1.1 反比例函数的概念（教学设计）数学新教材苏科版九年级上册

该初中数学教学设计聚焦反比例函数的概念，涵盖反比例关系判定、定义及三种表达式（一般式、乘积式、幂式），通过回顾函数与一次函数知识，以“围矩形”“购买大豆”等情境引导学生发现变量乘积为定值，搭建旧知到新知的学习支架。 此资料以情境驱动抽象，如“围矩形面积24”让学生感知“积为常数”培养抽象能力，对比正比例函数辨析定义发展推理意识，通过表达式互化、拉面长度与横截面积关系建模强化模型观念。助力学生理解本质，提升教师教学效率与课堂互动性。

1.1 反比例函数的概念 教学设计 1.教学内容 本课选自苏科版九年级下册 第一章《反比例函数》1.1 反比例函数的概念。核心知识点： 1.反比例关系的判定——两变量乘积恒为常数 ，可表示为 ； 2.反比例函数的定义、三种常用表达式：（一般式）、（乘积式）、（幂式）； 3.由实际问题建立 型函数模型。 2.内容解析 本节以“矩形周长一定”“匀速行驶”等熟悉场景切入，引出“两个变量乘积为定值”的数量关系，借助类比正比例函数“商为定值”完成概念迁移，形成“反比例关系—反比例函数”两级概念链。核心在于：①从具体问题抽象出 ；②理解 满足“每一个都唯一确定 ”，因而构成函数；③掌握三种等价形式并进行互化；④能回到情境，完成模型建构。通过“真伪判断—表达式转化—案例建模—对比归纳”四步活动，突出“积为常数”这一本质属性，培养学生的函数思想与建模意识。 1.教学目标 •理解反比例关系的含义，能判断两个变量是否具有反比例关系。 •掌握反比例函数的概念，能判断给定函数是否为反比例函数。 •能根据实际问题列出形如 的函数表达式。 2.目标解析 • 通过“情境描述—数表探究—乘积计算”让学生发现 恒定的特征；达成标准：能用“乘积是否为定值”判断关系。 • 借助函数定义与指数知识，掌握 是函数且 ；达成标准：能对给出的四类式子准确判别并化为一般式。 • 通过“公路建设、水池注水”等案例，指导学生从已知定量关系推出 ；达成标准：能独立完成情境建模并说明 的意义。 3.重点难点 • 教学重点：反比例函数定义及三种等价形式的理解与互化。 • 教学难点：从实际情境抽象出“乘积恒定”并建立 模型；正确限定自变量 的取值范围。 九年级学生已具备一次函数、正比例函数及简单方程、代数式变形基础，对“函数”概念有初步体验。优势：能利用列表、画图探究变量关系；易于发现“一个变大另一个变小”的直观特征。瓶颈： 1.难以将口头的“成反比例变化”准确转化为 ； 2.容易忽视 的取值限制；3. 对三种表达式互化、特别是含参数式子的判定与建模，操作不够熟练。教学中需通过情境体验、对比归纳、多元练习，帮助学生突破抽象概念与实际建模两大难点，培养函数思想与符号感。 创设情景，引入新课 知识回顾： 教师提问：什么叫函数？我们学过哪一类函数？是怎样描述的？ 学生回答： 在一个变化过程中有两个变量x和y，如果对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与它对应，那么称y是x的函数，x是自变量．对于自变量x的每一个取值，函数y的对应值称为函数值． 学习过一次函数，一般地，形如y＝kx＋b( k，b为常数，k≠0)的函数叫做一次函数，其中x是自变量，y是x的函数． 情景引入 用铁丝围一个面积为 24 的矩形，矩形相邻的两边长分别为a cm和b cm，a与b之间有怎样的关系？ 解:这个矩形的相邻两边长的乘积是定值． 如图，当一边变大时，邻边变小；当一边变小时，邻边变大． 无论边长怎样改变，一定有ab＝24． 【设计意图】以生活化的“围矩形”情境，引导学生观察“一变大、一变小”的现象，通过旧知迁移（一次函数）激活经验；明确学习目标，激发学习兴趣并凸显探究方向。 探究点1：反比例关系的识别 1.尝试思考 在生活中，两个变量的乘积为定值的情境普遍存在，你能举几个例子吗？ 用80元购买大豆，购买的质量 y (kg)与大豆的价格 x (元/kg)的乘积是定值． 解：xy＝80 总价一定时，单价越高，购买的质量越少；单价越低，购买的质量越多． 2.新知归纳 一般地，如果两个变量 x 和 y 满足xy＝k (k为常数，k≠0)，那么就说这两个变量具有反比例关系． 【设计意图】通过丰富实例让学生亲历“发现—归纳”过程，体会“积为常数”的本质特点，为函数概念奠基。 探究点2：反比例函数的概念 1.尝试交流 判断下列问题中的两个变量是否具有反比例关系，并用一个变量表示另一个变量． (1) 计划修建一条长为 500 km的高速公路，完成该项目的天数 y (天)与平均工作效率 x (km/天)之间的关系； 解： (2) 向容积为 2500的水池内注水，注满水池所需时间 t (h)与注水平均速度 v (/h)之间的关系； 解：(2) 是反比例关系，vt＝2500． (3) 两个实数m与n的乘积为－200，m 与 n 之间的关系． 解：(3) 是反比例关系，mn＝－200． 2.讨论交流 ，vt＝2500，mn＝－200 共同特征：① 上述问题中两个变量之间都有反比例关系； ② 都可以写成y＝( k为非零常数)的形式，其中y随x的变化而变化，每一个 x(x≠0)的值都有唯一的y的值与它对应．因此，y可以看作是x的函数． 3.知识归纳： 一般地，形如 y＝（k为常数，k≠0）的函数叫作反比例函数（inverse proportional function），其中 x 是自变量，y 是 x 的函数． 反比例函数的自变量 x 的取值范围是不等于0的一切实数． 【设计意图】突出“关系”与“函数”区别，引导学生完成数学抽象，突破概念形成的关键难点。 探究点3：定义的应用与等价形式 1典例分析 例1 下列等式中的y是x的反比例函数吗？如果是，把它写成 y＝k/x 的形式，并指出k的值． （1）xy＝4；（2）x＝－；（3）y＝2；（4）y＝－ ． 解：(1) 是反比例函数，y＝ ，k＝4； (2) 是反比例函数，y＝－ ，k＝－5； (3) 是反比例函数，y＝ ，k＝2； (4) 不是反比例函数． 【新知归纳】反比例函数表达式有三种等价形式： （1）一般式：y＝（k为常数，k≠0）. （2）乘积式：xy＝k（k为常数，k≠0）. （3）负整数指数幂的形式：y＝（k为常数，k≠0）. 2.讨论交流 讨论：反比例函数与正比例函数有哪些区别和联系？ 3.例题精讲 例2 用函数表达式表示下列问题中两个变量之间的关系，并判断它们是否为反比例函数． （1）体积为 100 的圆锥，高 h（cm）随底面面积 S（）的变化而变化； （2）体积为 100 的圆锥，高 h（cm）随底面半径 r（cm）的变化而变化． 解:（1），满足 ， 是 的反比例函数； （2） ，分母中 次数为 ，不符合 的一次幂在分母，故 不是 的反比例函数。 【设计意图】通过同源不同形的两问，引导学生关注“自变量指数是否为 ”这一关键条件，形成正确判断标准。 1．下列等式中的y是x的反比例函数吗？如果是，把它写成 y＝k/x 的形式，并指出 k 的值． （1）＝； （2）xy＝－． 解：(1) 不是反比例函数； (2) 是反比例函数，y＝－ ，k＝－． 2．用函数表达式表示下列问题中两个变量之间的关系，并判断它们是否为反比例函数． (1) 三角形的一边长为5 ，该三角形的面积y随这边上的高x的变化而变化； (2) 某村有耕地 200 ，该村人均耕地面积 y () 随人口数 x (人)的变化而变化； (3) 一个物体重120 N，该物体对地面的压强 p (Pa) 随它与地面的接触面积S()变化而变化． 解：(1) y＝，不是反比例函数； (2) y＝，是反比例函数，k＝200； (3) p＝，是反比例函数，k＝120． 能力提升 1．将一定体积的面团做成粗细均匀的拉面，拉面的总长度y(cm)可以看作是拉面横截面面积x(cm²)的反比例函数，部分对应数值如下表所示． 根据上述数据，求 y (cm) 关于 x () 的函数表达式． 解：由表格可知，12000×0.01＝6000×0.02＝4000×0.03＝3000×0.04＝120 所以，y关于x的函数表达式为y＝ ． 2．请大家举两个可以用反比例函数来描述的实际例子． 解：(1)当圆柱的体积是常数V时，其底面积S与高h之间的关系； (2)杨树乡共有耕地面积S(单位：hm²)，该乡人均耕地面积y(单位：hm²)与全乡总人口x(人)的关系． 3．已知函数y＝(m－2)． (1) 若y是x的正比例函数，求m的值；(2) 若y是x的反比例函数，求m的值． 解：(1) ∵函数y＝(m－2)是正比例函数， ∴＝1，m－2≠0，解得m＝－2． (2) ∵ 函数y＝(m－2)是反比例函数， ∴ ＝－1，m－2≠0，解得m＝±． 【设计意图】紧扣课堂核心概念“反比例函数的三种等价形式”，让学生在辨析—转化中进一步巩固。 主板书 1.1 反比例函数的概念 探究点1 反比例关系的识别 探究点 2 反比例函数的概念 探究点3 定义的应用与等价形式 课堂小结 副板书 例题 学生练习板演 课后习题练习。 学科网（北京）股份有限公司 $