3.1.1 基本计数原理 课件-2026-2027学年高二上学期数学人教B版选择性必修第二册

该高中数学课件聚焦分类加法与分步乘法计数原理，通过集合子集、密码锁、排队照相等生活实例导入，搭建从具体问题到抽象原理的学习支架，引导学生逐步理解计数问题的解决思路。 其亮点在于以“尝试与发现”引导学生用数学眼光观察现实问题，通过实例分析培养逻辑推理的数学思维，如密码锁问题用分步乘法原理解决，例3强调避免重复计数。采用实例驱动教学，帮助学生提升数学计算与应用能力，也为教师提供清晰的教学流程和实用例题。

人教B版(2019)选择性必修第二册 3.1.1 基本计数原理 第三章 排列、组合与二项式定理 1 学习目标 通过实例，了解分类加法计数原理、分步乘法计数原理及其意义，体现逻辑推理能力（重点） 能利用两个原理解决一些简单的实际问题，体现数学计算能力（难点） 2 新课导入 在数学学习和日常生活中，我们经常会遇到类似“共有多少种情况”的计数问题. 例如: (1)一个由3个元素组成的集合，共有多少个不同的子集？ (2)由 3 个数字组成的密码锁，如图所示，如果忘记了密码，最多要试多少次才能打开密码锁？ (3)有 4 位同学和 1 位老师站成一排照相，如果老师要站在正中间，如图所示，则有多少种不同的站法？ 3 新课学习 尝试与发现：你能解答下述两个问题吗？试着由此归纳出一般的规律. (1)已知某天从北京到上海的G字头列车有43班，D字头列车有2班，其他列车有3班，小张想在这一天坐火车从北京到上海旅游，不考虑其他因素，小张有多少种不同的选择？ 小张乘坐的列车可以分为3类，即G字头列车、D字头列车或其他列车，其中任何一类的任何一班车都可以让小张从北京到达上海， 因此不同的选择有43+2+3=48 种. 4 新课学习 尝试与发现：你能解答下述两个问题吗？试着由此归纳出一般的规律. (2)从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车，还可以乘轮船. 假定火车每日有 1 班，汽车每日有3班，轮船每日有2班，那么一天中从甲地到乙地有多少种不同的走法呢？ 从甲地到乙地，可乘坐三类交通工具：火车、汽车或轮船，每类交通工具又各有若干个班次，选择其中任何一类的任何一个班次都可以从甲地到达乙地， 因此一天中不同的走法有1+3+2=6种. 5 新课学习 分类加法计数原理 完成一件事，如果有n类办法，且：第一类办法中有m1种不同的方法，第二类办法中有m2种不同的方法……第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有 N=m1+m2+⋯+mn 种不同的方法. 6 新课学习 例1：在某设计活动中，李明要用红色和蓝色填涂四个格子（如图所示），要求每种颜色都用两次，李明共有多少种不同的填涂方法？ 用R表示红色，用B表示蓝色，例如：RBRB表示第一个和第三个格子涂红色，第二个和第四个格子涂蓝色. 因为红色和蓝色都要用两次，为了简化问题，考虑涂红色的格子是否相邻，则填涂结果可以分为两类：涂红色的格子相邻，涂红色的格子不相邻. 涂红色的格子相邻的方法有：RRBB，BRRB，BBRR，共3种； 7 新课学习 例1：在某设计活动中，李明要用红色和蓝色填涂四个格子（如图所示），要求每种颜色都用两次，李明共有多少种不同的填涂方法？ 涂红色的格子不相邻的方法有：RBRB，BRBR，RBBR，共3种. 依据分类加法计数原理，李明共有3+3=6种不同的涂法. 8 新课学习 尝试与发现：已知某公园的示意图如图所示，其中从西门到景点A共有3条不同的路，从景点A到东门共有两条不同的路. 王瑞从公园的西门进入公园后，想去A景点游玩，然后从东门出公园. 只考虑路的选择，王瑞共有多少种不同的走法？你能用适当的符号表示出所有的情况吗？ 9 新课学习 如果把从西门到景点A的三条路分别记为a1，a2，a3，把从景点A到东门的路记为b1，b2，用a1b1表示王瑞经a1到景点A，然后经b1到东门. 注意到不管王瑞选择哪条路到景点A，其去东门都有两种不同的选择方法， 因此不同的走法为a1b1，a1b2，a2b1 ，a2b2，a3b1，a3b2，共有6种. 可以看出，这里的6能看成3和2的乘积，即3×2=6，这样，不同的走法可以用下图直观地表示出来. a1 a2 a3 b1 b2 b1 b1 b2 b2 a1b1 a1b2 a2b1 a2b2 a3b1 a3b2 西门 景点A 东门 10 新课学习 分步乘法计数原理 完成一件事，如果需要分成n个步骤，且：做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法……做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有 N=m1×m2×⋯×mn 种不同的方法. 分类加法计数原理和分步乘法计数原理合称为基本计数原理. 11 新课学习 例2：用 1，2，3，4，5 可以排成多少个数字不重复的三位数？ 分析：要排成一个三位数，只需分别指定这个三位数的百位、十位、个位上的数字即可，因此可以分为三步完成. 排成一个三位数，可以分为三步： 第一步，确定百位上的数字，共有 5 种方法； 第二步，确定十位上的数字，因为数字不能重复，所以不能是百位上已有的数字，共有4种方法； 第三步，确定个位上的数字，共有3种方法. 依据分步乘法计数原理，可以排成数字不重复的三位数的个数为5×4×3=60. 12 新课学习 思考一下：由3个数字组成的密码锁，如果忘记了密码，最多要试多少次才能打开密码锁？尝试利用分步乘法计数原理解答. 10种 10种 10种 从左起第一个位置开始，逐步确定各个位置上的数字，需分三步完成. 第一步：确定第一个位置上数字，共10种选择； 第二步：确定第二个位置上数字，共10种选择； 第三步：确定第三个位置上数字，共10种选择. 根据分步乘法计数原理：最多试10×10×10=1000次. 13 新课学习 思考一下：有4位同学和1位老师站成一排照相，如果老师要站在正中间，则有多少种不同的方法？尝试利用分步乘法计数原理解答. 老师 4种 3种 2种 1种 分四步完成： 第一步：确定第一个位置上的同学，有4种选择； 第二步：确定第二个位置上的同学，有3种选择； 第三步：确定第三个位置上的同学，有2种选择； 第四步：确定第四个位置上的同学，有1种选择； 根据分步乘法计数原理：共4×3×2×1=24种. 14 新课学习 例3：某班班委由2位女同学、3位男同学组成，现要从该班班委里选出2人去参加学校组织的培训活动，要求至少要有1位女同学参加，则不同的选法共有多少种？ 按照选择的女同学人数分为两种情况，即2位都是女同学和只有1位女同学. 2位都是女同学的选法显然只有1种. 只有1位女同学的选法，可以分为两步完成：先从2位女同学中选出1人，有2种选法；再从3位男同学中选出1人，有3种选法.依据分步乘法计数原理，共有不同的选法2×3=6种. 依据分类加法计数原理，不同的选法共有1+6=7种. 15 新课学习 思考一下：值得注意的是，例3中的选择，不能分为如下两步来完成：首先选择1位女同学，然后在剩下的4人中选择1人.事实上，如果用a1，a2代表2位女同学，b1，b2，b3代表3位男同学，则这种分步的结果如下表示，你能看出其中的问题吗？ a1 a2 a2 b1 b2 b3 a2 b1 b2 b3 a1a2 a1b1 a1b2 a1b3 a2a1 a2b1 a2b2 a2b3 两种分步操作，最终得到的是同一组两人，但被算成了 2 种不同情况，造成重复计数 16 课堂练习 C 17 课堂练习 B 18 课堂练习 19 课堂练习 B 20 课堂练习 21 课堂练习 D 22 课堂练习 23 课堂练习 D 24 课堂练习 25 课堂总结 1.分类加法计数原理 2.分步乘法计数原理 26 谢 谢 观 看 27 1.某影城有一些电影新上映，其中有3部科幻片、2部文艺片、3部喜剧片，小华从中任选1部电影观看，则不同的选法种数为( ) A.18 B.9 C.8 D.7 解析：解法1：以小球为研究对象，分三步完成.(1)第一个小球有5种放法；(2)第二个小球有4种放法；(3)第三个小球有3种放法. 根据分步乘法计数原理，共有 种不同的放法. 解法2：以盒子为研究对象，盒子序号记为1，2，3，4，5. 当3个小球放入后还剩2个空盒，通过列举法可知空盒有10种情况： ， ， ， ， ， ， ， ， ， .每种情况下小球均有 种放法，所以共有 种放法，故选：B. 5.现要用5种不同颜色对如图所示的五个区域进行涂色，要求相邻的区域不能用同一种颜色，则不同的涂色方法共有( )      A.180种 B.192种 C.300种 D.420种 解析：先涂区域1有5种选择，再涂区域2有4种选择，然后涂区域3有3种选择，若区域4与区域2同色，此时区域5有3种选择， 若区域4与区域2不同色，则区域4有2种选择，区域5有2种选择，故有 种涂色方法.故选：D $