专题1.3 用反比例函数解决问题（举一反三讲义）数学新教材苏科版九年级上册

本讲义聚焦用反比例函数解决实际问题这一核心知识点，梳理了从实际问题中抽象函数关系式、分析函数图象，到物理力学、工程行程等领域应用的完整脉络，通过题型归纳、知识点解析及例题变式构建学习支架。 该资料亮点在于题型覆盖全面，结合杠杆原理、利润计算等真实情境，培养学生用数学眼光观察现实世界。例题与变式设计层层递进，提升推理能力，表格图象分析强化数据意识与模型意识，课中辅助教学，课后助力学生查漏补缺。

专题1.3 用反比例函数解决问题（举一反三讲义） 【新教材苏科版】 题型归纳 【题型1 实际问题中的反比例函数关系式】 1 【题型2 实际问题中的反比例函数图象】 4 【题型3 物理力学、热学、电学中的反比例函数的应用】 7 【题型4 工程工作类反比例函数的应用】 13 【题型5 行程问题类反比例函数的应用】 16 【题型6 经济生活类反比例函数的应用】 20 【题型7 表格类反比例函数的应用】 23 【题型8 方案设计类反比例函数的应用】 27 【题型9 反比例函数与一次函数的综合实际应用】 34 知识点 利用反比例函数解决问题 1. 反比例函数中，自变量x的取值范围是非零实数，但是在实际问题中要根据具体情况与实际意义来确定自变量的取值范围．考点 用反比例函数解决问题 2. 常见反比例关系举例 （1）矩形面积S一定时，长y与宽x的函数表达式为； （2）菱形面积S一定时，一条对角线长y与另一条对角线长x的函数表达式为； （3）压力F一定时，压强p与受力面积S的函数表达式为； （4）电压U一定时，电流I与电阻R的函数表达式为； （5）汽车油箱内汽油量L一定时，行驶时间t与平均油耗n的函数表达式为．. 【题型1 实际问题中的反比例函数关系式】 【例1】（2025·浙江·三模）某数学项目化学习小组在研究沪杭高铁不同车次的平均运行速度（）和运行时间t（）之间的关系时，上网查阅了相关资料．下表是他们收集的数据： 车次 G7506 G7382 G1866 G7492 （单位：） t（单位：） 1 则最符合下与t之间的关系式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据沪杭高铁之间的距离是定值，结合，判定与t是成反比例函数的，计算出定值即可． 本题考查了反比例函数的生活应用，熟练掌握反比例函数的应用是解题的关键． 【详解】解：沪杭高铁的总里程是固定的． 由得， 由得，， 根据表格中的数据可以计算出最符合与t之间的关系式是， 故选：A． 【变式1-1】港珠澳大桥全长近55km，汽车行驶完全程所需的时间t（h）与行驶的平均速度v（km/h）之间的关系式为_________． 【答案】 【分析】依据行程问题中的关系：时间=路程÷速度，即可得到汽车行驶完全程所需的时间t（h）与行驶的平均速度v（km/h）之间的关系式． 【详解】解：∵大桥全长近55km， ∴汽车行驶完全程所需的时间t（h）与行驶的平均速度v（km/h）之间的关系式为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了函数关系式，用来表示函数关系的等式叫做函数解析式，也称为函数关系式． 【变式1-2】一批零件200个，一个工人每小时做10个，用关系式表示人数y(个)与完成任务所需的时间x(小时)之间的函数关系式为_______． 【答案】y＝ 【分析】根据等量关系“x个工人所需时间=工作总量÷x个工人工效”即可列出关系式． 【详解】解：由题意得：人数x与完成时间y之间的函数关系式为y=200÷10x=． 故答案为y=． 【点睛】此题考查了反比例函数在实际生活中的应用，找出等量关系是解决此题的关键． 【变式1-3】小瑞利用杠杆原理称药品质量（杠杆平衡时，动力×动力臂=阻力×阻力臂）：如图，当左盘药品为m克时，右盘砝码重20克；当左盘砝码重5克时，右盘药品为n克．则m与n满足的关系式为______．      【答案】 【分析】根据动力×动力臂=阻力×阻力臂，分别利用两幅图分别列式为，则，，则，即可得到答案． 【详解】解：如图，      由图1可得，则， 由图2可得，则， ∴， 故答案为： 【点睛】此题考查了反比例函数的应用，准确列出等式是解题的关键． 【题型2 实际问题中的反比例函数图象】 【例2】（2025九年级·全国·专题练习）甲、乙两地相距，则汽车由甲地行驶到乙地所用时间y（单位：h）与平均行驶速度x（单位：）之间的函数图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据实际意义，写出函数的解析式，根据函数的类型，以及自变量的取值范围即可进行判断． 【详解】解：根据题意可知时间与行驶速度之间的函数关系式为， ∴函数图象大致是B． 故选：B． 【点睛】本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是根据实际意义列出函数关系式从而判断它的图象类型，同时要注意自变量的取值范围． 【变式2-1】（2026·辽宁沈阳·一模）某个亮度可调节的台灯，其灯光亮度的改变，可以通过调节总电阻控制电流的变化来实现．如图所示的是该台灯的电流与电阻的关系图象，该图象经过点．根据图象可知，下列说法不正确的是（    ） A．当时， B．I与R的函数关系式是 C．当时，I的取值范围是 D．当时， 【答案】A 【分析】首先求出反比例函数关系式，然后逐项求解判断． 【详解】解：设I与R的函数关系式是， ∵该图象经过点， ∴， ∴， ∴I与R的函数关系式是，故B正确，不符合题意； 当时，，故D正确，不符合题意； ∵， ∴在第一象限，I随R增大而减小， ∴当时，，故A错误，符合题意； 当时，的取值范围是，故C正确，不符合题意． 【变式2-2】（25-26九年级上·河南郑州·期末）光敏电阻的阻值随光照射的强弱而改变．“光强”是表示光的强弱程度的物理量，照射光越强，光强越大，光强用符号表示，国际单位为坎德拉（）．实验（电路图为图①）测得光敏电阻的阻值与光强之间的关系如图②所示，若，下列说法错误的是（   ） A．光强越大，越小 B．该图象为反比例函数图象 C．光强越大，电路中的电流越大 D．当电流表显示时，光强 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的应用，关键是掌握反比例函数的性质． 利用反比例函数的性质进行解答． 【详解】解：根据题意可知，阻值与光强之间成反比例关系，故B正确； 根据反比例函数的图象可得光强越大，越小，故A正确； ，光强越大，越小， ∴光强越大，越小，电路中的电流越大，故C正确； 当电流表显示时，， ， 结合图象可得，此时光强，故D错误； 故选：D． 【变式2-3】为了响应“绿水青山就是金山银山”的号召，建设生态文明，某工厂自2019年1月开始限产进行治污改造，其月利润y（万元）与月份x之间的变化如图所示，治污完成前是反比例函数图象的一部分，治污完成后是一次函数图象的一部分，下列结论正确的是________．（填写编号即可） ①4月份的利润为50万元 ②治污改造完成后每月利润比前一个月增加30万元 ③治污改造完成前后共有4个月的利润低于100万元 ④9月份该厂利润达到200万元    【答案】①②④ 【分析】此题主要考查了一次函数与反比函数的应用，正确得出函数解析是解题关键．直接利用已知点求出一次函数与反比例函数的解析式进而分别分析得出答案即可． 【详解】解：①、设反比例函数的解析式为， 把代入得，， ∴反比例函数的解析式为：， 当时，， ∴4月份的利润为50万元，故正确，符合题意； ②、治污改造完成后，从4月到6月，利润从50万到110万，故每月利润比前一个月增加30万元，故正确，符合题意； ③、当时，则， 解得：， 则只有3月，4月，5月共3个月的利润低于100万元，故错误，不符合题意． ④、设一次函数解析式为：， 则， 解得：， 故一次函数解析式为：， 故时，， 则9月份该厂利润达到200万元，故正确，符合题意． 故答案为：①②④． 【题型3 物理力学、热学、电学中的反比例函数的应用】 【例3】（25-26八年级下·北京东城·期中）如图1．在左边托盘（固定）中放置一个重物，在右边托盘（可左右移动）中放置一定质量的砝码，可使得仪器左右平衡．改变托盘与点的距离，记录相应的托盘中的砝码质量，得到如下表： 托盘与点的距离 10 15 20 25 30 托盘中的砝码质量 30 20 15 12 10 (1)把表中x，y的各组对应值作为点的坐标，在如图所示的平面直角坐标系中描出这些点，并用一条光滑曲线连接起来； (2)观察所画的图象，猜测与之间的函数关系，求出该函数表达式； (3)当砝码质量为时，求托盘与点的距离； (4)当托盘向左移动时，为使得仪器在移动前后均保持左右平衡，托盘中的砝码质量需增加至移动前的两倍，求在移动前托盘中的砝码质量． 【答案】(1)见解析 (2) (3) (4) 【分析】（1）根据表格中的数据利用描点法画函数图象即可； （2）根据图象可得是关于的反比例函数，利用待定系数法求解即可； （3）当时，，求解即可； （4）设在移动前托盘中的砝码质量为，则在移动前托盘与点的距离为，根据当托盘向左移动时，为使得仪器在移动前后均保持左右平衡，托盘中的砝码质量需增加至移动前的两倍建立方程求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：根据图象可知是关于的反比例函数， 设， 将代入得， 解得， ∴； （3）解：在中，当时，， 解得， ∴当砝码质量为时，托盘与点的距离为； （4）解：设在移动前托盘中的砝码质量为， 由题意得，， 解得， ∴在移动前托盘中的砝码质量为． 【变式3-1】（2026·山西运城·一模）在校园科技节活动中，同学们自制了一套定量溶液稀释实验装置，用于探究溶液稀释规律．已知稀释过程中溶质质量保持不变，溶液浓度（单位：）与溶液体积（单位：）成反比例函数关系．实验测得：当溶液体积为时，浓度为． (1)求出与之间的函数关系式； (2)实验要求稀释后溶液浓度不得低于，那么稀释后溶液体积应不高于多少？ 【答案】(1) (2)当稀释后溶液浓度不低于时，溶液体积不高于 【分析】（1）根据反比例函数的定义设出函数关系式，将已知的、对应值代入，求出比例系数，从而确定函数关系式； （2）先根据反比例函数的单调性，结合浓度不低于的条件，求出对应的溶液体积，再根据函数的增减性判断体积的取值范围． 【详解】（1）解：设（）， 将代入上式，得， 解得， 与之间的函数关系式为； （2）解：当时，， ， 时，溶液浓度随溶液体积的增大而减少 所以，当稀释后溶液浓度不低于时，溶液体积不高于． 【变式3-2】（2026·河南·二模）如图1，取一根长的匀质木杆，用细绳绑在木杆上的中点处并将其吊起来．在点左侧处挂一个物体，在点右侧用一个弹簧测力计向下拉，使木杆处于水平状态．改变弹簧测力计与中点的距离（单位：），弹簧测力计的示数（单位：）也随之变化，下表记录了几组和的值． ．．． 1 2 4 ．．． ．．． 80 40 20 ．．． (1)求出关于的函数表达式（不写自变量取值范围），并在图2中直接画出函数图象； (2)已知杠杆原理：阻力阻力臂动力动力臂，即物体所受重力物体到点的距离对弹簧测力计的拉力弹簧测力计到点的距离，求点左侧所挂物体所受的重力； (3)若使弹簧测力计的示数不超过，则的取值范围为 ． 【答案】(1)，图像见解析 (2)点左侧所挂物体所受的重力为 (3) 【分析】（1）根据表格信息可得，进一步可得解析式，再描点画图即可； （2）设重力为，可得，进一步可得答案； （3）根据及木棒的中点为可得答案． 【详解】（1）解：由题意，得：， ∴， 如图， （2）解：设重力为， ∴， 解得：． （3）解：∵弹簧测力计的示数不超过， ∴， 解得：， ∵为一根长的匀质木杆的中点， ∴， 综上：． 【变式3-3】（25-26九年级上·广东东莞·期末）图1为某厂家设计的一款亮度可调的台灯，图2为对应的电路图，电源两端的电压保持不变，通过改变滑动变阻器的电阻来调节亮度，电流I与总电阻R成反比例，其中，已知 ，实验测得当时，． (1)求I关于R的函数表达式． (2)经测试，当电流在之间（包含临界值）时，台灯亮度才能满足正常的阅读需求．那么，为了保证正常阅读，求滑动变阻器接入电路的电阻的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了已知反比例函数的增减性求参数，求反比例函数解析式，实际问题与反比例函数等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． （1）设函数表达式为​，先求得，再结合，求出I关于R的函数表达式； （2）先得出，再得出，然后分别求出当与时的值，从而可分别求得的值，结合反比例函数的增减求解即可． 【详解】（1）解：设函数表达式为​， ∵，， ∴， ∵， ∴​， 解得：， ∴I关于R的函数表达式为； （2）解：∵， ∴， ∵，， ∴， 当时，， ∴， 当时，， ∴， ∵， ∴随的增大而减小， ∴． 【题型4 工程工作类反比例函数的应用】 【例4】被称为“世纪工程”的广西平陆运河正在建设中，运河的某标段工程需要运送的土石方总量为300000立方米，某运输公司承担了该项工程运送土石方的任务．    (1)设该运输公司平均的运送速度为y（单位：立方米/天），完成运送任务所需的时间为x（单位：天）． ①请直接写出y与x的函数关系式； ②若该运输公司每天可运送土石方6000立方米，则该公司完成全部运输任务需要多长时间？ (2)由于工程进度的需要，该公司实际平均每天运送土石方比原计划多2500立方米，结果工期比原计划减少了10天，该公司原计划每天运送土石方多少立方米． 【答案】(1)①；②50天 (2)7500 m 【分析】（1）①根据题意可知，运输公司平均的运送速度为y（单位：立方米/天），完成运送任务所需的时间为x（单位：天）之间的函数关系即可函数关系；②令求得x即可； （2）该公司原计划每天运送土石方x立方米，则实际每天运送立方米，再根据“工期比原计划减少了10天”列分式方程求解即可． 【详解】（1）解：根据“运送土方总量=平均的运送速度×完成运送任务所需的时间”可得： ，即； ②令时，则（天）． 答：该公司完成全部运输任务需要50天． （2）解：该公司原计划每天运送土石方x立方米，则实际每天运送立方米， 由题意得， 解得，（不合题意，舍去） 检验：当时， 所以，是原分式方程的解． 答：该公司原计划每天运送土石方为． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的应用、分式方程的应用等知识点，根据题意列出反比例函数解析式和分式方程是关键． 【变式4-1】（24-25九年级上·辽宁盘锦·期末）某筑路工程队要修筑一条总长为1200米的村村通公路． (1)工程队平均每天修建的速度为v（单位：米/天）与修建的天数t（单位：天）之间具有怎样的函数关系？ (2)公路长度不变的情况下，工程队每天修40米比每天修30米能提前多少天完成该项工程？ 【答案】(1) (2)提前10天 【分析】本题考查反比例函数的应用，理解题意，正确列出反比例函数关系式是解题的关键． （1）根据工作效率=工作量÷工作时间，列出关系式即可； （2）将和代入（1）中求得的解析式，求出t值，作差后即可得出答案． 【详解】（1）解：由题意，得， （2）解：当时，则， 解得：， 当时，则， 解得：， ∵(天)， ∴工程队每天修40米比每天修30米能提前10天完成该项工程． 【变式4-2】（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）为了全面推进乡村振兴，进一步提高村民环境保护的意识，某乡镇开展清理河道垃圾保护生态文明活动，用实际行动践行绿水青山就是金山银山的生态理念．如图，志愿者团队清理河道所需的天数（天）是每天完成的工程量天）的反比例函数，其图象经过点． (1)求这一函数的解析式； (2)已知该志愿者团队每天能够清理河道，清理完这条河道一共需要多少天？ 【答案】(1)； (2)清理完这条河道一共需要6天． 【分析】本题主要考查了反比例函数的实际应用，正确利用待定系数法求出对应的函数解析式是解题的关键． （1）设出反比例函数解析式，利用待定系数法求解即可； （2）求出当时，y的值即可得到答案． 【详解】（1）解：设y与x的函数解析式为， ∵点在函数图象上， ∴， ∴所求函数解析式为； （2）解：当时，， ∴， 答：清理完这条河道一共需要6天． 【变式4-3】（24-25九年级上·陕西宝鸡·期末）某运输公司计划运输一批货物，用表示运输的天数，用表示每天运输的吨数，与之间的关系如表所示： /吨 600 300 150 天 1 2 4 细心的小明发现：每天运输的吨数（吨）与运输的天数（天）成反比例． (1)求出每天运输的吨数与运输的天数之间的函数关系式； (2)若运输公司每天运输200吨，求运输的天数． 【答案】(1) (2)3天 【分析】本题考查反比例函数的应用． （1）根据“每天运输的吨数运数的天数货物总量”写出t与a的关系； （2）将代入t与a的关系，求出对应t的值即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， 即每天运输的吨数与运输的天数之间的函数关系式为； （2）解：当时，， 解得， 即若运输公司每天运输200吨，运输天数为3天． 【题型5 行程问题类反比例函数的应用】 【例5】（25-26八年级上·新疆·月考）一艘船计划装载吨货物，若以最快速度装船，需1小时完成． (1)写出装完货物所需的时间y（单位：小时）与装船速度x（单位：吨／小时）之间的函数表达式，并写出自变量x的取值范围： (2)若要求在至2小时之间（包括小时与2小时）装完这批货物，求装船速度的取值范围． 【答案】(1)，； (2)． 【分析】本题考查了反比例函数的实际应用，理解题意，根据题意求得函数解析式是关键． （1）由题意知，装完货物所需时间（小时）与装船速度（吨/小时）之间的函数关系是反比例函数关系，即可求得此关系式； （2）求出当时， 当时的值，即装船速度即可确定答案． 【详解】（1）解：由题意，， ∴， 若以最快速度装船，需1小时完成， 得，则， 故自变量x的取值范围为； （2）由题意得， 当时，代入得， 当时，代入得， ∴若要求在至2小时之间（包括小时与2小时）装完这批货物，装船速度的取值范围为． 【变式5-1】（24-25九年级上·陕西延安·期末）元旦假期，李老师驾驶小汽车从甲地匀速行驶到乙地，当小汽车匀速行驶的速度为时，行驶时间为；设小汽车匀速行驶的速度为，行驶的时间为． (1)求v关于t的函数表达式； (2)若小汽车匀速行驶的速度为，则从乙地返回甲地需要几小时？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题是反比例函数在行程问题中的应用，解题的关键是根据时间、速度和路程的关系求解． （1）由速度乘以时间等于路程，变形即可得速度等于路程比时间，从而得解； （2）把代入（1）中的函数关系式中求值即可． 【详解】（1）解：由题意可得：， 所以v与t的关系式为：； （2）解：当时，． 答：小汽车速度为时，从乙地到甲地需要． 【变式5-2】镇江港是长江三角洲重要的江海河、铁公水联运综合性对外开放港口，目前共有台吊机可同时作业，对停靠的万吨以上货轮均可实现小时内完成卸货． 现有一艘货轮来到镇江港需要卸货，卸完所有货所需时间（小时）和卸货速度（吨小时）之间的函数关系如图．    (1)写出与之间函数表达式为______． (2)如果用小时卸完所有货物，求卸货速度； (3)若只用台吊机同时作业，则卸货速度是吨小时，为了实现小时内完成卸货，至少需要______台吊机同时作业（假设每台吊机的卸货速度相同）？ 【答案】(1) (2)卸货速度为吨小时； (3) 【分析】（1）观察图象是反比例函数，设函数解析式为，代入点，即可求解； （2）将代入，即可求解； （3）根据（1）可得货物的重量，设需要台吊机同时作业，根据题意，列出不等式，不等式即可求解． 【详解】（1）解：观察图象是反比例函数，设函数解析式为，代入点， ， ∴与之间函数表达式为， 故答案为：． （2）将代入， 解得， 答：用小时卸完所有货物，求卸货速度为吨小时； （3）解：∵只用台吊机同时作业，则卸货速度是吨小时， ∴每台吊机的卸货速度吨小时， 由（1）可得货物的重量为吨 设需要台吊机同时作业 ∴为了实现小时内完成卸货， 解得： ∵为正整数， ∴最小为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数的应用，一元一次不等式的应用，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【变式5-3】（2025·江苏南通·一模）12月2日是“全国交通安全日”，小明同学在学习交通安全知识后，对交通法规产生了兴趣，下面是他和父亲的聊天记录． 请根据以上知识解决下列问题： 已知高速某段区间测速路段长．最低限速是，最高限速是．设汽车通过该路段的平均速度是，时间为． (1)直接写出与的函数关系式及的范围（不违反交通法规）； (2)甲车通过该路段时，以的速度行驶，余下的路程以原速的倍的速度行驶．通过该路段的时间为，求的值． 【答案】(1)， (2)的值为80 【分析】本题考查了反比例函数的应用，分式方程的应用． （1）根据路程=速度时间，可求出与的函数关系式，再利用最低限速和最高限速，求解即可得到的范围； （2）根据“通过该路段的时间为”列分式方程，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得，， 最低限速，时，； 最高限速，时，； ∴的范围为； （2）解：前用时，， 剩余用时，， 依题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且在的范围内，符合题意． 【题型6 经济生活类反比例函数的应用】 【例6】（25-26九年级上·陕西咸阳·期末）三原小磨香油久负盛名，以其香味浓郁，营养价值高，深受消费者的喜爱．某超市销售一批三原小磨香油，在销售过程中发现，在一定范围内，该小磨香油的日销售量y（单位：瓶）与每瓶的利润x（单位：元）之间满足反比例函数关系，且当时，． (1)求y关于x的函数表达式；（无需写出自变量的取值范围） (2)当该小磨香油的日销售量为瓶时，该小磨香油每瓶的利润为多少元？ 【答案】(1) (2)该小磨香油每瓶的利润为元 【分析】本题考查待定系数法求反比例函数，反比例函数的性质，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）设反比例函数为，由题意当时，，代入即可解得； （2）当时，代入反比例函数解析式求得值即可． 【详解】（1）解：设反比例函数解析式为， 由题意当时，，代入得： ， ， ∴反比例函数解析式为； （2）解：当时，代入得： ， 答：该小磨香油每瓶的利润为元． 【变式6-1】为支援灾区，某校准备捐款1万元． (1)求捐款人数y与人均捐款数x（元）的函数解析式； (2)已知该校师生共有2000人，则人均需要捐多少元？ 【答案】(1) (2)人均需要捐5元． 【分析】（1）此题根据某校准备捐款的总钱数，即可求出捐款人数y与人平均捐款数x（元）的函数解析式； （2）根据反比例函数关系式，把代入即可求出答案． 【详解】（1）捐款人数y与人平均捐款数x（元）的函数解析式是： （2）人均需要捐款（元）． 故人均需要捐5元． 【点睛】此题考查了反比例函数的应用，此题较简单，解题时要根据题意列出函数关系式是本题的关键． 【变式6-2】（25-26九年级上·陕西榆林·期末）某班级篮球队计划采购一批护腕，保护队员手腕以防受伤．已知本次可采购的护腕数量y（单位：副）与每副护腕的采购费用x（单位：元）之间满足反比例函数关系，且当每副护腕的采购费用为8元时，本次可采购的护腕数量为20副． (1)求y关于x的函数表达式； (2)为保证护腕质量，要求每副护腕的采购费用为10元，请问可以采购多少副护腕? 【答案】(1)y关于x的函数表达式为 (2)可以采购16副护腕 【分析】本题主要考查了反比例函数的性质和应用，利用待定系数法求函数表达式，求函数值等，解题的关键是掌握反比例函数的性质． （1）利用待定系数法进行求解即可； （2）根据函数表达式求出函数值即可． 【详解】（1）解：设y关于x的函数表达式为， 由题意可知，当时，， 将代入中，得， 解得， ∴y关于x的函数表达式为； （2）解：当时，则， ∴可以采购16副护腕． 【变式6-3】近年来，新能源汽车产销两旺，成为推动经济运行，且率先实现整体好转的重要发力点．某新能源汽车销售商推出分期付款购车促销活动，交付首付款后，余额要在30个月内结清，不计算利息，王老师在活动期间购买了价格为12万元的这款新能源汽车，交了首付款后平均每月付款y万元，x个月结清．y与x的函数关系如图所示，根据图象回答下列问题： (1)确定y与x的函数解析式，并求出首付款的数目； (2)王老师若用20个月结清，平均每月应付多少万元？ (3)王老师每月付款不少于多少元，可以确保在规定期限内结清余额？ 【答案】(1)，首付款为3万元 (2)每月应付万元 (3)他每月至少应付万元，可在期限内结清余款 【分析】本题主要考查了用待定系数法求反比例函数的解析式，然后再根据实际意义进行解答； （1）从反比例图象上任意找一点向两坐标轴引垂线，形成的矩形面积等于的绝对值，由图可知，即可求出解析式． （2）在（1）的基础上，知道自变量，便可求出函数值． （3）知道了自变量的范围，利用解析式即可求出因变量的范围． 【详解】（1）解：由图象可知与成反比例，设与的函数关系式为， 把代入关系式得， ， ， （万元）． 答：首付款为3万元； （2）解：当时，（万元）， 答：每月应付万元； （3）解：当时，， 答：他每月至少应付万元，可在期限内结清余款． 【题型7 表格类反比例函数的应用】 【例7】（24-25七年级上·河南安阳·期末）水池中有若干吨水，开一个出水口将全池水放光，所用时间（单位：时）与出水速度（单位：吨/时）之间的关系如下表： 出水速度（吨/时） 10 8 5 4 … 时间（时） 1 1.25 2 2.5 … 请结合表格解答下列问题： (1)池子中原有水 吨； (2)出水口打开后，出水速度是怎样随着时间的变化而变化的？ (3)用式子表示与之间的关系，并求出水口打开多长时间，出水速度是2吨/时． 【答案】(1) (2)出水速度是随着时间的增大而减少； (3)水口打开5小时，出水速度是2吨/时． 【分析】本题考查了反比例函数的应用． （1）利用表格数据即可作答； （2）根据表格数据可知，出水速度是随着时间的增大而减少； （3）根据（1）知，令，代入即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴池子中原有水吨； 故答案为：； （2）解：由表格知，出水口打开后，出水速度越大，所用时间越短， ∴出水速度是随着时间的增大而减少； （3）解：由（1）知，， ∴， 令，则， ∴水口打开5小时，出水速度是2吨/时． 【变式7-1】（25-26九年级上·广西百色·期中）学生去学校食堂就餐经常需要排队等待．经调查发现，学生的满意度y与等待时间x分钟成反比例关系，如下表： 等待时间x 1 2 5 10 20 满意度y 100 50 20 10 5 已知学生等待时间不超过30分钟． (1)求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； (2)学生等待时间为8分钟，求学生的满意度； (3)当满意度不低于10时，学生才感觉比较满意，则学校食堂最多可以让学生等待多长时间？ 【答案】(1) (2)12.5 (3)10 【分析】本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是： （1）观察表格发现：，然后设，把，代入求解即可； （2）把代入（1）中所求函数关系式，即可求解； （3）把代入（1）中所求函数关系式，然后结合图象求解即可． 【详解】（1）解：观察表格发现：， 则设， ∴， 解得， ∴； （2）解：当时，， ∴学生的满意度为12.5； （3）解：当时，， 解得， 草图如下： 由图象知：当时，， ∴最多可以让学生等待10分钟． 【变式7-2】（25-26九年级上·山东济宁·月考）“喝酒不开车，开车不喝酒”，交警经常选择使用测酒仪来检测驾驶人员是否酒后开车，测酒仪中的核心部件为电阻，经过测量发现，电阻的阻值与驾驶人员呼出的气体中酒精浓度之间的变化关系如下表： /（） … … (1)根据表中数据，求电阻的阻值与驾驶人员呼出的气体中酒精浓度之间的函数关系式．（不要求写出自变量的取值范围） (2)查阅资料发现，当驾驶人员血液中酒精的质量不低于且小于时，且驾驶人员血液中酒精浓度约等于其呼出气体中酒精浓度的100倍，该驾驶员为饮酒后驾驶．当测酒仪中核心部件电阻的阻值在什么范围内，驾驶员为饮酒后驾驶？ 【答案】(1) (2) 当测酒仪中核心部件电阻的阻值在范围内，驾驶员为饮酒后驾驶 【分析】本题考查了反比例函数的实际应用，解题的关键是通过表格数据判断函数类型，再利用待定系数法确定函数关系式，最后根据函数的增减性解决实际范围问题． （1）通过计算表中与的乘积，发现结果均为，故与成反比例函数关系，即； （2）根据饮酒驾驶的血液酒精浓度范围（血液浓度 ），结合血液浓度与呼出气体浓度的比例关系（血液浓度呼出浓度），得出呼出浓度的范围为，再代入反比例函数中结合函数的增减性求出的范围． 【详解】（1）解：根据表格数据，计算： ，，，， ，即， 电阻的阻值与驾驶人员呼出的气体中酒精浓度之间的函数关系式为． （2）解：：饮酒驾驶条件为血液酒精浓度不低于且小于， 血液浓度 呼出浓度， ，即， 观察表格可知，当时，， 当时，， 对于， 随增大而减小，且， ． 答：当测酒仪中核心部件电阻的阻值在范围内，驾驶员为饮酒后驾驶． 【变式7-3】（25-26九年级上·广东河源·期中）问题情境： 区间测速是指检测机动车在两个相邻测速监控点之间的路段（测速区间）上平均速度的方法．小聪搜集了某路段测速区间内若干小型汽车行驶的平均速度与行驶时间的数据如下表．建立模型： （1）根据调查数据可知，该路段测速区间内小型汽车平均速度是行驶时间的函数．求与之间的函数关系式； 小型车辆 行驶时间 平均速度 问题解决： （2）若某辆小汽车通过该测速区间的行驶时间为，求它的平均速度； （3）已知该测速区间限速要求不超过，小汽车通过该测速区间时，行驶时间应控制在怎样的范围内？ 【答案】（）；（）它的平均速度是；（）行驶时间应不少于． 【分析】本题考查了反比例函数的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （）由表格可知，从而求得函数解析式； （）把代入解析式即可求解； （）根据题意得，然后反比例函数的性质即可求解． 【详解】解：（）由表格可知，， ∴与之间的函数关系式为； （）当时，， 答：它的平均速度是． （）根据题意，得，解得， 答：行驶时间应不少于． 【题型8 方案设计类反比例函数的应用】 【例8】（25-26八年级上·上海·期中）双十一促销活动开始，甲乙两家商场采用了不同的促销方案．如果用优惠率（其中代表优惠金额，代表顾客购买商品的总金额）衡量消费者受益程度，则甲乙两商场的优惠率与顾客购买总金额（元）之间的函数关系分别如图所示，其中成反比例函数关系，且总金额m（元）的取值范围满足． (1)___________；用含m的代数式表示：___________． (2)当购买总金额m（元）在的条件下时，指出甲、乙两家商场正在采取的促销方案分别是什么？ 甲：___________；乙：___________ (3)完全相同的商品，在甲、乙两家商场的标价都是m元（），选择哪家商场购买该商品花钱少？请说明理由． 【答案】(1)100， (2)打6折促销，优惠100元 (3)当时，甲商场更优惠；当时，乙商场更优惠． 【分析】本题考查了反比例函数的应用和一元一次不等式的应用，解题的关键是正确理解题意、从题目中得出反比例函数的模型． （1）把代入中即可求得，然后根据始终为0.4可得与m的关系； （2）根据（1）的结论和图象即可得出结果； （3）先根据（2）题的促销方案求出在两家商场购买花钱一样多时的的值，再结合图象分类求解即可． 【详解】（1）解：把代入中，得， 由于始终为0.4，即， ； 故答案为：100，； （2）解：由（1）及优惠率的含义可知：当购买总金额都为元，且在的条件下时 甲家商场采取的促销方案是：打6折促销， 乙家商场采取的促销方案是：优惠100元， 故答案为：打6折促销，优惠100元； （3）解：由（2）题可知， 当时，甲家商场需花元，乙家商场需花元， 当时，解得，即当时，在两家商场购买花钱一样多， 再由图象易知，当时，乙商场更优惠；当时，甲商场更优惠． 【变式8-1】如图，某课外兴趣小组计划利用已有的篱笆围成一个一边靠墙、面积为 的矩形花园、其中墙长为，现在可用的篱笆总长为， (1)若设 ，请写出关于的函数表达式、 (2)若要使的篱笆全部用完，能否围成面积为 的花园? 若能，请求出长和宽；若不能，请说明理由． (3)假设围成矩形花园 三边的材料总长不超过，材料和的长都是整米数，求满足条件的所有围建方案． 【答案】(1)； (2)能，长为，宽为； (3)，． 【分析】（）根据矩形的面积公式即可求解； （）设，则，根据矩形的面积列出一元二次方程即可求解； （）由，且都为正整数，，可得可取，，，对应的值为，，，再根据即可求解； 本题考查了反比例函数应用，一元二次方程的应用，根据题意正确列出反比例函数解析式和一元二次方程是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意得，， ∴， 即关于的函数表达式为； （2）解：能． 设，则， 由题意得，， 解得， ∴，， 即长为，宽为； （3）解：∵，且都为正整数，， ∴可取，，，对应的值为，，， 又∵， ∴，， ∴满足条件的所有围建方案为：，． 【变式8-2】（2024·浙江台州·三模）某综合实践小组准备研究心率（每分钟心跳次数）与跳绳活动（每分钟跳160次左右）持续时间的关系，用实测心率占最大心率的百分比（也叫相对心率）来描述运动后的即时心率与跳绳持续时间的关系（最大心率年龄）．该小组在九年级学生中随机抽取了20位男生（年龄都是16岁），测试了跳绳持续时间与相对心率，通过计算平均数后得到的数据如下表： 跳绳持续时间（单位：秒） 0 30 60 90 140 … 平均相对心率（%） 40 60 70 76 82 … (1)该小组讨论认为，一次函数、二次函数、反比例函数都不能很好地表示随变化的规律，请你说明理由． (2)该小组请教体育老师和保健医生后知道，随着跳绳持续时间增加，平均相对心率随之增加且增加的速度越来越慢．他们计算表中的值，画出散点图如下图所示，发现是（是常数）的反比例函数，求与之间的函数表达式． (3)该小组查阅资料发现： 热身运动合适的心率范围是最大心率的； 减脂运动合适的心率范围是最大心率的； 有氧耐力运动（锻炼心肺功能）合适的心率范围是最大心率的； 无氧耐力运动合适的心率范围是最大心率的，从健康角度考虑，相对心率不应超过． 根据这些信息，请你帮学校设计一套适合男生跳绳持续时间的训练方案． 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 【分析】（1）根据一次函数、反比例函数、二次函数的的图象与性质判断作答即可； （2）设，分别把代入，计算求解，进而可得结果； （3）当时，；当时，；当时，；当时，；当时，；根据样本估计总体，全校男生跳绳中的相对心率与持续跳绳时间的关系也符合这一变化规律，然后设计方案即可． 【详解】（1）解：由表格数据可知： 当自变量增加值相同时，平均相对心率增加值不相同，所以该函数不是一次函数； 当自变量增加值相同时，相邻的平均相对心率增加值的差不相同，所以该函数不是二次函数； 当自变量与函数值的乘积不是一个定值，所以该函数不是反比例函数（说理方法不唯一）． （2）解：设， 分别把，代入，得，， 解得：， ． （3）解：． ， 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，． 可以估计全校男生跳绳中的相对心率与持续跳绳时间的关系也符合这一变化规律． 方案设计如下： 连续跳绳是热身运动；连续跳绳是减脂运动； 连续跳绳是有氧耐力运动；连续跳绳是无氧耐力运动． 从健康角度考虑，连续跳绳时间不要超过5分钟，即连续跳绳5分钟后需要停下休息． 【点睛】本题考查了一次函数、反比例函数、二次函数的的图象与性质，反比例函数解析式等知识．熟练掌握一次函数、反比例函数、二次函数的的图象与性质，反比例函数解析式是解题的关键． 【变式8-3】（2025·广东佛山·二模）综合与实践 【问题情境】小明在海边看到一艘装有四根大圆筒的轮船（如1图所示），通过查阅资料了解到这是马格努斯转子船，当圆筒高速旋转时，可以助推货轮前进，其原理是旋转的物体在流体（如空气或水）中运动时，会受到一个垂直于运动方向的力，这种物理现象被称为马格努斯效应（如2图所示）．生活中的足球“香蕉球”、乒乓球弧圈球，都是马格努斯效应的常见例子． 【设计方案】小明与同学组成科技小组，设计实验验证马格努斯效应．实验装置如3图所示，圆柱体模拟转子船的圆筒（圆柱体半径和高度都可以调节）．已知装置产生的推力满足公式．，其中k为比例系数（与圆柱体侧面积A有关，实验条件下关系近似为ω为电机控制圆柱体旋转的角速度（单位：），v为电风扇模拟的风速（单位：），产生的推力F可用测力计测量（单位：N）．现有实验数据如下： 实验组 风速v（） 旋转角速度ω（） 推力F（N） 1 5 4 24 【问题解决】 (1)保持风速不变，若要推力达到48N，求此时旋转角速度； (2)保持风速不变，已知圆柱体的最高旋转角速度ω为10． ①现有装置能否产生100N的推力？请说明理由； ②已知初始时圆柱体半径，请设计一个改变圆柱体半径的方案（高度不变），使得装置在最高旋转角速度下能产生100N推力．（结果保留2位小数，计算过程中π取3） 【答案】(1) (2)①现有装置不能产生推力，详见解析；②当圆柱体半径变为时，可以使得装置在最高旋转角速度下能产生推力 【分析】本题主要考查实际问题与反比例函数和解一元一次方程， （1）根据和表中数据求得k，结合已知的推力即可求得旋转角速度； （2）①根据保持风速不变，可求得现有装置能产生的最大推力为60， ②根据求得圆柱体的高，在最高旋转角速度下，当时求得，进一步求得解得即可． 【详解】（1）解：， ， 当时，， 解得旋转角速度； （2）解：①保持风速不变，现有装置能产生的最大推力为 ， 现有装置不能产生推力； ②， ， 解得圆柱体的高， 在最高旋转角速度下，当时，． 又， ， 解得 当圆柱体半径变为时，可以使得装置在最高旋转角速度下能产生推力． 【题型9 反比例函数与一次函数的综合实际应用】 【例9】（25-26九年级上·河北石家庄·期中）生物实践小组搜集了某种植园温室大棚智能控制系统测试阶段时的温度变化，并绘制出大棚内的温度随时间（时）变化的图象，如图所示，点表示智能控制系统在0时启动，此时大棚内的温度为，线段表示升温阶段，线段表示恒温阶段，双曲线的一部分表示恒温系统关闭阶段，点表示24时温度降到． (1)求线段及双曲线段的函数解析式（写出自变量取值范围）； (2)求该大棚在时内，温度不低于的时长， (3)此地日出时间为，日落时间为，为保证该大棚中的植物至少有9小时的光照且在此期间大棚温度不低于，小组同学决定推迟智能控制系统的启动时间，至少推迟___________小时，能满足上述要求． 【答案】(1)， (2)大棚在时内，温度不低于的时长为12小时． (3)1 【分析】本题考查了反比例函数的应用，一次函数的应用，采用数形结合的思想是解此题的关键． （1）设线段所在直线的解析式为．将和代入，则，求解即可得出线段的函数解析式为．设段的函数解析式为，将代入，，求解即可得出结果； （2）令，解得，则段温度为的时刻为15时． 令，解得，则段温度为的时刻为3时，由此即可得出结果； （3）由题意得，日出时间为，此时大棚气温是，符合要求，由（2）得到15时后，大棚气温低于，因此符合要求的时间只有小时，由此即可得出结果． 【详解】（1）解：设线段所在直线的解析式为． 将和代入，则， 解得， 线段的函数解析式为． 设段的函数解析式为， 将代入，， ． 当时，， ， 段的函数解析式为． （2）解：令， 解得， 段温度为的时刻为15时． 令，解得， ∴段温度为的时刻为3时， ， 大棚在时内，温度不低于的时长为12小时． （3）解：由题意得，日出时间为，此时大棚气温是，符合要求， 由（2）得到15时后，大棚气温低于， 因此符合要求的时间只有（小时）， 故至少需要推迟（小时）． 故答案为：1． 【变式9-1】某玩具厂生产一种玩具，本着控制固定成本，降价促销的原则，使生产的玩具能够全部售出．据市场调查，若按每个玩具280元销售时，每月可销售300个．若销售单价每降低1元，每月可多售出2个．据统计，每个玩具的固定成本Q（元）与月产销量y（个）满足如下关系： 月产销量y（个） … 160 200 240 300 … 每个玩具的固定成本Q（元） … 60 48 40 32 … （1）每月产销量y（个）与销售单价x（元）之间的函数关系式为______；从上表可知．每个玩具的固定成本Q（元）与月产销量y（个）之间满足反比例函数关系式，求出Q与y之间的关系式； （2）若每个玩具的固定成本为30元，求它的销售单价是多少元？ （3）若该厂这种玩具的月产销量不超过400个，求此时销售单价是多少元？ 【答案】（1），；（2）270元；（3）230元 【分析】（1）设y=kx+b，把（280，300），（279，302）代入解方程组即可；观察函数表可知两个变量的乘积为定值，所以固定成本Q（元）与月产销量y（个）之间存在反比例函数关系，不妨设Q=，由此即可解决问题； （2）求出销售价即可解决问题； （3）根据条件分别列出不等式即可解决问题． 【详解】解：（1）由于销售单价每降低1元，每月可多售出2个，所以月产销量y（个）与销售单价x （元）之间存在一次函数关系， 不妨设y=kx+b，则（280，300），（279，302）满足函数关系式， 得， 解得， 故产销量y（个）与销售单价x（元）之前的函数关系式为； 因为固定成本Q（元）与月产销量y（个）之间存在反比例函数关系， 不妨设， 将，代入得到， 此时； （2）当时，． 由（1）可知，所以，即销售单价为270元； （3）若，则，即，则固定成本至少是24元， ，解得，即销售单价最低为230元． 【点睛】本题考查了一次函数的应用、反比例函数的应用、不等式，成本，销售价、销售量之间的关系，解题的关键是理解题意，灵活应用待定系数法解决问题． 【变式9-2】（25-26九年级上·贵州贵阳·月考）我省某化工厂2023年1月的利润为200万元，若设2023年1月为第一个月，第x个月的利润为y万元；由于污染问题，该厂决定从2023年1月底适当限产，同时投入资金进行新技术改造．从1月底到5月，y与x成反比例关系．到5月底，新技术改造任务顺利完成，从这时起，之后该厂每月利润比前月增加20万元（如图）． (1)分别求出在新技术改造阶段及新技术改造后，y与x之间的函数表达式； (2)若设第3个月时该厂的利润为，第4个月时该厂的利润为，第7个月时利润为，则、和的大小关系为：________（用“>”连接）； (3)当月利润少于100万元时，为该厂资金紧张期，请求出该厂资金紧张期共有几个月？ 【答案】(1)当时，，当时， (2) (3)5 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的应用，正确得出函数关系式是解题的关键． （1）利用待定系数法求得反比例函数的解析式，再根据已知条件列出关系式，继而得出一次函数的解析式； （2）结合图象分别求出、4、7时该厂的利润，再进行从大到小的比较即可； （3）利用分别得出x的值，进而得出答案． 【详解】（1）解：当时，将代入得：， ∴在新技术改造阶段的函数关系式为：， 当时，将代入得：，则， 即新技术改造后y与x之间的函数关系式为：． （2）解：当时，该厂的利润在反比例函数上， ∴， 当时，该厂的利润在反比例函数上， ∴， 当时，该厂的利润在一次函数上， ∴， ∴， 故答案为：． （3）解：对于，当时，， 对于，当时，， ∴资金紧张期有第3、4、5、6、7这5个月， ∴该厂资金紧张期共有5个月． 【变式9-3】（2024·辽宁铁岭·二模）小明家饮水机中原有水的温度为20℃，通电开机后，饮水机自动开始加热[此过程中水温y（℃）与开机时间x（分）满足一次函数关系]，当加热到100℃时自动停止加热，随后水温开始下降[此过程中水温y（℃）与开机时间x（分）成反比例关系]，当水温降至20℃时，饮水机又自动开始加热…，重复上述程序（如图所示），根据图中提供的信息，解答下列问题： (1)当时，求水温y（℃）与开机时间x（分）的函数关系式； (2)求图中t的值； (3)有一天，小明在上午（水温20℃），开机通电后去上学，中午放学回到家时间刚好，饮水机内水的温度约为多少℃？并求：在这段时间里，水温共有几次达到100℃？ 【答案】(1) (2) (3)饮水机内水温约为80℃，共有7次达到100℃ 【分析】本题考查了一次函数以及反比例函数的应用，根据题意得出正确的函数解析式是解题的关键． （1）利用待定系数法代入函数解析式即可得出答案； （2）先求出反比例函数解析式进而得出的值即可得出答案； （3）先求出总时间，再利用每40分钟图象重复出现一次，即可得出答案． 【详解】（1）解：设将、代入得 解得 水温y（℃）与开机时间x（分）的函数关系式为； （2）在水温下降过程中，设水温y（℃）与开机时间x（分）的函数关系式为：依据题意，得：即， 故， 当时， 解得：； （3）由（2），结合图象，可知每40分钟图象重复出现一次， 到经历286分钟，， 当时， 答：饮水机内水温约为80℃，共有7次达到100℃． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.3 用反比例函数解决问题（举一反三讲义） 【新教材苏科版】 题型归纳 【题型1 实际问题中的反比例函数关系式】 1 【题型2 实际问题中的反比例函数图象】 2 【题型3 物理力学、热学、电学中的反比例函数的应用】 4 【题型4 工程工作类反比例函数的应用】 6 【题型5 行程问题类反比例函数的应用】 7 【题型6 经济生活类反比例函数的应用】 8 【题型7 表格类反比例函数的应用】 9 【题型8 方案设计类反比例函数的应用】 11 【题型9 反比例函数与一次函数的综合实际应用】 14 知识点 利用反比例函数解决问题 1. 反比例函数中，自变量x的取值范围是非零实数，但是在实际问题中要根据具体情况与实际意义来确定自变量的取值范围．考点 用反比例函数解决问题 2. 常见反比例关系举例 （1）矩形面积S一定时，长y与宽x的函数表达式为； （2）菱形面积S一定时，一条对角线长y与另一条对角线长x的函数表达式为； （3）压力F一定时，压强p与受力面积S的函数表达式为； （4）电压U一定时，电流I与电阻R的函数表达式为； （5）汽车油箱内汽油量L一定时，行驶时间t与平均油耗n的函数表达式为．. 【题型1 实际问题中的反比例函数关系式】 【例1】（2025·浙江·三模）某数学项目化学习小组在研究沪杭高铁不同车次的平均运行速度（）和运行时间t（）之间的关系时，上网查阅了相关资料．下表是他们收集的数据： 车次 G7506 G7382 G1866 G7492 （单位：） t（单位：） 1 则最符合下与t之间的关系式是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】港珠澳大桥全长近55km，汽车行驶完全程所需的时间t（h）与行驶的平均速度v（km/h）之间的关系式为_________． 【变式1-2】一批零件200个，一个工人每小时做10个，用关系式表示人数y(个)与完成任务所需的时间x(小时)之间的函数关系式为_______． 【变式1-3】小瑞利用杠杆原理称药品质量（杠杆平衡时，动力×动力臂=阻力×阻力臂）：如图，当左盘药品为m克时，右盘砝码重20克；当左盘砝码重5克时，右盘药品为n克．则m与n满足的关系式为______．      【题型2 实际问题中的反比例函数图象】 【例2】（2025九年级·全国·专题练习）甲、乙两地相距，则汽车由甲地行驶到乙地所用时间y（单位：h）与平均行驶速度x（单位：）之间的函数图象大致是（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（2026·辽宁沈阳·一模）某个亮度可调节的台灯，其灯光亮度的改变，可以通过调节总电阻控制电流的变化来实现．如图所示的是该台灯的电流与电阻的关系图象，该图象经过点．根据图象可知，下列说法不正确的是（    ） A．当时， B．I与R的函数关系式是 C．当时，I的取值范围是 D．当时， 【变式2-2】（25-26九年级上·河南郑州·期末）光敏电阻的阻值随光照射的强弱而改变．“光强”是表示光的强弱程度的物理量，照射光越强，光强越大，光强用符号表示，国际单位为坎德拉（）．实验（电路图为图①）测得光敏电阻的阻值与光强之间的关系如图②所示，若，下列说法错误的是（   ） A．光强越大，越小 B．该图象为反比例函数图象 C．光强越大，电路中的电流越大 D．当电流表显示时，光强 【变式2-3】为了响应“绿水青山就是金山银山”的号召，建设生态文明，某工厂自2019年1月开始限产进行治污改造，其月利润y（万元）与月份x之间的变化如图所示，治污完成前是反比例函数图象的一部分，治污完成后是一次函数图象的一部分，下列结论正确的是________．（填写编号即可） ①4月份的利润为50万元 ②治污改造完成后每月利润比前一个月增加30万元 ③治污改造完成前后共有4个月的利润低于100万元 ④9月份该厂利润达到200万元    【题型3 物理力学、热学、电学中的反比例函数的应用】 【例3】（25-26八年级下·北京东城·期中）如图1．在左边托盘（固定）中放置一个重物，在右边托盘（可左右移动）中放置一定质量的砝码，可使得仪器左右平衡．改变托盘与点的距离，记录相应的托盘中的砝码质量，得到如下表： 托盘与点的距离 10 15 20 25 30 托盘中的砝码质量 30 20 15 12 10 (1)把表中x，y的各组对应值作为点的坐标，在如图所示的平面直角坐标系中描出这些点，并用一条光滑曲线连接起来； (2)观察所画的图象，猜测与之间的函数关系，求出该函数表达式； (3)当砝码质量为时，求托盘与点的距离； (4)当托盘向左移动时，为使得仪器在移动前后均保持左右平衡，托盘中的砝码质量需增加至移动前的两倍，求在移动前托盘中的砝码质量． 【变式3-1】（2026·山西运城·一模）在校园科技节活动中，同学们自制了一套定量溶液稀释实验装置，用于探究溶液稀释规律．已知稀释过程中溶质质量保持不变，溶液浓度（单位：）与溶液体积（单位：）成反比例函数关系．实验测得：当溶液体积为时，浓度为． (1)求出与之间的函数关系式； (2)实验要求稀释后溶液浓度不得低于，那么稀释后溶液体积应不高于多少？ 【变式3-2】（2026·河南·二模）如图1，取一根长的匀质木杆，用细绳绑在木杆上的中点处并将其吊起来．在点左侧处挂一个物体，在点右侧用一个弹簧测力计向下拉，使木杆处于水平状态．改变弹簧测力计与中点的距离（单位：），弹簧测力计的示数（单位：）也随之变化，下表记录了几组和的值． ．．． 1 2 4 ．．． ．．． 80 40 20 ．．． (1)求出关于的函数表达式（不写自变量取值范围），并在图2中直接画出函数图象； (2)已知杠杆原理：阻力阻力臂动力动力臂，即物体所受重力物体到点的距离对弹簧测力计的拉力弹簧测力计到点的距离，求点左侧所挂物体所受的重力； (3)若使弹簧测力计的示数不超过，则的取值范围为 ． 【变式3-3】（25-26九年级上·广东东莞·期末）图1为某厂家设计的一款亮度可调的台灯，图2为对应的电路图，电源两端的电压保持不变，通过改变滑动变阻器的电阻来调节亮度，电流I与总电阻R成反比例，其中，已知 ，实验测得当时，． (1)求I关于R的函数表达式． (2)经测试，当电流在之间（包含临界值）时，台灯亮度才能满足正常的阅读需求．那么，为了保证正常阅读，求滑动变阻器接入电路的电阻的取值范围． 【题型4 工程工作类反比例函数的应用】 【例4】被称为“世纪工程”的广西平陆运河正在建设中，运河的某标段工程需要运送的土石方总量为300000立方米，某运输公司承担了该项工程运送土石方的任务．    (1)设该运输公司平均的运送速度为y（单位：立方米/天），完成运送任务所需的时间为x（单位：天）． ①请直接写出y与x的函数关系式； ②若该运输公司每天可运送土石方6000立方米，则该公司完成全部运输任务需要多长时间？ (2)由于工程进度的需要，该公司实际平均每天运送土石方比原计划多2500立方米，结果工期比原计划减少了10天，该公司原计划每天运送土石方多少立方米． 【变式4-1】（24-25九年级上·辽宁盘锦·期末）某筑路工程队要修筑一条总长为1200米的村村通公路． (1)工程队平均每天修建的速度为v（单位：米/天）与修建的天数t（单位：天）之间具有怎样的函数关系？ (2)公路长度不变的情况下，工程队每天修40米比每天修30米能提前多少天完成该项工程？ 【变式4-2】（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）为了全面推进乡村振兴，进一步提高村民环境保护的意识，某乡镇开展清理河道垃圾保护生态文明活动，用实际行动践行绿水青山就是金山银山的生态理念．如图，志愿者团队清理河道所需的天数（天）是每天完成的工程量天）的反比例函数，其图象经过点． (1)求这一函数的解析式； (2)已知该志愿者团队每天能够清理河道，清理完这条河道一共需要多少天？ 【变式4-3】（24-25九年级上·陕西宝鸡·期末）某运输公司计划运输一批货物，用表示运输的天数，用表示每天运输的吨数，与之间的关系如表所示： /吨 600 300 150 天 1 2 4 细心的小明发现：每天运输的吨数（吨）与运输的天数（天）成反比例． (1)求出每天运输的吨数与运输的天数之间的函数关系式； (2)若运输公司每天运输200吨，求运输的天数． 【题型5 行程问题类反比例函数的应用】 【例5】（25-26八年级上·新疆·月考）一艘船计划装载吨货物，若以最快速度装船，需1小时完成． (1)写出装完货物所需的时间y（单位：小时）与装船速度x（单位：吨／小时）之间的函数表达式，并写出自变量x的取值范围： (2)若要求在至2小时之间（包括小时与2小时）装完这批货物，求装船速度的取值范围． 【变式5-1】（24-25九年级上·陕西延安·期末）元旦假期，李老师驾驶小汽车从甲地匀速行驶到乙地，当小汽车匀速行驶的速度为时，行驶时间为；设小汽车匀速行驶的速度为，行驶的时间为． (1)求v关于t的函数表达式； (2)若小汽车匀速行驶的速度为，则从乙地返回甲地需要几小时？ 【变式5-2】镇江港是长江三角洲重要的江海河、铁公水联运综合性对外开放港口，目前共有台吊机可同时作业，对停靠的万吨以上货轮均可实现小时内完成卸货． 现有一艘货轮来到镇江港需要卸货，卸完所有货所需时间（小时）和卸货速度（吨小时）之间的函数关系如图．    (1)写出与之间函数表达式为______． (2)如果用小时卸完所有货物，求卸货速度； (3)若只用台吊机同时作业，则卸货速度是吨小时，为了实现小时内完成卸货，至少需要______台吊机同时作业（假设每台吊机的卸货速度相同）？ 【变式5-3】（2025·江苏南通·一模）12月2日是“全国交通安全日”，小明同学在学习交通安全知识后，对交通法规产生了兴趣，下面是他和父亲的聊天记录． 请根据以上知识解决下列问题： 已知高速某段区间测速路段长．最低限速是，最高限速是．设汽车通过该路段的平均速度是，时间为． (1)直接写出与的函数关系式及的范围（不违反交通法规）； (2)甲车通过该路段时，以的速度行驶，余下的路程以原速的倍的速度行驶．通过该路段的时间为，求的值． 【题型6 经济生活类反比例函数的应用】 【例6】（25-26九年级上·陕西咸阳·期末）三原小磨香油久负盛名，以其香味浓郁，营养价值高，深受消费者的喜爱．某超市销售一批三原小磨香油，在销售过程中发现，在一定范围内，该小磨香油的日销售量y（单位：瓶）与每瓶的利润x（单位：元）之间满足反比例函数关系，且当时，． (1)求y关于x的函数表达式；（无需写出自变量的取值范围） (2)当该小磨香油的日销售量为瓶时，该小磨香油每瓶的利润为多少元？ 【变式6-1】为支援灾区，某校准备捐款1万元． (1)求捐款人数y与人均捐款数x（元）的函数解析式； (2)已知该校师生共有2000人，则人均需要捐多少元？ 【变式6-2】（25-26九年级上·陕西榆林·期末）某班级篮球队计划采购一批护腕，保护队员手腕以防受伤．已知本次可采购的护腕数量y（单位：副）与每副护腕的采购费用x（单位：元）之间满足反比例函数关系，且当每副护腕的采购费用为8元时，本次可采购的护腕数量为20副． (1)求y关于x的函数表达式； (2)为保证护腕质量，要求每副护腕的采购费用为10元，请问可以采购多少副护腕? 【变式6-3】近年来，新能源汽车产销两旺，成为推动经济运行，且率先实现整体好转的重要发力点．某新能源汽车销售商推出分期付款购车促销活动，交付首付款后，余额要在30个月内结清，不计算利息，王老师在活动期间购买了价格为12万元的这款新能源汽车，交了首付款后平均每月付款y万元，x个月结清．y与x的函数关系如图所示，根据图象回答下列问题： (1)确定y与x的函数解析式，并求出首付款的数目； (2)王老师若用20个月结清，平均每月应付多少万元？ (3)王老师每月付款不少于多少元，可以确保在规定期限内结清余额？ 【题型7 表格类反比例函数的应用】 【例7】（24-25七年级上·河南安阳·期末）水池中有若干吨水，开一个出水口将全池水放光，所用时间（单位：时）与出水速度（单位：吨/时）之间的关系如下表： 出水速度（吨/时） 10 8 5 4 … 时间（时） 1 1.25 2 2.5 … 请结合表格解答下列问题： (1)池子中原有水 吨； (2)出水口打开后，出水速度是怎样随着时间的变化而变化的？ (3)用式子表示与之间的关系，并求出水口打开多长时间，出水速度是2吨/时． 【变式7-1】（25-26九年级上·广西百色·期中）学生去学校食堂就餐经常需要排队等待．经调查发现，学生的满意度y与等待时间x分钟成反比例关系，如下表： 等待时间x 1 2 5 10 20 满意度y 100 50 20 10 5 已知学生等待时间不超过30分钟． (1)求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； (2)学生等待时间为8分钟，求学生的满意度； (3)当满意度不低于10时，学生才感觉比较满意，则学校食堂最多可以让学生等待多长时间？ 【变式7-2】（25-26九年级上·山东济宁·月考）“喝酒不开车，开车不喝酒”，交警经常选择使用测酒仪来检测驾驶人员是否酒后开车，测酒仪中的核心部件为电阻，经过测量发现，电阻的阻值与驾驶人员呼出的气体中酒精浓度之间的变化关系如下表： /（） … … (1)根据表中数据，求电阻的阻值与驾驶人员呼出的气体中酒精浓度之间的函数关系式．（不要求写出自变量的取值范围） (2)查阅资料发现，当驾驶人员血液中酒精的质量不低于且小于时，且驾驶人员血液中酒精浓度约等于其呼出气体中酒精浓度的100倍，该驾驶员为饮酒后驾驶．当测酒仪中核心部件电阻的阻值在什么范围内，驾驶员为饮酒后驾驶？ 【变式7-3】（25-26九年级上·广东河源·期中）问题情境： 区间测速是指检测机动车在两个相邻测速监控点之间的路段（测速区间）上平均速度的方法．小聪搜集了某路段测速区间内若干小型汽车行驶的平均速度与行驶时间的数据如下表．建立模型： （1）根据调查数据可知，该路段测速区间内小型汽车平均速度是行驶时间的函数．求与之间的函数关系式； 小型车辆 行驶时间 平均速度 问题解决： （2）若某辆小汽车通过该测速区间的行驶时间为，求它的平均速度； （3）已知该测速区间限速要求不超过，小汽车通过该测速区间时，行驶时间应控制在怎样的范围内？ 【题型8 方案设计类反比例函数的应用】 【例8】（25-26八年级上·上海·期中）双十一促销活动开始，甲乙两家商场采用了不同的促销方案．如果用优惠率（其中代表优惠金额，代表顾客购买商品的总金额）衡量消费者受益程度，则甲乙两商场的优惠率与顾客购买总金额（元）之间的函数关系分别如图所示，其中成反比例函数关系，且总金额m（元）的取值范围满足． (1)___________；用含m的代数式表示：___________． (2)当购买总金额m（元）在的条件下时，指出甲、乙两家商场正在采取的促销方案分别是什么？ 甲：___________；乙：___________ (3)完全相同的商品，在甲、乙两家商场的标价都是m元（），选择哪家商场购买该商品花钱少？请说明理由． 【变式8-1】如图，某课外兴趣小组计划利用已有的篱笆围成一个一边靠墙、面积为 的矩形花园、其中墙长为，现在可用的篱笆总长为， (1)若设 ，请写出关于的函数表达式、 (2)若要使的篱笆全部用完，能否围成面积为 的花园? 若能，请求出长和宽；若不能，请说明理由． (3)假设围成矩形花园 三边的材料总长不超过，材料和的长都是整米数，求满足条件的所有围建方案． 【变式8-2】（2024·浙江台州·三模）某综合实践小组准备研究心率（每分钟心跳次数）与跳绳活动（每分钟跳160次左右）持续时间的关系，用实测心率占最大心率的百分比（也叫相对心率）来描述运动后的即时心率与跳绳持续时间的关系（最大心率年龄）．该小组在九年级学生中随机抽取了20位男生（年龄都是16岁），测试了跳绳持续时间与相对心率，通过计算平均数后得到的数据如下表： 跳绳持续时间（单位：秒） 0 30 60 90 140 … 平均相对心率（%） 40 60 70 76 82 … (1)该小组讨论认为，一次函数、二次函数、反比例函数都不能很好地表示随变化的规律，请你说明理由． (2)该小组请教体育老师和保健医生后知道，随着跳绳持续时间增加，平均相对心率随之增加且增加的速度越来越慢．他们计算表中的值，画出散点图如下图所示，发现是（是常数）的反比例函数，求与之间的函数表达式． (3)该小组查阅资料发现： 热身运动合适的心率范围是最大心率的； 减脂运动合适的心率范围是最大心率的； 有氧耐力运动（锻炼心肺功能）合适的心率范围是最大心率的； 无氧耐力运动合适的心率范围是最大心率的，从健康角度考虑，相对心率不应超过． 根据这些信息，请你帮学校设计一套适合男生跳绳持续时间的训练方案． 【变式8-3】（2025·广东佛山·二模）综合与实践 【问题情境】小明在海边看到一艘装有四根大圆筒的轮船（如1图所示），通过查阅资料了解到这是马格努斯转子船，当圆筒高速旋转时，可以助推货轮前进，其原理是旋转的物体在流体（如空气或水）中运动时，会受到一个垂直于运动方向的力，这种物理现象被称为马格努斯效应（如2图所示）．生活中的足球“香蕉球”、乒乓球弧圈球，都是马格努斯效应的常见例子． 【设计方案】小明与同学组成科技小组，设计实验验证马格努斯效应．实验装置如3图所示，圆柱体模拟转子船的圆筒（圆柱体半径和高度都可以调节）．已知装置产生的推力满足公式．，其中k为比例系数（与圆柱体侧面积A有关，实验条件下关系近似为ω为电机控制圆柱体旋转的角速度（单位：），v为电风扇模拟的风速（单位：），产生的推力F可用测力计测量（单位：N）．现有实验数据如下： 实验组 风速v（） 旋转角速度ω（） 推力F（N） 1 5 4 24 【问题解决】 (1)保持风速不变，若要推力达到48N，求此时旋转角速度； (2)保持风速不变，已知圆柱体的最高旋转角速度ω为10． ①现有装置能否产生100N的推力？请说明理由； ②已知初始时圆柱体半径，请设计一个改变圆柱体半径的方案（高度不变），使得装置在最高旋转角速度下能产生100N推力．（结果保留2位小数，计算过程中π取3） 【题型9 反比例函数与一次函数的综合实际应用】 【例9】（25-26九年级上·河北石家庄·期中）生物实践小组搜集了某种植园温室大棚智能控制系统测试阶段时的温度变化，并绘制出大棚内的温度随时间（时）变化的图象，如图所示，点表示智能控制系统在0时启动，此时大棚内的温度为，线段表示升温阶段，线段表示恒温阶段，双曲线的一部分表示恒温系统关闭阶段，点表示24时温度降到． (1)求线段及双曲线段的函数解析式（写出自变量取值范围）； (2)求该大棚在时内，温度不低于的时长， (3)此地日出时间为，日落时间为，为保证该大棚中的植物至少有9小时的光照且在此期间大棚温度不低于，小组同学决定推迟智能控制系统的启动时间，至少推迟___________小时，能满足上述要求． 【变式9-1】某玩具厂生产一种玩具，本着控制固定成本，降价促销的原则，使生产的玩具能够全部售出．据市场调查，若按每个玩具280元销售时，每月可销售300个．若销售单价每降低1元，每月可多售出2个．据统计，每个玩具的固定成本Q（元）与月产销量y（个）满足如下关系： 月产销量y（个） … 160 200 240 300 … 每个玩具的固定成本Q（元） … 60 48 40 32 … （1）每月产销量y（个）与销售单价x（元）之间的函数关系式为______；从上表可知．每个玩具的固定成本Q（元）与月产销量y（个）之间满足反比例函数关系式，求出Q与y之间的关系式； （2）若每个玩具的固定成本为30元，求它的销售单价是多少元？ （3）若该厂这种玩具的月产销量不超过400个，求此时销售单价是多少元？ 【变式9-2】（25-26九年级上·贵州贵阳·月考）我省某化工厂2023年1月的利润为200万元，若设2023年1月为第一个月，第x个月的利润为y万元；由于污染问题，该厂决定从2023年1月底适当限产，同时投入资金进行新技术改造．从1月底到5月，y与x成反比例关系．到5月底，新技术改造任务顺利完成，从这时起，之后该厂每月利润比前月增加20万元（如图）． (1)分别求出在新技术改造阶段及新技术改造后，y与x之间的函数表达式； (2)若设第3个月时该厂的利润为，第4个月时该厂的利润为，第7个月时利润为，则、和的大小关系为：________（用“>”连接）； (3)当月利润少于100万元时，为该厂资金紧张期，请求出该厂资金紧张期共有几个月？ 【变式9-3】（2024·辽宁铁岭·二模）小明家饮水机中原有水的温度为20℃，通电开机后，饮水机自动开始加热[此过程中水温y（℃）与开机时间x（分）满足一次函数关系]，当加热到100℃时自动停止加热，随后水温开始下降[此过程中水温y（℃）与开机时间x（分）成反比例关系]，当水温降至20℃时，饮水机又自动开始加热…，重复上述程序（如图所示），根据图中提供的信息，解答下列问题： (1)当时，求水温y（℃）与开机时间x（分）的函数关系式； (2)求图中t的值； (3)有一天，小明在上午（水温20℃），开机通电后去上学，中午放学回到家时间刚好，饮水机内水的温度约为多少℃？并求：在这段时间里，水温共有几次达到100℃？ 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $