2.7.2 抛物线的几何性质课件-2026-2027学年高二上学期数学人教B版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦抛物线的几何性质，通过“尝试与发现”以y²=2x为例，引导学生探究范围、对称性、交点，再归纳一般标准方程性质，构建从具体到抽象的学习支架，衔接前后知识。 其亮点是以问题链驱动探究，培养逻辑推理（数学思维），例题如求|PA|最小值通过代数转化提升计算与模型意识（数学语言），课堂总结结构化，助力学生系统掌握，教师可高效教学，提升学生应用能力。

人教B版(2019)选择性必修第一册 2.7.2 抛物线的几何性质 第二章 平面解析几何 1 学习目标 掌握抛物线的几何性质，体现逻辑推理能力（重点） 掌握抛物线几何性质的简单应用，体现数学计算能力（难点） 2 新课导入 尝试与发现：已知抛物线C的方程为y2=2x，根据这个方程完成下列任务： (1)观察方程中x与y是否有取值范围，由此指出抛物线C在平面直角坐标系中的位置特征； 因为实数的平方是一个非负数，所以在方程y2=2x中，必有2x≥0，即x≥0. 同时，可以看出y能取任意实数. 由此可知，抛物线C位于y轴及y轴的右侧，如图所示. 3 新课学习 尝试与发现：已知抛物线C的方程为y2=2x，根据这个方程完成下列任务： (2)指出抛物线C是否具有对称性； 又因为如果(x,y)是方程y2=2x的一组解，则不难看出，(x,−y)也是方程的解，这说明抛物线关于x轴对称； 又因为(−x,y)，(−x,−y)不一定是方程的解，这就说明抛物线不关于y轴对称，也不关于原点对称. 这也可从图中看出来. 4 新课学习 尝试与发现：已知抛物线C的方程为y2=2x，根据这个方程完成下列任务： (3)指出抛物线C与坐标轴是否有交点，如果有，求出交点坐标. 在方程y2=2x 中，令y=0，得x=0；令x=0，得y=0. 可知抛物线C与x轴、 y轴都只有一个交点，且交点都是原点(0,0). 5 新课学习 思考一下：根据尝试与发现，总结一下抛物线的几何性质. 一般地，如果抛物线C的标准方程是y2=2px(p>0) ① ，则 1.范围 由方程①可知，2px≥0 ，又因为p>0 ，所以x≥0.因此，除顶点外，抛物线上的其余点都在y轴的右侧. 另外，当x无限增大时，|y|也无限增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸，如图所示. 此时，称抛物线C的开口向右（或朝右）. 6 新课学习 思考一下：根据尝试与发现，总结一下抛物线的几何性质. 2.对称性 如果(x,y)是方程①的一组解，则不难看出，(x,−y)也是方程的解，这说明抛物线C关于x轴对称，如图所示. 此时，称x轴是抛物线的对称轴（简称为轴） 3.顶点 在方程y2=2px中，令y=0，得x=0 ；令x=0，得y=0. 可知抛物线C与x轴、 y轴都相交于原点(0,0). 此时，称原点是抛物线的顶点. 4.离心率 抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离之比称为抛物线的离心率，用e 表示. 根据抛物线的定义可知，抛物线的离心率e=1. 7 新课学习 尝试与发现：如果抛物线的标准方程是 y2=−2px(p>0) ②，x2=2py(p>0)③，x2=−2py(p>0)④，那么抛物线的范围（开口方向）、对称性、顶点、离心率中，哪些与①所表示的抛物线是相同的？哪些是有区别的？ 可以看出，②③④所表示的抛物线，顶点坐标、离心率与①所表示的抛物线是相同的，但是： ②所表示的抛物线中，x≤0，除顶点外，抛物线上的其余点都在y轴的左侧，抛物线的开口向左（或朝左），抛物线关于x轴对称； 8 新课学习 尝试与发现：如果抛物线的标准方程是 y2=−2px(p>0) ②，x2=2py(p>0)③，x2=−2py(p>0)④，那么抛物线的范围（开口方向）、对称性、顶点、离心率中，哪些与①所表示的抛物线是相同的？哪些是有区别的？ ③所表示的抛物线中，y≥0，除顶点外，抛物线上的其余点都在x轴的上方，抛物线的开口向上（或朝上），抛物线关于y轴对称； ④所表示的抛物线中，y≤0，除顶点外，抛物线上的其余点都在x轴的下方，抛物线的开口向下（或朝下），抛物线关于y轴对称. 9 新课学习 根据已知条件可设抛物线的标准方程为y2=−2px(p>0)， 因此2p=3. 从而可知所求方程为y2=−3x . 10 新课学习 例2：已知点P在抛物线x2=−5y上，且A(0,−3)，求|PA|的最小值. 设点P的坐标为(x,y)，则x2=−5y， 11 新课学习 由条件可知，直线l的方程为x=4，因此点A的横坐标为4. 设P的坐标为(x,y)，则点A的坐标为(4,y). 即动点P的轨迹方程为y2=−4x. 从而可以看出，轨迹是开口向左的抛物线. 12 课堂练习 A 13 课堂练习 14 课堂练习 C 15 课堂练习 16 课堂练习 D 17 课堂练习 18 课堂练习 B 19 课堂练习 20 课堂练习 B 21 课堂练习 3 22 课堂练习 23 课堂总结 抛物线的几何性质： 1.范围 2.对称性 3.顶点 4.离心率 24 谢 谢 观 看 25 例1：已知抛物线的对称轴为x轴，顶点是坐标原点且开口向左，又抛物线经过点 ，求这个抛物线的标准方程. 因为点 在抛物线上，所以 ， 又因为 ，所以 时，|PA|2取最小值 . 因此所求最小值为 . 因此 ， . 因为 的充要条件 ，所以 ， 1.已知抛物线 的焦点为F，过点F的直线与抛物线交于 两点，若 ，则 ( ) A.4 B.5 C.6 D.7 解析：抛物线 的焦点 ，设 ，由 ，得 ，解得 ，因此 轴，由对称性得 ，所以 . 2.下列命题中正确的是( ) A.抛物线 的焦点坐标为 B.抛物线 的准线方程为 C.抛物线 的图象关于x轴对称 D.抛物线 的图象关于y轴对称 3.已知点M在抛物线 上，若点M到抛物线对称轴的距离是4，到准线的距离是5，则p的值是( ) A.2或4 B.4或6 C.6或8 D.2或8 解析：如图所示，因为点M到抛物线对称轴的距离是4，所以点M的纵坐标为 ，因为点M在抛物线上，所以由 得横坐标为 ，又因为到准线的距离为5，即 ，解得 或 .故选：D. 4.已知过抛物线 的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点， ，则 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4 解析：方法一：由题意知 ，抛物线的准线方程为 ，设 ，所以 ，得 ，所以 轴.由抛物线的对称性得 . 方法二：由题意知 .因为过抛物线焦点的弦满足 ，且 ，所以 ，解得 . 5.若点 在抛物线 上，则下列点中一定在该抛物线上的是( ) A. B. C. D. 解析：由抛物线方程可知其关于x轴对称，故点 一定在该抛物线上.故选B. $