2.6.1 双曲线的标准方程课件-2026-2027学年高二上学期数学人教B版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦双曲线的定义及标准方程，通过“观测点巨响位置”情境导入，先分析A、C同时听到说明P在AC垂直平分线，B比A晚4秒得|PB|-|PA|=1360，引出定义，再用拉链实验直观感知，推导方程后结合例题巩固，最终解决导入问题，构建完整知识支架。 其亮点在于情境驱动与实践探究结合，以巨响问题培养数学抽象，拉链实验发展几何直观，方程推导与例题训练逻辑推理，课堂练习强化应用。帮助学生建立数学与现实联系，提升思维能力，教师可直接用于教学，提高效率。

人教B版(2019)选择性必修第一册 2.6.1 双曲线的标准方程 第二章 平面解析几何 1 学习目标 了解双曲线的定义，体现数学抽象能力（重点） 掌握双曲线的标准方程，体现逻辑推理能力（重难点） 2 新课导入 如图所示，某中心O接到其正西、正东、正北方向三个观测点A，B，C的报告：A，C两个观测点同时听到了一声巨响，B观测点听到的时间比A 观测点晚4s . 已知各观测点到该中心的距离都是1020m . 假定当时声音传播的速度为340m/s，发出巨响的位置为点P，且A，B，C，O，P均在同一平面内. 你能确定该巨响发生的点的位置吗？ 3 新课学习 上述情境中，因为观测点A与C同时听到响声，说明P 一定在AC的垂直平分线上； 因为观测点B听到的时间比观测点A晚4s ，这说明P距离B更远，而且 |PB|−|PA|=4×340=1360. 4 新课学习 双曲线的定义 一般地，如果F1，F2是平面内的两个定点，a是一个正常数，且2a< |F1F2|，则平面上满足 ||PF1|−|PF2||=2a 的动点P的轨迹称为双曲线，其中，两个定点F1，F2称为双曲线的焦点，两个焦点的距离|F1F2|称为双曲线的焦距. 5 新课学习 尝试与发现：你能利用拉链等日常生活中的物品作出双曲线吗？ 如图所示，将拉链的一边截去一部分，并将拉链的两端用图钉固定在画板的F1与F2处，将笔尖放置在拉锁处，随着拉链沿不同的方向逐渐拉开，笔尖将作出一条曲线；调换拉链的两端，按照同样的操作，笔尖也将作出一条曲线.最终作出的图形是双曲线的一部分，其中每一条曲线都称为双曲线的一支. 6 新课学习 尝试与发现：你能从数学上证明满足双曲线的定义的点一定是存在的？这样的点有多少个？你能想到什么办法解决这两个问题？ 设双曲线的焦距为2c，则c>a>0. 以F1F2所在直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，如图所示. 此时，双曲线的焦点分别为 F1(−c,0)，F2(c,0). 设P(x,y)是双曲线上一点，则 ||PF1|−|PF2||=2a， 7 新课学习 尝试与发现：你能从数学上证明满足双曲线的定义的点一定是存在的？这样的点有多少个？你能想到什么办法解决这两个问题？ 8 新课学习 尝试与发现：你能从数学上证明满足双曲线的定义的点一定是存在的？这样的点有多少个？你能想到什么办法解决这两个问题？ 因为c>a>0 ，所以c2−a2>0， 设c2−a2=b2且b>0，则④式可化为 可以验证，方程⑤就是双曲线的方程，通常称为焦点在x轴上的双曲线的标准方程. 显然，满足方程⑤的点的坐标有无穷多组，这无穷多组解对应的点组成的双曲线如图所示. 9 新课学习 尝试与发现：设双曲线的焦点为F1和F2，焦距为2c，而且双曲线上的动点P满足||PF1|−|PF2||=2a，其中c>a>0. 以F1F2所在直线为y轴，线段F1F2的垂直平分线为x轴，建立平面直角坐标系，如图所示. 此时： (1)双曲线焦点的坐标分别是什么？ (2)能否通过⑤式来得到此时双曲线方程的形式？ 此时双曲线的焦点是F1(0,−c)，F2(0,c)， 而且只要将方程⑤中的x与y互换，就可以得到此时双曲线的方程为 其中b2=c2−a2. 这个方程通常称为焦点在y轴上的双曲线的标准方程. 10 新课学习 双曲线的标准方程 焦点在x轴上的双曲线的标准方程： 焦点在y轴上的双曲线的标准方程： 11 新课学习 说明： 由上可以看出，双曲线的标准方程由a，c以及焦点的位置确定，其中c>a>0. 如不特别声明，以后总认为双曲线有相应的a，c值以及b值， 而且谈到双曲线的标准方程时，指的总是上面这两种形式之一. 12 新课学习 例1：分别求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)两个焦点的坐标分别是(−5,0)，(5,0)，且双曲线上的点与两焦点距离之差的绝对值等于8； 由已知得c=5，2a=8.因此a=4，且b2=c2−a2=52−42=9. 又因为双曲线的焦点在x轴上，所以所求的双曲线的标准方程是 13 新课学习 例1：分别求适合下列条件的双曲线的标准方程： (2)双曲线的一个焦点坐标是(0,−6)，且双曲线经过点A(−5,6). 由已知得双曲线的焦点在y轴上，且c=6，所以另一个焦点坐标为(0,6). 因为点A(−5,6) 在双曲线上，所以点A与两焦点的距离的差的绝对值为 因此a=4，从而b2=62−42=20. 因此，所求双曲线的标准方程是 14 新课学习 例2：已知F1(−2,0)，F2(2,0)，动点P满足|PF1|−|PF2|=2，求动点P的轨迹方程. 因为1<2，所以根据双曲线的定义可知，P一定在a=1，c=2且焦点在x轴上的双曲线上. 这就是说，点P的坐标(x,y)一定满足 另一方面，由|PF1|−|PF2|=2>0 可知|PF1|>|PF2|， 因此P的横坐标要大于零，从而可知P的轨迹方程为 15 新课学习 思考一下：根据本节课的知识，如何求该巨响发生的点的位置吗？ 以O为坐标原点，AB，OC所在直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系，如图所示，则可知 x y P A(-1020,0)，B(1020,0)，C(0,1020) 发出巨响的位置P在以A，B为焦点的双曲线上，而且双曲线中，c=1020，a=680， 因此b2=c2-a2=10202-6802=5×3402 所以点P的坐标(x，y)满足 16 新课学习 思考一下：根据本节课的知识，如何求该巨响发生的点的位置吗？ 另一方面，容易求得AC的垂直平分线为y=-x，⑧ x y P 这也是点P的坐标(x，y)要满足的方程. 17 课堂练习 A 18 课堂练习 19 课堂练习 D 20 课堂练习 21 课堂练习 C 22 课堂练习 23 课堂练习 D 24 课堂练习 25 课堂练习 26 课堂练习 D 27 课堂练习 28 课堂练习 18 29 课堂练习 30 课堂总结 1.双曲线的概念 2.双曲线的标准方程 31 谢 谢 观 看 32 整理得 .② 且②与①的右边同时取正号或负号. ①+②整理得 ，③ 将③式平方，再整理得 .④ 由①得 ， . ⑤ . ⑥ . . = 7 \* GB3 \* MERGEFORMAT ⑦ 1.已知点M为双曲线 的左支上一点， ， 分别为C的左，右焦点，则 ( ) A.2 B.4 C.6 D.8 解析：由于M为双曲线 的左支上一点， ， 分别为C的左，右焦点，所以 ，故 ，由于 ， ， ，所以 ，故选：A 2.若点P是双曲线 上一点， ， 分别为C的左、右焦点，则“ ”是“ ”的( ) A.既不充分也不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.充分不必要条件 3.对于常数a，b，“ ”是“方程 对应的曲线是双曲线”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析： 可整理成 ，当 ，即 且 或 且 时，方程 即 表示的曲线为双曲线，则充分性成立；若方程 表示的曲线为双曲线，则 ，即 ，则必要性成立.综上，“ ”是“方程 对应的曲线是双曲线”的充要条件.故选C. 6.已知双曲线 上一点P与它的一个焦点的距离等于2，则点P与另一个焦点的距离等于_____________. 解析：设双曲线的两个焦点分别为 ，双曲线 ，即 ， 则 ，可得 ，不妨设 ，则 ，即 ，解得 ，且 ，符合题意，所以点P与另一个焦点的距离等于18. 故答案为：18. $