专题2.1 一元二次方程的概念（高效培优讲义）数学新教材苏科版九年级上册

本初中数学讲义聚焦一元二次方程的概念这一核心知识点，从定义（整式方程、一个未知数、最高次数2）入手，衔接一般形式（ax²+bx+c=0，a≠0）的系数识别，再到解的概念及应用，通过“即学即练”和题型分层构建学习支架。 资料以类比一元一次方程发展数学思维，通过实际问题抽象模型培养数学眼光，设计判断、参数求解等多样题型提升数学语言表达。典例与变式结合助教师授课，分层练习供学生课后查漏补缺，强化知识应用。

专题2.1 一元二次方程的概念 教学目标 1. 理解一元二次方程的概念，掌握其一般形式ax2+bx+c=0 （a≠0），能识别各项系数。 2. 能根据实际问题中的等量关系列出一元二次方程，体会其作为刻画现实数量关系的模型。 3. 通过类比一元一次方程，理解方程思想在解决实际问题中的应用价值。 教学重难点 重点： 1. 一元二次方程的概念及其一般形式的掌握，能准确识别二次项系数、一次项系数和常数项。 2. 从实际问题中抽象出一元二次方程模型，并能检验方程解的合理性。 教学难点： 1. 准确将实际问题转化为数学语言，建立一元二次方程模型。 2. 理解一元二次方程解的概念，并能在具体情境中验证方程解的合理性。 知识点01 一元二次方程的概念 定义：通过化简后，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程，叫做一元二次方程． 要点：识别一元二次方程必须抓住三个条件：（1）整式方程；（2）含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是2.不满足其中任何一个条件的方程都不是一元二次方程，缺一不可. 【即学即练】 1．下列方程是一元二次方程的有（    ） ①；②；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【知识点】一元二次方程的定义 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是含有一个未知数且未知数的最高次数是是解题关键．根据一元二次方程的定义，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是的整式方程叫一元二次方程进行分析即可． 【详解】解：①，是一元二次方程； ②，是一元二次方程； ③，不是整式方程，不是一元二次方程； ④，含有两个未知数，并且未知数的最高次数是，不是一元二次方程； 故选：B． 2．若是关于x的一元二次方程，则m的值是 ． 【答案】1 【知识点】由一元二次方程的定义求参数 【分析】本题考查了一元二次方程的概念．一元二次方程必须满足两个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0．由这两个条件得到相应的关系式，再求解即可． 【详解】解：∵是关于x的一元二次方程， ∴，， 解得， 故答案为：1． 知识点02 一元二次方程的一般形式 一般地，任何一个关于x的一元二次方程，都能化成形如，这种形式叫做一元二次方程的一般形式．其中是二次项，是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项． 要点：(1)只有当时，方程才是一元二次方程； 　(2)在求各项系数时，应把一元二次方程化成一般形式，指明一元二次方程各项系数时注意不要漏掉前面的性质符号. 【即学即练】 1．关于的一元二次方程的二次项系数，一次项系数和常数项分别为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】一元二次方程的定义 【分析】本题考查了一元二次方程的概念，理解并掌握一元二次方程的概念及一元二次方程的一般式是关键． 根据一元二次方程的概念及一般式“”判定即可． 【详解】解：关于的一元二次方程的二次项系数，一次项系数和常数项分别为， 故选：D ． 2．把一元二次方程化成一般式，则，，的值分别是    ) A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】B 【知识点】化成一元二次方程的一般式 【分析】此题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是： ，，是常数且特别要注意的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中叫二次项，叫一次项，是常数项．其中、、分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．方程整理为一般形式，找出，，的值即可． 【详解】解：方程整理得：， 则，，的值分别是，，． 故选：B． 知识点03 一元二次方程的解 使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根. 【即学即练】 1．已知关于x的一元二次方程的一个根是，则m的值为 ． 【答案】2 【知识点】由一元二次方程的解求参数 【分析】此题考查了一元二次方程，熟知一元二次方程的解满足方程是解题的关键． 根据一元二次方程解的定义，把代入方程，即可解得m的值． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程的一个根是， ∴， ∴． 故答案为：2． 2．若是方程的一个根，则代数式的值为 ． 【答案】2033 【知识点】判断是否是一元二次方程的解、已知式子的值，求代数式的值 【分析】本题主要考查了一元二次方程解的定义，代数式求值，根据一元二次方程解是使方程左右两边相等的未知数的值得到，即，再根据进行求解即可． 【详解】解；∵m是方程的一个根， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 题型01 判断是否是一元二次方程 【典例1】下列方程是一元二次方程的是(　　) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义(整式方程、一个未知数、未知数最高次数为2)逐一判断选项． 【详解】解：选项A：，方程两边均为整式，仅含一个未知数，且的最高次数为2，符合一元二次方程的定义． 选项B：，方程中含分式项，不是整式方程，不符合要求． 选项C：， 含两个未知数和，不满足“一元”条件． 选项D：，当时是二次方程，但题目未明确的取值范围，若则变为一次方程，无法确定． 综上，只有选项A符合一元二次方程的定义． 故选：A． 【变式1】下列方程是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是一元二次方程的定义，掌握定义进行判断是解题的关键． 一元二次方程：含有一个未知数，含有未知数的项的最高次数是2，2， 这样的整式方程是一元二次方程，根据定义逐一判断即可． 【详解】选项A： 整理为，是整式方程，仅含未知数，且的最高次数为2，符合定义； 选项B： 含两个未知数和，不符合“一个未知数”的条件，排除； 选项C： 化简： ，化简后为一次方程，排除； 选项D： 未明确，当时方程变为一次方程，不符合定义，排除． 故选：A． 【变式2】下列方程是一元二次方程的有（   ） ①；②；③；④；⑤ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键，注意：只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是的整式方程叫一元二次方程．根据一元二次方程的定义即可解答． 【详解】解：①是一元二次方程； ②，当时是一元一次方程，不是一元二次方程； ③是分式方程，不是一元二次方程； ④，整理得：是一元二次方程； ⑤，整理得：是一元一次方程，不是一元二次方程； 则共有2个， 故选：B． 【变式3】关于x的方程：①，②，③，④，其中一元二次方程的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的概念是解题的关键．只有一个未知数且未知数最高次数为的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是（）．特别要注意的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．据此进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：①，当时，该方程不是一元二次方程； ②属于分式方程； ③符合一元二次方程的定义； ④的次数是3次，不是一元二次方程， 综上所述，其中一元二次方程的个数是1个． 故选：A． 题型02 利用一元二次方程的定义求参数 【典例1】若方程是一元二次方程，则k的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程． 根据一元二次方程的定义得到且，然后解不等式和方程得到满足条件的k的值． 【详解】解：根据题意得且， 解得． 故答案为：． 【变式1】若关于的方程（为常数）是一元二次方程，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的概念，注意二次项系数不为零；根据二次项系数不为零即可求解． 【详解】解：∵关于的方程（为常数）是一元二次方程， ∴， ∴； 故答案为：． 【变式2】若是关于的一元二次方程，则的值为 ． 【答案】3或 【分析】本题考查一元二次方程，只有一个未知数，且未知数最高次数为 2 的整式方程叫做一元二次方程． 根据一元二次方程的定义，可知，由此即可求得m的值． 【详解】解：由题意可知，， 解得或． 故答案为：3或． 【变式3】关于的方程是一元二次方程，则的值为的 ． 【答案】 【分析】本题考查利用一元二次方程概念求参数，根据一元二次方程概念得到，求解，即可解题． 【详解】解：关于的方程是一元二次方程， ，， 解得，， 综上，， 故答案为：． 题型03 一元二次方程的一般形式 【典例1】方程化为一元二次方程的一般形式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程的一般形式，首先利用单项式乘以多项式把等号左边展开，然后移项，把等号右边化为，再化简即可．解题的关键是掌握：任何一个关于的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式，这种形式叫一元二次方程的一般形式． 【详解】解：， ，即， ∴， ∴方程化为一元二次方程的一般形式是． 故选：A． 【变式1】将方程化成一元二次方程的一般形式后，它的二次项系数，一次项系数和常数项分别是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式：，其中a，b，c是常数，且，分别方程的是二次项系数，一次项系数和常数项；把方程化为一元二次方程的一般形式，据此即可求解． 【详解】解：方程化为一元二次方程的一般形式为：，则二次项系数，一次项系数和常数项分别是； 故选：B． 【变式2】方程化为一般形式后，一次项系数和常数项分别为（   ） A．1和3 B．1和 C．3和 D．3和4 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的一般式，根据进行判定即可求解． 【详解】解：根据题意，移项整理得，， ∴一次项系数和常数项分别为3和． 故选：C ． 【变式3】将一元二次方程化为一般形式后二次项系数为5，常数项为，则一次项系数是（   ） A．5 B． C．4 D． 【答案】B 【分析】此题考查了一元二次方程的一般形式．根据一元二次方程化成一般形式进行解答即可． 【详解】解：将一元二次方程化成一般形式后，常数项为，一次项系数为， 故选：B． 题型04 一元二次方程的解求参数的值 【典例1】已知关于的一元二次方程的一个根为，则的值为 ． 【答案】4 【详解】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．把代入一元二次方程得到，然后解关于m的方程即可． 【分析】解：把代入得， 解得， 故答案为：4． 【变式1】已知关于x的方程的一个根为，则 ． 【答案】 【分析】本题考查的是一元二次方程根的含义，掌握以上知识是解题的关键．把代入原方程求． 【详解】解：把代入原方程： ， ， 故答案为：． 【变式2】关于x的一元二次方程的一个根是1，则k的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，根据题意得出，解方程即可得解，熟练掌握一元二次方程的解的定义是解此题的关键． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程的一个根是1， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式3】已知一元二次方程有一个根为4，则m为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了一元二次方程根的定义，把代入一元二次方程，得到关于m的方程，即可求出m的值． 【详解】解：一元二次方程有一个根为4， ， 解得， 故答案为：2． 题型05 一元二次方程的解求代数式的值 【典例1】若a是方程的一个根，则的值为 ． 【答案】2024 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，求代数式的值，利用整体代入思想解答是解题的关键． 根据一元二次方程的解的定义可得，，然后代入计算，即可求解． 【详解】解：∵a是方程的一个根， ∴， ∴，， ∴ 故答案为：2024． 【变式1】若m是方程的一个实数根，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，据此把代入原方程中可得，再根据即可求出答案． 【详解】解：∵m是方程的一个实数根， ∴， ∴， ∴ ， 故答案为：． 【变式2】如果是一元二次方程的解，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 利用一元二次方程解的定义得到，再利用整体代入的方法计算即可． 【详解】解：是一元二次方程的解， ， ， ， 故答案为：． 【变式3】已知m为方程的根，那么的值为 ． 【答案】0 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，代数式求值，一元二次方程的解是使方程两边相等的未知数的值，则，进而可得，，进一步可得，再把所求式子变形为，据此求解即可． 【详解】解：∵m为方程的根， ∴， ∴，， ∴， ∴ ， 故答案为：0． 题型06 一元二次方程的解的估算 【典例1】如果是方程的一个根，根据下面表格中的取值，可以判断 ． 1.2 1.3 1.4 1.5 0.36 0.75 【答案】 1.3 1.4 【分析】观察表格可知，随的值逐渐增大，的值在之间由负到正，故可判断时，对应的的值在之间． 【详解】解：根据表格可知，时，对应的的值在之间， 即：． 故答案为：1.3，1.4． 【变式1】根据下表得知，方程的一个近似解为 （精确到0.1） x … … … 0.56 1.25 1.96 … 【答案】 【分析】看0在相对应的哪两个的值之间，那么近似根就在这两个对应的的值之间． 【详解】解：， 当时，随增大而减小， 根据表格得，当时，，即， ∵0距近一些， ∴方程的一个近似根是， 故答案为：． 【变式2】探索一元二次方程的一个正数解的过程如表： x 0 1 2 3 4 5 13 23 可以看出方程的一个正数解应界于整数a和整数b之间，的值为 ． 【答案】3 【分析】观察图表，确定的值为0时的范围，然后确定对应的的范围，进而可得结果． 【详解】解：由图表可知，， ∴对应的的范围为， ∴，， ∴， 故答案为：3． 【变式3】根据表格对应值： 0 1 2 0.84 2.29 3.76 判断关于x的方程的一个解x的范围是 ． 【答案】 【分析】结合表格可知：当时，；当时，；所以方程的一个解x的范围为：． 【详解】解：由表格可知： 当时，； 当时，； ∴方程的一个解x的范围为：． 故答案为：． 一、单选题 1．（25-26八年级下·江苏苏州·阶段检测）下列方程中是关于x的一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一元二次方程的定义判断，一元二次方程需满足三个条件：只含一个未知数，未知数的最高次数为2，是整式方程，逐个验证选项即可． 【详解】解：∵选项A：中未知数的最高次数为1，是一元一次方程，∴A不符合要求； ∵选项B：未说明，当时，方程不是一元二次方程，∴B不符合要求； ∵选项C：只含一个未知数，未知数的最高次数为2，且是整式方程，符合一元二次方程的定义，∴C符合要求； ∵选项D：含有两个未知数，是二元一次方程，∴D不符合要求． 2．（25-26八年级下·浙江宁波·期末）将一元二次方程化为一般形式，正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】一元二次方程的一般形式为，只需展开原式，移项合并同类项即可得到结果 【详解】解：原方程为， ∵展开方程左边，得， 合并同类项得， 移项整理为一般形式，两边同乘得 3．（25-26八年级下·安徽马鞍山·期末）一元二次方程的一次项系数是（     ） A．1 B．2 C．3 D． 【答案】D 【分析】一元二次方程一般形式中，是二次项系数，是一次项系数，是常数项，根据定义即可解答． 【详解】解：∵一元二次方程为，对应一般形式可得， ∴一次项系数为． 4．（25-26八年级下·安徽合肥·期末）若关于x的方程的一个根为，则实数a的值为（） A． B． C．1 D．4 【答案】C 【分析】本题利用方程根的定义求解，将已知根代入原方程，得到关于的一元一次方程，求解即可得到的值． 【详解】解：∵是方程的根， ∴将代入原方程得：， 化简得， 解得． 5．（25-26九年级上·广东佛山·期末）根据下列表格，判断一元二次方程（，、为常数）的一个解的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是一元二次方程与二次函数的关系，灵活运用函数值的符号变化是解题的关键．根据二次函数的函数值在时为负、时为正，进而判断出方程的一个解的取值范围． 【详解】解：当时，， 当时，， 当时，的值会从负变为正，即存在使得， 方程的一个解的取值范围是． 故选：． 二、填空题 6．（25-26九年级上·云南怒江·期中）把一元二次方程化成一般形式是_________． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式． 将方程左边展开，然后移项化为一般形式． 【详解】解：∵， ∴， 移项得． 故答案为：． 7．（25-26九年级上·江苏镇江·期末）将一元二次方程化成一般形式后，若二次项系数为1，则一次项系数是________． 【答案】2 【分析】本题考查一元二次方程的一般形式，将原方程化为一般形式，并通过乘以使二次项系数为1，从而得到一次项系数． 【详解】解：原方程为， 展开左边得， 移项得， 再乘以得 ， 此时二次项系数为1，一次项系数为2． 故答案为：2． 8．（25-26九年级上·福建厦门·期中）已知关于的一元二次方程有一个根为4，则的值为_____． 【答案】 【分析】此题考查已知一元二次方程的根求参数，将根代入一元二次方程，求出b的值 【详解】解：将代入方程， 得：， 即， 整理得， 解得， 故答案为： 9．（25-26九年级下·黑龙江·期中）已知关于的方程是一元二次方程，则的值为_____． 【答案】 1 【分析】根据方程的两边都是整式，只含有一个未知数，并且整理后未知数的最高次数是，二次项系数不为，像这样的方程叫做一元二次方程，据此解答即可． 【详解】解：方程是一元二次方程， ，且 ， 解得． 10．（25-26八年级下·江苏淮安·期末）如果a是方程的一个实数根，则的值为________． 【答案】2027 【分析】根据方程根的定义可推出，然后整体代入式子即可解答． 【详解】解：∵a是方程的一个实数根， ∴， ∴， ∴． 三、解答题 11．（25-26九年级上·全国·随堂练习）将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项． (1)． (2)． (3)． 【答案】(1)，二次项系数为3，一次项系数为，常数项为1 (2)，二次项系数为1，一次项系数为，常数项为6 (3)，二次项系数为2，一次项系数为3，常数项为 【分析】此题考查一元二次方程的一般形式，先将一元二次方程化为一般形式，根据各项确定答案： （1）先将一元二次方程化为一般形式，即可确定各项； （2）先将一元二次方程化为一般形式，即可确定各项； （3）先将一元二次方程化为一般形式，即可确定各项； 【详解】（1）解：整理，得， 故二次项系数为3，一次项系数为，常数项为1． （2）整理，得， 故二次项系数为1，一次项系数为，常数项为6． （3）整理，得， 故二次项系数为2，一次项系数为3，常数项为． 12．（25-26九年级上·全国·随堂练习）若关于x的方程是一元二次方程，求m的值． 【答案】3 【分析】此题考查一元二次方程的定义，只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程即为一元二次方程，根据定义列方程求出答案 【详解】解：由一元二次方程的定义可知， 由①得． 由②得， 所以． 13．（26-27九年级·江苏·暑假作业）定义：方程是一元二次方程的倒方程，其中a，b，c为常数（且，）．根据此定义解决下列问题： (1)一元二次方程的“倒方程”是______； (2)若是一元二次方程的“倒方程”的解，求出的值； (3)若是一元二次方程的“倒方程”的一个实数根，则的值为_____． 【答案】(1) (2) (3)2025 【分析】（1）根据新定义的含义可得答案； （2）根据题意得到方程的倒方程为，把代入即可得到c的值； （3）根据题意得到方程的倒方程为，再结合方程根的定义得到，得到，然后整体代入求解即可． 【详解】（1）解：根据新定义，方程的倒方程是：； （2）解：由题知，方程的倒方程为， 将代入此方程得，， 解得； （3）解：由题知，一元二次方程的倒方程是， ∵m是此方程的一个实数根， ∴， ∴， ∴． 14．（25-26九年级上·山西吕梁·阶段检测）阅读与思考： 下面是小华求一元二次方程的近似解的过程． 如图，这是一张长、宽的矩形纸板，将纸板四个角各剪去一个同样大小的正方形，可制成一个底面积是的无盖长方体纸盒．小华在做这道题时，设剪去的正方形边长为，列出关于x的方程，整理得．    他想知道剪去的边长到底是多少，下面是他的探索过程． 探索方程的解： 第一步： x 0 1 2 17 9 因此：____________． 第二步： x 1.5 1.6 1.7 1.8 0.75 0.36 因此：____________. （1）请你帮助小华完成表格中未完成的部分，并写出x的范围； （2）通过以上探索，请直接估计出x的值．（结果保留一位小数） 【答案】（1），，，，（2） 【分析】 （1）第一步: 代入及, 可求出的值, 进而可得出;第二步: 根据及时, 的值，进而可得出； （2）由的结论, 可得出的值约为. 【详解】 解：（1）第一步: 当时, ， 当时, , ∴； 第二步: 当时,， 当时,， ∴ . 故答案为：，，，； （2）通过以上探索,的值约为. 一、单选题 1．（25-26八年级下·安徽六安·阶段检测）把一元二次方程化成一般式，则a，b，c的值分别是（     ） A．4，1，3 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程一般式的概念，解题思路是将原方程展开，移项合并同类项整理为一般形式，即可对应得到，，的值． 【详解】解：把一元二次方程化成一般式：， 对比一般式，可得，，． 2．（25-26九年级下·河南驻马店·期中）已知是的一个根，则m的值为（   ） A．2 B． C．3 D． 【答案】A 【分析】将代入方程得到关于m的方程求解即可． 【详解】解：∵是的一个根， ∴，解得：． 3．（25-26九年级下·山东威海·期中）下列关于x的方程： ①；②；③；④；⑤，⑥，其中一元二次方程的是（     ） A．①②④ B．②④⑥ C．①③④ D．①④⑥ 【答案】B 【分析】本题根据一元二次方程的定义判定，一元二次方程需满足三个条件：是整式方程，只含一个未知数，未知数最高次数为2且二次项系数不为0，逐个验证每个方程即可得出结果． 【详解】解：①，由于题目未规定，当时方程不是二次方程，则①不是一元二次方程； ②展开整理得：，则②是一元二次方程； ③是分式方程，不是整式方程，则③不是一元二次方程； ④，由于，则，则④是一元二次方程； ⑤是无理方程，不是整式方程，则⑤不是一元二次方程； ⑥，满足一元二次方程所有定义条件，则⑥是一元二次方程； 综上所述，②④⑥是一元二次方程． 4．（25-26八年级下·安徽阜阳·期末）若是关于的方程的一个根，则的值是（     ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 【答案】B 【分析】先根据方程根的定义得到，再将所求代数式变形后整体代入计算即可． 【详解】解：∵ 是关于的方程的一个根， ，即， ． 5．（25-26八年级下·山东青岛·期中）根据下列表格x与的对应值，对一元二次方程的根，下列说法错误的是（） x 0 1 0 A．方程有一根为1 B．方程有一根的取值范围是 C．方程有一根为 D．方程有两个不相等的实数根 【答案】C 【详解】解：∵当时，， ∴方程有一根为，故A正确，不符合题意． ∵当时，，当时，， ∴在之间存在使，即方程有一根的取值范围是，故B正确，不符合题意． 由上述推导仅能得到根在范围内，无法确定根一定是，故C错误，符合题意． ∵方程已有一根为，另一根在，两根不相等， ∴方程有两个不相等的实数根，故D正确，不符合题意． 二、填空题 6．（25-26九年级下·湖南永州·单元复习）把一元二次方程化为一般形式为______________________ 【答案】 【详解】解：， ∴， ∴. 7．（25-26八年级下·浙江舟山·期中）若关于x的一元二次方程有一个根为0，则m的值是 _____ ． 【答案】1 【分析】先将根代入方程得到的可能取值，再根据一元二次方程二次项系数不为零的要求，排除不符合条件的解，即可得到的值 【详解】解： 关于的一元二次方程有一个根为， 将代入方程得 ， 解得或， 又 一元二次方程的二次项系数不能为，即， 得， 8．（25-26八年级下·安徽阜阳·阶段检测）若关于的方程是一元二次方程，则________． 【答案】 【分析】根据一元二次方程的定义，未知数最高次数为2，且二次项系数不为0，据此列方程与不等式求解即可． 【详解】解：∵关于的方程是一元二次方程 ∴ 由得：或 解得或 由，∴ ∴． 9．（2026·四川成都·一模）已知a是一元二次方程的一个根，则的值为_____________． 【答案】2 【分析】用a代替一元二次方程中的x，可得，把展开，化成，整体代入计算即可． 【详解】解：∵a是一元二次方程的一个根， ∴， ∴， ∴ ． 10．（25-26八年级下·安徽阜阳·阶段检测）数学家笛卡尔为了解决一元二次方程在实数范围内无解的问题，引进虚数单位i，规定．形如（，为实数）的数统称为复数，当时，称为虚数；当时，称为实数． （1）化简________； （2）关于的一元二次方程有一个根是，其中，是实数，则________． 【答案】 5 4 【分析】（1）利用乘法公式计算，结合规定化简求值 （2）将代入原方程，可得出，进而可得出，，解之可得出，的值，再将其代入中，即可求出结论． 【详解】解：（1）； （2）将代入得：， 整理得：， ，， ，， ． 三、解答题 11．（25-26九年级上·河南平顶山·阶段检测）把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项． 方程 一般形式 二次项系数 一次项系数 常数项 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：（a，b，c是常数且）．在一般形式中叫二次项，叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项． 先把一元二次方程化成一般式，然后根据二次项、一次项、常数项的定义解答即可． 【详解】解：把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项． 方程 一般形式 二次项系数 一次项系数 常数项 9 4 1 2 12．（25-26八年级下·全国·课后作业）将下列方程化成一元二次方程的一般形式，指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项 (1)； (2)关于x的方程． 【答案】(1)，二次项系数是2，一次项系数是0，常数项是0 (2)，二次项系数是，一次项系数是，常数项是 【分析】本题主要考查一元二次方程的一般形式，掌握一般形式是解本题的关键． （1）先去分母，再移项、合并同类项为，从而可得答案； （2）先移项，再合并同类项可得，从而可得答案． 【详解】（1） 解：去分母得：， 去括号得：， 移项、合并同类项得：， 二次项系数是2，一次项系数是0，常数项是0； （2） 移项、合并同类项得：， 二次项系数是，一次项系数是，常数项是． 13．（25-26九年级上·全国·单元测试）小贝在做“一块矩形铁片，面积为，长比宽多，求铁片的长”时是这样做的：设铁片的长为，列出的方程为，整理，得小贝列出方程后，想知道铁片的长到底是多少下面是它的探索过程： 第一步：           所以 第二步：                          所以 ． (1)请你帮小贝填完空格，完成她未完成的部分． (2)通过以上探索，可以估计出矩形铁片的长的整数部分为多少十分位为多少 【答案】(1)见解析 (2)矩形铁片的长的整数部分为3，十分位为3 【分析】本题考查了求一元二次方程的近似解，解题的关键是掌握求一元二次方程近似解的方法和步骤． （1）分别计算当、、、时代数式的值，即可补充表格； （2）根据（1）中得出的x的取值范围，即可解答． 【详解】（1）解：当时，， 当时，， 当时，， 当时，， ∴补充表格如下： 第一步：           3 所以 第二步：                          所以 ． （2）解：由（1）可得：， ∴矩形铁片的长的整数部分为3，十分位为3． 14．（25-26九年级下·吉林长春·开学考试）问题：已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍． 解：设所求方程的根为y，则，所以，把代入已知方程， 得． 化简，得，故所求方程为． 这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”． 请用阅读材料提供的“换根法”求新方程（要求：把所求方程化为一般形式） (1)已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方程为______． (2)已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别比已知方程根小1，则所求方程为______． (3)已知关于x的一元二次方程（）有两个实数根，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查一元二次方程的根，一元二次方程的应用等知识，解题的关键是理解题目中给出的利用方程根的代换求新方程的方法，并应用“换根法”解决问题． （1）设所求方程的根为y，则，得到，然后代入求解即可； （2）设所求方程的根为y，则，得到，然后代入求解即可； （3）设所求方程的根为y，则，得到，然后代入求解即可． 【详解】（1）设所求方程的根为y，则， 所以 把代入，得． 化简得； （2）设所求方程的根是y，则，所以， 把代入方程，得， 化简，得； （3）设所求方程的根为y，则， 所以 把代入，得． 化简得． 15．（25-26九年级上·广东广州·期中）定义：如果关于x的一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“黄金方程”． (1)下列方程中：①；②；③，是黄金方程的为 （填序号）． (2)已知关于x的一元二次方程）是“黄金方程”，求代数式的最小值． 【答案】(1)①③ (2)4 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，由一元二次方程的解求参数，的最值，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． （1）根据黄金方程的意义，对3个方程逐一验证即可； （2）先根据黄金方程的意义，得出，代入后，配方求出最小值． 【详解】（1）解：， 移项，得， ，，， 所以， 所以是黄金方程； ，可化为， ，，， 所以， 所以不是黄金方程； ， ，，， 所以， 所以是黄金方程， 综上所述，①③是黄金方程， 故答案为：①③； （2）解：∵关于x的一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“黄金方程”， ∴由黄金方程的定义 ， 可知， x = − 1 是黄金方程的一个根， ∵关于x的一元二次方程是“黄金方程”， ∴是方程的根， ∴， ∴， ∴ 当时，有最小值4． 此时 ，符合题意． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题2.1一元二次方程的概念 内容总览 1.教学目标、教学重难点 知识点01一元二次方程的概念 知识点02一元二次方程的一般形式 2.知识清单 知识点03一元二次方程的解 题型01判断是否是一元二次方程 一元二次方程的概念 题型02利用一元二次方程的定义求参数 题型03一元二次方程的一般形式 3.题型精讲 题型04一元二次方程的解求参数的值 题型05一元二次方程的解求代数式的值 题型06一元二次方程的解的估算 基础白测 4.强化训练 能力提升 教学目标 教学重难点 1.理解一元二次方程的概念，掌握其一般形式x2+bx+c0(a0),能识别各项系 数。 教学目标 2.能根据实际问题中的等量关系列出一元二次方程，体会其作为刻画现实数量关系的 模型。 3.通过类比一元一次方程，理解方程思想在解决实际问题中的应用价值。 重点： 1.一元二次方程的概念及其一般形式的掌握，能准确识别二次项系数、一次项系数和 常数项。 教学重难点 2.从实际问题中抽象出一元二次方程模型，并能检验方程解的合理性。 教学难点： 1.准确将实际问题转化为数学语言，建立一元二次方程模型。 2.理解一元二次方程解的概念，并能在具体情境中验证方程解的合理性。 1/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 知识清单 知识点01一元二次方程的概念 定义：通过化简后，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（仁次）的整式方程，叫做一元 二次方程。 要点：识别一元二次方程必须抓住三个条件：(1)整式方程；(2)含有一个未知数；(3)未知数的最 高次数是2.不满足其中任何一个条件的方程都不是一元二次方程，缺一不可. 【即学即练】 1.下列方程是一元二次方程的有() 1 ①3x2-r=0:②ar2+bx+c=0(a≠0）：③3x+=0,④2x+y=1. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 2.若(m+)x+4x+4=0是关于x的一元二次方程，则m的值是 知识点02一元二次方程的一般形式 般地，任何一个关于x的一元二次方程，都能化成形如ax+bx+c=0(α≠0)，这种形式叫做一元二 次方程的一般形式.其中ax是二次项，a是二次项系数：bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项. 要点：(I)只有当a≠0时，方程ax2+bx+c=0才是一元二次方程； (2)在求各项系数时，应把一元二次方程化成一般形式，指明一元二次方程各项系数时注意不要漏掉 前面的性质符号. 【即学即练】 1.关于x的一元二次方程3x2-5x+2=0的二次项系数，一次项系数和常数项分别为() A.3,-5,-2 B.3,-5x,2 C.3,5x,-2 D.3,-5,2 2.把一元二次方程x(2x-l)=4x化成一般式，则a,b,c的值分别是() A.1,4,1B.2,-5,0C.3,4,0 D.-2,-5,1 2/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 知识点03一元二次方程的解 使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根. 【即学即练】 1.已知关于x的一元二次方程x2+3x-2m=0的一个根是x=1,则m的值为 2.若m是方程x2-2x-4=0的一个根，则代数式2025+2m2-4m的值为一 题型精讲 题型01判断是否是一元二次方程 【典例1】下列方程是一元二次方程的是() A.x2=2 B.x2+1=2 C.x2+2y=1 D.m2+2x=3 【变式1】下列方程是一元二次方程的是() A.x2-1=7 B.2x2-y-1=0 C.x2-2x+1=x2+5D.ax2+bx+c=0 【变式2】下列方程是一元二次方程的有() @3-X=0:②r+bs+e-0:③3x+0:@22-1=k-0x-2⑤5r-20x-7j=15r A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【变式3】关于x的方程：四a2+bx+c=0,②x-x=7,③3r2-4r+5=0?④2-1+2r=0其中 元二次方程的个数是() A.1 B.2 C.3 D.4 题型02利用一元二次方程的定义求参数 【典例1】若方程(k-2)州+2x+5=0是一元二次方程，则k的值是一 【变式1】若关于x的方程(m-l)r2-3x-1=0(m为常数)是一元二次方程，则m的取值范围为 【变式2】若xm-x-5=0是关于x的一元二次方程，则m的值为 3/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【变式3】关于x的方程(m-3)x7-x=5是一元二次方程，则m的值为的— 题型03 一元二次方程的一般形式 【典例1】方程x(x-5)=4x-10化为一元二次方程的一般形式是() A.x2-9x+10=0 B.x2-x+10=0 C.x2+9x-10=0 D.x2-x-10=0 【变式1】将方程5x2=6x-8化成一元二次方程的一般形式后，它的二次项系数，一次项系数和常数项分 别是() A.5,-6,-8 B.5,-6,8 C.6,-5,8 D.6,5,-8 【变式2】方程x2+4x-1=x+5化为一般形式后，一次项系数和常数项分别为() A.1和3 B.1和-6 C.3和-6 D.3和4 【变式3】将一元二次方程5x2-1=4x化为一般形式后二次项系数为5，常数项为-1，则一次项系数是 () A.5 B.-4 C.4 D.-1 题型04一元二次方程的解求参数的值 【典例1】已知关于x的一元二次方程x2-5x+p=0的一个根为x=1,则P的值为 【变式】己知关于x的方程)之-c+4=0的一个根为x=2:则k= 【变式2】关于x的一元二次方程x2-5x-2k=0的一个根是1，则k的值是 【变式3】已知一元二次方程x2-5x+2m=0有一个根为4，则为 题型05一元二次方程的解求代数式的值 【典例1】若a是方程x2-x-1=0的一个根，则-a+2a+2025的值为 【变式1】若m是方程2x2-3x-1=0的一个实数根，则2024-6m2+9m的值为 【变式2】如果x=1是一元二次方程ax2+2bx-1=0的解，则2a+4b+2023= 4/11 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【变式3】已知为方程x2+3x-2025=0的根，那么m3+2m2-2028m+2025的值为 题型06一元二次方程的解的估算 【典例1】如果a是方程x2+x-3=0的一个根，根据下面表格中的取值，可以判断」 <a< 1.2 1.3 1.4 1.5 x2+x-3 -0.36 -0.01 0.36 0.75 【变式1】根据下表得知，方程x2+2x-10=0的一个近似解为x≈」 （精确到0.1) -4.1 -4.2 -4.3 -4.4 4.5 -4.6 y=x2+2x-10 -1.39 0.76 -0.11 0.56 1.25 1.96 【变式2】探索一元二次方程x2+3x-5=0的一个正数解的过程如表： 0 2 4 x2+3x-5 > -5 -1 23 可以看出方程的一个正数解应界于整数a和整数b之间，a+b的值为 【变式3】根据表格对应值： -1 0 1 2 ax2+bx+c -0.59 0.84 2.29 3.76 判断关于x的方程ax2+bx+c=2的一个解x的范围是一： 强化训练 基础自测 一、单选题 1.(25-26八年级下江苏苏州阶段检测)下列方程中是关于x的一元二次方程的是() 5/11 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.2x+3=4 B.ax2+bx+c=0 C.x2-mx-1=0 D.x+y=2024 2.(25-26八年级下浙江宁波期末)将一元二次方程2x-xx-3)=3化为一般形式，正确的是（) A.5x-x2=3B.x2-5x=-3 C.x2-5x+3=0D.5x-x2-1=0 3.(25-26八年级下·安徽马鞍山期末)一元二次方程x2-3x+2=0的一次项系数是（) A.1 B.2 C.3 D.-3 4.(25-26八年级下·安徽合肥期末)若关于x的方程ax2+2x+1=0的一个根为-1，则实数a的值为() A.-4 B.-1 C.1 D.4 5.(25-26九年级上广东佛山期末)根据下列表格，判断一元二次方程ar2+bx-2=0(a≠0，a、b为 常数)的一个解x的取值范围是() 6 ax2+bx-2 16 A.2<x<3 B.3<x<4 C.4<x<5 D.5<x<6 二、填空题 6.(25-26九年级上·云南怒江期中)把一元二次方程(x-)=9化成一般形式是 7.(25-26九年级上江苏镇江期末)将一元二次方程-x(x+2)=3化成一般形式后，若二次项系数为1， 则一次项系数是 8.(25-26九年级上福建厦门期中)已知关于x的一元二次方程x2+bx-8=0有一个根为4，则b的值为 9.(25-26九年级下黑龙江期中)己知关于x的方程(k+1)x1-3x+1=0是一元二次方程，则k的值为 10.(25-26八年级下江苏准安期末)如果a是方程x2-2x-1=0的一个实数根，则a2-2a+2026的值为 三、解答题 11.(25-26九年级上·全国随堂练习)将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系 数、一次项系数和常数项. (1)3x2=5x-1. 6/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)(x-3)2=x+3 (3)(2x-I0x+5)=6x 12.(25-26九年级上全国随堂练习)若关于x的方程m+3)x+2(m+3)x-5=0是一元二次方程，求 l的值。 13.(26-27九年级江苏·暑假作业)定义：方程cx2+bx+a=0是一元二次方程ax2+bx+c=0的倒方程， 其中a,b,c为常数（且a,c≠0），根据此定义解决下列问题： ()一元二次方程42+3x+1=0的“倒方程”是一： (2)若x=-1是一元二次方程x2-2x+c=0的“倒方程”的解，求出C的值 (3)若m是一元二次方程-6x2+x+1=0的“倒方程”的一个实数根，则m3+m2-6m+2025的值为， 14.(25-26九年级上山西吕梁·阶段检测)阅读与思考： 下面是小华求一元二次方程的近似解的过程 如图，这是一张长8cm、宽6cm的矩形纸板，将纸板四个角各剪去一个同样大小的正方形，可制成一个底 面积是I2cm的无盖长方体纸盒.小华在做这道题时，设剪去的正方形边长为xcm,列出关于x的方程 (8-2x)(6-2x)=12,整理得x2-7x+9=0. 他想知道剪去的边长到底是多少，下面是他的探索过程. 探索方程的解： 第一步： -1 0 x2-7x+9 17 9 因此： <x< 第二步： 1.5 1.6 1.7 1.8 x2-7x+9 0.75 0.36 -0.01 -0.36 因此： <x< (1)请你帮助小华完成表格中未完成的部分，并写出x的范围： 7/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)通过以上探索，请直接估计出x的值.（结果保留一位小数） 能力提升 一、单选题 1,(25-26八年级下·安徽六安阶段检测)把一元二次方程x(4x-1)=2x+3化成一般式，则a,b,c的值 分别是() A.4,1,3 B.4,-3,-3 C.4,-2,3 D.1,-3,-3 2.(25-26九年级下·河南驻马店期中)已知x=1是x2-3x+m=0的一个根，则m的值为() A.2 B.-2 C.3 D.-3 3.(25-26九年级下山东威海·期中)下列关于x的方程： ①x+br+e=0:@3-9叭-(+1旷=1：®x+3=:@d+l)2-a=0:回r中-x-1© x2=-10,其中一元二次方程的是（) A.①②④ B.②④⑥ C.①③④ D.①④⑥ 4.(25-26八年级下·安徽阜阳期末)若a是关于x的方程3x2-x-1=0的一个根，则2026-6a2+2a的值是 () A.2023 B.2024 C.2025 D.2026 5.(25-26八年级下山东青岛期中)根据下列表格x与ax2+bx+c的对应值，对一元二次方程 ax2+bx+c=0的根，下列说法错误的是() -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 ax2+bx+c 0.43 0.09 -0.2 0.33 -0.43 -0.44 -0.37 -0.23 0 0.31 A.方程有一根为1 B.方程有一根的取值范围是0.4<x<0.2 C.方程有一根为0.33 D.方程有两个不相等的实数根 8/11 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 二、填空题 6.(25-26九年级下湖南永州单元复习)把一元二次方程x(2x-1)=x-3化为一般形式为 7. (25-26八年级下·浙江舟山期中)若关于x的一元二次方程(m+1)x2+x+m2-1=0有一个根为0，则m 的值是 8.(25-26八年级下安徽阜阳阶段检测)若关于x的方程(m-3)x+2x-5=0是一元二次方程，则m= 9. (2026四川成都一模)己知a是一元二次方程2x2+5x-1=0的一个根，则(a+31-2@的值为 10.(25-26八年级下·安徽阜阳·阶段检测)数学家笛卡尔为了解决一元二次方程x2=-1在实数范围内无 解的问题，引进虚数单位i,规定P=-1.形如a+bi(a,b为实数)的数统称为复数，当b≠0时，称 a+bi为虚数；当b=0时，称a+bi为实数. (1)化简(2+)(2-)= (2)关于x的一元二次方程x2+mx+n=0有一个根是3-i,其中m,n是实数，则m+n= 三、解答题 11.(25-26九年级上·河南平顶山阶段检测)把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次 项系数、一次项系数和常数项 般形 方程 二次项系数 次项系数 常数项 式 (3x+1)}-2x=0 3x2-2x=x2+1 二次项系 方程 般形式 次项系数 常数项 数 (3x+1)2-2x=0 9x2+4x+1=0 9 4 1 3x2-2x=x2+1 2x2-2x-1=0 2 -2 -1 9/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 12.(25-26八年级下·全国课后作业)将下列方程化成一元二次方程的一般形式，指出它们的二次项系数、 一次项系数和常数项 ⑩+1-1 32 2 (2)关于x的方程mx2-nx+mx+x2=g-p(m+n≠0) 13.(25-26九年级上·全国单元测试)小贝在做“一块矩形铁片，面积为1，长比宽多3，求铁片的长” 时是这样做的：设铁片的长为x,列出的方程为x(x-3)=1,整理，得x2-3x-1=0.小贝列出方程后，想 知道铁片的长到底是多少·下面是它的探索过程： 第一步： 1 2 x2-3x-1 -3 -3 所以<x<」 3 第二步： x 3.1 3.2 3.3 3.4 x2-3x-1 -0.36 -0.69 所以<x< (1)请你帮小贝填完空格，完成她未完成的部分 (②)通过以上探索，可以估计出矩形铁片的长的整数部分为多少？十分位为多少？ x 2 3 4 x2-3x-1 -3 -3 -1 3.1 3.2 3.3 3.4 x2-3x-1 -0.69 -0.36 -0.01 0.36 14. (25-26九年级下·吉林长春·开学考试)问题：已知方程x2+x-1=0,求一个一元二次方程，使它的 根分别是已知方程根的2倍。 解：设所求方程的根为，则y=2,所以=之，把=号代入已知方程， 10/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 +-10 化简，得y+2y-4=0,故所求方程为y2+2y-4=0, 这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”. 请用阅读材料提供的“换根法”求新方程（要求：把所求方程化为一般形式） (1)已知方程x2+3x-1=0,求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方程为 (2)已知方程x2+3x-1=0,求一个一元二次方程，使它的根分别比已知方程根小1，则所求方程为 (3)已知关于x的一元二次方程x-mx+n=0(n≠0)有两个实数根，求一个一元二次方程，使它的根分 别是己知方程根的倒数. 15.(25-26九年级上广东广州期中)定义：如果关于x的一元二次方程+br+c=0(a≠0)满足 a-b+c=0,那么我们称这个方程为“黄金方程”· (1)下列方程中：①x'-1:②(x-1x+2)=0,③x2-2x-3=0,是黄金方程的为（填序号）. (②)已知关于x的一元二次方程2x2+bx+c=0(c≠0)是“黄金方程”，求代数式b2-2c+1的最小值. 11/11