专题01 空间向量的概念及线性运算课后练习-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 聚焦空间向量概念与运算，通过题组分层设计，实现从概念辨析到综合应用的递进，培养抽象能力与推理意识，适配新授课知识巩固需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |题组一|空间向量概念辨析、线性运算法则|以选择、填空题为主，如第1题辨析单位向量等概念，第2-3题结合正方体、空间四边形强化线性运算，夯实基础| |题组二|共线与共面判定及应用|含多选（第4-5题）、填空（第6、8题）、解答题（第10题），如第7题结合四点共面求参数最值，第10题综合共线与共面问题，提升推理与模型应用能力|

课后训—01空间向量有关概念及线性运算- 班主任： 日期：2026. 时长：40-50分钟/次 【题组一 空间向量概念辨析+线性运算法则】 1．下列关于空间向量的命题中，正确的是（   ） A．空间中所有的单位向量都相等 B．长度相等且方向相反的两个向量是相反向量 C．若满足，且同向，则 D．两个向量相等，则它们的起点与终点相同 2．在正方体中，下列各式的运算结果不为向量的是（   ） A． B． C． D． 3．如图，在空间四边形中，，连接，则（    ） A． B． C． D．    【题组二 空间向量共线与共面】 4．（多选）下列说法中正确的是（    ） A． 是共线的充分不必要条件 B．若共线，则 C．三点不共线，对空间中任意一点，若，则四点共面 D．若为空间四点，且有（不共线），则是三点共线的充要条件 5．（多选）以下能够判定空间中四点共面的条件是（   ） A． B． C． D． 6．已知是空间的一个基底，向量，，，若，则的值________ 7．已知为空间中四点，任意三点不共线，O为平面ABC外一点，且 ，若四点共面，则的最小值为（    ） A． B． C．9 D．4 8．已知四点满足任意三点均不共线，但四点共面，为平面外任意一点，且，则实数的值为______． 9．如图，已知三棱锥，为的重心，点，为，的中点，点分别在上，，．若四点共面，则______．    10．已知向量，，是空间中不共面的三个向量，若，，. (1)若三点共线，求的值； (2)若四点共面，求的最大值. 第 2 页 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 课后训—01空间向量有关概念及线性运算- 班主任： 日期：2026. 时长：40-50分钟/次 【题组一 空间向量概念辨析+线性运算法则】 1．下列关于空间向量的命题中，正确的是（   ） A．空间中所有的单位向量都相等 B．长度相等且方向相反的两个向量是相反向量 C．若满足，且同向，则 D．两个向量相等，则它们的起点与终点相同 【答案】B 【分析】根据题意，利用向量的定义、相等向量和相反向量的定义，逐项分析判断，即可求解. 【详解】对于A，向量是既有大小又有方向的量，所有单位向量的模相等，方向不一定相同， 所以空间中所有的单位向量不一定相等，所以A错误； 对于B，由相反向量的定义知，长度相等且方向相反的两个向量是相反向量，所以B正确； 对于C，由向量的定义知，向量不能比较大小，所以C错误； 对于D，根据相等向量的定义知，长度相等且方向相同的两个向量是相等向量，但相等向量的起点和终点不一定相同，所以D错误. 故选：B. 2．在正方体中，下列各式的运算结果不为向量的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】根据空间向量的加法法则及正方体的性质，逐一判断可知A，B，D的运算结果都为，而C中，． 3．如图，在空间四边形中，，连接，则（    ） A． B． C． D．    【答案】D 【详解】在空间四边形中，， 则. 【题组二 空间向量共线与共面】 4．（多选）下列说法中正确的是（    ） A． 是共线的充分不必要条件 B．若共线，则 C．三点不共线，对空间中任意一点，若，则四点共面 D．若为空间四点，且有（不共线），则是三点共线的充要条件 【答案】ACD 【分析】由向量数量积运算律及共线判定，结合充分必要性定义判断A，利用共线，则直线AB，CD可能重合判断B，利用四点共面的结论判断C，由向量线性运算及共线判定，结合充分必要性定义判断D. 【详解】对于A：由， 此时，共线，充分性成立， 若，同向共线，且，则，显然不成立， 必要性不成立， 所以“”是“共线”的充分不必要条件，故A正确； 对于B：若共线，则直线AB，CD可能重合，故B错误； 对于C：由，且， 根据空间向量共面的推论知四点共面，故C正确； 对于D：（不共线），若， 则，所以， 即，所以三点共线，反之也成立， 所以是三点共线的充要条件，（本选项也可用三点共线的推论）故D正确. 故选：ACD 5．（多选）以下能够判定空间中四点共面的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据空间向量的基本定理及其推论，以及向量的共面定理，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A，因为，所以共面，又因为有公共点，所以四点共面； 对于B，因为，所以四点共面； 对于C，因为，所以，即直线和可能异面，四点不一定共面； 对于D，因为，所以，所以四点共面． 故选：ABD． 6．已知是空间的一个基底，向量，，，若，则的值________ 【答案】 【分析】由向量平行得到，求解即可. 【详解】因为，所以， 即，， 所以. 故答案为：. 7．已知为空间中四点，任意三点不共线，O为平面ABC外一点，且 ，若四点共面，则的最小值为（    ） A． B． C．9 D．4 【答案】A 【详解】因为四点共面，则有， 由共面条件可得，，即， 所以， 当且仅当，即，即时，等号成立. 故选A. 8．已知四点满足任意三点均不共线，但四点共面，为平面外任意一点，且，则实数的值为______． 【答案】 【分析】整理可得，结合四点共面的结论列式求解即可. 【详解】， 因为四点共面，所以，解得． 9．如图，已知三棱锥，为的重心，点，为，的中点，点分别在上，，．若四点共面，则______．    【答案】24 【分析】根据题意，设的中点为，连接，由空间向量的运算结合四点共面定理代入计算，即可得到结果. 【详解】如图，设的中点为，连接．    因为点为的重心，所以点在线段上． 因为 ， 所以， 所以． 若四点共面，则，解得． 故答案为： 10．已知向量，，是空间中不共面的三个向量，若，，. (1)若三点共线，求的值； (2)若四点共面，求的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据向量共线可得答案； （2）由四点共面设，得出，再由配方求最值可得答案. 【详解】（1）因为B，C，D三点共线，则， 又， ， 所以 即， 解得，所以； （2）因为A，B，C，D四点共面，所以， 即 ， 于是有， 解得，即， 所以， 当，时，取到最大值. 第 2 页 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $