1.1.1空间向量及其线性运算同步练-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 围绕空间向量线性运算，以题型分层设计，从概念判断、参数求解到几何应用，梯度递进，适配新授课知识巩固与能力提升，培养空间观念与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础概念|空间向量共面判断、命题真假辨析|以选择、填空题为主，如判断四点共面条件，夯实空间观念| |简单应用|共面参数计算、定理直接应用|结合正方体等模型求参数，如已知共面关系求实数λ，培养推理能力| |综合应用|数乘运算、几何表示与证明|通过平行六面体、四面体证明共面及平行，如证明四点共面与面面平行，深化几何直观|

1.1.1空间向量及其线性运算 题型一 判断空间向量共面 1．已知点，，不共线，为平面外一点，下列能够确定，，，四点共面的是（    ） A． B． C． D． 2．下列命题为真命题的是（    ）． A．空间内三点确定一个平面 B．垂直于同一个平面的两条直线互相平行 C．若向量，，是不共面的向量，则，，也是不共面的向量 D．若对空间中任意一点O，有，则P，A，B，C四点共面 3．如图，M、N分别是空间四边形ABCD的边AB、CD的中点，则向量与、______．（填“共面”或“不共面”）    4．如图，已知平行四边形ABCD，从平面ABCD外一点O引向量，，，． (1)求证：四点E，F，G，H共面； (2)求证：平面ABCD∥平面EFGH． 题型二 空间向量共面求参数 5．已知是同一平面内的四点，且任意三点不共线，为平面外一点，若，则实数的值为（    ） A．1 B． C． D． 6．已知，，是空间中不共线的三点，点为空间内的任意一点，若点在平面内，且，则下列关于和的值满足条件的是（    ） A．， B．， C．， D．， 7．已知A，B，C三点不共线，P为平面ABC外一点，且.若H，A，B，C四点共面，则__________. 8．如图，在棱长为2的正方体中，点E，F分别是BC，的中点，点G在AB上，． （1）已知上底面内一点H满足，求的长． （2）棱上是否存在一点K，使得GK，EF共面？若存在，求的长；若不存在，说明理由． 题型三 空间空面向量定理的推论及应用 9．已知为空间中四点，任意三点不共线，且，若四点共面，则的值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 10．已知四棱锥满足底面为平行四边形，取中点，过直线作平面分别交棱于点.设，则（    ） A．三棱锥的体积是四棱锥的体积的 B．的取值范围为 C．当时， D．四棱锥的体积与四棱锥的体积之比的最小值为 11．已知A,B,C三点不共线，对空间任意一点O，都满足.若A,B,C,D四点共面，则m＝______. 12．如图所示，在长方体中，为的中点，，且，求证：四点共面． 题型四 空间向量的数乘运算 13．如图，在平行六面体中，与的交点为点，设，，，下列向量中与相等的向量是（   ） A． B． C． D． 14．如图，在棱长为2的正方体中，均为所在棱的中点，动点在正方体表面运动，则下列结论中正确的为（    ） A．在中点时，平面平面 B．异面直线所成角的余弦值为 C．不在同一个球面上 D．若，则点轨迹长度为 15．在长方体中，F是DC的中点，设，用表示_________. 16．已知平行六面体，化简下列向量表达式，并在图中标出化简得到的向量：    (1)； (2)； (3). 题型五 空间向量数乘运算的几何表示 17．如图，分别是四面体的棱的中点，且，记，则（    ） A． B． C． D． 18．在棱长为1的正方体中，，，，下列结论正确的是（    ） A．若时，直线与直线的夹角余弦值为 B．若时，周长的最小值为 C．若时，三棱锥的体积为定值 D．当时，有且仅有一个点，使得 19．如图，在四面体ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，则____.    20．如图所示，在长方体ABCD一A1B1C1D1中，，E，F，G，H，P，Q分别是AB，BC，CC1，C1D1，D1A1，A1A的中点，求证：.    1 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.1.1空间向量及其线性运算 题型一 判断空间向量共面 1．已知点，，不共线，为平面外一点，下列能够确定，，，四点共面的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】点不共线，为平面外一点，则四点共面的充要条件是：存在实数，使得且系数和，再逐个验证选项. 【详解】若在平面内，则存在实数，使得,即， 整理得：，令，则， 即点不共线，为平面外一点，则四点共面的充要条件是：存在实数，使得且系数和； 对于 A：系数和，不满足共面条件， 对于B：系数和，不满足共面条件， 对于 C：系数和，满足共面条件， 对于 D：系数和，不满足共面条件. 2．下列命题为真命题的是（    ）． A．空间内三点确定一个平面 B．垂直于同一个平面的两条直线互相平行 C．若向量，，是不共面的向量，则，，也是不共面的向量 D．若对空间中任意一点O，有，则P，A，B，C四点共面 【答案】BCD 【分析】利用平面确定定理可判断A；根据线面垂直性质可判断B；利用反证法判断C；利用空间向量共面的推论判断D. 【详解】A选项，不在同一条直线上的三点确定一个平面，若三点共线，则可确定无数个平面，故A错误； B选项，垂直于同一个平面的两条直线互相平行，故B正确； C选项，若是共面的向量，则存在实数使得， 即，则向量是共面的向量， 与向量是不共面的向量矛盾，所以，，是不共面的向量，故C正确； D选项，因，则由空间向量共面的推论可知，四点共面， 故D正确. 故选：BCD. 3．如图，M、N分别是空间四边形ABCD的边AB、CD的中点，则向量与、______．（填“共面”或“不共面”）    【答案】共面 【分析】根据给定条件，利用空间向量线性运算，再利用共面向量定理判断即得. 【详解】依题意，， 所以向量与、共面. 故答案为：共面 4．如图，已知平行四边形ABCD，从平面ABCD外一点O引向量，，，． (1)求证：四点E，F，G，H共面； (2)求证：平面ABCD∥平面EFGH． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据向量的线性运算可得,由空间向量,可判断向量共面,进而可得点共面. （2）根据向量共线可得直线与直线平行,进而可证明线面平行,进而可证明面面平行. 【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴， ∵ ， ∴E，F，G，H共面 （2）证明：∵，∴， 又平面EFGH，平面EFGH， ∴∥平面EFGH． ∵，∴， 又平面EFGH，平面EFGH， ∴∥平面EFGH． 又，平面ABCD. 所以，平面ABCD∥平面EFGH． 题型二 空间向量共面求参数 5．已知是同一平面内的四点，且任意三点不共线，为平面外一点，若，则实数的值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】利用共面向量定理的推论，四点共面时向量线性表示的系数和为1，列方程求解λ. 【详解】因为是同一平面内的四点，任意三点不共线， 为平面外一点，当时， 根据共面向量定理的推论，有，解得. 6．已知，，是空间中不共线的三点，点为空间内的任意一点，若点在平面内，且，则下列关于和的值满足条件的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】BCD 【分析】根据空间向量共面定理求出和的关系，即可得出结论. 【详解】由题意， ，，是空间中不共线的三点，点为空间内的任意一点， 点在平面内，且， ∴，即， A项，，故A错误； B项，，故B正确； C项，，故C正确； D项，，故D正确. 7．已知A，B，C三点不共线，P为平面ABC外一点，且.若H，A，B，C四点共面，则__________. 【答案】 【分析】结合空间向量共面定理的推论求参数即可. 【详解】由题意可知H，A，B，C四点共面的充要条件是存在，使得且， 所以，解得. 8．如图，在棱长为2的正方体中，点E，F分别是BC，的中点，点G在AB上，． （1）已知上底面内一点H满足，求的长． （2）棱上是否存在一点K，使得GK，EF共面？若存在，求的长；若不存在，说明理由． 【答案】（1）；（2）存在， 的长为 【分析】（1）根据正方体的特点，建立空间直角坐标系，会简化很多，表示出点 的坐标，利用求出其坐标，再根据模的计算公式求解； （2）根据共面的基本定理，存在实数 满足，求出 值，即可求出K的坐标，及的长. 【详解】 建立如图空间直角坐标系， 则 , （1）因为 ,点 分别是 的中点， 所以 ，设 ,则 ， ，因为 ，所以 ，解得 ， 所以 ,所以 ,所以 ， 即 的长为 . （2）假设存在满足条件的点 ，设 , 则 . 因为 共面， 所以存在实数 满足 ， 即 ， 得 解得 ，所以 ,所以 , , 所以存在点，使得 共面，且 的长为 . 题型三 空间空面向量定理的推论及应用 9．已知为空间中四点，任意三点不共线，且，若四点共面，则的值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【详解】因为四点共面，且， 所以由共面定理可得，，即. 10．已知四棱锥满足底面为平行四边形，取中点，过直线作平面分别交棱于点.设，则（    ） A．三棱锥的体积是四棱锥的体积的 B．的取值范围为 C．当时， D．四棱锥的体积与四棱锥的体积之比的最小值为 【答案】ACD 【分析】由等体积法可判断A，通过，延长交延长线于，判断两点在平面的同侧，可判断B，通过四面共面结合空间向量基本定理可判断C，由，结合基本不等式可判断D. 【详解】A项： 由于是中点，故，则 ，A项正确 B项：当时，延长交延长线于，连接，两点在平面的同侧， 故线段与平面无交点，即不在棱上，矛盾.B项错误 C项：由可知：， 同理 因为四边形为平行四边形， 所以 由四点共面，可知存在实数，满足 代入得： 故， 则，化简得： 故时，代入解得：，C项正确    D项：因为， 所以 同理有： 故 由于，可知，由基本不等式： 即，当且仅当时取等 故四棱锥的体积与四棱锥的体积之比的最小值为，D项正确， 故选：ACD 11．已知A,B,C三点不共线，对空间任意一点O，都满足.若A,B,C,D四点共面，则m＝______. 【答案】2 【分析】根据空间向量共面定理的推论求解. 【详解】因为A,B,C,D四点共面，所以3＋2－3m＋m＝1，解得m＝2. 12．如图所示，在长方体中，为的中点，，且，求证：四点共面． 【答案】证明见解析 【分析】设，首先用表示，然后可得用表示出，从而证明三向量共面，得四点共面． 【详解】设，则， 为的中点，， 又，， ， 为共面向量， 又三向量有相同的起点，四点共面． 题型四 空间向量的数乘运算 13．如图，在平行六面体中，与的交点为点，设，，，下列向量中与相等的向量是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据空间向量的线性运算求解. 【详解】， 故选：B. 14．如图，在棱长为2的正方体中，均为所在棱的中点，动点在正方体表面运动，则下列结论中正确的为（    ） A．在中点时，平面平面 B．异面直线所成角的余弦值为 C．不在同一个球面上 D．若，则点轨迹长度为 【答案】AD 【分析】根据正方体图像特征证明面，结合面面垂直的判定定理判断A；根据异面直线所成的角判断B错误；根据五点共圆得到C；分析可知点轨迹是过点与平行的线段，根据轨迹求出长度得到D. 【详解】对于选项A：取的中点，连接， 在棱长为2的正方体中，均为所在棱的中点， 易知平面在面内， 所以面面， 所以面面，所以， 连接是正方形，， 因为面面，所以， 因为面面， 所以面，因为面，所以， 综上，面面，又， 所以面面，故平面平面，故A正确； 对于选项B：取的中点，连接，则， 所以是异面直线所成的角， 又，则，故B错误； 对于选项C：记正方体的中心为点，则， 所以在以为球心，以为半径的球面上，故C不正确； 对于选项D：因为，且为的中点， 所以，故， 所以点轨迹是过点与平行的线段，且， 所以，故D正确. 故选：AD 15．在长方体中，F是DC的中点，设，用表示_________. 【答案】 【分析】根据空间向量的线性运算求解. 【详解】因为在长方体中，F是DC的中点， 则， 故答案为： 16．已知平行六面体，化简下列向量表达式，并在图中标出化简得到的向量：    (1)； (2)； (3). 【答案】(1)，作图见解析 (2)，作图见解析 (3)，作图见解析 【分析】（1）（2）（3）根据空间向量的线性运算即可得到答案. 【详解】（1）， 向量如图所示.    （2）； 向量如图所示.    （3）， 设是线段的中点， 则. 向量如图所示.    题型五 空间向量数乘运算的几何表示 17．如图，分别是四面体的棱的中点，且，记，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为 又因为分别是棱的中点，所以. 18．在棱长为1的正方体中，，，，下列结论正确的是（    ） A．若时，直线与直线的夹角余弦值为 B．若时，周长的最小值为 C．若时，三棱锥的体积为定值 D．当时，有且仅有一个点，使得 【答案】AC 【分析】根据平行求出直线与直线所成的角，解三角形得解判断A，取特殊点判断B，由点到面的距离为定值判断C，点位于或时满足即可判断D. 【详解】对于A，当时，，如图， 所以点为线段的中点，因为， 所以直线与直线的夹角即为直线与直线的夹角， ， 同理可得，在等腰中，故A正确； 对于B，当时，根据三点共线的充要条件可知，点P在线段上， 当点P是线段的中点时，可知周长为，故B错误； 对于C，当时，点P在线段上， 因为平面，所以点到平面的距离为定值， 所以为定值，故C正确； 对于D，因为，，，取，中点分别为，， 所以点在线段上运动，当点位于或时，，故D错误. 19．如图，在四面体ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，则____.    【答案】 【分析】利用空间向量的加减运算法则求解. 【详解】因为， 所以， 故答案为：. 20．如图所示，在长方体ABCD一A1B1C1D1中，，E，F，G，H，P，Q分别是AB，BC，CC1，C1D1，D1A1，A1A的中点，求证：.    【答案】证明见解析. 【分析】先利用基底表示出，进而证得成立. 【详解】， 则， 则. 1 学科网（北京）股份有限公司 $