1.3 用反比例函数解决问题（第2课时）（教学设计）数学新教材苏科版九年级上册

该初中数学教学设计聚焦“用反比例函数解决问题（2）”，核心是从实际情境提炼“积为定值”关系，建立纯反比例或复合型函数，求解参数并应用增减性与取整原则。课堂导入通过回顾杠杆平衡等物理问题，引出“总量不变”的数学本质，激活旧知，搭建新旧知识联系的学习支架。 这份资料以多情境任务（如录入文字、箱包成本计算）引导学生抽象反比例关系，体现数学眼光。通过“审—设—代—求—答”五步法规范解题，培养逻辑思维，结合复合型函数拆分（如成本含材料与加工部分）和合理取整实例，强化模型意识，助力学生提升解决实际问题能力，为教师提供结构化教学流程与典型案例，提升教学效率。

1.3 用反比例函数解决问题（2） 教学设计 1.教学内容 本课选自苏科版九年级上册第一章《反比例函数》1.3“用反比例函数解决问题（2）”。核心知识点： 1.从实际情境中提炼“积为定值”的等量关系，建立 或 型函数； 2.由已知数据列方程（组）求 等参数； 应用反比例函数的增减性与取整原则（进一、去尾等）解决“至少、至多”类问题。 2.内容解析 本节课立足“总量保持不变”这一数学本质，通过社会调查录入、箱包成本、蓄水池设计等多元化情境，引导学生发现并构建反比例模型。教学流程遵循“审—设—代—求—答”五步法：①审题找出不变总量，确定反比例关系；②根据情境选择 或 解析式；③利用所给数据列方程（组）求未知参数；④借助函数的单调性及图象特点求值或范围；⑤结合实际进行合理取整并作出结论。过程中突出“复合型反比例函数”与“合理取整”两大教学重点，帮助学生体悟用函数思想解决实际问题的价值，培养建模意识与批判性思维。 1.教学目标 • 能从日常生活、经济生产和工程实践等实际情境中，提炼等量关系，建立反比例函数解析式。 •掌握复合型函数 的列式、联立方程组求解方法。 •会根据实际问题的需要对计算结果进行合理取整（如进一法、去尾法）。 2.目标解析 •通过多情境任务（录入文字、运费、铺路等），让学生识别“积为定值”的量，能独立写出 或 。 •借助例3及变式练习，指导学生由两组数据列方程组，并检验模型的适切性。 3.重点难点 • 教学重点：从情境中抽象“总量＝变量 × 变量”的反比例关系。 • 教学难点：正确分离常量项与反比例项，避免误设纯反比例。 九年级学生已掌握一次方程（组）、比例与反比例概念，能进行基本的代数运算；对函数思想已有初步体验。优势：对“乘积不变”直观感受强，能迅速建立 。不足：1.对复合型函数 的模型拆分及参数求解生疏；2.不善于在文字题中快速捕捉“固定总量”； 对“至少、至多”类型的取整规则理解模糊。因此需通过典型案例、五步法示范与针对性练习，强化建模步骤、参数求解和结果的合理性判断，帮助学生突破难点，提高应用反比例函数解决问题的能力。 创设情景，引入新课 知识回顾： 上节课探讨的杠杆平衡、压强计算等物理问题，其数学本质是什么？ 其数学本质均为“总量保持不变，两个相关变量成反比例关系”． 反比例函数并非只存在于物理问题中，在我们的日常生产与生活里，它也有着极为广泛的应用． 【设计意图】从学生熟悉的杠杆平衡、压强计算等物理问题情境切入，引出“反比例”与“常数＋反比例”模型，激活旧知，明确新课研究对象。 探究点：反比例应用题解题步骤 1.例题精讲 例2 小丽要把一篇24 000字的社会调查报告录入电脑． (1) 完成录入的时间 t (min)与录入文字的平均速度v (字/min)有怎样的函数关系？ (2) 小丽每分钟至少应录入多少个字，才能保证在3 h内完成录入任务？ 思考：① 题中哪个量是固定不变的？ ② 当总字数一定时， 录入时间和 录入速度满足什么关系？ ③ 第(2)问中，“至少”应如何理解？ 总字数＝录入速度 (v) × 时间 (t) 解：(1)由v·t＝24 000，得　t＝． 答：完成录入的时间 t 是录入文字速度v的反比例函数． (2)把 t＝180代入v·t＝24 000，得 v＝＝≈133.3． 根据反比例函数的性质，t 随 v 的增大而减小，因此，小丽每分钟至少应录入134字，才能在3 h内完成录入任务． 例3 某箱包厂计划生产一批双肩包，已知双肩包的成本 y (元/个) 由材料成本和加工成本两部分组成．其中材料成本保持不变，加工成本与加工数量 x (个) 成反比例函数关系．经测算，生产1 000个双肩包，成本是40元/个；生产2 000个双肩包，成本是35元/个． (1) 求 y (元/个)关于 x (个) 的函数表达式； (2) 若要把成本控制在32元/个，应生产多少个双肩包？ 思考：① 成本由几部分组成？ ② 材料成本有什么特点？加工成本有什么特点？ ③ 双肩包的成本 y 如何表示？有几个待定系数？（y＝a＋） 解：(1) 设每个双肩包的材料成本为a元，则y关于x的函数表达式为y＝a＋． 根据题意，得 40＝a＋，35＝a＋．　解得k＝10 000，a＝30． 所求函数表达式为y＝30＋． (2) 把y＝32代入y＝30＋， 得 32＝30＋．解得 x＝5 000． 经检验，x＝5 000是原方程的解． 所以应生产5 000个双肩包． 重点点拨：这是常数＋反比例复合型函数，不是纯反比例，审题要拆分两部分成本，不能直接设 y＝． 2.知识归纳 反比例应用通用解题五步： 1．审：找不变总量．在题目中仔细寻找乘积为定值的两个变量，以此确定两者之间存在的反比例关系，这是解题的基础前提； 2．设：设函数解析式．根据题意选择合适形式．纯反比例型设y＝，若存在常数项的复合型，则设y＝a＋ ； 3．代：代入求参数．代入已知点 / 两组数据得方程(组)，求参数，写出解析式； 4．求：求值/范围．根据题意将已知的变量的值代入求出另一变量的值；或利用增减性分析“至少、至多”范围； 5．答：结合实际取值（正数、整数）写答案． 【设计意图】通过“打字”实例让学生在最熟悉的生活场景中体验“乘积为定值→反比例函数→合理取整”的完整思维链条，夯实纯反比例应用的“五步法”。 1.某污水处理厂计划建造一个容积为4×的长方体蓄水池． (1) 求蓄水池的底面积 S (m²)关于其深度 h (m)的函数表达式． (2) 如果蓄水池的深度设计为 5 m，那么它的底面积应为多少？ (3) 如果考虑绿化以及辅助用地的需要，蓄水池的长和宽最多只能分别设计为100 m 和 60 m，那么它的深度至少应为多少(结果精确到0.01)？ 解：(1)由Sh＝，得S＝（h＞0）． 答：蓄水池的底面积 S关于其深度 h 的函数表达式为S＝（h＞0） (2)把h＝5代入S＝中，得S＝＝8× (m²)． 答：当蓄水池的深度设计为5m时，它的底面积应为8× m². (3)根据题意，得S＝100×60＝6000 (m²)． 把 S＝6000代入S＝，得6000＝ h＝＝≈6.67 (m)． 答：蓄水池的深度至少应为6.67m． 2.上题中，建造蓄水池需要运送的土石方总量为4×，某运输公司承担了该项工程的运送土石方任务． (1) 运输公司平均每天运送的土石方V(/天)与完成任务所需要的时间 t (天)之间有怎样的函数关系？ 解：(1)由Vt＝，得V＝． 答：平均每天运送的土石方V是完成任务所需要的时间t的反比例函数． (2) 运输公司共派出20辆卡车，每辆卡车每天可运送土石方100，需要多少天才能完成该任务？工程进行了8天后，如果需要提前4天完成任务，那么该运输公司至少需要增派多少辆同样的卡车才能按时完成任务？ 解：(2)当V＝20×100＝2000时，得2000＝，解得t＝20．即需要20天才能完成该任务． 当工程进行了8天后，还剩40000－8×2000＝24000 ()， 如果需要提前4天完成任务，还需要20－8－4＝8天， 每天需完成＝3000，共需要车＝30辆，则公司至少需要增派30－20＝10辆 同样的卡车才能按时完成任务． 3．有一条长80m、宽2.4m的路面，计划由两名工人用边长为40cm的正方形地砖来铺设．设每名工人平均每小时铺地砖n块，两人合作完成此项工作所需时间为 t h． (1) 求 t (h)关于n (块)的函数表达式； 解：(1) 路面面积为：80×2.4＝192 ()，每块地砖面积为：0.4×0.4＝0.16 ()， 两人合作每小时铺地砖2n块，每小时铺的面积为0.16×2n＝0.32n()， t ＝＝（n＞0）． 答：t与n的函数表达式为 t ＝（n＞0）． (2) 如果这两名工人要在15 h内完成此项工程，那么每名工人平均每小时至少要铺设多少块地砖？ 解：(2) 把 t＝15代入t＝中， 得到15＝，解得n＝40． 答：每名工人平均每小时至少要铺设40块地砖． 【设计意图】精选与例题结构相似的练习，帮助学生迁移“总量保持—反比例—实际取整”的思维路径；同时保留原题文字，确保课堂与资料的一致性，便于学生复习对照。 主板书 1.3 用反比例函数解决问题（2） 探究点 反比例应用题解题步骤 课堂小结 副板书 例题 学生练习板演 课后练习题。 学科网（北京）股份有限公司 $