第17章 因式分解 单元练习卷 2025--2026学年人教版八年级数学上册

第17章 因式分解提优练习卷人教版八年级上 一．选择题（共8小题，每题3分，共24分） 1．下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（　　） A．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） B．a（x﹣y）＝ax﹣ay C．x2+2x+1＝x（x+2）+1 D．（x+1）（x+3）＝x2+4x+3 2．如果9x2+kx+25是一个完全平方式，那么k的值是（　　） A．30 B．±30 C．15 D．±15 3．已知a﹣b＝5，b﹣c＝﹣6，则代数式a2﹣ac﹣b（a﹣c）的值为（　　） A．﹣30 B．30 C．﹣5 D．﹣6 4．如图，长宽分别为a、b的长方形周长为16，面积为12，则a2b+ab2的值为（　　） A．80 B．96 C．192 D．240 5．若一个关于x的多项式的完全平方是4x2+（m﹣1）x+9，则m的值为（　　） A．m＝﹣5 B．m＝7 C．m＝13或m＝﹣11 D．m＝﹣5或m＝7 6．下列因式分解结果正确的是（　　） A．x2﹣5x+6＝（x﹣2）（x﹣3） B．4x2﹣9＝（4x+3）（4x﹣3） C．a2﹣2a+1＝（a+1）2 D．x2+3x+2＝x（x+3）+2 7．多项式8a3b2﹣12ab3c的公因式是（　　） A．4ab2 B．4abc C．2ab2 D．4ab3 8．小明在抄分解因式的题目时，不小心漏抄了x的指数，他只知道该数为不大于10的正整数，并且能利用平方差公式分解因式，他抄在作业本上的式子是x□﹣4y2（“□”表示漏抄的指数），则这个指数可能的结果共有（　　） A．2种 B．3种 C．4种 D．5种 二．填空题（共10小题，每题3分，共30分） 9．分解因式：x3﹣2x2+x＝　 　 ． 10．已知y≠0，且x2﹣3xy﹣4y2＝0．则的值是　 　 ． 11．甲、乙两个同学分解因式x2+ax+b时，甲看错了b，分解结果为（x+2）（x+4）；乙看错了a，分解结果为（x+1）（x+9），则a+b＝　 　 ． 12．若多项式x2+kx﹣6有一个因式是（x﹣2），则k＝　 　 ． 13．若是关于字母a，b的二元一次方程ax+ay﹣b＝7的一个解，代数式x2+2xy+y2﹣1的值是 　 　 ． 14．若长方形的长为a，宽为b，周长为16，面积为15，则a2b+ab2的值为　 　 ． 15．设有边长分别为a和b（a＞b）的A类和B类正方形纸片、长为a宽为b的C类矩形纸片若干张．如图所示要拼一个边长为a+b的正方形，需要1张A类纸片、1张B类纸片和2张C类纸片．若要拼一个长为3a+b，宽为2a+2b的矩形，则需要C类纸片的张数为 　 　 张． 16．小丽在计算一个二项式的平方时，得到正确结果m2﹣10mn+■，但最后一项不慎被墨水污染，这一项应是　 　 ． 17．在有理数范围内分解因式：（x+1）（x+2）（2x+3）（x+6）﹣20x4＝　 　 ． 18．多项式1+9x2加上一个单项式后，使它能成为一个整式的完全平方式，那么加上的单项式可以是　 　 （填上一个你认为正确的即可）． 三．解答题（共8小题，共96分） 19．因式分解： （1）（x+3）2﹣16； （2）x4﹣18x2+81． 20．已知多项式A＝x2+2x+n2，多项式B＝2x2+4x+3n2+3． （1）若多项式x2+2x+n2是完全平方式，则n＝　 　 ； （2）已知x＝m时，多项式x2+2x+n2的值为﹣1，则x＝﹣m时，该多项式的值为多少？ （3）判断多项式A与B的大小关系并说明理由． 21．发现与探索：根据小明的解答将下列各式因式分解 ①a2﹣12a+20 ②（a﹣1）2﹣8（a﹣1）+7 ③a2﹣6ab+5b2 22．利用整式的乘法运算法则推导得出：（ax+b）（cx+d）＝acx2+（ad+bc）x+bd．我们知道因式分解是与整式乘法方向相反的变形，利用这种关系可得acx2+（ad+bc）x+bd＝（ax+b）（cx+d）．通过观察可把acx2+（ad+bc）x+bd看作以x为未知数，a、b、c、d为常数的二次三项式，此种因式分解是把二次三项式的二项式系数ac与常数项bd分别进行适当的分解来凑一次项的系数，分解过程可形象地表述为“竖乘得首、尾，叉乘凑中项”，如图1，这种分解的方法称为十字相乘法．例如，将二次三项式2x2+11x+12的二项式系数2与常数项12分别进行适当的分解，如图2，则2x2+11x+12＝（x+4）（2x+3）． 根据阅读材料解决下列问题： （1）用十字相乘法分解因式：x2+6x﹣27； （2）用十字相乘法分解因式：6x2﹣7x﹣3； （3）结合本题知识，分解因式：20（x+y）2+7（x+y）﹣6． 23．仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知二次三项式x2﹣4x+m有一个因式是（x+3），求另一个因式以及m的值． 解：设另一个因式为（x+n），得 x2﹣4x+m＝（x+3）（x+n） 则x2﹣4x+m＝x2+（n+3）x+3n ∴． 解得：n＝﹣7，m＝﹣21 ∴另一个因式为（x﹣7），m的值为﹣21 问题：仿照以上方法解答下面问题： 已知二次三项式2x2+3x﹣k有一个因式是（2x﹣5），求另一个因式以及k的值． 24．下面是某同学对多项式（x2﹣4x+2）（x2﹣4x+6）+4进行因式分解的过程． 解：设x2﹣4x＝y 原式＝（y+2）（y+6）+4（第一步） ＝y2+8y+16（第二步） ＝（y+4）2（第三步） ＝（x2﹣4x+4）2（第四步） 回答下列问题： （1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的 　 　 ． A、提取公因式； B、平方差公式； C、两数和的完全平方公式； D、两数差的完全平方公式． （2）该同学因式分解的结果是否彻底 　 　 ．（填“彻底”或“不彻底”） 若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果 　 　 ． （3）请你模仿以上方法尝试对多项式（x2﹣2x）（x2﹣2x+2）+1进行因式分解． 25．对于多项式x3﹣5x2+x+10，我们把x＝2代入此多项式，发现x＝2能使多项式x3﹣5x2+x+10的值为0，由此可以断定多项式x3﹣5x2+x+10中有因式（x﹣2），（注：把x＝a代入多项式，能使多项式的值为0，则多项式一定含有因式（x﹣a）），于是我们可以把多项式写成：x3﹣5x2+x+10＝（x﹣2）（x2+mx+n），分别求出m、n后再代入x3﹣5x2+x+10＝（x﹣2）（x2+mx+n），就可以把多项式x3﹣5x2+x+10因式分解． （1）求式子中m、n的值； （2）以上这种因式分解的方法叫“试根法”，用“试根法”分解多项式x3+5x2+8x+4． 26．若我们规定三角“”表示为：abc；方框“”表示为：（xm+yn）．例如：＝1×19×3÷（24+31）＝3．请根据这个规定解答下列问题： （1）计算：＝　 　 ； （2）代数式为完全平方式，则k＝　 　 ； （3）解方程：＝6x2+7． 参考答案 一．选择题（共8小题） 1．下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（　　） A．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） B．a（x﹣y）＝ax﹣ay C．x2+2x+1＝x（x+2）+1 D．（x+1）（x+3）＝x2+4x+3 【解答】解：A、a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），把一个多项式化为几个整式的积的形式，故此选项符合题意； B、a（x﹣y）＝ax﹣ay，是整式的乘法，不是因式分解，故此选项不符合题意； C、x2+2x+1＝x（x+2）+1，没把一个多项式化为几个整式的积的形式，不是因式分解，故此选项不符合题意； D、（x+1）（x+3）＝x2+4x+3，是整式的乘法，不是因式分解，故此选项不符合题意； 故选：A． 2．如果9x2+kx+25是一个完全平方式，那么k的值是（　　） A．30 B．±30 C．15 D．±15 【解答】解：∵（3x±5）2＝9x2±30x+25， ∴在9x2+kx+25中，k＝±30． 故选：B． 3．已知a﹣b＝5，b﹣c＝﹣6，则代数式a2﹣ac﹣b（a﹣c）的值为（　　） A．﹣30 B．30 C．﹣5 D．﹣6 【解答】解：∵a﹣b＝5，b﹣c＝﹣6， ∴a﹣c＝﹣1， ∴a2﹣ac﹣b（a﹣c） ＝a（a﹣c）﹣b（a﹣c） ＝（a﹣c）（a﹣b） ＝5×（﹣1） ＝﹣5； 故选：C． 4．如图，长宽分别为a、b的长方形周长为16，面积为12，则a2b+ab2的值为（　　） A．80 B．96 C．192 D．240 【解答】解：∵边长为a，b的长方形周长为16，面积为12， ∴a+b＝8，ab＝12， ∴a2b+ab2 ＝ab（a+b） ＝12×8 ＝96． 故选：B． 5．若一个关于x的多项式的完全平方是4x2+（m﹣1）x+9，则m的值为（　　） A．m＝﹣5 B．m＝7 C．m＝13或m＝﹣11 D．m＝﹣5或m＝7 【解答】解：∵一个关于x的多项式的完全平方是4x2+（m﹣1）x+9， ∴（m﹣1）x＝±2×2x×3， ∴m﹣1±12， 解得：m＝13或m＝﹣11， 故选：C． 6．下列因式分解结果正确的是（　　） A．x2﹣5x+6＝（x﹣2）（x﹣3） B．4x2﹣9＝（4x+3）（4x﹣3） C．a2﹣2a+1＝（a+1）2 D．x2+3x+2＝x（x+3）+2 【解答】解：A．因为x2﹣5x+6＝（x﹣2）（x﹣3），故符合题意； B．因为4x2﹣9＝（2x+3）（2x﹣3），故不符合题意； C．因为a2﹣2a+1＝（a﹣1）2，故不符合题意； D．因为x2+3x+2＝（x+1）（x+2），故不符合题意． 故选：A． 7．多项式8a3b2﹣12ab3c的公因式是（　　） A．4ab2 B．4abc C．2ab2 D．4ab3 【解答】解：多项式的公因式是4ab2， 故选：A． 8．小明在抄分解因式的题目时，不小心漏抄了x的指数，他只知道该数为不大于10的正整数，并且能利用平方差公式分解因式，他抄在作业本上的式子是x□﹣4y2（“□”表示漏抄的指数），则这个指数可能的结果共有（　　） A．2种 B．3种 C．4种 D．5种 【解答】解：该指数可能是2、4、6、8、10五个数． 故选：D． 二．填空题（共10小题） 9．分解因式：x3﹣2x2+x＝x（x﹣1）2 ． 【解答】解：x3﹣2x2+x＝x（x2﹣2x+1）＝x（x﹣1）2． 故答案为：x（x﹣1）2． 10．已知y≠0，且x2﹣3xy﹣4y2＝0．则的值是　4或﹣1　 ． 【解答】解：∵x2﹣3xy﹣4y2＝0，即（x﹣4y）（x+y）＝0， 可得x＝4y或x＝﹣y， ∴或， 即的值是4或﹣1； 故答案为：4或﹣1． 11．甲、乙两个同学分解因式x2+ax+b时，甲看错了b，分解结果为（x+2）（x+4）；乙看错了a，分解结果为（x+1）（x+9），则a+b＝　15　 ． 【解答】解：分解因式x2+ax+b，甲看错了b，但a是正确的， 他分解结果为（x+2）（x+4）＝x2+6x+8， ∴a＝6， 同理：乙看错了a，分解结果为（x+1）（x+9）＝x2+10x+9， ∴b＝9， 因此a+b＝15． 故答案为：15． 12．若多项式x2+kx﹣6有一个因式是（x﹣2），则k＝　1　 ． 【解答】解：设另一个式子是（x+a）， 则（x﹣2）•（x+a）， ＝x2+（a﹣2）x﹣2a， ＝x2+kx﹣6， ∴a﹣2＝k，﹣2a＝﹣6， 解得a＝3，k＝1． 故应填1． 13．若是关于字母a，b的二元一次方程ax+ay﹣b＝7的一个解，代数式x2+2xy+y2﹣1的值是 　24　 ． 【解答】解：把a＝1，b＝﹣2代入ax+ay﹣b＝7，得 x+y＝5， ∴x2+2xy+y2﹣1 ＝（x+y）2﹣1 ＝52﹣1 ＝24． 故答案为：24． 14．若长方形的长为a，宽为b，周长为16，面积为15，则a2b+ab2的值为　120　 ． 【解答】解：由题意得：a+b＝8，ab＝15， 则原式＝ab（a+b）＝120， 故答案为：120 15．设有边长分别为a和b（a＞b）的A类和B类正方形纸片、长为a宽为b的C类矩形纸片若干张．如图所示要拼一个边长为a+b的正方形，需要1张A类纸片、1张B类纸片和2张C类纸片．若要拼一个长为3a+b，宽为2a+2b的矩形，则需要C类纸片的张数为 　8　 张． 【解答】解：∵（a+b）2＝a2+b2+2ab，即S大正方形＝SA+SB+2SC， ∴要拼一个边长为a+b的正方形，需要1张A类纸片、1张B类纸片和2张C类纸片． ∵（3a+b）（2a+2b）＝6a2+2b2+8ab，即S矩形＝6SA+2SB+8SC， ∴若要拼一个长为3a+b，宽为2a+2b的矩形，则需要C类纸片的张数为8张， 故答案为：8． 16．小丽在计算一个二项式的平方时，得到正确结果m2﹣10mn+■，但最后一项不慎被墨水污染，这一项应是　25n2 ． 【解答】解：∵m2﹣10mn+■是一个二项式的平方， ∴■＝（5n）2＝25n2， 故答案为：25n2． 17．在有理数范围内分解因式：（x+1）（x+2）（2x+3）（x+6）﹣20x4＝　（3x+2）（3﹣x）（6x2+7x+6）　 ． 【解答】解：（x+1）（x+2）（2x+3）（x+6）﹣20x4 ＝（x+1）（x+6）（x+2）（2x+3）﹣20x4 ＝（x2+7x+6）（2x2+7x+6）﹣20x4 令t＝x2+7x+6 t（x2+t）﹣20x4 ＝t2+tx2﹣20x4 ＝（t﹣4x2）（t+5x2） ＝（x2+7x+6﹣4x2）（x2+7x+6+5x2） ＝（6+7x﹣3x2）（6x2+7x+6） ＝（3x+2）（3﹣x）（6x2+7x+6）． 故答案为：（3x+2）（3﹣x）（6x2+7x+6）． 18．多项式1+9x2加上一个单项式后，使它能成为一个整式的完全平方式，那么加上的单项式可以是　6x或﹣6x或x4或﹣1或﹣9x2 （填上一个你认为正确的即可）． 【解答】解：①当9x2是平方项时，1±6x+9x2＝（1±3x）2， ∴可添加的项是6x或﹣6x， ②当9x2是乘积二倍项时，1+9x2x4＝（1x2）2， ∴可添加的项是x4． ③添加﹣1或﹣9x2． 故答案为：6x或﹣6x或x4或﹣1或﹣9x2． 三．解答题（共8小题） 19．因式分解： （1）（x+3）2﹣16； （2）x4﹣18x2+81． 【解答】解：（1）（x+3）2﹣16 ＝（x+3+4）（x+3﹣4） ＝（x+7）（x﹣1）； （2）x4﹣18x2+81 ＝（x2﹣9）2 ＝（x﹣3）2（x+3）2． 20．已知多项式A＝x2+2x+n2，多项式B＝2x2+4x+3n2+3． （1）若多项式x2+2x+n2是完全平方式，则n＝　1或﹣1　 ； （2）已知x＝m时，多项式x2+2x+n2的值为﹣1，则x＝﹣m时，该多项式的值为多少？ （3）判断多项式A与B的大小关系并说明理由． 【解答】解：（1）∵x2+2x+n2是一个完全平方式， ∴n2＝1， ∴n＝±1． 故答案为：1或﹣1； （2）当x＝m时m2+2m+n2＝﹣1， ∴m2+2m+1+n2＝0， ∴（m+1）2+n2＝0， ∵（m+1）2≥0，n2≥0， ∴x＝m＝﹣1，n＝0， ∴x＝﹣m时，多项式x2+2x+n2的值为m2﹣2m+n2＝3； （3）B＞A． 理由如下：B﹣A＝2x2+4x+3n2+3﹣（x2+2x+n2）＝x2+2x+2n2+3＝（x+1）2+2n2+2， ∵（x+1）2≥0，2n2≥0， ∴（x+1）2+2n2+2＞0， ∴B＞A． 21．发现与探索：根据小明的解答将下列各式因式分解 ①a2﹣12a+20 ②（a﹣1）2﹣8（a﹣1）+7 ③a2﹣6ab+5b2 【解答】解：①a2﹣12a+20 解原式＝a2﹣12a+36﹣36+20 ＝（a﹣6）2﹣42 ＝（a﹣10）（a﹣2）； ②（a﹣1）2﹣8（a﹣1）+7 ＝（a﹣1）2﹣8（a﹣1）+16﹣16+7 ＝（a﹣5）2﹣32 ＝（a﹣8）（a﹣2）； ③a2﹣6ab+5b2 解原式＝a2﹣6ab+9b2﹣9b2+5b2 ＝（a﹣3b）2﹣4b2 ＝（a﹣5b）（a﹣b）． 22．利用整式的乘法运算法则推导得出：（ax+b）（cx+d）＝acx2+（ad+bc）x+bd．我们知道因式分解是与整式乘法方向相反的变形，利用这种关系可得acx2+（ad+bc）x+bd＝（ax+b）（cx+d）．通过观察可把acx2+（ad+bc）x+bd看作以x为未知数，a、b、c、d为常数的二次三项式，此种因式分解是把二次三项式的二项式系数ac与常数项bd分别进行适当的分解来凑一次项的系数，分解过程可形象地表述为“竖乘得首、尾，叉乘凑中项”，如图1，这种分解的方法称为十字相乘法．例如，将二次三项式2x2+11x+12的二项式系数2与常数项12分别进行适当的分解，如图2，则2x2+11x+12＝（x+4）（2x+3）． 根据阅读材料解决下列问题： （1）用十字相乘法分解因式：x2+6x﹣27； （2）用十字相乘法分解因式：6x2﹣7x﹣3； （3）结合本题知识，分解因式：20（x+y）2+7（x+y）﹣6． 【解答】解：（1）x2+6x﹣27 ＝（x+9）（x﹣3）； （2）6x2﹣7x﹣3 ＝（3x+1）（2x﹣3）； （3）20（x+y）2+7（x+y）﹣6 ＝[4（x+y）+3][5（x+y）﹣2] ＝（4x+4y+3）（5x+5y﹣2）． 23．仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知二次三项式x2﹣4x+m有一个因式是（x+3），求另一个因式以及m的值． 解：设另一个因式为（x+n），得 x2﹣4x+m＝（x+3）（x+n） 则x2﹣4x+m＝x2+（n+3）x+3n ∴． 解得：n＝﹣7，m＝﹣21 ∴另一个因式为（x﹣7），m的值为﹣21 问题：仿照以上方法解答下面问题： 已知二次三项式2x2+3x﹣k有一个因式是（2x﹣5），求另一个因式以及k的值． 【解答】解：设另一个因式为（x+a），得： 2x2+3x﹣k＝（2x﹣5）（x+a）， 则2x2+3x﹣k＝2x2+（2a﹣5）x﹣5a ∴． 解得：a＝4，k＝20． 故另一个因式为（x+4），k的值为20． 24．下面是某同学对多项式（x2﹣4x+2）（x2﹣4x+6）+4进行因式分解的过程． 解：设x2﹣4x＝y 原式＝（y+2）（y+6）+4（第一步） ＝y2+8y+16（第二步） ＝（y+4）2（第三步） ＝（x2﹣4x+4）2（第四步） 回答下列问题： （1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的 C ． A、提取公因式； B、平方差公式； C、两数和的完全平方公式； D、两数差的完全平方公式． （2）该同学因式分解的结果是否彻底 　不彻底　 ．（填“彻底”或“不彻底”） 若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果 　（x﹣2）4 ． （3）请你模仿以上方法尝试对多项式（x2﹣2x）（x2﹣2x+2）+1进行因式分解． 【解答】解：（1）运用了C，两数和的完全平方公式； （2）x2﹣4x+4还可以分解，分解不彻底； （x2﹣4x+4）2＝（x﹣2）4． （3）设x2﹣2x＝y． （x2﹣2x）（x2﹣2x+2）+1， ＝y（y+2）+1， ＝y2+2y+1， ＝（y+1）2， ＝（x2﹣2x+1）2， ＝（x﹣1）4． 25．对于多项式x3﹣5x2+x+10，我们把x＝2代入此多项式，发现x＝2能使多项式x3﹣5x2+x+10的值为0，由此可以断定多项式x3﹣5x2+x+10中有因式（x﹣2），（注：把x＝a代入多项式，能使多项式的值为0，则多项式一定含有因式（x﹣a）），于是我们可以把多项式写成：x3﹣5x2+x+10＝（x﹣2）（x2+mx+n），分别求出m、n后再代入x3﹣5x2+x+10＝（x﹣2）（x2+mx+n），就可以把多项式x3﹣5x2+x+10因式分解． （1）求式子中m、n的值； （2）以上这种因式分解的方法叫“试根法”，用“试根法”分解多项式x3+5x2+8x+4． 【解答】解：（1）在等式x3﹣5x2+x+10＝（x﹣2）（x2+mx+n），中， 分别令x＝0，x＝1， 即可求出：m＝﹣3，n＝﹣5 （2）把x＝﹣1代入x3+5x2+8x+4，得其值为0， 则多项式可分解为（x+1）（x2+ax+b）的形式， 用上述方法可求得：a＝4，b＝4， 所以x3+5x2+8x+4＝（x+1）（x2+4x+4）， ＝（x+1）（x+2）2． 解法二：把x＝﹣2代入x3+5x2+8x+4，得其值为0， 则多项式可分解为（x+2）（x2+ax+b）的形式， 用上述方法可求得：a＝3，b＝2， 所以x3+5x2+8x+4＝（x+2）（x2+3x+2）， ＝（x+1）（x+2）2． 26．若我们规定三角“”表示为：abc；方框“”表示为：（xm+yn）．例如：＝1×19×3÷（24+31）＝3．请根据这个规定解答下列问题： （1）计算：＝　　 ； （2）代数式为完全平方式，则k＝　±3　 ； （3）解方程：＝6x2+7． 【解答】解：（1） ＝[2×（﹣3）×1]÷[（﹣1）4+31] ＝﹣6÷4 ． 故答案为：； （2） ＝[x2+（3y）2]+xk•2y ＝x2+9y2+2kxy， ∵代数式为完全平方式， ∴2k＝±6， 解得k＝±3． 故答案为：±3； （3）＝6x2+7， （3x﹣2）（3x+2）﹣[（x+2）（3x﹣2）+32]＝6x2+7， 解得x＝﹣4． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/1/7 13:38:20；用户：沈晓伟；邮箱：orFmNt-72lbAHdKYUsSxwOObB6og@weixin.jyeoo.com；学号：23270586 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $