第三章 排列、组合与二项式定理（复习课件）数学人教B版2019选择性必修第二册

单元复习课件 第三章排列、组合与二项式定理 人教B版2019选择性必修第二册·高二 学习内容导览 单元知识图谱 2 单元复习目标 1 3 考点串讲 针对训练 5 题型剖析 4 6 课堂总结 1.掌握分类计数原理和分步计数原理；理解排列、组合的意义；掌握二项式定理；培养学生的逻辑推理及数学运算能力 3.分类思想在解决问题中的准确应用 2. 运用排列组合以及二项式定理解决一些简单问题 单元学习目标 排列、组合与二项式定理 排列与组合 二项式定理与杨辉三角 基本计数原理 排列与排列数 组合与组合数 二项式定理 二项式系数的性质 单元知识图谱 一、排列与组合 （一）基本计数原理 区别 分类加法计数原理 分布乘法计数原理 1 完成一项任务，共有n类办法， 关键词“分类” 完成一项任务，共分n个步骤， 关键词“分步” 2 用每类办法都能独立地完成这项任务，且每次得到的都是最后结果，即只需一种方法就可以完成这项任务 每一步得到的只是中间结果，任何一步都不能独立完成这项任务，缺少任何一步也不能完成这项任务，只有各个步骤都完成了，才能完成这项任务 3 各类方法之间是互斥的、并列的、独立的 各步之间是关联的、独立的，“关联”确保不遗漏，“独立”确保不 重复 考点串讲 一、排列与组合 （二）排列与排列数 1.排列 一般地，从n个不同对象中，任取m(m≤n)个对象，按照一定顺序排成一列，称为从n个不同对象中取出m个对象的一个排列 特别地，当m=n时的排列 (即取出所有对象的排列)称为全排列 注： 排列的定义包含两个过程 判断是否为排列问题的关键 对象不能重复 （1）相同排列的条件当且仅当这两个排列中的对象完全相同，并且对象的顺序也完全相同 （2）为了使写出的所有排列情况既不重也不漏，最好采用树状图法 考点串讲 一、排列与组合 2.排列数 从n个不同对象中，任取m个对象的所有排列的个数，称为从 n个不同对象中取出m个对象的排列数.用符号 表示 注：排列和排列数的区别 一个排列是指“从n个不同对象中，任取m(m≤n)个对象按照一定的顺序排成一列”，它是具体的一种选排情况； 排列数是指“从n个不同对象中任取m(m≤n)个对象的所有排列的个数”，它是一个数. 是解决问题的一种方法 表示排列的个数 考点串讲 一、排列与组合 3.排列数公式 m个数 注：阶乘 一般地，在中，当m=n时， 通常将上式的右边，从n到1连续n个正整数的乘积简写成：n 即 规定： 0!=1 从n0开始递减，直到nm+1 常用来求值 考点串讲 一、排列与组合 当0<m<n时，注意到： 可将排列数用阶乘表示为： 常用于证明或化简 考点串讲 一、排列与组合 （三）组合与组合数 1.组合 一般地，从n个不同对象中取出m(m≤n)个对象并成一组，称为从n个不同对象中取出m个对象的一个组合 有无顺序是区分排列与组合的关键 2.组合数 从n个不同对象中取出m(m≤n)个对象的所有组合的个数，称为从n个不同对象中取出m个对象的组合数.用符号 表示 考点串讲 一、排列与组合 3.组合数公式 常用来求值 常用于证明或化简 注：的含义：从n个不同的对象中取出m个对象的排列数，等于从n个不同对象中取出m个对象的组合数与m个对象的全排列数之积 考点串讲 一、排列与组合 4.组合数性质 性质1： 组合数的对称性 性质2： 考点串讲 二、二项式定理与杨辉三角 （一）二项式定理 1.二项式定理 一般地，当n是正整数时，有 以上公式称为二项式定理 2.等式右边的式子称为的展开式 (1)展开式共有n+1项 (2)各项按字母a的降幂和b的升幂排列；每一项中a和b的幂指数和为n (3)二项式定理是一个等式：一方面可将二项式展开， 另一方面也可将展开式合并为二项式 考点串讲 二、二项式定理与杨辉三角 3. 称为k+1项的二项式系数 注：项的系数指各项中除去变量的部分 4. 叫做二项展开式的通项公式 (2)公式中a和b的位置不能颠倒，且要注意a和b的符号 (1)通项公式表示二项展开式的第k+1项 考点串讲 二、二项式定理与杨辉三角 （二）二项式系数的性质 1.二项展开式的二项式系数和为2n 2.奇数项的二项式系数之和 等于偶数项的二项式系数之和，且都等于2n-1 赋值法 (1)每一行都是对称的， 且两端的数都是1 3.杨辉三角 (2)从第三行起，不在两端的任意一个数，都等于上一行中与这个数相邻的两数之和 考点串讲 二、二项式定理与杨辉三角 （3） 时，Cnk随k的增加而增加； 时，Cnk随k的增加而减小 因此二项次系数先逐渐变大， 再逐渐变小. (4)当n是偶数时， 中间的一项 取得最大值； 当n是奇数时，中间的两项 和 相等，且同时取得最大值 考点串讲 题型一 特殊元素（位置）优先法 先将特殊元素（位置）安排好，再对不受限制的元素排列 例1 题型剖析 针对训练 题型二 插空法 解决不相邻问题： 先安排除要求不相邻元素之外的其他元素的位置， 再将不相邻的元素进行插空 例2 题型剖析 针对训练 题型三 捆绑法 解决相邻问题： 先把要求在一起的元素“捆绑”成一个整体， 再与其他元素进行排列， 同时要注意合并后内部元素也必须排列 例3 题型剖析 针对训练 题型四 隔板法 解决相同元素问题 隔板法使用条件： 1.元素要相同 2.分给不一样的盒子 3.每个盒子至少要分配一个 将n个元素分配给m个不同的盒子，每个盒子至少分配一个，因为n个元素之间共有n-1个空，在这n个元素之间只需要插入m-1个板子就可以将n个元素分成m份，且每一份至少有一个，故一共有种分配方法 题型剖析 题型四 隔板法 类型一：直接隔板法 例4(1) 题型剖析 类型二：借球隔板法（有几个可以为空的盒子，则借几个球） 解决各类相同元素的可为0分配问题 分配方法：将n个相同小球放入m个不同盒子，k个盒子可以为空，则在n+k1个空位中插入m1个隔板即可 题型四 隔板法 例4(2) 题型剖析 针对训练 题型五 分组分配 分配问题：n个不同元素按照某些条件分配给k个不同的对象 分组问题：n个不同元素按照某些条件分成k组 （1）定向分配 （2）不定向分配 分步计数原理 先分组再排列，即分组方案数乘以不同对象数的全排列 （1）完全均匀分组 （2）部分均匀分组 （3）完全非均匀分组 分组后除以组数的阶乘 有m组元素个数相同，则分组后除以 只要分组即可 题型剖析 例5 题型五 分组分配 定向分配 不定向分配 题型剖析 针对训练 题型六 求展开式中的指定项 写出二项展开式的通项， 再令x的指数为零 例6(1) 题型剖析 题型六 求展开式中的指定项 结合二项式展开式的通项公式求解 例6(2) 题型剖析 题型六 求展开式中的指定项 设第k+1项系数最大， 则其系数大于或等于其前一项和后一项系数， 列出不等式组求解即可得到答案 例6(3) 题型剖析 题型六 求展开式中的指定项 例6(4) 题型剖析 针对训练 题型七 二项式系数的性质 赋值法 例7（1） 题型剖析 题型七 二项式系数的性质 例7（2） 题型剖析 针对训练 题型八 二项式定理的逆用 例8 题型剖析 针对训练 题型九 含有三项的二项式 利用组合数求解 例9 题型剖析 针对训练 题型十 两个二项式乘积的问题 例10 题型剖析 针对训练 题型十一 多个二项式的和（或积） 例11 题型剖析 针对训练 题型十二 含有绝对值的求和问题 例12 题型剖析 针对训练 题型十三 整除和余数问题 例13 题型剖析 针对训练 一、排列与组合 （一）基本计数原理 （二）排列与排列数 （三）组合与组合数 二、二项式定理与杨辉三角 课堂总结 感谢聆听! 解：(x+1)44(x+1)3+6(x+1)24(x+1)+1＝[(x+1)1]4＝x4， 故选：A． $