3.3 二项式定理与杨辉三角课件-2026-2027学年高二上学期数学人教B版选择性必修第二册

该高中数学课件聚焦二项式定理及通项公式、杨辉三角性质，通过投篮练习情境导入，联系排列组合知识引出二项式系数求和问题，搭建从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于情境化设计培养数学眼光，“尝试与发现”引导自主探究发展数学思维，结合杨辉三角历史渗透文化素养，例题涵盖近似计算、整除证明等应用。学生能提升抽象与计算能力，教师可依托丰富案例优化教学。

人教B版(2019)选择性必修第二册 3.3 二项式定理与杨辉三角 第三章 排列、组合与二项式定理 1 学习目标 理解二项式定理及二项展开式的通项公式，体现数学抽象能力（重点） 会运用二项式系数的性质及杨辉三角解决问题，体现数学计算能力（难点） 2 新课导入 3 新课学习 尝试与发现：从(a+b)3=(a+b)(a+b)(a+b)出发，观察(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3中右边各项是如何形成的，由此总结出一般规律. 注意到(a+b)3=(a+b)(a+b)(a+b)①， 而展开式中的任何一项都是在右边3个括号中各取一个字母相乘得到的（例如，第一个括号取a ，第二个取b ，第三个取a ，则得到a2b）， 因此展开式中每一项都一定是3次项，即展开式中只能含有a3，a2b，ab2，b3 4 新课学习 尝试与发现：从(a+b)3=(a+b)(a+b)(a+b)出发，观察(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3中右边各项是如何形成的，由此总结出一般规律. 类似地， a3可以看成①式右边的3个括号中取0个b得到的结果，而b3可以看成①式右边的3个括号中取3个b得到的结果，因此 5 新课学习 二项式定理的概念 6 新课学习 例1：写出 (2−x)5的展开式. 在二项式定理中令a=2，b=−x，n=5，可得 结论：展开式中某一项的系数与二项式系数，一般情况下并不相等. 7 新课学习 要使此项含x3，必须有9−2k=3，从而有k=3， 8 新课学习 要得到常数项，必须有3−k=0，从而有k=3， 9 新课学习 尝试与发现：在二项式定理中，分别令a，b为以下特殊值，写出所得到的等式： (1)a=b=1；(2)a=1，b=−1. 10 新课学习 例4：已知(x2−1)n的展开式中，所有的二项式系数之和为1024，求展开式中含x6的项. 依题意可知2n=1024 ，因此n=10 . 从而可知展开式的通项为 要使此项含x6，必须有 20−2k=6，从而有k=7， 11 新课学习 杨辉三角的介绍： 因为(a+b)0=1，所以可以把n=0对应的二项式系数看成是1 . 把n=0，1，2，3，4，5，6对应的二项式系数逐个写出，并排成数表的形式如下. 12 新课学习 我国古代数学家贾宪（北宋人）在1050年前后就给出了类似的数表，并利用数表进行高次开方运算， 如图所示， 这一成果在南宋数学家杨辉著的《详解九章算术》中得到摘录. 因此， 这一数表在我国称为“贾宪三角”或“杨辉三角”. 西方文献中，一般称其为“帕斯卡三角”，这些文献认为类似的数表是数学家帕斯卡于1654年发现的. 13 新课学习 杨辉三角的性质 1.每一行都是对称的，且两端的数都是1； 2.从第三行起，不在两端的任意一个数，都等于上一行中与这个数相邻的两数之和； 3.对于给定的n来说，其二项式系数满足中间大、两边小； 14 新课学习 思考一下：观察杨辉三角，还可以发现对于给定的 n 来说，其二项式系数满足中间大、两边小的特点. 这一结论是否具有普遍性呢？ 15 新课学习 例5：求证：9998−1 能被100整除. 因为9998−1=(100−1)98−1，由二项式定理可知 注意到上述右边的展开式中，前面98项都是100的倍数，最后一项为1， 由此可知9998−1 能被100整除. 16 新课学习 例6：当n是正整数且x>0 时，求证：(1+x)n≥1+nx. 由二项式定理可知 因为x>0，所以上式右边的项都是正数，从而可知(1+x)n≥1+nx. 17 新课学习 上述例题结论的应用： 例6的结论可以用在近似计算中. 例如，假设某地区现有人口100万，且人口的年平均增长率为1.2%，那么6年后该地区的人口应为100(1+1.2%)6，直接计算这个数并不容易，但是利用例6的结果可知 100(1+1.2%)6≥100(1+6×1.2%)=107.2， 注意到(1.2%)n在n≥2时都是很小的数，因此，如果我们认为100(1+1.2%)6≈ 107.2的话，近似程度应该是比较好的. 实际上，100(1+1.2%)6保留6位有效数字的近似值是107.419. 18 课堂练习 A 19 课堂练习 20 课堂练习 B 21 课堂练习 22 课堂练习 C 23 课堂练习 24 课堂练习 A 25 课堂练习 26 课堂练习 C 27 课堂练习 28 课堂总结 1.二项式定理的概念 2.杨辉三角的性质 29 谢 谢 观 看 30 小张在进行投篮练习，共投了10次，只考虑是否投中，那么不难知道，投篮结果可以分成11类：投中0次，投中1次，投中2次……投中10次. 而投中0次只有1（即 ）种情况，投中1次有 种情况，投中2次有 种情况……投中10次有 种情况. 因此，小张投篮 10 次，结果共有 + +…+ 种情况. 那么上式的结果是多少呢？ 用同样的方法可行 同理可知，①式右边展开后有 个ab2 . 一般地，当n是正整数时，有 . 上述公式称为二项式定理，等式右边的式子称为 的展开式，它共 有n+1项，其中 是展开式中的第k+1项（通常用 表示）， 称为 第k+1项的二项式系数，将 称为二项展开式的通项公式. 注意：通项公式 中，要求n是正整数，k是满足 的自然数，以后不再声明. 因此含x3的项为 例2：求 的展开式中含x3的项. 因为 ，所以展开式中的第k+1项为 从而可知常数项的值为160，其对应的二项式系数为 . 因为 ，所以展开式中的第k+1项为 如果令a=1，b=-1，则有 ，也就是说 . 在二项式定理中，如果令a=b=1，则有 ； 化简可得 ，从而有 . 1. 的展开式中的常数项为( ) A.60 B.120 C.160 D.240 解析： 展开式的通项为 ， 令 ，得 ， 所以 的展开式中的常数项为 . 2.从 的展开式的各项中任选4项，恰好有1项为x的奇次幂的选法共有( ) A.6种 B.12种 C.18种 D.24种 解析：因为二项式 的展开式通项为 ，其中 ，r为x的次数，所以x的奇次幂对应r为奇数： ，共3项，x的偶次幂对应r为偶数： ，共4项，任选4项恰好有1项为x的奇次幂，即选1个奇次项、3个偶次项，由组合计数可得： ，因此选法共12种. 3. 展开式中的常数项为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 解析：根据二项式定理， 展开式中的通项公式为： ，要求展开式中的常数项，则x的指数为0，即 ，解得 ，代入通项公式的系数部分，求得常数项： ，C正确. 4. 的小数点后第三位数字为( ) A.4 B.0 C.2 D.3 $