1.4.2 第一课时 用空间向量研究距离问题 同步练习-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 分层递进设计，覆盖空间距离全类型，从基础运算到综合探究，培养数学抽象与空间观念。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|点/直线/平面间距离基本计算|从坐标运算到简单建模，如用向量求三角形高、直接套用距离公式| |综合运用|多几何体综合距离问题|结合复杂情境（四棱锥、鳖臑），如多选判断距离、直线到平面距离计算| |拓展提高|探究性与创新性问题|引入新定义（平面一般方程）和存在性问题，如用新公式求距离、探究线段上点到平面距离|

1.4.2　用空间向量研究距离、夹角问题 第一课时　用空间向量研究距离问题 一、基础巩固 1.已知△ABC的顶点A(1,-1,2),B(5,-6,2),C(1,3,-1),则AC边上的高BD的长为(　　) A.3 B.4 C.5 D.6 2.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=a,AA1=2a,则点D1到直线AC的距离为(　　) A.a B. C. D. 3.(多选)已知平面α的一个法向量为n=(-1,-2,2),点A(x2,2x+1,2)为平面α内一点,若点P(0,1,2)到平面α的距离为4,则x的值为(　　) A.2 B.1 C.-3 D.-6 4.在三棱柱ABC-A1B1C1中,=(0,2,-3),=(-2,0,-3),=,则该三棱柱的高为(　　) A. B. C.2 D.4 5.如图,已知长方体ABCD-A1B1C1D1中,A1A=5,AB=12,则直线B1C1到平面A1BCD1的距离是(　　) A.5 B.8 C. D. 6.已知棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1,则平面AB1C与平面A1C1D之间的距离为(　　) A. B. C. D. 7.在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为棱AA1,BB1的中点,M为棱A1B1上的一点,且A1M=λ(0<λ<2),设点N为ME的中点,则点N到平面D1EF的距离为(　　) A.λ B. C.λ D. 8.在空间直角坐标系Oxyz中,平面OAB的一个法向量为n=(2,-2,1).已知点P(-1,3,2),则点P到平面OAB的距离d=　　　　.  9.直角△ABC的两条直角边BC=3,AC=4,PC⊥平面ABC,PC=,则点P到斜边AB的距离是　　　　.  10.如图所示,在直二面角D-AB-E中,四边形ABCD是边长为2的正方形,△AEB是等腰直角三角形,其中∠AEB=90°,则点D到平面ACE的距离为　　　　.  11.正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,E,F,G分别是C1C,D1A1,AB的中点,求点A到平面EFG的距离. 二、综合运用 12.(多选)如图,在四棱锥P-ABCD中,侧面PAD是边长为4的正三角形,底面ABCD为正方形,侧面PAD⊥底面ABCD,则下列说法正确的有(　　) A.AC⊥PB B.点C到直线PA的距离为2 C.直线AB到平面PDC的距离为2 D.点D到平面PBC的距离为 13.在我国古代数学名著《九章算术》中,将四个面都为直角三角形的三棱锥称为鳖臑(biē nào),如图,已知在鳖臑P-ABC中,PA⊥平面ABC,PA=AB=BC=2,M为PC的中点,则点P到平面MAB的距离为　　　　.  14.如图,在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为线段DD1的中点,F为线段BB1的中点. (1)求直线FC1到直线AE的距离; (2)求直线FC1到平面AB1E的距离. 三、拓展提高 15.在空间直角坐标系中,定义:平面α的一般方程为Ax+By+Cz+D=0(A,B,C,D∈R,且A,B,C不同时为零),点P(x0,y0,z0)到平面α的距离d=,则在底面边长与高都为2的正四棱锥P-ABCD中,底面中心O到侧面PAB的距离d=(　　) A. B. C.2 D.5 16.如图所示,在四棱锥P-ABCD中,侧面PAD⊥底面ABCD,侧棱PA=PD=,底面ABCD为直角梯形,其中BC∥AD,AB⊥AD,AD=2AB=2BC=2,问:线段AD上是否存在一点Q,使得它到平面PCD的距离为?若存在,求出的值;若不存在,说明理由. 1.4.2　用空间向量研究距离、夹角问题 第一课时　用空间向量研究距离问题 一、基础巩固 1.已知△ABC的顶点A(1,-1,2),B(5,-6,2),C(1,3,-1),则AC边上的高BD的长为(　　) A.3 B.4 C.5 D.6 答案　C 解析　取a==(4,-5,0), u==, 所以BD===5. 2.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=a,AA1=2a,则点D1到直线AC的距离为(　　) A.a B. C. D. 答案　D 解析　法一　连接BD,AC交于点O(图略),则D1O==a为所求. 法二　如图建立空间直角坐标系,易得C(a,a,0),D1(0,a,2a), 取a==(-a,0,2a),u==, 则点D1到直线AC的距离为==a. 3.(多选)已知平面α的一个法向量为n=(-1,-2,2),点A(x2,2x+1,2)为平面α内一点,若点P(0,1,2)到平面α的距离为4,则x的值为(　　) A.2 B.1 C.-3 D.-6 答案　AD 解析　因为=(0,1,2)-(x2,2x+1,2) =(-x2,-2x,0),n=(-1,-2,2), 所以·n=x2+4x,|n|==3, 所以点P到平面α的距离为d===4,解得x=2或x=-6. 4.在三棱柱ABC-A1B1C1中,=(0,2,-3),=(-2,0,-3),=,则该三棱柱的高为(　　) A. B. C.2 D.4 答案　B 解析　设平面ABC的法向量为n=(x,y,z), 则所以 令z=2,则x=-,y=3,所以n=(-,3,2)是平面ABC的一个法向量. 所以点A1到平面ABC的距离d==,故该三棱柱的高为.故选B. 5.如图,已知长方体ABCD-A1B1C1D1中,A1A=5,AB=12,则直线B1C1到平面A1BCD1的距离是(　　) A.5 B.8 C. D. 答案　C 解析　以D为坐标原点,DA,DC,DD1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系, 则C(0,12,0),D1(0,0,5). 设B(x,12,0),B1(x,12,5)(x>0). 设平面A1BCD1的法向量为n=(a,b,c), 由n⊥,n⊥, 得n·=(a,b,c)·(-x,0,0)=-ax=0, n·=(a,b,c)·(0,-12,5)=-12b+5c=0, 所以a=0,b=c,所以可取n=(0,5,12). 又=(0,0,-5),所以点B1到平面A1BCD1的距离为=. 因为B1C1∥平面A1BCD1, 所以B1C1到平面A1BCD1的距离为. 6.已知棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1,则平面AB1C与平面A1C1D之间的距离为(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　建立如图所示的空间直角坐标系,则A1(1,0,0),C1(0,1,0),D(0,0,1),A(1,0,1), 所以=(1,0,-1),=(0,1,-1),=(-1,0,0), 设平面A1C1D的一个法向量为m=(x,y,1), 则即 解得故m=(1,1,1), 显然平面AB1C∥平面A1C1D, 所以平面AB1C与平面A1C1D之间的距离 d===. 7.在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为棱AA1,BB1的中点,M为棱A1B1上的一点,且A1M=λ(0<λ<2),设点N为ME的中点,则点N到平面D1EF的距离为(　　) A.λ B. C.λ D. 答案　D 解析　以D为原点,DA,DC,DD1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系(图略), 则M(2,λ,2),D1(0,0,2),E(2,0,1),F(2,2,1),=(-2,0,1),=(0,2,0),=(0,λ,1). 设平面D1EF的法向量为n=(x,y,z), 则 取x=1,得n=(1,0,2), 所以点M到平面D1EF的距离为: d===. 因为N为EM的中点, 所以N到平面D1EF的距离为,选D. 8.在空间直角坐标系Oxyz中,平面OAB的一个法向量为n=(2,-2,1).已知点P(-1,3,2),则点P到平面OAB的距离d=　　　　.  答案　2 解析　d===2. 9.直角△ABC的两条直角边BC=3,AC=4,PC⊥平面ABC,PC=,则点P到斜边AB的距离是　　　　.  答案　3 解析　以C为坐标原点,CA,CB,CP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系. 则A(4,0,0),B(0,3,0),P, 所以=(-4,3,0),=. 取a==,u==, 则P到AB的距离为 d===3. 10.如图所示,在直二面角D-AB-E中,四边形ABCD是边长为2的正方形,△AEB是等腰直角三角形,其中∠AEB=90°,则点D到平面ACE的距离为　　　　.  答案　 解析　取AB的中点O,连接OE.以O为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz(其中z轴平行于BC),则A(0,-1,0), E(1,0,0),D(0,-1,2),C(0,1,2),=(0,0,2),=(1,1,0),=(0,2,2). 设平面ACE的法向量为n=(x,y,z), 则即 令y=1,∴n=(-1,1,-1).故点D到平面ACE的距离d===. 11.正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,E,F,G分别是C1C,D1A1,AB的中点,求点A到平面EFG的距离. 解　如图所示,建立空间直角坐标系, 则A(2,0,0),E(0,2,1), F(1,0,2),G(2,1,0), ∴=(1,-2,1), =(2,-1,-1), =(0,-1,0). 设n=(x,y,z)是平面EFG的法向量, 则∴ ∴x=y=z,可取n=(1,1,1), ∴点A到平面EFG的距离为d===, 即点A到平面EFG的距离为. 二、综合运用 12.(多选)如图,在四棱锥P-ABCD中,侧面PAD是边长为4的正三角形,底面ABCD为正方形,侧面PAD⊥底面ABCD,则下列说法正确的有(　　) A.AC⊥PB B.点C到直线PA的距离为2 C.直线AB到平面PDC的距离为2 D.点D到平面PBC的距离为 答案　BD 解析　取AD的中点为E,连接PE. 因为PA=PD, 所以PE⊥AD. 因为平面PAD⊥平面ABCD,所以PE⊥平面ABCD. 以E为原点建立如图所示的空间直角坐标系, 则A(2,0,0),B(2,4,0),C(-2,4,0),D(-2,0,0),P(0,0,2), 所以=(-4,4,0),=(2,4,-2), 所以·=-8+16=8≠0, 所以AC不垂直于PB,故A中说法错误; =(2,0,-2),=(-2,4,-2), 所以点C到直线PA的距离 d1==2, 故B中说法正确; =(0,-4,0), 设平面PCD的法向量为n=(x,y,z), 则 即 令z=1,得x=-,所以n=(-,0,1), 则点A到平面PDC的距离 d2===2, 又=,AB⊄平面PCD, 故AB∥平面PCD, 所以直线AB到平面PDC的距离为2,故C中说法错误; 设平面PBC的法向量为m=(a,b,c), 则即 令c=2,得b=,所以m=(0,,2), 所以点D到平面PBC的距离 d3===, 故D中说法正确. 13.在我国古代数学名著《九章算术》中,将四个面都为直角三角形的三棱锥称为鳖臑(biē nào),如图,已知在鳖臑P-ABC中,PA⊥平面ABC,PA=AB=BC=2,M为PC的中点,则点P到平面MAB的距离为　　　　.  答案　 解析　以B为坐标原点,BA,BC所在直线分别为x轴、y轴建立空间直角坐标系,如图, 则B(0,0,0),A(2,0,0), P(2,0,2),C(0,2,0), 由M为PC的中点可得M(1,1,1), =(1,1,1),=(2,0,0),=(2,0,2). 设n=(x,y,z)为平面ABM的法向量, 则即 令z=-1,可得n=(0,1,-1), 点P到平面MAB的距离d==. 14.如图,在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为线段DD1的中点,F为线段BB1的中点. (1)求直线FC1到直线AE的距离; (2)求直线FC1到平面AB1E的距离. 解　建立如图所示的空间直角坐标系, 则B1(1,1,1),E,F,C1(0,1,1),A(1,0,0). (1)因为=,=, 所以∥,即AE∥FC1, 所以点F到直线AE的距离即为直线FC1到直线AE的距离. 取u==, 又=, 所以=,·u=, 所以直线FC1到直线AE的距离为=. (2)因为AE∥FC1,FC1⊄平面AB1E,AE⊂平面AB1E,所以FC1∥平面AB1E, 所以直线FC1到平面AB1E的距离等于C1到平面AB1E的距离. =(1,0,0),=(0,1,1), 设平面AB1E的法向量为n=(x,y,z), 则 即取z=2,可得n=(1,-2,2), 所以C1到平面AB1E的距离为=, 所以直线FC1到平面AB1E的距离为. 三、拓展提高 15.在空间直角坐标系中,定义:平面α的一般方程为Ax+By+Cz+D=0(A,B,C,D∈R,且A,B,C不同时为零),点P(x0,y0,z0)到平面α的距离d=,则在底面边长与高都为2的正四棱锥P-ABCD中,底面中心O到侧面PAB的距离d=(　　) A. B. C.2 D.5 答案　B 解析　以底面中心O为坐标原点, 建立空间直角坐标系Oxyz,如图,则O(0,0,0),A(1,1,0),B(-1,1,0),P(0,0,2). 设平面PAB的方程为Ax+By+Cz+D=0,将A,B,P三点的坐标代入计算得A=0,B=-D,C=-D, 所以方程可化为-Dy-Dz+D=0, 即2y+z-2=0, 所以d==. 16.如图所示,在四棱锥P-ABCD中,侧面PAD⊥底面ABCD,侧棱PA=PD=,底面ABCD为直角梯形,其中BC∥AD,AB⊥AD,AD=2AB=2BC=2,问:线段AD上是否存在一点Q,使得它到平面PCD的距离为?若存在,求出的值;若不存在,说明理由. 解　取AD的中点O,在△PAD中, ∵PA=PD,∴PO⊥AD. 又侧面PAD⊥底面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,PO⊂平面PAD, ∴PO⊥平面ABCD. 建立如图所示的空间直角坐标系,易得 A(0,-1,0),B(1,-1,0),C(1,0,0),D(0,1,0),P(0,0,1), 则=(-1,0,1),=(-1,1,0). 假设存在点Q,使它到平面PCD的距离为, 设Q(0,y,0)(-1≤y≤1),则=(-1,y,0). 设平面PCD的法向量为n=(x0,y0,z0), 则∴ 即x0=y0=z0,取x0=1, 则平面PCD的一个法向量为n=(1,1,1). ∴点Q到平面PCD的距离 d===, ∴y=-或y=(舍去). 此时=,=, 则||=,||=, ∴存在点Q满足题意,此时=. 学科网（北京）股份有限公司 $