B 【分析】本题主要考查了有理数乘除的应用． 根据题意可得，，即可求解． 【详解】解：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴a，b，c中最小的数是b． 故选：B． 【变式10-1】（25-26七年级上·山西长治·期末）( ) A．2 B． C．1 D．4 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的乘除混合运算，关键是掌握同级运算从左到右依次进行，或把除法转化为乘法后再计算，注意符号的处理． 【详解】解： ． 故选：D． 【变式10-2】（25-26七年级上·山西太原·阶段检测）已知是有理数，表示不超过的最大整数，如：，，则______． 【答案】10 【分析】本题考查的是有理数的大小比较，有理数的乘除混合运算，理解表示不超过的最大整数的意义是解题的关键． 根据题意求出、、的值，再代入代数式进行计算即可． 【详解】解：表示不超过的最大整数， ，，， ． 故答案为：． 【变式10-3】（24-25七年级上·河南南阳·月考）下列各式中，与的运算结果相同的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用有理数的乘除混合运算法则逐一计算，并与题中的计算结果比较即可． 本题考查有理数的乘除混合运算，熟练掌握有理数的乘除混合运算法则是解题的关键． 【详解】解： A中、，不相同，故选项不符合题意； B中、相同，故选项符合题意： C中、，不相同，故选项不符合题意； D中、，不相同，故选项不符合题意； 故选：B． 【题型11 有理数的乘除混合运算的实际应用】 【例11】（25-26六年级上·黑龙江哈尔滨·期末）已知平均每个水龙头一天漏水约，如果1个人1年用水，那么按照这个漏水速度，100个水龙头1年（365天）的漏水量可供______人用1年． 【答案】73 【分析】本题考查了有理数的乘除法的应用，根据题意，先计算100个水龙头一年的总漏水量，再除以一个人一年的用水量，得到可供的人数． 【详解】解：平均每个水龙头一天漏水，100个水龙头一天漏水， 100个水龙头一年漏水． 因为一个人一年用水，所以（人）． 故答案为73． 【变式11-1】（24-25七年级上·湖南怀化·开学考试）买千克葡萄和千克芒果，共付款元．已知千克葡萄的价钱等于千克芒果的价钱，那么葡萄每千克( )元，芒果每千克( )元． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的应用，由千克葡萄的价钱等于千克芒果的价钱，可得葡萄每千克（元），从而可求芒果每千克得价钱，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：因为千克葡萄的价钱等于千克芒果的价钱， 所以葡萄每千克（元）， 所以芒果每千克（元）， 故答案为：，． 【变式11-2】（24-25六年级下·黑龙江绥化·期中）一根木头，锯成段需要分钟，照这样计算，锯成段要( )分钟． 【答案】15 【分析】本题考查了有理数的除法运算，理解数量关系是关键． 根据锯成段需要锯两次，需要分钟，则每次的用时为分钟，由此即可求解． 【详解】解：锯成段需要锯两次，需要分钟， ∴每锯一次的用时为分钟， ∵锯成段，需要锯次， ∴需要时间为（分钟）， 故答案为：15 ． 【变式11-3】（24-25六年级下·上海·期中）在长16厘米，宽10厘米的长方形上剪半径为2厘米的小圆，最多可以剪______个圆． 【答案】8 【分析】本题考查了有理数的乘除法的实际应用，圆的周长问题，理解题意是解题的关键． 算出每行和每列最多可剪几个圆，即可得到长方形上可以最多剪几个圆． 【详解】解：由题意得，直径为4厘米， 那么每一行最多剪个圆，每列最多剪个圆， 则最多剪个圆， 故答案为：8． 考点3 有理数的加减乘除混合运算 知识点7 有理数的四则运算 有理数的四则运算：先算乘除，后算加减，有括号先算括号里面的（先小括号，再中括号，最后大括号），同级运算，按照从左往右的顺序进行计算． 【题型12 有理数的加减乘除混合运算】 【例12】（25-26七年级下·河南新乡·期末）若要使的结果为负整数，则“”里应填（   ） A．+ B．- C． D．÷ 【答案】C 【分析】本题考查有理数的混合运算．根据有理数的混合运算分别计算表达式的值，即可求解． 【详解】解：A、，不是负整数； B、，不是负整数； C、，是负整数； D、，不是负整数． 故选：C． 【变式12-1】（25-26七年级上·福建漳州·期末）要使算式的结果最大，则“□”内应填入的运算符号为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的加减乘除运算及绝对值的性质，通过计算填入不同运算符号后的算式结果，比较大小即可得出使结果最大的运算符号，正确计算是解题的关键． 【详解】解：填入“”时，， 填入“”时，， 填入“”时，， 填入“”时，， ∵， ∴要使算式结果最大，“”内应填入的运算符号为， 故选：． 【变式12-2】某学校把密码按照如下规律设置，根据提供的信息可以推断该校的密码是_____________． 账号： 密码 【答案】324880 【分析】本题考查了数字类规律探索，有理数的混合运算，根据前面三个等式，寻找规律解决问题即可，由前面三个等式发现规律是解决问题的关键． 【详解】解：由三个等式，得到规律： 可知：，，， 可知：，，， 可知：，，， ，，， ， 故答案为：． 【变式12-3】（25-26七年级上·河北衡水·期末）小华同学在黑板上列出了算式()，其中“”是被擦去的部分． (1)如果被擦去的部分是，求这个算式的结果； (2)如果这个算式的结果是2，求被擦去部分的值． 【答案】(1) (2)被擦去的部分的值是1 【分析】本题主要考查了有理数的四则混合计算，解一元一次方程，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）根据有理数的四则混合计算法则求解即可； （2）设被擦去的部分是，由此建立方程求解即可． 【详解】（1）解：如果被擦去的部分是 ，则 原式 ； （2）解：设被擦去的部分是m，则有 ， 解得． ∴被擦去的部分的值是1． 【题型13 有理数的加减乘除混合运算中的简便计算】 【例13】（25-26六年级上·黑龙江绥化·期末）计算． (1) (2) (3)（用简便算法） (4) 【答案】(1) (2)18 (3) (4) 【分析】该题考查了有理数的混合运算． （1）先将除法转化为乘法，逆用乘法分配律求解即可． （2）先将除法转化为乘法，再根据乘法分配律求解即可． （3）将137变为，再根据乘法分配律求解即可． （4）先将小数转化为分数、除法转化为乘法，再根据乘法运算法则计算即可． 【详解】（1）解：         ． （2）解：          ． （3）解： ． （4）解： ． 【变式13-1】（25-26七年级上·全国·寒假作业）用简便方法计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查有理数的运算定律，进行简便计算； （1）运用乘法分配律计算即可； （2）运用乘法结合律计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ； 【变式13-2】（25-26六年级上·全国·期末）脱式计算，能简便的用简便方法计算． (1)； (2)； (3) (4)； (5)； (6)． 【答案】(1)80 (2)112 (3)45 (4)750 (5)75 (6)0.4 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则运算顺序． （1）先计算乘除，再计算加法； （2）将除法化为乘法，并利用结合律求解； （3）利用交换律和结合律进行简便计算； （4）先将原式变形，再利用结合律进行乘法计算； （5）先将百分数和分数化为小数，再逆用乘法分配律计算； （6）先计算小括号内加法，再计算中括号内除法，最后计算减法． 【详解】（1）解： ； （2）解： （3）解： （4）解： ； （5）解： （6）解： 【变式13-3】（25-26七年级上·湖南湘潭·月考）计算下列各题，能简算的要简算． (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）将分母相同的两个数，和为整数的两个数分别结合为一组求解； （2）逆用乘法运算律简算即可； （3）根据去括号法则先去掉括号，再计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 【题型14 有理数的加减乘除混合运算的实际应用】 【例14】（25-26七年级上·黑龙江大庆·期末）为节约用电，某市实行阶梯电价：每月用电不超过180度，每度元；超过180度，超出部分每度0.6元． (1)小明家12月用电150度，应交电费多少元？ (2)小红家12月用电220度，应交电费多少元？ 【答案】(1)75元 (2)114元 【分析】（1）因为，所以利用每度元进行计算即可； （2）因为，所以先计算180度电的费用，再计算超过180度电的费用． 【详解】（1）解：因为， 所以应交电费（元）， 答：应交电费75元； （2）解：因为， 所以应交电费（元）， 答：应交电费114元． 【变式14-1】（25-26七年级上·河南洛阳·期末）最近几年，全球的新能源汽车发展迅猛，尤其在我国、新能源汽车产量都大幅增加．阳阳家把家中的燃油车换成了一辆新能源纯电汽车，他连续7天记录了每天行驶的路程如下表，以为标准，多于的部分记为正，不足的部分记为负，刚好的记为零． 第n天 1 2 3 4 5 6 7 路程 (1)这7天里第3天走的路程是 ，路程最多的一天比最少的一天多走 ； (2)请求出阳阳家的新能源汽车这七天共行驶了多少？ 【答案】(1)34；25 (2) 【分析】（1）用表格中第3天对应的数加上50，可求出第3天走的路程；用表格中最大的数减去最小的数，可求出路程最多的一天比最少的一天多走的路程； （2）用表格中的数之和再加上，可以求出这七天共行驶的路程． 【详解】（1）解：这7天里第3天走的路程是： ； 最多的一天比最少的一天多走的路程为： ； （2）解：阳阳家的新能源汽车这七天共行驶的路程为： ． 答：阳阳家的新能源汽车这七天共行驶了． 【变式14-2】王先生到市行政中心大楼办事，假定乘电梯向上一层记作，向下一层记作，王先生从1楼出发，要去不同楼层办理具体事务，电梯上下楼层依次记录为（单位：层）：． (1)请你通过计算说明王先生最后是否回到出发点1楼； (2)该电梯每向上或下一层平均需要15秒（包含了开关门，上下客），求王先生乘坐电梯期间（不包括等待电梯的时间）共用时多少分钟？ 【答案】(1)王先生最后能回到出发点1楼 (2)王先生乘坐电梯期间共用时14分钟 【详解】（1）解： ， 计算结果为，表示王先生相对于出发点没有楼层变化，因此最后回到出发点1楼， 所以王先生最后能回到出发点1楼． （2）解：（秒）． （分钟）． 答：王先生乘坐电梯期间共用时14分钟． 【变式14-3】（25-26七年级上·河南许昌·期末）外卖送餐为我们生活带来了许多便利，某学习小组调查了一名外卖小哥一周的送餐情况，规定送餐量超过60单（送一次外卖称为一单）的部分记为“＋”，低于60单的部分记为“－”，下表是该外卖小哥一周的送餐量： 星期 一 二 三 四 五 六 日 送餐量（单位：单） (1)该外卖小哥这一周送餐量最多的一天比最少的一天多送_____单； (2)该外卖小哥这一周总共送餐多少单？ (3)外卖小哥每天的工资由底薪60元加上送单补贴构成．送单补贴的方案如下：每天送餐量不超过60单的部分，每单补贴2元；超过60单但不超过70单的部分，每单补贴4元；超过70单的部分，每单补贴6元．该外卖小哥这一周工资收入多少元？ 【答案】(1)22 (2)该外卖小哥这一周共送餐441单 (3)该外卖小哥这一周的工资收入是1388元 【分析】本题考查有理数运算的实际应用，正确的列出算式，是解题的关键： （1）用表格中的最大数减去最小数即可； （2）计算表格数据的和，再加上，即可求解； （3）根据工资方案，列出算式进行计算即可． 【详解】（1）解：（单）； 故答案为：． （2）解：（单）， 答：该外卖小哥这一周共送餐441单． （3）解：（元）， 答：该外卖小哥这一周的工资收入是1388元． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.4 有理数的乘除（举一反三讲义） 【新教材沪科版】 题型归纳 【题型1 有理数乘法的基本运算】 2 【题型2 有理数的乘法中的符号判断】 3 【题型3 有理数的乘法的应用】 3 【题型4 求一个数的倒数】 4 【题型5 根据倒数的性质求值】 5 【题型6 有理数的乘法的简便计算】 5 【题型7 有理数的乘法与绝对值、倒数的综合】 6 【题型8 有理数除法的基本运算】 7 【题型9 有理数的除法在实际生活中的应用】 8 【题型10 有理数的乘除混合运算的基本计算】 8 【题型11 有理数的乘除混合运算的实际应用】 9 【题型12 有理数的加减乘除混合运算】 9 【题型13 有理数的加减乘除混合运算中的简便计算】 10 【题型14 有理数的加减乘除混合运算的实际应用】 11 考点1 有理数的乘法 知识点1 有理数乘法法则 1. 正数乘正数，积为正数；正数乘负数，积为负数；负数乘正数，积为负数；负数乘负数，积为正数．积的绝对值等于各乘数的绝对值的积． 2. 两数相乘，同号得正，异号得负，且积的绝对值等于乘数的绝对值的积；任何数与0相乘，都得0． 3. 有理数乘法法则也可以表示如下： 设a，b为正有理数，c为任意有理数，则 ； ，； ，． 知识点2 倒数的概念与求法 1. 倒数的概念：乘积是1的两个数互为倒数．即若a与b互为倒数，则． 2. 倒数的求法 类型 方法 真、假分数的倒数 将分子分母交换位置 非0整数的倒数 整数作分母，1作分子 小数的倒数 对于可以除尽的数的倒数，可以用1除以这个数求倒数 对于除不尽的数，转换为分数，再按照真、假分数求倒数的方法来进行 带分数的倒数 先把带分数化为假分数，然后将分子分母调换位置 知识点3 有理数的乘法运算律 运算律 文字叙述 用字母表示 乘法交换律 两个数相乘，交换乘数的位置,积不变 乘法结合律 三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变 乘法分配率 一个数与两个数的和相乘，等于把这个数分别与这两个数相乘，再把积相加 知识点4 多个有理数相乘的符号法则 1. 几个不为0的数相乘，负的乘数的个数是 2. 几个数相乘，如果其中有乘数为0，那么积为0． 【题型1 有理数乘法的基本运算】 【例1】（25-26七年级上·福建漳州·期末）如图，小林有5张标有数字的卡片，从中取出2张，则卡片上两数乘积的最大值为_____． 【变式1-1】计算的结果是（   ） A．12 B． C． D．7 【变式1-2】（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图所示为一个正方体的侧面展开图，则原正方体相对两个面的数字积最小的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】（25-26七年级上·江苏常州·月考）若两个整数的乘积是6，则这两个整数的和的最小值是___________． 【题型2 有理数的乘法中的符号判断】 【例2】下列说法正确的是（    ） A．两数之积为正，这两数同为正 B．三数相乘，积为负，这三个数都是负数 C．两数之积为负，这两数为异号 D．几个数相乘，积的符号由因数的个数决定 【变式2-1】下列乘积的结果，符号为正的是（　　） A． B． C． D． 【变式2-2】（24-25六年级上·山东烟台·期中）若有理数满足，，则中负数的个数是______． 【变式2-3】（25-26七年级上·江苏南京·期中）5个非零有理数两两相乘，若所有乘积中恰好有4个负数，则这5个数中负数的个数为___________． 【题型3 有理数的乘法的应用】 【例3】（25-26七年级上·河南平顶山·期末）人体的血液的质量约占人体的至之间．已知小红的体重为，则她体内的血液质量可能为（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（25-26七年级上·北京海淀·期末）中央民族大学附属中学开展民族团结主题活动，七年级共有320名学生参与，其中少数民族学生人数占总人数的，则少数民族学生人数为（   ） A．120 B．160 C．200 D．240 【变式3-2】（25-26七年级上·贵州黔东南·期末）某地居民电费根据年用电量实行阶梯式收费，收费标准如下表： 年用电量（度） 对应电价（元/度） 3000度及以下 超过3000度但不超过4700度的部分 超过4700度的部分 若该地某家在2025年累计年用电量为5000度，则他家应缴电费__________元． 【变式3-3】（2024·山东烟台·中考真题）《周髀算经》是中国现存最早的数理天文著作．书中记载这样一道题：“今有女子不善织，日减功迟．初日织五尺，末日织一尺，今三十日织，问织几何？”意思是：现有一个不擅长织布的女子，织布的速度越来越慢，并且每天减少的数量相同．第一天织了五尺布，最后一天仅织了一尺布，天完工，问一共织了多少布？ A．尺 B．尺 C．尺 D．尺 【题型4 求一个数的倒数】 【例4】（25-26九年级上·重庆·期中）2026的倒数是（　　） A． B．2026 C． D． 【变式4-1】（25-26六年级上·上海·期末）的倒数是______． 【变式4-2】（25-26七年级上·河北邢台·期末）一个正方体的平面展开图如图所示，已知正方体相对两个面上的数互为倒数，则（   ） A． B． C． D． 【变式4-3】（25-26七年级上·河南开封·期中）是最大的负整数，的倒数是它本身，是绝对值最小的有理数，则（　　） A． B．1 C．0或 D．0或 【题型5 根据倒数的性质求值】 【例5】（2025七年级上·全国·专题练习）若a，b互为倒数，则的值为__________． 【变式5-1】（25-26七年级上·广东东莞·月考）已知互为相反数，互为倒数，则的值为___________． 【变式5-2】（25-26七年级上·山东临沂·期末）若与互为相反数，与互为倒数，则的值是__________． 【变式5-3】（25-26七年级上·全国·期末）已知和互为相反数，和互为倒数，是绝对值最小的有理数，是最小的正整数，求的值． 【题型6 有理数的乘法的简便计算】 【例6】（2025七年级上·全国·专题练习）用简便方法计算： (1)； (2)； (3)． 【变式6-1】（25-26六年级上·山东淄博·期末）计算时，将式子变形为进行简便运算，这样做的依据是运用了______． 【变式6-2】（25-26七年级上·山西临汾·期末）在简便运算时，把变形成最合适的形式是（   ） A． B． C． D． 【变式6-3】学习了有理数的运算后，王老师给同学们出了这样一道题：计算，看谁算得又对又快． 下面是两位同学给出的不同解法． 小强：原式 小莉：原式． (1)以上两种解法，你认为谁的解法比较简便？ (2)你还有其他解法吗？如果有，请你写出解答过程； (3)你能用简便方法计算吗？如果能，请你写出解答过程． 【题型7 有理数的乘法与绝对值、倒数的综合】 【例7】（24-25七年级上·河北廊坊·月考）已知与互为倒数，与互为相反数，的绝对值等于1，则的值为__________． 【变式7-1】下列说法： ①2018个有理数相乘，其中负数有2005个，那么所得的积为负数 ②若m满足|m|＋m＝0则m<0    ③有理数的倒数是 ④若三个有理数a，b，c满足=-1，则 其中正确的是有（      ）个 A．0 B．1 C．2 D．3 【变式7-2】（24-25七年级上·河北石家庄·月考）解答下列问题： (1)已知， ①若，求的值． ②若，求的值． (2)已知互为倒数，互为相反数（不为0），，根据已知条件请回答： ①_______，_______，_______，_______． ②求的值． 【变式7-3】（25-26七年级上·河南许昌·期中）（1）若a与b互为相反数，c和d互为倒数，m是最大的负整数，数轴上n对应的点到对应的点的距离是7，求的值； （2）已知，，且，求的值． 考点2 有理数的除法 知识点5 有理数的除法 1. 有理数除法法则 （1）除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数．即． （2）两数相除，同号得正，异号得负，且商的绝对值等于被除数的绝对值除以除数的绝对值的商．若 ，则；若,则． （3）0除以任何一个不等于0的数，都得0． 2. 有理数除法的两个法则要根据具体情况灵活选用 （1）对于除法的两个法则，在计算时可根据具体情况选用，一般在不能整除的情况下选用法则（1）比较简便，在能整除的情况下，选用法则（2）比较简便． （2）如果被除数和除数都是整数，且不能整除，或者如果被除数和除数中有小数或分数，一般选用法则（1)进行计算． 知识点6 有理数乘除混合运算 有理数的乘除混合运算通常是先将除法转化为乘法，然后按照乘法法则，确定积的符号，最后求出结果． 【题型8 有理数除法的基本运算】 【例8】（25-26六年级下·黑龙江绥化·月考）小溪在计算时，除号变乘号时，忘记把改成它的倒数，结果是54，则的正确结果是______． 【变式8-1】（25-26七年级上·河北邢台·期末）计算的结果是（   ） A． B．2 C． D． 【变式8-2】（25-26六年级上·上海·期末）乐乐在计算时，误将“”看成“”，所得的结果是，那么的正确结果应是______． 【变式8-3】（25-26七年级上·河北衡水·期末）如图1，点A，B，C是数轴上从左到右排列的三点，分别对应的数为，m，4．某同学将刻度尺如图2放置，使刻度尺上的对齐数轴上的点A，发现点B对齐刻度尺处，点C对齐刻度尺处．那么，数轴上点B所对应的数m为______． 【题型9 有理数的除法在实际生活中的应用】 【例9】（25-26六年级上·黑龙江哈尔滨·期末）升的牛奶能平均装在个瓶子里，则每个瓶子装_____升． 【变式9-1】（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）将2025转换为八进制数为__________． 【变式9-2】（24-25七年级上·浙江金华·月考）一列“动车组”高速列车和一列普通列车的车身长分别为80米与100米，它们相向行驶在平行的轨道上，若坐在高速列车上的旅客看见普通列车驶过窗口的时间是6秒，则坐在普通列车上的旅客看见高速列车驶过窗口的时间是（　　） A．秒 B．秒 C．5秒 D．4秒 【变式9-3】（25-26七年级下·山东泰安·期中）我国古代人们根据《孙子算经》“物不知数”问题改编的灯谜：大年三十彩灯悬，彩灯齐明光灿灿，三三数时能数尽，五五数时剩一盏，七七数时刚刚好，八八数时还缺三、大体意思是：大年三十挂彩灯，彩灯数量满足以下条件： 3个3个地数，正好数完（没有剩余）； 5个5个地数，最后剩1盏； 7个7个地数，正好数完； 8个8个地数，还差3盏（也就是数到最后一组差3盏不到8盏） 请问：这些彩灯最少有_____盏? 【题型10 有理数的乘除混合运算的基本计算】 【例10】（25-26七年级上·山东日照·期中）已知：，且a，b，c都均为正数，则a，b，c中最小的数是（    ） A．a B．b C．c D．无法确定 【变式10-1】（25-26七年级上·山西长治·期末）( ) A．2 B． C．1 D．4 【变式10-2】（25-26七年级上·山西太原·阶段检测）已知是有理数，表示不超过的最大整数，如：，，则______． 【变式10-3】（24-25七年级上·河南南阳·月考）下列各式中，与的运算结果相同的是（   ） A． B． C． D． 【题型11 有理数的乘除混合运算的实际应用】 【例11】（25-26六年级上·黑龙江哈尔滨·期末）已知平均每个水龙头一天漏水约，如果1个人1年用水，那么按照这个漏水速度，100个水龙头1年（365天）的漏水量可供______人用1年． 【变式11-1】（24-25七年级上·湖南怀化·开学考试）买千克葡萄和千克芒果，共付款元．已知千克葡萄的价钱等于千克芒果的价钱，那么葡萄每千克( )元，芒果每千克( )元． 【变式11-2】（24-25六年级下·黑龙江绥化·期中）一根木头，锯成段需要分钟，照这样计算，锯成段要( )分钟． 【变式11-3】（24-25六年级下·上海·期中）在长16厘米，宽10厘米的长方形上剪半径为2厘米的小圆，最多可以剪______个圆． 考点3 有理数的加减乘除混合运算 知识点7 有理数的四则运算 有理数的四则运算：先算乘除，后算加减，有括号先算括号里面的（先小括号，再中括号，最后大括号），同级运算，按照从左往右的顺序进行计算． 【题型12 有理数的加减乘除混合运算】 【例12】（25-26七年级下·河南新乡·期末）若要使的结果为负整数，则“”里应填（   ） A．+ B．- C． D．÷ 【变式12-1】（25-26七年级上·福建漳州·期末）要使算式的结果最大，则“□”内应填入的运算符号为（    ） A． B． C． D． 【变式12-2】某学校把密码按照如下规律设置，根据提供的信息可以推断该校的密码是_____________． 账号： 密码 【变式12-3】（25-26七年级上·河北衡水·期末）小华同学在黑板上列出了算式()，其中“”是被擦去的部分． (1)如果被擦去的部分是，求这个算式的结果； (2)如果这个算式的结果是2，求被擦去部分的值． 【题型13 有理数的加减乘除混合运算中的简便计算】 【例13】（25-26六年级上·黑龙江绥化·期末）计算． (1) (2) (3)（用简便算法） (4) 【变式13-1】（25-26七年级上·全国·寒假作业）用简便方法计算： (1)； (2)． 【变式13-2】（25-26六年级上·全国·期末）脱式计算，能简便的用简便方法计算． (1)； (2)； (3) (4)； (5)； (6)． 【变式13-3】（25-26七年级上·湖南湘潭·月考）计算下列各题，能简算的要简算． (1) (2) (3) 【题型14 有理数的加减乘除混合运算的实际应用】 【例14】（25-26七年级上·黑龙江大庆·期末）为节约用电，某市实行阶梯电价：每月用电不超过180度，每度元；超过180度，超出部分每度0.6元． (1)小明家12月用电150度，应交电费多少元？ (2)小红家12月用电220度，应交电费多少元？ 【变式14-1】（25-26七年级上·河南洛阳·期末）最近几年，全球的新能源汽车发展迅猛，尤其在我国、新能源汽车产量都大幅增加．阳阳家把家中的燃油车换成了一辆新能源纯电汽车，他连续7天记录了每天行驶的路程如下表，以为标准，多于的部分记为正，不足的部分记为负，刚好的记为零． 第n天 1 2 3 4 5 6 7 路程 (1)这7天里第3天走的路程是 ，路程最多的一天比最少的一天多走 ； (2)请求出阳阳家的新能源汽车这七天共行驶了多少？ 【变式14-2】王先生到市行政中心大楼办事，假定乘电梯向上一层记作，向下一层记作，王先生从1楼出发，要去不同楼层办理具体事务，电梯上下楼层依次记录为（单位：层）：． (1)请你通过计算说明王先生最后是否回到出发点1楼； (2)该电梯每向上或下一层平均需要15秒（包含了开关门，上下客），求王先生乘坐电梯期间（不包括等待电梯的时间）共用时多少分钟？ 【变式14-3】（25-26七年级上·河南许昌·期末）外卖送餐为我们生活带来了许多便利，某学习小组调查了一名外卖小哥一周的送餐情况，规定送餐量超过60单（送一次外卖称为一单）的部分记为“＋”，低于60单的部分记为“－”，下表是该外卖小哥一周的送餐量： 星期 一 二 三 四 五 六 日 送餐量（单位：单） (1)该外卖小哥这一周送餐量最多的一天比最少的一天多送_____单； (2)该外卖小哥这一周总共送餐多少单？ (3)外卖小哥每天的工资由底薪60元加上送单补贴构成．送单补贴的方案如下：每天送餐量不超过60单的部分，每单补贴2元；超过60单但不超过70单的部分，每单补贴4元；超过70单的部分，每单补贴6元．该外卖小哥这一周工资收入多少元？ 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $