专题05 复数（竞赛培优专项训练,10大考点+竞赛强基）高一数学人教A版全国通用

专题05 复数 目录概览 A考点精研・竞赛考点专项攻坚 考点一 复数的有关概念 3 考点二 复数的几何意义 3 考点三 复数中的含参问题 4 考点四 复数的运算 4 考点五 复数方程 5 考点六 复数的运算性质 5 考点七 与复数模有关的轨迹问题 6 考点八 复数的向量表示 6 考点九 复数的三角形式 6 考点十 复数的创新题型 7 B实战进阶・竞赛选拔模拟特训（精选各地竞赛、强基试题18道） 【归纳重点知识】 知识点01复数的有关概念 1．复数的定义：形如a＋bi(其中a，b∈R)的数叫作复数，通常用字母z表示，即z＝a＋bi(a，b∈R)，其中a称为复数z的实部，记作Rez，b称为复数z的虚部，记作Im z，i叫作虚数单位. 2．复数的分类：复数z＝a＋bi(a，b∈R) 3．复数相等：a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R). 4．共轭复数：a＋bi与c＋di互为共轭复数⇔a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R). 5．复数的模：向量的模称为复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模，记作｜z｜或｜a＋bi｜，即｜z｜＝｜a＋bi｜＝(a，b∈R). 【注意】(1)虚数不能比较大小.(2)复数集包含实数集与虚数集. 知识点02复数的几何意义 [微提醒]　复数z＝a＋bi(a，b∈R)的对应点的坐标为，而不是. 知识点03复数的四则运算 1.复数的加、减、乘、除运算法则 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则 ①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i； ②减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i； ③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i； ④除法：＝＝＝＋i(c＋di≠0). 2．复数加法的运算律 ①复数的加法运算律： 结合律：＋z3＝z1＋； 交换律：z1＋z2＝z2＋z1. ②复数的乘法运算律： 结合律：·z3＝z1·； 交换律：z1·z2＝z2·z1； 乘法对加法的分配律：z1·＝z1·z2＋z1·z3. (3)复数加减的几何意义 复数加、减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行.如图给出的平行四边形OZ1ZZ2可以直观地反映出复数加、减法的几何意义，即＝＋，＝－. 【熟记重要结论（二级结论）】 1．i的乘方具有周期性 i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0，n∈N＋. 2.z·＝｜z｜2＝｜｜2；＝·；＝；＝；＋＝2(｜z1｜2＋｜z2｜2). 3.复数z的方程或不等式在复平面上表示的图形 ①a≤≤b表示以原点O为圆心，以a和b为半径的两圆所夹的圆环，并包括圆环的边界. ②＝r为圆心，r为半径的圆. 考点一 复数的有关概念 1.已知＝2＋i，则(z的共轭复数)为(　　) A．－3－I B．－3＋i C．3＋i D．3－i 2．设复数满足，则的实部为（   ） A． B． C． D． 3．已知复数，设复数，则的虚部是（    ） A．-1 B．1 C． D． 4．设复数满足，则（    ） A． B． C． D． 5.下列关于复数（）的说法一定正确的是（    ） A．存在使得小于0 B．存在使得 C．不是实数 D．实部和虚部均为1 6．已知复数满足，其中i为虚数单位，则复数的共轭复数的虚部为 . 考点二 复数的几何意义 7．已知复数，则的共轭复数在复平面内对应的点的坐标为（   ） A． B． C． D． 8．若复数z满足，其中为虚数单位，则z在复平面上所对应的点在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 9．在复平面内，复数与对应的点关于实轴对称，则（    ） A． B． C． D． 10.(多选) 以下四种说法正确的是（    ） A． B．若，则复平面内对应的点位于第二象限 C．复数的虚部为 D．复平面内，实轴上的点对应的复数是实数 11．已知，则复数z在复平面内对应的点位于第 象限． 考点三 复数中的含参问题 12．已知是实数，则实数（    ） A． B． C．1 D．2 13．已知复数，，为虚数单位，若为纯虚数，则（   ） A． B．6 C．－6 D． 14．在复平面内，复数对应的点在虚轴上，则的值为（    ） A．或 B． C．且 D．或 15．设是实系数一元二次方程的两个根，若是虚数，是实数，则（   ） A．0 B．-1 C．-2 D．1 16．若复数的实部为，则的最大值为 . 考点四 复数的运算 17．在复平面内，复数的共轭复数对应的点的坐标是，则（　　） A． B． C． D． 18．已知复数满足，则（    ） A． B． C． D． 19．若为虚数单位，则（   ） A．2 B．2 C．2 D．0 20．若复数，则（    ） A． B．3i C． D．3 考点五 复数方程 21．若复数是关于的一元二次方程的一个根，则复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 22．（多选）已知复数，则下列说法正确的有（   ） A． B． C．在复平面内对应的点位于第四象限 D．是方程的一个复数根 23．已知关于 的方程 的根为复数 ，其中 为虚数单位，则 . 24．已知关于的方程的两根在复平面上对应的点分别为和，若是等边三角形，则 . 考点六 复数的运算性质 25．（多选）设，，，则下列说法正确的有（   ） A．若且，则 B． C． D． 26．（多选）已知复数，下列说法正确的是（   ） A． B．若，则 C． D．若，则为纯虚数 27．(多选)已知为复数，则下列说法正确的是（　　） A．若，则 B． C．若，则 D． 考点七 与复数模有关的轨迹问题 28．已知复数满足，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 29．设，则，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 30．已知复数满足，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D．2 31．复数满足，则的最大值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 32．复平面内，满足的复数对应的点的集合为几何图形，满足的复数对应的点的集合为几何图形，则与的位置关系是（    ） A．外离 B．外切 C．相交 D．内切 33．已知，且，为虚数单位，则的最大值是（　　） A． B． C．2 D． 考点八 复数的向量表示 34．在复平面内，复数对应的向量为，复数对应的向量为，那么向量对应的复数是（   ） A．1 B． C． D． 35．已知在复平面内复数，对应的向量分别为，．若，，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 36．（多选）已知复数和对应的向量分别是，向量对应的复数记为z，则（   ） A． B． C． D． 37．已知复数与在复平面内用向量和表示（其中是虚数单位，为坐标原点），则与夹角为 . 考点九 复数的三角形式 38．若，则（    ） A． B． C． D． 39．复数（，是虚数单位）在复平面内对应点为，设，是以轴的非负半轴为始边，以所在的射线为终边的角，则，把叫做复数的三角形式，利用复数的三角形式可以进行复数的指数运算，，，例如：，，复数满足，则可能取值为（    ） A． B． C． D． 40．（多选）若复数，则下列说法正确的有（    ） A．实部为 B．虚部为 C． D．复数对应的点在第一象限 考点十 复数的创新题型 41．任意一个复数（，）都可以表示成三角形式，即（）（，）.法国数学家棣莫弗创立的棣莫弗定理是：设两个复数：，，则，已知复数，则（   ） A． B． C． D． 42．任何一个复数 都可以表示成 的形式，通常称为复数的三角形式． 法国数学家棣莫弗发现： ，我们称这个结论为棣莫弗定理． 则 的值为（    ） A． B． C． D． 43．欧拉公式：是虚数单位，是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它非常巧妙地将三角函数与复指数函数关联了起来.若复数，复数满足，则的最大值为（     ）. A．0 B． C．1 D．2 44.（多选）瑞士著名数学家欧拉创立了欧拉公式，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位，被誉为数学中的天骄.依据欧拉公式，下列结论正确的是（    ） A．为实数 B．复数为纯虚数 C． D．设复数，则 45. 定义：复数与的乘积为复数的“旋转复数”．设复数对应的点在曲线上，则的“旋转复数”对应的点的轨迹方程为（    ）． A． B． C． D． 46.（多选）对任意复数，，定义，其中是的共轭复数，对任意复数，，，下列命题为真命题的是（    ） A． B． C． D． 1．（2024··全国第四届章鱼杯联赛）记为虚数单位，为正整数，若位于复平面的第四象限，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 2．（2024··清华大学强基计划）已知复数，，则n的最小值为 ． 3．（2024··清华大学强基计划）复数列，且，则的最大值是 ． 4．（2024··南京大学强基计划）已知的三条边长，复数，满足，，，则为 数. 5．（2024··中国科技大学强基计划）已知，是方程的两个复数根，则 ． 6．（2025··重庆高中数学联赛初赛）若实数使得关于的方程有模为的虚根，则的取值范围为 . 7．（2025··全国奥赛浙江初赛）已知复数满足，则 ． 8．（2025··全国高中数学联赛北京预赛）设复数满足，令，则的最大值是 . 9．（2024··第九届爱尖子数学能力测评）设k是实数，若对任意模为1的虚数z，均有不是实数，则k的取值范围是 ． 10．（2024··全国数学联赛重庆初赛）已知复数使得为纯虚数，则的最小值为 .（其中i为虚数单位） 11．（2024··全国奥赛内蒙古初赛）已知关于的方程的三个复数根分别为，，，则的值为 . 12．（2024··上海高三竞赛）若关于的方程存在一个模为1的虚根，则正整数的最小值为 . 13．（2024··全国极光杯竞赛）设，则 ． 14．（2025·中国科技大学强基计划）求集合的元素个数． 15．（2025·北京大学强基计划）已知在与的线段上，，求在复平面上扫过的面积. 16．（2024·清华大学强基计划）已知复数满足，，则的最小值为？ 17．（2023·清华大学强基计划）已知，求的值． 18.（2024·全国数学联赛四川预赛）设复数满足：．求的最小值． 15 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 复数 目录概览 A考点精研・竞赛考点专项攻坚 考点一 复数的有关概念 3 考点二 复数的几何意义 4 考点三 复数中的含参问题 6 考点四 复数的运算 7 考点五 复数方程 8 考点六 复数的运算性质 10 考点七 与复数模有关的轨迹问题 12 考点八 复数的向量表示 14 考点九 复数的三角形式 15 考点十 复数的创新题型 17 B实战进阶・竞赛选拔模拟特训（精选各地竞赛、强基试题18道） 【归纳重点知识】 知识点01复数的有关概念 1．复数的定义：形如a＋bi(其中a，b∈R)的数叫作复数，通常用字母z表示，即z＝a＋bi(a，b∈R)，其中a称为复数z的实部，记作Rez，b称为复数z的虚部，记作Im z，i叫作虚数单位. 2．复数的分类：复数z＝a＋bi(a，b∈R) 3．复数相等：a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R). 4．共轭复数：a＋bi与c＋di互为共轭复数⇔a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R). 5．复数的模：向量的模称为复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模，记作｜z｜或｜a＋bi｜，即｜z｜＝｜a＋bi｜＝(a，b∈R). 【注意】(1)虚数不能比较大小.(2)复数集包含实数集与虚数集. 知识点02复数的几何意义 [微提醒]　复数z＝a＋bi(a，b∈R)的对应点的坐标为，而不是. 知识点03复数的四则运算 1.复数的加、减、乘、除运算法则 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则 ①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i； ②减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i； ③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i； ④除法：＝＝＝＋i(c＋di≠0). 2．复数加法的运算律 ①复数的加法运算律： 结合律：＋z3＝z1＋； 交换律：z1＋z2＝z2＋z1. ②复数的乘法运算律： 结合律：·z3＝z1·； 交换律：z1·z2＝z2·z1； 乘法对加法的分配律：z1·＝z1·z2＋z1·z3. (3)复数加减的几何意义 复数加、减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行.如图给出的平行四边形OZ1ZZ2可以直观地反映出复数加、减法的几何意义，即＝＋，＝－. 【熟记重要结论（二级结论）】 1．i的乘方具有周期性 i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0，n∈N＋. 2.z·＝｜z｜2＝｜｜2；＝·；＝；＝；＋＝2(｜z1｜2＋｜z2｜2). 3.复数z的方程或不等式在复平面上表示的图形 ①a≤≤b表示以原点O为圆心，以a和b为半径的两圆所夹的圆环，并包括圆环的边界. ②＝r为圆心，r为半径的圆. 考点一 复数的有关概念 1.已知＝2＋i，则(z的共轭复数)为(　　) A．－3－I B．－3＋i C．3＋i D．3－i 【答案】C 【解析】由题意得z＝(2＋i)(1－i)＝3－i，所以＝3＋i， 故选：C 2．设复数满足，则的实部为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由， 得， 则的实部为， 故选：D 3．已知复数，设复数，则的虚部是（    ） A．-1 B．1 C． D． 【答案】A 【解析】已知，则， 则， 分子分母同乘得：. 由复数的定义可得虚部为. 故选：A 4．设复数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题可得， 所以. 故选：A. 5.下列关于复数（）的说法一定正确的是（    ） A．存在使得小于0 B．存在使得 C．不是实数 D．实部和虚部均为1 【答案】C 【解析】对于选项A，因为复数不能直接比较大小，只有两个复数都是实数时才能比较大小，所以A错误. 对于选项B，因为，所以只有当时，的幂次方才有可能为实数. 当时，验证是否为1. ，可以看出周期为4，所以，所以B错误. 对于选项C，因为，所以为复数，不是实数，所以C正确. 对于选项D，因为不一定是1，所以实部不一定为1.所以D错误. 故选：C. 6．已知复数满足，其中i为虚数单位，则复数的共轭复数的虚部为 . 【答案】 【解析】由， 得， 故， 则复数的虚部为， 故答案为： 考点二 复数的几何意义 7．已知复数，则的共轭复数在复平面内对应的点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为复数. 所以共轭复数.所以共轭复数在复平面内对应的点的坐标为. 故选：B. 8．若复数z满足，其中为虚数单位，则z在复平面上所对应的点在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【解析】因为复数z满足，其中为虚数单位， 所以，则， 所以z在复平面上所对应的点在第四象限， 故选：D 9．在复平面内，复数与对应的点关于实轴对称，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由可得， 故， 故选：B. 10.(多选) 以下四种说法正确的是（    ） A． B．若，则复平面内对应的点位于第二象限 C．复数的虚部为 D．复平面内，实轴上的点对应的复数是实数 【答案】AD 【解析】A选项，，A选项正确. B选项，，对应点，对应点在虚轴上，B选项错误. C选项，复数的虚部为，C选项错误. D选项，复平面内，实轴上的点，对应的复数是实数，D选项正确. 故选：AD 11．已知，则复数z在复平面内对应的点位于第 象限． 【答案】一 【解析】因为，所以， 对应的点为位于第一象限． 考点三 复数中的含参问题 12．已知是实数，则实数（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【解析】， 因为是实数， 所以，即， 故选：B 13．已知复数，，为虚数单位，若为纯虚数，则（   ） A． B．6 C．－6 D． 【答案】C 【解析】依题意，复数，因为为纯虚数，所以且，解得. 故选：C. 14．在复平面内，复数对应的点在虚轴上，则的值为（    ） A．或 B． C．且 D．或 【答案】A 【解析】∵复数对应的点在虚轴上，∴，∴或. 故选：A. 15．设是实系数一元二次方程的两个根，若是虚数，是实数，则（   ） A．0 B．-1 C．-2 D．1 【答案】A 【解析】由题意，设，则， ∴，， ∵是实数， ∴，即， ∴，， ∴，即， ∴， 故选：A 16．若复数的实部为，则的最大值为 . 【答案】 【解析】， 因为的实部为，所以，故的最大值为. 考点四 复数的运算 17．在复平面内，复数的共轭复数对应的点的坐标是，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为复数的共轭复数对应的点的坐标是，可得， 所以，所以. 故选：C 18．已知复数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设，则， 整理得， 所以，解得， 则. 故选：D. 19．若为虚数单位，则（   ） A．2 B．2 C．2 D．0 【答案】D 【解析】因为，所以， 所以， 故选：D. 20．若复数，则（    ） A． B．3i C． D．3 【答案】A 【解析】易知，所以复数， 可得，所以. 故选：A 考点五 复数方程 21．若复数是关于的一元二次方程的一个根，则复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【解析】复数是关于的一元二次方程的一个根， 它的共轭复数也是方程的根， 由韦达定理得，即， ， ， 故在复平面内对应的点为，位于第二象限. 故选：. 22．（多选）已知复数，则下列说法正确的有（   ） A． B． C．在复平面内对应的点位于第四象限 D．是方程的一个复数根 【答案】ABC 【解析】对于A，，所以，故A正确； 对于B，，所以，故B正确； 对于C，复数在复平面内对应的点为，位于第四象限，故C正确； 对于D，将代入方程的左边，得， 所以不是该方程的根，故D错误． 故选：ABC． 23．已知关于 的方程 的根为复数 ，其中 为虚数单位，则 . 【答案】 【解析】由题意，令， 则， 展开并整理得， 所以，解得或， 则或， 当时，；当时，, 所以. 24．已知关于的方程的两根在复平面上对应的点分别为和，若是等边三角形，则 . 【答案】 【解析】根据题意设方程的两虚根为，，为实数， 方程的两根在复平面上对应的点分别为和，轴， 又是等边三角形，高为2，则， 解得，则； 则. 故答案为． 考点六 复数的运算性质 25．（多选）设，，，则下列说法正确的有（   ） A．若且，则 B． C． D． 【答案】ABD 【解析】对A，因为，所以，即， 又因为，所以，所以，所以选项A正确； 对B，设， 则 ， ， 即，即复数乘法对结合律成立，所以选项B正确； 对C，若，则，所以，所以选项C错误； 对D，设， 则， ，所以.所以选项D正确． 故选：ABD． 26．（多选）已知复数，下列说法正确的是（   ） A． B．若，则 C． D．若，则为纯虚数 【答案】ACD 【解析】设， 对于A，由，则， 而，则，故A正确； 对于B，举例，满足，但，无法比较大小，故B错误； 对于C，由复数模的运算性质可知，，故C正确； 对于D，由，则，而， 可得，则，则为纯虚数，故D正确． 故选：ACD 27．(多选)已知为复数，则下列说法正确的是（　　） A．若，则 B． C．若，则 D． 【答案】BD 【解析】对于A，若，则，而，故A错误； 对于B，设，， 则，所以. ，故B正确； 对于C，若，显然满足，但1，故C错误； 对于D，设， 所以， 所以， 又，所以，故D正确． 故选：BD． 考点七 与复数模有关的轨迹问题 28．已知复数满足，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【解析】设，则， 则， 则复数在复平面内的点的轨迹为圆， 其中圆心为，半径为， 则圆上的点到的距离的最小值为， 故的最小值为. 故选：A 29．设，则，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，所以复数在复平面内对应点， 由得， 即点的轨迹是复平面内以为圆心，半径为的圆， 又表示复平面内的点到的距离， 所以的最小值为圆心到原点的距离减半径， 即， 故选：C. 30．已知复数满足，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【解析】设，则复数在复平面内对应点的坐标为， 由，得， 其表示点到两点的距离之和为， 因为， 所以点的轨迹是以两点为焦点的椭圆， 其中，所以， 所以点的轨迹方程为， 表示点与之间的距离， 而， 所以的最小值为. 故选：C. 31．复数满足，则的最大值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】设复数，则对应点的坐标为， 所以 所以复数对应的点到的距离为， 故复数在复平面内的轨迹为以点为圆心，以为半径的圆， 故当点运动到与轴的交点，且向上的位置时，此时最大，最大值为 故选：C 32．复平面内，满足的复数对应的点的集合为几何图形，满足的复数对应的点的集合为几何图形，则与的位置关系是（    ） A．外离 B．外切 C．相交 D．内切 【答案】C 【解析】由复数的几何意义可知，几何图形表示以为圆心，为半径的圆， 几何图形表示以为圆心，为半径的圆， 因，则与的位置关系是相交. 故选：C 33．已知，且，为虚数单位，则的最大值是（　　） A． B． C．2 D． 【答案】A 【解析】表示以为圆心，为半径的圆， 则圆心C到点的距离， 则的最大值为. 故选：A 考点八 复数的向量表示 34．在复平面内，复数对应的向量为，复数对应的向量为，那么向量对应的复数是（   ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意得，，， 则对应复数1. 故选：A． 35．已知在复平面内复数，对应的向量分别为，．若，，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，， 所以，， 所以， 所以，， 所以在上的投影向量为. 故选：B 36．（多选）已知复数和对应的向量分别是，向量对应的复数记为z，则（   ） A． B． C． D． 【答案】BC 【解析】∵，∴， 所以，，，， 因此BC正确，AD错误， 故选：BC． 37．已知复数与在复平面内用向量和表示（其中是虚数单位，为坐标原点），则与夹角为 . 【答案】45° 【解析】根据题意，，， ，又， 所以向量与的夹角为. 考点九 复数的三角形式 38．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题知，，即， ， ，又时，， ，即， ， 得，即， ． 故选：D． 39．复数（，是虚数单位）在复平面内对应点为，设，是以轴的非负半轴为始边，以所在的射线为终边的角，则，把叫做复数的三角形式，利用复数的三角形式可以进行复数的指数运算，，，例如：，，复数满足，则可能取值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设， 则， 所以，，即， 所以 故时，，故可取， 故选：D 40．（多选）若复数，则下列说法正确的有（    ） A．实部为 B．虚部为 C． D．复数对应的点在第一象限 【答案】AD 【解析】由题意可得， 所以的实部为，虚部为，， 复数对应的点为，在第一象限， 故选：AD 考点十 复数的创新题型 41．任意一个复数（，）都可以表示成三角形式，即（）（，）.法国数学家棣莫弗创立的棣莫弗定理是：设两个复数：，，则，已知复数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由棣莫弗定理可知，若，则， 因为，所以， 所以， 故选：A. 42．任何一个复数 都可以表示成 的形式，通常称为复数的三角形式． 法国数学家棣莫弗发现： ，我们称这个结论为棣莫弗定理． 则 的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 ， 故选：C 43．欧拉公式：是虚数单位，是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它非常巧妙地将三角函数与复指数函数关联了起来.若复数，复数满足，则的最大值为（     ）. A．0 B． C．1 D．2 【答案】D 【解析】由题设，则， 所以， 由，则，故时的最大值为2. 故选：D 44.（多选）瑞士著名数学家欧拉创立了欧拉公式，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位，被誉为数学中的天骄.依据欧拉公式，下列结论正确的是（    ） A．为实数 B．复数为纯虚数 C． D．设复数，则 【答案】CD 【解析】 ，选项A错误； 由欧拉公式，， 则为偶数时，， 为奇数时，，选项B错误； ，选项C正确； ， 所以，选项D正确. 故选：CD. 45. 定义：复数与的乘积为复数的“旋转复数”．设复数对应的点在曲线上，则的“旋转复数”对应的点的轨迹方程为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 复数对应的点在曲线上 设 可得: 复数与的乘积为复数的“旋转复数 ┄① 设的“旋转复数”对应的点 可得: 即 ┄② 将②代入①得: 即: 故选: C. 46.（多选）对任意复数，，定义，其中是的共轭复数，对任意复数，，，下列命题为真命题的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【解析】对任意复数，，定义，其中是的共轭复数， 对于A，，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于C，，，故C错误； 对于D，令，，则，， 所以，故D错误． 故选：AB． 1．（2024··全国第四届章鱼杯联赛）记为虚数单位，为正整数，若位于复平面的第四象限，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为， 即复数在复平面内对应的点位于第二象限， ， 即复数在复平面内对应的点位于第二象限， ， 即复数在复平面内对应的点位于第三象限， ， 即复数在复平面内对应的点位于第三象限， ， 即复数在复平面内对应的点位于第四象限， 故的最小值为. 故选：C. 2．（2024··清华大学强基计划）已知复数，，则n的最小值为 ． 【答案】3 【解析】不妨设，， 由题可知， ①，可知满足条件即n最小值为3（验证可知小于3不满足）． ②，验证可知满足（验证可知小于3不满足）． 综上可知． 3．（2024··清华大学强基计划）复数列，且，则的最大值是 ． 【答案】 【解析】由已知有， 且. 故，得. 设，则. 解得. 由于对，有. 而由可知，复数在复平面上位于区域内，即圆内部或其边界上. 从而. 故. 所以 . 而当，且复数位于圆上，且在圆心与的连线上时，等号成立. 所以的最大值是. 故答案为：. 4．（2024··南京大学强基计划）已知的三条边长，复数，满足，，，则为 数. 【答案】虚 【解析】 ， 故， 方程两边同乘以得，， 这是一个关于的实系数一元二次方程， 又三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边， 且 ， 故为虚数（当且仅当，即为直角三角形时，为纯虚数） 5．（2024··中国科技大学强基计划）已知，是方程的两个复数根，则 ． 【答案】 【解析】将方程整理得，因此，因此， 进而，，因此． 故答案为：. 6．（2025··重庆高中数学联赛初赛）若实数使得关于的方程有模为的虚根，则的取值范围为 . 【答案】 【解析】法一：设方程有模为的虚根，其中满足. 代入有，从而有且. 注意，所以. 注意，所以. 另一方面，对每一个，可找到一个， 使得，，，且使方程有模为的虚根. 故的取值范围为. 法二：由实系数多项式方程虚根成对原理，可设方程的两虚根为， 其中满足，由韦达定理知此三次方程三根之和为0，从而其唯一实根为. 再由韦达定理知，. . 注意，所以. 另一方面，对每一个，可找到一个， 使得，，，且使方程有模为的虚根. 故的取值范围为. 故答案为：. 7．（2025··全国奥赛浙江初赛）已知复数满足，则 ． 【答案】 【解析】设R)， 由，得，所以， 由，得，所以， ，解得或， 所以． 故答案为： 8．（2025··全国高中数学联赛北京预赛）设复数满足，令，则的最大值是 . 【答案】 【解析】因为，所以， ， 复数在复平面上所对应的点在以为圆心，为半径的圆上， 是以为圆心，为半径的圆上的点到两点间的距离， 到的距离为， 所以，的最大值为. 故答案为：. 9．（2024··第九届爱尖子数学能力测评）设k是实数，若对任意模为1的虚数z，均有不是实数，则k的取值范围是 ． 【答案】或 【解析】由模为1的虚数z，设， 则 ， 由不是实数，得当时，， 整理得，解得，由，得， 于是，则或， 所以k的取值范围是或. 故答案为：或 10．（2024··全国数学联赛重庆初赛）已知复数使得为纯虚数，则的最小值为 .（其中i为虚数单位） 【答案】/ 【解析】设（不同时为且）， 则， 因为为纯虚数， 所以，所以或， 当时，， 则当时，， 当时，复数对应的点是以为圆心，为半径的圆（除去实轴、虚轴上的点）， 而表示点与点的距离， 因为，所以点在圆内， 所以， 综上所述，的最小值为. 故答案为：. 11．（2024··全国奥赛内蒙古初赛）已知关于的方程的三个复数根分别为，，，则的值为 . 【答案】 【解析】因为关于的方程的三个复数根分别为，，， 可得，且， 由①②可得， 因为，可得，即 同理可得，， 各式相乘得 . 故答案为：. 12．（2024··上海高三竞赛）若关于的方程存在一个模为1的虚根，则正整数的最小值为 . 【答案】5 【解析】设为方程的模为1的虚根， 则. 因此， 所以，代回原式得. （1）当， （2）当. 所以正整数的最小值为5. 13．（2024··全国极光杯竞赛）设，则 ． 【答案】10 【来源】2024·年高三数学极光杯线上测试（一） 【分析】 由复数四则运算以及模的运算公式即可求解. 【解析】由题意，所以. 故答案为：10. 14．（2025·中国科技大学强基计划）求集合的元素个数． 【答案】无穷多个 【解析】令，由得（1）， 若，满足的数对，可以看成平面直角坐标系xOy内在直线上除去点外的两条射线上的点，因此有无数多对， 若取，则， 记， 不妨考虑在时，令，解得， 当时，， 对两边作5次方得，， 变形得 对两边开75次根得 所以，当时，在单调递增， 因为在内有无穷多个x可取.由单调性知，对应的也有无穷多个值可取，且不相同. 所以集合中的元素为无穷多个. 15．（2025·北京大学强基计划）已知在与的线段上，，求在复平面上扫过的面积. 【答案】 【解析】在复平面内，设对应的点为P，点P在线段AB上运动， 其中，， 设对应的点为Q，点Q在以坐标原点为圆心的单位圆上运动，， 设对应的点为M，则， 所以，则， 即点M在以P点为圆心、2为半径的圆上运动，当点P在线段AB上运动时， 点M在复平面上扫过的图形为一个矩形（长宽分别为4和）和两个半圆（半径为2）， 面积为. 16．（2024·清华大学强基计划）已知复数满足，，则的最小值为？ 【答案】 【解析】若，则，得，矛盾； 若，则，解得. 故是实数，从而由知，代入得或，矛盾； 以上讨论表明，必有. 而当时，对，有，且有 ， 故满足条件. 所以的最小值为. 17．（2023·清华大学强基计划）已知，求的值． 【答案】 【解析】设， 此时 又 于是 令， 此时， 当时，； 当时，，当且仅当等号成立， 故 ，当时，等号成立， 所以. 18.（（2024·全国数学联赛四川预赛）设复数满足：．求的最小值． 【答案】 【解析】一方面，当均为实数时，， 即，当且仅当时取等号， 则当或时，； 另一方面，下证：， 由于旋转同一个角度，已知和结论不变， 因此，不妨设为实数， 设，，，其中， 则条件变为：，且，① 待证式变为：，即， 因此，只需证明：，② （反证法）假设结论不成立，即，从而， 在空间直角坐标系中，设，，，， 则，，由，得， 记在面上的投影为，则， 因此， 这里为向量与的夹角， 类似得，， 于是， 这与，矛盾， 则假设不成立，即有成立， 所以的最小值为. 15 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $