第三章 一元函数的导数及其应用（综合训练）（全国通用）2027年高考数学一轮复习讲练测

**基本信息** 导数应用全题型整合，覆盖切线、单调性、极值等核心考点，以题载法强化知识逻辑，培养数学思维与表达。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |导数几何意义|题1、17(1)|切线方程求解|导数定义→几何意义→切线方程推导| |单调性与极值|题3、6、12、15|单调区间判断、极值点应用|导数与函数单调性关系→极值判定→参数范围求解| |零点与不等式|题7、11、13|存在性问题、新定义零点|函数零点判定→导数工具应用→不等式求解逻辑| |综合应用|题18、19|多考点交汇证明|导数单调性分析→极值与最值综合→数学语言表达论证|

第三章 一元函数的导数及其应用（综合训练） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知函数，则曲线在点处的切线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】曲线的导数，则在的切线斜率为， 由点斜式求得切线方程为， 化成一般式为. 2．如图，直线和圆，当从开始在平面上按顺时针方向绕点匀速转动（转动角度不超过）时，它扫过的圆内阴影部分的面积是时间的函数．这个函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】根据题意，可得面积随着的增大而增加，所以函数为单调递增函数， 且增长趋势先慢后快，过圆心后逐渐变慢，即函数图象的变化率先变大在变小， 结合选项，可得选项D复合题意. 故选：D. 3．已知，则函数的单调递增区间为（    ） A． B．R C． D． 【答案】B 【详解】令，则，得，即， 则函数定义域为R且，所以函数在R上单调递增. 函数的单调递增区间为R. 故选：B. 4．已知函数，则的值为（   ） A． B．5 C． D． 【答案】C 【详解】， 故， 所以． 5．（ 2026·江苏南京·三模）已知，则的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 分情况讨论不等式的解： 当时，，不等式， 与前提矛盾，故此时不等式无解； 当时，，对其求导得. 当时，，即在上单调递增. 又， 因此. 综上，的解为. 将代入得，解得，即. 6．已知函数的极小值点为3，则不等式的解集为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为， 所以， 令，解得或， 当时，， 此时当时，；当时，； 当时，； 所以函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 所以函数在处取极小值，不满足题意； 当时，， 函数在R上单调递增，不存在极小值，不满足题意； 当时，， 当时，；当时，； 当时，； 所以函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 且函数的极小值点为3，所以， 所以， 所以函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 又，，    所以的解集为. 7．已知函数，，若，使得成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意，在上的最大值不大于在上的最大值. 对：因为，所以， 由， 所以函数在上单调递增， 又，所以在上单调递增，所以在上的最大值为. 对：当时，，因为，故满足题意； 当时，因为的对称轴为，所以在上单调递增，所以在上的最大值为， 由.所以； 当时，在上单调递减，所以在上的最大值为， 由，结合得. 综上可知，实数的取值范围为. 8．【新考法】已知函数为指数函数，且满足以下条件：①且x≠y，都有 ；②函数的图象关于直线对称，且方程有且仅有两个实数解.则函数的解析式可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】选项A：且，都有， 则可说明为R上的单调递增函数，由于在R上单调递减，不符合题意，排除； 选项B：不是指数函数（指数函数要求指数为自变量、定义域为），且时函数单调递减，不满足条件①，排除； 选项CD中函数均为R上的单调递增函数， 由于互为反函数，它们的图象关于直线对称， 故若的图象有交点，则交点必在直线上， 选项C：对于，令，则，该函数在R上单调递增， 由，得， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 则， 则无零点，即无实数解，不符合题意，C错误； 选项D：对于，令，则，该函数在R上单调递增， 由，得， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 则， 当时，，当时，， 则有两个零点，即有且仅有两个实数解，符合题意，D正确. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知函数，则下列说法正确的是（   ） A．的极值点为 B．的极值点为1 C．直线是曲线的一条切线 D．有两个零点 【答案】BC 【详解】对A：因为，所以， 令，得；令，得， 所以在上单调递减；在上单调递增. 可知在处取得唯一极小值，也是的最小值， 所以的极值点为，故A错误，B正确； 对C：因为，， 所以在处的切线方程为， 即，故C正确． 对D：因为，，结合在上的单调性， 可知是在上的唯一零点； 当时，恒成立，故恒成立， 所以在上没有零点； 综上：只有一个零点，故D错误． 故选：BC. 10．已知函数，则（    ） A．当时，函数有最大值 B．若函数图象的对称中心为，则 C．函数在上一定存在减区间 D．函数可能有2个零点 【答案】BC 【详解】对于A，当时，， 当时，在上单调递增， 当无限趋于正无穷大时，也无限趋于正无穷大，所以没有最大值，故A错误； 对于B，法一：，令，则， 结合三次函数对称性可知，，所以，故B正确； 法二：若函数图象的对称中心为，则对任意实数，恒有， 代入化简得，解得，故B正确； 对于C，，令， 解得或， 当时，所以在上单调递减，故C正确； 对于D，， 令，又， 所以有两个不为0的根，所以有3个零点，故D错误. 11．【新定义】若m，n分别是函数，的零点，且，则称与互为“零点相邻函数”.已知与互为“零点相邻函数”，则a的取值可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【详解】定义域为，， 则在上单调递增，注意到，则有唯一零点1. 定义域为R，由“零点相邻函数”定义， 存在，使，且为零点. 若，，这显然不可能. 则，. 令，. 令，， 则在上单调递增，在上单调递减，从而， 且当时，， 故时，可满足题意.则选项ABC满足题意. 故选：ABC 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知0不是函数（为常数）的极值点，则___________． 【答案】 【详解】由题设， 令， 因为0不是函数（为常数）的极值点， 故在的左侧附近，,在的右侧附近，. 故，所以， 此时， 当时，，，故，则， 当时，，，故，则， 满足0不是函数（为常数）的极值点， 综上，. 13．（ 2026·江苏无锡·三模）已知函数，其中是自然对数的底数，若，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【详解】函数的定义域为，关于原点对称， 因为， 所以是上的偶函数， 因为，当时， ， 由于时 ， 所以，即在上单调递增； 结合偶函数性质，在上单调递减，且满足 因为 ， 所以 等价于 ， 因为在上单调递增， 所以等价于， 当时，不等式化为，即 ， 其判别式 ，不等式恒成立，故； 当时，不等式化为，即 ， 因式分解得 ，解得或 . 综上，实数的取值范围是 14．【新角度】已知球的表面积为，直四棱柱的顶点均在球的球面上，则该直四棱柱的体积的最大值为______． 【答案】1 【详解】设球的半径为，四边形外接圆的半径为，直四棱柱的高为，连接，， 设与的交点为，， 则四边形的面积 ， 当且仅当且，即四边形为正方形时等号成立， 此时直四棱柱的体积为． 由，得，所以． 令，， 则， 则当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以． 即直四棱柱的体积的最大值为1． 故答案为：1 【点睛】关键点点睛：本题考查外接球问题，利用等面积确定四边形的面积达到最大值时为正方形是解决本题的关键. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分）已知函数． (1)若为函数的极值点，求的值； (2)若在定义域上不单调，求的取值范围． 【详解】（1）由题意得， 1分 因为为函数的极值点，所以，解得， 3分 经检验，当时，为函数的极值点，所以． 4分 （2）因为的定义域为，， 设在单调， 5分 ①函数在上单调递增，则在上恒成立， 6分 即在上恒成立， 在上恒成立， 8分 又当时，，当且仅当时等号成立， 所以， 10分 ②函数在上单调递减，则在上恒成立， 11分 即在上恒成立，矛盾 所以若在单调，则， 故若在定义域上不单调，则的取值范围为． 13分 16．（15分）已知函数． (1)若函数在上单调递增，且，求角的值； (2)若，且，使得，求实数的取值范围． 【详解】（1）对求导得， 1分 因为函数在上单调递增，所以在上恒成立， 3分 又当时，，所以在上恒成立，即． 5分 因为，，所以． 又，所以． 6分 （2）当时，，则， 若，使得，即，使得成立， 也即，使得成立. 8分 令，，则需，即可. ， 令，，则. 10分 因为，所以，所以在上单调递增， 所以，即，所以在上单调递增， 所以， 13分 因此. 故实数的取值范围是． 15分 17．（15分）已知函数． (1)已知曲线在处的切线方程为，求和的值； (2)求证：不是函数的极值点； (3)设，，是否存在，使得函数的最小值为2？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【详解】（1），由题意， 解得， 1分 ，解得． 3分 (2)，且， ①当时，，令，求导得， 4分 时，，单调递减；时，，单调递增； 故在处取得最小值，即恒成立， 因此不是极值点； 6分 ②当时，，不可能是极值点； 综上，不是函数的极值点． 8分 （3），，求导， ①，此时恒成立，在上单调递减， 最小值在处，即， 令，得，与矛盾，舍去； 10分 ②，即，此时在上为负，单调递减； 在上为正，单调递增， 最小值在处，即， 令，得，满足，成立； 13分 ③，即此时在上恒成立，单调递减， 最小值在处，即， 令，得，与矛盾，舍去； 综上，存在，使得在上的最小值为2． 15分 18．（17分）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若既存在极大值，又存在极小值，求实数的取值范围； (3)当时，直线与曲线有三个交点，设的取值集合为，求的取值范围. 【详解】（1） ，所以， 又 ，所以， 2分 所以切线方程为， 即. 3分 （2） 当或时，只有一个零点，不可能有两个极值点； 4分 当时，令，得或， 5分 当时，与的变化情况如下表： 0 + 0 - 0 + 极大值 极小值 7分 当时，与的变化情况如下表： 0 + 0 - 0 + 极大值 极小值 9分 综上：的取值范围为. 10分 （3）由（2）可得， ， 12分 令，， 令，则在恒成立， 所以在单调递增，即在单调递增， 15分 ，单调递减，又时，，时，. 所以的取值范围为. 17分 19．（17分）已知函数（且）. (1)当时，求的极小值点与极小值； (2)讨论函数的单调性； (3)若函数有两个零点，（），且，证明：. 【详解】（1）当时，，其定义域为， 对求导，可得， 2分 令，即，因为，所以，解得， 当时，，，，则，单调递减； 当时，，，，则，单调递增， 4分 所以是的极小值点，极小值为. 5分 （2）的定义域为． 当时，恒成立，所以在上单调递减； 6分 当时，； 当时，，所以单调递减； 在上，，所以单调递增；   8分 综上所得，当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增. 9分 (3)证明：当时，； 由（2）知，在上单调递减，在上单调递增； 由题意可得， 由及，得； 11分 欲证，只要， 注意到在上单调递减，且，只要证明即可； 由，得； 13分 所以 ， 15分 令， 则， 则在上是单调递增的， 因此，即； 综上，． 17分 7 / 10学 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三章 一元函数的导数及其应用（综合训练） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知函数，则曲线在点处的切线方程为（   ） A． B． C． D． 2．如图，直线和圆，当从开始在平面上按顺时针方向绕点匀速转动（转动角度不超过）时，它扫过的圆内阴影部分的面积是时间的函数．这个函数的图象大致是（   ） A．B．C．D． 3．已知，则函数的单调递增区间为（    ） A． B．R C． D． 4．已知函数，则的值为（   ） A． B．5 C． D． 5．（ 2026·江苏南京·三模）已知，则的解是（    ） A． B． C． D． 6．已知函数的极小值点为3，则不等式的解集为（  ） A． B． C． D． 7．已知函数，，若，使得成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8．【新考法】已知函数为指数函数，且满足以下条件：①且x≠y，都有 ；②函数的图象关于直线对称，且方程有且仅有两个实数解.则函数的解析式可以为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知函数，则下列说法正确的是（   ） A．的极值点为 B．的极值点为1 C．直线是曲线的一条切线 D．有两个零点 10．已知函数，则（    ） A．当时，函数有最大值 B．若函数图象的对称中心为，则 C．函数在上一定存在减区间 D．函数可能有2个零点 11．【新定义】若m，n分别是函数，的零点，且，则称与互为“零点相邻函数”.已知与互为“零点相邻函数”，则a的取值可能是（    ） A． B． C． D． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知0不是函数（为常数）的极值点，则___________． 13．（ 2026·江苏无锡·三模）已知函数，其中是自然对数的底数，若，则实数的取值范围是__________. 14．【新角度】已知球的表面积为，直四棱柱的顶点均在球的球面上，则该直四棱柱的体积的最大值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分）已知函数． (1)若为函数的极值点，求的值； (2)若在定义域上不单调，求的取值范围． 16．（15分）已知函数． (1)若函数在上单调递增，且，求角的值； (2)若，且，使得，求实数的取值范围． 17．（15分）已知函数． (1)已知曲线在处的切线方程为，求和的值； (2)求证：不是函数的极值点； (3)设，，是否存在，使得函数的最小值为2？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 18．（17分）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若既存在极大值，又存在极小值，求实数的取值范围； (3)当时，直线与曲线有三个交点，设的取值集合为，求的取值范围. 19．（17分）已知函数（且）. (1)当时，求的极小值点与极小值； (2)讨论函数的单调性； (3)若函数有两个零点，（），且，证明：. 10 / 10学 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三章 一元函数的导数及其应用（综合训练） 参考答案 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 B D B C B A B D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 BC BC ABC 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．-1 13． 14．1 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．【详解】（1）由题意得， 1分 因为为函数的极值点，所以，解得， 3分 经检验，当时，为函数的极值点，所以． 4分 （2）因为的定义域为，， 设在单调， 5分 ①函数在上单调递增，则在上恒成立， 6分 即在上恒成立， 在上恒成立， 8分 又当时，，当且仅当时等号成立， 所以， 10分 ②函数在上单调递减，则在上恒成立， 11分 即在上恒成立，矛盾 所以若在单调，则， 故若在定义域上不单调，则的取值范围为． 13分 16．【详解】（1）对求导得， 1分 因为函数在上单调递增，所以在上恒成立， 3分 又当时，，所以在上恒成立，即． 5分 因为，，所以． 又，所以． 6分 （2）当时，，则， 若，使得，即，使得成立， 也即，使得成立. 8分 令，，则需，即可. ， 令，，则. 10分 因为，所以，所以在上单调递增， 所以，即，所以在上单调递增， 所以， 13分 因此. 故实数的取值范围是． 15分 17．【详解】（1），由题意， 解得， 1分 ，解得． 3分 (2)，且， ①当时，，令，求导得， 4分 时，，单调递减；时，，单调递增； 故在处取得最小值，即恒成立， 因此不是极值点； 6分 ②当时，，不可能是极值点； 综上，不是函数的极值点． 8分 （3），，求导， ①，此时恒成立，在上单调递减， 最小值在处，即， 令，得，与矛盾，舍去； 10分 ②，即，此时在上为负，单调递减； 在上为正，单调递增， 最小值在处，即， 令，得，满足，成立； 13分 ③，即此时在上恒成立，单调递减， 最小值在处，即， 令，得，与矛盾，舍去； 综上，存在，使得在上的最小值为2． 15分 18．【详解】（1） ，所以， 又 ，所以， 2分 所以切线方程为， 即. 3分 （2） 当或时，只有一个零点，不可能有两个极值点； 4分 当时，令，得或， 5分 当时，与的变化情况如下表： 0 + 0 - 0 + 极大值 极小值 7分 当时，与的变化情况如下表： 0 + 0 - 0 + 极大值 极小值 9分 综上：的取值范围为. 10分 （3）由（2）可得， ， 12分 令，， 令，则在恒成立， 所以在单调递增，即在单调递增， 15分 ，单调递减，又时，，时，. 所以的取值范围为. 17分 19．【详解】（1）当时，，其定义域为， 对求导，可得， 2分 令，即，因为，所以，解得， 当时，，，，则，单调递减； 当时，，，，则，单调递增， 4分 所以是的极小值点，极小值为. 5分 （2）的定义域为． 当时，恒成立，所以在上单调递减； 6分 当时，； 当时，，所以单调递减； 在上，，所以单调递增；   8分 综上所得，当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增. 9分 (3)证明：当时，； 由（2）知，在上单调递减，在上单调递增； 由题意可得， 由及，得； 11分 欲证，只要， 注意到在上单调递减，且，只要证明即可； 由，得； 13分 所以 ， 15分 令， 则， 则在上是单调递增的， 因此，即； 综上，． 17分 答案第2页，共2页 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $