1.2空间向量基本定理分层练-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 本同步练习按A组基础训练（10题）和B组拔高提升（8题）分层，以空间向量基本定理为核心，从概念辨析到几何体综合应用，梯度清晰，适配新授课知识巩固与能力提升。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A组基础训练|空间基底定义、向量共面判断、简单几何体向量表示|多选题辨析基底概念（如第1题）、填空题强化向量运算（如第7题），夯实抽象能力与符号意识| |B组拔高提升|空间基底综合应用、复杂几何体度量与证明|解答题结合重心（第2题）、异面直线成角证明（第6题），培养推理能力与空间观念|

1.2　空间向量基本定理 A组 基础训练 1.(多选题)下列关于空间基底的说法,正确的是(　　) A.若三个非零向量a,b,c不能构成空间的一个基底,则a,b,c共面 B.若三个向量a,b,c不共面,则a,b,c可以构成空间的一个基底 C.若a,b是两个不共线的向量,且c=λa+μb(λ,μ∈R,λμ≠0),则a,b,c可以构成空间的一个基底 D.若向量a,b,c构成空间的一个基底,则向量a,2b,a-b也能构成空间的一个基底 2.已知点O,A,B,C为空间不共面的四点,且向量a=,向量b=,则与a,b不能构成空间的一个基底的向量是(　　) A. B. C. D. 3.在空间四边形OABC中,=a,=b,=c,点M在OA上,且=2,N为BC的中点,以{a,b,c}为空间的一个基底,则为(　　) A.a-b+c B.-a+b+c C.a+b-c D.a+b-c 4.已知正三棱柱ABC-A1B1C1的各棱长都为2,E,F分别为AB,A1C1的中点,则EF的长为(　　) A.2 B. C. D. 5.在三棱柱ABC-A1B1C1中,底面边长和侧棱长都相等,∠BAA1=∠CAA1=60°,则AB1与BC1所成角的余弦值为(　　) A. B. C. D. 6.如图,在正四棱锥P-ABCD中,PA=AB,M为PA的中点,=λ.若MN⊥AD,则实数λ为(　　) A.2 B.3 C.4 D.5 7.已知空间的一个基底{a,b,c},m=a-b+c,n=xa+yb+2c,若m与n共线,则x=　　　　　,y=　　　　　.  8.已知a,b是异面直线,A,B∈a,C,D∈b,AC⊥b,BD⊥b,且AB=2,CD=1,则a,b所成角的大小是　　　　　.  9.如图,在正方体ABCD-A'B'C'D'中,E是上底面A'B'C'D'的中心,求下列各式中x,y,z的值. (1)=x+y+z; (2)=x+y+z. 10.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,M,N分别是A1B,B1C1上的点,且BM=2A1M, C1N=2B1N.设=a,=b,=c. (1)试用a,b,c表示向量; (2)若∠BAC=90°,∠BAA1=∠CAA1=60°,AB=AC=AA1=1,求MN的长. B组 拔高提升 1.已知M,A,B,C四点互不重合且任意三点不共线,O为空间中任意一点,则能使向量构成空间的一个基底的关系是(　　) A. B. C. D.=2 2.在四面体OABC中,G1是△ABC的重心,G是OG1上的一点,且OG=3GG1,若=x+y+z,则(x,y,z)为(　　) A. B. C. D. 3.(多选题)下列说法中,正确的是(　　) A.若{a,b,c}可以作为空间的一个基底,d与c共线,d≠0,则{a,b,d}也可作为空间的基底 B.已知向量a∥b,则a,b与任何向量都不能构成空间的一个基底 C.A,B,M,N是空间四点,若不能构成空间的一个基底,那么A,B,M,N四点共面 D.已知{a,b,c}是空间的一个基底,若m=a+c,则{a,b,m}也是空间的一个基底 4.从空间一点P引出三条射线PA,PB,PC(PA,PB,PC不在同一平面内),在PA,PB,PC上分别取=a,=b,=c,点G在PQ上,且PG=2GQ,H为RS的中点,以{a,b,c}为空间的一个基底,则=　　　　　　　　　　.  5.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,用作为基向量,则=　　　　　.  6.如图,已知正三棱柱ABC-A1B1C1的各条棱长度相等,M是侧棱CC1的中点,则异面直线AB1和BM所成角的大小是　　　　　.  7.如图,在直三棱柱ABC-A'B'C'中,AC=BC=AA',∠ACB=90°,D,E分别为AB,BB'的中点. (1)求证:CE⊥A'D; (2)求CE与AC'所成角的余弦值. 8.如图,正四面体V-ABC的高VD的中点为O,VC的中点为M. (1)求证:AO,BO,CO两两垂直; (2)求异面直线DM和AO所成角的大小. 1.2　空间向量基本定理 A组 基础训练 1.AB 由空间基底的定义知,AB中说法正确;C中,c与a,b共面,故a,b,c不能构成空间的一个基底,C中说法错误;D中,a-b=a-×2b,故a,2b,a-b共面,故D中说法错误. 2.C 由题意可知,a-b,且a,b不共线,则a,b,共面,故与a,b不能构成空间的一个基底. 3.B 由题意可知,)-=-a+b+c. 4.C 由题意可知,,且||=||=1,||=2,=0,=0,<>=120°,所以||2==()2=||2+||2+||2+2()=1+4+1-1=5,所以||=.故EF的长为. 5.C 如图,设=c,=a,=b,AB=1,则a·b=,b·c=,a·c=, ∴=(a+c)·(b-a+c)=-1++1=1. ∵||=|a+c|=,||=|b-a+c|=, ∴cos<>=, ∴AB1与BC1所成角的余弦值为.故选C. 6.C 因为四棱锥P-ABCD是正四棱锥,所以四边形ABCD为正方形,PA=PB=PC=PD,因为PA=AB,所以△PAB和△PAD均为等边三角形且边长均相等,所以AB⊥AD,∠PAB=∠PAD=60°,又M为PA的中点,=λ,所以=-=-=-)=-+(1-,因为MN⊥AD,所以=0,即=[-+(1-]·=-+(1-=-|·||cos 60°+=-=0,解得λ=4,故选C. 7.2　-2 因为m与n共线,所以存在实数λ,使m=λn,即a-b+c=λxa+λyb+2λc, 于是有解得 8.60° 由题意可知,=0,=0. ∵, ∴·()=||2=1, ∴cos<>=, 又0°≤<>≤180°,∴<>=60°. 故异面直线a,b所成角的大小是60°. 9. (1)∵=-, 又=x+y+z, ∴x=1,y=-1,z=1. (2)∵ =) = =, 又=x+y+z, ∴x=,y=,z=1. 10. (1) (c-a)+a+(b-a)=a+b+c. (2)∵(a+b+c)2=a2+b2+c2+2a·b+2b·c+2a·c=1+1+1+0+2×1×1×+2×1×1×=5, ∴|a+b+c|=, ∴||=|a+b+c|=, 即MN的长为. B组 拔高提升 1.C 对于A,由,可知M,A,B,C四点共面,即共面;对于B,D,易知共面,故A,B,D不符合题意.故选C. 2.A 如图,由已知得.因为G1是△ABC的重心, 所以.所以,从而x=y=z=. 3.ABCD 根据基底的概念,知空间中任何三个不共面的向量都可作为空间的一个基底,否则就不能构成空间的一个基底.显然B中说法正确,C中,由共面且过相同点B,故A,B,M,N四点共面.A中,假设d与a,b共面,则存在实数λ,μ,使d=λa+μb,∵d与c共线,c≠0,∴存在实数k,使d=kc.∵d≠0,∴k≠0,从而c=a+b,∴c与a,b共面,这与条件矛盾.∴d与a,b不共面.同理可证D中说法也是正确的. 4. -a+b+c )-=-a+b+c. 5.) 2=2+2+2=()+()+()=, 所以). 6. 90° 设棱长为2,∵, ∴=()·=0-2+2-0=0, ∴. ∴AB1⊥BM. 故AB1与BM所成角的大小为90°. 7. (1)设=a,=b,=c,则{a,b,c}构成空间的一个基底. 根据题意,|a|=|b|=|c|,且a·b=b·c=c·a=0. ∵=b+c,=-c+b-a, ∴=-c2+b2=0. ∴,即CE⊥A'D. (2)∵=-a+c,=b+c,|a|=|b|=|c|, ∴||=|a|,||=|a|, 又=(-a+c)·c2=|a|2, ∴cos<>=. 故CE与AC'所成角的余弦值为. 8. (1)证明:设=a,=b,=c,正四面体的棱长为1,则a·b=b·c=a·c,|a|=|b|=|c|=1. 因为(a+b+c),(b+c-5a),(a+c-5b), (a+b-5c). 所以(b+c-5a)·(a+c-5b)=(18a·b-9|a|2)=×(18×1×1×cos 60°-9)=0, 所以, 即AO⊥BO. 同理,AO⊥CO,BO⊥CO. 所以AO,BO,CO两两垂直. (2)解:=-(a+b+c)+c=(-2a-2b+c), 则||=. ||=. 因为(-2a-2b+c)· (b+c-5a)=, 所以cos<>=. 又0≤<>≤π, 所以<>=. 故异面直线DM和AO所成角的大小为. 学科网（北京）股份有限公司 $