第三章 重点题型强化（一）排列的综合应用-【金版新学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册同步课堂高效讲义配套课件PPT（人教B版）

重点题型强化（一） 排列的综合应用 　 第三章　排列、组合与二项式定理 知识层面 1.掌握几种有限制条件的排列．　 2.能用排列数公式解决简单的实际问题. 素养层面 通过几种有限制条件的排列的学习，提升数学建模、逻辑推理、数学运算素养. 题型一　“在”与“不在”问题 1 题型二　“相邻”与“不相邻”问题 2 题型三　定序问题 3 课时测评 5 内容索引 随堂演练 4 题型一　“在”与“不在”问题 返回 　从包括甲、乙两名同学在内的7名同学中选出5名同学排成一列，求解下列问题． (1)甲不在首位的排法有多少种？ 例1 方法二：把位置作为研究对象． 方法三(间接法)：先不考虑限制条件，从7人中选出5人进行排列，然后把不满足条件的排列去掉． (2)甲既不在首位也不在末位的排法有多少种？ 解：把位置作为研究对象，先考虑特殊位置． (3)甲不在首位，同时乙不在末位的排法有多少种？ 变式探究 (变结论)本例中的问题变为：甲与乙既不在首位也不在末位的排法有多少种？ 解：把位置作为研究对象． 规律方法 “特殊”优先原则 常见的“在”与“不在”的有限制条件的排列问题就是典型的特殊元素或特殊位置问题，解题原则是谁“特殊”谁优先，一般从以下三种思路考虑： 1．以元素为主考虑，即先安排特殊元素，再安排其他元素． 2．以位置为主考虑，即先安排特殊位置，再安排其他位置． 3．用间接法解题，先不考虑限制条件，计算出总排列数，再减去不符合要求的排列数． 对点练1.用0，1，2，3，4，5这六个数字可以组成多少个符合下列条件的无重复数字的数？ (1)六位奇数； (2)个位数字不是5的六位数； 解：十万位数字的排法因个位上排0与不排0而有所不同，因此需分两类． (3)不大于4 310的四位偶数． 解：分三种情况， ③当千位上排4时， 形如43××的只有4 310和4 302这两个数． 返回 题型二　“相邻”与“不相邻”问题 返回 　　 某校举办元旦晩会，现有4首歌曲和3个舞蹈需要安排出场顺序．(结果用数字作答) (1)如果4首歌曲相邻，那么有多少种不同的出场顺序？ 例2 (2)如果3个舞蹈不相邻，那么有多少种不同的出场顺序？ 规律方法 “相邻与不相邻”问题处理策略 1．处理元素“相邻”与“不相邻”问题应遵循“先整体，后局部”的原则．元素相邻问题，一般用“捆绑法”，先把相邻的若干个元素“捆绑”为一个大元素与其余元素全排列，然后再松绑，将这若干个元素内部全排列． 2．元素不相邻问题，一般用“插空法”，先将不相邻元素以外的“普通”元素全排列，然后在“普通”元素之间及两端插入不相邻元素． 对点练2.(1)现有4男3女共7个人排成一排照相，其中三个女生不全相邻的排法种数为 √ (2)中国古代儒家提出的“六艺”指：礼、乐、射、御、书、数．某校国学社团预在周六开展“六艺”课程讲座活动，周六这天准备排课六节，每艺一节，则“书”与“乐”不能相邻，“射”和“御”要相邻的排法种数是________． 144 返回 题型三　定序问题 返回 　 　某电视节目的主持人邀请年龄互不相同的5位嘉宾逐个出场亮相．其中有3位老者要按年龄从大到小的顺序出场，出场顺序有多少种？ 例2 方法二(插空法)：记3位老者按年龄由大到小的顺序为“A，B，C”，则三人形成四个空档(含两端)．第4位嘉宾有4种出场方法，第5位嘉宾站前4位嘉宾形成的5个空档(含两端)，所以共有4×5＝20种出场方法． 规律方法 在有些排列问题中，常遇到n个元素的全排列中有m(m≤n)个元素必须按照一定的顺序排列的问题．解决这类问题的基本方法有三个： 对点练3.(1)某班2024年元旦晚会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了2个新节目，如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同的插入方法的种数为 A．2 B．11 C．36 D．42 将第一个新节目插入5个节目排成的节目单中有6种插入方法，再将第二个新节目插入到刚排好的6个节目排成的节目单中有7种插入方法，共有6×7＝42种方法．故选D． √ (2)某工程队有6项工程需要先后单独完成，其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行，工程丙必须在工程乙完成后进行，那么安排这6项工程不同的排法种数是________． 120 返回 随堂演练 返回 1．工作人员计划在某画廊展出10幅不同的画，其中1幅水彩画、4幅油画、5幅国画，排成一行陈列，要求同一品种的画必须在一起，并且水彩画不放在两端，那么不同陈列方式的种数为 √ 2．一台节目中有独唱节目5个，现有3个舞蹈节目要插入，且每个舞蹈节目必须排在两个独唱节目之间，则节目单的排法种数是 √ 3．用1，2，3，4，5，6，7组成没有重复数字的七位数，若1，3，5，7的顺序一定，则有________个七位数符合条件． 210 4．杭州亚运会期间，中国乒乓球队的10名队员中有3名主力队员，派5名参加比赛，3名主力队员安排在第一、三、五位置，其余7名队员中选2名安排在第二、四位置上，那么不同的出场安排有________种． 返回 252 课时测评 返回 1．把标号为1，2，3，4的四个小球分别放入标号为1，2，3，4的四个盒子，每个盒子只放一个小球，则1号球和2号球都不放入1号盒子的放法 共有 A．18种 B．12种 C．9种 D．6种 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2．五名同学排成一排照相留念，若甲、乙二人不相邻，则不同的排法 共有 A．36种 B．48种 C．72种 D．120种 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3．将1，2，3填入3×3的方格中，要求每行、每列都没有重复数字，下面是一种填法，则不同的填写方法共有 A．6种 B．12种 C．24种 D．48种 √ 1 2 3 3 1 2 2 3 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 4．停车站划出一排12个停车位置，今有8辆不同的车需要停放，若要求剩余的4个空车位连在一起，则不同的停车方法有 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 5．若从8人中任选3人排队，其中甲乙不能分开参排，则不同的排法共有 A．252种 B．278种 C．144种 D．362种 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 6．(多选)某校文艺汇演共6个节目，其中歌唱类节目3个，舞蹈类节目2个，语言类节目1个，则下列说法正确的是 A．若以歌唱类节目开场，则有360种不同的出场顺序 B．若舞蹈类节目相邻，则有120种出场顺序 C．若舞蹈类节目不相邻，则有240种不同的出场顺序 D．从中挑选2个不同类型的节目参加市艺术节，则有11种不同的选法 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 7．一排6个座位坐了2个三口之家，若同一家人座位相邻，则不同的坐法种数为________(用数字作答)． 72 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 8．用0，1，2，3，4可以组成无重复数字的三位数的个数为________． 48 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 9．航天员在空间站进行科学实验，要先后实施A，B，C，D，E，F共6个步骤，其中步骤A只能在第一步或最后一步进行，步骤B，C要求相邻，则不同的实验顺序安排方案有________种(用数字作答)． 96 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 10．(10分)某班级周六的课程表要排入历史、语文、数学、物理、体育、英语共6节课． (1)如果数学必须比语文先上，则不同的排法有多少种？(4分) (2)原定的6节课已排好，学校临时通知要增加生物化学地理3节课，若将这3节课插入原课表中且原来的6节课相对顺序不变，则有多少种不同的排法？(6分) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 11．(5分)体育老师把9个相同的足球放入编号为1，2，3的三个箱子中，要求每个箱子放球的个数不少于其编号，则不同的放球方法有 A．8种 B．10种 C．12种 D．16种 √ 首先在三个箱子中放入与编号相同的足球的个数，这样就剩三个足球了，这三个足球随便放置，第一种情况，可以在每一个箱子中放一个，有1种方法；第二种情况，可以把球分成两份，1和2，这两份在三个位置排列，有A ＝6种方法；第三种情况，可以把三个球都放到一个箱子中，有3种方法，综上可知共有1＋6＋3＝10种方法．故选B． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 12．(5分)(多选)若一个三位数中十位上的数字比百位上的数字和个位上的数字都大，则称这个数为“凸数”，如231，354等都是“凸数”，用1，2，3，4，5这五个数字组成无重复数字的三位数，则 A．组成的三位数的个数为60 B．在组成的三位数中，奇数的个数为30 C．在组成的三位数中，偶数的个数为30 D．在组成的三位数中，“凸数”的个数为20 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 13．(15分)2024年7月27日，是抗美援朝胜利71周年纪念日．电影《长津湖》讲述的就是中国人民志愿军凭着钢铁意志和英勇无畏的精神在极寒严酷环境下，为长津湖战役胜利做出重要贡献的故事，现有4名男生和3名女生相约一起去观看该影片，他们的座位在同一排且连在一起．(列出算式，并计算出结果) (1)女生必须坐在一起的坐法有多少种？(3分) 由分步乘法计数原理，共有6×120＝720种排法． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (2)女生互不相邻的坐法有多少种？(5分) 故符合条件的排法共有24×60＝1 440种． (3)甲、乙两位同学相邻且都不与丙同学相邻的坐法有多少种？(7分) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 14．(5分)寒冬已至，大雪纷飞，峨眉山顶银装素裹.5位学生相约一起爬山观景．其中3位女生，2位男生，在到达零公里时，为了安全起见，他们排队前进，为了照顾大家安全，2位男生不能相邻，且女生甲怕猴子，不能排在最后一个，则不同的排法种数共有 A．60 B．36 C．30 D．72 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 15．(15分)把1，2，3，4，5这五个数字组成无重复数字的五位数，并把它们按由小到大的顺序排成一个数列． (1)45 312是这个数列的第几项？(3分) 解：先考虑大于45 312的数，分为以下两类： 第二类4开头的五位数有45 321一个， 即45 312是该数列中第95项． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (2)这个数列的第71项是多少？(5分) 共有24×3＝72(个)． 所以第71项是3开头的五位数中第二大的数，即35 412. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (3)求这个数列的各项和．(7分) 返回 ＝3 999 960. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 谢 谢 观 看 ！ 第 三 章 　 排 列 、 组 合 与 二 项 式 定 理 返回 第一类，不含甲，此时只需从甲以外的其他6名同学中选出5名放在5个位置上，有A种排法． 第二类，含有甲，甲不在首位，先从4个位置中选出1个放甲，有4种排法，再从甲以外的6名同学中选出4名排在没有甲的位置上，有A种排法．根据分步乘法计数原理，有4×A种排法． 第二步，从占据首位以外的6名同学中选4名排在除首位以外的其他4个位置上，有A种方法． 不考虑甲不在首位的要求，总的可能情况有A种，甲在首位的情况有A种， 第一步，从甲以外的6名同学中选2名排在首末2个位置上，有A种方法； 第二步，从剩下的5名同学中选3名排在中间3个位置上，有A种方法． 解：总的情况有A种，减去甲在首位的A种排法，再减去乙在末位的A种排法，注意到甲在首位，同时乙在末位的排法数被减去了两次，所以还需补回一次A种排法，所以共有A－2A＋A＝1 860(种)排法． 第一步，从甲、乙以外的5名同学中选2名排在首末2个位置，有A种 排法； 第二步，从剩下的5名同学中选出3名排在中间3个位置上，有A种排法． 解：先将4首歌曲排好，有A种情况，再将3个舞蹈排入4首歌曲隔开的5个空中， 解：方法一(倍缩法)：5位嘉宾无约束条件的全排列有A种，其中3位老者不考虑年龄的顺序有A种．因此满足3位老者按年龄从大到小的出场顺序有＝20种． 方法三(空位法)：假设出场顺序1到5个位置，除3位老者之外的2人先选位置有A种方法，还空下3个位置，3位老者按年龄从大到小的出场顺序只有一种，故共有A×1＝20种方法． 1．倍缩法：先把定序的m个元素与其他元素一起进行全排列，然后用总排列数除以这m个元素的全排列数，即. 2．插空法：先排这m个元素，只有一种排法，再把剩下的n－m个元素逐个地插空，其排列数为1×(m＋1)×(m＋2)×…×n＝A. 3．空位法：先把n－m个元素排n个位置有A种排法，再把剩下的m个位置排m个元素，只有一种排法，故排列数为A×1＝A. 解：如果数学必须比语文先上，则不同的排法有＝＝360种． 解：若将这3节课插入原课表中且原来的6节课相对顺序不变，则有＝9×8×7＝504种． 将排好的女生视为一个整体，与4个男生进行排列，共有A＝120种排法， 最后把排好的甲、乙这个整体与丙分别插入原先排好的4人形成的5个空档中有A＝20种排法，故符合条件的排法共有24×2×20＝960种． 再在这4个男生之间及两头的5个空位中插入3个女生有A＝60种方法， 所以这个数列的各项和为(1＋2＋3＋4＋5)·A·(104＋103＋102＋101＋100)＝15×24×11 111 $