2.6.2 双曲线的几何性质 课件-2026-2027学年高二上学期数学人教B版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦双曲线的几何性质，通过“尝试与发现”引导学生从具体方程出发，探究范围、对称性、交点及变化趋势，再从特殊到一般总结标准方程的性质，搭建从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于以探究式导入培养数学眼光，通过从特殊到一般的归纳发展数学思维，结合例题推导（如例3求最值）和课堂练习强化数学语言表达，帮助学生深化理解，也为教师提供系统教学资源。

人教B版(2019)选择性必修第一册 2.6.2 双曲线的几何性质 第二章 平面解析几何 1 学习目标 掌握双曲线的几何性质，体现逻辑推理能力（重点） 掌握双曲线几何性质的相关应用，体现逻辑推理能力（重难点） 2 新课导入 (1)观察方程中x与y是否有取值范围，由此指出双曲线C在平面直角坐标系中的位置特征； (2)指出双曲线C是否关于x 轴、 y轴、原点对称； (3)指出双曲线C与坐标轴是否有交点，如果有，求出交点坐标； (4)如果(x,y)满足双曲线C的方程，说出当|x|增大时， |y|将怎样变化，并指出这反映了双曲线的形状具有什么特点. 3 新课学习 4 新课学习 5 新课学习 6 新课学习 思考一下：根据尝试与发现得出的结论，总结一下双曲线的性质. 1.范围： 7 新课学习 思考一下：根据尝试与发现得出的结论，总结一下双曲线的性质. 2.对称性： 如果(x,y)是方程①的一组解，则不难看出，(−x,y)，(x,−y)，(−x,−y)都是方程的解，这说明双曲线C关于y轴、 x轴、坐标原点对称，如图所示. 因此，x轴、 y轴是双曲线C的对称轴，坐标原点是对称中心. 双曲线的对称中心也称为双曲线的中心. 8 新课学习 思考一下：根据尝试与发现得出的结论，总结一下双曲线的性质. 3.顶点： 在方程①中，令y=0，得x=−a或x=a，可知双曲线C与x轴有两个交点，可以记作A1(−a,0)，A2(a,0)； 双曲线C与它的对称轴共有2个交点，即A1，A2，这两个点都称为双曲线的顶点，如图所示. 9 新课学习 思考一下：根据尝试与发现得出的结论，总结一下双曲线的性质. 3.顶点： 线段A1A2称为双曲线的实轴. 若记B1(0,−b)，B2(0,b)，则称线段B1B2为双曲线的虚轴. 显然，双曲线的两个焦点在它的实轴所在的直线上，而且双曲线的实轴长为2a，虚轴长为2b. 于是，a，b分别是双曲线的半实轴长和半虚轴长. 特别地，实轴长与虚轴长相等的双曲线称为等轴双曲线. 10 新课学习 思考一下：根据尝试与发现得出的结论，总结一下双曲线的性质. 4.渐近线： 由方程①可以看出，如果(x,y)是双曲线上一点，则|x|增大时，|y|也是增大的. 这就是说，双曲线向四周无限延展，如图所示. 11 新课学习 思考一下：根据尝试与发现得出的结论，总结一下双曲线的性质. 4.渐近线： 12 新课学习 思考一下：根据尝试与发现得出的结论，总结一下双曲线的性质. 4.渐近线： 13 新课学习 思考一下：根据尝试与发现得出的结论，总结一下双曲线的性质. 4.渐近线： 14 新课学习 思考一下：根据尝试与发现得出的结论，总结一下双曲线的性质. 5.离心率： 15 新课学习 尝试与发现：(1)根据双曲线离心率的定义，判断双曲线离心率的取值范围； (2)猜想双曲线离心率的大小与双曲线的形状有什么联系，并尝试证明. 因为c>a>0，所以可以看出e>1. 16 新课学习 显然，②式表示的双曲线，焦点坐标为 (0,−c)，(0,c)，双曲线上点的坐标的取值范围是y≤-a或y≥a； 实轴的两个端点是A1(0,−a)，A2(0,a)； 虚轴的两个端点是B1(−b,0)，B2(b,0)； 除这些以外，对称性、焦距、实轴长、虚轴长、离心率等都与焦点在x轴上的双曲线是一致的，如图所示. 17 新课学习 例1：求下列方程表示的双曲线的实轴长、焦点坐标、离心率以及渐近线方程： 由标准方程可知双曲线的焦点在x轴上，且a2=9，b2=16，因此实轴长2a=6. 又因为c2=a2+b2=9+16=25，即c=5. 因此，双曲线的焦点坐标为(−5,0)，(5,0). 18 新课学习 例1：求下列方程表示的双曲线的实轴长、焦点坐标、离心率以及渐近线方程： (2)x2-y2=9. 由此可知这个双曲线的焦点在y轴上，且a2=b2=9，因此实轴长2a=6， 渐近线方程为 y=±x. 19 新课学习 例2：已知双曲线C的顶点为A1，A2，虚轴的一个端点为B，且 △BA1A2是一个等边三角形，求双曲线C的离心率. 设O为坐标原点，则A1A2的中点为O，且|OA1|=a，|BO|=b. 20 新课学习 设P(x,y) ，则|PF|2=(x+c)2+y2， 因此 21 新课学习 例3说明：双曲线上的所有点中，到给定焦点距离最小的点，是离该焦点最近的实轴的端点． 22 课堂练习 C 23 课堂练习 24 课堂练习 D 25 课堂练习 26 课堂练习 C 27 课堂练习 28 课堂练习 A 29 课堂练习 30 课堂练习 A 31 课堂练习 32 课堂总结 双曲线的性质： 1.范围 2.对称性 3.顶点 4.渐近线 5.离心率 33 谢 谢 观 看 34 因为实数的平方是一个非负数，因此在方程 中，必有 ，即 或 ，由此可知，双曲线C位于直线x=-1与x=1所夹平面区域的外侧，如图所示. 又因为如果 是方程 的一组解，则不难看出， ， ， 都是方程的解，这说明双曲线C关于y轴、x轴、坐标原点对称，这也可从图中看出来. 在方程 中，令y=0，得x=-1或x=1，可知双曲线C与x轴有两个交点，且交点坐标分别为(-1,0)，(1,0)；令x=0，得 ，这个方程无实数解，可知双曲线C与y轴没有交点. 如果(x,y)满足 ，则可以看出，|x|增大时，|y|也是增大的. 这就是说，双曲线C向四周无限延展，如图所示. 由方程①可知 ，即 或 . 因此双曲线C位于直线x=a与x=-a所夹平面区域的外侧，如图所示. 令x=0，得 ，这个方程无实数解，可知双曲线C与y轴没有交点. 在第一象限内，双曲线的方程可以改写为 ， 因为 时， ，这就说明在第一象限内， 双曲线一定在直线 的下方； 事实上，如果P(x,y)是双曲线在第一象限的点，则P到直线 （即bx-ay=0）的距离 ， 又因为此时如果x越来越大，则 ，直观上，这说明随着x的增大，双曲线会越来越接近直线 . 根据双曲线的对称性可知，双曲线①向外无限延伸时，总是在 由直线 与直线 相交而分平面所成的、含双曲线焦 点的两个区域内，并无限接近于这两条直线，但永远不会与它们相交，如图所示. 因为当x>a且x无限增大时， 将无限增大，从而d将无限减小并接近于0（但不等于0），即在第一象限内，随着x的增大，双曲线会越来越接近直线 但不与这条直线相交. 直线 和 都称为双曲线①的渐近线. 由此可知，作双曲线时，如果先作出它的渐近线，将有利于确定双曲线的大致形状. 另外，值得注意的是，如果过双曲线实轴与虚轴的端点分别作x轴与y轴的垂线，则可以得到一个矩形，而且矩形的对角线所在的直线正好就是渐近线，如图所示. 同椭圆的情形一样，双曲线的半焦距与半实轴长之比 称为双曲线的离心率. 当固定a不变时，双曲线的离心率与双曲线形状的关系可以从 图中看出来，其中蓝色、绿色双曲线的离心率分别为 ， . 渐近线方程是 . 尝试与发现：如果双曲线的标准方程是 ②，那么该双曲线的范围、对称性、顶点、渐近线、离心率中，哪些与焦点在x轴上的双曲线是有区别的？ （1） ； 离心率 . 已知双曲线的方程可化为 ， 又因为 ，即 . 因此，双曲线的焦点坐标为 ， . 由 是等边三角形可知 ，因此 ， 又因为 ， EMBED Equation.DSMT4 . 例3：已知双曲线 的左焦点为F，且P是双曲线上的一点，求 的最小值. 记双曲线的焦距为 ，则 ，而且 . 例3：已知双曲线 的左焦点为F，且P是双曲线上的一点，求 的最小值. 注意到 或 ，而且 ， 所以，当x=-a时， 最小，且最小值为 . 1.若双曲线 的两条渐近线的夹角为 ，则 ( ) A. B. C. 或 D. 或 解析：双曲线方程 满足 ，则 ， 渐近线方程为 ，即 ， 由题意得 或 ，解得 或 . 经检验 ， 均满足题意. 2.已知双曲线C的虚轴长是实轴长的 倍，则C的离心率为( ) A. B.2 C. D. 解析：方法一：由题意知 ，即 ，则 .又 ，所以 ，即 ，得C的离心率 ，故选D. 方法二：由题意知 ，即 ，则 ，所以C的离心率 ，故选D. 4.已知 是双曲线 的左焦点，点P在双曲线上，直线 与x轴垂直，且 ，那么双曲线的离心率是( ) A. B. C.2 D.3 5.与曲线 共焦点，且与双曲线 共渐近线的双曲线的方程为( ) A. B. C. D. 解析：曲线 为椭圆，焦点在y轴上，且 . 因为所求双曲线与双曲线 共渐近线，所以设所求双曲线为 ，即 ，则 ，解得 ，所以所求双曲线方程为 .故选A. $