专题06 简单几何体及其表面积与体积(含截面、外接球、内切球等问题）（竞赛培优专项训练,10大考点+竞赛强基）高一数学人教A版全国通用

专题06简单几何体及其表面积与体积 目录概览 A考点精研・竞赛考点专项攻坚 考点一 几何体的结构特征 5 考点二 斜二测画法 5 考点三 利用展平法求最值 6 考点四 折叠问题 7 考点五 几何体的面积问题 8 考点六 几何体的体积问题 9 考点七 截面问题 10 考点八 外接球问题 12 考点九 内切球问题 13 考点十 创新题型 14 B实战进阶・竞赛选拔模拟特训（精选各地竞赛、强基试题14道） 【归纳重点知识】 知识点01 多面体与旋转体的结构特征 1．多面体的结构特征 名称 棱柱 棱锥 棱台 图形 底面 互相平行且全等 多边形 互相平行且相似 侧棱 互相平行且相等 相交于一点，但不一定相等 延长线交于一点 侧面 形状 平行四边形 三角形 梯形 2．旋转体的结构特征 名称 圆柱 圆锥 圆台 球 图形 母线 互相平行且相等，垂直于底面 长度相等且相交于一点 延长线交于一点 续表 名称 圆柱 圆锥 圆台 球 轴截面 全等的矩形 全等的等腰三角形 全等的等腰梯形 圆 侧面展 开图 矩形 扇形 扇环 3.常见的几种四棱柱的结构特征及其之间的关系 4.球的截面的性质 (1)球的任何截面都是圆面. (2)球心和截面(不过球心)圆心的连线垂直于截面. (3)球心到截面的距离d与球的半径R及截面圆的半径r的关系为r2＝R2－d2. 知识点02 直观图 1.画法：常用斜二测画法. 2．具体步骤： ①在已知的空间图形中取水平平面和互相垂直的轴Ox，Oy；再取Oz轴，使∠xOz＝90°，且∠yOz＝90°. ②画直观图时，把Ox，Oy，Oz画成对应的O'x'，O'y'，O'z'，使∠x'O'y'＝45°(或135°)，∠x'O'z'＝90°.x'O'y'所确定的平面表示水平平面. ③已知图形中平行于x轴、y轴或z轴的线段，在直观图中分别画成平行于x'轴、y'轴或z'轴的线段. ④已知图形中平行于x轴和z轴的线段，在直观图中保持原长度不变；平行于y轴的线段长度为原来的一半. ⑤擦去辅助线，并将被遮线画成虚线. 知识点03 几何体的体积与面积公式 1.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式 名称 圆柱 圆锥 圆台 侧面展开图 侧面积公式 S圆柱侧＝2πrl S圆锥侧＝πrl S圆台侧＝π(r1＋r2)l 　　 名称 几何体　　 表面积 体积 柱体 S表＝S侧＋2S底 V＝Sh 锥体 S表＝S侧＋S底 V＝Sh 台体 S表＝S侧＋S上＋S下 V＝(S上＋S下＋)h 球 S表＝4πR2 V＝πR3 注意：(1)几何体的侧面积是指(各个)侧面的面积之和，而表面积是侧面积与所有底面的面积之和.(2)圆台、圆柱、圆锥的转化：当圆台的上底面半径与下底面半径相等时，得到圆柱；当圆台的上底面半径为零时，得到圆锥，由此可得S圆柱侧＝2πrlS圆台侧＝π(r＋r')lS圆锥侧＝πrl. 【熟记重要结论（二级结论）】 1.与体积有关的两个结论 (1)一个组合体的体积等于它的各部分体积的和或差. (2)底面面积及高都相等的两个同类几何体的体积相等(祖暅原理). 2.直观图与原平面图形面积间的关系：S直观图＝S原图形，S原图形＝2S直观图. 3.外接球的有关知识与方法 (1)性质： 性质1：过球心的平面截球面所得圆是大圆，大圆的半径与球的半径相等； 性质2：经过小圆的直径与小圆面垂直的平面必过球心，该平面截球所得圆是大圆； 性质3：过球心与小圆圆心的直线垂直于小圆所在的平面（类比：圆的垂径定理）； 性质4：球心在大圆面和小圆面上的射影是相应圆的圆心； 性质5：在同一球中，过两相交圆的圆心垂直于相应的圆面的直线相交，交点是球心（类比：在同圆中，两相交弦的中垂线交点是圆心）. (2)结论： 结论1：长方体的外接球的球心在体对角线的交点处，即长方体的体对角线的中点是球心； 结论2：若由长方体切得的多面体的所有顶点是原长方体的顶点，则所得多面体与原长方体的外接球相同； 结论3：长方体的外接球直径就是面对角线及与此面垂直的棱构成的直角三角形的外接圆圆心，换言之，就是：底面的一条对角线与一条高（棱）构成的直角三角形的外接圆是大圆； 结论4：圆柱体的外接球球心在上下两底面圆的圆心连一段中点处； 结论5：圆柱体轴截面矩形的外接圆是大圆，该矩形的对角线（外接圆直径）是球的直径； 结论6：直棱柱的外接球与该棱柱外接圆柱体有相同的外接球； 结论7：圆锥体的外接球球心在圆锥的高所在的直线上； 结论8：圆锥体轴截面等腰三角形的外接圆是大圆，该三角形的外接圆直径是球的直径； 结论9：侧棱相等的棱锥的外接球与该棱锥外接圆锥有相同的外接球. 4、内切球的有关知识与方法 (1)若球与平面相切，则切点与球心连线与切面垂直.（与直线切圆的结论有一致性）. (2)内切球球心到多面体各面的距离均相等，外接球球心到多面体各顶点的距离均相等.（类比：与多边形的内切圆）. (3)正多面体的内切球和外接球的球心重合. (4)正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上，但不一定重合. 5.与内(棱)切球有关的常用结论 (1)正方体的棱长为a，球的半径为R， ①若球为正方体的内切球，则2R＝a； ②若球与正方体的各棱相切，则2R＝a. (2)设正四面体的棱长为a，则它的高为a，内切球半径r＝a，外接球半径R＝a.正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1. (3)二级结论：一个多面体的表面积为S，如果这个多面体有半径为r的内切球，则此多面体的体积V满足V＝Sr. 考点一 几何体的结构特征 1．下列命题正确的是（    ） A．底面是正方形，有两个侧面是矩形的棱柱是正四棱柱 B．底面是正方形，有两个侧面垂直于底面的棱柱是正四棱柱 C．每个侧面都是全等矩形的四棱柱是正四棱柱 D．底面是菱形，且有一个顶点处的三条棱两两垂直的棱柱是正四棱柱 2．下列关于空间几何体的论述，正确的是（   ） A．有两个面平行，其他各个面都是平行四边形的多面体是棱柱 B．有两个平面平行且相似，其他各个面都是梯形的多面体是棱台 C．连接圆柱上下底面圆周上任意两点的线段是圆柱的母线 D．圆台的轴截面不可能为直角梯形 3．（多选）下列命题中为真命题的是（   ） A．正四棱柱一定是长方体 B．斜四棱柱的侧面一定不是矩形 C．正四棱锥所有侧面都一定是正三角形 D．正四棱台所有侧棱所在的直线一定相交于一点 考点二 斜二测画法 4．如图，在等腰梯形ABCD中，，E是边AB上的一点，且．以A为坐标原点，AB为x轴，垂直于AB的直线为y轴建立平面直角坐标系.用斜二测画法画出梯形ABCD的直观图，且E在直观图对应的点为，则下列说法中错误的是（ ） A． B．轴 C． D． 5．如图，是利用斜二测画法画出的（为直角）的直观图，的面积为，图中，过点作轴于点，则的长为（   ）    A．1 B． C． D． 6．如图，四边形的斜二测画法的直观图为等腰梯形，已知，，则下列说法正确的是（   ）    A． B． C．四边形的面积为 D．四边形的周长为 7．用斜二测画法画一个水平放置的平面图形，得到的直观图是矩形（如图所示），其中，，则原图形的面积是 ． 8．四边形OABC的直观图为如图所示的矩形，其中，则四边形OABC的周长为 ，面积为 . 考点三 利用展平法求最值 9．如图是底面半径为3的圆锥，将其放倒在一平面上，使圆锥在此平面内绕圆锥顶点S滚动，当这个圆锥在平面内转回原位置时，圆锥本身恰好滚动了3周，则（   ）    A．圆锥的母线长为6 B．圆锥的表面积为 C．圆锥的体积为 D．若一蚂蚁从点A出发沿圆锥的侧面爬行一周回到点A，则爬行的最短距离为 10．在正四棱台中，，点为棱上的动点（含端点），则的最小值是（    ） A．6 B． C．8 D． 11．圆台的上底面半径为2，下底面半径为6，母线长为16．已知为该圆台某条母线的中点，若一质点从点出发，绕着该圆台的侧面运动一圈后又回到点，则该质点运动的最短路径长为（    ）    A．16 B． C． D． 考点四 折叠问题 12．一个几何体的表面展开图如图，该几何体中与“祝”字和“你”字相对的分别是（    ） A．前，程 B．你，前 C．似，棉 D．程，锦 13．水平放置的正方体的六个面分别用“前面、后面、上面、下面、左面、右面”表示，如图是一个正方体的平面展开图(图中数字写在正方体的外表面上)，若图中“0”上方的“2”在正方体的上面，则这个正方体的下面是（    ） A．2 B．6 C．快 D．乐 14.将3个12 cm×12 cm的正方形沿邻边的中点剪开，分成两部分(如图①)，将这六部分接于一个边长为6 cm的正六边形上(如图②)，若拼接后的图形是一个多面体的表面展开图，则该多面体的体积为　　　　. 考点五 几何体的面积问题 15．已知圆锥底面半径为1，高与母线的夹角为30°，则圆锥的表面积为（   ） A． B． C． D． 16．已知圆台的高为4，上、下底面的半径分别为3和6，现在该圆台中挖去一个圆柱，圆柱的上、下底面分别在圆台的上、下底面上，要使得到的几何体的表面积最大，则圆柱的半径为（    ） A．3 B．2 C．1 D． 17．将一个上底为2，下底为5，高为4的直角梯形绕着直角腰旋转一周得到一个几何体，则该几何体的侧面积为（   ） A．14π B．21π C．28π D．35π 18．已知正三棱台的高为，则该棱台的侧面积为（   ） A． B． C．18 D． 19．已知一个圆锥和一个圆柱的底面半径和高分别相等，若圆锥的轴截面是直角三角形，则这个圆锥和圆柱的侧面积之比为（    ） A． B． C． D． 20．如图，在正六棱台中，，，四边形的面积为，则该正六棱台的表面积为（   ） A． B． C． D． 21．已知如图所示的圆台，在轴截面ABCD中，，点在弧CD上且为靠近点的三等分点，若异面直线AC与MD所成角的余弦值为，则圆台的表面积为（    ）    A． B． C． D． 考点六 几何体的体积问题 22．已知圆柱和圆锥的底面半径相等，高均为3，侧面积之比为2:3，则圆锥的体积为（   ） A． B． C． D． 23．已知圆台的上、下底面半径之比为，母线长为5，侧面积为，则该圆台的体积为（    ） A． B． C． D． 24．(多选)如图，在正四棱台中， ，则下述结论正确的是（   ） A．该四棱台的高为 B．侧棱与底面所成角为 C．该四棱台的表面积为 D．该四棱台的体积为 25．如图，在几何体中，侧棱，，均垂直于底面，已知，，，则该几何体的体积是 ．    26．如图，五面体与正四面体拼成的多面体中，四边形为矩形，五点共面，若，则五面体的体积为 ． 27．如图所示，梯形是平面图形用斜二测画法得到的直观图，，，则 ；平面图形以所在直线为轴旋转一周所得立体图形的体积为 . 28．分别以一个直角三角形的斜边、两条直角边所在直线为轴，其余各边旋转一周形成的曲面围成3个几何体，记绕两条直角边旋转得到的几何体体积分别为，绕斜边旋转得到的几何体体积为，则这三个几何体的体积之间的关系式为 ． 考点七 截面问题 29.如图所示，几何体为一个球挖去一个内接正方体得到的组合体，现用一个平面截它，所得截面图形不可能是（    ） A． B． C． D． 30．已知正方体，棱的中点为，棱的中点为，棱的中点为，过作该正方体的截面，则该截面的形状为（    ） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 31．某器具的形状可以看作一个球被一个棱长为8的正方体的六个面所截后剩余部分（如图所示），球心与正方体的中心重合，若一个截面圆的面积为，则该球的表面积是（   ） A． B． C． D． 32．正方体中，M，N分别是，的中点，则过，M，N三点的平面截正方体所得的截面形状是（   ） A．平行四边形 B．直角梯形 C．等腰梯形 D．三角形 33．如图所示，棱长为1的四面体木块，其四个面均为等边三角形，点是的中心，过点将木块锯开，并使得截面平行于和，则下列关于截面的说法正确的个数为（    ） ①截面是矩形； ②截面的面积为； ③截面与侧面的交线平行于侧面. A．0 B．1 C．2 D．3 34．已知正四面体．的所有棱长均为，D，E，F分别为棱PA，PB，PC的中点，则该正四面体的外接球被平面DEF所截的截面面积为（   ） A． B． C． D． 考点八 外接球问题 35．若一个正四棱台的高为，上下底面的边长分别为和的正方形，则该台体的外接球的表面积（   ） A． B． C． D． 36．已知圆台的母线长为3，上下底面半径比为1:2，当圆台体积最大时，以此圆台的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 37．如图所示的八面体由两个完全相同的正四棱锥拼接而成，若该八面体的六个顶点都在球的球面上，且球的表面积为，则该八面体的体积为（    ） A．12 B．8 C． D． 38．在三棱锥中，，其余棱长均为2，若三棱锥的所有顶点都在球的球面上，则球的表面积为（    ） A． B． C． D． 39．在正四棱台中，，且，记能将正四棱台罩住的半球的最小半径为，正四棱台外接球的半径为，则（    ） A． B．1 C． D． 40．现有一平行四边形纸片如图，已知，将其折成一个三棱锥（不可剪开），使三棱锥的四个面刚好可以组成该平行四边形纸片，若三棱锥的各个顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为（    ） A． B． C． D． 41．在三棱柱中，已知底面，侧棱，，，且该三棱柱的6个顶点都在同一个球面上，则该球的体积为（   ） A． B． C． D． 42．已知三棱锥中，，，，三棱锥的体积为，其外接球的体积为，则动点的轨迹长度为（    ） A． B． C． D． 考点九 内切球问题 43．已知正三棱锥的体积为，侧面积为，底面积等于，则这个正三棱锥内切球的体积为（    ） A． B． C． D． 44．已知某圆锥的底面半径为1，若该圆锥的体积与其内切球的体积之比为，则该圆锥的体积为（   ） A．或 B． C． D．或 45．已知圆台有半径为1的内切球，设上、下底面的面积分别是，，则取到最小值时，圆台的体积是（   ） A． B． C． D． 46．已知在正四棱台中，，若此正四棱台存在内切球，则此正四棱台的体积为（   ） A． B． C． D． 考点十 创新题型 47．斗笠起源于汉代，兴盛于明清．斗笠用竹篾、箭竹叶为原料，编织而成，有尖顶和圆顶两种形制，主要用于遮阳和遮雨，其中尖顶斗笠示意图如图所示，大致呈圆锥形．某款尖顶斗笠底部圆的半径为，母线长为，点是斗笠底部圆周上一点．为了装饰这个斗笠，现要镶嵌一条从点出发绕斗笠外部一周后回到点处的金属条，则这个金属条的最短长度为（　　） A． B． C． D． 48.公元前344年，先秦法家代表人物商鞅督造一种标准量器－－商鞅铜方升，开创了秦朝统一度量衡的先河.如图，升体是长方体，手柄是近似实心的圆柱.已知铜方升总长是18.7 cm，内口长x cm，宽7 cm，高2.3 cm(忽略壁的厚度，取圆周率π≈3)，若手柄的底面半径为1 cm，体积为18.6 cm3，则铜方升的容积约为(小数点后保留一位有效数字)(　　) A.201.3 cm3 B.210.5 cm3 C.202.1 cm3 D.212.2 cm3 49．已知“水滴”的表面是一个由圆锥的侧面和部分球面（常称为“球冠”）所围成的几何体.如图所示，将“水滴”的轴截面看成由线段和优弧所围成的平面图形，其中点所在直线与水平面平行，和与圆弧相切.已知“水滴”的“竖直高度”与“水平宽度”（“水平宽度”指的是平行于水平面的直线截轴截面所得线段的长度的最大值）的比值为，则（    ） A． B． C． D． 50．“蝠”与“福”发音相同，在中国文化中，蝙蝠图案经常寓意福气临门．某商家设计的折叠储物凳是正三棱台形状，如图，其侧面展开图形似蝙蝠．每个侧面梯形的上底长为分米，下底长为分米，梯形的腰长为分米，忽略储物凳的表面厚度，则该正三棱台储物凳的储物容积为（   ） A．立方分米 B．立方分米 C．7立方分米 D．立方分米 1．（2024·广东深圳竞赛）已知圆锥的母线长为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的底面半径为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·第二届“鱼塘杯”竞赛）已知三棱锥底面为边长为2的等边三角形，是底面上一点，三棱锥体积.则对的最小值是（    ） A．1 B．3 C． D． 3．（2025·清华大学强基计划）正三棱锥，底边长4，、、中点分别为、、，中点为，外接球球心为，，则为 ．    4．（2024·南京大学强基计划）四面体棱长为4，7，20，22，28，t，，求t的最小值是 . 5．（2024·中国科技大学强基计划）已知圆锥的高为1，底面直径，则一蚂蚁从点A沿着侧面爬到点B，爬行距离的最小值是 ． 6．（2024·全国奥赛浙江初赛）已知四面体的外接球半径为1，，，则球心到平面的距离为 ． 7．（2024·全国数学联赛重庆初赛）已知四面体ABCD满足，且异面直线AD与BC所成的角为，则四面体ABCD的外接球的体积为 . 8．（2024·全国数学联赛内蒙古初赛）已知正三棱柱的侧棱长为4，底面边长为2，过点A的一个平面截此棱柱，与侧棱，分别交于点，，若为直角三角形，则面积的最大值为 . 9．（2024·上海数学竞赛）一个顶点为､底面中心为的圆锥体积为1，若正四棱锥内接于该圆锥，平面与该圆锥底面平行，这4个点都在圆锥的侧面上，则正四棱锥的体积的最大值是 . 10．(2024·集英苑冬季竞赛)已知圆锥的高等于底面半径r，则圆锥与半径为r的球的表面积之比是 ． 11．(2024·第二届“鱼塘杯”竞赛)边长为2的正六棱柱存在内切球，则其外接球体积是 . 12．(2024·山西大同竞赛)某圆锥的侧面积为底面积的倍，则该圆锥的母线与底面所成角的正切值为 . 13．（2025·中国科技大学强基计划）圆锥展开图为半径为1的半圆，求圆锥的高． 14．（2024·北京大学强基计划）在体积为的正方体内取一个点，过这个点作三个平行于正方体面的平面，将正方体分为个长方体，求这些小长方体中体积不大于的长方体个数的最小值. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06简单几何体及其表面积与体积 目录概览 A考点精研・竞赛考点专项攻坚 考点一 几何体的结构特征 5 考点二 斜二测画法 6 考点三 利用展平法求最值 10 考点四 折叠问题 12 考点五 几何体的面积问题 13 考点六 几何体的体积问题 17 考点七 截面问题 22 考点八 外接球问题 26 考点九 内切球问题 31 考点十 创新题型 34 B实战进阶・竞赛选拔模拟特训（精选各地竞赛、强基试题14道） 【归纳重点知识】 知识点01 多面体与旋转体的结构特征 1．多面体的结构特征 名称 棱柱 棱锥 棱台 图形 底面 互相平行且全等 多边形 互相平行且相似 侧棱 互相平行且相等 相交于一点，但不一定相等 延长线交于一点 侧面 形状 平行四边形 三角形 梯形 2．旋转体的结构特征 名称 圆柱 圆锥 圆台 球 图形 母线 互相平行且相等，垂直于底面 长度相等且相交于一点 延长线交于一点 续表 名称 圆柱 圆锥 圆台 球 轴截面 全等的矩形 全等的等腰三角形 全等的等腰梯形 圆 侧面展 开图 矩形 扇形 扇环 3.常见的几种四棱柱的结构特征及其之间的关系 4.球的截面的性质 (1)球的任何截面都是圆面. (2)球心和截面(不过球心)圆心的连线垂直于截面. (3)球心到截面的距离d与球的半径R及截面圆的半径r的关系为r2＝R2－d2. 知识点02 直观图 1.画法：常用斜二测画法. 2．具体步骤： ①在已知的空间图形中取水平平面和互相垂直的轴Ox，Oy；再取Oz轴，使∠xOz＝90°，且∠yOz＝90°. ②画直观图时，把Ox，Oy，Oz画成对应的O'x'，O'y'，O'z'，使∠x'O'y'＝45°(或135°)，∠x'O'z'＝90°.x'O'y'所确定的平面表示水平平面. ③已知图形中平行于x轴、y轴或z轴的线段，在直观图中分别画成平行于x'轴、y'轴或z'轴的线段. ④已知图形中平行于x轴和z轴的线段，在直观图中保持原长度不变；平行于y轴的线段长度为原来的一半. ⑤擦去辅助线，并将被遮线画成虚线. 知识点03 几何体的体积与面积公式 1.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式 名称 圆柱 圆锥 圆台 侧面展开图 侧面积公式 S圆柱侧＝2πrl S圆锥侧＝πrl S圆台侧＝π(r1＋r2)l 　　 名称 几何体　　 表面积 体积 柱体 S表＝S侧＋2S底 V＝Sh 锥体 S表＝S侧＋S底 V＝Sh 台体 S表＝S侧＋S上＋S下 V＝(S上＋S下＋)h 球 S表＝4πR2 V＝πR3 注意：(1)几何体的侧面积是指(各个)侧面的面积之和，而表面积是侧面积与所有底面的面积之和.(2)圆台、圆柱、圆锥的转化：当圆台的上底面半径与下底面半径相等时，得到圆柱；当圆台的上底面半径为零时，得到圆锥，由此可得S圆柱侧＝2πrlS圆台侧＝π(r＋r')lS圆锥侧＝πrl. 【熟记重要结论（二级结论）】 1.与体积有关的两个结论 (1)一个组合体的体积等于它的各部分体积的和或差. (2)底面面积及高都相等的两个同类几何体的体积相等(祖暅原理). 2.直观图与原平面图形面积间的关系：S直观图＝S原图形，S原图形＝2S直观图. 3.外接球的有关知识与方法 (1)性质： 性质1：过球心的平面截球面所得圆是大圆，大圆的半径与球的半径相等； 性质2：经过小圆的直径与小圆面垂直的平面必过球心，该平面截球所得圆是大圆； 性质3：过球心与小圆圆心的直线垂直于小圆所在的平面（类比：圆的垂径定理）； 性质4：球心在大圆面和小圆面上的射影是相应圆的圆心； 性质5：在同一球中，过两相交圆的圆心垂直于相应的圆面的直线相交，交点是球心（类比：在同圆中，两相交弦的中垂线交点是圆心）. (2)结论： 结论1：长方体的外接球的球心在体对角线的交点处，即长方体的体对角线的中点是球心； 结论2：若由长方体切得的多面体的所有顶点是原长方体的顶点，则所得多面体与原长方体的外接球相同； 结论3：长方体的外接球直径就是面对角线及与此面垂直的棱构成的直角三角形的外接圆圆心，换言之，就是：底面的一条对角线与一条高（棱）构成的直角三角形的外接圆是大圆； 结论4：圆柱体的外接球球心在上下两底面圆的圆心连一段中点处； 结论5：圆柱体轴截面矩形的外接圆是大圆，该矩形的对角线（外接圆直径）是球的直径； 结论6：直棱柱的外接球与该棱柱外接圆柱体有相同的外接球； 结论7：圆锥体的外接球球心在圆锥的高所在的直线上； 结论8：圆锥体轴截面等腰三角形的外接圆是大圆，该三角形的外接圆直径是球的直径； 结论9：侧棱相等的棱锥的外接球与该棱锥外接圆锥有相同的外接球. 4、内切球的有关知识与方法 (1)若球与平面相切，则切点与球心连线与切面垂直.（与直线切圆的结论有一致性）. (2)内切球球心到多面体各面的距离均相等，外接球球心到多面体各顶点的距离均相等.（类比：与多边形的内切圆）. (3)正多面体的内切球和外接球的球心重合. (4)正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上，但不一定重合. 5.与内(棱)切球有关的常用结论 (1)正方体的棱长为a，球的半径为R， ①若球为正方体的内切球，则2R＝a； ②若球与正方体的各棱相切，则2R＝a. (2)设正四面体的棱长为a，则它的高为a，内切球半径r＝a，外接球半径R＝a.正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1. (3)二级结论：一个多面体的表面积为S，如果这个多面体有半径为r的内切球，则此多面体的体积V满足V＝Sr. 考点一 几何体的结构特征 1．下列命题正确的是（    ） A．底面是正方形，有两个侧面是矩形的棱柱是正四棱柱 B．底面是正方形，有两个侧面垂直于底面的棱柱是正四棱柱 C．每个侧面都是全等矩形的四棱柱是正四棱柱 D．底面是菱形，且有一个顶点处的三条棱两两垂直的棱柱是正四棱柱 【答案】D 【解析】对于A、B：上、下底面都是正方形，且侧棱垂直于底面的棱柱叫做正四棱柱． 如图四棱柱， 满足平面平面，平面平面，底面是正方形，且四边形、为矩形， 但是平面不垂直平面，故A、B错误； 对于C：底面是菱形（不是正方形）的直四棱柱，满足每个侧面都是全等矩形，但是不是正四棱柱，故C错误； 对于D：底面是菱形，且有一个顶点处的三条棱两两垂直能保证上、下底面都是正方形，且侧棱垂直于底面，故是正四棱柱，故D正确． 故选：D. 2．下列关于空间几何体的论述，正确的是（   ） A．有两个面平行，其他各个面都是平行四边形的多面体是棱柱 B．有两个平面平行且相似，其他各个面都是梯形的多面体是棱台 C．连接圆柱上下底面圆周上任意两点的线段是圆柱的母线 D．圆台的轴截面不可能为直角梯形 【答案】D 【解析】        图1               图2 对于A，如图1，利用两个底面全等的斜棱柱拼接而成的几何体满足A中条件，但该几何体不是棱柱，故A错误； 对于B，如图2，该多面体有两个平面平行且相似，其他各个面都是梯形，但该几何体不是棱台，故B错误； 对于C，连接圆柱上下底面圆周上任意两点，只有连线平行于旋转轴时才是母线，故C错误； 对于D，圆台的轴截面是指过圆台轴的平面截取几何体得到的截面，其形状为等腰梯形， 这是因为圆台是由圆锥被平行于底面的平面截得，轴截面包含上下底面的直径和母线，形成对称的等腰梯形， 故圆台的轴截面始终是等腰梯形，不可能为直角梯形，故D正确． 故选：D． 3．（多选）下列命题中为真命题的是（   ） A．正四棱柱一定是长方体 B．斜四棱柱的侧面一定不是矩形 C．正四棱锥所有侧面都一定是正三角形 D．正四棱台所有侧棱所在的直线一定相交于一点 【答案】AD 【解析】对于A：正四棱柱一定是长方体，A选项正确； 对于B：若斜四棱柱底面是平行四边形，侧棱不垂直底面，侧棱与底面两条平行的两边垂直，此时有两个侧面是矩形，所以斜四棱柱的侧面可以是矩形，B选项错误； 对于C：若正四棱锥的侧棱与底面边长不相等时，所有侧面都是等腰三角形不是正三角形，C选项错误； 对于D：正四棱台所有侧棱所在的直线一定相交于一点，D选项正确； 故选：AD. 考点二 斜二测画法 4．如图，在等腰梯形ABCD中，，E是边AB上的一点，且．以A为坐标原点，AB为x轴，垂直于AB的直线为y轴建立平面直角坐标系.用斜二测画法画出梯形ABCD的直观图，且E在直观图对应的点为，则下列说法中错误的是（ ） A． B．轴 C． D． 【答案】D 【解析】对于A，在斜二测画法中，与轴重合或平行的线段长度不变，则，A正确； 对于BC，与轴平行的线段依然与轴平行，长度为原来的，BC正确； 对于D，在等腰梯形中，，又轴，则位于右上方， 又，因此，D错误． 故选：D 5．如图，是利用斜二测画法画出的（为直角）的直观图，的面积为，图中，过点作轴于点，则的长为（   ）    A．1 B． C． D． 【答案】C 【解析】在中，，由的面积为16，， 得，则，，而， 轴于点， 所以. 故选：C 6．如图，四边形的斜二测画法的直观图为等腰梯形，已知，，则下列说法正确的是（   ）    A． B． C．四边形的面积为 D．四边形的周长为 【答案】BC 【解析】A选项，过点作垂直于轴于点， 因为等腰梯形中，， 所以， 又，所以，A错误；        B选项，由斜二测法可知，B正确； C选项，作出原图形，可知，，，， 故四边形的面积为，C正确；    D选项，过点作于点， 则， 由勾股定理得， 四边形的周长为，D错误． 故选：BC. 7．用斜二测画法画一个水平放置的平面图形，得到的直观图是矩形（如图所示），其中，，则原图形的面积是 ． 【答案】 【解析】 由直观图中的，根据，可知， 则根据斜二测画法还原平面图形平行四边形，可得，， 所以平行四边形的面积为， 即原图形的面积是， 故答案为： 8．四边形OABC的直观图为如图所示的矩形，其中，则四边形OABC的周长为 ，面积为 . 【答案】 【解析】在直观图中，设与轴交于点，则. 在四边形OABC中，点的对应点为，且，所以. 又因为，且四边形是平行四边形，所以它的周长为，面积为. 考点三 利用展平法求最值 9．如图是底面半径为3的圆锥，将其放倒在一平面上，使圆锥在此平面内绕圆锥顶点S滚动，当这个圆锥在平面内转回原位置时，圆锥本身恰好滚动了3周，则（   ）    A．圆锥的母线长为6 B．圆锥的表面积为 C．圆锥的体积为 D．若一蚂蚁从点A出发沿圆锥的侧面爬行一周回到点A，则爬行的最短距离为 【答案】D 【解析】设圆锥的母线长为l，则以S为圆心，SA为半径的圆的面积为，圆锥的侧面积， 因为圆锥在平面内转到原位置时，圆锥本身滚动了3周， 所以圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为， ，解得，所以圆锥的母线长为9，故A错误； 圆锥的表面积，故B错误； 圆锥的高， 则圆锥的体积，故C错误， 如图为圆锥沿SA的侧面展开图，连接，则为等腰三角形， 所以蚂蚁爬行的最短距离为，故D正确.    故选：D. 10．在正四棱台中，，点为棱上的动点（含端点），则的最小值是（    ） A．6 B． C．8 D． 【答案】B 【解析】把四边形，展开至同一个平面，连接，，， 过点作，则，又，则， 在中，，，则， 此时线段中点到点的距离，即线段与相交， 因此的最小值就是展开图中的长，点为与的交点， 所以的最小值为. 故选：B    11．圆台的上底面半径为2，下底面半径为6，母线长为16．已知为该圆台某条母线的中点，若一质点从点出发，绕着该圆台的侧面运动一圈后又回到点，则该质点运动的最短路径长为（    ）    A．16 B． C． D． 【答案】B 【解析】将圆台沿着母线剪开后展开得到平面图形如图， 分别设小扇形和大扇形的半径为，圆心角为， 则由题意可知，弧长为，弧长为，， 则，得，则， 因为该圆台某条母线的中点，则， 因为等腰直角三角形，且腰长为，则， 故该质点运动的最短路径长为. 故选：B    考点四 折叠问题 12．一个几何体的表面展开图如图，该几何体中与“祝”字和“你”字相对的分别是（    ） A．前，程 B．你，前 C．似，棉 D．程，锦 【答案】A 【解析】因为“祝”字面和“前”字面中间隔着“你”字面，所以“祝”字面和“前”字面相对，同理“你”字面和“程”字面中间隔着“前”字面，所以“你”字面和“程”字面相对， 故选：A. 13．水平放置的正方体的六个面分别用“前面、后面、上面、下面、左面、右面”表示，如图是一个正方体的平面展开图(图中数字写在正方体的外表面上)，若图中“0”上方的“2”在正方体的上面，则这个正方体的下面是（    ） A．2 B．6 C．快 D．乐 【答案】B 【解析】在正方体的平面展开图中，相对的面在展开图中是间隔出现的， 观察此展开图可知，“2”与“6”是相对的面，“0”与“快”是相对的面，“1”与“乐”是相对的面； 已知图中“0”上方的“2”在正方体的上面，因为正方体中相对的面一个在上面时， 另一个就在下面，而“2”相对的面是“6”. 故选：B. 14.将3个12 cm×12 cm的正方形沿邻边的中点剪开，分成两部分(如图①)，将这六部分接于一个边长为6 cm的正六边形上(如图②)，若拼接后的图形是一个多面体的表面展开图，则该多面体的体积为　　　　. 【答案】864 cm3 【解析】法一：该多面体可由一个大的四面体减去三个小的四面体得到.其中大四面体的底面是边长为18 cm的正三角形，其余三条棱长度均为18 cm；三个小四面体的底面是边长为6 cm的正三角形，其余三条棱长度均为6 cm.所以V＝×18××18×18－3××6××6×6＝864(cm3). 法二：该多面体可补形为正方体，画出大致图形如图所示，由此可知V＝V正方体＝×123＝864(cm3). 考点五 几何体的面积问题 15．已知圆锥底面半径为1，高与母线的夹角为30°，则圆锥的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】如图： 由题意得圆锥的高为，母线长为，圆锥的表面积为. 故选：D 16．已知圆台的高为4，上、下底面的半径分别为3和6，现在该圆台中挖去一个圆柱，圆柱的上、下底面分别在圆台的上、下底面上，要使得到的几何体的表面积最大，则圆柱的半径为（    ） A．3 B．2 C．1 D． 【答案】B 【解析】由题意可得圆台的母线长为，圆台的侧面积为，上下底面积之和为， 由题可设挖去的圆柱的半径为，则圆柱侧面积为，圆柱的上、下底面积均为， 所以得到的几何体的表面积为. 所以当时得到的几何体的表面积最大为. 故选：B 17．将一个上底为2，下底为5，高为4的直角梯形绕着直角腰旋转一周得到一个几何体，则该几何体的侧面积为（   ） A．14π B．21π C．28π D．35π 【答案】D 【解析】由题意，所得几何体上底是半径为2的圆，下底是半径为5的圆，高为4的圆台， 所以母线长，几何体的侧面积为. 故选：D 18．已知正三棱台的高为，则该棱台的侧面积为（   ） A． B． C．18 D． 【答案】B 【解析】由题意，设上下底面中心分别为，则， 分别取中点，则为梯形的高， 由可得，， 作，垂足为， 则，， 则， 则. 故选：B. 19．已知一个圆锥和一个圆柱的底面半径和高分别相等，若圆锥的轴截面是直角三角形，则这个圆锥和圆柱的侧面积之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设圆锥和圆柱的底面半径为 ，高为h， 又因为圆锥的轴截面是等腰三角形， 所以该轴截面是等腰直角三角形，则圆锥的高等于底面半径 所以圆锥的母线长， 圆锥侧面积：； 圆柱侧面积：； 圆锥和圆柱的侧面积之比为. 故选：B. 20．如图，在正六棱台中，，，四边形的面积为，则该正六棱台的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】如图，在正六边形中，, 因 ，由，可得，故,又，则. 不妨记该棱台的高为，易知为梯形的高， 故，解得. 记点A在下底面的射影为M，则点在上， . 易知，则. 过A作，垂足为N，则， 于是， 故梯形的面积为， 于是该棱台的表面积为. 故选:D. 21．已知如图所示的圆台，在轴截面ABCD中，，点在弧CD上且为靠近点的三等分点，若异面直线AC与MD所成角的余弦值为，则圆台的表面积为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【解析】在圆台的轴截面中，过A作于，连，则平面，又平面， 于是，由，，则， 因点在弧CD上且为靠近点的三等分点，则，， 因此， 因AC与MD所成角的余弦值为，即， 解得，则，，    故圆柱的表面积为. 故选：B 考点六 几何体的体积问题 22．已知圆柱和圆锥的底面半径相等，高均为3，侧面积之比为2:3，则圆锥的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设圆柱的底面半径为，则圆锥的母线长为，而它们的侧面积之比为2:3， 所以即，故， 故圆锥的体积为． 故选：C 23．已知圆台的上、下底面半径之比为，母线长为5，侧面积为，则该圆台的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】    设圆台的上、下底面半径分别为，，高为，则， 解得，则， 所以该圆台的体积为. 故选：C 24．(多选)如图，在正四棱台中， ，则下述结论正确的是（   ） A．该四棱台的高为 B．侧棱与底面所成角为 C．该四棱台的表面积为 D．该四棱台的体积为 【答案】ABD 【解析】如图连接交于点，连接交于点，连接， 则在正四棱台中有： ，平面，所以为四棱台的高， 由平面，所以， 过点作交于，所以， 又，所以， 所以四边形为平行四边形，所以， 在正四棱台中，由， 所以， 所以， 则， 在直角三角形中，， 所以四棱台的高为，故A选项正确； 由，平面，所以平面， 所以为侧棱与底面所成角， 在直角三角形中，，所以， 侧棱与底面所成角为，故B答案正确； ①正四棱台的上下两个正方形的面积： 设上下两个面的面积分别为，则， ②正四棱台的侧面积： 在等腰梯形中，如图所示： 过分别作垂直于交于点， 所以，又， 所以四边形为平行四边形， 所以，所以， 所以， 所以等腰梯形的面积为： ， 所以正四棱台的侧面积为：， 所以四棱台的表面积为，故C选项不正确； 四棱台的体积为， 故D选项正确； 故选：ABD. 25．如图，在几何体中，侧棱，，均垂直于底面，已知，，，则该几何体的体积是 ．    【答案】 【解析】分别在上取点，连接， 所以平面平面， 取的中点，连接，因为平面， 所以平面，平面，所以， 又因为，，平面， 平面， ，梯形， ∴所求几何体的体积为.    26．如图，五面体与正四面体拼成的多面体中，四边形为矩形，五点共面，若，则五面体的体积为 ． 【答案】 【解析】过作平面，则为的中心， 设分别为中点，连接， 为正四面体，， ，， ， ， ． 故答案为：． 27．如图所示，梯形是平面图形用斜二测画法得到的直观图，，，则 ；平面图形以所在直线为轴旋转一周所得立体图形的体积为 . 【答案】 【解析】由平面图形的直观图的斜二测画法原理可知，平面图形是直角梯形，如图： 其中，，，， 过作交于，则为的中点， 在中，，， 所以， 将直角梯形以所在直线为轴旋转一周所得立体图形为圆台， 其上底面圆的半径为，下底面圆的半径为，高为， 故此圆台体积为. 故答案为：；. 28．分别以一个直角三角形的斜边、两条直角边所在直线为轴，其余各边旋转一周形成的曲面围成3个几何体，记绕两条直角边旋转得到的几何体体积分别为，绕斜边旋转得到的几何体体积为，则这三个几何体的体积之间的关系式为 ． 【答案】 【解析】设的两条直角边长分别为，，斜边长为， 以直线为轴旋转，形成底面半径为，高为的圆锥，其体积； 以直线为轴旋转，形成底面半径为，高为的圆锥，其体积， 以直线为轴旋转，形成底面半径为，高的和为的两个圆锥的组合体，其体积， ，所以. 故答案为： 考点七 截面问题 29.如图所示，几何体为一个球挖去一个内接正方体得到的组合体，现用一个平面截它，所得截面图形不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】当截面过球心，且截面不平行于任何侧面，且不过体对角线时，截面图形是A； 当截面过正方体的两条相交的体对角线时，截面图形是B； 当截面过球心，且平行于正方体的一个侧面时，截面图形是C； 过球心的截面不能为D. 故选：D 30．已知正方体，棱的中点为，棱的中点为，棱的中点为，过作该正方体的截面，则该截面的形状为（    ） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 【答案】C 【解析】 延长，交的延长线于点，延长，交的延长线于点， 连接，交于，连接，交于， 连接，. 则五边形即为过与该正方体的截面. 故选：C. 31．某器具的形状可以看作一个球被一个棱长为8的正方体的六个面所截后剩余部分（如图所示），球心与正方体的中心重合，若一个截面圆的面积为，则该球的表面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设截面圆的半径为，球的半径为， 由题意知截面圆的面积为，所以， 因为球心到截面圆的距离为，故， 所以该球的表面积. 故选：C. 32．正方体中，M，N分别是，的中点，则过，M，N三点的平面截正方体所得的截面形状是（   ） A．平行四边形 B．直角梯形 C．等腰梯形 D．三角形 【答案】C 【解析】解析  连结并延长交的延长线于H，连结DH， 因为M是的中点，所以直线DH经过点M， 连接MN，则，则等腰梯形， 即为过、M、N三点的正方体的截面， 故选：C. 33．如图所示，棱长为1的四面体木块，其四个面均为等边三角形，点是的中心，过点将木块锯开，并使得截面平行于和，则下列关于截面的说法正确的个数为（    ） ①截面是矩形； ②截面的面积为； ③截面与侧面的交线平行于侧面. A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【解析】由题意可知，点是的中心，过点P作， 分别交于，作交于G，设平面与交于点H， 由于平面，平面，故平面， 同理平面，即四边形即为截面， 由于平面，平面平面，平面， 故，同理，，则， 故四边形为平行四边形，即截面是平行四边形， 设M为的中点，连接， 则，，平面， 故平面，又平面， 故，而，，故， 即平行四边形为矩形，即截面是矩形，①正确； 因为点是的中心，则， 故， 故矩形的面积为，即截面的面积为，②正确； 由于截面与侧面的交线为，且， 平面，平面，故平面， 即截面与侧面的交线平行于侧面，③正确. 故选：D. 34．已知正四面体．的所有棱长均为，D，E，F分别为棱PA，PB，PC的中点，则该正四面体的外接球被平面DEF所截的截面面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】将正四面体如图放于正方体中，因的所有棱长均为， 则正方体棱长为，该正四面体的外接球即正方体的外接球，球心O为正方体中心， 外接球半径为.因D，E，F分别为棱PA，PB，PC的中点，则 棱长均为，则四面体相似于四面体，相似比为. 注意到， 则，设中心为，则为正四面体的高. 则. 又三点共线，则到平面距离为. 注意到该正四面体的外接球被平面DEF所截的截面为圆，则圆半径为，故截面面积为. 故选：C 考点八 外接球问题 35．若一个正四棱台的高为，上下底面的边长分别为和的正方形，则该台体的外接球的表面积（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据条件，作出正四棱台如图所示，    则其外接球球心在直线上， ，，， 所以，， 由，设， 可得， 解得， 所以外接球半径即， 所以其外接球表面积为. 故选：A 36．已知圆台的母线长为3，上下底面半径比为1:2，当圆台体积最大时，以此圆台的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设圆台上底半径为，则其下底半径为，高， 此圆台的体积，， 求导得，当时，；当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减， 则当，即时，此圆台体积取得最大值， 设球的半径为，则球心到两个截面距离分别为， 显然此圆台的外接球球心在两底圆心确定的直线上， 则或， 解，无解；解，得， 所以此圆台的外接球的表面积为. 故选：C 37．如图所示的八面体由两个完全相同的正四棱锥拼接而成，若该八面体的六个顶点都在球的球面上，且球的表面积为，则该八面体的体积为（    ） A．12 B．8 C． D． 【答案】D 【解析】连接，则的交点即为球心.设，则， 则八面体的外接球表面积，解得， 故所求体积， 故选：D. 38．在三棱锥中，，其余棱长均为2，若三棱锥的所有顶点都在球的球面上，则球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】在三棱锥中，都是边长为2的正三角形，取中点，连接， 则，，是二面角的平面角， 又，则，即，而， 平面，因此平面，令的外心分别为， 则平面，，同理，四边形是矩形， ，而，则， 所以球的表面积为. 故选：A 39．在正四棱台中，，且，记能将正四棱台罩住的半球的最小半径为，正四棱台外接球的半径为，则（    ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【解析】如图，连接，，它们的中点分别记为，，连接，，易知为此正四棱台的高， ，则，所以，， 过点作的垂线，垂足为， 则， ，则，， 故能将正四棱台罩住的半球的最小半径． 设该正四棱台外接球的球心到平面的距离为，则，解得，，故． 故选：D    40．现有一平行四边形纸片如图，已知，将其折成一个三棱锥（不可剪开），使三棱锥的四个面刚好可以组成该平行四边形纸片，若三棱锥的各个顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】如图所示，图（1）中，过点作， 因为，可得， 按虚线折叠即可，可得该三棱锥对棱相等，且三组对棱分别为， 将该三棱锥补全到图（2）中的长方体中， 此时三棱锥的外接球即为长方体的外接球， 设长方体的棱长分别为，可得， 所以，即其外接球半径， 故外接球表面积为. 故选：B． 41．在三棱柱中，已知底面，侧棱，，，且该三棱柱的6个顶点都在同一个球面上，则该球的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设三棱柱外接球的球心为， 分别为和的外心，则. 由对称性可知为的中点，所以到上、下底面的距离. 设外接圆的半径为，则由正弦定理可知，所以. 由球的性质可知球的半径， 所以该三棱柱外接球的体积. 故选：B 42．已知三棱锥中，，，，三棱锥的体积为，其外接球的体积为，则动点的轨迹长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】如图所示，设外接球的半径为，则由外接球的体积为，解得， 因为，所以，所以， 所以，设点到平面的距离为， 则三棱锥的体积为，解得，即， 所以点在平行于平面的平面上， 因为，所以的外接圆的圆心为的中点，则外接圆的半径为， 所以外接球的球心到平面的距离为，即， 所以球心到点所在平面的距离为，即， 在直角中，可得, 所以点的轨迹为以为半径的圆， 所以动点的轨迹长度为. 故选：B. 考点九 内切球问题 43．已知正三棱锥的体积为，侧面积为，底面积等于，则这个正三棱锥内切球的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为正三棱锥的体积为，侧面积为，底面积等于，如图： 设O为三棱锥的内切球的球心，则连接， 三棱锥被分成四个三棱锥，这四个三棱锥的高均为内切球的半径r， 由等体积法可得 ， ，，解得 内切球体积. 故选：A. 44．已知某圆锥的底面半径为1，若该圆锥的体积与其内切球的体积之比为，则该圆锥的体积为（   ） A．或 B． C． D．或 【答案】A 【解析】不妨设圆锥的高为，母线长为，则，根据等面积法，该圆锥内切球的半径为， 所以该圆锥的体积与其内切球体积之比为， 解得或，所以或，所以该圆锥的体积为或． 故选：A. 45．已知圆台有半径为1的内切球，设上、下底面的面积分别是，，则取到最小值时，圆台的体积是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】如图所示，画出组合体的轴截面，设圆台的上、下底面圆心分别为， 内切球的球心为，圆台的上、下底面圆的半径为， 可得圆台的母线长为，高为， 在直角中，可得，即， 整理得，即，且， 则圆台的上下底面面积分别为，所以， 因为代入得， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以圆台的体积为. 故选：B. 46．已知在正四棱台中，，若此正四棱台存在内切球，则此正四棱台的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 正四棱台存在内切球，取,,,的中点，分别为,，,点，上底面与球相切的点为点，由此获得一个含内切圆的等腰梯形截面图，如上图所示，而梯形有内切圆的充要条件：上底下底两腰之和； ，，则，则梯形的高，此时梯形的高即为正四棱台的高，而正四棱台的体积公式：，为上底面的面积，，为下底面的面积，，将其均代入中，可得. 故选D 考点十 创新题型 47．斗笠起源于汉代，兴盛于明清．斗笠用竹篾、箭竹叶为原料，编织而成，有尖顶和圆顶两种形制，主要用于遮阳和遮雨，其中尖顶斗笠示意图如图所示，大致呈圆锥形．某款尖顶斗笠底部圆的半径为，母线长为，点是斗笠底部圆周上一点．为了装饰这个斗笠，现要镶嵌一条从点出发绕斗笠外部一周后回到点处的金属条，则这个金属条的最短长度为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】作出该斗笠的侧面展开图如图所示，由图可知金属条的最短长度为线段之长. 由题意知，圆弧的长即圆锥的底面圆周长，则， 由余弦定理，得， 即． 故选：C． 48.公元前344年，先秦法家代表人物商鞅督造一种标准量器－－商鞅铜方升，开创了秦朝统一度量衡的先河.如图，升体是长方体，手柄是近似实心的圆柱.已知铜方升总长是18.7 cm，内口长x cm，宽7 cm，高2.3 cm(忽略壁的厚度，取圆周率π≈3)，若手柄的底面半径为1 cm，体积为18.6 cm3，则铜方升的容积约为(小数点后保留一位有效数字)(　　) A.201.3 cm3 B.210.5 cm3 C.202.1 cm3 D.212.2 cm3 【答案】A 【解析】依题意手柄的底面半径为1 cm，体积为18.6 cm3，则手柄的底面积为π×12＝π cm2，所以手柄的长度为≈6.2 cm，所以长方体的内口长x≈18.7－6.2＝12.5 cm，所以升体的容积约为12.5×7×2.3＝201.25≈201.3 cm3，即铜方升的容积约为201.3 cm3.故选A. 49．已知“水滴”的表面是一个由圆锥的侧面和部分球面（常称为“球冠”）所围成的几何体.如图所示，将“水滴”的轴截面看成由线段和优弧所围成的平面图形，其中点所在直线与水平面平行，和与圆弧相切.已知“水滴”的“竖直高度”与“水平宽度”（“水平宽度”指的是平行于水平面的直线截轴截面所得线段的长度的最大值）的比值为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 设优弧所在圆的圆心为，半径为，连接，如图所示． 易知“水滴”的“竖直高度”为，“水平宽度”为，由题意知，解得， 因为与圆弧相切于点，所以， 在中，， 又，所以， 由对称性知，，则， 所以， 故选：D. 50．“蝠”与“福”发音相同，在中国文化中，蝙蝠图案经常寓意福气临门．某商家设计的折叠储物凳是正三棱台形状，如图，其侧面展开图形似蝙蝠．每个侧面梯形的上底长为分米，下底长为分米，梯形的腰长为分米，忽略储物凳的表面厚度，则该正三棱台储物凳的储物容积为（   ） A．立方分米 B．立方分米 C．7立方分米 D．立方分米 【答案】D 【解析】如图，在正三棱台中，， 将棱台补全为正三棱锥， 设为底面的中心，连接，则平面， 而平面，所以， 因为，所以， ， 所以， 则正三棱台的高， 该正三棱台的上底面面积， 下底面面积， 所以该正三棱台储物凳的储物容积 . 故选：D. 1．（2024·广东深圳竞赛）已知圆锥的母线长为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的底面半径为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设圆锥的母线长为，底面半径为， 则，所以，所以. 故选：A. 2．（2024·第二届“鱼塘杯”竞赛）已知三棱锥底面为边长为2的等边三角形，是底面上一点，三棱锥体积.则对的最小值是（    ） A．1 B．3 C． D． 【答案】B 【解析】设三棱锥的高为， ， (其中D为底面所在平面内任一点) 表示到平面上任意一点的距离，故最小值为. 故选：B 3．（2025·清华大学强基计划）正三棱锥，底边长4，、、中点分别为、、，中点为，外接球球心为，，则为 ． 【答案】 【解析】如图，如果在球外，则过作球的切线，切点为，作球的割线， 由圆中切割线定理可得为定值，且定值为.    而当在球的内部时,为过的动弦，则由圆中相交弦定理可得.    在上述两种情况种，我们把定值定义为关于球的幂，记为. 设正三棱锥的侧棱长为，    由题设在球的内部，而在球的外部， 故，， 又为的中点， 设射线与球的球面的交点为， 射线与球的球面的交点为， 则，而， 故，故即即， 故正三棱锥的高为，故体积为， 故答案为：. 4．（2024·南京大学强基计划）四面体棱长为4，7，20，22，28，t，，求t的最小值是 . 【答案】9 【解析】由，得长为4和28的棱不能为四面体的同一个表面三角形的边， 则长为4和28的棱必为四面体的相对棱，又，则四面体与长为7的棱相对的棱长为20或22，根据三角形两边之和大于第三边，符合条件的四面体如图所示： 因此，而，所以t的最小值是9. 故答案为：9 5．（2024·中国科技大学强基计划）已知圆锥的高为1，底面直径，则一蚂蚁从点A沿着侧面爬到点B，爬行距离的最小值是 ． 【答案】 【解析】考察其侧面展开图，为扇形，其中扇形半径， 弧长，解得． 连接，则线段即为最短爬行距离， 由余弦定理得，． 故答案为： 6．（2024·全国奥赛浙江初赛）已知四面体的外接球半径为1，，，则球心到平面的距离为 ． 【答案】 【解析】解 ：如图所示： 因为球心在平面上的投影就是的外心， 设的外接圆半径为，由正弦定理得， 解得，，四面体的外接球半径为1，即， 所以球心到平面的距离为． 故答案为： 7．（2024·全国数学联赛重庆初赛）已知四面体ABCD满足，且异面直线AD与BC所成的角为，则四面体ABCD的外接球的体积为 . 【答案】 【解析】由题设条件，可将四面体补成直三棱柱，如图所示， 则，所以即为异面直线AD与BC所成的角的平面角， 故， 于是，又，则， 设四面体ABCD的外接球球心为， 则在平面的投影为的外心，且， 由正弦定理知，，从而外接球半径， 于是体积. 8．（2024·全国数学联赛内蒙古初赛）已知正三棱柱的侧棱长为4，底面边长为2，过点A的一个平面截此棱柱，与侧棱，分别交于点，，若为直角三角形，则面积的最大值为 . 【答案】 【解析】如图，设， 不妨设，则，即， 整理得：， 若，显然不成立，可得， 又因为，即，解得. 设的面积为S，则 ， 令， 因为函数在上单调递减，在上单调递增， 且， 可知最大值是，所以. 故答案为：. 9．（2024·上海数学竞赛）一个顶点为､底面中心为的圆锥体积为1，若正四棱锥内接于该圆锥，平面与该圆锥底面平行，这4个点都在圆锥的侧面上，则正四棱锥的体积的最大值是 . 【答案】 【解析】如图，设圆锥的底面半径为，高为. 则. 又设正四棱锥底面所在圆的半径为，高为. 于是. 从而. 等号成立当且仅当，即. 所以体积的最大值是. 故答案为：. 10．(2024·集英苑冬季竞赛)已知圆锥的高等于底面半径r，则圆锥与半径为r的球的表面积之比是 ． 【答案】 【解析】圆锥的母线长，故侧面积为， 圆锥的底面积为， 半径为r的球的表面积为， 故圆锥与半径为r的球的表面积之比为. 故答案为： 11．(2024·第二届“鱼塘杯”竞赛)边长为2的正六棱柱存在内切球，则其外接球体积是 . 【答案】 【解析】如图，在过球心与棱柱棱垂直的截面中，内切球的半径为，为边长是2的正三角形， 则，即内切球的半径为，所以正六棱柱的高为. 其外接球半径为， 则其体积为. 故答案为： 12．(2024·山西大同竞赛)某圆锥的侧面积为底面积的倍，则该圆锥的母线与底面所成角的正切值为 . 【答案】2 【解析】设圆锥的底面半径和母线长分别为， 母线与底面所成的角为，由题意可得，， 由勾股定理可得圆锥的高，所以， 13．（2025·中国科技大学强基计划）圆锥展开图为半径为1的半圆，求圆锥的高． 【答案】 【解析】设圆锥的母线长为，底面圆周半径为， 则，且， 因此圆锥的高为：. 14．（2024·北京大学强基计划）在体积为的正方体内取一个点，过这个点作三个平行于正方体面的平面，将正方体分为个长方体，求这些小长方体中体积不大于的长方体个数的最小值. 【答案】 【解析】设该正方体的长宽高分别被切成长度为和，和，和的两段，这里，且根据据对称性，可不妨设. 此时，个长方体的体积分别是 . 由，可知，. 由于，故. 而，故和中至少有一个数不超过， 所以这个长方体中至少有个的体积不超过. 当，，时，个长方体的体积分别是，此时这个长方体中恰有个的体积不超过. 综上，这些小长方体中体积不大于的长方体个数的最小值为. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $