专题03 单调性与最大（小）值（题型专练）高一数学人教A版必修第一册

专题03 单调性与最大（小）值 ▌题型01 判断或证明函数的单调性 【典例1】 【答案】在上是增函数，证明见解析 【详解】对于， 令，得， 故猜想在上是增函数，证明如下： 任取，且， 则， 因为，所以，，， 所以，即， 因此在上是增函数. 【变式1-1】A 【详解】因为函数在区间上均单调递增，所以当时，单调递增，所以A正确，B错误； 令，任取， 则， 当时，，，故在区间内单调递减； 当时，，故在上单调递增，C错误，D错误． 故选：A. 【变式1-2】AB 【详解】对于A.由题意，任意取若，则，由函数单调性知在上是减函数，故A正确； 对于B，因函数的图象是以直线为对称轴，开口向上的抛物线，故函数在上单调递增，即B正确； 对于C，因函数的图象为双曲线，在和上分别单调递增，但不能说在定义域内单调递增，故C错误； 对于D，因函数的图象为双曲线，在和上分别单调递减，单调递减区间为和，故D错误． 故选：AB. 【变式1-3】A 【详解】根据题意，定义域为的函数满足：对任意，有， 所以函数是定义域在上的增函数， 又，所以. 故选：A ▌题型02 求单调区间 【典例2】 【答案】(1)作图见解析； (2)，. 【详解】（1）函数， 则函数的图象如图实线部分所示： （2）由（1）知，观察函数的图象，得的增区间为、． 【变式2-1】D 【详解】由函数的图象可知，单调递增区间是， 又由图知，而，所以A不正确， 故选：D. 【变式2-2】D 【详解】要使函数有意义，则， 即，解得或， 函数定义域为. 令，则，在上单调递减， 对称轴为，开口向上， 在上单调递减，在上单调递增， 根据复合函数“同增异减”原则，可知的单调递减区间是. 故选：D. 【变式2-3】 【详解】任取，且， 则， 当时，，，所以即， 当时，，，所以即， 所以在上单调递减，在上单调递增. ▌题型03 根据单调区间求参数 【典例3】C 【详解】令，则，. 已知在上单调递增，则在上单调递增，且. 若，则，此时在单调递增， 且，符合题意. 若，则须满足： 即. 综上，. 故选：C. 【变式3-1】 【详解】因为函数， 所以该函数在上单调递减，在上单调递增， 又在区间上不单调，所以， 故的取值范围是． 故答案为：. 【变式3-2】 【详解】因为在上是减函数， 所以，即， 解得. 故答案为：. 【变式3-3】 【详解】因为在上单调递减， 所以，故． 故答案为： ▌题型04 根据单调性求最值或值域 【典例4】C 【详解】当时，即，解得或，作出的图象（实线）如图，由图象可知． 【变式4-1】 【详解】因为函数在上恒正且单调递增，则在上单调递减， 所以，故的值域为． 故答案为：. 【变式4-2】B 【详解】由函数在区间上是减函数， 可知当时，函数取最小值. 故选：B 【变式4-3】B 【详解】由对勾函数的单调性知, 函数在上单调递增， 所以． 故选：B ▌题型05 比较函数值的大小 【典例5】B 【详解】因为，，，则， 且，可得，即， 可知是上的减函数，且，所以． 故选：B. 【变式51】D 【详解】由题意得，即， 由于，的正负未知，故A，B，C不一定成立． 故选：D 【变式5-2】D 【详解】任取，则 ∵，∴，则在上单调递增． 又，所以． 故选：D. 【变式5-3】D 【详解】A：因为，所以不能判断的大小关系； B：因为，且函数在区间上单调递减， 所以有，因此本选项不正确； C：因为，所以不能判断的大小关系； D：由B可知本选项正确， 故选：D ▌题型06 根据函数的单调性解不等式 【典例6】C 【详解】由解得． 【变式6-1】B 【详解】因为当时单调递增，且时，， 当时单调递增，且时，， 所以分段函数是一个单调递增函数， 由可得，解得或. 故选：B. 【变式6-2】B 【详解】因为函数是定义在上的增函数， 由，得， 解得，即， 故选：B 【变式6-3】B 【详解】因为为上的减函数，且， 所以，即，解得或． ▌题型07 函数（不等式）的恒成立与能成立问题 【典例7】C 【详解】因为不等式恒成立， 所以恒成立， 又，且函数在上单调递减， 所以当时， 所以， 故选：C 【变式7-1】D 【详解】由题意可得，在区间上恒成立， 因，则，故ABC错误，D正确. 故选：D 【变式7-2】C 【详解】由，可得，即． 故选：C. 【变式7-3】C 【详解】正实数，满足， . 当且仅当且，即，时取等号， 存在，使不等式有解， ，解可得或，即， 故选：C. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 单调性与最大（小）值 （题型突破·举一反三） 题型01 判断或证明函数的单调性 1 题型02 求单调区间 3 题型03 根据单调区间求参数 4 题型04 根据单调性求最值或值域 6 题型05 比较函数值的大小 7 题型06 根据函数的单调性解不等式 8 题型07函数（不等式）的恒成立与能成立问题 9 ▌题型01 判断或证明函数的单调性 1. 增函数与减函数 函数 增函数 减函数 图示 条件 设函数f(x)的定义域为D,区间I⊆D:如果∀x1,x2∈I,当x1<x2时, 设函数f(x)的定义域为D,区间I⊆D: 如果∀x1,x2∈I,当x1>>x2时, 都有f(x1)<f(x2) 都有f(x1)>f(x2) 结论 f(x)在区间I上单调递增 f(x)在区间I上单调递减 定义 若f(x)在定义域D上单调递增, 则为增函数 若f(x)在定义域D上单调递减,则为减函数 2. 利用定义证明函数单调性的步骤 　提醒:证明函数单调性的关键是判断差式的正负. 【典例1】（25-26河北唐山期中）判断函数在上的单调性，并用函数单调性的定义来证明. 【答案】在上是增函数，证明见解析 【详解】对于， 令，得， 故猜想在上是增函数，证明如下： 任取，且， 则， 因为，所以，，， 所以，即， 因此在上是增函数. 【变式1-1】（25-26高一上·全国·课后作业）设，则（    ） A．在区间上单调递增 B．在区间上单调递减 C．在区间上单调递增 D．在区间上单调递减 【变式1-2】（25-26高一上·全国·课后作业）（多选）下列说法正确的是（    ） A．若在区间上，随着自变量的减小，函数值反而增大，则在上单调递减 B．函数在上单调递增 C．函数在定义域内为增函数 D．函数的单调递减区间为 【变式1-3】（25-26高一上·黑龙江大庆·期中）定义域为的函数满足：对任意，有，则有（    ） A． B． C． D． ▌题型02 求单调区间 求单调区间常用方法由：定义法、导数法、复合函数同增异减。 必备条件：定义域优先，区间内导数符号恒定；复合函数分清内外函数，分开判断增减，最终区间必须写成定义域内连续区间。 【典例2】（25-26高一上·河南·阶段检测）已知函数. (1)作出函数的图象； (2)由图指出的增区间. 【答案】(1)作图见解析； (2)，. 【详解】（1）函数， 则函数的图象如图实线部分所示： （2）由（1）知，观察函数的图象，得的增区间为、． 【变式2-1】（25-26高一上·山东德州·开学考试）若函数的图象如图所示，则其单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】（25-26高一上·广东广州·期中）函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（2026高一·全国·专题练习）函数的单调递减区间是______. ▌题型03 根据单调区间求参数 求解单调区间含参问题，首要必备条件：先确定函数定义域，参数范围不能使定义域失效。 注意事项： 1.分离参数后看清变量范围，区分“在区间单调”和“单调区间为某区间”两类题型； 2.含二次型参数需讨论开口、判别式、对称轴； 3.最后检验参数边界值，排除导数恒为零的常函数情况。 【典例3】（25-26高一上·湖北·期末）若函数在上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】令，则，. 已知在上单调递增，则在上单调递增，且. 若，则，此时在单调递增， 且，符合题意. 若，则须满足： 即. 综上，. 故选：C. 【变式3-1】（25-26高一上·四川内江·阶段检测）若函数在区间上不单调，则的取值范围是______． 【变式3-2】（25-26高一上·河南安阳·阶段检测）已知在上是减函数，则的取值范围是_____________. 【变式3-3】（25-26高一上·安徽合肥·阶段检测）若函数在上单调递减，则的取值范围为______． ▌题型04 根据单调性求最值或值域 1.函数最大值和最小值定义中的两个关键词 (1)∃(存在):M(或m)首先是一个函数值,它是值域中的一个元素,如函数y=x2(x∈R)的最小值是0,有f(0)=0. (2)∀(任意):最大(小)值定义中的∀(任意)是说对于定义域内的每一个值都必须满足不等式,即对于定义域内的全部元素,都有f(x)≤M(f(x)≥m)成立. 2.利用单调性求最值的一般步骤 (1)判断函数的单调性. (2)利用单调性写出最值. 3.函数的最值与单调性的关系 (1)若函数在闭区间[a,b]上单调递减,则f(x)在[a,b]上的最大值为f(a),最小值为f(b). (2)若函数在闭区间[a,b]上单调递增,则f(x)在[a,b]上的最大值为f(b),最小值为f(a). (3)求最值时一定要注意所给区间的开闭,若是开区间,则不一定有最大(小)值. 【典例4】（25-26高一上·广西百色·期末）设函数，．若则函数的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】当时，即，解得或，作出的图象（实线）如图，由图象可知． 【变式4-1】（25-26高三上·海南省直辖县级单位·阶段检测）函数在区间上的值域为_______． 【变式4-2】（2025高一上·福建厦门·专题练习）函数在区间上的最小值是（ ） A． B． C． D． 【变式4-3】（25-26高一·广东揭阳·阶段检测）函数在上的最小值是（    ） A．4 B． C． D．5 ▌题型05 比较函数值的大小 比较函数值的大小： 1.先确认两自变量在函数同一单调区间，再根据增减性判断函数值大小； 2.自变量不在同一区间需转化到同区间；还要先判断函数定义域，不可忽略奇偶性辅助转化自变量， 3.最后严谨书写推导过程。 【典例5】（2026高三·全国·专题练习）已知定义域为的函数，，，，都有，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，，，则， 且，可得，即， 可知是上的减函数，且，所以． 故选：B. 【变式51】（25-26高三上·江西宜春·阶段检测）若函数在上单调递增，则下列一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（25-26高一上·全国·课后作业）已知函数，，则下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】（25-26高一上·河南郑州·期中）函数在区间上单调递减，则有（    ） A． B． C． D． ▌题型06 根据函数的单调性解不等式 利用单调性解与抽象函数有关不等式的方法 (1)根据函数单调性的定义,将符号“f”脱掉; (2)列出关于未知量的不等式(组),要注意函数的定义域与单调区间; (3)求解不等式(组). 【典例6】（25-26高一上·陕西宝鸡·期中）已知在定义域上是减函数，且，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由解得． 【变式6-1】（25-26高一上·江苏镇江·期末）已知函数则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【变式6-2】（25-26高一上·甘肃白银·期中）函数是定义在的增函数，则满足的x取值范围（    ） A． B． C． D． 【变式6-3】（25-26高二·安徽·学业考试）已知为上的减函数，则满足的实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． ▌题型07 函数（不等式）的恒成立与能成立问题 1.解决恒成立、能成立问题首要先确定自变量取值范围，区分两类核心逻辑：恒成立是最值满足不等式，能成立是最值存在满足即可。 2.常用分离参数法，分离后看清自变量正负，避免不等号方向出错；含参二次函数需讨论开口、对称轴、判别式。 3.注意区分“任意”与“存在”，端点值单独验证，不可直接省略；最后检验参数临界值是否符合题意。 【典例7】（25-26高一上·山东青岛·期中）若当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为不等式恒成立， 所以恒成立， 又，且函数在上单调递减， 所以当时， 所以， 故选：C 【变式7-1】（25-26高二下·浙江·阶段检测）若关于的不等式在区间上恒成立，则的值可能是（   ） A． B．1 C．2 D．4 【变式7-2】（25-26高一上·四川达州·期末）若命题“，”是真命题，则a的最大值为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式7-3】（25-26高二上·广东深圳·期末）若两个正实数满足且存在这样的使不等式有解，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 单调性与最大（小）值 （题型突破·举一反三） 题型01 判断或证明函数的单调性 1 题型02 求单调区间 4 题型03 根据单调区间求参数 6 题型04 根据单调性求最值或值域 8 题型05 比较函数值的大小 10 题型06 根据函数的单调性解不等式 11 题型07函数（不等式）的恒成立与能成立问题 13 ▌题型01 判断或证明函数的单调性 1. 增函数与减函数 函数 增函数 减函数 图示 条件 设函数f(x)的定义域为D,区间I⊆D:如果∀x1,x2∈I,当x1<x2时, 设函数f(x)的定义域为D,区间I⊆D: 如果∀x1,x2∈I,当x1>>x2时, 都有f(x1)<f(x2) 都有f(x1)>f(x2) 结论 f(x)在区间I上 f(x)在区间I上 定义 若f(x)在定义域D上 , 则为增函数 若f(x)在定义域D上 ,则为减函数 2. 利用定义证明函数单调性的步骤 　提醒:证明函数单调性的关键是判断差式的正负. 【典例1】（25-26河北唐山期中）判断函数在上的单调性，并用函数单调性的定义来证明. 【答案】在上是增函数，证明见解析 【详解】对于， 令，得， 故猜想在上是增函数，证明如下： 任取，且， 则， 因为，所以，，， 所以，即， 因此在上是增函数. 【变式1-1】（25-26高一上·全国·课后作业）设，则（    ） A．在区间上单调递增 B．在区间上单调递减 C．在区间上单调递增 D．在区间上单调递减 【答案】A 【详解】因为函数在区间上均单调递增，所以当时，单调递增，所以A正确，B错误； 令，任取， 则， 当时，，，故在区间内单调递减； 当时，，故在上单调递增，C错误，D错误． 故选：A. 【变式1-2】（25-26高一上·全国·课后作业）（多选）下列说法正确的是（    ） A．若在区间上，随着自变量的减小，函数值反而增大，则在上单调递减 B．函数在上单调递增 C．函数在定义域内为增函数 D．函数的单调递减区间为 【答案】AB 【详解】对于A.由题意，任意取若，则，由函数单调性知在上是减函数，故A正确； 对于B，因函数的图象是以直线为对称轴，开口向上的抛物线，故函数在上单调递增，即B正确； 对于C，因函数的图象为双曲线，在和上分别单调递增，但不能说在定义域内单调递增，故C错误； 对于D，因函数的图象为双曲线，在和上分别单调递减，单调递减区间为和，故D错误． 故选：AB. 【变式1-3】（25-26高一上·黑龙江大庆·期中）定义域为的函数满足：对任意，有，则有（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】根据题意，定义域为的函数满足：对任意，有， 所以函数是定义域在上的增函数， 又，所以. 故选：A ▌题型02 求单调区间 求单调区间常用方法由：定义法、导数法、复合函数同增异减。 必备条件：定义域优先，区间内导数符号恒定；复合函数分清内外函数，分开判断增减，最终区间必须写成定义域内连续区间。 【典例2】（25-26高一上·河南·阶段检测）已知函数. (1)作出函数的图象； (2)由图指出的增区间. 【答案】(1)作图见解析； (2)，. 【详解】（1）函数， 则函数的图象如图实线部分所示： （2）由（1）知，观察函数的图象，得的增区间为、． 【变式2-1】（25-26高一上·山东德州·开学考试）若函数的图象如图所示，则其单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由函数的图象可知，单调递增区间是， 又由图知，而，所以A不正确， 故选：D. 【变式2-2】（25-26高一上·广东广州·期中）函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】要使函数有意义，则， 即，解得或， 函数定义域为. 令，则，在上单调递减， 对称轴为，开口向上， 在上单调递减，在上单调递增， 根据复合函数“同增异减”原则，可知的单调递减区间是. 故选：D. 【变式2-3】（2026高一·全国·专题练习）函数的单调递减区间是______. 【答案】 【详解】任取，且， 则， 当时，，，所以即， 当时，，，所以即， 所以在上单调递减，在上单调递增. 故答案为：. ▌题型03 根据单调区间求参数 求解单调区间含参问题，首要必备条件：先确定函数定义域，参数范围不能使定义域失效。 注意事项： 1.分离参数后看清变量范围，区分“在区间单调”和“单调区间为某区间”两类题型； 2.含二次型参数需讨论开口、判别式、对称轴； 3.最后检验参数边界值，排除导数恒为零的常函数情况。 【典例3】（25-26高一上·湖北·期末）若函数在上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】令，则，. 已知在上单调递增，则在上单调递增，且. 若，则，此时在单调递增， 且，符合题意. 若，则须满足： 即. 综上，. 故选：C. 【变式3-1】（25-26高一上·四川内江·阶段检测）若函数在区间上不单调，则的取值范围是______． 【答案】 【详解】因为函数， 所以该函数在上单调递减，在上单调递增， 又在区间上不单调，所以， 故的取值范围是． 故答案为：. 【变式3-2】（25-26高一上·河南安阳·阶段检测）已知在上是减函数，则的取值范围是_____________. 【答案】 【详解】因为在上是减函数， 所以，即， 解得. 故答案为：. 【变式3-3】（25-26高一上·安徽合肥·阶段检测）若函数在上单调递减，则的取值范围为______． 【答案】 【详解】因为在上单调递减， 所以，故． 故答案为： ▌题型04 根据单调性求最值或值域 1.函数最大值和最小值定义中的两个关键词 (1)∃(存在):M(或m)首先是一个函数值,它是值域中的一个元素,如函数y=x2(x∈R)的最小值是0,有f(0)=0. (2)∀(任意):最大(小)值定义中的∀(任意)是说对于定义域内的每一个值都必须满足不等式,即对于定义域内的全部元素,都有f(x)≤M(f(x)≥m)成立. 2.利用单调性求最值的一般步骤 (1)判断函数的单调性. (2)利用单调性写出最值. 3.函数的最值与单调性的关系 (1)若函数在闭区间[a,b]上单调递减,则f(x)在[a,b]上的最大值为f(a),最小值为f(b). (2)若函数在闭区间[a,b]上单调递增,则f(x)在[a,b]上的最大值为f(b),最小值为f(a). (3)求最值时一定要注意所给区间的开闭,若是开区间,则不一定有最大(小)值. 【典例4】（25-26高一上·广西百色·期末）设函数，．若则函数的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】当时，即，解得或，作出的图象（实线）如图，由图象可知． 【变式4-1】（25-26高三上·海南省直辖县级单位·阶段检测）函数在区间上的值域为_______． 【答案】 【详解】因为函数在上恒正且单调递增，则在上单调递减， 所以，故的值域为． 故答案为：. 【变式4-2】（2025高一上·福建厦门·专题练习）函数在区间上的最小值是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由函数在区间上是减函数， 可知当时，函数取最小值. 故选：B 【变式4-3】（25-26高一·广东揭阳·阶段检测）函数在上的最小值是（    ） A．4 B． C． D．5 【答案】B 【详解】由对勾函数的单调性知, 函数在上单调递增， 所以． 故选：B ▌题型05 比较函数值的大小 比较函数值的大小： 1.先确认两自变量在函数同一单调区间，再根据增减性判断函数值大小； 2.自变量不在同一区间需转化到同区间；还要先判断函数定义域，不可忽略奇偶性辅助转化自变量， 3.最后严谨书写推导过程。 【典例5】（2026高三·全国·专题练习）已知定义域为的函数，，，，都有，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，，，则， 且，可得，即， 可知是上的减函数，且，所以． 故选：B. 【变式51】（25-26高三上·江西宜春·阶段检测）若函数在上单调递增，则下列一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意得，即， 由于，的正负未知，故A，B，C不一定成立． 故选：D 【变式5-2】（25-26高一上·全国·课后作业）已知函数，，则下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】任取，则 ∵，∴，则在上单调递增． 又，所以． 故选：D. 【变式5-3】（25-26高一上·河南郑州·期中）函数在区间上单调递减，则有（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】A：因为，所以不能判断的大小关系； B：因为，且函数在区间上单调递减， 所以有，因此本选项不正确； C：因为，所以不能判断的大小关系； D：由B可知本选项正确， 故选：D ▌题型06 根据函数的单调性解不等式 利用单调性解与抽象函数有关不等式的方法 (1)根据函数单调性的定义,将符号“f”脱掉; (2)列出关于未知量的不等式(组),要注意函数的定义域与单调区间; (3)求解不等式(组). 【典例6】（25-26高一上·陕西宝鸡·期中）已知在定义域上是减函数，且，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由解得． 【变式6-1】（25-26高一上·江苏镇江·期末）已知函数则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为当时单调递增，且时，， 当时单调递增，且时，， 所以分段函数是一个单调递增函数， 由可得，解得或. 故选：B. 【变式6-2】（25-26高一上·甘肃白银·期中）函数是定义在的增函数，则满足的x取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为函数是定义在上的增函数， 由，得， 解得，即， 故选：B 【变式6-3】（25-26高二·安徽·学业考试）已知为上的减函数，则满足的实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为为上的减函数，且， 所以，即，解得或． ▌题型07 函数（不等式）的恒成立与能成立问题 1.解决恒成立、能成立问题首要先确定自变量取值范围，区分两类核心逻辑：恒成立是最值满足不等式，能成立是最值存在满足即可。 2.常用分离参数法，分离后看清自变量正负，避免不等号方向出错；含参二次函数需讨论开口、对称轴、判别式。 3.注意区分“任意”与“存在”，端点值单独验证，不可直接省略；最后检验参数临界值是否符合题意。 【典例7】（25-26高一上·山东青岛·期中）若当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为不等式恒成立， 所以恒成立， 又，且函数在上单调递减， 所以当时， 所以， 故选：C 【变式7-1】（25-26高二下·浙江·阶段检测）若关于的不等式在区间上恒成立，则的值可能是（   ） A． B．1 C．2 D．4 【答案】D 【详解】由题意可得，在区间上恒成立， 因，则，故ABC错误，D正确. 故选：D 【变式7-2】（25-26高一上·四川达州·期末）若命题“，”是真命题，则a的最大值为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【详解】由，可得，即． 故选：C. 【变式7-3】（25-26高二上·广东深圳·期末）若两个正实数满足且存在这样的使不等式有解，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】正实数，满足， . 当且仅当且，即，时取等号， 存在，使不等式有解， ，解可得或，即， 故选：C. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $