2.5.2 椭圆的几何性质课件——2026-2027学年高二上学期数学人教B版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦椭圆的几何性质，涵盖范围、对称性、顶点、离心率及椭圆与圆的关系。通过“尝试与发现”以具体椭圆方程引导学生观察取值范围、对称性和坐标轴交点，搭建从具体实例到一般性质的学习支架。 其亮点在于以问题探究驱动学习，结合数学抽象与数学思维，通过例1方程求解、例4航天器轨道等实例，培养学生抽象能力与应用意识。课堂练习分层设计，助力巩固计算能力，教师可直接用于教学，提升效率。

人教B版(2019)选择性必修第一册 2.5.2 椭圆的几何性质 第二章 平面解析几何 1 学习目标 理解椭圆的简单几何性质，体现数学抽象能力（重点） 掌握椭圆简单几何性质的应用，体现数学计算能力（难点） 2 新课导入 3 新课学习 4 新课学习 5 新课学习 1.范围 6 新课学习 2.对称性 如果(x,y)是方程①的一组解，则不难看出，(−x,y)，(x,−y)，(−x,−y)都是方程的解，这说明椭圆C关于y轴、 x轴、坐标原点对称，如图所示. 因此， x轴、 y轴是椭圆C的对称轴，坐标原点是对称中心. 椭圆的对称中心也称为椭圆的中心. 7 新课学习 3.顶点 在方程①中，令y=0，得x=−a或x=a，可知椭圆C与x轴有两个交点，可以记作A1(−a,0)，A2(a,0)； 令x=0，得y=−b或y=b，可知椭圆C与y轴也有两个交点，可以记作B1(0,−b)，B2(0,b). 因此，椭圆C与它的对称轴共有4个交点，即A1，A2和B1，B2，如图所示， 这四个点都称为椭圆的顶点. 8 新课学习 椭圆的长轴与短轴的定义 注意到|A1A2|=2a，|B1B2|=2b，而且a>b>0 ，所以线段A1A2称为椭圆的长轴，线段B1B2称为椭圆的短轴. 显然，椭圆的两个焦点在它的长轴上，而且椭圆的长轴长为2a ，短轴长为2b . 短轴 长轴 9 新课学习 3.顶点 于是，a，b分别是椭圆的半长轴长和半短轴长，如果设椭圆的焦距为2c，则c是椭圆的半焦距，由a2=b2+c2可知长度分别为a，b，c的三条线段构成一个直角三角形，且长度为a的线段是斜边. 这就说明，以椭圆的任意一个短轴的端点、任意一个焦点以及原点为顶点的三角形是一个直角三角形，而且短轴端点与焦点的连线长a. 因此，如图所示，有|OA1|=|OA2|=a，|OB1|=|OB2|=b，|OF1|=|OF2|=c，而且|B1F1|=|B1F2|=|B2F1|=|B2F2|=a . 10 新课学习 4.离心率 11 新课学习 尝试与发现：(1)根据椭圆离心率的定义，判断椭圆离心率的取值范围；(2)猜想椭圆离心率的大小与椭圆的形状有什么联系，并尝试证明. 因为a>c>0，所以0<e<1 . 12 新课学习 显然，②式表示的椭圆，焦点坐标为(0,−c)，(0,c)，椭圆上点的坐标的取值范围是−a≤y≤a且−b≤x≤b. 长轴的两个端点是A1(0,−a)，A2(0,a)； 短轴的两个端点是B1(−b,0)，B2(b,0). 除了这些以外，对称性、焦距、长轴长、短轴长、离心率等都与焦点在x轴上的椭圆是一致的，如图所示. 13 新课学习 例1：求下列方程表示的椭圆的长轴长、半短轴长、焦点坐标以及离心率： 由36>24 可知这个椭圆的焦点在x轴上，且a2=36，b2=24， 14 新课学习 例1：求下列方程表示的椭圆的长轴长、半短轴长、焦点坐标以及离心率： (2)8x2+3y2=24. 由8>3可知这个椭圆的焦点在y轴上，且a2=8，b2=3， 15 新课学习 例2：已知椭圆C的焦点为F1，F2，短轴的一个端点为B，且△BF1F2是一个等边三角形，求椭圆C的离心率. 因为|BF1|=|BF2|=a，|F1F2|=2c，所以依据题意可知a=2c， 16 新课学习 设P(x,y) ，则|PF|2=(x+c)2+y2， 因此 17 新课学习 例3说明:椭圆上的所有点中，到给定焦点距离最大和最小的点，分别是长轴的两个端点. 18 新课学习 例4：航天器的轨道有很多种，其中的“地球同步转移轨道”是一个椭圆轨道，而且地球的中心正好是椭圆的一个焦点. 若地球同步转移轨道的远地点（即椭圆上离地球表面最远的点）与地球表面的距离为m ，近地点与地球表面的距离为n，设地球的半径为r，试用m，n，r表示出地球同步转移轨道的离心率. 19 新课学习 设椭圆的半长轴长为a ，半焦距为c，依照题意可知 20 新课学习 探索与研究 1.不一定，分两种情况： 当a≠b时：方程表示椭圆； 当a=b时：方程表示圆. 21 新课学习 2.设长半轴为A=max{a,b}，短半轴为B=min{a,b}，焦距2c，满足c2=A2−B2.固定长半轴A不变，分析焦距缩小的过程： 焦距2c变小⟺ c变小⟺ A2−B2变小⟺ B不断靠近A； 短半轴与长半轴长度差距不断缩小，椭圆越来越“圆润”； 当焦距2c→0(c→0)时，B→A，椭圆无限趋近于圆. 直观结论：焦距越小，椭圆越接近圆形.圆是焦距为 0、离心率为 0 的特殊椭圆. 22 课堂练习 D 23 课堂练习 24 课堂练习 C 25 课堂练习 26 课堂练习 A 27 课堂练习 28 课堂练习 D 29 课堂练习 30 课堂练习 A 31 课堂练习 32 课堂总结 1.椭圆的几何性质 2.椭圆与圆的关系 33 谢 谢 观 看 34 因为实数的平方是一个非负数，所以在方程 中，必有 ，即 . 同理可得， .因此，椭圆C位于直线x=-2，x=2，y=-1，y=1所围成的矩形内，如图所示. 由方程①可知 且 ，因此 且 ，这说明，椭圆C位于直线 ， ， ， 所围成的矩形内，如图所示. 思考一下：根据尝试与发现中椭圆的性质，尝试总结 ①的性质？ 一般地，椭圆的半焦距与半长轴长之比 称为椭圆的离心率. 当固定a不变时，椭圆的离心率与椭圆形状的关系可以从图中看 出来，其中橙色、绿色、蓝色椭圆的离心率分别为 . 注意到 ，这说明e越趋近于 1 ，则 的值越小，因此椭圆越扁；反之， e越趋近于0 ，则 的值越大，这时椭圆就越接近于圆. 尝试与发现：如果椭圆的标准方程是 ②，那么这个椭圆的范围、对称性、顶点、离心率中，哪些与焦点在x轴上的椭圆是有区别的？ 因此，椭圆的焦点坐标为 ， ， (1) ； 因此长轴长 ，半短轴长 . 又因为 ，即 . 从而有 . EMBED Equation.DSMT4 例3：已知椭圆 的左焦点为F，且P是椭圆上的一点，求 的最小值与最大值. 又因为P是椭圆上一点，所以 ，即 ， 当 时， 最大，此时 有最大值，且最大值为 . 解得 ， ， 方程 （其中a，b是正的实常数）表示的一定是椭圆吗？当椭圆的焦距越来越小时，椭圆的形状将怎样变化？由此探讨椭圆与圆的关系？ 1.已知椭圆 ，则其离心率为( ) A.3 B. C. D. 解析：由 可得 ，则 ，所以 . 2.已知椭圆的两个焦点分别为 ， ，且过点 ，则该椭圆的上顶点为( ) A. B. C. D. 解析：椭圆的两个焦点分别为 ， ，设椭圆方程为 ，因为 在椭圆上，故 ，故 ，则该椭圆的上顶点为 ，即 . 3.设椭圆 ， 的离心率分别为 ， .若 ，则 ( ) A. B. C. D. 解析：由椭圆 的方程知离心率 ，由椭圆 的方程知 .又 ，即 ，化简得 ， . ， .故选A. 4.已知椭圆的标准方程为 ，下列说法正确的是( ) A.椭圆的长轴长为2 B.椭圆的焦点坐标为 ， C.椭圆关于直线 对称 D.当点 在椭圆上时， 解析：对于A、B，由 得 ， ， ，∴长轴长 ，焦点为 ， .故A、B不正确； 对于C，将x，y互换，得椭圆 与原椭圆方程不相同，故椭圆不关于直线 对称.故C不正确； 对于D，因为点 在椭圆 上，则 ，∴ ，故D正确.故选：D 5.已知椭圆 的焦距等于2，则其离心率为( ) A. 或 B. C. D. 或 解析：因为椭圆的焦距等于2，所以 .若椭圆焦点在x轴上，则 ，解得 ，所以 ，此时 ；若椭圆焦点在y轴上，则 ，所以 ，此时 .故选A. $